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    Factorizando Trinomios

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    Magdalena Villegas
    1) El documento explica cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. 2) Se describen los pasos para encontrar los factores que, al multiplicarlos, dan el término independiente c y, al sumarlos, dan el coeficiente b del término lineal. 3) También se explica cómo identificar y sacar factores comunes de trinomios con coeficientes distintos de 1 antes de factorizar.

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    Factorizando Trinomios

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    1) El documento explica cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. 2) Se describen los pasos para encontrar los factores que, al multiplicarlos, dan el término independiente c y, al sumarlos, dan el coeficiente b del término lineal. 3) También se explica cómo identificar y sacar factores comunes de trinomios con coeficientes distintos de 1 antes de factorizar.

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    Diferentes casos de factorización con ejemplos

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    1) El documento explica cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. 2) Se describen los pasos para encontrar los factores que, al multiplicarlos, dan el término independiente c y, al sumarlos, dan el coeficiente b del término lineal. 3) También se explica cómo identificar y sacar factores comunes de trinomios con coeficientes distintos de 1 antes de factorizar.

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    Factorizando Trinomios

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    1) El documento explica cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. 2) Se describen los pasos para encontrar los factores que, al multiplicarlos, dan el término independiente c y, al sumarlos, dan el coeficiente b del término lineal. 3) También se explica cómo identificar y sacar factores comunes de trinomios con coeficientes distintos de 1 antes de factorizar.

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    de 5

    Factorizando Trinomios

    Un polinomio con tres términos se llama trinomio, tienen la forma x2 + bx + c, pero también
    pueden tener coeficientes el término cuadrático, ax2 + bx + c. Entonces, ¿cómo pasas de
    6x2 + 2x – 20 a (2x + 4)(3x −5)?

    Caso 1: Factorizando Trinomios: x2 + bx + c

    Los trinomios de la forma x2 + bx + c, normalmente pueden factorizarse como el producto


    de dos binomios.

    Multiplicar (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟓)

    (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) = 𝑥(𝑥 + 5) + 2(𝑥 + 5) Aplicando propiedad distributiva


    Se suman términos semejantes
    = 𝑥 2 + 5𝑥 + 2𝑥 + 10
    2𝑥 y 5𝑥.
    = 𝑥 2 + 7𝑥 + 10 resultado

    Factorizar es el reverso de multiplicar. Es dejar en factores el trinomio: 𝑥 2 + 7𝑥 + 10.


    Los términos individuales 𝑥 2 , 7𝑥, y 10 no comparten factores comunes. Pero tienen
    características especiales, el término independiente es el producto de términos no
    comunes es 10, y la suma de términos no comunes es el 2° término (término lineal).
    Entonces vamos a reescribir 𝑥 2 + 7𝑥 + 10 como 𝑥 2 + 5𝑥 + 2𝑥 + 10. Se obtienen dos
    números cuyo producto es 10 y cuya suma es 7𝑥, por lo que son 5𝑥 + 2𝑥 . Ahora se va a
    aplicar el método de agrupación de términos semejantes:

    Se van a agrupar los pares de factores: (𝑥 2 + 5𝑥) + (2𝑥 + 10)


    Factorizando cada par: 𝑥(𝑥 + 5) + 2(𝑥 + 5) se obtiene un binomio
    común, por lo que se puede sacar como factor común 𝑥 + 5: (𝑥 + 5)(𝑥 + 2)

    Ejemplo, factoricemos el trinomio 𝑥 2 + 5𝑥 + 6. En este polinomio, la parte 𝑏 del término


    central es 5 y el término 𝑐 es 6. Podemos apoyarnos en una tabla, son dos números que
    al sumar sean 5 y cuyo producto es 6

    Factores cuyo Suma de los


    producto es 6 factores
    1 ∙ 6 = 6 1 + 6 = 7
    2 ∙ 3 = 6 2 + 3 = 5

    Si te das cuenta solamente hay un par de valores que cumplen con esa condición:
    Puedes ver que 2 + 3 = 5 y (2)(3) = 6 Entonces 2𝑥 + 3𝑥 = 5𝑥, lo que nos da los
    términos que se pueden sustituir por 5𝑥

    𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = factorizar
    = 𝑥 2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6 Se sustituyen por 5𝑥
    = (𝑥 2 + 3𝑥) + (2𝑥 + 6) Se agrupan en parejas
    Se factorizan con factor monomio
    = 𝑥(𝑥 + 3) + 2(𝑥 + 3) común en el primer par es 𝑥 y en el
    segundo par es 2
    Se saca el binomio común como
    = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
    factor
    = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) Que es la factorización buscada

    Otro ejemplo el trinomio 𝑥 2 + 1𝑥 – 12. Dos números cuyo producto es 12 y al ser negativo
    en vez de ser suma ahora es resta, y cuya resta sea 1𝑥.

    Factores cuyo Suma de los


    producto es −12 factores
    1 ∙ −12 = −12 1 − 12 = −11
    2 ∙ −6 = −12 2 − 6 = −4
    3 ∙ −4 = −12 3 − 4 = −1
    4 ∙ −3 = −12 4−3 =1

    Sólo hay una combinación donde el producto es −12 y la suma es 1, y es cuando m= 4,


    y s = −3. Por lo tanto, se puede factorizar:

    𝑥 2 + 𝑥 − 12 = factorizar
    = 𝑥 2 + 4𝑥 − 3𝑥 − 12 Se sustituyen por 1𝑥
    = (𝑥 2 + 4𝑥) + (−3𝑥 − 12) Se agrupan en parejas
    Se factorizan con factor monomio
    común en el primer par es 𝑥 y en el
    = 𝑥(𝑥 + 4) − 3(𝑥 + 4)
    segundo par es −3 para que la 𝑥
    sea positiva
    Se saca el binomio común como
    = (𝑥 + 4)(𝑥 − 3)
    factor
    = (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) Que es la factorización buscada

    Consejos para Factorizar

    Factorizar trinomios es cuestión de práctica y paciencia. Algunas veces, ¡el número


    apropiado de combinaciones será obvio! Otras veces, a pesar de muchas posibilidades, la
    combinación correcta es difícil de encontrar. Y, habrá veces que el trinomio no puede ser
    factorizado.

    Si bien no hay un método universal para encontrar la combinación correcta al primer


    intento, existen algunos consejos que te pueden ayudar.

    Consejos para Encontrar la Combinación Adecuada de Valores


    Cuando factorizamos un trinomio de la forma 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑚)(𝑥 + 𝑛), considera
    los siguientes consejos.

    Observa primero el término 𝑐.


    ✓ Si el término 𝑐 es un número positivo, entonces los factores de 𝑐 serán
    ambos positivos o negativos. En otras palabras, 𝑚 y 𝑛 tendrán el mismo
    signo y la operación que se va a realizar es una suma (ya sea de dos
    positivos o de dos negativos)
    ✓ Si el término 𝑐 es un número negativo, entonces un factor de 𝑐 será positivo,
    y el otro factor de 𝑐 será negativo. Alguno de 𝑚 o 𝑛, será negativo, pero no
    ambos. Por lo que la operación que se va a realizar es una resta.

    Observa el término 𝑏.
    ✓ Si el término 𝑏 es positivo y el término 𝑐 es positivo, entonces 𝑚 y 𝑛 son
    positivos.
    ✓ Si el término 𝑏 es negativo y el término 𝑐 es positivo, entonces 𝑚 y 𝑛 son
    negativos.
    ✓ Si el término 𝑏 es positivo y el término 𝑐 es negativo, entonces 𝑚 es
    positivo y 𝑛 es negativo.
    ✓ Si el término 𝑏 es negativo y el término 𝑐 es negativo, entonces 𝑚 es
    negativo y 𝑛 es positivo.

    Identificando Factores Comunes

    No todos los trinomios tienen la forma 𝑥 2 + 5𝑥 + 6, donde el coeficiente enfrente del


    término x2 es 1. En estos casos, el primer paso debe ser buscar factores comunes para
    los tres términos.

    Saca el factor
    Trinomio Factorizado
    común
    2x2 + 10x + 12 2(x2 + 5x + 6) 2(x + 2)(x + 3)
    −5a2 − 15a − 10 −5(a2 + 3a + 2) −5(a + 2)(a + 1)
    c3 – 8c2 + 15c c(c2 – 8c + 15) c(c – 5)(c – 3)
    y4 – 9y3 – 10y2 y2(y2 – 9y – 10) y2(y – 10)(y + 1)

    Observa que una vez que has identificado y sacado el factor común, puedes factorizar el
    resto del trinomio como lo has hecho antes. Por ejemplo, factorizar:

    Lo primero es ver que tienen todos en común


    3𝑥 3 − 3𝑥 2 − 90𝑥 =
    en este caso es el 3𝑥
    Ahora se va a factorizar el trinomio, dos
    números cuyo producto es −30 y que al
    = 3𝑥(𝑥 2 − 1𝑥 − 30) restarse sea −1𝑥. Los números son +5 y −6,
    (5)(−6) = −30
    5 − 6 = −1
    = 3𝑥(𝑥 2 − 6𝑥 + 5𝑥 − 30) Sustituyendo por − 1𝑥
    = 3𝑥(𝑥 2 − 6𝑥 ) + (5𝑥 − 30) Se agrupan en parejas
    Se observa que tienen las parejas en común
    = 3𝑥[𝑥(𝑥 − 6) + 5(𝑥 − 6)] para factorizar el monomio común en el
    primer par es 𝑥 y en el segundo par es 5
    = 3𝑥[(𝑥 − 6)(𝑥 + 5)] Se saca el binomio común como factor
    = [3𝑥(𝑥 − 6)(𝑥 + 5)] Que es la factorización buscada

    Factorizando Trinomios: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

    La forma general de trinomios que tienen un coeficiente 𝒂 es 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. Como siempre


    o primero es buscar factor común sino lo hay se considera un trinomio cuadrado
    compuesto y se puede factorizar:

    Encontrando los enteros, 𝑚 y 𝑛 cuya suma sea b y cuyo producto sea 𝑎𝑐. Se va
    reescribe el trinomio 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 como 𝒂𝒙𝟐 + 𝒎𝒙 + 𝒏𝒙 + 𝒄 y luego se agrupa como
    se ha estado haciendo y aplicamos la propiedad distributiva para factorizar el polinomio.

    Por ejemplo, factoriza: 6𝑧 2 + 11𝑧 + 4

    En este trinomio, 𝑎 = 6, 𝑏 = 11, y 𝑐 = 4. Vamos a buscar dos números (𝑚 y 𝑛), cuya suma
    sea 𝑏 = 11 y cuyo producto sea 𝑎𝑐 = 24. Se puede hacer una tabla para organizar las
    combinaciones posibles de factores. (Observa que esta tabla sólo tiene número positivos.
    Como 𝑎𝑐 es positivo y 𝑏 es positivo, entonces los números son positivos.)

    Factores cuyo Suma de los


    producto es 24 factores
    1 ∙ 24 = 24 1 + 24 = 25
    2 ∙ 12 = 24 2 + 12 = 14
    3 ∙ 8 = 24 3 + 8 = 11
    4 ∙ 6 = 24 4 + 6 = 10

    Los números, donde el producto es 24 y la suma es 11, y es cuando 𝑚 = 3, y 𝑛 = 8.


    Usemos estos valores para factorizar el trinomio original.

    Factorizando

    6𝑧 2 + 11𝑧 + 4 = Factorizando
    = (6𝑧 2 + 8𝑧 + 3𝑧 + 4) Sustituyendo 𝑚 = 8 y 𝑛 = 3 por 11𝑧
    = (6𝑧 2 + 8𝑧 ) + (3𝑧 + 4) Se agrupan en parejas
    Se observa que tienen las parejas en común
    para factorizar el monomio común en el
    = 2𝑧(3𝑧 + 4) + 1(3𝑧 + 4)
    primer par es 2𝑧 y en el segundo pareja, no
    hay nada por lo que es 1
    = (3𝑧 + 4)(2𝑧 + 1) Se saca el binomio común como factor
    = (3𝑧 + 4)(2𝑧 + 1) Que es la factorización buscada

    Existen trinomios que no se pueden factorizas pares enteros. Por ejemplo, el


    trinomio 2𝑧 2 + 35𝑧 + 7. ¿Se te ocurren dos enteros cuya suma sea 𝑏 = 35 y cuyo
    producto sea ac=14? ¡No hay ninguno! A este tipo de trinomio, que no puede ser
    factorizado usando enteros, se llama trinomio primo.

    Términos Negativos

    En algunas situaciones, el término 𝑎 es negativo, como en −4ℎ2 + 11ℎ + 3. Lo primero


    que se debe de hacer es sacar como factor −1, haciendo más fácil factorizar el trinomio
    resultante.
    Factorizando

    −4ℎ2 + 11ℎ + 3 Factorizando el signo


    Dos números cuyo producto es (4)(−3) − 12
    y su resta −11
    𝑚 ∙ 𝑛 = −12 𝑚 + 𝑛 = − 11
    −(4ℎ2 − 11ℎ − 3) = −12 ∙ 1 = − 12 −12 + 1 = −11
    −6 ∙ 2 = −12 −6 + 2 = − 4
    −4 ∙ 3 = − 12 −4 + 3 = − 1
    Los números son 𝑚 = −12 y 𝑛 = 1
    = −(4ℎ2 − 12ℎ + 1ℎ − 3) Sustituyendo 𝑚 = −12 y 𝑛 = 1 por −11ℎ
    = −(4ℎ2 − 12 ℎ) + (ℎ − 3) Se agrupan en parejas
    Se observa que tienen las parejas en común
    para factorizar el monomio común en el
    = −4ℎ(ℎ − 3) + 1(ℎ − 3)
    primer par es 4ℎ y en el segundo pareja, no
    hay nada por lo que es 1
    = −(ℎ − 3)(4ℎ + 1)
    (ℎ + 3)(−4ℎ + 1) Se saca el binomio común como factor

    = −(ℎ − 3)(4ℎ + 1) Que es la factorización buscada

    También se puede aplicar en otros polinomios que tengan factor en común

    𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 − 3 = (𝑥 2 )(𝑥 − 3) + 1(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)(𝑥 2 + 1)

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