Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática

MA1304 Cálculo para Administración II Semestre 2019

Aplicaciones de la derivada

1. Regla de L’Hôôôpital
Calcule los lı́mites que se indican en cada caso.

0 ±∞
1.1. Forma 0 o ±∞
1 − 3x ln(4x − 3)
1. lı́m 6. lı́m
x→0 x x→1 2x − 2
3x2 + 5 ln(x + 1) − x
2. lı́m 7. lı́m
x→+∞ 4x + 2 x→0 x ln(x + 1)

e3x − 1 ekx − kx − 1
3. lı́m− 8. lı́m , con k 6= 0
x→0 x2 x→0 x2
ex − e−x z
4. lı́m+ 9. lı́m
z→+∞ 2z + ln z
x→0 x2
x ln2 y
5. lı́m 10. lı́m
x→+∞ ln x + 2x y→+∞ y 2

1.2. Forma 0 · ±∞ o ±∞ · 0
1. lı́m (x2 · e−2x ) 5. lı́m 1
· ln x
x→∞ x→∞ (1−x)

2. lı́m+ x ln(2x) 6. lı́m+ xe1/x

x→0 x→0

3. lı́m 2−x ln x 7. lı́m− x2 e−1/x

x→∞ x→0

4. lı́m x−1 · (1 − e3x ) 8. lı́m+ (ew − 1) ln w

x→0 w→0

1.3. Forma −∞ + ∞ o ∞ − ∞
   
x 1 1 1
1. lı́m − 4. lı́m −
x→1 x − 1 ln x x→1 ln x x − 1
 
1
  5. lı́m+ + ln x
1 1 x→0 x
2. lı́m+ −
x→0 ex − 1 x
6. lı́m (ex − x)
x→∞

3. lı́m (−xe1/x + x) 7. lı́m (e−x + x)

x→∞ x→−∞

1
2. Derivada como razón de cambio
Resuelva los siguientes problemas.

1. Suponga que la función de posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta
numérica está dada por s = f (t) = 3t2 + 5, donde t está en segundos y s en metros.
Encuentre la velocidad cuando t = 10.

2. Sea p = 100 − q 2 la función de demanda del producto de un fabricante. Encuentre la razón

de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q. ¿Qué tan rápido cambia el
precio con respecto a q cuando q = 5? Suponga que p está en dólares.

3. Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educación de niños de edad
preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que x años después de iniciado un programa
particular, f (x) miles de niños estarán inscritos, donde
10
f (x) = (12x − x2 ), 0 ≤ x ≤ 12
9
¿Cuál es la razón a la que cambiarı́a la matrı́cula, (a) después de tres años de iniciado el
programa y (b) después de nueve años?

4. Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es

5000
c = 0,0001q 2 − 0,02q + 5 +
q
encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 50
unidades? Interprete el resultado.

5. Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación
en miembros de un grupo urbano particular. De acuerdo con sus hallazgos, una persona con
x años de educación, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual
medio de y dólares anuales, donde:

y = 5x5/2 + 5900, 4 ≤ x ≤ 16

Encuentre la razón de cambio del ingreso con respecto al número de años de educación.
Evalúela cuando x = 9. Interprete el resultado.

6. Si p = 200 − q 2 es el precio unitario en dólares del producto de un fabricante, cuando se

demanda q unidades del producto, encuentre:

a) La función de ingreso total.

b) La función de ingreso marginal.
c) El ingreso marginal cuando q = 5 e interprete el resultado.

7. En cada caso se muestra la función de costo total o la función de costo promedio. Calcule el
costo marginal y evalúelo en el valor de q que se le indica. Interprete el resultado:

a) c = q 2 + 50q + 1000, q = 16.

2
 b) c = 0,04q 3 − 0,5q 2 + 4,4q + 7500, q = 25
500
c) c = 0,01q + 5 + , q = 50
q
20000
d ) c = 0,00002q 2 − 0,01q + 6 + q = 100
q
7000
e) c = 0,002q 2 − 0,5q + 60 + , q = 25
q
8. En cada caso se muestra la función de ingreso total como función del número q de unidades
vendidas. Calcule el ingreso marginal y evalúelo en el valor de q que se le indica. Interprete
el resultado:
 
1
a) r = q 15 − q , q = 15
30
b) r = 250q + 45q 2 − q 3 , q = 10
c) r = 2q (30 − 0,1q) , q = 10

9. Un fabricante de bicicletas de montaña determinó que cuando se producen 20 bicicletas por

dı́a, el costo promedio es de $150 y el costo marginal de $125. Con base en esta información,
aproxime el costo total de producir 21 bicicletas por dı́a.

10. La función de costo total de una fábrica de calcetas es estimada como:

c = −10484,69 + 6,750q − 0,000328q 2

donde q es la producción en docenas de pares y c el costo total en dólares. Encuentre la

función de costo marginal y la función de costo promedio, y evalúela cada una cuando
q = 2000.

11. La función de costo total para una planta de luz y energı́a eléctrica es estimada como

c = 32,07 − 0,79q + 0,02142q 2 − 0,0001q 3 , 20 ≤ q ≤ 90

donde q es la producción total en 8 horas (como porcentaje de la capacidad) y c el costo

total en dólares del combustible. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando
q = 70. Interprete el resultado.

12. La población de una ciudad dentro de t años está dada por

P = 250000e0,04t

Encuentre la razón de cambio de la población con respecto al tiempo t dentro de cuatro

años. Redondee su respuesta al entero más cercano.

13. Un fabricante determina que el costo en dólares de producir x cantidad de artı́culos está
dado por C(x) = 0,002x3 − 0,04x2 + 40x + 1000.

a) Determine la función de costo marginal.

b) Determine el costo aproximado de producir una unidad adicional, si se han producido
90 unidades.

3
 14. Un fabricante de refrigeradores produce 3000 unidades cuando el precio es de 940 dólares
y 2200 unidades cuando el precio es 740 dólares. Suponga que el precio y la cantidad de
unidades están relacionadas linealmente. Determine:

a) La función de ingreso marginal.

b) Encuentre el precio que produce un ingreso marginal igual a 200 dólares.

15. Cada semana, una compañı́a puede vender x unidades de su producto a un precio de p
dólares por unidad, en donde p + x − 600 = 0. A la compañı́a le cuesta 8000 + 75x dólares,
producir x unidades. Determine:

a) La función de ingreso marginal.

b) La función de costo marginal.
c) La función de utilidad marginal.

16. Suponga que la función de costo promedio de una manufactura de x juguetes está dado por
100
C(x) = + 5 + 0,04x.
x
a) Determine la función de costo marginal.
b) Si se han producido 25 juguetes, determine el costo aproximado de producir un juguete
más.

17. La ecuación de demanda de un cierto artı́culo es x = 100 − 2p − 3p2 , donde se demandan x

unidades cuando p es el precio en dólares, por unidad. Determine La razón de cambio de la
demanda cuando el precio es de 3 dólares. Interprete el resultado.

18. La producción semanal de una cierta fábrica es f (x) unidades cuando la fábrica cuenta con
x empleados y f (x) = 1500x − 3x2 . Si por lo general la fábrica cuenta con 35 empleados,
encuentre:

a) El cambio aproximado en la producción semanal si se contrata un empleado más.

b) El cambio exacto en la producción semanal ocasionado por la contratación de un em-
pleado más.

3. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mı́nimos de una

función
1. Para cada una de las siguientes funciones, determine: los intervalos donde son crecientes y
decrecientes y los extremos relativos (locales).

a) y = 18x − 23 x3

d ) y = x2 ex
4
b) y = x +
x+1
e) y = x4 − 2x2
c) y = x2/3

4
 f ) y = x3 − 72 x2 + 2x − 5 n) f (x) = 3x4 − 4x3 + 1

x4
g) y = + x3 ñ) y = 8x4 − x8
4
h) y = (x − 1)2/3 1
o) f (z) = z 2 +
z2
i ) y = (x2 − 1)4 p
p) f (p) = 3
3p3 − 4p
1
j ) y = 4x2 +
x
q) f (q) = q 2 ln q
k ) y = x2 (x + 3)4
x2 − 3
5x + 2 r) y =
l) y = x+2
x2 + 1
4/3 1/3 1 + r2
m) f (x) = x − 8x s) f (r) =
1 − r2

2. Haga el bosquejo de la gráfica de una función continua f , tal que f (2) = 2, f (4) = 6,
f 0 (2) = f 0 (4) = 0, f 0 (x) < 0 para x < 2, f 0 (x) > 0 para 2 < x < 4, f tenga un mı́nimo
relativo en 4, y lı́m f (x) = 0.
x→∞

3. Haga el bosquejo de la gráfica de una función continua f , tal que f (1) = 2, f (4) = 5,
f 0 (1) = 0, f 0 (x) ≥ 0 para x < 4, f tenga un máximo relativo cuando x = 4 y tenga una
recta tangente vertical en x = 4.

4. Si c(q) = 3q − 3q 2 + q 3 es una función de costo, ¿cuándo es creciente el costo marginal?

5. Dada la función de demanda p = 400 − 2q, encuentre cuándo es creciente el costo marginal.
√
6. Para la función de costo c = q, justifique que los costos marginal y promedio son siempre
decrecientes para q > 0.

7. Determine los extremos absolutos de las siguientes funciones en el intervalo indicado.

t3 h3 + 128
a) f (t) = − t + 2 en [−2, 2] f ) f (h) = en [1, 8]
3 h

b) f (z) = z ln z − 2z en [1, 4] g) y = −3x5 + 5x3 en [−2, 0]

p
c) f (p) = en [0, 2] h) y = x4 − 9x2 + 2 en [−1, 3]
p2 +1
x
d ) f (r) = 3r4 − r6 en [−1, 2] i) y = en [0, 2]
x2 +1
x4 1 2
e) f (x) = x2 e−x en [1, 3] j) y = − x + 3 en [−2, 3]
4 2

5
4. Problemas de optimización
Resuelva los siguientes problemas.

1. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es

80 − q
p= , 0 ≤ q ≤ 80
4
donde q es el número de unidades y p el precio por unidad. ¿Para qué valor de q se tendrá
un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?

2. La función de costo total de un fabricante está dada por

q2
c = c(q) = + 3q + 400
4
donde c es el costo total de producir q unidades. ¿Para qué nivel de producción será el costo
promedio por unidad un mı́nimo? ¿Cuál es este mı́nimo?

3. La empresa Vista TV Cable tiene actualmente 100 000 suscriptores que pagan una cuota
mensual de $40. Una encuesta reveló que se tendrı́an 1000 suscriptores más por cada $0.25
de disminución en la cuota. ¿Para qué cuota se obtendrá el ingreso máximo y cuántos
suscriptores se tendrı́an con dicha cuota?

4. Un artı́culo en una revista de sociologı́a afirma que si ahora se iniciase un programa especı́fico
de servicios de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas ancianas recibirı́an
beneficios directos, donde

t3
n= − 6t2 + 32t, 0 ≤ t ≤ 12
3
¿Para qué valor de t el número de beneficiarios es máximo?

5. Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista es p = 400 − 2q y

que la función de costo promedio es c = 0,2q +4+(400/q), donde q es el número de unidades,
y p y c se expresan en dólares por unidad.

a) Determine el nivel de producción en el que se maximiza la utilidad.

b) Determine el precio en que ocurre la utilidad máxima.
c) Determine la utilidad máxima.
d ) Si el gobierno impone un impuesto de $22 por unidad al monopolista como medida
reguladora, ¿cuál es el nuevo precio que maximiza la utilidad?

6. El costo por hora (en dólares) de operar un automóvil está dado por

c = 0,12s − 0,0012s2 + 0,08,

donde s, 0 ≤ s ≤ 60, es la velocidad en millas por hora. ¿A qué velocidad es el costo por
hora mı́nimo?

6
 7. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es p = 85 − 0,05q y la función
de costo es c = 600 + 35q. ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? ¿A qué precio
ocurre esto y cuál es la utilidad?

8. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es p = √40q y la función de costo

promedio es c = 13 + 2000
q
. Encuentre el precio y la producción que maximizan la utilidad. A
este nivel, justifique que el ingreso marginal es igual al costo marginal.

9. Un fabricante puede producir cuando mucho 120 unidades de cierto artı́culo cada año. La
ecuación de demanda para ese producto es p = q 2 − 100q + 3200 y la función de costo
promedio del fabricante es c = 32 q 2 − 40q + 10000
q
. Determine la producción q que maximiza
la utilidad y la utilidad máxima correspondiente.

10. Una empresa de bienes raı́ces posee 100 departamentos. Cada uno puede rentarse a $400 por
mes. Sin embargo, por cada $10 mensuales de incremento, habrá dos departamentos vacı́os,
sin posibilidad de rentarlos. ¿Qué renta por departamento maximizará el ingreso mensual?

11. Los costos totales fijos de la empresa XYZ son de $1200, los costos combinados de material
y mano de obra son de $2 por unidad y la ecuación de demanda es p = 100 √ ¿Qué nivel de
q
producción maximizará la utilidad? Demuestre que esto ocurrirá cuando el ingreso marginal
sea igual al costo marginal. ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es máxima?

12. Para el producto de un fabricante, la función de ingreso está dada por r = 240q + 57q 2 − q 3 .
Determine la producción para obtener un ingreso máximo.

13. La ecuación de demanda de un producto es q = 450e−0,25p . ¿Qué precio debe fijarse para
maximar los ingresos?

14. Una compañı́a de TV por cable tiene 1000 suscriptores, de los cuales cada uno paga 5 dólares
al mes. Puede obtener 100 suscriptores más por cada 0.10 dólares que disminuya en la cuota
mensual. ¿Qué cuota producirı́a ingresos máximos y cuáles son esos ingresos?

15. Para el producto de un monopolista, la función de costo es c = 0,004q 3 + 20q + 5000 y la

función de demanda es p = 450 − 4q. Encuentre la producción que maximiza la utilidad.

16. En una ciudad, el tren subterráneo tiene una tarifa de $1.50 y es usado por 5000 personas
diariamente. Se esta considerando un incremento en la tarifa, y se ha determinado que por
cada $0.25 de incremento habrá 1000 pasajeros menos al dı́a. ¿Qué tarifa maximiza los
ingresos diarios?

17. Una compañı́a que se dedica a la venta de paquetes computacionales, llamada CompuTex,
ha determinado que la función de demanda, viene dada por la ecuación p = 42 − 4q, donde q
representa la cantidad de paquetes que se venden y p el precio por unidad. Sabiendo que la
función de costo total es C = 2q + 80, determine la cantidad que CompuTex debe producir
y vender para que las utilidades sean máximas?
q2
18. La función de costo de un fabricante es C(q) = + 3q + 400 (q número de unidades). ¿A
4
qué nivel de producción es mı́nimo el costo promedio? ¿Cuál es este costo promedio mı́nimo?

7
 19. Un fabricante puede producir cuando mucho 120 unidades de cierto artı́culo cada año. La
ecuación de demanda de ese producto es p = q 2 − 100q + 3200 y la función de costo promedio
2 10000
del fabricante es C(q) = q 2 − 40q + . Determine la producción q que maximiza la
3 q
utilidad. ¿Cuál es esa utilidad máxima?

20. Un artı́culo tiene un costo de fabricación de 5 dólares por unidad. Si el precio de venta es p
(en dólares) entonces la demanda es q = 2 − 0,01p2 . Determine el precio que maximiza las
utilidades.

5. Tasa de interés en tiempo continuo

Resuelva los siguientes problemas.

1. Si $100 son depositados en una cuenta de ahorros que gana interés a una tasa anual del 5 %
capitalizable continuamente, ¿cuál será el monto acumulado al final de dos años?

2. ¿A qué tasa de interés compuesto continuamente deben invertirse 500000 colones para que
después de 2 años el monto acumulado sea de 680000 colones?

3. ¿Durante cuánto tiempo hay que invertir un millón de colones, con interés de 8 % compuesto
continuamente, para obtener un interés de dos millones de colones? Dé su respuesta en años,
meses y dı́as. Encontrar la tasa efectiva que corresponde a la tasa anual del 8 % capitalizable
continuamente.