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    6.ejercicios Resueltos de Optimización

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    Nelson Arcos
    El problema busca encontrar la ubicación del punto de sujeción entre las dos astabanderas para minimizar la cantidad de cable usado. La solución óptima es ubicar el punto justo a medio camino entre las astas, de modo que ambos cables tengan la misma longitud y así se minimice el uso total de cable.

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    El problema busca encontrar la ubicación del punto de sujeción entre las dos astabanderas para minimizar la cantidad de cable usado. La solución óptima es ubicar el punto justo a medio camino entre las astas, de modo que ambos cables tengan la misma longitud y así se minimice el uso total de cable.

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    El problema busca encontrar la ubicación del punto de sujeción entre las dos astabanderas para minimizar la cantidad de cable usado. La solución óptima es ubicar el punto justo a medio camino entre las astas, de modo que ambos cables tengan la misma longitud y así se minimice el uso total de cable.

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    PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN GUÍA 4

    4. Un granjero desea construir un corral rectangular de 128 000 pies2 con un lado a lo largo de un acantilado
    vertical. EI cercado a lo largo del acantilado cuesta $ 1.50 por pie, mientras que a lo largo de los otros tres
    lados cuesta $2.50 por pie. Encuentre las dimensiones del corral, de modo que el costo del cercado sea
    mínimo.
    6. En una esfera de radio R se ha inscrito un cilindro, encuentre para que valor del radio de la base r, el área
    de la superficie lateral del cilindro es máxima.

    i) Dato r  ?, se considera R como una constante R  r 


    h
    ii) Función área lateral AL  2rh , del gráfico tenemos  R2  r 2  h  2 R2  r 2 con lo que
    2
    AL  2r.2 R 2  r 2  Ar   4r R 2  r 2
     r .  2r   2 r2 
    iii) Derivamos la función: A' r   4  R 2  r 2    A r   4  R  r 
    ' 2

     2 R 2  r 2   R 2  r 2 
     r2 
    iv) Hallamos los puntos críticos A' r   0  4  R 2  r 2  0
     R 2  r 2 
     R 2  2r 2  R
    4  0  r  r  0.71R
     R 2  r 2  2
    v) Usaremos el criterio de la primera derivada para comprobar que r  0.71R es un máximo
    1 2
     2  2  R
     4
    A' 0.5 R   4  R  A' 0.5 R   0
    R 2 0 .5 R  2 
     R 2  0.5 R 2  3 2 3
      R
    4
    7 2
     2 2  
    A 0.8 R   4
    '  R  2 0. 8 R    4 25
    R
    
    28
    R  A' 0.8 R   0
     R 2  0.8 R 2  9 2 15
      R
    25
    Entonces r  0.71R es un máximo
    vi) Respuesta: El radio dela base del cilindro mide 0.71R
    15. Se quiere construir una caja con base cuadrada y con tapa, la caja a de tener una capacidad de 81m 3 , si
    los lados cuestan 2 soles por metro cuadrado, la base y la tapa 0.75 soles por metro cuadrado ¿Cuáles
    han de ser las dimensiones de la caja para que el costo total sea mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo?
    Rpta.: 6 y 2.25 m, 162 soles
    22. En un terreno fangoso rectangular que mide 5 km de ancho por 8 km de largo se tiene que comunicar el
    punto A con el punto B por medio de una carretera. La carretera debe atravesar desde el punto A hasta
    cierto punto P situado en el lado contrario; y luego desde P hasta B debe trazarse la carretera
    paralelamente al terreno fangoso, pero ya por tierra firme. El costo a través del terreno fangoso es de 10
    millones de pesos el kilómetro mientras que por tierra firme es de 7 millones de pesos el kilómetro.
    Calcular las distancias AP por terreno fangoso y PB por tierra firme tales que el costo total de la carretera
    sea el mínimo. Fig. 6
    26. Dos astabanderas están aseguradas con cables sujetos a un solo punto entre las astas. Vea la figura
    ¿Dónde debe ubicarse el punto a fin de minimizar la cantidad de cable usado? Fig. 8

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