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    Anual San Marcos - Semana 11 - Àlgebra

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    Anual San Marcos_Semana 11_Àlgebra

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    de 11

    ÁLGEBRA

    Tema: Factorización I

    Docente: Plana de Álgebra.


    Objetivos:

    Objetivos:

    Entender el significado de factorizar polinomios.

    Utilizar los diversos criterios para factorizar.

    Resolver problemas diversos con la ayuda de la factorización.


    DIVIDE Y VENCERÁS
    Una frase que se puede aplicar en muchos contexto de
    la vida pero hoy nos centraremos en el contexto de las
    matemáticas. La técnica divide y vencerás consiste en:

    1. Descomponer un problema en un conjunto de subproblemas


    más pequeños.

    2. Se resuelven estos subproblemas.

    3. Se combinan las soluciones para obtener la solución para el


    problema original.
    II. FACTOR
    DEFINICIONES PREVIAS
    𝑓𝑓 𝑥𝑥 es factor de 𝑃𝑃 𝑥𝑥 si:
    I. POLINOMIO DEFINIDO SOBRE ℤ
    ⋄ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es de grado 1 a más.
    Un polinomio está definido sobre ℤ si todos sus 𝑃𝑃(𝑥𝑥)
    coeficientes pertenecen a ℤ ⋄ es exacta (𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 0)
    𝑓𝑓(𝑥𝑥)
    Ejemplos
    Ejemplos
    1. 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 6 −5𝑥𝑥 4 + 7 1. ¿ 𝑥𝑥 − 1 es factor de 𝑥𝑥 5 − 4𝑥𝑥 2 + 3?
    𝑃𝑃 𝑥𝑥 está definido sobre ℤ , pues {2; – 5; 7} ⊂ ℤ ⋄ 𝑥𝑥 − 1 es de grado 1
    2. 𝐹𝐹 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 5 +6𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 2 + 8 𝑥𝑥 5 − 4𝑥𝑥 2 + 3
    ⋄ ¿ es exacta?
    𝐹𝐹 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 está definido sobre ℤ , pues {3; 6; −1; 8} ⊂ ℤ 𝑥𝑥 − 1
    Por el teorema del resto.
    3. 𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 5𝑥𝑥 4 + 3𝑥𝑥 2 + 2
    𝑥𝑥 − 1 = 0 𝑥𝑥 = 1
    𝑄𝑄 𝑥𝑥 NO está definido sobre ℤ , pues {5; 3; 2} ⊄ ℤ
    Reemplazando en: 𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥2 + 3
    Es importante mencionar que trabajaremos
    solamente con polinomios definidos sobre ℤ. 𝑥𝑥 = 1 𝑅𝑅(𝑥𝑥) = 1 − 4 + 3 = 0 es EXACTA
    III. FACTOR PRIMO (F.P.)
    ∴ 𝑥𝑥 − 1 es factor de 𝑥𝑥5 − 4𝑥𝑥2 + 3.
    𝑓𝑓 𝑥𝑥 es un factor primo de 𝑃𝑃 𝑥𝑥 si se cumple lo
    𝟐𝟐. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 5) siguiente:
    ⋄ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es un factor de P(x).
    𝑥𝑥 + 4
    ⋄ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 no se puede expresar como producto de
    sus factores son: 𝑥𝑥 + 5 factores.
    (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 5)
    Observación:

    𝟑𝟑. 𝑀𝑀(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)2 (𝑥𝑥 − 7) Todo polinomio lineal no se puede expresar
    como producto de factores.
    𝑥𝑥 + 3
    Ejemplos
    2
    (𝑥𝑥 + 3)
    𝟏𝟏. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 + 5)
    sus factores son: 𝑥𝑥 − 7 𝑥𝑥 + 4,
    sus factores primos son:
    (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 7) 𝑥𝑥 + 5
    (𝑥𝑥 + 3)2 (𝑥𝑥 − 7) 𝟐𝟐. 𝑀𝑀(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)2 (𝑥𝑥 − 7)
    𝑥𝑥 + 3
    sus factores primos son:
    𝑥𝑥 − 7
    Observación 2

    Los polinomios de la forma 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂 (𝑎𝑎 > 0) FACTORIZACIÓN


    no pueden expresarse como producto de sus
    factores. Ejemplos Es el proceso mediante el cual el polinomio es
    𝑥𝑥 2 + 1, 𝑥𝑥 2 + 4, 𝑥𝑥 2 + 7, 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 , . . . expresado como una multiplicación indicada y/o
    𝟑𝟑. 𝑀𝑀(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 2 + 1)(2𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 5) potencias de sus FACTORES PRIMOS.
    Sus factores primos son: Ejemplos
    𝑥𝑥 2 + 1, 2𝑥𝑥 − 3, 𝑥𝑥 + 5
    Polinomio Factorizado Factores primos
    Observación 3
    𝑥𝑥2 − 7𝑥𝑥 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 7) 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 − 7
    Si 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝒎𝒎
    𝑥𝑥 . 𝑔𝑔𝒏𝒏
    𝑥𝑥 y 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , 𝑔𝑔 𝑥𝑥 no se
    pueden descomponer, entonces 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑥𝑥2 − 16 (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 4) 𝑥𝑥 + 4 , 𝑥𝑥 − 4
    son sus factores primos
    𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 + 2 (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 1) 𝑥𝑥 + 2 , 𝑥𝑥 + 1
    𝟒𝟒. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 4)𝟑𝟑 (𝑥𝑥 2 + 3)𝟐𝟐
    𝑥𝑥 + 3 (𝑥𝑥2 − 9) 𝑥𝑥 + 3 2(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 + 3 , 𝑥𝑥 − 3
    Sus factores primos son:
    𝑥𝑥 − 4, 𝑥𝑥 2 + 3
    CRITERIOS PARA FACTORIZAR
    2. Factorice 𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥5𝑦𝑦3 + 𝑥𝑥4𝑦𝑦4 + 𝑥𝑥4𝑦𝑦3
    Criterio del factor común
    Se extrae “𝑥𝑥” e “𝑦𝑦” con su menor exponente: 𝑥𝑥4 𝑦𝑦3
    Consiste en extraer la(s) variable(s) y/o
    𝑇𝑇(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑥𝑥4 𝑦𝑦3 + 𝑥𝑥4𝑦𝑦𝑦𝑦3 + 𝑥𝑥4𝑦𝑦3
    constante(s) con el menor exponente que se
    = 𝑥𝑥4 𝑦𝑦3 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1)
    repite en todo el polinomio.
    Sus factores primos son: 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦, , (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1)
    Ejemplos
    𝟑𝟑. Factorice 𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 4
    𝟏𝟏. Factorice 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥3

    Se extrae “𝑥𝑥” con el menor exponente: x3 Se extrae lo común: 𝑥𝑥 + 2

    𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥3𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥3 𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 4


    𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2 ( 𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 4 )
    𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 (2𝑥𝑥 + 5)
    𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 2 (2𝑥𝑥 + 7)
    Sus factores primos son: 𝑥𝑥 , 2𝑥𝑥 + 5
    Sus factores primos son: 𝑥𝑥 + 2 , 2𝑥𝑥 + 7
    Criterio del agrupamiento
    𝑀𝑀(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 + 7𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎2 + 7
    Consiste en agrupar términos convenientemente
    buscando formar un factor común en cada grupo. = 𝑎𝑎2(𝑏𝑏2 + 1) + 7(𝑏𝑏2 + 1)

    Ejemplos = (𝑏𝑏2 + 1) (𝑎𝑎2 + 7)


    𝟏𝟏. Factorice 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1 Sus factores primos son: 𝑏𝑏2 + 1 , 𝑎𝑎2 + 7
    Tiene 4 términos, agrupemos de 2 en 2:
    𝟑𝟑. Factorice 𝑃𝑃 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 6
    𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 1
    Agrupamos para formar un factor común:
    = 𝑥𝑥2(𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥 + 1) 𝑃𝑃 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 3 + 2 𝑦𝑦 + 3

    = (𝑥𝑥 + 1) (𝑥𝑥2 + 1) 𝑃𝑃 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 + 3 𝑥𝑥 + 2


    𝑦𝑦 + 3
    Sus factores primos son: 𝑥𝑥 + 1 , 𝑥𝑥2 + 1 Sus factores primos son: �
    𝑥𝑥 + 2
    𝟐𝟐. Factorice 𝑀𝑀(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 + 7𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎2 + 7
    Criterio por identidades
    Su factor primo es: 𝑥𝑥 − 6
    Consiste en utilizar los productos notables para
    𝟑𝟑. Factorice 𝑃𝑃 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 + 2𝑥𝑥 + 1
    lograr la factorización. Por lo general utilizaremos
    Agrupamos convenientemente:
    diferencias de cuadrados, trinomio cuadrado
    𝑃𝑃 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1 − 𝑦𝑦 2
    perfecto, suma y diferencia de cubos entre otros.
    2
    𝑃𝑃 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 −𝑦𝑦 2
    Ejemplos
    𝑃𝑃 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 1 − 𝑦𝑦
    𝟏𝟏. Factorice 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 25
    = 𝑥𝑥2 − 52
    = (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 5)
    Sus factores primos son: 𝑥𝑥 + 5 , 𝑥𝑥 − 5

    𝟐𝟐. Factorice 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 12𝑥𝑥 + 36


    = 𝑥𝑥2 − 2.6. 𝑥𝑥 + 62
    = (𝑥𝑥 − 6)2
    w w w. a d u n i . e d u . p e

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