UNMSM Geometría

SEMANA 16 2. Calcule el área del círculo limitado

ESFERA Y ROTACIONES por la intersección de una
superficie esférica y una superficie
1. Calcule a que distancia del centro cónica, ambas inscritas en un
de una esfera de radio R  (2  5) m cilindro de revolución cuyo radio
se debe seccionar con un plano de la base es 5 m .
para que la diferencia de las áreas
de los casquetes esféricos A) 2  m2 B) 4  m2 C) 8  m2
determinados sea igual al área de D) 12  m2 E) 15  m2
4
la sección que divide a la esfera
en dichos casquetes. RESOLUCIÓN

A) 0,6m B) 0,8m C) 1m
D) 2m E) 3m

RESOLUCIÓN

Dato: R  5

i) VPO BHS

R 2R
Dato: R = 2  5   R  x  2r
r Rx
 x = 2r –R…………………………………. 1
i) OHA: R2  x2  y2 y2  R2  x2 ……….. 1
ii) A casquete -A casquete =  r 2 ii) OPQ:
mayor menor R 2  x2  r 2 ………………………………. 2
1 en 2 :
2  R(R  x)  2  R R  x    r 2
R 2  r 2  2r  R 
2
 4R x  r 2 …………………………………. 2
4R 4 5
 r 
1 2 5 5
y :  4 5  16
4R x  r  R 2  x2  x  R
2
 5 2   A círculo   r 2   
 5 
 

5


x  5 2  
5 2 1
RPTA.: E
RPTA.: C

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3. Se tiene una esfera cuyo radio
mide 1m, un cilindro de RESOLUCIÓN
revolución y un cono equilátero
circunscritos a esta esfera; calcule
la suma de los volúmenes de los
tres sólidos. 3
16

A) 19  m3 B) 26  m3 C) 13  m3
3 3 3
6 3 14  3
D) m E) m
3 3
F1

F2
RESOLUCIÓN Condición:
VE1  2 VE1
4 4
 
3
30◙

 R   2  
3
16  3

1 3 3 
4  128 
VE2  2 16  
 3  3
1
60◙ 1
RPTA.: D
1

60◙ 5. Calcule el ángulo en la cúspide de

un cono de revolución sabiendo
que el área de la esfera inscrita es
R  3 el área de la base del cono como
4 es a 3.
Piden:
VTotal  VCilindro  VEsfera  VCono A) 15° B) 30° C) 60°
D) 74° E) 80
 
2

4  3 3
VTotal   1  2   1 
2 3

3 3 RESOLUCIÓN
4 4  19 
VTotal  2   3  5 
V

3 3 3 

RPTA.: A a
r
4. Sean E1 y E2 dos esfera, si el T
volumen de E2 es el doble del O r
volumen E1 y el radio de
E1  3 16 cm . Calcule el volumen
r

de E2. E
H

A) 612  cm3 B) 512 cm3

 R 3
3
C)412  cm 3
D) 128  cm3 Condición:
3
E) 552  cm3

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AEsfera

4  v2

4 RESOLUCIÓN
ABase cono R 2
3  r2 
AHuso  ………………………… 1
 R r 3 esferico 90º
 a=r
Datos:   90º
HVE: VH=3 r R  5 ………………………….. 2
   30º 2 en 1
 2   60º
 5  90º
2

AHuso   25 
RPTA.: C esferico 90º

6. Calcule el volumen de una cuña RPTA.: C

esférica de 30° cuyo radio mide
3 8. Se tiene dos esferas concéntricas;
3 m.
4 se traza un plano secante a la
esfera mayor y es tangente a la
 3  3 esfera menor, determinando un
A) m B) m círculo de área 16  cm2. Calcule
6 12
 3  el área del casquete menor
C) m D) m3 determinado en la esfera mayor
14 8
 sabiendo que el radio de la esfera
E) m3 menor es 3 cm.
5
A) 9 cm2 B) 16 cm2
RESOLUCIÓN C) 20 cm2 D) 25 cm2
 r3  E) 36 cm2
VCuña  ………………………… 1
esferica 270º
Datos:   30º RESOLUCIÓN
3
R  3 ………………………. 2
4
O1
2 en 1
3
 3
  3   30º
 4  3
VCuña     m
esferica 270º 12

RPTA.: B
i) Área del círculo tangente= r2  16
7. Calcule el área de un huso a la menor  r =4
esférico de 90° si el radio mide
5cm ii) OO1 V : R = 5
 h=R-3=2
A) 24  cm2 B) 12,5  cm2 h=2
C) 25  cm2 D) 16  cm2
E)  cm2 Luego: ACasquete  2Rh  252  20
RPTA.: C

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9. El área de una esfera inscrita en RESOLUCIÓN
un cubo es 18 cm2; calcule el área
de la esfera circunscrita a dicho
cubo. h

A) 18 cm2 B) 27 cm2
C) 36 cm2 D) 45 cm2 4-h 4
R=
E) 54 cm2

RESOLUCIÓN

Dato:
1
Área de la esfera
A casquete 
5
1 4R 44
R
r
r
5

2 hR  4 R2  h 
10

10
 1,6
R
RPTA.: C

11. Se tiene una zona esférica

i) Esfera inscrita: equivalente a un huso esférico
9 incluidos en una superficie
Área = 4  r 2  18  r 2  ………. 1
2 esférica de radio R; calcule la
medida del ángulo del huso
ii) Esfera circunscrita: esférico si la altura de la zona es
R/3.

Área= 4  r 2  4 3r 2  
 *  A) 15° B) 25° C) 30°
Área= 4  r 2  4  3     54 D) 45° E) 60°
 2
RESOLUCIÓN
RPTA.: E Dato:
A zonaesferica  AHuso esférico
10. Calcule la longitud de la altura de
un casquete esférico incluido en
una esfera de 4cm de radio, 2  R h    R 2   
siendo su área la quinta parte del
 R   R 
2

área de la superficie esférica.  2 R   

3 90º
A) 1 cm B) 1,5 cm    60º
C) 1,6 cm D) 2 cm RPTA.: E
E) 2,5 cm
12. A que distancia del centro de una
esfera de radio R debe trazarse un
plano secante para que el área de
los casquetes determinados estén
en la relación de 1 a 3.

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 12   45
3

A) R/2 B) R/3 C) R/5  VCuña   288 

D) 2R/3 E) R/10 Esférica 270
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
14. Una esfera de radio 2 10 cm es
seccionado a un mismo lado del
círculo máximo por dos planos
paralelos, determinando un
segmento esférico cuyas bases
tienen radios que miden 6cm y
2cm. Calcule el volumen del
segmento esférico.

A) 208  cm3 B) 218  cm3

3 3
C) 236  cm3 D) 272  cm3
Dato: 3 3
A Casquete E) 296  cm3
menor 1 3

A Casquete 3
mayor
RESOLUCIÓN
2  R R  x  1 O2 r2  2

2  R R  x  3
3R -3x =R+x 6  r1 O1
4 x = 2R
R R  2 10
x
2
RPTA.: A

13. En una superficie esférica de

radio 12cm se tiene una zona
esférica y un huso esférico
 
2
equivalentes y la altura de la zona OO1Q : 2 10  62  OO1 OO1  2
esférica mide 3cm; calcule el
OO Q : 2 10
2
volumen de la cuña esférica. 2  22  OO2 OO2  6
 h  OO2  OO1  4
A) 248  cm2 B) 268  cm2
C) 278  cm2 D) 288  cm2
E) 300  cm2 h 2 4 2
 VSegmento 
Esférico 6
 
h 3r12 3r22 
6 
4 362 322

RESOLUCIÓN 272 
 VSegmento 
Dato: h = 3 Esférico 3
Condición: RPTA.: D
A Zonaesférica  AHuso esférico
15. El área de un huso esférico es
2
R   12
2 igual a la tercera parte del área de
2 R h   2 R 3     45º la superficie esférica y el volumen
90º 90º
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de la esfera es 36 m3. Calcule el
área de la cuña esférica. RESOLUCIÓN
A)12  m2 B) 16  m2
C) 18  m2 D) 21  m2
E) 25  m2 2
R

RESOLUCIÓN

6

Dato:
R 2 3 2 R 3
4
VEsfera   3  36 
3

3
RPTA.: E
Condición:
1 17. Calcule el volumen del sólido
AHuso  AEsfera
Esférico 3 engendrado por una región
hexagonal regular de perímetro
 R2  1 36cm y gira alrededor de una
90º

3
 
4  R 2    120º recta que contiene a uno de los
lados del dicho polígono.
4
VEsfera   R 3  36   R  3
3 A) 962  cm3 B) 972  cm3

Área total de la cuña=

 
 32 120º
 3 
2
C) 925  cm3
E) 936  cm3
D) 928 cm3
90º
12   9   21 
RPTA.: D
RESOLUCIÓN
i) 2 p = 36    6
16. Dos planos perpendiculares son
tangentes a una esfera y la  AGB :
distancia entre los puntos de ii)  d =3 3
tangencia es 3 2 cm. Calcule el
62 3
volumen de la esfera. iii) Área del Hexágono= 6   54 3
 4 
A) 16  cm3 B) 21  cm3 Teorema de Pappus:
C) 25  cm3 D) 28  cm3
E) 36  cm3    
Volumen: 2d Área  2 3 3 54 3  972
RPTA.: B

18. En un triángulo rectángulo ABC

recto en B, se traza la altura BH,
tal que AH = 4 cm y HC = 9 cm.
Calcule el volumen del sólido
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generado al girar 360° la región RESOLUCIÓN
triangular alrededor de su
hipotenusa AC. B

A) 122  cm3 B) 136  cm3

C) 125  cm3 D) 156  cm3
E) 166  cm3

4
d
d
RESOLUCIÓN 2
2
G
45◙
15
d 2 30◙

A C

 ABC :

d 4 3
d 2 2 2 3d ….. 1
2 3 2
42 3
Semejanza: Área  ABC   4 3 ………… 2
d a 4

6 3a
Teorema de Pappus:
 d=2
Volumen: 2   d Área  
i) ABC
Reemplazando: 1 y 2
BH2  9  4  BH  6 ………………… 1
4 3
ii) Área=
13  6
 39 ………………………. 2
 Volumen = 2  
 3 2  
4 3  16  2 
 
2
Teorema de Pappus: RPTA.: B

Reemplazando 1 y 2 : 20. En un triángulo ABC,

exteriormente se traza el
Volumen= 2  2  39   156  cuadrado ABEF. Calcule el
volumen del sólido generado al
RPTA.: D girar 360° la región cuadrada
alrededor de la recta que contiene
19. Por un vértice de un triángulo al lado AC, si los ángulos BAC y
equilátero pasa una recta exterior BCA miden 53° y 45°
formando con un lado del respectivamente y AC = 7cm.
triángulo un ángulo cuya medida
es 15°. Calcule el volumen del A) 80  cm3 B) 100  cm3
sólido generado al girar 360° la C) 175  cm3 D) 200  cm3
región triangular alrededor de E) 300  cm3
dicha recta, siendo el perímetro
de la región triangular 12cm.

A) 12  2 cm
3
B)16 2 cm
3

C) 24  2 cm
3
D) 32 2 cm3
E) 48  2 cm
3

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RESOLUCIÓN

34 7
i) d 
2 2
ii) Área ABEF   52  25
Teorema de Pappus:
7
Volumen= 2    25 0175 
2

RPTA.: C

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