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    Ejercicio B

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    Camilo Barrero Ospina
    El documento presenta 4 tipos de ejercicios relacionados con cálculo integral. El primer tipo cubre integrales inmediatas, el segundo suma de Riemann, el tercero teorema de integración, y el cuarto integral definida. Se provee un ejemplo detallado para cada tipo que involucra calcular una integral específica siguiendo pasos como aplicar propiedades de integrales, aproximar el área bajo una curva, y comparar resultados entre métodos.

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    Ejercicio B

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    Camilo Barrero Ospina
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    El documento presenta 4 tipos de ejercicios relacionados con cálculo integral. El primer tipo cubre integrales inmediatas, el segundo suma de Riemann, el tercero teorema de integración, y el cuarto integral definida. Se provee un ejemplo detallado para cada tipo que involucra calcular una integral específica siguiendo pasos como aplicar propiedades de integrales, aproximar el área bajo una curva, y comparar resultados entre métodos.

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    Ejercicio B

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    Camilo Barrero Ospina
    El documento presenta 4 tipos de ejercicios relacionados con cálculo integral. El primer tipo cubre integrales inmediatas, el segundo suma de Riemann, el tercero teorema de integración, y el cuarto integral definida. Se provee un ejemplo detallado para cada tipo que involucra calcular una integral específica siguiendo pasos como aplicar propiedades de integrales, aproximar el área bajo una curva, y comparar resultados entre métodos.

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    Actividades a desarrollar

    A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las


    temáticas de la unidad.

    Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas

    Ejercicio b.

    2𝑥 + 1
    ∫ 𝑑𝑥
    √4𝑥 + √2𝑥

    √4𝑥 = 4𝑥 1/2 Aplicamos ley de radicales


    √2𝑥 = 2𝑥 1/2
    2𝑥 + 1
    ∫ 𝑑𝑥
    4𝑥 1/2 + 2𝑥 1/2
    4𝑥 1/2 + 2𝑥 1/2 = 6𝑥 1/2 Aplicamos sumas de potencias
    2x+1 2x 1
    ∫ 6x1/2 dx = 6x1/2
    +
    6x1/2

    = 2x (6x −1/2 ) + 1 (6x −1/2 ) subimos el denominador al numerador.


    2x (6x −1/2 ) = 12x1/2
    1 (6x −1/2 ) = 6x1/2
    =∫ 12x1/2 + 6x1/2 aplicamos la propiedad de integral de una suma de funciones:
    ∫ 𝟏𝟐𝒙𝟏/𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝟔𝒙𝟏/𝟐 𝒅𝒙

    Ahora a cada integral independiente aplicamos la propiedad de una función producto por
    una constante:

    𝟏𝟐 ∫ 𝐱 𝟏/𝟐 𝐝𝐱 + 𝟔 ∫ 𝐱 𝟏/𝟐 𝐝𝐱

    Aplicamos la integral indefinida número 3 según la tabla:

    𝟏 𝟏 𝟑
    +
    𝒙𝟐 𝟏 𝒙𝟐
    𝟏 𝟏 = 𝟑
    +
    𝟐 𝟏 𝟐
    𝟑 𝟑
    𝒙𝟐 𝒙𝟐
    𝟏𝟐 𝟑 + 𝟔 𝟑 + C Simplificamos
    𝟐 𝟐

    𝟑 𝟑
    𝟏𝟐𝐱 𝟐 𝟔𝐱 𝟐 𝟑 𝟑
    𝟏 𝟏 𝟐𝟒𝐱 𝟐 𝟏𝟐𝐱 𝟐
    𝟑 + 𝟑 = + +C
    𝟑 𝟑
    𝟐 𝟐

    Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann

    Ejercicio b.

    i. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación


    del área bajo la curva de la función
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 en el intervalo [0, 2], en donde use una partición de n=5.
    Siga los siguientes pasos:
    - Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.
    - Tome un pantallazo de la gráfica.
    - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los Cinco
    (5) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área
    bajo la curva 𝑓(𝑥).

    A≈ ∑5𝑖=1 𝑓(𝑥) △ 𝑥
    𝑏−𝑎 2−0 2
    △𝑥 = = = = 0.4
    𝑛 5 5
    a= 0
    b= 2
    n= 5

    𝑥𝑖 = ¿ ?
    𝑥1 = 0
    𝑥2 = 𝑎 + △ 𝑥 = 0 + 0.4 = 0.4
    𝑥3 = 𝑎 + 2 △ 𝑥 = 0 + 2(0.4) = 0.8
    𝑥4 = 𝑎 + 3 △ 𝑥 = 0 + 3(0.4) = 1.2
    𝑥5 = 𝑎 + 4 △ 𝑥 = 0 + 4(0.4) = 1.6

    ∑5𝑖=1 𝑓(𝑥) △ 𝑥 =
    A≈

    = 𝑓(0) △ 𝑥 + 𝑓(0.4) △ 𝑥 + 𝑓(0.8) △ 𝑥+ 𝑓(1.2) △ 𝑥+ 𝑓(1.6) △ 𝑥

    𝑓(0)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(0) = (0 − 3)2 + 1 = 10

    𝑓(0.4)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(0.4) = (0.4 − 3)2 + 1 = 6.76

    𝑓(0.8)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(0.8) = (0.8 − 3)2 + 1 = 5.84

    𝑓(1.2)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(1.2) = (1.2 − 3)2 + 1 = 3.24

    𝑓(1.6)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(1.6) = (1.6 − 3)2 + 1 = 1.96

    A≈ ∑5𝑖=1 𝑓(𝑥) △ 𝑥 =
    = (10)0.4 + (6.76)0.4 + (5.84)0.4+ (3.24)0.4+ (1.96 )0.4

    = 4 + 2.704 + 2.336 + 1.296 + 0.784 = 11.12 𝑈 2


    ii. Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación
    del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1 en el intervalo [0,
    2], en donde use una partición de n=10

    Siga los siguientes pasos:


    - Graficar la función 𝑓(𝑥) en Geogebra.
    - Tome un pantallazo de la gráfica.
    - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, ubique los doce
    (10) rectángulos que representan gráficamente la aproximación del área
    bajo la curva 𝑓(𝑥).

    ≈ ∑10
    𝑖=1 𝑓(𝑥) △ 𝑥
    𝑏−𝑎 2−0 2
    △𝑥 = = = = 0.2
    𝑛 10 10
    a= 0
    b= 2
    n= 10

    𝑥𝑖 = ¿ ?
    𝑥1 = 0
    𝑥2 = 𝑎 + △ 𝑥 = 0 + 0.2 = 0.2
    𝑥3 = 𝑎 + 2 △ 𝑥 = 0 + 2(0.2) = 0.4
    𝑥4 = 𝑎 + 3 △ 𝑥 = 0 + 3(0.2) = 0.6
    𝑥5 = 𝑎 + 4 △ 𝑥 = 0 + 4(0.2) = 0.8
    𝑥6 = 𝑎 + 4 △ 𝑥 = 0 + 5(0.2) = 1
    𝑥7 = 𝑎 + 4 △ 𝑥 = 0 + 6(0.2) = 1.2
    𝑥8 = 𝑎 + 4 △ 𝑥 = 0 + 7(0.2) = 1.4
    𝑥9 = 𝑎 + 4 △ 𝑥 = 0 + 8(0.2) = 1.6
    𝑥10 = 𝑎 + 4 △ 𝑥 = 0 + 9(0.2) = 1.8

    𝑖=1 𝑓(𝑥) △ 𝑥 =
    ∑10A≈

    = 𝑓(0) △ 𝑥 + 𝑓(0.2) △ 𝑥 + 𝑓(0.4) △ 𝑥+ 𝑓(0.6) △ 𝑥+ 𝑓(0.8) △ 𝑥


    + 𝑓(1) △ 𝑥+ 𝑓(1.2) △ 𝑥 + 𝑓(1.4) △ 𝑥 + 𝑓(1.6) △ 𝑥 + 𝑓(1.8) △ 𝑥
    .
    𝑓(0)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(0) = (0 − 3)2 + 1 = 10

    𝑓(0.2)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(0.2) = (0.2 − 3)2 + 1 = 7.84

    𝑓(0.4)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(0.4) = (0.4 − 3)2 + 1 = 6.76

    𝑓(0.6)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(0.6) = (0.6 − 3)2 + 1 = 5.76

    𝑓(0.8)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(0.8) = (0.8 − 3)2 + 1 = 4.84

    𝑓(1)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(1) = (1 − 3)2 + 1 = 4

    𝑓(1.2)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(1.2) = (1.2 − 3)2 + 1 = 3.24

    𝑓(1.4)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(1.4) = (1.4 − 3)2 + 1 = 2.56

    𝑓(1.6)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(1.6) = (1.6 − 3)2 + 1 = 1.96

    𝑓(1.8)
    𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 + 1
    𝑓(1.8) = (1.8 − 3)2 + 1 = 1.44
    A≈ 𝑖=1 𝑓(𝑥) △ 𝑥 =
    ∑10
    = (10)0.2 + (7.84)0.2 + (6.76)0.2+ (5.76)0.2+ (4.84 )0.2 + (4 )0.2 +
    (3.24 )0.2 + (2.56 )0.2 + (1.96 )0.2 + (1.44)0.2

    = 2 + 1.568 + 1.352 + 1.152 + 0.968 + 0.8 + 0.648 + 0.512 + 0.392


    + 0.288 = 9.68 𝑈 2
    iii. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado
    con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann
    con n= 5 y n=10.

    Utilizando la suma de Riemann con n= 5 y n=10 el valor más aproximado


    fue el de n =10, entre más particiones (n) se realicen, más exacto será el
    resultado del área bajo la curva.
    Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.

    Ejercicio b.
    𝑥3
    𝐹(𝑥) = ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑡 2 )𝑑𝑡
    𝑥

    𝑏(𝑋) = 𝑥 3
    𝑎(𝑥) = 𝑥
    Hayamos las derivadas de b(x) y a(X)

    𝑥̀ 3 = 3𝑥 2
    𝑥̀ = 1
    Reemplazamos según el teorema:
    𝒅
    𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑 )𝟐 ∗ 𝟑𝒙𝟐 − 𝒔𝒆𝒏 (𝒙𝟐 ) ∗ 𝟏
    𝒅𝒙

    𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟔 𝟑𝒙𝟐 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐


    𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙𝟖 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐
    Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.

    Ejercicio b.

    Calcular la siguiente integral definida:

    4
    ∫ |𝑥 2 − 5𝑥 + 6|𝑑𝑥
    1

    Siga los siguientes pasos:


    - Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.
    - Tome un pantallazo de la gráfica.
    - Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región
    de la cual acaba de hallar el área con la integral definida

    Para este ejercicio aplicamos leyes de valor absoluto:


    𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
    𝑥 −3
    𝑥 −2
    Factorizamos =
    (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0
    (𝑥 − 3) = 0 𝑥 = 3
    (𝑥 − 2) = 0 𝑥 = 2
    Con esto sabemos que se divide en 3 integrales con los límites siguientes:

    1 2 3 4
    2 3 4
    ∫1 𝑥 2 − 5𝑥 + 6𝑑𝑥 + ∫2 −𝑥 2 + 5𝑥 − 6𝑑𝑥 + ∫3 𝑥 2 − 5𝑥 + 6𝑑𝑥

    La suma de las tres integrales forman la integral original, la integral del


    medio es negativa debido a la ley del valor absoluto, para ello
    reemplazos x en (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) con un número inter medio en cada
    integral: para el limite (2 , 3) = (2.5 − 3)(2.5 − 2) = -0.25 , como es
    3
    negativo cambia de signo toda la integral: ∫2 −𝑥 2 + 5𝑥 − 6𝑑𝑥

    Ahora hayamos la integral:


    2
    ∫1 𝑥 2 − 5𝑥 + 6𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ −5𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 6 𝑑𝑥
    𝒙𝟑 𝒙𝟐
    − 𝟓 ( 𝟐 ) + 𝟔𝒙 Hayamos la integral aplicando las reglas de suma, exponentes
    𝟑
    y producto de las integrales indefinidas.

    2 𝒙𝟑 𝒙𝟐 3 𝒙𝟑 𝒙𝟐 4 𝒙𝟑 𝒙𝟐
    ∫1 𝟑 − 𝟓 ( ) + 𝟔𝒙 + ∫2 − 𝟑 + 𝟓 ( ) − 𝟔𝒙 + ∫3 𝟑 − 𝟓 ( ) + 𝟔𝒙
    𝟐 𝟐 𝟐

    Ahora evaluamos en cada integral y las súmanos:

    2 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝟐𝟑 𝟐𝟐 𝟏𝟑 𝟏𝟐
    − 𝟓 ( ) + 𝟔𝒙 =
    𝟓
    ∫1 𝟑 − 𝟓 ( ) + 𝟔(𝟐) − − 𝟓 ( ) + 𝟔(𝟏) =
    𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟔
    3
    𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟐 𝟐𝟑 𝟐𝟐 𝟏
    ∫ − + 𝟓( ) − 𝟔𝒙 = − + 𝟓( ) − 𝟔( 𝟑 ) − ( − + 𝟓( ) − 𝟔(𝟐) ) =
    2 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟔
    4 𝟑
    𝒙 𝒙𝟐 𝟒𝟑 𝟒𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟐 𝟓
    ∫ −𝟓( ) + 𝟔𝒙 = −𝟓( ) + 𝟔(𝟒) − −𝟓( ) + 𝟔(𝟑) =
    3 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟔

    𝟓 𝟏 𝟓 𝟏𝟏
    Ahora súmanos los tres resultados: + + = = 1.83333
    𝟔 𝟔 𝟔 𝟔

    - .
    Graficamos la funcion : f(x) = |𝑥 2 − 5𝑥 + 6|

    Ubicamos las 3 integrales en los límites 1-4


    Comprobamos graficando en geogebra la función y la integran definida y vemos que
    el resultado es igual: 1.83
    Referencias:

    Video explicativo integral con valor absoluto

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