ISSN 1130-488X

9 7 711 30 4 88 006 00057

 Índice
57
Directores
Onofre Monzó del Olmo
Tomás Queralt Llopis Febrero 2008
direccion@revistasuma.es
Administrador
Gregori García Ferri
administracion@revistasuma.es
Consejo de redacción
Salvador Caballero Rubio
(CEFIRE d’Alacant)
Editorial 3-4
Marisa Fernádez Villanueva
(IES Veles e Vents, Torrent)
Bernardo Gómez Alfonso Plus 5-6
(Universitat de València Estudi General)
Floreal Gracia Alcaine
(IES Politècnic, Castelló)
José Antonio Mora Sánchez
(IES San Blai, Alacant)
Luis Puig Espinosa
(Universitat de València Estudi General)
Consejo Editorial
Serapio García Cuesta
(Presidente de la FESPM) artículos
Francisco Martín Casalderrey
(IES Juan de la Cierva, Madrid)
Inmaculada Fuentes Gil Sobre el exilio matemático de la Guerra Civil española (II)
(IES Ágora, Madrid) Javier Peralta 9-22
Ricardo Luengo González
(Universidad de Extremadura)
Intercambio de información secreta con la Transformada Discreta de
Edita
FEDERACIÓN ESPAÑOLA DE Fourier
SOCIEDADES DE PROFESORES Ángela Rojas 23-29
DE MATEMÁTICAS (FESPM)
Web Matemática y lenguaje y matemática constructora de lenguaje
Antonio Alamillo Sánchez Pedro M. Gonzalez 31-42
www.revistasuma.es
Códigos numéricos para la vida
Diseño de la portada y fotograf ía Jesús Beato 43-54
Onofre Monzó
Maquetación Los números mórficos
T. Queralt y O. Monzó
Antonia Redondo 55-64
Revista Suma
Apartado 498
E-46900-Torrent De SUMA a clase y de vuelta a SUMA
España Guido Ramellini 65-72
Fax:+(34) 912 911 879
Tirada: 6700 ejemplares
Deposito legal: Gr 752-1988
ISSN: 1130-488X

1
 Asesores
poliedro

JUEGOS: Las cifras del calendario

Grupo Alquerque de Sevilla 75-78
Claudi Aguadé Bruix
EL CLIP: Una resolución, un crédito europeo y la cuenta de un restau- Alberto Aizpún López
José Manuel Arranz San José
rante japonés
Carmen Azcárate Jiménez
Claudi Alsina 79-80 Javier Bergasa Liberal
Mercedes Casals Colldecarrera
MATEMASTIC: Tuxmath: un juego para el cálculo mental Abilio Corchete González
Mariano Real Pérez 81-84 Juan Carlos Cortés López
Carlos Duque Gómez
ARTE CON OJOS MATEMÁTICOS: Ha vuelto para mirarnos Inmaculada Fernández Benito
Francisco Martín Casalderrey 85-88 Constantino de la Fuente Martínez
José María Gairín Sallán
Horacio Gutiérrez Álvarez
HACE...: Robert Recorde: el creador del signo igual
Fernando Hernández Guarch
Santiago Gutiérrez 89-95 Luis López García
Arturo Mandly Manso
EN LAS CIUDADES INVISIBLES IV y V Ángel Marín Martínez
Miquel Albertí 97-104 Ricardo Moreno Castillo
Miguel Ángel Moreno Redondo
DE CABEZA: Ramanujan y el número π M.ª Jesús Palacios de Burgos
Antonio Pérez Sanz 105-109 Pascual Pérez Cuenca
Rafael Pérez Gómez
Joaquín Pérez Navarro
BIBLIOTECA: Mi biblioteca particular.
Antonio Pérez Sanz
Escaparate 1: En campo ajeno Luis Puig Mosquera
Escaparate 2: Las funciones. Un paseo por su historia Encarnación Reyes Iglesias
F. Corbalán (Coord.), F. Fouz 111-116 Ismael Roldán Castro
Gabriel Sosa Felipe
EL HILO DE ARIADNA: Un problema es un laberinto Juan Antonio Trevejo Alonso
Xaro Nomdedeu Moreno 117-122 Ana M.ª Trujillo La Roche
Carlos Usón Villalba
LITERATURA Y MATEMÁTICAS: Crímenes imperceptibles
Constantino de la Fuente 123-129

SUMA es una revista de didáctica de las

actividades de la FESPM matemáticas de periodicidad cuatri-
mestral, cuyo objetivo es tratar sobre
aquellos aspectos relacionados con su
Crónica de las XIII JAEM de Granada enseñanza y aprendizaje, destinada al
profesorado que trabaja en infantil, pri-
L. Berenguer 131-132
maria, secundaria y universidad.

XVIII Olimpiada Matemática Nacional La revista SUMA se edita en Torrent

Julian Pérez y Marilo Eraso 133-138 (Valencia) - ESPAÑA

Relación de Sociedades federadas 141

Normas de Publicación 143
Boletín de suscripción 144

no se identifica necesariamente
con las opiniones vertidas en las
colaboraciones firmadas.

2
 Editorial
57
Febrero 2008, pp. 3-4 SUMA y sigue

Cuando emprendas tu viaje hacia Ítaca

debes rogar que el viaje sea largo,
lleno de peripecias, lleno de experiencias.
No has de temer ni a los lestrigones ni a los cíclopes,
ni la cólera del airado Posidón.
Nunca tales monstruos hallarás en tu ruta
si tu pensamiento es elevado, si una exquisita
emoción penetra en tu alma y en tu cuerpo.

Constantínos Kaváfis

E stamos seguros que cuando se gestó la revista SUMA y salió por primera vez
allá por el año 1988, nadie pensaba que llegaría a ocupar el lugar que hoy en día
ha alcanzado dentro del mundo de la Educación Matemática. Sin embargo, gra-
cias al esfuerzo de los equipos que la dirigieron anteriormente, encabezados por
Rafael Pérez en Granada, Sixto Romero en Huelva, Julio Sancho y Emilio
Palacián en Zaragoza, y nuestros antecesores Francisco Martín e Inmaculada
Fuentes en Madrid, con el apoyo de la Federación Española de Sociedades de
Profesores de Matemáticas, SUMA goza de una presencia y un prestigio de pri-
mer orden. Y esto, que se podría intuir a partir de la calidad del contenido y su
cuidada presentación, se puede contrastar con indicadores objetivos que nos lo
demuestran: su índice de valoración actual es de 70’25 sobre 100, valoración en
función de su contenido científico a juicio del profesorado universitario y perso-
nal investigador del área, según datos del Instituto de Estudios Documentales
sobre Ciencia y Tecnología del CSIC. Por ello estamos orgullosos y agradecidos a
la FESPM por la confianza depositada en nosotros al nombrarnos directores de
SUMA, y esperamos incrementar la calidad y los resultados hasta ahora alcan-
zados.

El equipo que ahora inicia esta aventura está compuesto por Tomás Queralt y
Onofre Monzó como directores y Gregori Garcia como administrador. Queremos
agradecer a Inmaculada Fuentes, Francisco Martín, Cristina Torcal y Antonio
Alamillo su absoluta predisposión y ayuda en la transferencia de información

3
para iniciar nuestra tarea. Sin su colaboración hubiera sido imposible emprender esta
travesía. Debemos mencionar la buena disposición de Antonio a continuar con la gestión
de la web, actividad que realiza con excelente resultado y de la que nos sentimos todos
satisfechos.

Nuestro proyecto de revista parte de la distribución actual, por lo que el lector no apre-
ciará grandes cambios, más bien algunas variaciones que permitan observar la incorpo-
ración de un nuevo equipo: cambio del logotipo de la revista, inicio de nuevas secciones y
desaparición de otras, cambio del consejo de redacción y del consejo editorial. Pensamos
que la estructura actual sigue siendo válida para un proyecto futuro de cuatro años, por
lo que mantendremos los apartados en los que últimamente estaba dividida la revista:

•Artículos, con las aportaciones de nuestros lectores, que esperamos sean cada vez más y
sin las que la revista no tendría sentido.

•Poliedro, con diferentes secciones a cargo de autores de reconocido prestigio. Nos gusta
la perspectiva de ofrecer diferentes enfoques a todo lo que tiene que ver con las matemá-
ticas, con el ánimo de ampliar la posibilidad de relacionarlas con otros campos de cono-
cimiento.

•Las actividades de la Federación, de las que daremos debida cuenta mediante las con-
vocatorias e informes de los distintos actos que la Federación lleva a cabo. La revista
SUMA constituye la mejor carta de presentación de nuestra Federación, y seguirá siendo
su máximo órgano de expresión a través de la cual se emitirán las opiniones y posiciona-
mientos que pensemos deban adoptarse respecto de cualquier cuestión que tenga que ver
con la Educación Matemática en nuestro país.

No queremos perder de vista la potencia que supone disponer de una página web cuya
accesibilidad permite que nuestra revista esté presente en cualquier parte del mundo de
manera inmediata. Pretendemos mantener el nivel de calidad alcanzado, e intentar
mejorarlo incorporando paulatinamente opciones y servicios que faciliten el acceso a la
información de nuestros usuarios.

La revista SUMA es una revista sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas,

tal y como indica su título, con el que se quiere plasmar la misión que tiene encomenda-
da. Se trata de una revista de carácter científico aunque también hay una vertiente divul-
gativa a la que pretendemos contribuir, puesto que pensamos que los profesores de mate-
máticas estamos obligados a dar a conocer lo que sabemos. Nuestro deseo es que la revis-
ta mantenga este equilibrio, siempre con la finalidad de enriquecer a nuestros lectores
tanto personal como profesionalmente.

Hemos izado nuestras velas y orientado nuestra nave hacia un horizonte desconocido,
ilusionados en la aventura que supone lanzarse al océano, cuando nosotros solamente
habíamos navegado por nuestro pequeño mar. Este mar Mediterráneo que nos acompa-
ña, y esta luz de Valencia que por intensa algunos dicen que deslumbra, os llegue a todos
vosotros, lectores, a través de nuestra revista SUMA.

4
 Editorial
57
Febrero 2008, pp. 5-6 Plus

L os hados han querido que mi primera actividad pública como nuevo

Secretario General de la Federación Española de Sociedades de Profesores
de Matemáticas sea precisamente escribir este editorial de SUMA, nuestra
revista y la de todos sus lectores, a la que junto a Inma Fuentes, he dedi-
cado unos cuantos años. Ningún lugar podía resultarme más grato para
este estreno.

Un proyecto deja de serlo cuando se institucionaliza. Todas las actividades

que promovemos comienzan siendo eso: un proyecto; pero sólo unas pocas
llegan a la fase de consolidación, de institucionalización. Y la prueba que
certifica que esa fase se ha superado, es sin duda, la normalidad con la que
se producen los relevos de personas, de equipos responsables y, en nuestro
caso, dado nuestro carácter federal, de lugares de edición.

En ese sentido SUMA hace mucho tiempo que dejó de ser un proyecto para
pasar a ser una institución en el ámbito de la educación matemática en
España y más allá.

Tomás Queralt y Onofre Monzó nos presentan con este número la primera
de las entregas de lo que va a ser su trabajo al frente de SUMA. Decíamos
Inma y yo en el editorial del número anterior que sabíamos con conoci-
miento de causa lo que les esperaba. SUMA supone un gran esfuerzo para
mucha gente que colabora escibiendo su contenido, pero también una gran

5
cantidad de trabajo de coordinación, de administración, de maquetación,
de aporte de ideas, de trabajo de dirección. Es necesario para ello un derro-
che de ilusión y robarle tiempo a las noches y a los fines de semana.

La compensación de todo esto es el momento en que tienes un nuevo núme-

ro en las manos y ves cómo ha quedado, cuando te llegan mensajes de los
lectores que te dicen que lo que has hecho les ha gustado. Escasa satisfac-
ción pensarán algunos, pero más que sobrada hemos pensado todos los que
hemos estado al frente de esta tarea. Sé que es esto también lo que estan
pensando ahora, con este número 57 en las manos, Tomás y Onofre.

Los cambios de personas no son nunca meros relevos. Los nuevos equipos
tratan de consolidar lo que se hacía, pero también de incorporar nuevas
ideas, de renovar y de innovar a partes iguales.

Deciamos que SUMA llega más allá –plus ultra– de nuestras propias fron-
teras. Desde la Federación Española de Sociedades de Profesores de
Matemáticas, como editores de la revista, estamos convencidos de que
SUMA con este nuevo equipo también irá más allá de lo que ha llegado
nunca.

Tomás y Onofre quizás aún no lo saben, pero el subsconciente les ha dela-

tado. Fijaos en el nuevo logotipo que han diseñado: SUMA+.

Demos pues la bienvenida a esta SUMA Plus.

Francisco Martín Casalderrey

Secretario General de la Federación Española
de Sociedades de Profesores de Matemáticas

6
 Manuscrito de Pedro Puig Adam

SOBRE EL EXILIO MATEMÁTICO DE LA GUERRA CIVIL ESPAÑOLA (II)

INTERCAMBIO DE INFORMACIÓN SECRETA MEDIANTE LA
J. Peralta
artículos
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER A. Rojas
MATEMÁTICA Y LENGUAJE Y MATEMÁTICA CONSTRUCTURA DE LENGUJE P.M. González
CÓDIGOS NUMÉRICOS PARA LA VIDA J. Beato
LOS NÚMEROS MÓRFICOS A. Redondo
DE SUMA A CLASE Y DE CLASE A SUMA G. Ramellini
 57 Sobre el exilio matemático
Febrero 2008, pp. 9-22 de la guerra civil española (y II)

En el presente artículo se realiza un estudio sobre los matemáticos que emigraron de España a consecuencia de la guerra civil, que
va acompañado de pequeñas biograf ías de la mayoría de ellos, y de un comentario sobre las razones que motivaron su marcha.
El trabajo, centrado principalmente en los profesores de la Universidad de Madrid –entonces la más importante y con mayor
poder de decisión–, se completa con un análisis de la situación matemática en las décadas anteriores, y con unas notas acerca
de las depuraciones y cambios estructurales realizados al finalizar la contienda.

This article presents a study on the emigration of the Spanish mathematicians because of the civil war. Short biographies of most
of these mathematicians are written explaining the reasons why they left.
This work, focusing specially on the professors of the University of Madrid –the most important and influential at that time–
also analyzes the situation of Spanish mathematics in previous decades, with some comments on the depurations and structural
changes by the end of the conflict.

E l exilio a Argentina El número de matemáticos que

emigró a Argentina no parece que
La mayoría de los intelectuales españoles exiliados se estable- haya sido muy elevado, aunque en
ció en distintos países americanos; buena parte de los ellos lo torno a Rey Pastor se reunió un
hizo en México, y el resto en Argentina, Chile, Colombia, grupo muy brillante de jóvenes
Cuba, República Dominicana, Venezuela y Estados Unidos. Y matemáticos que ya despuntaban
la acogida de unos y otros generalmente estuvo propiciada
en España.
por el prestigio particular del personaje, por conexiones pro-
fesionales creadas antes de la contienda, por relaciones per-
sonales con otros intelectuales ya instalados en esos países o,
cuando menos, fue amparada por la mediación de institucio-
nes especialmente creadas con ese objetivo.

A Argentina, en concreto, se desplazó un número considera- NOTA DE LA REDACCIÓN: Este artículo reproduce el publicado en la
ble de científicos, humanistas y, en fin, diversas personalida- revista Hispania Nova y con el permiso de ésta:

des del mundo de la cultura o la política, algunos de ellos de “Sobre el exilio matemático de la guerra civil española” en
Gálvez, Sergio (Coord.), Generaciones y memoria de la represión
gran relevancia. Por ejemplo, Luis Jiménez de Asúa o franquista: un balance de los movimientos por la memoria.
Francisco de Ayala, catedráticos de Derecho; el historiador Dossier monográfico Revista de Historia Contemporánea
Claudio Sánchez-Albornoz, ex-rector de la Universidad de Hispania Nova, ISBN: 1138-7319
http://hispanianova.rediris.es/6/dossier/6d026.pdf
Madrid y ministro republicano; Niceto Alcalá-Zamora, ex-
La pimera parte apareció en el número 56, de noviembre de 2007.
presidente de la República; Felipe Jiménez de Asúa, catedráti-
co de Medicina; Ángel Ossorio y Gallardo, presidente de la
Academia de Jurisprudencia y del Ateneo de Madrid; etc.

El número de matemáticos que emigró a Argentina no parece

que haya sido muy elevado, aunque en torno a Rey Pastor se Javier Peralta
reunió un grupo muy brillante de jóvenes matemáticos que ya Universidad Autónoma de Madrid

9
SUMA 57
Febrero 2008

despuntaban en España; alguno de los cuales alcanzaría más Matemáticas del Instituto de Física de San Carlos de
tarde renombre internacional. Me refiero en particular a Lluis Bariloche; después, de 1960 a 1962, es invitado por la
Santaló, Manuel Balanzat, Ernest Corminas y Pere Pi Calleja, Universidad de Caracas, donde imparte cursos de Análisis
de los que Rey ya conocía su valía matemática; aquéllos, bajo matemático, Análisis funcional y Teoría de distribuciones;
la dirección del maestro, crearían en los años siguientes una más tarde, de 1962 a 1966, se traslada a Francia y es profesor
auténtica escuela matemática de gran influjo en la matemáti- de la Universidad de Clermont-Ferrand; y finalmente regresa
ca argentina. Conviene precisar además que fue Rey Pastor a Argentina y toma posesión de la cátedra de Análisis mate-
quien propició el viaje a Buenos Aires, parece ser que corrió mático de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional
con los gastos del mismo e incluso les ayudó a buscar puestos de Buenos Aires para trabajar en ella hasta su jubilación, en la
de profesor en distintas universidades argentinas. que continúa después en activo como profesor emérito.

También emigraría a Argentina otro ilustre matemático del Balanzat fue también miembro de la Academia de Ciencias de
que más tarde hablaré: Francisco Vera, que asimismo sería Buenos Aires y ocupó diversos cargos de representación,
ayudado por Rey Pastor. Sin embargo, por su edad –llegaría como los de secretario y vicepresidente de la Unión
con más de cincuenta años–, su situación científica –desem- Matemática Argentina. Falleció en Buenos Aires en 1994.
barcó siendo ya una figura consagrada– y su especialización
–destacó fundamentalmente en historia de la ciencia–, su El siguiente matemático en llegar a Argentina de los más arri-
caso es muy diferente al de los anteriores, y no parece deba ser ba citados, y con toda seguridad el de mayor relieve, es Luis
incluido en el mismo grupo. Antonio Santaló Sors, de quien a continuación haré una
1
breve semblanza .
También emigró a Argentina otro
ilustre matemático Francisco Vera
que destacó fundamentalmente en
historia de la ciencia.

El primero en marchar fue Manuel Balanzat de los Santos.

Nacido en Bargas (Toledo) en 1912, Balanzat estudia Ciencias
Exactas en la Universidad de Madrid y obtiene una beca
durante los últimos cursos de licenciatura y los años de reali-
zación del doctorado en el Laboratorio Seminario Mate-
mático. Se traslada a París, también con una beca de posgra-
do de la JAE, en donde trabaja con Fréchet en 1934 y 1935 en
la teoría de espacios topológicos.

Durante la guerra civil combate en el frente, en el bando repu-

blicano, en diferentes batallas, y finalizada la contienda se exi-
lia a París. Con la ayuda de Rey Pastor marcha a Buenos Aires,
y se incorpora unos meses a su Universidad en el Seminario
de Matemáticas que dirige aquél. En 1940 se establece en la
Universidad Nacional de Cuyo, y es uno de los fundadores del
Instituto Nacional del Profesorado, en donde imparte cursos
dirigidos a profesores de enseñanza secundaria.

Luis Antonio Santaló (1911-2001)

Desde entonces hasta prácticamente el final de sus días publi-
ca numerosos artículos de investigación y diversos libros,
como Introducción a la Matemática Moderna, editado en
1946 (se adelanta en unos quince años a la tendencia de la Santaló nace en Gerona en 1911 y después de cursar la edu-
denominada Matemática moderna, que se extenderá por todo cación preuniversitaria en su ciudad natal se traslada a
el mundo) o El número natural y sus generalizaciones (1953). Madrid y estudia Ciencias Exactas, que finaliza en 1934. En la
En 1955 inicia un recorrido que le llevará a trabajar en distin- capital se instala en la Residencia de Estudiantes, en donde
tos centros: primero, como profesor y jefe de la sección de participa de su ambiente cultural, y entra en contacto con Rey

10
 SUMA 57
Febrero 2008

Pastor, quien jugará un papel importante en su vida futura. cincuenta artículos; veinticinco libros (Introduction to Inte-
Trabaja en el Laboratorio Seminario Matemático, y en pocos gral Geometry, Geometrías no euclidianas, Geometría Pro-
meses se irá haciendo patente su valía; así, a pesar de su juven- yectiva, Geometría Espinorial, Integral Geometry and
tud, es vocal del Comité de Redacción de la Revista Mate- Geometric Probability…), algunos de ellos traducidos a varios
mática Hispano-Americana, junto a R. San Juan, S. Ríos, P. idiomas, y dirigió doce tesis doctorales.
Puig Adam y T. Rodríguez Bachiller.
Fue académico titular de la Academia Nacional de Ciencias
Al acabar la licenciatura había entrado como profesor en el Exactas, Físicas y Naturales y de la Academia Nacional de
Instituto Lope de Vega de Madrid pero, aconsejado por Rey Educación, ambas de Buenos Aires; académico correspon-
Pastor, deja el Instituto y se traslada a Hamburgo, pensionado diente de las Academias de Ciencias y Artes de Barcelona,
por la Junta, para trabajar con Blaschke. Bajo la dirección de este Córdoba (Argentina), Lima (Perú) y Madrid y Miembro hono-
último, y avalada por Pedro Pineda, catedrático de Geometría rario de la Academia de Ciencias de América Latina; y ocupó
diferencial, presenta la tesis en la Universidad Central, que trata la vicepresidencia y presidencia de la Unión Matemática
de Geometría integral, y en cuyo campo Santaló sería más tarde Argentina y de la Academia de Ciencias Argentina. Fue inves-
una de las mayores autoridades mundiales (según Chern fue el tido doctor honoris causa por diez universidades: Buenos
líder de la Geometría integral desde 1950). Aires, Politécnica y Autónoma de Barcelona, Sevilla… y un
largo etcétera.
Poco después estalla la guerra civil, es reclutado en la
Aviación y da clases de Matemáticas para la formación de
nuevos mandos en la Aviación republicana. Más tarde se exi-
Su producción científica abarca:
lia a Francia y es internado en un campo de concentración, de
donde se escapa, y finalmente llega a París con la ayuda de sus
Geometría integral, Geometría
dos maestros: Rey y Blaschke, así como de Cartan. Luego se diferencial, Geometría de los
embarcará en Burdeos con rumbo a Argentina, y el 12 de cuerpos convexos, Teoría de
octubre de 1939 es recibido en Buenos Aires por Balanzat, números, Probabilidades
con quien establecería una gran amistad a lo largo de su vida. geométricas y Teoría del campo
unificado; a los que habría que
Rey Pastor le había buscado el puesto de investigador princi- añadir Educación matemática.
pal en el recién creado Instituto de Matemática de la
Universidad Nacional de Litoral, en Rosario, del que es subdi-
rector bajo la dirección de Beppo Levi, y allí continuará hasta
1949. En 1948 visita con una beca Chicago y el Instituto de Aunque se ubicó definitivamente en Argentina, en donde se
Estudios Avanzados de Princeton, donde coincide con casó y tuvo tres hijas, es de destacar su añoranza por España,
Einstein, Gödel, Weyl… Aprovecha al máximo las oportuni- que se pone de manifiesto, por ejemplo, con motivo del regre-
dades que se le brindan y escribe artículos de investigación de so de Terradas de Argentina a España –de ello se hablará en
2
gran impacto. páginas posteriores–; hecho sobre el que dirá años después :
En aquellos momentos envidié su suerte. Pensé que nos
Aunque recibe varias ofertas para quedarse en EEUU, vuelve veríamos allí al cabo de poco. Pero el destino fue otro. No
a Argentina para trabajar en la Facultad Físico-Matemática de lo volví a ver… (Terradas falleció en 1950).
la Universidad Nacional de la Plata como profesor de
Matemáticas superiores. En 1957 se traslada a la Facultad de En cualquier caso, volvió algunas veces a su país para impar-
Ciencias de la Universidad de Buenos Aires, en donde realiza tir distintas conferencias y asistir a diferentes congresos.
una importante labor docente e investigadora, y en 1976, a su
jubilación, es nombrado profesor emérito; situación en la que El 22 de noviembre de 2001, a los 90 años de edad, fallecería
continúa dirigiendo trabajos de investigación y dando confe- en Argentina un hombre extraordinariamente afable, senci-
rencias y cursos a profesores. llo, caballeroso y delicado en su trato y nos distinguió a
3
todos con una amabilidad nada forzada ni artificial ; de
Su impresionante producción científica abarca –según él verdadero prestigio internacional y sin duda el matemático
mismo afirma– los siguientes campos: Geometría integral, hispano más conocido en el mundo matemático extranjero.
4
Geometría diferencial, Geometría de los cuerpos convexos, (Rey Pastor, Álvaro Ude y José M.ª Torroja) ; (…) un gran
Teoría de números, Probabilidades geométricas y Teoría del geómetra, una gran persona, un gran matemático (...) (W.
campo unificado; a los que habría que añadir Educación Benz), en quien se encuentra (…) la conjunción del genio y
matemática, así como otros diversos trabajos de divulgación el trabajador, el poeta y el científico, en un gran espíritu
5
matemática de gran interés. En total, escribió casi doscientos humano inigualable (…) . Así fue Luis Santaló.

11
SUMA 57
Febrero 2008

Ernesto Corominas Vigneaux nace en Barcelona en 1913, en exilia a París y trabaja con Lebesgue en el Instituto Henri
cuya Universidad estudia la licenciatura en Matemáticas y la Poincaré. Luego contacta con Rey Pastor, y se embarca hacia
carrera de Arquitectura. Al acabar los estudios comienza la Argentina en un accidentado viaje que dura más de un año,
guerra civil y se incorpora como oficial de zapadores el para llegar al fin a Buenos Aires en 1942. Con la ayuda de su
Ejército republicano; motivo por el cual tiene que exiliarse al maestro se le nombra profesor de Análisis matemático y
acabar la contienda. Pasa primero a Francia, luego a Chile y Geometría descriptiva de la Facultad de Ingeniería de la
más tarde, en 1941, a Argentina. Allí es contratado como pro- Universidad Nacional de Cuyo, con sede en San Juan, en donde
fesor de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad realiza una meritoria labor, que es resaltada en la Revista de la
Nacional de Cuyo, con sede en Mendoza, de reciente crea- Unión Matemática Argentina. En esos años escribe algunos
ción, en donde da clase de Estadística. artículos en dicha publicación y en la Revista de Matemáticas
y Física Teórica de la Universidad Nacional de Tucumán; así
De 1941 a 1946 permanece en Mendoza, y luego se incorpora como varios libros, el más interesante de los cuales probable-
durante un año al Instituto de Matemática de Rosario. A con- mente sea Introducción al Álgebra vectorial (1945).
tinuación es contratado como attaché de recherches en el
CNRS de Francia y pasa a trabajar en París con A. Denjoy, En 1949 se traslada a la ciudad de La Plata para trabajar en la
quien le dirige la tesis, que trata de teoría de la derivación y Facultad de Ciencias Fisicomatemáticas de su Universidad, en
conjuntos ordenados. Más tarde, está un año en la Fundación donde imparte los dos cursos de Introducción a la
Guggenheim en el Instituto de Estudios Avanzados de Matemática Superior (doctorado en Matemáticas) que des-
Princeton (1958) y luego se traslada a Venezuela, en donde arrolla con gran competencia. Permanece allí siete años y
trabaja cinco años como profesor de la Universidad Central de escribe en ese periodo, en colaboración con Rey Pastor y
6
Caracas . En 1964 se le nombra profesor de la Facultad de César Trejo, su obra más importante: Análisis matemático I,
Ciencias de la Universidad de Lyon, en cuyo destino perma- II y III; texto y a su vez enciclopedia en el que se trata todo el
nece como profesor emérito después de su jubilación en 1982; Análisis matemático, clásico y moderno, desde una perspecti-
y acaba sus días en esa misma ciudad en 1992. va muy actual. También durante ese tiempo tiene una desta-
cada participación con la Revista de la UMA, y de 1953 a 1956
Corominas colabora activamente en el seno de la Unión es secretario de la Unión Matemática Argentina.
Matemática Argentina, y su labor en Venezuela y Argentina, y
también en la Universidad de Lyon, es pionera en algunos En 1956 regresa a España y se presenta a diversas oposiciones.
aspectos. Su obra, no muy extensa, versa principalmente En 1958 es catedrático de la Universidad de Murcia de Análisis
sobre conjuntos ordenados y teoría de la derivación, y com- matemático I y II para desempeñar Matemáticas especiales;
7
pleta en cierta medida la debida a su maestro Denjoy . poco después es catedrático de Análisis matemático I y II de la
Universidad de Zaragoza y, finalmente, catedrático de la
Me ocuparé a continuación del último en llegar a Argentina, Escuela Superior de Arquitectura de Barcelona, hasta su jubi-
bajo el patrocinio de Rey Pastor, de aquel grupo de jóvenes lación en 1970. Fallece en la Ciudad Condal en 1986.
8
matemáticos al que me referí con anterioridad .
En este entusiasta profesor habría que resaltar, a modo de
Pedro Pi Calleja nace en Barcelona en 1907, y estudia resumen, no solo su faceta de matemático profundo, sus cola-
Ciencias Matemáticas y Arquitectura en su ciudad natal. A boraciones con distintas instituciones o su presencia en pres-
continuación marcha a la Universidad de Berlín, en donde per- tigiosos foros científicos (por ejemplo, desde 1974 era acadé-
manece los años 1933-1935 con una beca de la JAE, y recibe mico correspondiente de la Real Academia de Ciencias de
cursos de matemáticas de Schur y Bierberbach y cursos de Madrid). También son de subrayar sus excelentes dotes didác-
arquitectura en la Technische Hochschule. Regresa a España, ticas, de las que dejó constancia tanto en sus clases como en
presenta su tesis doctoral, titulada Convergencia de integrales sus magníficos tratados matemáticos universitarios.
dependientes de un módulo variable, que es publicada en la
Academia de Ciencias de Barcelona, y es nombrado profesor A continuación haré un breve apunte biográfico de Francisco
10
encargado de curso de la Universidad de Barcelona, y director Vera Fernández de Córdoba .
de la sección de Matemáticas del Instituto de Estudios
Catalanes a propuesta de Esteban Terradas. En estos años cola- Francisco Vera, nacido en Alconchel (Badajoz) en 1888, fue
bora con la Sociedad Matemática Española como vocal de su matemático, periodista, filósofo y, principalmente, historiador
Revista –junto a Antonio Torroja Miret– en la ciudad de de la ciencia. Pero antes de nada, posiblemente proceda seña-
9
Barcelona . lar en relación con esa última faceta, que nunca escribió sobre
historia sin contrastar la información, acudiendo constante-
Al comenzar la guerra civil coopera con el bando republicano mente a las fuentes iniciales; razón por la cual llegó a contra-
riar a otros autores no tan bien documentados [el caso más
como técnico de construcciones, y al finalizar la contienda se

12
 SUMA 57
Febrero 2008

destacado a este respecto seguramente sea el de su conferen- A su esposa, sin embargo, no le iba bien la altura de ese país,
cia, pronunciada en el Ateneo de Madrid, titulada Los histo- motivo por el cual decide marchar en 1941 a Colombia, en
riadores de la Matemática Española, como réplica al discur- donde trabaja como profesor de la Universidad Nacional y la
so de recepción de Echegaray en la Real Academia de Escuela Normal Superior, ambas de Bogotá, además de
Ciencias: De las Matemáticas puras en España (1866), en el impartir numerosos cursos y conferencias. De allí se desplaza
que este último afirmaba la inexistencia de matemáticos espa-
a Cuba, Brasil y otras naciones iberoamericanas, hasta que en
ñoles de un cierto relieve; si bien asimismo intervino en algu-
1943 se instala en Argentina, donde es recibido y ayudado por
na otra polémica desde las páginas del diario El Liberal].
Rey Pastor. Es entonces profesor de la Universidad de La Plata
y del Colegio de Estudios Superiores, y poco después profesor
de la Universidad de Buenos Aires, ciudad en que ya fija su
residencia hasta su fallecimiento en 1967.

Vera era republicano, masón,

teósofo, antifranquista y
profundamente liberal, y fue
condenado a muerte, entre otros
motivos, por haber escrito el
código criptográfico del Ejército
republicano.

Antes de su exilio Vera había sido director de Anales de la

Universidad de Madrid, y a lo largo de su vida escribe más de
treinta y cinco obras sobre Matemáticas, Historia de la
Ciencia y Filosof ía científica; labor que, como se ha dicho, se
extiende también como periodista y articulista (son de men-
cionar, por ejemplo, sus interesantes crónicas en relación con
la estancia de Einstein en Madrid en 1923 y la teoría de la rela-
tividad); además de como divulgador científico y excelente
conferenciante. De su inmensa producción científica destaca-
ré lo que me parecen sus cuatro contribuciones más destaca-
bles: su tesis, debidamente argumentada, de la existencia de
matemáticos españoles de algún relieve a lo largo de la histo-
ria; el haber descubierto que Fibonacci podría haber copiado
diversas ideas y ejemplos del judío catalán Savasorda; la luci-
dez con que vislumbró la importancia futura de la Topología
Historia de la Matemática en España, de Francisco Vera –materia que sólo desde 1942 había tomado carta de natura-
leza– al incluir un capítulo sobre esta materia en su Breve his-
toria de la Geometría (1948); y, por último, sus excelentes tra-
tados sobre Historia de la Ciencia.
Vera era republicano, masón, teósofo, antifranquista y pro-
fundamente liberal, y fue condenado a muerte, entre otros
motivos, por haber escrito el código criptográfico del Ejército
republicano. Tenía razones por tanto para exiliarse, y así lo El exilio a otros países
hizo a finales de enero de 1939, cuando se vislumbraba clara-
Como de algún modo ya se ha dicho, la mayoría de los mate-
mente la victoria de Franco. Su primer destino, como el de
casi todos los emigrantes republicanos, fue Francia (en su máticos que emigraron a causa de la guerra civil se marchó en
caso, probablemente influyera asimismo en esta decisión el un primer momento a Francia; sin embargo, más tarde casi
hecho de haber estado trabajando en París anteriormente, de todos se trasladarían a América. De estos últimos, el exilio
1912 a 1914, en la editorial Hispano-Americana); y de allí se más importante se localizó en México y, en menor parte –si
trasladó a la República Dominicana, en algunos de cuyos bien, muy cualificado–, lo hizo en Argentina. Aunque tam-
periódicos (La Opinión, Listín Diario…) existen testimonios bién hubo algunos que se refugiaron en otros países america-
de la buena acogida que se le dispensó. nos, principalmente en la República Dominicana.

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Uno de los que se quedaron en Francia fue un interesante roamericanos más o menos democráticos impidieron la
personaje que, al menos institucionalmente, estuvo muy vin- entrada de exiliados republicanos o la limitaron a casos indi-
culado a nuestra comunidad matemática: el general Emilio viduales). No obstante, conviene precisar que la emigración a
Herrera Linares. Nacido en Granada en 1879, estuvo estre- la República Dominicana fue muchas veces pasajera, dada la
chamente ligado al inicio de la aeronáutica española; así, fue escasez de recursos del país y la consiguiente dificultad para
15
jefe del aeródromo de Cuatro Vientos y director de la encontrar trabajo .
Escuela Superior Aerotécnica, y a él se debe el proyecto e
instalación del primer túnel aerodinámico existente en Posiblemente el matemático más importante de los que se
España, en el que Juan de la Cierva estudió los rotores de sus refugiaron inicialmente en esa nación haya sido Francisco
primeros autogiros. Vera; si bien estuvo además en otros países, especialmente en
Argentina, en donde pasaría la mayor parte del exilio; razón
El general Herrera también fue miembro de la Real Academia por la cual ha sido incluido en la sección precedente. El resto
de Ciencias de Madrid, y uno de los personajes destacados de de los emigrados a la República Dominicana tienen una
nuestra vida matemática, pues ocupó una de las vicepresiden- menor proyección científica; además, en general, no destaca-
cias de la Real Sociedad Matemática Española bajo el manda- ron estrictamente en Matemáticas, sino en áreas colindantes,
to de Octavio de Toledo. [Hay por cierto un hecho curioso en como Astronomía, Topograf ía o Cartograf ía.
relación con su actividad en la Sociedad que no me resisto a
contar, y es el siguiente: en la sesión del 14 de abril de 1928,
Herrera comunica que la sección de Aeronaútica (?), a través
de los señores Herrera y Kindelán, ha puesto a disposición de
la Sociedad un globo libre para la realización de pruebas cien- El general Herrera también fue
11
tíficas ; recurso que sin duda debió de ser utilizado a suma miembro de la Real Academia de
satisfacción, puesto que en el acta del 5 de mayo de ese año se Ciencias de Madrid, y uno de los
da cuenta del cumplimiento de esa extraña actividad matemá- personajes destacados de nuestra
12
tica en estos términos : Se comunica a la Sociedad que (...) se vida matemática, pues ocupó una
realizó con toda felicidad la excursión en globo libre (…) y se de las vicepresidencias de la Real
acordó dar las gracias al coronel Kindelán y al General Sociedad Matemática Española
Director de Preparación en campaña por las facilidades que bajo el mandato de Octavio de
dieron y la acogida que dispensaron a los expedicionarios]. Toledo.
En el inicio de la guerra civil Herrera se encontraba en
Santander dictando el curso Aerodinámica y Aviación en la
Universidad Internacional de Verano, y acompañó a su rector
13
Blas Cabrera en la evacuación del personal de la misma . El más sobresaliente de esos últimos es Amós Sabrás Gurrea,
Aunque monárquico –había sido gentilhombre de cámara del nacido en Logroño en 1890 y fallecido en Santo Domingo en
rey Alfonso XIII–, permaneció fiel a la República y se incor- 1967. Sabrás fue catedrático de Matemáticas de Instituto, en
poró en los primeros meses de la contienda a su destino en Huelva, Madrid y Barcelona, siendo elegido en 1933, precisa-
Madrid. Al finalizar la guerra se exilió en París y colaboró acti- mente, presidente de la Asociación de Catedráticos de
vamente en el seno de la Unión de Intelectuales Españoles, Instituto. También fue vocal y, desde principios de 1935 hasta
con el Instituto de Estudios Hispánicos de la Sorbona, con las el comienzo de la guerra, vicepresidente de la Sociedad
14
revistas L’Espagne Républicaine e Independencia … Nombra- Matemática Española bajo la presidencia de López Soler.
do socio de honor del Ateneo Español de México, en los últi-
mos años de su vida fue jefe del Gobierno republicano en el Tuvo cierta relevancia política, pues en las elecciones munici-
exilio, y falleció en Ginebra en 1967. pales del 12 de abril del 31 que trajeron la República, fue ele-
gido concejal de Huelva, y luego alcalde de la ciudad, cargo del
Retomando el asunto planteado en esta sección, me ocuparé que dimitió para presentarse a diputado por Logroño por el
ahora de los refugiados en la República Dominicana; de los PSOE. Resultó elegido, y en 1933 cambió esa circunscripción
que hay que decir en primer lugar que la mayoría de ellos lle- por la de la provincia de Huelva.
garon en expediciones colectivas sufragadas por el Servicio de
Evacuación de Republicanos Españoles. En total, los emigra- Después de la guerra civil emigró a la República Dominicana,
dos a este país debieron ser del orden de unos cuatro mil; y trabajó como profesor de Matemáticas y de Astronomía en
número muy elevado si se tiene en cuenta que allí estaba la Universidad de Santo Domingo, y como profesor de la
implantado un régimen dictatorial, encabezado por Trujillo Escuela Superior de Peritos Contadores de esa ciudad. Fundó
(nótese a este respecto que, sin embargo, otros Gobiernos ibe- el laboratorio de Astronomía de la Universidad y desempeñó

14
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la jefatura del departamento de Astronomía y Geof ísica del conocido en el área mencionada sea el libro Lógica matemáti-
16
Instituto Geográfico de Santo Domingo . ca, escrita en colaboración con Huges Leblanc. De García
25
Bacca , nacido en Pamplona en 1901 y exiliado a Ecuador
Ese último Instituto había sido creado en 1940 por otro mate- (1939), México (1942) y Venezuela (1947), hay que destacar
mático e ingeniero militar español: Ramón Martorell Otzet, sus dos obras: Historia filosófica de las Ciencias e
también exiliado a la República Dominicana. Nacido en Introducción a la lógica matemática.
Barcelona en 1901, se dedicó principalmente a la Cartograf ía,
y falleció en México en 1967.

En la fundación del anterior Instituto colaboraron con

Martorell otros dos refugiados: el teniente coronel de Estado Además de los aproximadamente cien
Mayor Aurelio Matilla y el matemático Domingo Martínez catedráticos que se exiliaron, unos
17
Barrio . El segundo, nacido en Madrid en el año 1900, sobre- cien, que permanecieron en España,
sale principalmente en el campo de la Topograf ía; de él hay fueron sancionados o sujetos a
que decir que además de su trabajo en el Instituto Geográfico, proceso. Parece evidente que la
fue profesor de Matemáticas en la Escuela Superior de Universidad española quedó en una
18
Ciencias Económicas de Santo Domingo . triste situación y que el Gobierno
franquista hubo de acometer una
El último matemático emigrado a la República Dominicana importante reorganización, que
del que tengo referencia es José V. Montesino Samperio, asimismo se extendió a la mayoría de
quien más tarde se trasladaría a Venezuela. Nacido en León en
19 las restantes instituciones científicas.
1913, trabajó fundamentalmente en Estadística .

A Venezuela también se exilió Ángel Palacio Gros, matemá-

tico y profesor de la Universidad de Madrid, que fue conde-
nado a varios años de cárcel por su participación militar al Termina la guerra
lado de la República. Al salir de la cárcel se marchó de España
y fue profesor del Instituto Pedagógico Nacional y de la Pedro Sáinz Rodríguez había sido nombrado ministro de
Universidad Central de Caracas, así como de la Universidad Instrucción Pública del primer Gobierno franquista el 17 de
de Maracaibo. En su destierro escribió tres libros: Apuntes de febrero de 1938, y duró en el cargo hasta el 28 de abril de 1939,
geometría del espacio y teoría geométrica de las secciones cóni- en que se hizo cargo del Ministerio Tomás Domínguez
cas, Curvas planas y alabeadas y teoría de superficies y Arévalo, conde de Rodezno, a la sazón primer ministro de
Ejercicios de Análisis matemático; y los últimos años de su Justicia de Franco. Al abandonar este último el Ministerio, el
20
vida los pasó en España . 9 de agosto de 1939, el departamento pasó a llamarse
Ministerio de Educación Nacional, y se puso a su frente, hasta
En otras naciones americanas distintas a las ya mencionadas el 19 de julio de 1951, a José Ibáñez Martín, catedrático de
no es fácil hallar matemáticos exiliados de la guerra civil. Tan Geograf ía e Historia del Instituto San Isidro de Madrid.
21
solo he encontrado a estos dos: José Riera Fernández , naci-
do en la ciudad asturiana de Langreo en 1911 y emigrado a Sobre las normas legislativas al finalizar la guerra civil y
Bolivia, en donde fue profesor de la Universidad de San durante los meses posteriores, referentes a los profesores, hay
Andrés, en La Paz, y director del Instituto Español de Bolivia; que decir que en el BOE del 3 de febrero de 1939 se disponía
y el también ingeniero Juan Serrallos, nacido en 1896 en que los funcionarios del Ministerio de Instrucción Pública
22
Barcelona y exiliado a Estados Unidos . que hasta ese momento no hubieran pedido su rehabilitación
o no se hubiera resuelto su expediente, debían pedir su rein-
Por último, acaso debieran citarse asimismo dos personajes greso antes del 18 de julio. Además, por Órdenes del 4 y 22 de
muy significados en el campo de la Filosof ía: José Ferrater febrero de 1939, no pocos catedráticos que se habían ido exi-
Mora y Juan David García Bacca, por sus aportaciones a la liando desde el comienzo de la guerra son expulsados, y tam-
Lógica matemática, disciplina sobre la que prácticamente no bién un número respetable de aquellos que se quedaron en
se había investigado en España desde su introducción por España son encarcelados o apartados del servicio. A todo ello
23
Ventura Reyes y Prósper a finales del siglo XIX . El primero habría que añadir que en la Ley de 10 de febrero y en la Orden
de los anteriores, nacido en Barcelona en 1912, finalizaba sus de 18 de marzo de 1939 se especificaba igualmente que la
estudios de Filosof ía cuando estalló la guerra civil, y se exilió pasividad de quienes no hubieran colaborado con la victoria
24
a Cuba (1939), Chile (1941) y Estados Unidos (1947) , y final- de los vencedores, pudiéndolo haber hecho, sobrellevaría una
mente regresó a nuestro país; posiblemente su trabajo más sanción grave; asimismo, el ministro de Instrucción Pública

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creaba la Comisión Superior Dictaminadora de los expedien- investigación. Así por ejemplo, en la Facultad de Ciencias de la
tes de depuración y se precisaba el procedimiento para tales Universidad de Madrid, en donde residía en mayor medida su
depuraciones. poder científico, el único catedrático de la sección de Físicas
que colaboró con los vencedores fue Julio Palacios Martínez
Para hacerse una idea de cuál era el número de catedráticos (1891-1970), catedrático de Termología. De los cuatro restan-
existentes al finalizar el conflicto armado, habría que tener en tes de esta sección, Blas Cabrera, Arturo Duperier, Miguel
cuenta entonces, además de los aproximadamente cien que se Catalán y Esteban Terradas, los dos primeros se habían exilia-
exiliaron, cuántos fueron separados de su cátedra. Según do y fueron expulsados, Catalán colaboró con el bando nacio-
manifiesta el doctor José Puche Álvarez –catedrático de Me- nal en tareas humanitarias, pero al final de la guerra fue san-
dicina y exrector de la Universidad de Valencia, separado del cionado, y Terradas se encontraba fuera de España y, como
servicio el 29 de junio de 1939 y emigrado a México– en una enseguida se verá, tardaría alrededor de un año en volver.
26
carta a Ernesto García Camarero , del total de catedráticos de
Universidad que permanecieron en España, unos cien fueron
sancionados o sujetos a proceso; y estas cifras no varían sus-
27
tancialmente en otros autores. Así, por ejemplo, J. Claret
considera que los aproximadamente 600 catedráticos (entre El general Herrera también fue
activos y excedentes) que había antes de la contienda se que- miembro de la Real Academia
daron en 1940 en poco más de 380; y el mismo autor recoge de Ciencias de Madrid, y uno de
28
otras opiniones parecidas como las de S. Riera quien afir- los personajes destacados de
29
ma que de 575 catedráticos en activo y 40 excedentes en nuestra vida matemática, pues
1935 se habría pasado, respectivamente, a 319 y 20 en 1940; ocupó una de las
etc. V. Lloréns, por su parte, estima que la cifra inicial estaría vicepresidencias de la Real
comprendida entre 500 y 575, y que después de la guerra, a Sociedad Matemática Española
consecuencia de la emigración, la jubilación, la destitución o bajo el mandato de Octavio de
la defunción por muerte natural o violenta –especialmente
Toledo.
significativos son los fusilamientos de los rectores de Oviedo:
Leopoldo Alas (hijo de Clarín) y de Granada: Salvador Vila-,
30
la cantidad se habría reducido aproximadamente a la mitad .

En cualquier caso, parece evidente que la Universidad espa- Entre los matemáticos, sin embargo, la represión y sus efectos
ñola quedó en una triste situación y que el Gobierno fran- derivados en las instituciones correspondientes no fueron tan
quista hubo de acometer una importante reorganización, que importantes; acaso porque la mayoría de sus personajes más
asimismo se extendió a la mayoría de las restantes institucio- ilustres, al menos en la Universidad de Madrid, no parece que
nes científicas. se significara social ni políticamente. Pero comencemos
recordando quiénes eran los catedráticos de la sección de
32
Por si fuera poco lo anterior, hay que añadir a todo ello que Matemáticas de su Facultad de Ciencias : Faustino Archilla y
además pudo adoptarse alguna otra medida represiva particu- Salido, Geometría de la posición; José Gabriel Álvarez Ude,
lar contra aquellos profesores que estuvieran sometidos a sos- Geometría descriptiva; Sixto Cámara Tecedor, Geometría
pecha. Tal es, por ejemplo, la decisión de la primera Junta de analítica; Daniel Marín Toyos, Análisis matemático 3º: Ecua-
Gobierno de la Universidad de Madrid, que después de felici- ciones diferenciales), José Barinaga Mata (Análisis matemáti-
tar al Ejército Nacional y a su Invicto Caudillo y recordar a los co), Pedro Carrasco Garrorena (Física matemática), Francisco
docentes fallecidos durante la dominación del Gobierno rojo, de Asís Navarro Borrás (Mecánica racional), Pedro Pineda
acuerda la reducción del cincuenta por ciento de los haberes Gutiérrez (Geometría diferencial), Olegario Fernández Baños
31
a los profesores con expedientes abiertos aún sin resolver . (Estadística matemática), Tomás Rodríguez Bachiller (Aná-
(He de advertir que buena parte de los datos de los que dis- lisis matemático 4º: Teoría de las funciones) y Ricardo San
pongo se refieren a la Universidad Central y otras institucio- Juan Llosá (Análisis matemático).
nes madrileñas –por otro lado, las de mayor significación
científica de España–; razón por la cual es probable que las De todos los anteriores sólo se exilió Pedro Carrasco, que fue
omisiones que pudieran producirse en el futuro afecten prio- separado del servicio, junto a Honorato de Castro –y otros
ritariamente a universidades y corporaciones correspondien- científicos como Moles o Bolívar– el 4 de febrero de 1939
tes a otras provincias.) (BOE del 7 de febrero), por los antecedentes completamente
desfavorables y en abierta oposición con el espíritu de la nueva
33
En algunas áreas, como Físicas, tales medidas produjeron un España de los encausados ; y expulsado, en compañía de
cambio radical en las instituciones dedicadas a su estudio e Honorato de Castro y otros profesores universitarios el 29 de

16
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41
julio de 1939, por su desafección al nuevo Régimen y por la te . Había sido por ejemplo secretario general de la Univer-
pertinaz política antinacional y antiespañola en los tiempos sidad de Madrid desde septiembre de 1938, y profesor del
34 42
precedentes al Glorioso Alzamiento Nacional . Instituto Obrero de Madrid ; y es definido por sus acusado-
43
res como uno de los más exaltados revolucionarios . En con-
Respecto de los catedráticos universitarios de Matemáticas secuencia, fue separado del servicio durante una larga etapa,
que se quedaron en España, el que considero caso más signi- por lo que tuvo que volver (…) a sus 49 años (…) a ganarse la
ficativo de los que tengo información es el de Roberto Araujo vida en las academias preparatorias de su juventud, y así
44
García, catedrático de Análisis matemático de la Universidad durante casi siete años, hasta su rehabilitación en 1946 .
de Valencia, parece ser que comprometido con el bando repu-
35
blicano , y uno de los diecinueve profesores sancionados
–doce de ellos catedráticos– de esa Universidad. Así, aunque
el 11 de junio de 1939 la Auditoría del Ejército no encuentra
en su caso materia delictiva, el 7 de diciembre se le abre expe-
diente, y el 4 de julio de 1940 (BOE del 16 de julio) se le sepa-
36
ra del servicio y se le condena a seis años y un día de prisión
por auxilio a la rebelión y por haber ocupado el cargo de
interventor del Patronato universitario el 5 de marzo de 1938.
El juez instructor le acusa entonces de vinculación con el
Partido Radical Socialista, de colaboración con las izquierdas
en general y de ser protestante; argumentos que Araujo con-
testa desde la prisión, aduciendo que las imputaciones corres-
ponderían más bien a una apreciación puramente subjetiva
del Juzgado. En definitiva, no se le reintegrará al servicio hasta José Barinaga Mata
37
el 17 de julio de 1946, una vez finalizada la condena .

Araujo, que había trabajado con Rey Pastor en la Laboratorio Menos grave, sin duda, fue la sanción impuesta al madrileño
Seminario Matemático, es una de las jóvenes promesas de José Gabriel Álvarez Ude (1876-1958), catedrático de Geo-
38
nuestra vida matemática cuando nace la Sociedad Matemá- metría descriptiva de la Universidad Central, acusado de
tica Española (escribe, por ejemplo, “Homología de superfi- haber sido de izquierdas en su juventud y amigo íntimo de
39
cies de segundo orden” en el primer número de su Revista ). Ángel Ossorio y Gallardo (que había pasado del conservadu-
Había obtenido la cátedra del Instituto de Granada en 1921,
antes de ser catedrático de la Universidad de Valencia y, desde
ésta, se trasladó a la Universidad de Zaragoza una vez termi-
nada la sanción impuesta al acabar la guerra. Sobre él se pro- Barinaga pasó toda la guerra civil
nunciaba entrañablemente el Prof. J. J. Etayo, alumno suyo en en Madrid; fiel al Gobierno de la
Zaragoza:
República, fue separado del
¡Qué excelente persona D. Roberto! Hombre bondadoso, servicio y su expediente se
entregado a nosotros y a quien seguramente no supimos
aprovechar bien. Todavía, de tarde en tarde, me obsequia-
trasladó al Tribunal de
ba con su visita en la Facultad de Madrid, a donde solía ir Responsabilidades Políticas
para hurgar con su inveterada costumbre en la biblioteca, y correspondiente. Había sido
así se me une ahora al primero este último recuerdo, en secretario general de la
que le veo viejecito, fallándole a veces la memoria, pero
interesado y cariñoso y con una suerte de halo poético que Universidad de Madrid desde
nunca le faltó. Algún día desapareció suavemente, como septiembre de 1938, y profesor del
siempre hacía, y nadie supimos cuándo ni cómo. Quede
40
Instituto Obrero de Madrid; sus
para él este recuerdo profundo y vivamente afectuoso . acusadores lo definen como uno
de los más exaltados
Otro de los relevantes matemáticos sancionados es el valliso- revolucionarios.
letano José Barinaga Mata (1890-1965), sucesor de Octavio de
Toledo, desde 1931, en la cátedra de Análisis matemático de la
Universidad Central. Barinaga, de quien ya se ha hablado,
pasó toda la guerra en Madrid; fiel al Gobierno de la rismo monárquico a embajador durante la República, exiliado
República fue separado del servicio y su expediente se trasla- a Argentina). Sin embargo, aunque el imputado negó los car-
dó al Tribunal de Responsabilidades Políticas correspondien- gos, se definió como persona de derechas y católica y refirió la

17
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relación con Ossorio a los años de su juventud anteriores a la Igualmente cambió la presidencia de la Sociedad Matemática
Dictadura de Primo de Rivera en que ambos militaban en el Española, que Barinaga había ocupado durante la contienda,
Partido de Acción Social Popular, se le suspendió de empleo y y pasó a dirigirla López Soler, su anterior presidente. Por cier-
no se le reintegró a su cátedra hasta el 14 de mayo de 1941 (la to, probablemente sea oportuno hacer constar a este respec-
45
resolución apareció en el BOE del 14 de junio ). to, tanto el acierto y el pundonor de Barinaga en el manteni-
miento de la Sociedad mientras duró la guerra, como la
Álvarez Ude, la mejor cabeza matemática que en mi larga importante labor desarrollada por López Soler, que supo con-
46
vida he conocido , según dice Rey Pastor, tiene sin embargo ducirla en épocas políticamente muy inestables: antes y des-
una escasa producción científica, debida al horror a la publi- pués del conflicto armado, defendiendo la institución por
50
cidad y a sus impresionantes rigor matemático y sentido auto- encima de los serios avatares que acontecieron .
crítico, que le hacen infravalorar la originalidad y profundi-
47
dad de sus ideas . Aunque no tiene reparos algunas veces en
expresar sus ideas fuera de España, y así, por ejemplo, corrige
en una ocasión la solución que Barisien dio a un problema de
Brocard (finalmente ambos, aconsejados por Retali, más tarde
La Junta de Apliación de Estudios,
48
le darían la razón ). fue disuelta el 24 de noviembre de
1939 . Su heredero: el Consejo
Pero volvamos ahora a un planteamiento más general, no cir- Superior de Investigaciones
cunscrito exclusivamente al caso de los matemáticos. El Científicas fue creado el mismo
ministro Sáinz Rodríguez nombra decano de la Facultad de día. Para su Instituto Jorge Juan
Ciencias de Madrid al catedrático de la sección de Químicas de Matemáticas, fue nombrado
Luis Bermejo Vida (antes de la guerra, como se ha visto, el Rey Pastor como director y José
cargo lo ocupaba Pedro Carrasco). Y los cambios afectarán a María Orts Aracil, catedrático de
la mayoría de las Facultades y Universidades; como la la Universidad de Barcelona,
Universidad Central, cuyo rector José Gaos –autor del térmi-
como vicedirector.
no transterrados para designar a lo exiliados–, emigrado a
México, fue sustituido por Pío Zabala.

En fin, no me entretendré más en las variaciones en la cúpula

de buena parte de las instituciones científicas, y me referiré Pese a todo lo dicho anteriormente, a lo que quizás cabría
únicamente a dos de las mencionadas en páginas anteriores: agregar algún otro caso de importancia menor, como el de
la Escuela Superior Aerotécnica, regida por el luego exiliado Ricardo San Juan, catedrático de Análisis matemático de la
Emilio Herrera -y cuyo profesorado, generalmente compues- Universidad Central, a quien el Tribunal de Responsabilidades
to por militares de Aviación, había quedado casi en su totali- Políticas de Madrid le abre expediente, que finalmente se
dad fiel a la República-, y para cuya dirección fue nombrado el resuelve con sentencia absolutoria; creo poder afirmar a
general Vicente Roa Miranda; y la Real Academia de Ciencias, modo de resumen que, salvo algunas situaciones aisladas, la
de la que fue despojado de su puesto el anterior presidente, gran mayoría de los catedráticos universitarios de Matemá-
Blas Cabrera y, junto a él, otros académicos, como Emilio ticas que permaneció en España pasaría su depuración sin
Herrera o Enrique Moles. mayores problemas. En particular, la rehabilitación fue inme-
diata para aquellos que habían sufrido sanciones republicanas
Otras corporaciones sufrieron alteraciones más profundas, o tenían un pasado conservador. Tales son los casos de Daniel
como la JAE, que el 24 de noviembre de 1939 fue disuelta y Marín Toyos, catedrático de Ecuaciones diferenciales de la
también creado su heredero: el Consejo Superior de Universidad Central, que es cesado por la República el 24 de
Investigaciones Científicas (dos días después se nombró al septiembre de 1937 y readmitido el 28 de octubre de 1939; o,
personal directivo de su Instituto Jorge Juan de Matemáticas, por ejemplo, de Pedro Pineda Gutiérrez y Sixto Cámara
con Rey Pastor como director; José María Orts Aracil, cate- Tecedor, catedráticos, respectivamente de Geometría diferen-
drático de la Universidad de Barcelona, como vicedirector; cial y Geometría analítica de esa Universidad, que son confir-
Francisco Navarro Borrás, catedrático de la Universidad mados en sus cátedras el 4 de septiembre de 1939 (BOE del 18
Central, como secretario y Ernesto de Cañedo-Argüelles, de septiembre); etc.
catedrático de la Escuela de Ingenieros de Montes de Madrid,
como vicesecretario). Asimismo, el 8 de diciembre de 1937, Terminaré este apartado haciendo una breve mención a la
fecha elegida para colocar la vida doctoral bajo los auspicios situación después de la contienda de dos ilustres personajes:
49
de la Inmaculada Concepción de María , fue vuelto a crear Esteban Terradas y Julio Rey Pastor, que pasaron la guerra
por el Gobierno de Burgos el Instituto de España. civil en Argentina.

18
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Ambos profesores, como era preceptivo, elevaron los corres- Nota final
pondientes escritos al ministro de Instrucción Pública, expli- Si bien no tengo suficiente información sobre la existencia de
cando su actuación durante la guerra y solicitando su reingre- reconocimientos académicos o sociales a los matemáticos exi-
so en los puestos que ocupaban anteriormente; aunque la liados, no querría terminar este trabajo sin exponer los datos
situación de ambos, a tenor de lo prescrito por la Ley de de los que dispongo relativos a varios de los personajes más
Responsabilidades Públicas, podría ser delicada, pues ninguno importantes de la emigración aquí citados. He de advertir, sin
de ellos hizo intento alguno por volver a la España Nacional embargo, que no me parece probable que todos ellos hayan
para contribuir al desarrollo del Movimiento. No obstante, recibido un merecido homenaje.
gracias en buena medida a las gestiones de Julio Palacios –que
en marzo de 1939 había sido recompensado por su actitud Diré en primer lugar que no voy a incluir los casos de Terradas
durante el conflicto armado con el vicerrectorado de la ni Rey Pastor ya que, como se ha visto, no pueden ser consi-
derados como exiliados republicanos; además, los dos regre-
Universidad de Madrid, y en julio con la vicepresidencia del
saron en plena dictadura, y se reintegraron a su vida académi-
Instituto de España; si bien en 1944 sería cesado en todos sus
ca en España con relativa normalidad.
cargos y confinado a Almansa por firmar, junto con otros inte-
lectuales, el Manifiesto de Lausanne en apoyo de Don Juan–, y Comenzaré con el físico Blas Cabrera y con alguno de los actos
a la conveniencia de su regreso para la reorganización de la en su honor de los que ha sido objeto; aunque me centraré en
vida científica, son rehabilitados sin mayores dificultades a sus aquellos –posiblemente los más emotivos– celebrados en
respectivas cátedras (en el caso de Terradas, el 3 de febrero de 53
Canarias . Así, por ejemplo, Arrecife, su ciudad natal, además
1940 se reincorpora a su cátedra de Madrid, de la que el 23 de de erigir un monumento en su memoria, puso el nombre de
septiembre de 1931 había sido desposeído por la República por Blas Cabrera Felipe a un instituto (1974); la Universidad Inter-
51
influencias de elementos políticos de extrema izquierda ). nacional de las Palmas Pérez Galdós le rindió un sentido home-
naje en el primer centenario de su nacimiento (1978); etc.
Tras una breve estancia en Madrid en 1940, Terradas se esta-
blece definitivamente en 1941 aunque, no obstante las pro- Pero acaso los acontecimientos más relevantes hayan sido los
mesas recibidas, no se le autorizaría a partir de entonces dos siguientes. El primero de ellos tuvo lugar con ocasión del
simultanear las estancias y docencia en España y Argentina. cincuenta aniversario de su muerte (1995), en cuya conmemo-
Rey Pastor, sin embargo, no se decidirá todavía a regresar, ración se realizó la exposición Blas Cabrera: vida y obra de un
pero se le permite seguir ausente hasta que finalmente vuelve científico y se celebró el Congreso Blas Cabrera: su vida, su
en 1948, a su edad de jubilación; entonces, como si no hubiera tiempo, su obra. Como fruto de esta última iniciativa, la socie-
pasado nada, pondrán a su disposición Facultades, Escuelas dad Amigos de la Cultura Científica ha editado su obra comple-
52
de Ingenieros, Instituto de Investigación, etc. . ta (alguno de sus tomos en colaboración con otras corporacio-

Albert Einstein en su visita a Madrid, es recibido por el Rey Alfonso XII.

Blas Cabrera es el segundo por la izquierda.

19
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nes canarias o la Universidad Internacional Menéndez Pelayo) y Refiriéndose ya a las personalidades matemáticas menciona-
ha propiciado la creación en Arrecife del Centro científico-cul- das en las páginas precedentes, hay que hablar en especial de
tural Blas Cabrera, auspiciado por el Cabildo de Lanzarote. Luis Santaló, quien fue objeto de numerosos reconocimien-
54
tos a lo largo de su vida. Limitándose a las distinciones efec-
El segundo homenaje al que me refería es el realizado en 2002 tuadas por instituciones españolas, son de resaltar la conce-
en La Laguna por la cátedra Blas Cabrera (creada en el año sión de la Medalla de la Universidad de Valencia (1993), la
2000 en la Universidad de La Laguna), el Instituto “Cabrera designación de Socio de Honor de la Real Sociedad Mate-
Pinto” de esa ciudad (en donde estudió nuestro protagonista), mática Española en visita que su presidente le hizo en 1999,
junto a otras instituciones. En ese acto se erigió una escultura etc.; aunque sin duda han sido las universidades y corporacio-
con su busto, se le nombró hijo adoptivo de la ciudad, se dedi- nes catalanas quines le han rendido un mayor número de
có una calle a su nombre y la cátedra constituida en su memo- homenajes. Así, por ejemplo, fue nombrado Miembro corres-
ria adoptó la decisión de organizar anualmente actividades pondiente del Instituto de Estudios Catalanes y Socio de
culturales para mantener vigentes los valores defendidos por Honor de la Sociedad Catalana de Matemáticas, ha recibido la
el padre de nuestra f ísica. Medalla Narcis Monturiol a la Ciencia y Tecnología y la Cruz
de San Jordi (ambas de la Generalitat de Catalunya), ha sido
Otro de los personajes no exactamente matemático, pero que creada una cátedra con su nombre en la Universitat de
mantuvo una estrecha relación con nuestra vida matemática, Girona…
el general Emilio Herrera, también recibió un reconocimiento
público de Granada, su ciudad natal, que se encargó de la repa- En cualquier caso, posiblemente los dos galardones más impor-
triación y sepelio de sus restos mortales y le nombró Hijo tantes recibidos por Santaló sean el Premio Príncipe de
Predilecto de la ciudad. Asimismo, para dar a conocer tanto su Asturias de Investigación Científica (1983) y la Encomienda de
persona como su obra, en 1994, se constituyó la Fundación la Orden de Alfonso X el Sabio, otorgada por el Rey Juan Carlos
Emilio Herrera Linares, hoy consolidada gracias a la ayuda y entregada por el embajador de España en Argentina en 1996.
prestada por la Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Aeronáuticos de la Universidad Politécnica de Madrid, el Del resto de los matemáticos exiliados a este último país no
Colegio de Ingenieros Aeronáuticos y la Fundación AENA, y tengo referencias de cierta significación, salvo del homenaje
cuyos fondos están actualmente en depósito en una exposición realizado a todos ellos en el seno de las XI Jornadas sobre el
ubicada en la biblioteca de la citada Escuela de Ingenieros. aprendizaje y la enseñanza de las Matemáticas, que convoca-

Luis Santaló

20
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das por la Federación Española de Sociedades de Profesores de sidad, Carlos Berzosa, quien puso como ejemplo de eminen-
Matemáticas se celebraron en el año 2003 en las Palmas de tes exiliados a Pedro Carrasco, catedrático de Física
Gran Canaria. En dicho congreso se inauguró una escultura Matemática, junto a otros catedráticos.
matemática denominada “Esponja de Menger” erigida en su
honor en el Museo Elder de la Ciencia y la Tecnología de aque- Volviendo al terreno de las matemáticas, y con independencia
lla ciudad, y se escribió un libro en su reconocimiento, titula- del desgarro humano sufrido por sus exiliados y represaliados,
do Argentina, España y las Matemáticas, en el que figuran dis- quisiera concluir subrayando que la guerra y sus años poste-
tintos artículos dedicados a Santaló, Pi Calleja, Balanzat… riores trajeron consigo una ralentización, si no paralización,
de la vida matemática española; mientras que, como ya se ha
Para finalizar, me referiré a los refugiados en México, a todos dicho, en los primeros años de la década de los treinta se había
los cuales -matemáticos y no matemáticos-, junto a la figura acortado en buena medida nuestro retraso secular. Ese parón,
del presidente Lázaro Cárdenas, se les rindió un homenaje que equivale a retroceso, supuso el tener prácticamente que
académico en la Universidad Complutense de Madrid el 3 de volver a empezar de nuevo, como otras tantas veces sucedió
55
octubre de 2005 . El acto, que marca un buen camino en la antes en la historia de España.
recuperación de la memoria histórica, estuvo presidido por la
ministra de Cultura, Carmen Calvo, y el rector de esa univer-

NOTAS

1 Los datos han sido tomados principalmente de ALSINA, C.: 13 SÁNCHEZ RON, J. M.: Cincel, martillo y …, op. cit., pp. 312-
Lluis A. Santaló: la lección de su vida, un recuerdo para siempre 314.
(Discurso pronunciado en el Acto de Homenaje a la Memoria 14 RISCO, A.: “Las revistas culturales y literarias de los exiliados
de D. Luis A. Santaló). Madrid, Real Academia de Ciencias
españoles en Francia”, en ABELLÁN J. L. (dir.): El exilio español
Exactas, Físicas y Naturales, 20 de Mayo de 2002; BIRMAN, G.
en 1939, Tomo 3. Madrid, Taurus, 1976, pp. 121-124.
S.: “Luis A. Santaló en Argentina”, La Gaceta de la Real Sociedad
Matemática Española, Vol. 7, nº 2 (2004), pp. 567-578; ETAYO, 15 LLORÉNS, V.: “La emigración republicana …”, op. cit., pp. 152-153.
J. J.: “Desde esta orilla (A la memoria del Profesor Santaló)”,
16 SÁENZ DE LA CALZADA, C.: “Educación y Pedagogía …”, op.
Boletín de la Sociedad “Puig Adam” de Profesores de
Matemáticas, nº 61 (2002), pp. 16-21; REVENTÓS, A.: “Lluis cit., pág. 264.
Antoni Santaló y Sors”, La Gaceta de la Real Sociedad 17 LLORÉNS, V.: “La emigración republicana …”, op. cit., pág. 156.
Matemática Española, Vol. 5, nº 1 (2002), pp. 73-106.
18 SÁENZ DE LA CALZADA, C.: “Educación y Pedagogía …”, op.
2 Citado en ETAYO, J. J.: “Desde esta orilla …”, op. cit., pág. 16.
cit., pág. 263.
3 ETAYO, J. J.: “Desde esta orilla …”, op. cit., pág. 20. 19 GARCÍA CAMARERO, E.: “La ciencia española …”, op. cit.,
4 Citado en ETAYO, J. J.: “Desde esta orilla …”, op. cit., pág. 20. pág. 236.
5 BIRMAN, G. S.: “Luis A. Santaló …”, op. cit., pp. 573-574. 20 SÁENZ DE LA CALZADA, C.: “Educación y Pedagogía …”, op.
cit., pp. 269-270.
6 GARCÍA CAMARERO, E.: “La ciencia española …”, op. cit., pág.
21 ibídem, pág. 271; GARCÍA CAMARERO, E.: “La ciencia espa-
222.
ñola …”, op. cit., pág. 238.
7 SANTALÓ, L. A.: “Ernest Corominas (1913-1992)”, Revista de la
22 ibídem, pág. 239.
Unión Matemática Argentina, Vol. 38, nº 1-2 (1992), pp. 157-158.
8 Los datos los he tomado fundamentalmente de GARCÍA 23 PERALTA, J.: La matemática española y … , op. cit., pp. 106 y
CAMARERO, E.: “La ciencia española …”, op. cit., pp. 191-243; 118.
Revista de la Unión Matemática Argentina, “Necrológicas: 24 GARCÍA CAMARERO, E.: “La ciencia española …”, op. cit.,
Pedro Pi Calleja (1907-1986)”, Vol. 32, nº 3 (1986), pp. 217-219. pág. 233.
9 GONZÁLEZ REDONDO, F. A.: “La vida institucional…”, op, 25 ibídem; MALAGÓN, J.: “Los historiadores y la Historia en el
cit., pág. 238. exilio”, en ABELLÁN, J. L. (dir.), El exilio español de 1939,
10 Me basaré fundamentalmente en COBOS, J.: “Francisco Vera Tomo 5. Madrid, Taurus, 1978, pág. 281.
Fernández de Córdoba. Matemático humanista (humanista 26 GARCÍA CAMARERO, E.: “La ciencia española …”, op. cit.,
matemático) extremeño”, Suma, n.º 14/15 (1998), pp. 98-100; pág. 199.
COBOS, J. y LUENGO, R. (eds.): Los historiadores de la
27 CLARET, J.: La repressió franquista …, op. cit., pág. 10.
Matemática Española, por Francisco Vera. Badajoz, FESPM
(Colección Recuperación del Patrimonio Matemático Español, 28 ibídem, pp. 372-374.
n.º 1), 2000, pp. 17-43; PELLECÍN, M.: Francisco Vera. Badajoz,
Dpto. de Publicaciones de la Diputación de Badajoz (Biograf ías 29 RIERA, S. , Història de la ciència a la Catalunya moderna.
extremeñas), 1988. Vic i Lleida, Eumo i Pagès, 2003, pág. 206.
11 Citado en PERALTA, J.: “Octavio de Toledo …”, op. cit. pág. 532. 30 LLORÉNS, V.: “La emigración republicana …”, op. cit., pág. 104.
12 ibídem. 31 ARCHIVO DE LA UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE

21
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MADRID, SG, caja 1, libro nº 19. Libro de su Junta de durante la Guerra Civil”, La Gaceta de la Real Sociedad
Gobierno, sesión de 24 de mayo de 1939. Matemática Española, Vol. 4, nº 3 (2001), pág. 680.
32 GONZÁLEZ REDONDO, F. A.: “La Matemática en el panora- 43 ARCHIVO GENERAL DE LA ADMINISTRACIÓN …, expe-
ma de la Ciencia Española, 1852-1945. (En el 150 Aniversario diente personal de José Barinaga Mata, op. cit.
del nacimiento de Santiago Ramón y Cajal y Leonardo Torres 44 AUSEJO, E.: DivulgaMAT,
Quevedo)”, La Gaceta de la Real Sociedad Matemática
http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateEspainiol
Española, Vol. 5, nº 3 (2002), pág. 808.
ak/Barinaga1.asp
33 Citado en ALTED, A.: Política del nuevo estado sobre el patri-
45 ARCHIVO GENERAL DE LA ADMINISTRACIÓN, sección
monio cultural y la educación durante la Guerra Civil. Madrid,
Educación, IDD 1.03, expediente personal de José Gabriel
Ministerio de Cultura (Dirección General de Bellas Artes y
Álvarez Ude.
Archivo; Centro Nacional de Información artística, arqueológi-
ca y etnológica), 1984, pp. 174-175. 46 Citado en PERALTA, J.: “Sobre los maestros de …” op. cit., pág. 47.
34 Citado en HORMIGÓN, M.: “Ciencia y fascismo en la pos- 47 ibídem.
guerra española”, en GONZÁLEZ DE POSADA, F.:
48 Para una mayor información sobre este problema y, más en
GONZÁLEZ REDONDO F. A. y TRUJILLO D. (eds.), Actas del
IV Simposio “Ciencia y Técnica en España de 1898 a 1945: general, sobre la figura de J. G. Álvarez Ude, puede consultarse
Cabrera, Cajal, Torres Quevedo”. Lanzarote, Academia de ANUARIO DE LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS, “Don
Ciencias e Ingenierías de Lanzarote y Amigos de la Cultura José Gabriel Álvarez Ude”. Madrid, Real Academia de Ciencias
Científica, 2004, pág. 135. Exactas Físicas y Naturales, 1953, págs. 315-324.
35 GARCÍA, S. y SALAVERT, V. LL.: “L’ocupació de la 49 Citado en SÁNCHEZ RON, J. M.: Cincel, martillo y …, op. cit.,
Universitat de València el 1939 pel quintacolumnista Manuel pág. 335. Para ampliar estos hechos pueden consultarse las
Batlle, catedràtic de Múrcia”, en Guerra Civil I:3. Catarroja, páginas 329-346, de esta misma obra.
Afers, 1986, pp. 169-176. 50 ESCRIBANO, M. C.: DivulgaMAT,
36 MANCEBO, M. F.: La Universidad de Valencia en guerra. La http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateEspainiol
FUE (1936-1939). Valencia, Ayuntamiento de Valencia, 1988, ak/JuanLopezSoler3.asp
pág. 175. 51 ARCHIVO GENERAL DE LA ADMINISTRACIÓN, sección
37 ARCHIVO GENERAL DE LA ADMINISTRACIÓN, sección Educación, IDD 1.03, caja 31/4001, expediente personal de
Educación, IDD 1.08, legajo 32/45/15046, expediente personal Esteban Terradas Illa.
de Roberto Araujo García. 52 GONZÁLEZ REDONDO, F. A.: “La reorganización de la
38 PERALTA, J.: La matemática española y … , op. cit., pág. 71. Matemática en España tras la Guerra Civil. La posibilitación del
retorno de Esteban Terradas y Julio Rey Pastor”, La Gaceta de la
39 PERALTA, J.: “La Matemática madrileña en el panorama espa- Real Sociedad Matemática Española, Vol. 5, nº 2 (2002), pág. 490.
ñol de 1800 a 1936”, en Escribano M. C. (coord.), Matemáticos
53 La mayor parte de los datos relativos a Blas Cabrera han sido
madrileños. Madrid, Anaya educación, 2000, pág. 212.
tomados de TRUJILLO, L.: “Blas Cabrera Felipe y …,” op. cit.,
40 ETAYO, J. J.: “75 años de vida …”, op. cit., pág. 41. pp. 71-73.
41 ARCHIVO GENERAL DE LA ADMINISTRACIÓN, sección 54 ALSINA, C.: “Lluis A. Santaló …, op. cit., pp. 5-6; ETAYO, J. J.:
Educación, IDD 1.03, legajo 32/45/15047, expediente personal “Desde esta orilla …”, op. cit. , pág. 21.
de José Barinaga Mata.
55 Noticia recogida en la sección de Cultura del diario El País en
42 GONZÁLEZ REDONDO, F. A.: “La actividad del Laboratorio su edición de 4 de octubre de 2005.
Seminario Matemático de la Junta para Ampliación de Estudios

22
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Febrero 2008

57 Intercambio de información secreta con la

Febrero 2008, pp. 23-29 Transformada Discreta de Fourier

Existen ocasiones donde se desea mantener secreta alguna información: transacciones bancarias, secretos militares, comercio
electrónico, etc. Pero esta información viajará probablemente por canales inseguros como Internet y podrá ser interceptada por
algún intruso no autorizado. Por lo tanto, es muy importante estudiar formas de intercambiar información de forma segura
entre dos usuarios. En este trabajo se describe una forma de transmitir información de forma segura que usa la transformada
discreta de Fourier.

Sometimes, it is necessary to keep certain information hidden: bank transactions, military secrets, electronic commerce, etc. This
information may be sent by means of insecure channels, such as the Internet, and it can be intercepted by some unauthorized per-
son. Hence, it is worth studying a way to interchange information between two users in a safe way. In this article a method to trans-
mit information safely is described, using the Fourier’s discrete transformed.

D esde que comenzaron las experiencias sobre implanta- Google, etc. En este artículo se desarrolla una de estas activi-
ción experimental del sistema ECTS en nuestra Escuela, nos dades: Intercambio de información secreta con la transfor-
planteamos qué tipo de actividades académicas dirigidas íba- mada discreta de Fourier.
mos a proponer a nuestros alumnos en clase de Matemáticas
de primer y segundo curso de Ingeniería Técnica Informática. En el momento actual viaja por Internet una gran cantidad de
No queríamos que estas actividades se redujeran a la realiza- información que, en ocasiones, debe ser secreta por motivos
ción de colecciones de problemas, sino que existieran otro de seguridad. Por lo tanto, está claro que es muy importante
tipo de actividades. Éstas no debían tener una dificultad la codificación de esta información pensando siempre en que
matemática excesiva para que el alumno pudiese trabajar de ésta puede ser interceptada por un intruso malicioso.
forma autónoma y, por otro lado, debían ser atractivas y úti-
les para el alumno. Con esto perseguimos que los alumnos
aprendan Matemáticas sabiendo para qué sirven en la vida En el momento actual viaja por
real y, concretamente, en qué áreas relacionadas con sus estu- Internet una gran cantidad de
dios se utilizan, para que así valoren más los conocimientos información que, en ocasiones,
que están adquiriendo. Con este tipo de actividades preten- debe ser secreta por motivos de
demos conseguir los siguientes objetivos: seguridad.

• Un proceso de enseñanza-aprendizaje más motivador para

los alumnos. Supongamos que tenemos una imagen digital que representa
• Integrar los contenidos matemáticos de nuestras asignatu- un punto estratégico dentro de un mapa y queremos enviarla
ras en áreas de interés para la titulación. por un canal inseguro como Internet. Podemos enviarla codi-
• Incentivar la búsqueda de información y la investigación. ficada de modo que un intruso sólo vea una imagen “extraña”

Las actividades propuestas han abordado los siguientes

temas: métodos de esteganograf ía digital, técnicas de com-
presión de imágenes digitales, métodos criptográficos, curvas Ángela Rojas Matas
de Bézier, diseño de fractales, introducción a los códigos Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales
detectores y correctores de errores, algoritmo PageRank de Universidad de Córdoba

23
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Febrero 2008

y sólo el verdadero receptor sea capaz de decodificar dicha

2 π i
imagen y recuperar la imagen original tal como era en princi-
pio. Una situación similar podemos trasladarla a un fichero de siendo ω=e N

audio, por ejemplo una grabación de voz con unas instruccio-

nes secretas se puede codificar de forma que un intruso sólo Esta transformación se puede llevar a cabo mediante un pro-
oiga algo ininteligible. ducto matricial:

A continuación se define la transformada discreta de Fourier

⎛  ⎞ ⎛ β0 ⎞ ⎛ y0 ⎞
y un par de propiedades elementales de dicha transformada. ⎜ −n k ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Veremos en este mismo apartado cómo usar esta transforma- F = ⎜ ω ⎟ ⇒ ⎜  ⎟ = F⎜  ⎟
da para codificar una imagen. La misma idea se aplicará a un ⎜⎜  ⎟⎟ ⎜β ⎟ ⎜y ⎟
⎝ ⎠n , k = 0 , 1 , …, N − 1 ⎝ N −1 ⎠ ⎝ N −1 ⎠
fichero de audio para codificarlo.

Sin embargo puede resultar mucho más interesante que la Esta matriz F es inversible y además:
información que se desea mantener secreta viaje oculta en un
fichero digital de cobertura totalmente “inocente” (una ima-
1
gen de unas vacaciones familiares en la playa, por ejemplo) F−1 = F
que no levante sospechas. Si un intruso intercepta una imagen N
de este tipo probablemente no sospeche nada y, sin embargo,
oculta en la imagen puede haber información secreta. De esto
se ocupa la esteganograf ía digital. En el siguiente apartado, se siendo F la matriz conjugada de F.
hace una introducción al método más simple y utilizado de la
esteganograf ía digital: el método del bit menos significativo. Por lo tanto, esta transformación se puede invertir y esto nos
Posteriormente se describe otro método de esteganograf ía conduce a la definición de la transformada inversa:
digital más sofisticado que el anterior, que usa la transforma-
da discreta de Fourier. 1
β = F Y ⇒ Y = F−1 β ⇒ Y = F β
N
La transformada de Fourier es una herramienta matemática
compleja y con una gran cantidad de aplicaciones en el trata-
miento de señales digitales. Sin embargo, para poder realizar siendo:
⎛ y0 ⎞ ⎛ β ⎞
la actividad aquí propuesta, sólo es necesario una breve intro- ⎜ ⎟ −1
⎜ 0 ⎟
ducción a dicha transformada. ⎜  ⎟=F ⎜  ⎟
⎜y ⎟ ⎜β ⎟
⎝ N −1 ⎠ ⎝ N −1 ⎠

Transformada Discreta de Fourier: codificación de

siendo:
un fichero de audio o una imagen ⎛  ⎞
1 ⎜ n k ⎟
F−1 = ⎜ ω ⎟
Se llama Transformada Discreta de Fourier de un vector N⎜ ⎟⎟
⎜ 
⎝ ⎠n , k = 0 , 1 , …, N − 1
Y = (y0, y1, ..., yN-1)

La transformada discreta inversa de Fourier vendrá dada por:

de N componentes al vector:
1 N −1
β = (β0, β1, ...,βN-1) ITDF [β] = Y ⇒ y k = ∑ βn ωnk k = 0, 1, … , N − 1
N n =0
obtenido de la siguiente forma:
Si Y es un vector real con N par, puede demostrarse fácil-
N −1 mente que:
TDF [ Y ] = β ⇒ βn = ∑ ω
−n k
yk
k =0
n = 0, 1, ..., N-1 1) β0 y βΜ son números reales, siendo:

M=N⁄2

24
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Febrero 2008

2) Los coeficientes:

{βM+1, βM+2, ...,βN-1}

{β , β ,, β }
'
1
'
2
'
M−1

no tienen mucho interés ya que son los complejos conjugados

y en orden inverso de los coeficientes: • Se construye el vector:

{β1, β2, ...,βM-1}

{
β ' = β0 , β1' , β'2 , , β'M −1 , βM , β'M −1 , β'M − 2 , β1' }
ya que: βM +1 = βM −1 , βM + 2 = βM − 2 , …, βN −1 = β1 • Se calcula la transformada inversa del vector anterior, obte-
niendo el vector Y’.
Como hemos dicho antes, la TDF se puede calcular mediante
un producto matricial, pero si el vector es de gran tamaño, Si oímos el vector Y’ con la orden ListPlay, el resultado será
serán muchos los cálculos necesarios. El comando Fourier de ininteligible. Sin embargo, el receptor autorizado que recibe el
Mathematica nos permite calcular rápidamente la TDF ya que vector Y’ podrá seguir los pasos inversos de los descritos ante-
aplica la llamada transformada rápida de Fourier, que es sim- riormente para lograr recolocar los coeficientes en su sitio
plemente una forma de disponer los cálculos de modo que se original. En definitiva, será capaz de recuperar el vector origi-
reducen drásticamente el número de operaciones que hay que nal . Lógicamente, no podemos proporcionar en estas páginas
efectuar. El comando InverseFourier nos devuelve la transfor- un ejemplo de codificación de un fichero de audio.
mada inversa de Fourier.
Sin embargo, esta misma idea podríamos aplicarla a una ima-
Ahora vamos a ver cómo podemos conseguir una codificación gen que queremos enviar codificada. En el ejemplo que pre-
de un fichero digital de un modo muy simple. Supongamos, sentamos a continuación, una imagen de tamaño 256X256
por ejemplo, que tenemos una grabación de audio con una fue convertida a un vector de 65536 componentes, escribien-
información secreta. Queremos codificar el fichero de audio do los niveles de gris de los píxeles uno detrás de otro. A este
de modo que si alguien no autorizado lo escucha sólo oiga vector se le aplicaron todos los pasos descritos anteriormen-
cosas ininteligibles y sólo el receptor autorizado sea capaz de te, obteniendo un vector Y’ de 65536 componentes que vol-
decodificar el fichero. vió a convertirse en matriz de tamaño 256X256. El resultado
es la imagen codificada que se muestra en la figura 1.
Una grabación de audio digital es un vector:

Y=(y0, y1, ... , yN-1)

de datos reales (supondremos que tiene un número par de

componentes, si no es así añadiremos un cero). Con la orden
ListPlay de Mathematica podemos oír la señal original alma-
cenada en dicho vector. La codificación se puede conseguir de
muchísimas formas, por ejemplo la siguiente:

• Se escriben los datos en orden inverso: .

(yN-1, ... , y1, y0)

Figura 1

• Calculamos la transformada discreta de Fourier de la lista Esta imagen viajará probablemente por un canal inseguro a
anterior, obteniendo el vector β . un usuario autorizado que, conocedor de los pasos seguidos
en su codificación, será capaz de recuperar la imagen original.
• Las componentes {β1, β2, β3,...,βM-1} se dividen en cuatro La imagen que se recupera es la representada en la figura 2.

bloques a, b, c y d que se intercambian entre sí, por ejemplo d,

c, b y a, obteniendo la lista:

25
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algoritmo de ocultación utilizado obteniendo una nueva ima-

gen que se conoce con el nombre de estego-imagen.
Comenzamos comentando en qué consiste el método estega-
nográfico más usado: el método LSB (Least Significative Bit),
o método del bit menos significativo.

Una imagen digital en escala de grises (o como decimos vul-

garmente, una imagen en blanco y negro) es una matriz de
números, donde cada número indica el nivel de gris de cada
píxel, habitualmente entre 0 (negro) y 255 (blanco). Para
almacenar un nivel de gris necesitamos 8 bits, siendo el últi-
mo bit el menos significativo. Por ejemplo, una imagen
256×256 se compone de 65536 niveles de gris. Si usamos sola-
mente el último bit, es decir, el bit menos significativo, el
número máximo de bits que se pueden ocultar en dicha ima-
gen sería: 256×256 = 65536.

Figura 2 Vamos a tomar una imagen en blanco y negro de tamaño

como imagen de cobertura. Por otro lado, supongamos que
tenemos un mensaje de texto a ocultar: mensaje = “ La crip-
Introducción a la esteganograf ía digital tograf ía…” que convertiremos a código ANSI: {76, 97, 32, …}
y que después pasaremos a binario (8 bits), obteniendo una
ristra de bits a ocultar. En nuestro ejemplo el mensaje estaba
En la sección anterior hemos visto cómo codificar una imagen compuesto por 6584 caracteres , lo que nos proporciona una
digital (o un fichero de audio). Pero si ésta es interceptada por ristra de 6584×8 = 52672 bits a ocultar.
un intruso malicioso, consciente de que se trata de una ima-
gen codificada, podría intentar decodificarla para ver qué
información se intenta ocultar. Existe otra forma de ocultar
información de modo que no levante sospechas, de esto se La esteganograf ía digital
ocupa la esteganograf ía digital. (Provos, 2003) se ocupa de la
ocultación de información que
La esteganograf ía digital (Provos, 2003) se ocupa de la ocul- se desea mantener secreta en un
tación de información que se desea mantener secreta en un objeto de cobertura “inocente”
objeto de cobertura “inocente” como puede ser una imagen como puede ser una imagen
digital o un fichero de audio. La información a ocultar puede digital o un fichero de audio.
ser de distinto tipo:

• un mensaje de texto: un usuario envía a otro unas instruc-

ciones secretas en un mensaje de texto.
• una imagen: un usuario puede enviar a otro una fotograf ía Supongamos que deseamos almacenar un bit secreto en el bit
secreta con la localización concreta de un punto estratégico menos significativo del nivel de gris de un pixel. Por ejemplo,
dentro de un mapa. si el nivel de gris es 112, que en binario es 01110000, entonces
• una grabación de audio: donde se hace una grabación de voz la forma de proceder sería como sigue:
con instrucciones secretas.
• si el bit a ocultar es 0, no hacer nada ⇒ nivel_gris_modifi-
En los tres casos, la información secreta a ocultar se converti- cado = 01110000 2) = 112
rá en una secuencia de bits: ceros y unos. Esta secuencia de
bits será almacenada en un fichero digital que nos va servir de • si el bit a ocultar es 1, modificar bit menos significativo ⇒
cobertura. nivel_gris_modificado = 01110001 2) = 113

Nos vamos a ocupar de cómo ocultar información concreta- Esto se puede implementar de una forma muy sencilla en la
mente en una imagen digital. Para ocultar la información práctica:
secreta, la imagen original será ligeramente modificada por el

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Imagen Original Estego-Imagen

Figura 3

• Si el bit a ocultar es 0 y el nivel de gris del píxel es impar vos) para ocultar información en esa misma imagen, el núme-
entonces decrementar el nivel de gris en 1. ro máximo de bits que podremos ocultar será:
• Si el bit a ocultar es 1 y el nivel de gris del píxel es par enton- 256×256×2=131072. No se recomienda usar más de dos bits,
ces aumentar el nivel de gris en 1. por el deterioro que se produce en la estego-imagen.
Una imagen en color en formato RGB (Red Green Blue), se
Razonando de esta forma se obtiene el resultado mostrado en compone de tres capas o planos de color: rojo, verde y azul.
la Figura 3. Cada capa es una imagen del mismo tamaño que la original
donde cada dato se interpreta como la cantidad de rojo, verde
En este caso hemos ido ocultando un bit en cada pixel de o azul presente en el píxel de la imagen en color. Los datos de
forma secuencial a la largo de la imagen de cobertura. Como cada capa de color ocupan un byte (8 bits): desde el 0 hasta el
vemos, no es apreciable a simple vista ninguna modificación. 255. Una imagen en color va a tener el triple de capacidad
Ése es el objetivo de la esteganograf ía, la ocultación de un para ocultar información que una imagen en blanco y negro.
mensaje secreto en una fichero digital pero de tal forma que Así, por ejemplo para una imagen en color de tamaño
no se haga patente la manipulación a la que ha sido sometido 256×256 tendríamos: 256×256×3=196608 si usamos sólo 1 bit
dicho fichero. Para recuperar el mensaje oculto bastará con de cada píxel para ocultar información secreta.
leer los píxeles de la estego-imagen de forma secuencial: si el
nivel de gris es par, el bit oculto es un cero, en caso contrario, En el ejemplo mostrado en la Figura 4 se oculta un mensaje de
el bit oculto es un uno. 79008 caracteres que equivale a 79008×8=632064 bits en los
tres planos de color usando el método LSB y el bit menos sig-
Si usamos los dos últimos bits (los dos bits menos significati- nificativo de cada píxel en las tres capas de color.

Imagen Original Estego-Imagen

Figura 4

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La información secreta a ocultar en el caso anterior era un

mensaje de texto. Pero el tipo de información puede ser de El método LSB es sencillo de implementar y muy usado en la
cualquier tipo: en todos los casos dará lugar a una cadena de práctica. Además admite múltiples variaciones: los píxeles se
bits, ceros y unos, que se almacenarán en la imagen de cober- pueden escoger de forma pseudoaleatoria, se puede cifrar
tura. En la Figura 5, tenemos a la izquierda una estego-imagen antes la información secreta a ocultar, etc.. Sin embargo, tiene
de un cuadro de Vincent Van Gogh, una imagen en color de un inconveniente importante: la estego-imagen no se debe
500×396 píxeles donde se ha ocultado una imagen en blanco alterar en absoluto porque si ésta se modifica se destruye el
y negro de tamaño 249×266 píxeles usando el bit menos sig- mensaje oculto. Si cogemos la estego-imagen y la comprimi-
nificativo. La imagen oculta extraída se presenta a la derecha mos usando el formato JPEG, aunque sea ligeramente, se des-
de la Figura 5. truye totalmente el mensaje oculto. En resumen, este método

Estego-Imagen Imagen secreta oculta

Figura 5

no es resistente a una compresión JPEG. En la siguiente sec- Si la imagen es 256×256, esta lista unidimensional tendrá
ción se describe un método esteganográfico que se basa en la 65536 datos. Este vector lo indicaremos como Y. A continua-
transformada discreta de Fourier y que tiene la ventaja de ser ción calcularemos la TDF de dicho vector, usando el coman-
resistente a ligeras compresiones JPEG. do Fourier de Mathematica, obteniendo un vector β también
con 65536 componentes complejas. Usaremos tanto la parte
real como la parte imaginaria de algunos coeficientes del vec-
tor β para ocultar los bits de la información secreta de una
Esteganograf ía digital con la Transformada
forma similar a la comentada en el método LSB.
Discreta de Fourier
Supongamos que una de las componentes de β es el número
Ahora vamos a usar una idea diferente, vamos a aplicar una complejo a+bi, tanto en la parte real como en la imaginaria
transformada discreta, por ejemplo la transformada de ocultaremos un bit. Nos fijaremos en la parte real (igual se
Fourier (Alturki, 2001), y a continuación vamos a manipular razona con la parte imaginaria) que hemos llamado a. Se cal-
los coeficientes de la transformada para ocultar la informa- culan los números:
ción secreta. Resumiendo, los cambios se van a efectuar en el
dominio de la transformada. Por supuesto, se pueden usar
otras transformadas: la transformada discreta del coseno, la ⎧1 a >= 0
⎪ ⎡ ⎡ a ⎤⎤
transformada wavelet de Haar, etc.. La ventaja de este nuevo signo = ⎨ q = Abs ⎢Round ⎢ ⎥ ⎥
método es que la estego-imagen es resistente a ligeras com- ⎪ -1 a < 0 ⎣ ⎣ Δ ⎦⎦
presiones JPEG, es decir, que a pesar de la pérdida de infor- ⎩
mación que supone una compresión JPEG, la información
secreta se puede recuperar. donde Δ es una constante fija, Abs es la función valor absolu-
to y Round es la función que nos devuelve el entero más cer-
Para ello, la imagen de entrada se convertirá en una lista 1D. cano. En la paridad de q es donde se guarda el bit secreto,

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igual que con el método LSB, es decir, lo haremos par si el bit Razonando de esta forma, se irán modificando los coeficien-
que toca ocultar es un cero y lo haremos impar si el bit que tes del vector β, obteniendo otro vector distinto β’, donde se
toca ocultar es un uno. Después de esto el valor de q modifi- habrán ocultado los bits secretos. No hemos usado todas las
cado, lo indicamos por q’ . Entonces calculamos: componentes de para ocultar bits sino sólo los coeficientes

a’ = signo · q’ · Δ {β1, β2, ...,βM-1}

Lógicamente no se obtiene exactamente el número original a.
De la misma forma se modifica la parte imaginaria b para siendo M = N/2.
ocultar otro bit de información obteniendo b’. Después de la
ocultación de los dos bits, la componente de Fourier que ori- A continuación, se calcula la transformada inversa de Fourier.
ginalmente era a+bi será sustituida por a’+b’i. Lógicamente no se recupera el vector Y original, sino otro
vector Y’. Este vector Y’ se volverá a escribir en formato matri-
cial, obteniendo la estego-imagen.
La ventaja de este nuevo método es
que la estego-imagen es resistente a En la Figura 6 mostramos la imagen original y la estego-ima-
ligeras compresiones JPEG, es decir, gen creada usando el método de la transformada discreta de
que a pesar de la pérdida de Fourier. Hemos usado una imagen en blanco y negro de tama-
información que supone una ño 256×256 como imagen de cobertura donde hemos oculta-
do un mensaje compuesto por 6584 caracteres. En este caso,
compresión JPEG, la información
la ventaja frente al método LSB es que, si la estego-imagen se
secreta se puede recuperar.
comprime ligeramente, se puede seguir recuperando el men-
saje oculto. Por supuesto, el método descrito en esta sección
admite multitud de variaciones.

Imagen Original Estego-Imagen

Figura 6

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALTURKI, F., MERSEREAU, R. (2001): “Secure blind image stegano- PROVOS, N. (2003): “Hide and Seek: An Introduction to
graphic technique using discrete Fourier transformation”. Steganography”. IEEE Security & Privacy. IEEE Computer
Proceedings of 2001 International Conference on Image Society, June 2003, pp. 32-44.
Processing. Greece, pp. 542-545.

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Libros recibidos

ANÁLISIS CIENTIMÉTRICO, CONCEPTUAL Y METODOLÓGICO

DE LAS TESIS D OCTORALES ESPAÑOLAS EN EDUCACICÓN
MATEMÁTICA (1976-1998)
Manuel Torralbo Rodríguez
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Córdoba
Córdoba, 2002
ISBN: 84-7801-638-4
375 páginas

LA GEOMETRÍA DEL AZAR.

LA CORRESPONDENCIA ENTRE: PIERRE DE FERMAT Y BLAISE PASCAL
Jesús Basulto Santos y José Antonio Camúñez Ruiz
Epistéme 5
Nivola
Madrid, 2007
ISBN: 978-84-965666-54-5
302 páginas

CIENCIA Y TEOLOGÍA
FISICA , MATEMÁTICAS Y TEOLOGÍA EN
LOS ORÍGENES DE LA CIENCIA MODERNA
José L. Montesinos
Ediciones Idea
Santa Cruz de Tenerife, 2007
ISBN: 978-84-8382-258-6
147 páginas

RUTAS MATEMÁTICAS POR VALENCIA. I DE LAS

TORRES DE LOS SERRANOS AL JARDÍN BOTÁNICO
Onofre Monzó, Luis Puig y Tomás Queralt
Universitat de València
Valencia, 2007
ISBN: 978-84-370-6665-3
27 páginas

RUTAS MATEMÁTICAS POR VALENCIA. II DE LA ESCUELA DE

MAGISTERIO “AUSIÀS MARCH” A LA CIUDAD DE LAS ARTES Y LAS
CIENCIAS
Onofre Monzó, Luis Puig y Tomás Queralt
Universitat de València
Valencia, 2007
ISBN: 978-84-370-6926-5
31 páginas

30
 57 Matemática y lenguaje
Febrero 2008, pp. 31-42 y matemática constructora de lenguaje

Con inspiración en un artículo del académico Lázaro Carreter titulado Espíritu de geometría y en una emblemática frase del
filósofo Alain sobre Geometría y Poesía, y con numerosos argumentos de matemáticos y escritores, se analiza la relación entre
Matemática y Lenguaje a través de los íntimos vínculos entre Poesía y Matemática, Literatura y Matemática, Lenguaje mate-
mático y Educación; pero sobre todo se describen, con múltiples ejemplos, la función y la misión que la Matemática cumple en
la propia construcción del lenguaje. Gran parte de este artículo es el contenido de la Lección Inaugural del Curso Académico
2005/06 impartida por el autor a los Alumnos de Bachillerato y Profesores del IES Sant Josep de Calassanç de Barcelona

This article analyzes the relation between Mathematics and Language (Poetry and Mathematics, Literature and Mathematics,
Mathematical language and Education). But it mainly describes the function and role of Mathematics in the construction of lan-
guage itself. It was inspired by Spirit of Geometry, an article written by the academic Lázaro Carreter, and by an emblematic phra-
se of the philosopher Alain about Geometry and Poetry. Most of this article is based on the Inaugural Lecture of the Academic Year
2005-2006 read by the author to both secondary school students and teachers at IES Sant Josep the Calassanç of Barcelona.

L a Geometría se nos cuela por todas las costuras del idioma. Vais paralelos Lenguaje y Geometría
Lázaro Carreter, F. Espíritu de Geometría (en EL DARDO EN LA Con un punto supremo de armonía
PALABRA). EL PAÍS, 5/12/99. Juntas están Matemática y Poesía.
Gonzalo Sánchez Vázquez. Matemática y Poesía (en el Gancho
El momento en que comienza la comprensión del número y del matemático, p.208).
idioma se caracteriza por una profunda experiencia íntima, verda-
dero despertar del yo, que de un niño hace un hombre, un miem- Algunos dicen que la ciencia matemática es prosaica
bro de una cultura. [...]. En ese momento se produce un senti- Pero nada hay tan bello como la fórmula algebraica.
miento súbito y casi metaf ísico de temor y respeto a lo que signi- Pareado anónimo.
fican profundamente las palabras “medir”, “contar”, “dibujar”, “for-
mar”.
O.Spengler. La decadencia de Occidente, Austral, cap.I.1,
pp.141–142).

La primera vez que asistí a la demostración de un teorema, sentí

que entraba en un universo perfecto y transparente; del Caos
ingresaba al Orden. Aunque no lo podía saber entonces, acababa
de descubrir el universo platónico, perfecto, incorruptible y eter-
no, ajeno a los horrores de la condición humana; e intuí que esos
Oswald Spengler 1880-1936
teoremas eran como majestuosas catedrales, bellas estatuas en
medio de las derruidas torres de mi adolescencia.
E.Sábato. El último grande de una Argentina grande. Buenos Aires
Pedro Miguel González Urbaneja
Times, July/Aug, 2005, p.11.
I.E.S "Sant Josep de Calassanç"
Barcelona

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Febrero 2008

Matemática y Lenguaje1 . la más refinada manifestación del pensamiento, para expresar

en leyes lo que percibimos del mundo natural a través de los
Al acompañar de forma paralela a toda civilización, las sentidos, y hacerlo inteligible, en un lenguaje universal, tras
Matemáticas constituyen una de las grandes manifestaciones una reversión hacia la interioridad de lo intelectual. He aquí,
del pensamiento con un desarrollo milenario estrechamente pues, para empezar una primera vinculación entre
relacionado con los grandes hitos de la Cultura. Conocida es Matemática y Lenguaje como instrumentos de expresión de
la implicación de la Matemática con las Ciencias de la elementos genuinamente humanos: las ideas, los sentimientos
Naturaleza y la Tecnología; pero sus vínculos con la Filosof ía, y las percepciones. La poesía coadyuva a conocer e interpre-
la Educación, el Lenguaje, la Poesía, la Literatura, las Artes, la tar las verdades profundas del mundo interior, la Matemática
Belleza, la Religión, la Mística, la Política, la Magia, etc., hacen con sus objetos, lenguajes y modelos coadyuva a conocer e
de ella una manifestación de la racionalidad humana que, interpretar el mundo exterior, pero en la interioridad personal
navegando a lo largo de la Historia en todos los confines del de cada sujeto que contempla el mundo con ansias de inteligi-
Pensamiento, vertebra la Cultura, desde las más remotas civi- bilidad.
lizaciones hasta la inexorable informatización del mundo
actual. Siempre que se comenta la influencia recíproca de la
Matemática con los diversos aspectos de la cultura resultan
De toda esta poliédrica dimensión cultural de la Matemática muy oportunas las reflexiones de O.Spengler –a quien cita-
vamos a tratar acerca de los vínculos de la Matemática y el mos con frecuencia–, matemático y ensayista de éxito, de los
Lenguaje, pero sobre todo de la Matemática como creadora años veinte del siglo pasado, en su libro La decadencia de
de lenguaje. Occidente (Colección Austral, Madrid, 1998) donde desarro-
lla su teoría de la Historia como una sucesión de ciclos cultu-
Ojeando y hojeando un libro del pensador y profesor de rales. Spengler escribe (pp. 144, 145):
Filosof ía francés Alain (seudónimo de Emile Chartier) titu-
lado "Charlas sobre Educación. Pedagogía infantil" El sentimiento de la forma en el escultor, pintor, poeta, y
(Losada, Madrid, 2002) encontré una afirmación muy audaz: músico es esencialmente matemático.

La matemática traspasa los linderos de la observación y del

En la Educación infantil bastaría con enseñar Geometría y análisis y, en sus momentos supremos, procede por intui-
Poesía. ción, no por abstracción. […] Bien se comprende que el
enigma del número está muy próximo al misterio de la
forma artística. El matemático genial tiene su puesto junto
a los grandes maestros del verso, de la fuga, del cincel y del
pincel, que aspiran también a comunicar, a realizar, a
revestir de símbolos ese gran orden de todas las cosas que
el hombre vulgar de cada cultura lleva consigo [...]. Así el
reino de los números es como el de las armonías, el de las
líneas y colores, una reproducción de la forma cósmica.
Por eso la voz “creador” significa en la matemática algo
más que en las simples ciencias. Newton, Gauss, Riemann
fueron de naturalezas artísticas. Léanse sus obras y se verá
que sus grandes concepciones les vinieron de repente.

De Goethe son estas profundas palabras (Spengler, 1998,

p.145):

El matemático no es perfecto sino cuando siente la belleza

de la verdad.
Emile Chartier 1868-1951

El brillante matemático K.Weierstrass escribía (Spengler,

Para muchas personas, la Poesía es la más refinada manifesta- 1998, p.145):
ción del pensamiento para expresar ideas y sentimientos, es
decir, para indagar en el mundo espiritual –intelectual y emo- Un matemático que no tenga también algo de poeta no será
cional– de la interioridad humana. Para muchos matemáti- nunca un matemático completo.
cos, la Geometría como ciencia de la forma y la extensión es

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poético es el de la Matemática». Lo mismo hace Hardy (1999,

p.85) a propósito de la belleza de ambas creaciones humanas:

Un matemático, lo mismo que un pintor o un poeta es un

constructor de modelos. Si éstos son más permanentes que
otros es porque están hechos con ideas […], y éstas enveje-
cen más lentamente que las palabras. […]. Los modelos de
un matemático, al igual que los de un pintor o un poeta
deben ser hermosos; las ideas, como los colores o las pala-
bras, deben ensamblarse de una forma armoniosa, la belle-
za es la primera señal, pues en el mundo no hay un lugar
permanente para las matemáticas feas.

Johan Wolfgan von Goethe 1749-1832

El gran poeta portugués Fernando Pessoa escribe en sus

Poesías de Álvaro de Campos2:

El binomio de Newton es tan bello como la Venus de Milo.

Lo que hay es poca gente que lo vea así.

P.Valery se explaya en “La carta al Autor” con que se abre el Fernando Pessoa 1888-1935
famoso texto de M.Ghyca, El número de oro (Poseidón,
Barcelona, 1978, p.9]:
En algunos matemáticos como los Pitagóricos –cuya doctri-
El eterno deseo de encadenar la morfología f ísica y bioló- na moral está plasmada en los Versos Dorados– (González
gica, ... a la ciencia de las formas creadas por la sensibilidad Urbaneja, 2001a), Platón, Kayyan, Luca Pacioli, Descartes,
...la Matemática que aparece o que asoma en ellas y las fór- Boole, Hamilton, Weierstrass, L.Carroll, Hausdorff,
mulas que sirven en las Artes es el tema que ha explorado Poincaré, Hardy y otros, encontramos una gran dosis de poe-
este libro. [Ghyca. El número de oro, Poseidón, Barcelona, sía; mientras que en poetas como Dante, Novalis, Goethe,
1978, pág.9], ¡Qué poema el análisis del número de oro, Φ!. Pessoa, P.Valery, R.Alberti, G.Ferrater, W.Szymborska y
otros, hallamos un complaciente acercamiento a la
Poesía y Matemática comparten no sólo la medida (en el Matemática.
caso de los versos rimados) sino en todo caso armonía,
belleza, juego, artificio y creatividad. Son elementos comunes, La Matemática constructora de Lenguaje.
plenos de analogías y paralelismos que como expresa Solà
(2005, p.64) conforman lo que podríamos llamar la topología Vamos a hablar ahora de la Matemática como creadora de
de un territorio común. Por eso muchos poetas y matemáticos lenguaje3. Parte de lo que voy a escribir sobre este tema está
han comparado la experiencia de demostrar un teorema con inspirado en un artículo del académico F.Lázaro Carreter
la de construir un poema. En ambas se puede alcanzar un su- titulado «Espíritu de geometría» (EL PAÍS, 5/12/99), que
blime estado casi místico que irradia la armonía y la belleza. pertenece a la serie “El dardo en la palabra” que comienza
En su artículo “Escriptura y Combinatòria” (BIAIX, nº1, abril con estas frases:
de 1994, p.24), el matemático y filólogo S.Serrano, especia-
lista en lingüística matemática (1992) abunda en argumentos ¿Podríamos hablar sin la Geometría? Se nos cuela por
sobre analogías entre Poesía y Matemáticas, que le permiten todas las costuras del idioma, sin casi darnos cuenta...
afirmar: «… si hay algún lenguaje comparable al lenguaje

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Así que de recta final, nada. En sentido matemático estricto

está clara la incorrección semántica, porque una recta final
sería algo tan imposible como un círculo cuadrado. Lo correc-
to sería hablar de segmento final y aún así habría que aclarar
que nos referimos a la longitud del segmento y no al número
de puntos que hay en él, infinitos como en la recta, paradojas
del infinito, con el que también se juega muy incorrectamen-
te en el lenguaje ordinario, llamando infinito a lo que conce-
bimos como muy grande o muy numeroso. A hablar, pues, de
recta final se comete un grave error de bulto: se confunde seg-
mento con recta, es decir: «se confunde el todo con la parte»
atentando contra el octavo y último axioma de Los Elementos
de Euclides. Lo mismo sucede con la expresión «cerrar el cír-
culo» frase absurda o redundante en sí misma ya que el círcu-
lo es ya una curva cerrada; si acaso habría que decir cerrar el
arco.

Errores similares se cometen al llamar redondo a lo que es cir-

cular, como por ejemplo una copa o un vaso. Más fortuna
tiene la frase «me ha salido redondo» que implícitamente
Fernando Lázaro Carreter 1923-2004
alude a la perfección mayestática de la simetría esférica como
superficie cerrada que encierra un volumen determinado con
Mencionemos algunas de esta perlas del lenguaje, frecuentes la mínima superficie, por eso cumple una función esencial en
en los medios de comunicación o en conversaciones informa- la naturaleza, que sabe muy bien optimizar los recursos.
les, en las que podremos apreciar que el mundo social y sobre
todo el universo mediático, ha entrado a saco, a veces sin nin-
gún respeto, en el santuario de Pitágoras, Platón, Euclides y
Descartes. Como dice el autor del artículo, se trata de expre-
siones geométricas que unas veces son metáforas perfecta-
mente válidas e idiomáticamente bellas pero que otras son
ridículas cornadas a la lengua y tópicos tropos geométricos
que sirven de muletillas del lenguaje. Veamos:

Girar en torno al eje. Radio de acción. Infinito.

Inconmensurable. Proyección. Espiral de violencia. Medio.
Recta final. Perspectiva. Cerrar el círculo.

La política mundial gira en torno al eje del Pentágono ameri-

cano cuyo radio de acción ha alcanzado una infinita proyec-
ción que provoca a veces una inconmensurable espiral de vio-
lencia. Esperemos que la situación en Oriente Medio entre en
una recta final dentro de una perspectiva democrática cuando
se cierre el círculo de negociaciones.

Señalemos frente a la espiral, la recta; mientras la espiral se

vuelve y revuelve sin saber hasta dónde, la recta lleva como
una sombra el adjetivo final. Cuando falta ya poco para que
algo acabe (el curso, un partido de fútbol, un proceso...), dicen
de ese algo que ha entrado en su recta final, aunque, paradóji-
camente, a veces termina en curva, como ocurre con frecuen- Primera edición en castellano de Los
Elementos de Euclides. Sevilla 1576
cia en el remate de un curso escolar o de un partido de fútbol
que suelen estar cargados de sobresaltos; y alumnos o futbo-
listas lo recorren por curvas sinusoides durante los últimos
días del curso y en prórrogas, respectivamente.

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También son muy afortunados, por su carácter descriptivo, desarrollo, curvas de crecimiento, conductas rectas o sinuosas
los términos siguientes: que determinan trayectorias rectilíneas o se salen por la tan-
gente. También hay incrementos lineales, asuntos centrales y
Conducta recta. Trayectoria rectilínea. Comportamiento situaciones puntuales que afectan, aunque uno sea un cero a
sinuoso. Salirse por la tangente. la izquierda, y de vez en cuando nuestra situación sufre un
punto de inflexión o un giro de 180º.
El Profesor A tiene una conducta muy recta lo que nos obliga
a una trayectoria escolar muy rectilínea. En cambio, el Pero la cuestión no queda aquí, porque en la vida hay situa-
Profesor B muestra un discurso muy sinuoso por eso cuando ciones semejantes que se describen como un paralelismo
le preguntamos suele salirse por la tangente. entre ellas. Incluso también hay vidas paralelas en la
Literatura clásica, como en la famosa obra de Plutarco. En
Ver las cosas bajo un prisma de..., o desde un ángulo de.... cambio otras veces, sobre todo entre algunos partidos del arco
Tener una visión poliédrica de.... Múltiple. Entorno. parlamentario, se habla de posiciones convergentes, como indi-
cando que tienden cada vez más a ser iguales –tan iguales, tan
Los prejuicios nos hacen ver las cosas bajo un prisma subjeti- iguales, que parece imponerse en la Política el Pensamiento
vo que nos condena a una sesgada percepción de la realidad único–, mientras que si las posturas son divergentes cada vez
desde un único ángulo. Debemos desarrollar una múltiple distarán más.
visión poliédrica de nuestro entorno.

Altas esferas. Sectores afectados. Segmento de jóvenes.

«Cerrar el círculo» frase absurda o
Punto de inflexión. Giro de 180º.
redundante en sí misma ya que el
Tras las decisiones políticas que se toman en las altas esferas círculo es ya una curva cerrada; si
siempre hay sectores afectados del que no se libra el segmento acaso habría que decir cerrar el arco.
de jóvenes, cuya situación experimenta un punto de inflexión
y a veces un giro de 180º.

Aunque, con alguna frecuencia, un excesivo abuso de la metá-

fora matemática conduce al ridículo cuando en alguna cam- También se indica que algo está proporcionado o dimensiona-
paña electoral se habla de «dar un giro de 360º » a tal o cual do como bien medido o ajustado para su función. Al situar la
situación. sensatez en el centro, a partir de Aristóteles, se identifica la
mitad o el medio con lo virtuoso. Y cuando se plantea resol-
Círculos de empresarios. Polígonos de desarrollo. Curvas ver algo imposible se habla de que «es tan dif ícil como la cua-
de crecimiento. dratura del círculo» –uno de los problemas históricos más
importantes de la Matemática–, interpretando de forma
El gobierno ha negociado con los círculos de empresarios nue- incorrecta esta quimera matemática, porque la cuadratura
vos polígonos de desarrollo para hacer decrecer la curva del del círculo no es que sea dif ícil, sino que simplemente es
paro. imposible. A veces, la torcida utilización del lenguaje mate-
mático alcanza el paroxismo, como cuando, según una moda
Aumento lineal. Asunto central. Situación puntual. Cero a reciente, algunos tertulianos hablan de la primera derivada o
la izquierda. la segunda derivada de esta posición, esa cuestión o aquella
situación. Aquí sencillamente no hay ninguna analogía que
La empresa ha concedido un aumento lineal a los trabajado- sugiera una inducción lingüística entre lo que se trata y el con-
res. Siendo el salario un asunto central, esperamos que sea cepto matemático que conduce a la tangente de una curva en
una situación puntual, ya que el sindicato ha sido un cero a la un punto.
izquierda.
Como broche de oro, a veces se dice, de forma vehemente y
Así pues, vemos como en el lenguaje ordinario y coloquial se enfática, que algo es matemático al querer indicar que es
alude a las altas esferas, a los sectores afectados, al segmento de absolutamente cierto, indudable, ineludible, inexorable, infa-
jóvenes, al radio de acción, a la proyección, a lo infinito o lible, incontrovertible, etc. aunque nadie lo haya demostrado.
inconmensurable, a la espiral de violencia, a la recta final, a la En parte, el autoritarismo de la expresión se basa en arbitra-
perspectiva de visión, al prisma o el ángulo bajo el que se divi- rias premisas, que se toman como postulados, cuya reitera-
sa un entorno que suele ser poliédrico. Y además de círculos de ción mediática redundante convierte en axiomas para un
empresarios (o de labradores o de artistas) hay polígonos de amplio público poco crítico.

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Parece, pues, que no podríamos hablar sin Geometría, pero Procedente del lenguaje matemático también tenemos tanto
deberíamos utilizarla para hacerlo con más rigor y precisión en la literatura como en el lenguaje ordinario las expresiones
que permitan incrementar la calidad de la comunicación, aun- circulares, los círculos viciosos, la figura del circunloquio o cir-
que a veces, como se ha visto, se hace lo contrario. Aún así, cunlocución, que es un rodeo redundante de palabras.
comparando estas cornadas a la lengua con las del simple len- También abundan las expresiones elípticas (una elipsis es
guaje de los móviles y los chats de Internet hay una gran dife- hecho sintáctico o estilístico que suprime o elude palabras que
rencia. se sobreentienden), las expresiones hiperbólicas (que son exa-
geraciones) y las expresiones parabólicas (que ilustran una
Por fortuna, algunas locuciones de origen matemático espe- historia con comparaciones, alegorías o metáforas). Aunque
cialmente ridículas han desaparecido; por ejemplo, en mi justo es reconocer, aludiendo a la Historia de las Matemáticas,
niñez algunos cursis decían que fumaban cilindrines. También en particular a la Historia de las Secciones Cónicas (González
han desaparecido, en el lenguaje del sexo o del amor algunas Urbaneja, 2004d), que en este caso, primero fue la semántica
frases geométricas de tinte ofensivo. En la literatura erótica de de los vocablos en el lenguaje ordinario y después la acuña-
principios del siglo XX se llamaban horizontales a las mujeres ción por parte de Apolonio «El Gran Geómetra» de los tér-
que con grosera expresión se describían como de “cama fácil”. minos en el ámbito geométrico. Efectivamente, el nombre
Sin embargo en la literatura y en el cine, tanto de calidad dado a las Cónicas por el eximio matemático griego, tiene su
como en los bodrios televisivos abundan los triángulos amo- origen en el lenguaje pitagórico del Método de Aplicación de
rosos. Curiosamente, en el lenguaje ordinario, se habla de las Áreas para la solución geométrica de ecuaciones cuadráti-
triángulo como colección de tres elementos, con independen- cas que emulaba el significado lingüístico de elíptico como
cia de su situación o posición relativa. No así en Geometría deficiencia, de hiperbólico como excesivo y de parabólico
que se exige que no estén alineados. ¡Cuidado no confundir como equiparable (González Urbaneja, 2003a, cap.4, p.43).
con alienados! Aunque los puntos alineados bien alienados
están por ser ajenos al disfrute de total libertad de movimien-
to; tienen sólo un grado de libertad.
En el espectáculo de masas por excelencia, el fútbol, tal vez
Pero en el lenguaje del amor parece que no rigen las leyes uni- para darle prestigio a algo tan trivial como la disputa de un
versales del Álgebra y de la Aritmética, ya que en el amor 1+1 objeto casi esférico por parte de dos grupos de personas, para
es infinito mientras que 2–1 es cero, la nada más absoluta, el introducirlo en una red de forma casi prismática, en los
que ha amado y ha sufrido la pérdida de su amor lo sabe. Y si medios se dice que el jugador ha perdido la verticalidad al dis-
hay hijos 1+1=3, 4, 5. Y es que el amor es inefable y no sólo parar el balón que ha pasado precisamente a llamarse de
está más allá del Álgebra y de la Aritmética, sino que, parafra- forma ridícula y ñoña como el esférico, aunque en modo algu-
seando a Nietzche está incluso más allá del bien y del mal. no sea una esfera. Para poner una nota de erudición sobre una
afición tan sana cuando se practica y a veces tan alienante
cuando sólo se contempla, digamos que según el Fedón (110b)
de Platón (1969, p.647) los griegos jugaban con balones de
doce pieles en forma de dodecaedro que al hincharse se apro-
ximaban a la forma esférica, lo que constituía un antecedente
de nuestro balón de fútbol (González Urbaneja, 2003b). Sin
embargo, el sólido platónico que más se aproxima a la forma
de una esfera es el icosaedro formado por 20 triángulos regu-
lares. De hecho un balón de fútbol es un icosaedro truncado
que se forma al cortar las esquinas, a una distancia del vértice
igual a un tercio del valor de la arista, por planos perpendicu-
lares al eje de rotación del poliedro que pasa por el correspon-
diente vértice. El resultado es un poliedro arquimediano (es
decir, un poliedro inscriptible en una esfera cuyas caras son
polígonos regulares de dos o tres tipos, aunque con la misma
arista, siendo iguales todos los vértices del poliedro) que tiene
12 pentágonos y 20 hexágonos. Construido con un material
deformable se cubre el 86.74% de la esfera circunscrita, y al
inflarlo la superficie se curva hasta llenar el 95%. Este poliedro
Fiedrich Wilhelm Nietzche 1844-1900
es muy fácil de construir pero no es el más eficiente. La forma
poliédrica más redondeada (que más se aproxima a una forma
esférica) es el poliedro arquimediano llamado RombIcosi-

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Dodecaedro menor, formado por 20 triángulos, 30 cuadrados mentación retórica falaz que desprestigia a la Política, por
y 12 pentágonos que sin inflar puede llenar hasta el 93.32% de ejemplo. Por eso, es frecuente, como ya hemos apuntado
una esfera. antes, escuchar la expresión ¡Esto es matemático! como una
enfática, solemne, ampulosa y apasionada afirmación de que
Matemática, Lenguaje y Educación. estamos hablando de algo que es una verdad absoluta e incon-
testable.
Una de las características del lenguaje matemático es su uni-
vocidad y ausencia total de ambigüedad. Toda sintaxis mate-
mática se aplica a objetos y entidades perfectamente defini-
dos sin ningún tipo de duda sobre su esencia ontológica, por-
que previamente se han sometido a una férrea definición que
precisa, determina, concreta, especifica, delimita, e individua-
liza las características del objeto en cuestión.

Además, los argumentos matemáticos se establecen con la

demostración, que los convierte en incontrovertibles, en ver-
dades eternas y universales. Con la emergencia de la demos-
tración como exigencia intelectual, aparece la Matemática
racional en el horizonte del siglo VI a.C., siendo este fenóme-
no cultural un hito esencial en el tránsito del mito al logos que
tiene lugar en la cultura griega (González Urbaneja, 2006,
cap.1), por eso la demostración se considera la aportación fun-
damental del Pitagorismo a la Matemática, lo que se ha valo-
rado siempre muy por encima de sus magníficas contribucio-
nes particulares en ámbitos concretos de esta ciencia que
todavía hoy nutren el currículum de los libros de Matemáticas
elementales. La demostración va mucho más allá de la mera
persuasión de la Retórica como brillante manejo del Lenguaje,
en la que los griegos eran grandes maestros, pues, es posible
con persuasión argüir lo falso contra lo verdadero como Platón 427-28 AC-347AC
hacen habitualmente los políticos, que según la coyuntura de
gobierno o de oposición se atreven a defender un argumento
y su contrario (de ahí los reproches de Sócrates hacia los Y esto es así, por lo menos desde Platón (González Urbaneja,
sofistas). La demostración matemática convence por la ilación 2001b), para quien la Matemática es un instrumento esencial
argumental irrefutable que alcanza algo legítimo conforme a para la educación e instrucción de la juventud como prope-
las leyes de la Lógica. Por eso a partir de Pitágoras la déutica ineludible del acceso a cualquier otro saber
Matemática es universalmente considerada como un manan- (República, VII, 521-527). Su maestro de Geometría en la
tial primario de verdad objetiva. Magna Grecia, Arquitas de Tarento, como brillante político
y audaz reformador, había establecido la Matemática como
Definición y Demostración caracterizan y singularizan la acti- componente esencial del currículum escolar, instituyendo las
vidad matemática frente al resto de todas las demás activida- cuatro Ciencias de lo que después sería las cuatro Artes
des humanas. En ellas se basa la importancia de la Liberales del Quadrivium pitagórico medieval –Aritmética,
Matemática en la Educación, más allá de su carácter instru- Geometría, Música y Astronomía–, sancionado por Platón
mental como lenguaje de las ciencias, las técnicas y las artes. en La República y de vigencia secular casi hasta nuestros
El lenguaje matemático que tiene como núcleo la definición y días. Casi dos siglos antes, y en el origen, Pitágoras, acuña,
la demostración es la fuente generadora de los instrumentos como se sabe, el término Filosof ía –amor a la sabiduría– y
intelectuales básicos con los que debe de funcionar cualquier también –lo que no se conoce tanto–, el término Mathema
persona a lo largo de su vida, es decir, las facultades humanas vinculado al significado de conocer o aprender, pero no a un
vinculadas a la precisión y la exactitud, la lógica y la intuición, ámbito específico del saber, sino al saber en sí mismo, es decir,
la inducción y la deducción, la observación y la imaginación, Mathema es «lo que se puede aprender», lo formativo, «lo
el análisis y la síntesis, la generalidad y la particularidad, la enseñable por antonomasia» (González Urbaneja, 2004a,
abstracción y la concreción, la interpolación y la extrapola- p.26). A partir de entonces, en el mundo griego, la
ción, etc. En ello se fundamenta el prestigio general que tiene Matemática es la encarnación del conocimiento, según
la ciencia matemática en todo tipo de público frente a la argu- Platón mediante reminiscencia –el aprendizaje es un recuer-

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do promovido por la Educación, que fructifica cuando el

Profesor alumbra el conocimiento en el alumno mediante una
serie de cuestiones y preguntas bien hilvanadas de forma heu-
rística (Menón, 82b-85b)–. Así pues, la Matemática sería una
actividad intelectual no vinculada a un espacio cultural con-
creto y particular del saber, sino al conocimiento en sí mismo,
y anterior, como base, a todo otro conocimiento, de ahí los
estrechos vínculos primigenios de la Matemática con la
Filosof ía. En toda época el Lenguaje matemático es la clave de
la explicación de los fenómenos naturales y se arroga una fun-
ción de dar cuenta –aspira a «dar razón» en sentido filosófi-
co– del orden natural, en un proceso que se inicia con
Pitágoras, se afianza con Platón, se consolida con Descartes
y desemboca en la Física de Galileo, Newton y Einstein.
Precisamente «dar cuenta» y «dar razón» son términos mate-
máticos. René Descartes 1596-1650

Matemática, Lenguaje y Literatura.

Descartes escribe (González Urbaneja, 2003a, cap.8):
A lo largo de la Historia muchos matemáticos han realizado
notables aportaciones a la Literatura, algunas de ellas de pri- Esas largas cadenas trabadas de razones muy simples y
mera categoría. Muchos de los Diálogos de Platón (la fáciles, que los geómetras acostumbran a emplear para lle-
República, el Timeo, el Menón, el Fedón...) y varias obras de gar a sus más dif íciles demostraciones, me habían dado
Descartes (El Discurso del Método, Las Reglas para la ocasión para imaginar que todas las cosas que entran en la
Dirección del Espíritu, La Geometría…) que sitúan a la esfera del conocimiento humano se encadenan de la misma
Matemática en el centro de atención, son auténticas joyas de manera. Discurso del Método (DM.AT.VI.19).
la Literatura universal.
No sé que tiene la mente humana de divino, donde yacen
las primeras simientes de los pensamientos útiles que, por
más olvidadas y asfixiadas que estén por estudios desenca-
Según Platón (República, Libro VII, 525d, 526e, 532c): minados, producen espontáneamente frutos. Reglas para la
dirección del espíritu (RIV. AT.X 373).

Pero no me detengo a explicar esto [la resolución geomé-

La Aritmética conduce el alma hacia lo alto y la obliga a trica de ecuaciones] con más detalle para no privar a cada
razonar sobre los números, sin permitir de ningún modo uno del placer de aprenderlo por sí mismo, ni impedir el
que nadie presente un ejemplo de números corpóreos y cultivo útil del propio espíritu ejercitándolo, que es, a mi
tangibles. [...] Esta ciencia se nos presenta con visos de parecer, la principal utilidad que puede obtenerse de esta
necesaria, puesto que parece forzar al alma a servirse de la ciencia. La Geometría (G. AT.VI.374).
inteligencia pura para alcanzar la verdad en sí.
[...] Y yo espero que nuestros descendientes me estarán
La parte más elevada de la Geometría nos conduce a una agradecidos no sólo por las cosas que aquí he explicado,
contemplación más factible de la idea de bien. [....] La sino también por aquellas que he omitido voluntariamente
Geometría nos obliga a contemplar la esencia. [...] Es una a fin de dejarles el placer de descubrirlas. La Geometría (G.
ciencia del conocimiento del ser, no de lo que está sujeto AT.VI. 485).
al cambio o desaparición. [...] Conducirá al alma hacia la
verdad y dispondrá la mente del filósofo para que eleve su
mirada hacia arriba.
Según D’Alembert (Discurso preliminar de la
Conferimos a las ciencias matemáticas el poder dialéctico Enciclopedia. Orbis, Barcelona, 1984. p.63)
de ascender de la caverna a la luz, de lo visible a lo inteligi-
ble, de los sentidos a la esencia, por medio de la inteligen- La imaginación no actúa menos en un geómetra que crea
cia. Por ellas puede elevarse la mejor parte del alma a la que en un poeta que inventa, aunque operan de manera
contemplación del mejor de los seres: el Bien. diferente sobre su objeto: el primero lo desnuda y analiza,

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el segundo lo compone y embellece. [...]. De todos los gran- Un paso más allá, en los últimos tiempos, es el ensayo o la
des hombres de la antigüedad, es acaso Arquímedes el que novela donde la Matemática es protagonista o al menos un
más merece figurar al lado de Homero. personaje importante, por ejemplo: El hombre que calculaba
de M.Tahan, El tío Petros y la conjetura de Goldbach de
A.Doxiadis, El teorema del loro de D.Guedj, El diablo de los
números de H.M.Enzensberger, El enigma de Fermat de
Spengler (La decadencia de Occidente, Austral, cap.I.1, S.Singh, El sueño de Descartes de P.J.Davis, Érase una vez un
pp.138, 148,152) escribe: número de A.Paulos, La medida del mundo de D.Guedj,
Damunt les espatlles dels gegants de Josep Pla, ...
En el número, como signo de la total limitación extensiva,
reside, como lo comprendió Pitágoras, con la íntima certi-
dumbre de una sublime intuición religiosa, la esencia de
todo lo real, esto es, de lo producido, de lo conocido y, al Matemáticas en El Quijote.
mismo tiempo limitado
Recién celebrado el cuarto centenario de la publicación de la
La afirmación pitagórica de que el número es la esencia de primera parte de El Quijote, debemos citar la Matemática
todas las cosas aprehensibles por los sentidos sigue siendo presente en la obra de Cervantes. La hay, en efecto, en cues-
la más valiosa proposición de la Matemática antigua. tiones de cálculo, números, medidas y proporciones, proble-
mas e incluso Astronomía, así como alusiones a la utilidad de
Para el alma antigua el principio de lo irracional, esto es, la las diversas ciencias matemáticas. Veamos algunos textos
destrucción de la serie estatuaria de los números enteros, indicativos:
representantes de un orden perfecto del mundo, fue como
un criminal atentado a la divinidad misma. Este sentimien-
to se percibe claramente en el Timeo de Platón. La trans- 2ª Parte, Cap. XVIII. Referente a la ciencia de la
formación de la serie discontinua de los números en una Caballería:
serie continua, pone en cuestión no sólo el concepto anti-
guo del número, sino hasta el concepto del mundo antiguo. El caballero andante entre otras muchas cosas «ha de saber
matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener nece-
sidad de ellas».

En los tiempos modernos excelentes escritores, que también 2ª Parte, Cap. XX. Confrontación del Licenciado de
han sido filósofos o matemáticos, como el famoso político y Salamanca y el Bachiller Corchuelo:
literato, José Echegaray (Premio Nobel de Literatura, 1904),
Bertrand Russell (Premio Nobel de Literatura, 1950) y El Bachiller al Licenciado: «Apearos y usad de vuestro
O.Spengler (al que citamos reiteradamente), ponderan el compás de pies, de vuestros círculos y vuestros ángulos y
argumento matemático en sus escritos. Las famosas obras: ciencia, que yo espero haceros ver estrellas con mi destre-
Historia de la Filosof ía Occidental de B.Russell (reciente- za».
mente reeditaba en 2005, por RBA) y La decadencia de
Occidente de O.Spengler realizan una rigurosa incardina- Texto: «En lo que faltaba del camino les fue contando el
ción de la Matemática en la Historia de la Cultura, con pro- licenciado las excelencias de la espada con tantas razones
fundas reflexiones sobre la incidencia de las Ciencias demostrativas y con tantas figuras y demostraciones mate-
Matemáticas en la propia forja de la Cultura y el Pensamiento. máticas, que todos quedaron enterados de la bondad de la
ciencia [...]».
Digno es de mencionar, entre otras muchas, interesantes
obras literarias escritas por matemáticos, por ejemplo: De 1ª Parte, Cap. XXXIII. Orientaciones metodológicas para
propria vita de Cardano, Harmonices Mundi de Kepler, la conversión de infieles:
Pensamientos de B.Pascal, Alicia en el País de las Maravillas
de L.Carroll, Una infancia rusa de S.Kovaleskaya, Apología «Les han de traer ejemplos palpables, fáciles, inteligibles,
de un matemático de G.H.Hardy. demostrativos, indubitables, con demostraciones matemá-
ticas que no se pueden negar, como cuando dicen: “Si de
También podemos citar obras no escritas por matemáticos dos partes iguales quitamos partes iguales, las que quedan
donde la Matemática juega un cierto papel como Planilandia son iguales” [Euclides, Axioma 3]; y, cuando esto no
de E.Abbott, El Aleph de J.L.Borges, Kepler de A.Koestler, entiendan de palabra, como en efecto, no lo entienden,
Congreso en Estocolmo de J.L. Sanpedro, ... . háseles de mostrar con las manos [...]».

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Paradojas en la naturaleza: «Las bacterias se multiplican divi-

diéndose».

Conversación en clase de Matemáticas: «Me gustan los poli-

nomios, pero solo hasta cierto grado».

Conversación entre matemáticos: «Hay tres clases de mate-

máticos, los que se equivocan al contar y los que no».

Un cubo a una esfera: «Nunca tendrás una esquina donde

caerte muerta».

¿Cuál es animal con más de 2 patas y menos de 3?: «El pollo

porque tiene dos y pico».

¿Cuál es animal con más de 3 ojos y menos de 4?: «El π–ojo

(piojo) 3<π<4».

Las cuatro reglas en el matrimonio: «Suma de obligaciones,

Quijote de Gustave Doré
resta de libertades, multiplicación de responsabilidades y divi-
sión de bienes».
Lo de «mostrar con las manos» no sabemos si se refiere a la
utilización de técnicas docentes más activas, más prácticas Las progresiones y la evolución: «Si todos tenemos 2 padres,
con recursos manuales experimentales y manipulativos, o si 4 abuelos, 8 bisabuelos, 16 tatarabuelos, 32 tata tatarabuelos ...
más bien tiene que ver con los tradicionales métodos inducti- ¿cómo es posible que procedamos sólo de Adán y Eva?»
vos y deductivos de las Matemáticas, de modo que habría que
añadir el “método de demostración por coacción”.

Matemática, Lenguaje y Humor.

Vamos ahora a introducir un punto de humor con algunas

paradojas lógico-semánticas y expresiones inducidas por tér-
minos matemáticos aplicados en el lenguaje coloquial. No me
atrevería a llamarlos chistes, pero se acercan a ellos por su
carácter sintético, enfático y lapidario; por la ambigüedad de
los términos (en este caso matemáticos) y el doble sentido de
ellos. También recuerdo famosos disparates de exámenes de
Matemáticas y juegos de palabras a modo de acertijos, ense-
ñanzas, sentencias o citas que juegan con números y elemen-
tos matemáticos.

Como cualquier escolar sabe ¼+¼=½ . Pues bien, he aquí la

«demostración» más rigurosa de que «para tener medios
hacen falta cuartos».

Decía B.Franklin:

Si el hombre pudiera alcanzar la mitad de sus deseos,

duplicaría sus problemas.

Entre la clase política que nos gobierna está muy extendida la Quijote de Honoré Daumier
creencia de que: «9 de cada 10 políticos están de acuerdo en
que 1 de cada 10 políticos es un corrupto».

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Perlas estadísticas: que no había bebido. A la vista de esto, esta claro que la forma
más segura de conducir es ir borracho y –según el punto ante-
Todos los políticos prometen antes de salir elegidos subir los rior– a toda velocidad.
sueldos, de forma que nadie cobre por debajo de la media
nacional. Disparates en exámenes:

La tasa de natalidad es doble de la tasa de mortalidad; por lo ¿Qué es un Polígono?: «Hombre que anda con muchas muje-
tanto, una de cada dos personas es inmortal. res».

El 20 por ciento de las personas muere a causa del tabaco. Por ¿Qué es un círculo? «Un polígono de dos lados: el de dentro y
lo tanto, el 80 por ciento de las personas muere por no fumar. el de fuera».

Así queda demostrado que no fumar es peor que fumar. Área del triángulo: «Es igual a la cuarta parte de la mitad de
su lado por la semisuma de la raíz cuadrada de tres».
La probabilidad de tener un accidente de tráfico aumenta con
el tiempo que te pases en la calle. Por tanto, cuanto más rápi- «Los cuatro evangelistas son tres: San Pedro y San Pablo».
do circules, menor es la probabilidad de que tengas un acci-
dente.
Refrán sobre el valor posicional de las cifras: «Cifra eres y
El 33 % de los accidentes mortales involucran a alguien que ha nada más, según donde estés, así valdrás».
bebido. Por tanto, el 67 % restante ha sido causado por alguien

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NOTAS

1 A lo largo de todo el artículo se señala en letra cursiva además de las 2 Álvaro de Campos es uno de los heterónimos de Fernando Pessoa
citas y textos de autores, los términos específicamente matemáticos o 3 Tal como se ha hecho hasta ahora, señalaremos en cursiva los términos
derivados de ellos. específicamente matemáticos.

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42
 57
Febrero 2008, pp. 43-54 Códigos numéricos para la vida

Es un hecho indudable que vivimos en una sociedad que nos requiere, cada vez más, interactuar con una serie de códigos numé-
ricos. En este trabajo se pretende analizar las características de algunos de estos códigos -DNI-NIF, códigos de barras, códigos
ISBN, códigos ISSN, códigos de tarjetas de crédito, de cuentas bancarias, de cheques bancarios- haciendo especial hincapié en
los algoritmos que permiten calcular su carácter de control a partir de los demás elementos del código y en la forma que tienen
estos códigos de hacer frente a los errores más frecuentes en la transmisión de los mismos. Además se estudian sus posibilidades
didácticas y se ofrece una aplicación informática al aula de Secundaria a través de una WebQuest, creada por el autor, sobre el
tema.

It is unquestionable that we all live in a society which increasingly requires us to cope with a whole range of numerical codes. This
essay aims to analyze the main features of some of these codes, such as, national identity cards, social security cards, credit cards,
current accounts, bank documents, etc., paying special attention to two aspects; on the one hand to the algorithms that allow to
calculate their control feature starting from the other elements of the code itself. And on the other hand, to the way in which these
codes face the most frequent mistakes concerning their transmission. Besides, their didactic possibilities are also dealt with, inclu-
ding a computer application to the curricula for secondary education by means of a webquest entirely created by the author of this
essay.

U na sociedad codificada Sin duda estamos invadidos por una cantidad creciente de
códigos numéricos que regulan nuestras interacciones con la
¡Códigos de barras, ISBN, ISSN, cuentas bancarias, DNI-NIF, sociedad. Pero… ¿qué hay detrás de estos códigos?
tarjetas de crédito, claves para todo…! ¿Quién no ha observa-
do alguna vez con curiosidad los dígitos que acompañan a los Como ya manifesté en otros trabajos léase (Beato, 2001) y
códigos de barras y se ha preguntado por su significado? (Beato, 2004)), mi campo de estudio en Didáctica de las
¿Quién no ha tenido que anotar alguna vez los veinte dígitos Matemáticas lleva varios años dirigido a encontrar temas de
de una cuenta bancaria? ¿Quién no se ha interrogado nunca interés para los alumnos, que acerquen su realidad cotidiana
sobre la letra que acompaña al DNI? ¿Hay alguien que no a las Matemáticas. Estoy convencido de que es el mejor cami-
haya observado que las tarjetas de crédito tienen dieciséis no para acercar las Matemáticas a su realidad cotidiana.
dígitos taladrados en ellas? Entiendo que en lugar de ejemplificar los contenidos con apli-
caciones matemáticas, es mejor partir de situaciones atracti-
vas de su entorno inmediato, que les motiven para el estudio
y profundización posterior en los contenidos de Matemáticas
propios de su nivel. Soy consciente de que entrar en el terre-

Jesús Beato Sirvent

IES Bahía de Cádiz.
Cádiz
Facultad de Ciencias de la Universidad de Cádiz.
Campus de Puerto Real.

43
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Febrero 2008

no de la motivación del alumnado es pisar arenas movedizas, de expresar el número N módulo 7. El dígito de control es,
ya que hoy en día, como afirma el filósofo José Antonio pues, el elemento de Z7 equivalente a N según la relación de
Marina en (Marina, 2005), uno de los problemas de la juven- congruencia.
tud estudiante o de la juventud en general es que ha sustitui-
do voluntad por motivación y eso le proporciona la coartada Ejemplo: En el código 2481057-c, se tiene
necesaria y suficiente para sus actos. 2481057=7×354436+5 ⇒ c=5. Luego el código completo es
2481057-5.
Dado que, sin duda, el bloque temático dedicado a la
Aritmética es el de mayor peso en la Enseñanza Secundaria, DNI-NIF
es este bloque el que centra mi atención. Ya presenté en
(Beato, 2003) un trabajo sobre relaciones numéricas en algu- Es sin duda el código alfanumérico más conocido y usado. En
nos conceptos musicales que fue muy bien acogido por los este caso, el elemento de control es un carácter alfabético. La
alumnos. Ahora con este trabajo pretendo: estructura es N-c, con N un número natural cualquiera y c ∈
{0,1, 2,…,22}.
• Analizar varios códigos numéricos. Para ello, estudiare-
mos el significado de sus dígitos, profundizaremos en sus Algoritmo para el cálculo de la letra de control
diferencias y semejanzas. Como aspecto aritmético funda-
mental, constataremos que todos los códigos analizados En este caso se trata de un algoritmo modular, con módulo 23,
tienen en común la existencia de un elemento de control pues son 23 la letras del alfabeto usadas para hacer la identifi-
alfanumérico, que depende de los demás dígitos del códi- cación con el resto, una vez eliminadas aquellas que podrían
go. presentar algún equívoco con un dígito (como por ejemplo
I,O), las que no existen en el alfabeto internacional (como Ñ)
• Explicar los algoritmos que permiten calcular el elemen- o aquellas que ocupan más de una posición (como Ll o Ch). Se
to de control de cada código a partir del resto de dígitos. trata pues de hallar el resto de la división de N entre 23 y asig-
nar al resto una letra, según la tabla:
• Analizar cómo la existencia del elemento de control de
cada código permite detectar ciertos errores cometidos en
la transferencia de información. En este sentido estudiare- Resto 0 1 2 3 4 5
mos los dos errores más frecuentes: un error en un sólo
dígito y el intercambio de dos dígitos consecutivos. Letra T R W A G M

• Presentar una WebQuest de elaboración propia sobre el Resto 6 7 8 9 10 11

tema, como forma de desarrollar estos contenidos en el
Letra Y F P D X B
aula de Secundaria.
Resto 12 13 14 15 16 17
• Hacer reflexionar tanto a alumnos como a profesores
sobre un campo de trabajo matemático no docente: la Letra N J Z S Q V
codificación comercial.
Resto 18 19 20 21 22
Algunos ejemplos de códigos numéricos: algo- Letra H L C K E
ritmos de cálculo del elemento de control

Cheques bancarios En (Yagüez, 1990) puede verse una primera introducción al

tratamiento didáctico de este tipo de códigos.
El código numérico de un cheque bancario, se expresa N-c,
siendo N un número natural cualquiera y c∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Códigos de barras
Al dígito c se le denomina dígito de control.
El código de barras más usado en la actualidad es el EAN-13,
Algoritmo para el cálculo del dígito de control ya que contiene 13 dígitos. (EAN≡European Article Numbe-
ring). Este código se expresa:
Para calcular el dígito de control c a partir de N basta con rea- a1-a2a3 a4 a5 a6 a7-a8 a9 a10 a11 a12-c
lizar la división entera N÷7. Entonces c no es más que el resto
de esta división. A este tipo de algoritmos se les denomina siendo ai, c ∈ {0, 1, 2,..., 9}, ∀ i=1, 2,…, 12
modular, en este caso de módulo 7, pues simplemente se trata

44
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Febrero 2008

• En 1977 se funda en España la AECOC.

• El 3 de Octubre de 1977, en un supermercado de la cade-

na Mercadona en Valencia se pasaba por un escáner el
primer producto identificado con un código de barras.
Como curiosidad, se trataba de un estropajo de la marca
3M.

• El uso de los códigos de barras se estima que ha ahorra-

do a cada español unas 24 horas anuales de espera en cola
de los supermercados.

Algoritmo para el cálculo del dígito de control

El algoritmo de cálculo del dígito de control c a partir de los

doce dígitos anteriores es:

- Sea:

El significado de los dígitos es:

- Llamemos R al resto de dividir S entre 10.
a1 a2 indican el país donde el productor ha solicitado este - Entonces:
código. En España, este prefijo es 84. Este prefijo no indica,
pues, la procedencia del producto ni el país de producción, ni
el de la elaboración. Tan sólo indica el país donde el produc-
tor ha decidido solicitar el código.
Llamaremos a estos coeficientes {1,3} que multiplican a las
a3 a4 a5 a6 a7 representan el código asignado a la empresa. cifras que ocupan un lugar impar o par respectivamente,
a8 a9 a10 a11 a12 representan el código asignado al produc- pesos del algoritmo. Denominaremos también divisor al
to. En España, el organismo encargado de asignar estos códi- número por el que dividimos la cantidad S. De esta forma,
gos es la AECOC (Agencia Española de Codificación podemos calificar a este algoritmo como un algoritmo de
Comercial). pesos y divisor. Como veremos, es el tipo de algoritmo más
c es el dígito de control. extendido para el cálculo del elemento de control de un códi-
go numérico. La diferencia entre un código y otro será pues,
Dado lo extendido del uso del código de barras, merece la esencialmente, los pesos y los divisores utilizados. En la prác-
pena hacer algunas anotaciones de carácter histórico: tica, en una versión más didáctica, este tipo de algoritmos se
puede desarrollar en forma de tabla, como en el siguiente
• En 1948, el propietario de una tienda de comestibles ejemplo:
acude a la Facultad de Tecnología de Drexel (Filadelfia)
en busca de una solución automática que le ayudase a Ejemplo: Calculemos el dígito de control del código de barras
gestionar su almacén. Allí entra en contacto con de la imagen, cuyas primeras doce cifras son: 8 410090 83931.
Joseph Woodland y Bernard Silver, por aquel entonces Se pueden disponer los datos así:
estudiantes.
8 4 1 0 0 9 0 8 3 9 3 1
• El 7 de Octubre de 1952, Woodland y Silver patentan
el primer código de barras. 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

• Mientras, en Europa, unos doce países y diversos 8 +12 +1 +0 +0 +27 +0 +24 +3 +27 +3 +3 =108
organismos de numeración trabajan durante tres años
aproximadamente para alumbrar el sistema de codifi- S=108=10×10+8 R=8
cación europeo, hasta crear en 1997 EAN Dígito de control: c=10-8=2
Internacional.

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Febrero 2008

Luego el código completo -se puede comprobar en la imagen- Sea

es: 8 410090 839312

En algunos productos, fundamentalmente motivado por problemas de

espacio -es muy frecuente en las cajetillas de tabaco-, se suele usar una
versión más breve del código de barras: el código EAN-8, llamado así Llamemos R al resto de dividir S entre 11.
porque sólo emplea 8 cifras, de las cuales la última es el dígito de con-
trol. Se expresa, por tanto: Entonces:
a1a2 a3 a4 -a5 a6 a7 c

y el algoritmo para el cálculo del dígito de control es el correspondien-

te al código EAN-13, truncando los cinco primeros dígitos, y sus pesos
correspondientes.

A diferencia con el código de barras usual, ahora la división se

realiza entre 11. Esto ofrece ciertas garantías de unicidad, en
un sentido que más tarde precisaremos, debido al carácter
primo de 11, pero hace aparecer 11 restos posibles y con ello,
la necesidad de incorporar una letra -X- para que la longitud
del dígito de control no sobrepase a la unidad.

Este código de barras especial que presentan los libros, es en

realidad un doble código numérico, ya que, a poco que obser-
Códigos ISBN vemos, notaremos que el código ISBN superior -salvo su dígi-
to de control- aparece incrustado el código de barras usual
Los libros incluyen en la parte superior de su código de inferior. Por tanto, deben verificarse simultáneamente los dos
barras, otro código específico. Es el ISBN (International algoritmos de cálculo del dígito de control, para el código
Standard Book Number; en español Número Internacional superior y para el inferior. Esto hace que en el caso de los
Estándar del Libro). Se trata de un código de diez dígitos, en libros, el significado de los dígitos del código de barras EAN-
los que el último actúa como dígito de control, en este caso 13 inferior sea diferente al usual. Su estructura para los libros
alfanumérico. Su formato es: es:
a1-a2 a3 a4 a5 a6 a7-a8 a9 a10 a11 a12-c
a1a2 -a3 a4 a5 a6 -a7 a8 a9 - c con:

con ai ∈ {0, 1, 2,..., 9}, ∀i=1, 2,..., 9; c ∈{0, 1, 2,..., 9, X} a1-a2 a3=978 fijo para España.

a4 a5 a6 a7-a8 a9 a10 a11 a12 es el código ISBN, sin su dígi-

to de control.
c es el dígito de control, calculado con el algoritmo EAN-13.

Códigos ISSN

En las producciones seriadas, fundamentalmente revistas,

aparece un doble código numérico como en los libros. En este
caso, se trata del código ISSN (International Standard Serial
Number; en español Número Internacional de Publicaciones
Seriadas). Es un código de ocho dígitos en el que también el
último actúa como dígito de control, también en este caso
Algoritmo para el cálculo del dígito de control alfanumérico. Su estructura es:

Se trata de un algoritmo de pesos y divisores, que utiliza la a1a2 a3 a4 -a5 a6 a7 c

secuencia decreciente de pesos {10, 9,…, 2} y el 11 como divi-
sor. con ai ∈ {0, 1, 2,..., 9}, ∀i=1, 2 ,..., 7; c ∈ {0, 1, 2,..., 9, X}

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a11 a12 es un código para el precio (00 para las revistas que,
como en el caso de SUMA, no se comercializan, sólo se dis-
tribuyen).
c es el dígito de control, calculado con el algoritmo EAN-13.

Además de este doble código numérico, las producciones

seriadas suelen presentar, a la derecha del doble código de
barras que hemos descrito anteriormente, un código de
barras de tamaño inferior que hace referencia el número de
serie de la publicación.

Códigos de las tarjetas de crédito (CODABAR)

Las tarjetas de crédito contienen un código numérico, llama-

do CODABAR. Se trata de un código de 16 dígitos, distribui-
dos en cuatro grupos de cuatro, cuyo último dígito actúa tam-
bién como dígito de control. Su estructura es:

Algoritmo para el cálculo del dígito de control a1 a2 a3 a4 -a5 a6 a7 a8 -a9 a10 a11 a12- a13 a14 a15c

Se trata del algoritmo de pesos y divisores correspondiente al con ai, c ∈{0, 1, 2,..., 9}, ∀i=1, 2,..., 15
ISBN, truncado en sus dos primeros pesos. Los pesos son, por
tanto, la secuencia decreciente {8,7,…,2} y el divisor 11. En Algoritmo para el cálculo del dígito de control
definitiva:
Esencialmente, se trata de un algoritmo de pesos y divisores,
Sea que utiliza como pesos la secuencia alternada {2,1} para las
cifras que ocupan un lugar impar o par respectivamente, y
como divisor el 10. Sin embargo, para garantizar un mejor
comportamiento antes los errores más frecuentes en la trans-
misión de datos, cuestión ésta que analizaremos más tarde,
Llamemos R al resto de dividir S entre 11. este código incorpora un suplemento antes de hallar la suma
S. En definitiva, el algoritmo es:
Entonces:
Sea:

(nº de dígitos >4 en posición

impar).

R= resto de dividir S entre 10.

Al igual que en el caso de los libros, las revistas también pose-
en un doble código numérico. En este caso, el código inferior Entonces:
que aparece en su código de barras tiene un significado dife-
rente al usual, pues incrusta, de manera análoga al ISBN, en su
interior al código ISSN. La estructura de este código inferior
es, pues, para las revistas:
Estudiemos la disposición en forma de tabla del desarrollo de
a1-a2 a3 a4 a5 a6 a7-a8 a9 a10 a11 a12-c este algoritmo en el siguiente ejemplo:

con: Ejemplo: Calculemos el dígito de control del código numérico

a1-a2 a3=977 fijo para España. de una tarjeta de crédito cuyas primeras quince cifras son:
5020 2400 0082 348. Se pueden disponer los dígitos así (en
a4 a5 a6 a7-a8 a9 a10 es el código ISSN, sin su dígito de con- negrita y subrayadas, las cifras mayores que 4 que ocupan una
trol. posición impar):

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Entonces:
5 0 2 0 2 4 0 0 0 0 8 2 3 4 8

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

10 +0 +4 +0 +4 +4 +0 +0 +0 +0 +16 +2 +6 +4 +16 =66

3 dígitos >4 en posición impar S=66+3=69=10×6+9 R=9

Análogamente:
Dígito de control: c=10-9=1
Sb=b1+2 b2+4 b3+8 b4+5 b5+10 b6+9 b7+7 b8+3 b9+6 b10

Luego el código completo de la tarjeta de crédito es: 5020 2400 Rb= resto de dividir Sb entre 11.
0082 3481
Entonces:

Códigos de cuentas bancarias

Es un código de veinte dígitos con la peculiaridad de tener dos

dígitos de control. Su estructura es:

a3 a4 a5 a6 –a7 a8 a9 a10 –a0 b0 – b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 Es necesario observar que en el cálculo de los dígitos de con-
trol se produce una ambigüedad. Tanto si Ra y Rb son 1 como
con: ai, bi ∈{0, 1, 2,…, 9}, ∀i=0, 1, 2,…, 10 si son 10, se utiliza como dígito de control el 1. Esto viene
motivado por el hecho que ya pusimos de manifiesto al calcu-
El significado de estos dígitos es relevante: lar el elemento del control de los códigos ISBN e ISSN, que al
usar también como divisor el 11 producían 11 restos posibles.
a3 a4 a5 a6 representa el código de la entidad bancaria. Por tanto no es suficiente con los diez dígitos de nuestro sis-
tema decimal. En el caso de aquellos códigos se resolvía asig-
a7 a8 a9 a10 representa el código asignado a la sucursal nando la letra X en caso de resto 1. En este caso, al no poder
donde se gestiona la cuenta. utilizar caracteres alfabéticos se opta por admitir la duplici-
dad del dígito.
a0 b0 son dos dígitos de control. Como veremos al desarrollar
el algoritmo de cálculo, el primero –a0- controla la primera Comportamiento de los códigos numéricos
parte del código, dedicada a la entidad y a la sucursal, mien- frente a los errores más frecuentes en la transfe-
tras que el segundo –b0- controla la segunda parte del código, rencia de datos.
la dedicada a la cuenta.
Los dos errores más frecuentes al transmitir códigos numéri-
b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 es el código de la cuenta cos o al introducir códigos numéricos en un ordenador son:
bancaria en cuestión.
Errores tipo I: Errores en un sólo dígito. Estudiar este tipo de
Algoritmo para el cálculo de los dígitos de control errores es equivalente a plantearse la siguiente pregunta:
¿Pueden existir dos códigos que tengan todas las cifras (pre-
Se trata de un algoritmo doble porque calcula dos dígitos de vias al elemento de control) iguales, salvo una de ellas y com-
control. Son dos algoritmos de pesos y divisores. En realidad partan el mismo dígito de control?
los dos algoritmos son el mismo, a diferencia de que los pesos
para el primer algoritmo son el resultado de truncar la cade- Errores tipo II: Errores de intercambio de dos dígitos conse-
na de pesos del segundo sus dos primeros elementos. En cutivos. Se trata ahora de estudiar la respuesta a la cuestión:
ambos casos el divisor es 11. En definitiva: ¿Pueden existir dos códigos que tengan todas las cifras (pre-
vias al elemento de control de control) iguales, salvo dos de
Sa=4 a3+8 a4+5 a5+10 a6+9 a7+7 a8+3 a9+6 a10 ellas que están intercambiadas y compartan el mismo dígito
de control?
Ra= resto de dividir Sa entre 11.
No se pretende en este artículo hacer un análisis exhaustivo
de los comportamientos ante estos dos tipos de errores de

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Febrero 2008

todos los códigos descritos en el mismo. Al respecto, hay un Errores tipo II

estudio interesante en (Escudero, 1990). Aunque centrado en
el algoritmo de obtención de la letra de control en el NIF, pre- Sean:
sentan unas tablas y gráficos comparativos muy ilustrativos de
cómo soporta este algoritmo los distintos tipos de errores.
Además introducen de manera somera algunos otros ejem-
plos de códigos.

Vamos analizar aquí, a modo de ejemplo, el comportamiento dos números iguales en todos sus dígitos salvo en dos cifras
de un código modular -el de los cheques bancarios- y de un consecutivas, que aparecen intercambiadas entre sí, y ocupan
código de pesos y divisores -el de las tarjetas de crédito- para los lugares i, i+1 para algún i=0, 1, 2,…, r-1. Esto es:
poder comparar.

Gestión de errores en el código de los cheques ban-

carios

Errores tipo I

Sean: además supongamos, sin que ésto suponga ninguna pérdida

de generalidad, que ai+1>ai. Con estas notaciones, se tiene:

N-N’ = (ai-bi)10i + (ai+1-bi+1)10i+1 =

= (ai-ai+1)10i + (ai+1-ai)10i+1 = (ai+1-ai)322i5i

dos números iguales en todos sus dígitos salvo 1, que ocupa el
lugar i-ésimo, para algún i=0, 1, 2,…, r. Entonces, ak =bk, ∀k≠i Como 3,2,5,7 son números primos, se tiene:
y ai≠bi . En estas condiciones:
N-N’ es múltiplo de 7 ⇒ (ai+1-ai) es múltiplo de 7
N-N’ = (ai-bi)10i = (ai-bi)2i5i
En definitiva:
Como 2, 5, 7 son números primos, se tiene: N\equiv N’ (mod.7) ⇒ ai+1 ≡ ai (mod.7)
de donde se obtiene que la condición necesaria y suficiente
N-N’ es múltiplo de 7 ⇒ (ai-bi) es múltiplo de 7 para que N y N’ compartan el mismo dígito de control es que
ai+1 y ai sean congruentes módulo 7. En resumen:
En definitiva:

N≡ N’ (mod.7)⇒ ai ≡ bi (mod.7) El código de los cheques bancarios sólo

detecta los errores tipo II si las cifras
intercambiadas no son congruentes entre
de donde se obtiene que la condición necesaria y suficiente sí módulo 7.
para que N y N’ compartan el mismo dígito de control es que
ai y bi sean congruentes módulo 7. Ahora bien, los únicos
pares de dígitos congruentes módulo 7 son: {0,7}, {1,8}, {2,9},
quedando los restantes dígitos {3,4,5,6} sin pareja congruente Gestión de errores en el código CODABAR
módulo 7.

Errores tipo I
El código de los cheques bancarios
Sean N=(a1,…, ak,…, a15); ai∈{0,1,…,9} ∀i=1, 2…, 15 y
detecta el error tipo I si y sólo si la
N’=(a1,…, bk,…, a15); ai, bk ∈ {0, 1,…, 9} ∀i=1,2…, 15 los vec-
cifra equivocada es 3,4,5,6. En otro
tores que recogen las primeras quince cifras de dos códigos
caso, se produce una ambigüedad
CODABAR que comparten el mismo dígito de control.
por duplicación..
Llamemos n,n’ al número de dígitos mayores que 4 en posi-
ción impar de N y N’ respectivamente.

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SUMA 57
Febrero 2008

Distinguimos los dos siguientes casos:

El código CODABAR detecta
• Caso k par: Como en este caso la diferencia está en un todos los errores tipo I
dígito que ocupa un lugar par, se tiene n=n’. Utilizando las
mismas notaciones que en el apartado anterior:

Errores tipo II

Sean N=(a1,…,ak,ak+1,…,a15) y N’=(a1,…,ak+1,ak,…,a15)

con ai∈{0,1,…,9} ∀ i=1,2…,15. El intercambio es tal si ak ≠
ak+1. Evidentemente, ahora no tenemos que distinguir entre
Ahora bien como ambos códigos comparten el mismo casos k par y k impar ya que k y k+1 siempre tienen distinta
dígito de control, S-S’ debe ser un múltiplo de 10. Pero paridad y la situación entre N y N’ sería totalmente simétrica.
como todos los números que forman N y N’ son dígitos, Por tanto, sin pérdida de generalidad, supondremos k par y
sólo es posible si ak –bk =0, es decir, si ak = bk, luego en por tanto k+1 impar. Tenemos necesidad de distinguir casos
este caso el código detectaría todos los errores de una sola según los valores de ak y ak+1.
cifra.

• Caso k impar: Como en este tipo de códigos juegan un • Caso ak ,ak+1 >4 ó ak –ak+1 ≤ 4. Se tiene:
papel especial las cifras que ocupan un lugar impar, nos
vemos obligados a distinguir ahora, a su vez, los siguien-
tes subcasos:

º Caso ak ,bk >4 ó ak –bk ≤ 4: En este caso, n=n’. Se

cumple entonces:

por tanto, S-S’ no podrá ser nunca un múltiplo de 10 ya

que en cualquier caso

0<| ak+1 -ak |≤ 5<10

y por tanto, el código siempre detectará el error.

Como ambos códigos tienen el mimo dígito de control,
se tiene que S-S’ ha de ser un múltiplo de 10. Pero eso • Caso (ak > 4 y ak+1 ≤ 4) ó (ak ≤ 4 y ak+1 >4): Sin pér-
sólo es posible si ak –bk =0 o si |ak –bk|=5. Pero esta dida de generalidad y por fijar ideas, supondremos que se
última posibilidad no se puede dar ya que la elección verifica la primera situación. Entonces:
de los dígitos ak ,bk en este caso, hace descartar una
diferencia de 5 unidades entre ellos.

º Caso (ak > 4 y bk ≤ 4) ó (ak ≤ 4 y bk >4): Sin pérdida

de generalidad y por fijar ideas, supondremos que se
verifica la primera situación. Eso supone que n’=n-1. Por tanto, S-S’ es múltiplo de 10 si y sólo si ak = 9 y
Entonces: ak+1=0, que es una posibilidad factible con el rango que
estamos considerando en esta opción. En este caso, el
código no detectaría el error.

El código CODABAR detecta todos los

errores tipo II salvo que las cifras inter-
pero en este caso |S-S’| no puede ser múltiplo de 10
cambiadas sean 9 y 0
porque es un impar, luego detectaría también todos los
errores de tipo I posibles.

50
 SUMA 57
Febrero 2008

Aplicación al aula: una WebQuest sobre códi- 3. Estudia si este código detecta todos los errores de
gos numéricos. un sólo dígito.

La aplicación al aula de los códigos numéricos es, en principio Ejemplo: El ISBN 0-669-03925-4 es el producto de la transpo-
inmediata, ya que la carga matemática es elemental, funda- sición de dos dígitos adyacentes que no son ni el primero ni el
mentalmente teoría de la divisibilidad. Hay una línea editorial último. Determina el ISBN correcto.
(consúltese (Pérez, 1996)) que incluye en su desarrollo algu-
nas prácticas con el algoritmo de cálculo del dígito de control Al margen de esta forma de incorporar el tema al currículo,
de un código de barras. basada en el trabajo con lápiz, papel y a lo sumo calculadora -
nada desdeñable desde mi punto de vista-, propongo otra
Algunas actividades recomendables podrían ser: forma de abordar el tema. Se trata de trabajar con una
WebQuest sobre códigos numéricos que he elaborado pen-
• En un primer nivel de dificultad se pueden proponer sando en alumnos de Secundaria. Una WebQuest es una uni-
ejercicios de verificación del cálculo de elementos de con- dad didáctica interactiva que mediante una metodología diri-
trol correspondientes a diversos códigos numéricos. gida de trabajo escolar con Internet, y basándose en un proto-
Como ocurre siempre, son más interesantes los más cer- colo definido -introducción, tarea, proceso, recursos, evalua-
canos al alumno, a saber: el DNI, los códigos de barras o ción, conclusión y guía didáctica- pretende conjugar el apren-
el ISBN. Este tipo de ejercicios es muy útil para reflexio- dizaje de nuevas tecnologías en contextos de uso real, con una
nar sobre el algoritmo de la división entera, en particular, forma de búsqueda eficiente de información curricular en la
sobre cómo calcular el resto con una calculadora. red. De esta forma, se minimizan los posibles defectos que
podría tener una búsqueda libre en Internet sobre un tema
Ejemplo: Halla los dígitos de control de las códigos de barras prefijado:
siguientes:
1. Leche Lauki entera: 8-414700-01101c • Exceso de información.
2. Leche Lauki semidesnatada: 8-414700-01102c • Errores conceptuales, posibles manipulaciones intencio-
3. Nestea: 5-449000-02086c nadas de los contenidos.
• Fines espurios de muchas páginas.
Ejemplo: ¿Es correcto el código de barras 9-788748-290208? • Falta de adecuación de la mayoría de las páginas a los
niveles de escolarización primaria y secundaria.
• En un nivel un poco superior son adecuados, porque per- • Falta de interactividad.
miten profundizar en conceptos propios de divisibilidad, • Distracción en la búsqueda.
los ejercicios que suponen calcular una cifra escondida en
un código, conocido el código completo -incluido su ele- En esencia, hay dos formas de usar una WebQuest en el aula:
mento de control-. hacer uso de una WebQuest ya elaborada que se ajuste a nues-
tras necesidades o fabricar una propia.
Ejemplo: Halla el número borrado en los siguientes códigos de
barras. Para manejar una WebQuest ya existente, existen en la red
1. Vichy catalán: 8-410?49-001107 bibliotecas sobre WebQuest de Matemáticas. Algunas direc-
2. Zumo Minute Made: 5-449000-033?95 ciones interesantes son:

• Por último, se puede profundizar en la creación, inven- http://platea.pntic.mec.es/~erodri1/BIBLIOTECA.htm

ción y manipulación de códigos por parte de los alumnos.
http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/enlaces/webquest.htm
Ejemplo: Un código de identificación tiene tres dígitos abc y un
dígito de control d; se forma por tanto el número abc-d. El dígi- http://www.estadisticaparatodos.es/webquest/w_matemati-
to de control se elige de tal manera que la suma de los dígitos cas.html
que ocupan los lugares pares, más el doble de la suma de los
que ocupan los lugares impares, más el número de dígitos
mayores que 4 que están en lugares impares sea múltiplo de La dirección donde está alojada la WebQuest que he cons-
10. truido sobre el tema que nos ocupa es:
1. Calcula el dígito de control para el número de
identificación 834. www.iesbahiacadiz.net/departamentos/matematicas/jesus-
2. Se sabe que hay un error en el segundo dígito de beato
486-4. ¿Puedes corregirlo?

51
SUMA 57
Febrero 2008

Tarea

Se pretende que quede muy claro en este apartado en qué va

a consistir el trabajo que se les va a pedir. El esquema más sim-
ple de trabajo consiste en realizar una serie de visitas a cier-
tas páginas, realizar actividades relacionadas con la informa-
ción contenida en las páginas visitadas y elaborar un informe
final. Además, se debe especificar en este apartado que vías y
que formato de entrega al profesor va a tener el trabajo (en
papel, en disco, por e-mail…)

Proceso

Es la parte donde se especifican, a través de links las páginas

a visitar y lo que tienen que ir haciendo en cada visita. Como
se trata de una actividad muy dirigida, la forma de interactuar
con el alumno debe ser muy directa, concisa, sencilla y clara.
Se puede a su vez dividir en subprocesos si el tema lo requie-
re. Se pueden, asimismo, incluir en este apartado tutoriales
Si se opta por fabricar una WebQuest, fundamentalmente, el para realizar algunas de las misiones encomendadas, tanto
trabajo del profesor incluye dos tareas: propias del tema como informáticas (por ejemplo, en la que
propongo para este tema, se incluye un tutorial para aprender
• Por un lado, realizar él la búsqueda previa de informa- a calcular el resto de una división entera con una calculadora,
ción en la red, seleccionando las páginas que el alumno o se puede incluir un tutorial para aprender a comprimir
tendrá que visitar de manera obligatoria. Esta selección ha archivos).
de estar basada en criterios que midan tanto la calidad de
la información contenida en la página, como la adecua-
ción al nivel del alumno y al tema a tratar, así como la esta-
bilidad de la página (algunas veces ocurre que varios links
Subprocesos Links
se han perdido cuando el alumno va a realizar la actividad
pues la página con la que enlazaban ya no existe).

• Una vez realizada la tarea anterior, el profesor debe con-

feccionar la página web que constituye el material con el
que el alumno debe trabajar. Esto no debe ser un obstácu-
lo para ningún profesor, pensando en tener que aprender a Actividad a realizar

manejar programas de edición de páginas web. Con un

procesador de textos como Word se puede realizar la pági-
na (así está hecha la que presento), teniendo la precaución
de guardar el archivo como Página web.

Ya sólo queda el último paso: subirla a Internet. Tampoco hay Recursos

que asustarse. Siempre está la opción de pedir ayuda al web-
master de la página web del instituto (que es lo que hago yo) En este apartado, se proporcionan al alumno algunos sitios
para que la aloje en ella. donde poder consultar, al margen de las páginas webs visita-
das, informaciones concretas. Se pueden dar recursos tanto
Como ya comenté anteriormente, una WebQuest tiene una de otras páginas como bibliográficos.
estructura definida. A continuación explicitaré el contenido
de cada una de las partes que la forman Evaluación

Introducción Como casi siempre ocurre, este apartado es el más interesan-

te (o al menos a mí me lo parece). Para evaluar WebQuest se
En este apartado se motiva, en pocas líneas, a la realización de suelen usar matrices de evaluación como la siguiente, acom-
las actividades que después se propondrán. pañada de una tabla de estimación.

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 SUMA 57
Febrero 2008

Escasa Aprendizaje Buen Excelencia en el Notación

consolidación medio aprendizaje aprendizaje Numérica

1 2 3 4
Utilización de las No ha utilizado algu- Usa todas las tecnolo- Usa todas las tecnolo- Usa todas las tecnolo-
TICs (Procesado de na de las tecnologías gías requeridas. gías requeridas. gías requeridas.
textos, escaneado de requeridas. El informe llega al El informe llega al El informe llega al
imágenes, inserción Algún fallo técnico profesor por correo profesor por correo profesor por correo
de documentos y por parte del grupo electrónico. electrónico. electrónico.
captación de imáge- impide que el informe El aspecto del informe El aspecto del informe El aspecto del informe
nes) llegue completo al final no es agradable: final es correcto. Se final es correcto. Se
profesor faltan las sangrías puede leer. puede leer.
oportunas, los centra- El informe final es
dos, la diferenciación técnicamente de gran
entre títulos y subtítu- calidad: El tipo de
los, las partes del letra y su tamaño es
mismo no se distin- coherente con la par-
guen, los tipos de tición del documento.
letra elegidos y sus Los gráficos son de
tamaños no son atrac- calidad y están inser-
tivos, las tablas no tados en su corres-
están bien confeccio- pondiente lugar, las
nadas tablas son atractivas.
No ha incluido en el Ha incluido los cálcu- Ha incluido los cálcu- Ha incluido los cálcu-
Cálculos aritméticos trabajo los cálculos los aritméticos. los aritméticos. los aritméticos.
aritméticos. Ha necesitado aclara- Se ha mostrado inde- Se ha mostrado inde-
ciones del profesor pendiente en la com- pendiente en la com-
para comprender las prensión de los algo- prensión de los algo-
explicaciones de los ritmos de cálculo ritmos de cálculo
algoritmos que se correspondientes a correspondientes a
exponían en las pági- cada subproceso. cada subproceso.
nas correspondientes. Ha tenido algunos No ha tenido errores
Ha tenido algunos errores aritméticos aritméticos.
errores aritméticos

Informe final No ha comprendido Ha comprendido las Ha comprendido las Ha comprendido las

bien las informaciones informaciones sumi- informaciones sumi- informaciones sumi-
suministradas en las nistradas por las pági- nistradas por las pági- nistradas por las pági-
páginas visitadas. nas. nas. nas.
El informe es inconexo El informe es inconexo El informe mantiene El informe mantiene
entre secciones. entre secciones. una adecuada cone- una adecuada cone-
Los resúmenes no son xión entre secciones. xión entre secciones.
correctos: contienen Los resúmenes son Los resúmenes son
datos superfluos e correctos: breves y con correctos: breves y con
irrelevantes, son los datos fundamenta- los datos fundamenta-
demasiado extenso les. les.
Los esquemas y las Los esquemas y las
tablas no están bien tablas están bien plan-
planteados, ni se han teados y se han usado
usado con la asiduidad en cantidad adecuada.
requerida

Expresión oral No realiza una verda- Realiza una expresión Realiza una expresión Realiza una expresión
dera exposición oral, oral, sin necesidad de oral, sin necesidad de oral, sin necesidad de
sino necesita constan- leer todo lo que expre- leer todo lo que expre- leer todo lo que expre-
temente leer las con- sa, aunque mantenien- sa, aunque mantenien- sa, aunque mantenien-
clusiones do un guión de lo que do un guión de lo que do un guión de lo que
va a decir. va a decir. va a decir.
La expresión es poco La expresión poco La expresión poco
fluida, muy automáti- fluida. fluida.
ca. No hay capacidad de En el debate se expresa
Pareciera que lo ha debate y argumenta- claramente sus argu-
aprendido todo de ción. mentos y muestra fle-
memoria. xibilidad y rigor.

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Febrero 2008

Escala de estimación: • Autor

• Correo electrónico
• Nivel académico y curso al que va dirigida
Escasa Aprendizaje Buen Excelencia en el
• Materia en la que se puede encuadrar
consolidación medio aprendizaje aprendizaje
• Duración prevista (en sesiones de 1 hora)
PUNTUACIÓN 4-7 8-11 12-15 16 • Observaciones
• Fecha

Conclusiones Mi experiencia con el trabajo en esta WebQuest es claramen-

te satisfactoria y ha tenido entre los alumnos una gran acogi-
Se plantean al alumno algunas cuestiones que le puedan ayu- da. Los resultados han sido excelentes y los trabajos finales,
dar a elaborar el informe final pedido o a debatir en clase fruto de su trabajo con la página, han merecido una alta cali-
sobre el uso de la herramienta. En resumen, a que reflexione ficación por mi parte. Creo que en el momento educativo en
sobre el trabajo realizado. que nos encontramos, cada vez más tendente a que los cen-
tros utilicen las tecnologías de la información y la comunica-
Guía didáctica ción en todas sus aulas, estas herramientas WebQuest van a
jugar, o están jugando ya un papel fundamental.
En el último apartado de la WebQuest aparece una pequeña
guía didáctica que incluye: Sólo me queda animar a todos al uso de esta herramienta.

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54
 57
Febrero 2008, pp. 55-64 Los números mórficos en secundaria

El número de oro y el número plástico pertenecen a la clase de los números mórficos. En este artículo revisamos algunos aspec-
tos históricos, presentamos algunas de sus propiedades y proponemos actividades sobre ellos, que permitirán trabajar transver-
salmente Álgebra y Geometría. Usando el lenguaje funcional como modelo de representación, los alumnos podrán conjeturar, de
forma intuitiva, un resultado fundamental: “Solo existen dos números mórficos, el número de oro y el número plástico”.

The golden mean and the plastic number belong to the class of morphic numbers. In this paper we recall some historical aspects
and we show some properties of them and we present some activities, which will allow us to work transversely Algebra and
Geometry. By means of use of the functional language as a representational model, our students will can to conjecture the most
fundamental result: “There exist only two morphic numbers, namely the golden mean and the plastic number”.

U na de las manifestaciones más fructíferas de la actividad xión con el problema de la búsqueda de un “sólido armonio-
matemática es la generalización. Cuando generalizamos cons- so”.
truimos matemáticas, pues definimos y relacionamos con-
ceptos, descubrimos propiedades, confirmamos intuicio- Como sabemos que el estudio de la belleza y armonía en las
nes,… y tanto en el “resultado final”, como en el “camino reco- formas geométricas fue abordado en la antigüedad por los
rrido”, encontraremos siempre belleza y armonía. Un claro griegos, será inevitable empezar con un poco de historia
ejemplo de bella generalización es la familia de los números (Ghyka, 1978, 1979). En el plano el elemento ortogonal de
metálicos, (Spinadel, 1998). Esta familia está formada por el superficie es el rectángulo a×b, Platón y sus contemporáneos
conjunto de las soluciones positivas de las ecuaciones de la encontraron en las propiedades matemáticas y estéticas de la
forma : proporción áurea φ motivos suficientes para considerar el
rectángulo áureo, de razón b:a igual a φ, con b>a como el ele-
x2-mx-n=0, m=1, 2, 3, ... mento de armonía en el plano.

Una subfamilia relevante de ella se obtiene al considerar n=1 El mismo Platón consideró el concepto de proporción en los
y m=1, 2, 3,... Todos sus elementos comparten propiedades sólidos. En el espacio, el elemento ortogonal de volumen es el
que son generalización de las que cumple el número de oro φ paralelepípedo recto rectángulo a×b×c. Los griegos daban
(Spinadel, 1999; Redondo, 2006; Spinadel y Redondo, 2007) y nombres especiales a las diferentes formas de volumen, le lla-
representan la extensión natural del concepto de proporción maban altar cuando a<b<c, ladrillo si a=b>c, viga en el caso
áurea en el plano. Pero la divina proporción, puede extender- a=b<c, y por supuesto, cubo cuando a=b=c. Nosotros no usa-
se al espacio de tres dimensiones, también de forma natural, remos esta nomenclatura, y siguiendo el ejemplo de C. Alsina1
en número plástico ψ (Van der Laan, 1960; Alsina y García-
Roig 2001; Alsina, 2007), y éste, junto con el número de oro,
pertenece a la familia de los números mórficos, que aparece al
considerar la posibilidad de seguir extendiendo aún más las
propiedades que comparten. Este artículo está dedicado en Antonia Redondo Buitrago
esencia a ese proceso de generalización. La idea que organiza IES Bachiller Sabuco.Albacete
esta primera parte es la extensión de la “noción plana” de la Sociedad Castellano Manchega de Profesores de Matemáticas
proporción áurea φ al espacio de tres dimensiones, en cone- Asociación Internacional de Matemática y Diseño, M&D

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Febrero 2008

nos permitiremos la libertad de llamarles a todas cajas. En muchas ocasiones trabajaremos en el espacio de tres
dimensiones y por tanto los cálculos y procedimientos serán
Para poder hablar de proporción en el espacio, es necesario algo más complejos que cuando nos restringíamos al rectán-
determinar con precisión la forma de la caja y observamos gulo de oro en el plano, pero en modo alguno en ningún caso
enseguida que aunque el volumen a×b×c está determinado serán más complicados. De forma intencionada las activida-
por los tres rectángulos, a×b, a×c, b×c, en general diferentes, des aparecen en el texto del artículo, en el momento en que el
la caracterización de dos de ellos determina las proporciones contexto lo sugiere, numeradas según la secuencia en que
del tercero. Por tanto la proporción en el espacio se establece- deben ser propuestas, diseñadas para que cualquier alumno
rá con las razones de dos rectángulos, ya que la tercera pro- de Bachillerato pueda realizarlas con autonomía sin dificul-
porción se deduce de las dos anteriores. Este hecho sugiere tad.
que para que un sólido a×b×c fuera armonioso sería suficien-
te con que dos de los rectángulos, a×b, a×c, b×c, lo fueran. Antes de empezar convendrá que recordemos algunos resul-
Esto sucede en los llamados volúmenes egipcios emparentados tados sobre los números metálicos. Una colección de activida-
con el número de oro: 1×1×φ, 1×φ×φ, 1×φ×φ2 y 1×φ2×φ3. El des para Secundaria sobre estos números fueron presentadas
segundo aparece a menudo en las construcciones del antiguo en el nº 50 de esta revista (Redondo y Haro, 2005).
Egipto con las aproximaciones y para la proporción áurea2. El
tercero, con notables propiedades geométricas, se conoce El número metálico σm es un número mayor que 1 que se
como el sólido de oro de Samuel Colman (Colman, 1920). El define como la solución positiva de la ecuación:
cuarto, Figura 1, tiene la propiedad de que se puede dividir en
un sólido φ2×φ2×1 y un sólido de oro. x2-mx-1=0, m=1, 2, 3, ... (1)
El primero de ellos σ1 es, en efecto, el número de oro φ. El
segundo σ2 es conocido como número de plata θ, y el tercero
que corresponde al caso m=3 , es el número de bronce. Los
restantes no tienen nombre propio, simplemente se nombran
σm.

Figura 1 La ecuación (1) puede expresarse equivalentemente de la

forma x=m+1/x por tanto reemplazando iterativamente el
Ciertamente, todos estos sólidos pueden considerarse armo- valor de x en el segundo término de la igualdad, obtenemos la
niosos, pero no puede decirse que representen una verdadera expansión en fracción continua simple del número metálico
generalización, pues ninguna de las propiedades geométricas σm considerado:
intrínsecas que caracterizan al rectángulo de oro, se cumplen
en ellos. Tuvieron que pasar muchos siglos hasta que dicha
generalización fuera descubierta o reconocida, y llegaría en
relación con el estudio de determinadas sucesiones recurren-
tes y de la mano de los trabajos del arquitecto holandés Hans
Van der Laan (1904-1991).

Los conceptos y resultados que vamos a considerar tienen una Una de las propiedades que caracteriza a los números metáli-
corta historia que revisaremos brevemente en esta propuesta, cos σm, es que son límite de las razones de términos consecu-
donde el hilo conductor será el estudio de los números mórfi- tivos de la sucesión recurrente:
cos y sus propiedades fundamentales, y el objetivo la presen-
tación de originales actividades “ecológicas” en el entorno del a1=a2=1 an=man-1+an-2, n=3, 4, 5, ... (2)
Bachillerato. El estudio se ubicaría de forma natural en el
marco de la formulación de conjeturas y de la generalización Esto se debe a que la sucesión de razones verifica la igualdad
y podría ser un recurso didáctico más a tener en cuenta para
trabajar de forma transversal contenidos de Álgebra y an+1/an=(man+an-1)/an=m+(an/an-1)-1
Geometría, considerando de forma globalizada conceptos y
procedimientos tan diversos como la noción de número irra- y por ser de Cauchy converge a un cierto número L y de esta
cional, la resolución de ecuaciones, la proporción y la seme- manera se debe cumplir
janza, la convergencia de sucesiones de números reales… y
nos daría ocasión de ir introduciendo poco a poco a nuestros L=m+L-1⇔ L2-mL-1= 0 ⇒ L=σm
alumnos en el razonamiento por recurrencia y la demostra-
ción por el método de inducción.

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Febrero 2008

En este razonamiento solo es relevante la relación de recu- Actividad 1

rrencia, el valor de las condiciones iniciales no influye para Objetivos: Reconocer sucesiones de números naturales
nada en el resultado obtenido. Podríamos considerar diferen- definidas por recurrencia y conjeturar relaciones de recu-
tes valores para a1 y a2 y obtendríamos diferentes sucesiones, rrencia. Construir la sucesión de Padovan.
pero el límite de sus razones sería siempre el mismo. Por Conocimientos previos: Concepto de sucesión. Término
ejemplo, en el caso m=1, considerando a1= a2= 1 la relación general de una sucesión.
de recurrencia origina la clásica sucesión de los números de Materiales: Trama de puntos.
Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Pero si elegimos a1=1 y a2=3 obte-
nemos la sucesión de los números de Lucas: 1, 3, 4. 7, 11, 18, En la Figura 4 el triángulo inicial es equilátero y de lado 1. Le
... que también origina el número de oro. En el caso m=2, las añadimos otro igual en la parte de abajo. Luego otro igual
condiciones iniciales a1=1 y a2=1 generan la sucesión de los hacia la izquierda, siguiendo el sentido de las agujas del reloj.
números de Pell:
1, 2, 5, 12, 29, 70, ...

De la ecuación (1) se deducen dos consecuencias inmediatas.

La primera es que los números metálicos σm generan la pro-
gresión geométrica de razón σm Figura 4

..., (σm)-3, (σm)-2, (σm)-1, 1, σm, (σm)2, (σm)3, ... Seguimos girando y añadimos un triángulo equilátero de lado
2, y luego otro igual en la parte superior. Después otro de lado
que cumple también la relación de recurrencia (2). 3, de la forma que se ve en la Figura 5.

La segunda es que el gnomon3 de un rectángulo metálico a×b,

b:a = σm es el rectángulo a×ma formado por la unión de m
cuadrados de lado a, Figura 2:

Figura 5

Girando siempre en el sentido de las agujas del reloj, añadi-

mos un triángulo blanco de lado 4 que coincida con los de los
dos sombreados de lado 1 y 3, Figura 6. Luego uno sombrea-
do de lado 5 que coincida con los de los dos blancos de lado 1
Figura 2 y 4, y así sucesivamente…

En consecuencia, el crecimiento pseudo-gnomónico por m

cuadrados derivado de la relación de recurrencia (2) origina
una sucesión de rectángulos cuyas razones tienden rápida-
mente a σm. La Figura 3 muestra el proceso que genera el rec-
tángulo de plata.

Figura 6

Continúa con el proceso y dibuja más triángulos de esta espi-

ral de triángulos.

Figura 3 a) Escribe ahora las longitudes de los lados de los triángulos

en el orden en que los has obtenido ¿qué relación existe entre
La siguiente actividad será el comienzo de nuestra búsqueda los lados de los triángulos? Exprésala algebraicamente.
del paralelepípedo que sea una generalización satisfactoria de b) Si continuaras indefinidamente obtendrías una sucesión.
los rectángulos metálicos σm. ¿Sabrías hallar su término general?

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La sucesión de los lados de los triángulos es 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, Actividad 2

5, 7, 9, 12, 16,…, la sucesión de Padovan. Es una sucesión defi-
nida por tres condiciones iniciales, a1, a2, a3 y una relación Objetivos: Encontrar el número plástico, reconociendo
de recurrencia que permite obtener los términos a4, a5, a6, ... que es un número irracional y obtener una aproximación
racional de él por diferentes procedimientos.
Conocimientos previos: Relación entre la sucesión de
a1= a2= a3= 1 an= an-3+ an-2 n = 4, 5, 6, ... (3) Fibonacci y el número de oro. Límite de una sucesión.
Resolución de ecuaciones polinómicas. Representación
gráfica de funciones.
La utilización de una trama triangular como material facilita Materiales: Calculadora gráfica y ordenador (programa
reconocer la relación de recurrencia que la define (Figura 7) y Derive).
otras como:
an= an-1+ an-5 n = 6, 7, 8, ... (4) En la Actividad 1 has encontrado una sucesión que se define
de forma parecida a la sucesión de Fibonacci. Era la sucesión
an= an-2+ an-5+ an-6 n = 7, 8, 9, ... Padovan: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, …
a) Utiliza la calculadora para construir la sucesión de las pri-
an= an-4+ an-5+ an-6+ an-7+ an-8 n = 9, 10, 11, ... meras razones de dos términos consecutivos de ella y estudia
su convergencia.
b) Razona ahora de forma general teniendo en cuenta que
que podrían demostrarse por inducción. La relación (4) des-
empeñará, como veremos más adelante, un papel fundamen-
tal.

La calculadora ayuda a conjeturar que la sucesión a2/a1,

a2/a3, a4/a3, ... es convergente. Una demostración rigurosa
no sobraría, pero quizás no sea necesaria, pues nuestros obje-
tivos son otros. Si admitimos que la sucesión es convergente a
Figura 7 un cierto número L, evidentemente tiene que cumplir:

Al igual que los números de Fibonacci, los números de

Padovan también aparecen al sumar “líneas” del triángulo de
Pascal, Figura 8.

Una primera aproximación al valor del límite pedido se puede

hallar fácilmente utilizando una tabla que también servirá
para descubrir la igualdad de los tres límites de la izquierda:

n an+1/an an/an-1 an-1/an-2

Figura 8
1 1/1
Sabemos que los números metálicos son límite de razones de
términos consecutivos de ciertas sucesiones recurrentes. 2 1/1 1/1
Parece lógico preguntarse qué ocurre con la sucesión de las
3 2/1 1/1 1/1
razones de la sucesión de Padovan. La siguiente actividad
contesta a esta pregunta y será una ocasión para resolver 4 2/2 2/1 1/1
ecuaciones polinómicas por diferentes métodos.
5 3/2 2/2 2/1
.. .. .. ..
. . . .

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El límite L es por tanto solución de la ecuación x3 - x -1 =0. El

polinomio que aparece en el miembro de la izquierda es irre-
ducible en el cuerpo de los números racionales. Pero como es
de grado impar sabemos que por lo menos tiene una raíz real,
que será única, pues la gráfica de la función y=x3 - x -1 sólo
corta en un punto al eje de abcisas, Figura 9. Esa solución es
ψ, el número plástico4 de Hans van der Laan. Es una buena ocasión para invitar a los alumnos a que bus-
quen información en los libros de Historia para encontrar la
fórmula, la apliquen y comparen la solución que proporciona,
con las aproximaciones que han obtenido utilizando el mode-
lo funcional.

Observemos las analogías entre el número plástico y los

números metálicos σm. Son evidentes. En efecto, todos ellos
son números irracionales mayores que uno, soluciones de
ecuaciones que son generalización de la que satisface el
número φ. Por supuesto, todos admiten expansión en fracción
continua simple, pero aquí encontramos una diferencia esen-
Figura 9 cial. Las fracciones continuas simples de los números σm son
muy sencillas y sus coeficientes son verdaderamente fáciles de
recordar pues son todos iguales al correspondiente m, es
Van der Laan empieza sus estudios de arquitectura en 1923 y decir, son periódicas puras de periodo m. Sin embargo con la
los abandona en 1927 para ingresar en la orden benedictina. fracción continua simple del número plástico la cosa cambia,
En 1938 proyecta y construye una nueva ala de la abadía de pues no es periódica5 y no parece que exista ninguna forma de
Oosterhout y retoma su actividad como arquitecto, aunque predecir sus coeficientes. Como muestra, estos son los prime-
realiza muy pocas obras, casi todas ellas de carácter religioso ros 80 coeficientes:
(tres conventos, un monasterio, una capilla y una casa priva-
da). Sus estudios sobre las proporciones en las iglesias del 1, 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80, 2, 5, 1, 2 , 8, 2, 1, 1, 3, 1, 8,
Románico, le conducen al descubrimiento de que muchas de 2, 1, 1, 14, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 10, 4, 40, 1, 1, 2, 4, 9, 1, 1, 3, 3, 3,
ellas aparecen relacionadas con la sucesión de Padovan y des- 2, 1, 17, 7, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 3, 5, 1, 2, 6, 2, 2, 1, 1, 1, 4, 1, 3, 1, 2, 6,
arrolla un sistema de proporciones basado en el número plás- 5, 6, 49, 3, 7.
tico que utiliza en sus construcciones.
Pero podemos obtener dos expresiones infinitas diferentes
La sucesión de Padovan recibe este nombre por el arquitecto para aproximar ψ:
inglés Richard Padovan (1935-), responsable en gran medida
de la difusión de su obra, al traducir en 1983 al inglés su tra-
tados de arquitectura, “Architectonic space” en 1983 y
“Modern Primitive” en 1994 (Padovan, 2002). Ian Stewart
contribuyó también a su divulgación y popularidad, dedicán-
dole en 1996 una de sus columnas de Mathematical
Recreations de Scientific American, a la sucesión de Padovan
(Stewart, 1996).
Continuando con las analogías, de la ecuación x3 - x -1 =0 se
El número plástico es un número irracional, cuyo valor exac- deduce que el número y define una progresión geométrica de
to se puede hallar aplicando la fórmula clásica de Cardano razón ψ: ..., ψ-3, ψ-2, ψ-1, 1, ψ, ψ2, ψ3, ...,que también cumple
para la ecuación cúbica x3 + px = q la relación de recurrencia correspondiente, (3).

Más analogías. En la tercera actividad, al generalizar al espa-

cio el crecimiento pseudo-gnomónico asociado a los números
metálicos σm (ver Figura 3) nos encontraremos con el núme-
ro plástico y conseguiremos el deseado “sólido armonioso”, ¡la
caja plástica! (Alsina, 2007). Utilizaremos para ello un mode-
tomando p= -1 y q = 1 lo geométrico que proporcionará una interpretación geomé-

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trica de la sucesión de Padovan y de la sucesión que se origi- La utilización del material facilita la representación mental en
na al considerar las razones de los términos consecutivos. las primeras iteraciones, pero estamos trabajando en el espa-
cio y el número necesario de piezas necesarias para construir
Actividad 3 la figura que se añade crece con gran rapidez y esto “afortu-
nadamente” obligará al alumno a utilizar como recurso repre-
Objetivos: Obtener una sucesión de cajas que “tiende” a sentaciones gráficas en el plano que pondrán a prueba su ima-
una caja de dimensiones 1×ψ×ψ2 . Establecer el concepto ginación espacial. Describir la variación de la forma de la caja
de caja plástica. conduce a reconocer que la idea de “alargada”, “ancha”,…solo
puede precisarse comparando las razones b/a y c/b.
Conocimientos previos: Sucesión de Padovan, número
plástico y la relación entre ellos. Lo primero que observamos es que las cajas se añaden
siguiendo la secuencia: “a la derecha”, “por delante”, “por
Materiales: Policubos. Imaginación espacial. abajo”, “a la derecha”, “por delante”, “… Empezamos con un
cubo. Añadimos otro cubo a la derecha y obtenemos una caja
A partir de un cubo 1×1×1 construimos una sucesión de 1×1×2. A éste le añadimos por delante otra 1×1×2 y obtene-
cajas por el procedimiento que muestra la Figura 10. Añade mos una caja 1×2×1.Y así sucesivamente…
algunas cajas más a la sucesión.
El enunciado sugiere describir las cajas ordenando sus dimen-
siones en orden creciente, es decir de la forma a×b×c con,
a≤b≤c independientemente de su disposición. Es imprescin-
dible admitir este convenio si queremos descubrir el patrón
seguido en las sucesivas transformaciones. Esta actividad es
un claro ejemplo de la relevancia en Matemáticas de la elec-
ción de una notación y codificación apropiada (Figura 12).

Figura 10
Figura 12
a) Describe con precisión el procedimiento seguido en cada La tabla ayuda a reconocer lo que sucede y descubrir la ley de
una de las iteraciones. recurrencia: “Con excepción de las 4 primeras, todas las cajas
iniciales son a×b×c con a<b<c, siendo por tanto todas las
b) Observa como varían las dimensiones a, b, c de las cajas caras rectángulos. En cada paso adosamos a una de las caras
que vamos obteniendo y como influye en la “forma de la caja” de mayor área, es decir a una de las dos b×c, una caja de
(la primera es un cubo, la segunda es “muy alargada”, la terce- dimensiones b×b×c. El resultado obtenido es una caja final
ra es “muy ancha”,…). Describe esta variación. Te ayudará uti- b×c×(a+b), que se convierte en la caja inicial de la fila siguien-
lizar una tabla como esta: te”.

Observamos ahora la columna de las figuras finales…

Efectivamente, si eliminamos el primer término de la sucesión
de Padovan obtenemos precisamente la sucesión de las
dimensiones menores. Si eliminamos los dos primeros, obte-
nemos la de las dimensiones intermedias. Y si eliminamos los
Figura 11 tres primeros, la de las dimensiones mayores. Por tanto, las
cajas finales siempre tienen sus dimensiones iguales a tres
c) Si el proceso pudiera repetirse indefinidamente, ¿qué términos consecutivos de la sucesión de Padovan, de esta
dimensiones tendría la caja final? forma, al hacer tender a infinito el número de iteraciones, los

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cocientes y convergen al número plástico. Podríamos decir y tienen la misma dirección. En efecto:
que las cajas que vamos obteniendo son cada vez “más pare-
cidas” a una caja determinada por dos “rectángulos plásticos”,
Figura 13, lo que se conoce como “caja plástica”.

¿Hay algún otro “parecido” entre el número de oro y el núme-

ro plástico? La respuesta es, sí. La presencia y protagonismo
de la proporción áurea en Arquitectura y Diseño se debe espe-
cialmente a que se puede definir un sistema de medidas basa-
do en el número de oro. Un sistema de medidas es una suce-
sión de segmentos con longitud en progresión geométrica de
razón p=φ con la condición de que al “sumar” o “restar” dos
Figura 13 medidas consecutivas del sistema, se obtiene otra medida del
sistema. Eligiendo se cumplen las dos condiciones, Figura 17,
¿Cumple la “caja plástica” las condiciones de la generaliza- pues φ+1 = φ2 ⇔ φ-1 = φ-1.
ción que estamos buscando? La relación algebraica
φ2=φ+1⇔φ/(φ+1)=1/φ se traduce geométricamente en la
construcción de la Figura 14, donde los puntos A, B y C están
alineados y solamente puede generalizarse al espacio con la
que muestra la Figura 15, si en ella los tres puntos señalados
también están alineados. Esto ocurre.

Figura 17 Figura 18

Pero tomando p= ψ, Figura 18, conseguimos también un sis-

tema de medidas. De la igualdad ψ+1=ψ3 se deduce que cum-
ple la “condición suma” y la “condición resta” también por
verificarse ψ-1=ψ4, pero a diferencia del caso anterior, ahora
Figura 14 Figura 15 las dos igualdades no son equivalentes, la segunda es una con-
secuencia de la relación de recurrencia (4). En efecto:
La comprobación es especialmente sencilla, si consideramos
un sistema de referencia adecuado, como el de la Figura 16, en
donde el eje de abcisas seria la perpendicular por A al plano
del papel.

y los cinco cocientes que aparecen en la igualdad convergen a

ψ, por tanto ψ-1 =ψ4 .

Tenemos de esta forma dos números mayores que 1, φ y ψ,

que son solución de la ecuación x+1= xr, r=2, 3, y que son
también solución de la ecuación para algún valor entero posi-
tivo de s. Intentemos dar un paso más en el proceso de gene-
Figura 16 ralización considerando también los valores s=4, 5, 6, ... Las
soluciones que obtengamos podrán definir también un siste-
En este caso A(0, 0, 0), B(ψ, ψ2, 1) y C(ψ+1,ψ2+ψ, ψ2) y expre- ma de medidas y formarán la familia de los números mórficos
samos la noción de proporcionalidad en términos de vectores, (AArts, J. Fokkink, R. J. y Kruijtzer, G, 2001):
por tanto bastará comprobar que los vectores: La ecuación polinómica x+1= xr, no tiene solución para r=1,
pero para r = 2, 3, 4, ... tiene siempre una única solución posi-
tiva, irracional, mayor que 1, por tanto para encontrar más
números mórficos sólo hay que hallar el parámetro s que

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Un número mórfico es un número real p>1 que es

solución del sistema:

, para algún valor natural de r y s.

Figura 19
determine una ecuación de la forma x-1= x-s, que comparta
esa solución. En este caso no podremos apoyarnos en mode- La representación gráfica, Figura 19, muestra que las solucio-
los geométricos, pero si podemos recurrir al lenguaje funcio- nes de las ecuaciones x-1=x-s son mayores que
nal… 1’220744084…. y la correspondiente a s=8 es ya menor. No
necesitamos seguir buscando pues la sucesión de funciones gs
Actividad 4 corta al eje de abcisas en puntos que originan una sucesión
estrictamente decreciente y las otras soluciones serían tam-
Objetivos: Obtener elementos de la familia de los números bién menores. Luego no existe ningún número mórfico aso-
mórficos. ciado a r=4. Tampoco lo encontraremos para r=5, ni para
Conocimientos previos: Concepto de número mórfico. valores superiores. Es inútil seguir buscando, Jan Aarts,
Aproximación de soluciones irracionales de una ecuación Robbert Fokkink y Godfried Kruijtzer demostraron en 2001
polinómica. Resolución gráfica de sistemas. que solo hay dos, el número de oro y el número plástico. Por
Materiales: Calculadora gráfica y ordenador (programa tanto son los únicos números que generan un sistema de
Derive). medidas ideal.

Los números mórficos son números irracionales mayores que Entonces, ¿los números metálicos no son una buena generali-
1 que son solución del sistema formado por dos ecuaciones, zación del número de oro? Sí, lo son en el plano, si somos
una de la forma x+1 =xr y otra como x-1 = x-s donde r y s son menos exigentes en la noción de sistema de medidas. Los
dos números enteros positivos. Al considerar r=2 y s=1 tene- requisitos exigidos tienen su razón de ser en garantizar la
mos el número de oro. Para r=3 y s=4 tenemos el número plás- armonía de las composiciones realizadas con las medidas de
tico. la escala y esto puede darse cuando por yuxtaposición (suma)
o superposición (resta) de los segmentos obtengamos otro de
a) ¿Sabrías encontrar el número mórfico asociado al valor ¿Y la sucesión. Por tanto también podrían diseñarse composicio-
al ? nes armoniosas si acumulamos o superponemos “varias
veces” un segmento a otro consecutivo. Se relajarían las con-
b) Investiga otras posibilidades para el valor r ¿Cuántos núme- diciones exigidas admitiendo que “al sumar o restar a un ele-
ros mórficos encuentras? mento de la sucesión m veces el anterior se obtenga otro de la
sucesión” y eso sucede cuando consideramos como base los
Empezamos por r = 4. Gracias a la calculadora gráfica, pode- números metálicos σm. Obviamente la “condición suma” se
mos hallar rápidamente y sin dificultad la solución aproxima- sigue de la relación de recurrencia asociada: “el elemento del
da de la ecuación x4-x-1= 0. Es 1’220744084…. Ahora el pro- lugar n de la progresión geométrica es suma de m veces el tér-
blema es inverso, hay que reconocer, cual de las ecuaciones mino del lugar n-1 y el del lugar n-2”. Y la “condición resta”
x-1=x-1, x-1=x-2, x-1=x-3, x-1=x-4, x-1=x-5,… tiene esa también pues “al restar a un elemento de la sucesión, m veces
misma solución. Tampoco es tarea dif ícil, si representamos en el anterior se obtiene otro de la sucesión (justo el anterior al
un mismo sistema de coordenadas las funciones: que está restando)”:

f(x)= x4-x-1, gs(x)=x-1-x-s, s= 2, 3, 4, 5, 6, ...

Todas las gráficas pasan por el punto (1, -1). No necesitamos

evidentemente representar g1 ni g4 pues sus soluciones ya No deja de ser curioso que los cercanos parientes planos del
sabemos que son φ y ψ. número de oro sean tan numerosos y su familia espacial sea
tan reducida…

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El número plástico aparece esencialmente vinculado a la ter- En el caso del segundo apartado, la situación del cuadrado
cera dimensión, pero también lo encontramos en situaciones blanco es irrelevante. Lo supondremos a la izquierda, y salvo
geométricas planas. Como ejemplo, este problema que podría giros o simetrías, la descomposición es la Figura 21.
también proponerse en la opción B del cuarto curso de la
ESO.

Problema: Tenemos que descomponer un cuadrado de lado 1

cm. de acuerdo con las siguientes reglas:

(i) Hacemos un corte paralelo a uno de los lados para obtener

dos rectángulos con un lado común. (ii) En uno de los dos rec-
tángulos hacemos un corte perpendicular al anterior de mane- Figura 21
ra que obtengamos un rectángulo y un cuadrado con un lado
común. Los dos primeros cortes deben realizarse tales que
(2x+y)/x=/x/y=θ. Encontramos en este caso el número de
a) ¿De qué forma se puede hacer, si queremos que los rectán- plata. Ahora 2x+y=1, x=θ-1, θ-2, y=5-2θ y los rectángulos son
gulos obtenidos sean semejantes? ¿Cuáles serían las 1×(θ-2), (θ-2)×(5-2θ) y (5-2θ)×(5-2θ). Como el cuadrado
dimensiones de las partes que se obtienen? podría estar en el centro o a la derecha, tenemos 3 formas
equivalentes de hacerlo.
b) Modificamos la regla (i) haciendo 2 cortes paralelos al lado
para obtener dos rectángulos iguales adosados y la norma En cualquier caso: “Un cuadrado puede descomponerse en 4
(ii) haciendo 2 cortes perpendiculares para dividirlo en un rectángulos de plata y un cuadrado”.
cuadrado y dos rectángulos. ¿Cómo lo haríamos para que
los rectángulos sigan siendo semejantes? ¿Cuales son ahora La generalización al caso de n cortes es inmediata y aparecen
las dimensiones de las figuras obtenidas? los números metálicos σm.

c) Generaliza el apartado b) admitiendo n cortes en (i) y en

(ii).

d) Mantenemos la regla (i) inicial y modificamos la (ii) para

obtener dos rectángulos estrictos ¿De qué forma consegui- y obtenemos los valores x=(σn)-1=σn-n, y=(n2+1)-nσn : “Un
mos que los tres rectángulos obtenidos sean semejantes? cuadrado se puede descomponer en 2n rectángulos metálicos
¿Qué dimensiones tendrían los rectángulos? σm y un cuadrado”.

Finalmente si seguimos las reglas del apartado d) solo pode-

En el apartado a), salvo giros y simetrías, solo podemos des- mos descomponer el cuadrado como se ve en la Figura 22
componer el cuadrado de una forma, Figura 20.

Figura 22

Figura 20 Despejando β en la primera ecuación del sistema y sustitu-

yendo en la segunda, tenemos
El primer corte solo puede realizarse de manera
que(x+y)/x=x/y=φ. Como x+y=1, tenemos que x=φ-1= φ-1y α3-α-1=0 ⇒ α=ψ ⇒ β=ψ2 ⇒ x=ψ-2, y=ψ-3, z=ψ-1.
por tanto y=2-φ. Los rectángulos son 1×(φ-1), (φ-1)×(2-φ) y
(2-φ)×(2-φ) : “Un cuadrado puede descomponerse en dos rec- Los tres rectángulos semejantes son:
tángulos áureos y un cuadrado”.
1×ψ-2, ψ-1×ψ-3, ψ-3×(1-ψ-1)

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Este problema representa una forma sencilla y elegante de

“Un cuadrado se puede descomponer en tres rectángulos seme- presentar de forma unificada las dos generalizaciones signifi-
jantes, los tres con lados en razón ψ2”. cativas de la proporción áurea, los números metálicos σm, y
los números mórficos.
Como era de esperar, no podremos aumentar el número de
cortes y seguir teniendo rectángulos semejantes…

NOTAS

1 Un viatge a l’espai. http://www.upc.edu/ea-smi/personal/clau- número “nombre radiant”. Fue el primero que consideró un sis-
di/materials.html. (Página personal de Claudi Alsina). tema de proporciones asociado a la solución de la ecuación
2 En el papiro de Ramsés IV, se describe la Cámara de Oro que con- x3=x+1, pero sus aportaciones no tuvieron repercusión, tal vez
tenía la tumba del rey, asignándole las dimensiones 16 codos de por su afición al esoterismo y las apariciones religiosas…
largo, 16 codos de ancho y 10 codos de alto. 5 La fracción continua del número plástico no puede ser periódica.
3 Figura cuya yuxtaposición a una figura dada produce una figura Joseph Louis Lagrange (1736-1813) probó que un número es
resultante semejante a la figura inicial. irracional cuadrático si y solo si su descomposición en fracciones
4 El ingeniero francés Gérard Cordonnier en 1928 llama a este continuas es periódica (no necesariamente periódica pura).

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ALSINA, C y GARCÍA-ROIG, J.L. (2001), “On plastic numbers” ros metálicos y sucesiones generalizadas de Fibonacci”, Suma, nº
Journal of Mathematics & Design, Vol. 1, No 1, 13-19. 50, 53-63.

COLMAN, S y COAN, C.A.(1920): Proporcional Form, G.P. Putnam’s SPINADEL, V. (1998): From the Golden Mean to Chaos, Nueva
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GHYKA, M. C. (1979): Estética de las proporciones en la Naturaleza
y en las Artes, Editorial Poseidón, Barcelona. SPINADEL, V. y REDONDO, A (2007): “Nuevas propiedades de la
familia de Números Metálicos”. Conferencia plenaria. 5th
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Williams Books. Florence. Ciencia, 239, Agosto 1996).

64
 De SUMA a clase y de vuelta a SUMA.
57
Febrero 2008, pp. 65-72 Itinerario de un material didáctico

Experiencia realizada en 1º, 2º y 3º de Primaria, en un curso de formación para el profesorado en presencia de sus alumnos,
sobre el uso de materiales. Se utilizan cartulinas de color plastificadas, como las que el Grupo Alquerque de Sevilla presenta en
la revista SUMA nº 53. Contenidos, según el curso y las clases: características de los polígonos, perímetro y área, concepto de
equivalencia de figuras planas, isometrías,… Metodología: libre manipulación y observación guiada a través de preguntas.
Análisis de las respuestas de los alumnos y de la experiencia de formación.

Didactic proposal for 1-3 primary classes, developed in a teachers training group about materials for mathematics, in presence of
pupils. We used the coloured cards that Grupo Alquerque presented on SUMA magazine #53. Contents change according to edu-
cational step: polygons characteristics, perimeter and area, equivalence between polygons, isometries,…
Methodology: free manipulation of cards and conducted activities. Analysis of pupils’ answers, problems, mistakes and goals.
Balance of this training methodology and implementation of materials utilisation to teach maths.

P retendo presentar una experiencia realizada en 1º, 2º y 3º Sevilla ha publicado en la sección Juegos del nº 53 de la revis-
de Primaria de la Escuela Italiana “Montessori” de Barcelona, ta SUMA, noviembre 2006, pp. 61-64
utilizando de modo distinto un material pensado para activi-
dades de la Escuela Secundaria.

Reflexionar sobre la experiencia: el cambio de objetivos, de

metodología, los contenidos matemáticos, las habilidades
desarrolladas, los errores, las dificultades, las observacio-
nes…

De vez en cuando aparcen momentos de análisis más general

del juego y el uso de materiales: más que objetivos de este tra- b) Me gustaría profundizar en dos aspectos que, en el tiempo
bajo, son accidentes inevitables y reflejos del marco de refe- asignado a la comunicación, no tuve oportunidad de desarro-
rencia. llar:

- La experiencia de compartir el trabajo de aula entre docen-

Introducción tes de Primaria y Secundaria

El material y las actividades que se presentan en el artículo - La modalidad de “formación en situación”2.

han sido objeto de una comunicación en las recientes JAEM
de Granada1.

Presentarlo para la publicación en SUMA responde a diferen-

tes consideraciones:

a) El trabajo se basa en la reutilización (en una etapa educati- Guido Ramellini

va anterior y con objetivos obviamente distintos) de las car- SMPM “Emma Castelnuovo”
tulinas de color plastificadas que el Grupo Alquerque de APaMMs (FEEMCAT)

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SUMA 57
Febrero 2008

Aún con el riesgo de generalizar unos problemas que puede • Lo que sigue depende de la etapa educativa, de la clase,
que sean sólo míos, debidos a una carrera profesional dando de los conocimientos previos, del material que utilizamos,
clase y formando docentes de la Escuela Secundaria, me atre- del día y, en parte, como veremos, del azar.
vo a afirmar que cuanto más pequeños son los alumnos, más
dif ícil es encontrar materiales adecuados y originales, y más Primero de Primaria: cuadrados del tipo 1.
dif ícil todavía adaptar materiales elaborados para chicos
mayores. No es un problema de “cantidad” (es decir, de nivel
de habilidades que poseen), sino de “calidad” (¿Qué habilida-
des?)

Muchas de las habilidades con las que contamos normalmen-

te en nuestros alumnos de la ESO (lenguaje, manipulación,
simbolización, atención y abstracción) parecen estar a punto
de manifestarse, pero son aún “primitivas”, inciertas, disconti- Contestando a las primeras preguntas, todos reconocen que
nuas, mezcladas… tienen 6 piezas, que son cuadrados, que están divididos en 4
triángulos, de 4 colores distintos.
Sólo unos pocos de “nuestros” materiales didácticos se adap-
tan a este mundo en formación y a la relación entre respuesta Contestan después, y con cierta coherencia, que las piezas son
espontánea, juego y aprendizaje en esta etapa evolutiva. todas iguales.

Tengo la sensación de que buena parte del problema reside en Se les guía en la observación y se dan cuenta de que cambia la
nuestro enfoque, porque existen muchas experiencias de gran distribución de los colores, pero muchos están convencidos
valor didáctico, realizadas en educación infantil y primaria, de que son iguales de dos en dos: 1 y 2, 3 y 4, 5 y 6: es decir,
que utilizan materiales de uso cotidiano, exprimiéndoles un ¡las parejas simétricas!
jugo matemático de gran valor, nada fácil de detectar a pri-
mera vista. No conocen el concepto de simetría, pero lo han observado
en el mundo que les envuelve. ¿Cómo les explicas que sus dos
Sin embargo, el día que me encontré en SUMA el regalo de un manos no son iguales? ¿O las mitades de sus caras?3
material bonito e interesante, me lancé a utilizarlo.
Más fácil resulta que acepten la regla de que, en nuestro juego,
No tenía intención ¡obviamente! de trabajar la combinatoria, son iguales sólo las figuras que, cuando se ponen una encima
ni de hacer que mis pequeñines diseñaran y construyeran las de la otra con una traslación, presentan la misma distribu-
piezas. Simplemente me parecía interesante que las utilizaran ción de los cuatro colores. Y llegan rápidamente a la conclu-
como un puzzle, mirando las formas, asociando los colores, sión que los seis cuadrados son todos diferentes el uno del
confrontando las piezas, encontrando características y pro- otro.
piedades, descubriendo conceptos. Jugando. Haciendo las
matemáticas que le permiten su nivel de conocimientos y sus Mientras estamos discutiendo esto, algunas parejas han mon-
habilidades. tado ya un rectángulo con las seis piezas, intuyendo que se
deben acoplar haciendo corresponder los colores.
Actividad
La metodología es la misma en todos los grupos: En breve, toda la clase consigue, con menor o mayor dificul-
tad, montar rectángulos.
• Distribuir el material a cada pareja y dejar que lo mani-
pulen, discutan y observen libremente

• Orientar la observación a través de unas preguntas:

¿Cuántas piezas tenéis?
¿Qué forma tienen?
¿Cuántos colores?
¿Qué dibujo?

Para llegar a:
¿Son todas iguales?
¿Hay por lo menos dos piezas iguales?

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Febrero 2008

(Algunos eran tan rápidos que tuvimos que darles otro juego Anécdotas
de cuadrados para que intentaran doblar sus figuras)
Varios alumnos no terminaron la tarea de dibujar sus cuadra-
dos.

Sólo dos alumnas siguieron un procedimiento con mayor

grado de elaboración, pintando todos los triángulos del
mismo color antes de pasar a los de otro color.

Por razones de espacio, una sola pareja trabajaba de frente,

con el puzzle en medio. Pasando, me pareció que la niña se
había equivocado totalmente en la distribución de los colores.
Tardé un par de minutos en darme cuenta de que estaba dibu-
jando el puzzle ¡desde la perspectiva de su compañero! ¡Y sin
equivocarse! (supongo que pensó que del único puzzle tenían
que salir obviamente dos dibujos absolutamente iguales)

Estaba previsto fotografiar los puzzles para montar una expo- Naturalmente, procedía más lentamente que el otro y, cuando
sición, pero nos encontramos con que la cámara del colegio este terminó su dibujo, le di la vuelta al puzzle, pensando que
tenía las pilas descargadas. iba a ayudar la chica. Por el contrario, empezó a dudar y a
equivocarse. Sólo la ayuda de su compañero la desbloqueó,
Propusimos entonces a los alumnos que dibujaran en un papel permitiéndole acabar su dibujo.
cuadriculado sus puzzles y, sorprendentemente, empezaron
los problemas:
Para reproducir el dibujo del
• Para trazar las diagonales modelo f ísico, cada uno se
construye una imagen
• Para obtener un dibujo con un mínimo de precisión mental.

Pero, en especial, para transferir al dibujo la correcta distri-

bución de los colores: ¿Qué había pasado? ¿Por qué, cuando el trabajo parecía más
simple, se presentaban los errores? Avanzo la hipótesis que,
• Se equivocaban de posición para reproducir el dibujo del modelo f ísico, cada uno se cons-
truye una imagen mental. Dando la vuelta al puzzle, yo acer-
• “Creaban” un puzzle totalmente distinto, sin ya respetar caba el modelo al dibujo, pero lo alejaba de la imagen mental
la condición que se juntasen caras con colores iguales. que la chica se había hecho y que intentaba reproducir. Para
terminar el trabajo, tuvo antes que construirse otra imagen
mental.

Muchas veces, presentando materiales manipulables para la

clase de geometría en los cursos de formación del profesora-
do, me he encontrado con la objeción de que se necesita
mucho tiempo para desarrollar las actividades y que en
muchas ocasiones es suficiente acercar los conceptos a través
del dibujo4. Nadie parece nunca acordarse de cuántas veces
nos hemos quejado de que nuestros alumnos parecen incapa-
ces de ver lo que tan claramente hemos puesto delante de sus
ojos: ese triángulo indefectiblemente rectángulo, tan inequí-
vocamente semejante a ese otro, dibujado un poco más arri-
ba, los ángulos compartidos. …5

Una reflexión sobre los procesos lógicos que existen entre el

objeto real y su representación a través del dibujo, la media-
ción cultural, la traducción necesaria entre dos lenguajes (más

67
SUMA 57
Febrero 2008

que dos niveles del mismo lenguaje), me parece interesante y Seguimos adelante con la simulación.
necesaria.
Como hay mucha gente a quien les gustan las fresas, voy a
Segundo de Primaria: cuadrados del tipo 1, para que enten- comprar un alambre eléctrico (a sugerencia de un alumno)
dieran el trabajo que se les proponía; y después del tipo 2, más para defender mi campo.
complejo.
¿Gastaré el mismo dinero por cada campo dibujado?”
La ronda de preguntas sigue el mismo camino, con la “confu-
sión” entre figuras iguales o simétricas, que se resuelve de la O sea: ¿Tendrán todos los campos el mismo “contorno”?
misma manera.

Realizan el rectángulo sin dificultad y les pedimos después

que realicen otras figuras:

Copiamos en la pizarra cuadriculada las distintas figuras que Hay muchos alumnos que impulsivamente responden que sí,
han realizado, con la idea de comparar sus perímetros y otros callan, oliendo la trampa, otros tantos parecen muy
áreas, sin introducir los conceptos, que trabajarán el próximo poco convencidos6.
curso.
Para salir de dudas, empezamos a contar juntos los tramos
Para hacerlo, simulamos esta situación concreta: unitarios que forman los contornos, comenzando por uno de
los rectángulos (perímetro mínimo y máximo).
“Quiero sembrar fresas y puedo escoger un campo que tiene
una de las formas dibujadas. ¿Hay alguno mejor? ¿Más gran- Los contornos varían entre un máximo de 14 y un mínimo de
de?” 10 unidades.

El trabajo con los cuadrados del tipo 2 sigue las mismas pau-
tas, pero, en este caso, no se consigue montar el rectángulo
3×2. Es interesante proponerles que intenten explicar las
razones que impiden la construcción de esta figura.

Asumida la imposibilidad de montar el rectángulo, empiezan

entonces a construir figuras muy creativas, ignorando muchas
veces la regla fundamental del juego: acoplar lados que lleven
los mismos colores.

Como primer impulso, hay algunos que apuntan a que las

figuras más irregulares tienen mayor extensión. Pero después,
cuando alguien dice que todas son equivalentes porque están
formadas por 6 cuadrados iguales, todo el mundo se declara
de acuerdo.

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En el momento de traspasar a dibujo sus puzzles, reaparecen Es fácil llegar a la conclusión de que no hay más que seis posi-
las dificultades y los errores, algunos muy aprovechables para bles combinaciones (sin in ningún caso introducir el cálculo
la clase de geometría. combinatorio, permutaciones o factoriales).
Se deja a la manipulación comprobar que los cuadrados de
P.ej.: Dibujar un cuadrado con una rotación 45º y con las otros compañeros, que escogieron colores distintos para orga-
mismas medidas. nizar sus figuras, no son otra cosa que nuestros mismos cua-
drados que han sufrido una rotación.

Tercero de Primaria: cuadrados del tipo 1, para que enten- El trabajo con los doce rombos ha ofrecido menores ocasio-
dieran el trabajo que se les proponía, y después los 12 rombos nes de estudio.
del tipo 3.
A todos les ha costado mucho “compactar” las figuras. Nadie
El trabajo introductorio, con los cuadrados de tipo 1, es igual ha conseguido, en el tiempo asignado, construir el hexágono
al desarrollado con los alumnos de segundo y llega a las mis- gigante.
mas situaciones, aunque ya se puedan introducir los concep-
tos de área y perímetros de los polígonos7.

Se puede además formular otra pregunta:

A parte los de las seis cartulinas repartidas, ¿existen otros

cuadrados diferentes pero divididos en triángulos de los mis-
mos cuatro colores?

Contestan de manera espontánea que sí, pero con dudas, sin

saber justificar su respuesta.

Se les sugiere que orienten sus cuadrados de manera ordena-

da, con el mismo color hacia arriba (cada alumno puede esco-
ger su propio color). Se escoge después otro color y se busca
la pareja de cuadrados que tenga este color abajo. Ante la dificultad de conseguir figuras “regulares”, todos se
han dedicado a crear figuras de fantasía, con resultados más
o menos significativos.

¿En qué difieren estos dos cuadrados?

¿Es posible crear otro cuadrado con los mismos colores que
mantenga el rojo arriba y el azul abajo?

69
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Conclusiones transforma en una vía de escape, más que en la lateraliza-

ción del pensamiento productivo. Aún así, se manifiestan
Estoy convencido de que para cualquier docente puede ser intuiciones, desarrollos y productos tan originales que
muy estimulante cambiar de vez en cuando de nivel educati- abren de golpe nuevos e imprevistos puntos de vista8.
vo. La experiencia de trabajar con alumnos de Escuela
Primaria me ha permitido reflexionar sobre varios aspectos En otros momentos, en especial cuando encontrar una
del aprendizaje, formular y revisar hipótesis, comprobar solución parece más complejo, requiere una reflexión más
impresiones, investigar el origen de los cambios de intereses, profunda y la discusión con los compañeros se alarga, son
actitudes y habilidades que todo profesor tiene delante, enri- ellos que piden al docente una intervención autoritaria,
quecer mi repertorio docente. con indicaciones claras de lo que cada uno debe hacer.

Este conflicto está recogido e interpretado en la obra de

En los alumnos que empiezan el largo proceso de la escolari- varios psicólogos del aprendizaje, empezando por Piaget9
zación los procesos lógicos aparecen más descubiertos, y Viygotsky, quien llega a afirmar que: no existen juegos sin
“puros”, se notan las pautas de su evolución, se captan los reglas y que: toda situación imaginaria de cualquier forma
momentos clave del desarrollo de una determinada compe- de juego trae consigo reglas de comportamiento, aún cuan-
tencia, aparecen las dificultades, las dudas, las resistencias. En do el juego no exigiera reglas explicitadas anteriormente.10
Y más adelante: el juego pide continuamente que el niño
actúe en contra del impulso inmediato. En cada momento,
Estoy convencido de que para el niño se enfrenta a un conflicto entre reglas del juego y lo
cualquier docente puede ser muy que haría si pudiera actuar de forma espontánea… La
estimulante cambiar de vez en característica esencial del juego es una regla que se hace
cuando de nivel educativo.
deseo y el juego regala al niño una nueva forma de deseos.

Además, la presencia de este conflicto configura, en rela-

nuestros alumnos de Secundaria todo es más complicado, ción a la función de ejercicio social del juego, una gran
enredado. riqueza, que parece que vamos perdiendo al llegar a la
edad adulta.
El tema merecería una mayor dedicación, una investigación
más amplia y estructurada y mejores instrumentos psicope- • Aún considerando que estamos todavía en una etapa
dagógicos que los que me he ido construyendo en tantos años evolutiva (presuntamente) egocéntrica, las pautas y tiem-
de “honrada profesión”. pos de atención resultan demasiado breves11 y se nota una
escasa capacidad de colaboración con los compañeros. En
Me limito a señalar brevemente los aspectos que me han lla- este sentido, la actividad objeto del artículo tiene el valor
mado la atención: metodológico añadido de estimular una mayor adquisi-
ción del hábito del trabajo en grupo.
• A parte pocos casos individuales, no he notado cansan-
cio o rechazo de las actividades propuestas, aún cuando • Se nota una difusa dificultad en la manipulación y en el
los resultados no eran los que se esperaban (construcción dibujo12, con falta de precisión y escasa sensibilidad estéti-
del rectángulo con las piezas 2 o del hexágono con los ca. Parece evidente que las actividades que proponen la
rombos). escuela de la infancia y la primaria (colorear, cortar, pegar,
doblar papeles, etc.), no son suficientes para compensar
• Es notable y precoz la adquisición de algunas habilidades los cambios sucedidos en los juegos y los juguetes, la
(especialmente analógicas: construcción de puzzles) a influencia de las pantallas (TV, videojuegos, etc.).
expensas de la capacidad analítica (reconocimiento de los
elementos comunes, reproducción, análisis de las situacio- • Creo que una escuela más activa y capaz de estimular las
nes). habilidades manipulativas y constructiva -¡bienvenida
sea!- sería en todo caso una respuesta parcial al problema.
• Desde pequeños se nota una reacción ambivalente ante Aún cuando fuéramos capaces de entender que una peda-
las tareas más estructuradas o repetitivas, con normas y gogía del juego es distinta del uso del juego con finalidades
reglas que son impuestas, aún cuando se contratan o se pedagógicas, no me parece que la escuela sea el sitio más
explican sus razones. idóneo para que los chicos jueguen de la forma más
espontánea. Es más bien necesario recuperar el “tiempo
Aparece a veces un rechazo y el recurso a la creatividad se libre”, que nuestra cultura parece despreciar y considera

70
 SUMA 57
Febrero 2008

“tiempo vacío”13, improductivo, y se vuelca para llenarlo de entre diez y quince horas. En realidad, sin embargo, la forma-
actividades organizadas de manera más estricta que en el ción en situación ofrece muchas ventajas:
cole.
Me parece importante revindicar el “derecho al juego”, 1) Estamos seguros que los materiales y las actividades
recogido en la Convención sobre los derechos de la infan- llegarán a los estudiantes.
cia de la ONU14.
2) Que los docentes experimentarán no sólo los materia-
Agradecimientos les, sino su metodología de uso, tiempos y pautas,
recursos necesarios, la implicación y respuesta de sus
Muchas gracias alumnos, los resultados, …

- Al Grupo Alquerque de Sevilla por su trabajo, sus ideas y su 3) De este modo es más fácil que las actividades de mani-
amistad. pulación y creación de materiales para la clase de
matemáticas sigan y se difundan.
- A las compañeras y compañeros de la Scuola Elementare
Italiana “Montessori” de Barcelona. 4) El intercambio de experiencias ha sido real y ha produ-
cido una gran riqueza de vivencias, nuevas ideas, enfo-
Ha sido muy interesante compartir la clase con ellos, poder ques originales, …
comparar lenguaje, aproximaciones a los temas y a los alum-
nos, tiempos y modalidades de trabajo, instrumentos y sensi- 5) Mi intervención en clase era mensual, pero la dinámi-
bilidad de observación, experiencias. ca de aprendizaje que generaba permitía al docente de
la clase trabajar durante semanas, recogiendo, organi-
Por otro lado, la presencia simultánea de dos adultos en el zando, profundizando, individualizando los conteni-
aula me ha parecido fundamental para mantener las pautas y dos disciplinares y las habilidades desarrolladas.
la concentración, una buena dinámica en las parejas y en la
clase, para estimular, aclarar dudas y ayudar en las tareas. Les agradezco la generosidad de haber compartido conmigo
sus alumnos (¡ya sabemos qué celosos somos los docentes!) y
Considero un éxito la modalidad de la formación en situación. su experiencia, que espero haya sido útil para evitarme la
Aparentemente, puede parecer que hay un despilfarro de terrible enfermedad del “descubrimiento de la sopa de ajo”
recursos: si reúno a los cinco docentes, en dos horas les expli- que aparece a veces cuando los profes de secundaria “descu-
co como trabajar el tangram chino en las distintas clases. Si la brimos” cuán valiosos trabajos y recursos ofrecen las clases de
actividad la desarrollo en cada una de las diez clases, tardo primaria e intentamos contarlo.

71
SUMA 57
Febrero 2008

NOTAS
1 Ecología matemática: cómo utilizar un mismo material (combi- Entre manipulación y dibujo hay un salto enorme, puede que más
natoria de colores) en otra etapa, con diferentes objetivos, conte- grande del que hay entre dibujo y resolución abstracta.
nidos y hasta en otro idioma. 6 Cada año, con mis alumnos de 1ª media, he propuesto el famoso
2 Curso de formación sobre el uso de materiales para el aprendiza- problema del cordel, según las indicaciones de Emma
je de las matemáticas, impartido en el ámbito de una clase curri- Castelnuovo. Anudado un cordel, se le da la forma de un rectán-
cular, en presencia de los alumnos, destinado al profesorado de la gulo usando los dedos pulgar e índice de las dos manos. Se levan-
Escuela Primaria Italiana “Montessori” de Barcelona. ta y se presenta a los alumnos. Moviendo un poco los dedos, se
varía la forma del rectángulo y se pregunta qué características se
Participaron los 5 profesores titulares (más la psicóloga y profe- mantienen invariadas. Rápidamente llegan a la conclusión de que
sores de apoyo para alumnos con dificultades de aprendizaje) y los perímetros de todos los rectángulos que estamos formando -
los alumnos de Primero a Quinto de Primaria (dos grupos por ¡dinámicamente! - delante de sus ojos, son equivalentes. Y lo
cada etapa). mismo afirman cuando les preguntamos pos sus áreas: como
3 Es muy interesante y sorprendente coger una foto retrato y, con cuando la base aumenta, la altura disminuye y la fórmula del área
la ayuda de un espejo, construir la cara entera por simetría de es b x h …
cada mitad: resultan dos personas o expresiones distintas, fruto Son muy pocos los alumnos que no caen en la trampa. En este
de la rica imperfección de la simetría del cuerpo humano. sentido, los niños de 2ª de Primaria fueron más listos. ¿Por qué?
Hay actividades con el libro de espejos y las laminas (como los de Yo creo que es porque todavía no les hemos enseñado las fórmu-
Proyecto Sur) que se pueden hacer con niños pequeños y que las de perímetro y área y no se pueden agarrar a ellas. Las fór-
resultan muy entretenidas, estimulantes y creativas mulas son abstractas, se aprenden tradicionalmente separadas
(antes los perímetros de unos cuantos polígonos y después sus
4 Y es indudable que los profes de mates somos los que más llena-
áreas) e, inevitablemente, se confunden y los confunden.
mos las pizarras, no sólo con las fórmulas abstrusas del Aserejé
Si no conoces las fórmulas, debes mirar con tus ojos y razonar con
matemático, como lo llamaba Rafael Pérez en una famosa ponen-
tu cabeza.
cia, sino también con nuestros polígonos torcidos y círculos
chungos. 7 En uno de los dos grupos, una niña se dio cuenta de que las medi-
5 Otra actividad en que el salto lógico manipulación → dibujo das del contorno de las figuras eran siempre valores pares (10, 12
y 14). ¿Es una casualidad? Para contestar, después de haber deja-
→resolución algebraica resulta claro es la resolución de proble-
do el tiempo para formular hipótesis, empezamos calculando el
mas con ecuaciones (6º de P/1º de ESO).
valor del contorno cuando las seis piezas estaban aisladas, sin
P. Ej.: Calcula el área de un rectángulo de perímetro 24 cm. y de lados en común. El contorno medía: 6×4 = 24. Juntando dos cua-
base doble de la altura. drados, desaparecen del contorno un lado por cada cuadrado, y
Un grupo muy pequeño llega a entender y reproducir la secuen- de este modo continuaba pieza tras pieza, restando 2 cada vez a
cia abstracta de las instrucciones necesarias a la solución. la medida del contorno.
La comprensión de los alumnos aumenta si les enseñamos a dibu- 8 Sana envidia, porque el predominio de las reglas parece absolu-
jar el problema: to en los juegos de los adultos.
h= =u b= = 2u 9 El juicio moral en el niño, 1932
p= = 2b + 2h = 6u = 24 cm.
10 “Il ruolo del gioco nello sviluppo” en Il pensiero cognitivo 1980
h + h + b ( = h + h) + b (= h + h)
[trad. del autor]
→ u = 24:6
11 Me parece importante subrayar que mi intervención en cada
Un grupo no siempre pequeño no entiende todavía. Parece seguir clase duraba dos horas y respondía a exigencias de organización
el desarrollo del razonamiento, pero, si miras su dibujo, siempre del trabajo de la escuela. Aún cuando intentábamos alternar acti-
falta algún elemento necesario a la solución (y la razón nunca es vidades diversas, este ritmo de trabajo no es ciertamente el más
sólo la pereza). Se nota cuando deben trabajar autónomamente y adecuado para los alumnos de la primera etapa escolar.
se plantan, intentando reproducir mecánicamente el proceso,
pero no saben cómo seguir. 12 Sus manos son más ignorantes que sus mentes
Si empezamos construyendo el problema con algo manipulable 13 En la placa que regalamos a Emma Castelnuovo el día de su 90
(regletas, tiras de cartón colorado, …), substituyendo cada regle- cumpleaños se leía: Dejemos a los chicos el tiempo de perder el
ta que representa la base con dos regletas tan largas como la altu- tiempo.
ra …
14 ¡Y bien nos gustaría que fuera éste, el único derecho de la infan-
Si pasamos gradualmente al dibujo (cada alumno con su ritmo), cia violado por nuestras sociedades tan civilizadas!
el número de los que llegarán a entender las ecuaciones irá
aumentando significativamente.

72
 Dibujo de Leonardo da Vinci para La divina proporción de Luca Pacioli

poliedro
JUEGOS Grupo Alquerque de Sevilla
EL CLIP Claudi Alsina
MATEMÁSTIC Mariano Real Pérez
ARTE CON OJOS MATEMÁTICOS Francisco Martín Casalderrey
HACE... Santiago Gutiérrez
EN LAS CIUDADES INVISIBLES Miquel Albertí
DE CABEZA Antonio Pérez
BIBLIOTECA F. Corbalán, F. Fouz
EL HILO DE ARIADNA Xaro Nomdedeu Moreno
LITERATURA Y MATEMÁTICAS Constantino de la Fuente
 Juegos
57
Febrero 2008, pp.75-78 Las cifras del calendario

H ay muchas personas a las que les gusta jugar con los Dentro de las curiosidades numéricas podríamos incluir los
números. Unas coleccionan números capicúas, otras sienten trucos de magia que se basan en operaciones numéricas sim-
fascinación por los que cumplen alguna propiedad en con- ples pero con un resultado final muy efectista. Seguramente a
creto, como por ejemplo ser múltiplos de nueve o que las todos nos habrán adivinado, en algún momento de nuestra
cifras sumen lo mismo que su edad, otras rellenan sus bono- vida, un número que habíamos pensado después de haberlo
lotos con números de características especiales para ellos. mareado sobradamente sumándole tres, multiplicándolo por
También existe una gran atracción ante pasatiempos donde siete, restándole 15 y toda una serie de perrerías que va pro-
aparecen números y quizás la prueba más palpable de esto sea poniendo quien nos hace el truco.
el gran boom que ha significado la aparición de los sudokus
como entretenimiento estrella de periodos vacacionales y que Ya en una anterior entrega de nuestra sección vimos trucos de
ha hecho aflorar otros tipos de pasatiempos supuestamente magia basados en la propiedad de la divisibilidad entre nueve.
orientales, como por ejemplo el kakuro, que durante la déca- Hoy queremos presentar una serie de trucos que se realizan
da de los ochenta aparecía regularmente en las separatas con un calendario aprovechando la especial disposición de los
dominicales del periódico El País (aunque con el nombre de números que aparecen en él y su justificación se realiza utili-
Crucinumerograma). Y además están las curiosidades numé- zando álgebra elemental. Como hemos dicho en otras ocasio-
ricas que suponen para todos un atractivo rato de esparci- nes, no debemos quedarnos sólo en el truco de magia, sino
miento. que éste nos debe servir primero para captar el interés de
nuestros alumnos y después como motivación para investigar
la parte matemática del truco, que muchas veces queda ocul-
ta por la parafernalia de la puesta en escena.

Grupo Alquerque de Sevilla

Constituido por:
Juan Antonio Hans Martín. CC Santa María de los Reyes.
José Muñoz Santonja. IES Macarena.
Antonio Fernández-Aliseda Redondo. IES Camas.
juegos@revistasuma.es

75
SUMA 57
Febrero 2008

La suma de nueve números Este truco tiene la ventaja de que se puede hacer con un grupo
amplio de personas, por ejemplo una clase completa, y pre-
Se le pide a un espectador que, a espaldas del mago, elija un guntarle a alumnos distintos para adivinar su suma. Hay que
mes cualquiera del calendario, y dentro de él rodee un cuadro tener cuidado porque no es extraño que alguna persona se
de tamaño 3x3 que englobe nueve números. Como por ejem- confunda al sumar (el resultado de la suma ha de ser múltiplo
plo el de la figura. de nueve, es decir, la suma de sus cifras ha de serlo también),
y para eso está el mago: para pedirle a cualquiera que repita
1 2 4 5 6 las operaciones. Sorprende mucho que el mago pueda saber,
7 8 9 10 11 12 13 sin más que oír el número, que la suma está mal realizada.
14 15 16 17 18 19 20
Como puede observarse la suma es también nueve veces el
21 22 23 24 25 26 27 número central por lo que podría preguntarse también por
28 29 30 31 ese número y simplemente multiplicar por nueve. Aunque de
esta forma si se realiza el truco varias veces es más fácil averi-
guarlo.

El espectador le dice al mago cuál es el primer número de su

cuadro (en nuestro ejemplo el 8) y éste le indica al espectador El cuadro de nueve números
cuánto vale la suma de las cifras seleccionadas.

El truco anterior admite la versión inversa, es decir, el mago le

Explicación pregunta a un espectador que haya realizado la operación que
cuál ha sido el resultado de la suma e inmediatamente le indi-
La distribución de números en un calendario tiene propieda- ca cuál es el cuadro de números que ha rodeado.
des numéricas muy útiles para muchos trucos.
Para ello basta dividir la suma entre nueve (si el número que
Si consideramos un cuadro cualquiera en el que el primer se nos dice no es divisible entre nueve ha habido una equivo-
número es a, los restantes números serán los que aparecen en cación) y el número que obtenemos lo colocamos en el centro
el cuadro siguiente. del recuadro y rellenamos los demás de forma que hacia la
izquierda restamos uno, hacia la derecha aumentamos uno,
hacia arriba restamos siete y hacia abajo sumamos siete.
También podemos indicar únicamente la primera cifra, que se
a a+1 a+2 conseguirá restando 8 a la central que habíamos obtenido de
dividir.

a+7 a+8 a+9 Por ejemplo, si nos dicen que la suma de las nueve cifras del
cuadro es 126, dividimos entre nueve y obtenemos 126 : 9 =
14, y a partir de él rellenamos el resto de casillas.
a+14 a+15 a+16

6 7 8
Si sumamos esos nueve números se obtiene:

9 × a + 72 = 9 × (a + 8). 13 14 15

Es decir, la suma total es siempre nueve veces la suma del pri-

mer número más 8. Luego el mago puede saber la suma a par- 20 21 22
tir del primer número.

En nuestro ejemplo 8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17 + 22 + 23 + 24
= 144 = 9 ×16 = 9 × (8 + 8)

76
 SUMA 57
Febrero 2008

Por ejemplo, si el espectador elige un recuadro que comience

en el número 6 el mago sabe que la suma que quedará al final
es 72, independientemente de cómo siga a continuación el
proceso. Si por ejemplo el espectador selecciona los números
que aparecen en la imagen, vemos que al final los números
que quedan suman la cantidad prevista por el mago.

Calendario azteca

La suma de cuatro números

Explicación
Se le pide a un espectador que elija un mes del calendario, y
dentro de él rodee con un cuadrado de cuatro números de El resultado de la suma es independiente de los valores que se
lado una extensión que comprenda 16 números. tachen o se elijan; siempre dará lo mismo. Lo podemos com-
probar con esta otra imagen donde tenemos una elección dis-
Una vez rodeado, el mago (que se habrá fijado en el cuadro de tinta en el mismo recuadro.
números) escribe en un papel una cantidad y entrega el papel
a otro espectador. A continuación le pide al primero que rea- El proceso que se sigue al seleccionar los números permite
lice las siguientes operaciones: que al final quede un número de cada una de las filas, y uno
de cada una de las columnas.
•Elija un número de los 16 que hay y lo rodee con un cír-
culo. Para hacer un estudio genérico, como en el primer punto,
partimos de un cuadro formado por 16 números cualesquie-
•Después tache todos los números que están en la misma ra incluidos en el calendario.
fila o misma columna que el rodeado.
a a+1 a+2 a+3
•Debe después elegir otro número no tachado y repetir el a+7 a+8 a+9 a+10
proceso, rodearlo con un círculo y tachar los de su misma a+14 a+15 a+16 a+17
fila y columna. a+21 a+22 a+23 a+24

•Ya sólo deben quedar cuatro números sin tachar, de Si sumáramos los cuatro números de la primera columna ten-
todos modos debe elegir uno de los cuatro y tachar los de dríamos la suma a + a + 7 + a + 14 + a + 21 = 4 · a + 42. Con
su propia fila y columna. eso tenemos un número de cada fila. Pero si debemos tener
uno de cada columna, uno de los cuatro valores estará en la
•Al final, queda sin tachar un solo número que se rodea segunda columna, lo que significa que tiene una unidad más
con el círculo. (+1), otro estará en la tercera columna (+2) y otro en la cuar-
ta (+3). Por lo que la suma de cuatro números de ese cuadro,
•Por último, se suman los siempre que haya uno de cada fila y uno de cada columna, será
cuatro números que han 4 · a + 42 + 1 + 2 + 3 = 4 · a + 48 = 4·(a + 12).
quedado sin tachar, y se
comprueba que esa suma Igual que en el primer truco basta que nos fijemos en el pri-
corresponde con la canti- mer número para saber automáticamente cuál será la suma
dad escrita en el papel por que saldrá después del proceso de selección, sean cuales sean
el mago. los números que queden al final. Es decir, la suma total es
siempre cuatro veces la suma del primer número más 12.

77
SUMA 57
Febrero 2008

Un día de cada semana Veamos un ejemplo concreto.

El espectador ha elegido los números que figuran en la ima-

El espectador elegido selecciona (a espaldas del mago) un mes gen. El día 1 ha caído en viernes, entonces a los demás días de
cualquiera del calendario y un día de la semana en cada una la semana le corresponden los siguientes valores: martes (-3),
de las cinco semanas que componen el mes. A veces hay miércoles (-2), viernes (0) y sábado (+1). Luego a 75 le debe-
meses que tienen seis semanas (esto ocurre en todo mes -dis- mos añadir esos valores multiplicados por el número de días
tinto de febrero- en que el día 1 cae en domingo, o cuando cae de la semana elegidos.
en sábado y tiene 31 días), en ese caso la sexta semana no se
tiene en cuenta. A continuación suma las cinco cifras elegidas
y responde a las siguientes preguntas del mago:

“En qué día de la semana ha caído el día 1 del mes ele-

gido.”

“Cuántos lunes, martes, miércoles, y así hasta domin-

gos, ha elegido el espectador.”

Y con esa información el mago dice cuál es la suma que ha

obtenido de los cinco números. Así tendríamos 75 - 3 - 2 · 2 + 1 = 69, que efectivamente es la
Explicación suma de los números 1 + 6 + 16 + 19 + 27 = 69.
JUEGOS
La justificación se basa en algo parecido al caso anterior. Si
nos fijamos en cualquier mes, la columna que corresponde al
día 1 tiene los siguientes números: 1, 8, 15, 22 y 29 que si los
sumamos serían 1 + 8 + 15 + 22 + 29 = 75. Quiere decir que
si el día 1 ha caído por ejemplo en miércoles y el espectador
hubiese elegido los cinco miércoles, le hubiese dado la suma
75. Si en lugar de los cinco miércoles ha elegido un martes en
la semana que sea, la suma tendrá una unidad menos; si ha
elegido un lunes, dos unidades menos; si por casualidad ha
elegido un jueves en lugar de un miércoles habría que sumar
uno; si es viernes, sumar dos y así sucesivamente.

78
 El clip
57 Una resolución, un crédito europeo y la
Febrero 2008, pp.79-80 cuenta de un restaurante japonés

L os usos que la sociedad hace de los números deben

merecer nuestra atención. A través de la mirada matemática
podemos contribuir al desarrollo de la actitud crítica y refle-
xiva ante las informaciones, de todo tipo, que nos rodean. En
este sentido, en el presente Clip, quisiera compartir con los
lectores de SUMA tres ejemplos muy recientes.

Una resolución de una convocatoria oficial

Buscando una información en Internet encuentro que el día

14 de diciembre sale una Resolución de 12 de diciembre de
2007, de la Dirección General de Investigación de la
Generalitat de Catalunya, sobre la adjudicación de ayudas
para financiar acciones de divulgación científica. La leo por
curiosidad. La orden resuelve una convocatoria aparecida el
Diario Oficial de la Generalitat de 25 de mayo de 2007 y da en
Un crédito europeo
total 250.000 euros a diversos proyectos para el 2007 presen-
tados en su día. La misma resolución fija que los beneficiarios
deberán presentar el informe final del desarrollo de la acción A partir del Real Decreto (2007) del MEC ordenando las
financiada del 2007 antes del 31 de enero de 2008. enseñanzas universitarias oficiales se fijan los nuevos “gra-
dos” en 240 créditos.
Lo vuelvo a leer. Y empiezo a observar fechas. A mitad de
diciembre, casi en vísperas de Navidad se dan ayudas para En una reunión se aclara qué son los créditos europeos ECTS.
acciones del 2007 y se pone el límite de 31 de enero de 2008. ¿Y a qué equivale cada crédito ECTS? Recurriendo a otro Real
¿Diez días para la divulgación científica? ¿Se financiaban Decreto (¡del 2003!) la cosa se aclara un poco:
acciones ya realizadas? ¿Eran los 250.000 euros para disfraces
de Papa Noel para los divulgadores? La mirada matemática
ayuda a descubrir sorpresas incluso en cosas tan simples Claudi Alsina
como las fechas. elclip@revistasuma.es

79
SUMA 57
Febrero 2008

necesitan siete horas y media o diez para trabajar por su cuen-

Artículo 3. Concepto de crédito ta? ¿Notarán que 5 h clase + 7 ½ h trabajo + 8 h dormir + 2 h
comidas + ½ h higiene + 1 h transporte = 24 h?
El crédito europeo es la unidad de medida del haber aca-
démico que representa la cantidad de trabajo del estu-
diante para cumplir los objetivos del programa de estu- La cuenta de un restaurante japonés
dios y que se obtiene por la superación de cada una de las
materias que integran los planes de estudios de las diver- Hace unas semanas tuve ocasión de compartir mesa y palillos
sas enseñanzas conducentes a la obtención de títulos uni- con un amigo en un restaurante japonés de Barcelona (donde,
versitarios de carácter oficial y validez en todo el territo- por cierto, no trabaja ningún japonés). Tras la comida pido la
rio nacional. En esta unidad de medida se integran las cuenta y quedo fascinado. No solo el precio final merece res-
enseñanzas teóricas y prácticas, así como otras activida- peto sino, como podrá observarse en la imagen, en el desglo-
des académicas dirigidas, con inclusión de las horas de se de los precios, los postres tienen una magia especial. El
estudio y de trabajo que el estudiante debe realizar para helado de vainilla vale 3,04999 euros, cifra redondeada al final
alcanzar los objetivos formativos propios de cada una de en 3,05. Lo del 3,05
las materias del correspondiente plan de estudios. ya entiendo que
proviene de la apli-
Una nueva dimensión a la teoría de la medida. En los ECTS se cación del IVA que
suma todo: las clases, las prácticas, el estudio, los exámenes, iba incluido. Pero lo
los trabajos, pero hay más: del 3,04999 resulta
misterioso. Lo
4. Esta asignación de créditos, y la estimación de su comento con el
correspondiente número de horas, se entenderá referida a camarero inqui-
un estudiante dedicado a cursar a tiempo completo estu- riendo como un
dios universitarios durante un mínimo de 36 y un máximo triste helado de vai-
de 40 semanas por curso académico. nilla precisa de
cinco decimales. El
5. El número mínimo de horas, por crédito, será de 25, y el camarero, cuyos
número máximo de 30. recuerdos de la
ESO son recientes
¡Bienvenidas las desigualdades! Si H son horas y S semanas pero vagos, queda
debe ser 36≤S≤40 y 25≤H≤30. ¿Pero cuantas horas de clase pasmado y lo va a
presencial representa esto? Por lo de la unidad de medida de preguntar al encar-
antes resulta, que si h son horas de aula por crédito, y se hace gado, el cual carga a
un modelo del estilo 1h 30m de estudio/trabajo por cada hora, su vez la culpa a la
máquina de calcu-
3 5 lar…
surge H = h + h = h lo que lleva a la posible inecua-
2 2 
5
ción, 25 ≤ h ≤ 50 , es decir, 10≤h≤12. En la reunión a la que
2 Estos tres documentos contienen números. Y todos los núme-
asisto se respira hondo. El “crédito actual” eran 10 horas de ros son correctos. Pero nosotros no sólo nos hemos de fijar en
clase y ahora solo algo parecido. Pero el MEC ha tardado 4 la ausencia de errores sino en los significados o implicaciones
años, de 2003 a 2007, para enlazar estos decretos. ¿Y si el de estos contenidos numéricos. Este meta-análisis ya no está
modelo fuese H=h+2h=3h, entonces resultaría 25≤3h≤30 y en el marco estricto de la Aritmética sino en el marco del sen-
25/3≤h≤10… menos horas? La reunión acuerda h=10 y S=18. tido común: Ni cinco decimales son precisos para un helado
El cambio… para que todo quede igual. En cambio se comen- de vainilla, ni repartir 250.000 euros para diez días de divul-
ta que en otros sitios “el modelo” de relación entre h y H gación, ni tardar cuatro años en fijar algo que queda total-
dependerá de cada cual ¡Caos!. mente al arbitrio del que lo lee.

Será gracioso que el “crédito” europeo acabe “hipotecando” Al placer de matematizar le podemos añadir siempre el pla-
todos los planes de estudio. ¿Qué dirán los estudiantes cuan- cer de criticar: ¡Aquí hay números!
do vean que después de cinco horas de clase por la mañana EL CLIP

80
 MatemásTIC
57
Febrero 2008, pp.81-84 Tuxmath: un juego para el cálculo mental

U n nuevo equipo se coloca al frente de la revista SUMA, la que el teléfono móvil se ha hecho imprescindible, en la que
por lo que me gustaría comenzar agradeciéndoles a la directi- no nos explicamos cómo hemos podido viajar sin GPS o en la
va saliente toda la dedicación y el trabajo realizado durante que al primero que preguntamos sobre una duda es a Google,
este tiempo. Un trabajo que se ha visto plasmado en los inte- la educación debe subirse a este tren tecnológico dando res-
resantes, curiosos, útiles... artículos y aportaciones que hemos puesta a las nuevas necesidades que la sociedad demanda, uti-
encontrado en los distintos números. Enhorabuena. Al mismo lizando el potencial que las TIC proporcionan.
tiempo le deseo a la nueva directiva lo mejor para este perio-
do que comienzan y que, a buen seguro, veremos plasmado en En este sentido, las distintas administraciones educativas
los textos que encontremos en éste y los siguientes números, están haciendo una apuesta, en lo que a software se refiere,
como referencia útil para la tarea de enseñanza matemática por sistemas operativos libres basados en Linux. Moliux en
y/o investigación que los lectores desarrollemos. Castilla la Mancha, Linkat en Catatuña, LinEx en
Extremadura, GuadaLinEx en Madrid, Lliurex en la
Con este número, estrenamos MatemásTIC. Aunque el nom- Comunidad Valenciana, Max, mEDUXa en Canarias ... son
bre ya deja entrever lo que pueden ser los contenidos que algunos ejemplos de referencia de los sistemas que encontra-
podemos encontrar, por la amplia variedad de los mismos, mos en las aulas españolas, basados en distribuciones de linux
nos hemos marcado unos objetivos claros que nos sirvan de que podemos consultar en la siguiente dirección
referencia para la estructura, temas y forma en la que se van a http://www.linuxiso.com.ar/, a los que podemos unir otra
tratar. serie de distribuciones educativas como Caldum, EducaniX,
pequelin...
La sociedad actual se desarrolla en el caldo de cultivo de las
tecnologías de la información y la comunicación, que ya deja-
ron atrás el calificativo de nuevas y en el que lo más novedo-
Mariano Real Pérez
so hoy, estará desfasado en poco tiempo. En esta sociedad, en
matemastic@revistasuma.es

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Febrero 2008

También hay algunas en las que el software propietario sigue

presente en las aulas. Pero lo indiscutible es que las TIC se van Por otra parte, también se posibilita el estudio de una única
abriendo camino en la enseñanza, en mayor o menor medida operación o de operaciones combinadas con lo útil que puede
y los docentes debemos estar preparados para beneficiarnos ser esta posibilidad para el estudio de las operaciones con
de las ventajas que nos puedan aportar de cara a la educación. sumas solamente o bien para el estudio de la tabla de multi-
plicar.
En la sección MatemásTIC pretendemos informar sobre
herramientas TIC existentes que nos puedan resultar útiles en Las operaciones que se le presentarán al alumno serán sumas,
el aula de matemáticas. No es una cuestión de uniformar ni de restas, multiplicaciones y divisiones.
encauzar el uso de las mismas, el objetivo definitivo es que se
conozcan y se pueda observar su utilidad para que, si las Al entrar en el programa, la pantalla inicial que aparece es la
encontramos de interés, podamos hacer uso de ellas en nues- que podemos contemplar en la Imagen 1.
tras propias clases.

Además del software específico para las matemáticas, existen

páginas en las que podemos encontrar múltiples recursos
para el aula y que deben ser conocidas por todos. Por este
motivo, en cada número haremos una referencia a alguna
página web útil para las matemáticas, intentando, de forma
resumida, explicar los contenidos y utilidades que la web
encierra.

Para comenzar esta sección hemos seleccionado una aplica-

ción para el desarrollo del cálculo mental.

Tuxmath: un juego para el cálculo mental

Tuxmath es un juego educativo en el que se combinan la des-

treza y la rapidez manual con la agilidad mental a la hora de Imagen 1. Pantalla inicial de Tuxmath
realizar operaciones matemáticas con números.

Desde esta pantalla de presentación se controlan todas la

El alumno encuentra en esta herramienta un reto manual y de
opciones del programa que desglosamos seguidamente una a
rapidez para alcanzar los objetivos del juego en el que debe
una. Para acceder a cada una de ellas, utilizaremos los
conseguir que ninguna de las naves portadoras de operacio-
cursores y para marcar una opción pulsaremos la tecla Enter
nes matemáticas invada la plataforma sobre la que se encuen-
cuando la mascota Tux se encuentre sobre la opción deseada.
tra la mascota de linux, Tux. Tras realizar esto accederemos a la pantalla a la que conduce
la opción seleccionada.
La aplicación se presenta en un entorno sencillo de compren-
der y manejar con el fin de atraer a los más pequeños. Al Comenzaremos con cada una de las opciones que nos ofrece
mismo tiempo, el colorido e imágenes con las que cuenta, la pantalla principal y, para ello, seguiremos el orden inverso
hacen que la aplicación sea atractiva para los usuarios finales. para su análisis:
Observaremos a lo largo de este texto las posibilidades que
nos ofrece esta herramienta para que los alumnos realicen a) La Opción Quit: Es para salir del programa.
operaciones mentales. La configuración de la aplicación
hacen, además, que podamos adaptar la dificultad de las ope- b) La opción Credits: se nos proporciona información sobre
raciones que aparecen a distintos niveles siendo útil para dis- los creadores de la aplicación, así como la información sobre
tintas edades y niveles de conocimiento. Con esto, podremos los diseñadores gráficos de la misma y la de los creadores de
utilizar la aplicación, no solamente con aquellos alumnos de cada una de sus partes. Una vez que hayamos entrado en esta
las enseñanzas iniciales, sino también con aquellos que mues- pantalla “Credits”, para salir de ella pulsamos la tecla Escape
tren en enseñanzas avanzadas dificultades de aprendizaje e (Esc) y volveremos a la pantalla inicial del programa. (Imagen
1)
incluso con los alumnos que cursen asignaturas optativas de
apoyo en matemáticas.

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Febrero 2008

c) La opción Options: En esta pantalla nos moveremos y

seleccionares de la misma forma que en la pantalla inicial. En
la imagen 2, podemos observar la pantalla de configuración
de la aplicación.

En la sección MatemásTIC
pretendemos informar sobre
herramientas TIC existentes que
nos puedan resultar útiles en el
aula de matemáticas.

• Otra de las opciones que podemos configurar es la veloci-

dad del juego, con lo que podremos adaptarla a los alum-
nos con que nos encontremos en el aula. Observamos que
esta velocidad, por defecto 10, podemos configurarla
Imagen 2. Pantalla de configuración de Tuxmath entre 1 y 10. Mientras mayor sea el número, más rápida-
mente aparecerán las operaciones.

Podremos configurar las distintas opciones del juego

a) La opción Play:
adaptando el desarrollo del mismo, con las opciones que
consideremos más oportunas, al nivel de los alumnos que van
En esta opción comenzamos a jugar. La pantalla del juego es
a utilizarla. Así, por ejemplo, si deseamos que el alumno
una pantalla muy simple que podemos observar en la Imagen
solamente realice operaciones de multiplicar, desmarcaremos
3.
las demás operaciones y ya tendremos configurada la
aplicación. Entre las opciones que podemos configurar,
podremos elegir:

• Que entre las operaciones que aparezcan haya sumas.

• Que entre las operaciones que aparezcan haya restas.
• Que entre las operaciones que aparezcan haya multiplica-
ciones.
• Que entre las operaciones que aparezcan haya divisiones.
• Que podamos elegir el número máximo de preguntas.
Éstas pueden ser: 12, 18, 28, 42, 64, 96 y 144.
• También podremos elegir el rango en el que se encontra-
rán los números que la aplicación nos presente para reali-
zar las operaciones. Los rangos de los números de las ope-
raciones que nos aparecerán será 1-5, 6-12 y/o 13-20.
Nosotros podremos seleccionar entre estos el rango o ran-
gos que más nos interesen. Imagen 3. Momento del desarrollo de la aplicación

En esta tabla observamos las distintas configuraciones de

rango para los números que aparezcan en el desarrollo del Observamos que en la parte inferior de la pantalla aparece
juego, ofreciéndonos una nueva posibilidad de adaptarnos Tux. De la parte superior van descendiendo distintas llamas
a los alumnos y niveles con los que podemos encontrarnos con operaciones que deberemos destruir antes de que
en el aula. alcancen la plataforma sobre la que se encuentra Tux. Para
destruir una operación determinada, teclearemos la solución

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Febrero 2008

de esa operación y pulsaremos la tecla Enter. En ese momento,

un rayo destructor saldrá de alguno de los lanzacohetes que Una vez que hemos hecho un recorrido por las distintas
hay situados a ambos lados de Tux y alcanzará a la operación opciones que nos plantea el programa y las diferentes partes
que tenga esa solución y la destruirá. Así, en la pantalla que que podemos configurar, podemos concluir que la aplicación
aparece en la Imagen 2, si nosotros tecleamos el número 3 y es multinivelar. Es decir, es un programa que podemos utilizar
pulsamos enter, saldrá un rayo que destruirá la operación que en distintos niveles de educación primaria y secundaria. En la
aparece marcada como dividir 15 entre 5. Si realizamos esto, etapa primaria estaría aconsejada para que el alumno
podemos observar como además Tux se alegra de haber practicara operaciones concretas de un único tipo como sólo
acertado el resultado. sumas, sólo restas o sólo multiplicaciones, de forma que el
alumno pueda disponer de una herramienta práctica que le
Cuando tecleamos la solución de una operación, el número ayude a memorizar las tablas de sumar o multiplicar. En
que marquemos aparecerá en un marcador de color rojo que educación secundaria es una herramienta de gran ayuda para
se encuentra justamente encima de Tux y que, en la imagen 3, las matemáticas en general y para la asignatura de destrezas
podemos observar que tiene el valor 000. básicas en matemáticas en particular. Este software ayuda al
alumno a practicar las operaciones mentales a través del
En esta aplicación, a medida que se van realizando las juego.
distintas operaciones y se van superando las diferentes
pantallas en las que se desarrolla el juego, van apareciendo
más rápidamente las distintas operaciones, lo que hace que en MatemásTIC
algunos momentos el juego alcance cierta dificultad manual a
la que hay que sumar la necesidad de una rápida reacción
mental para realizar las distintas operaciones.

FICHA EDUCATIVO - TÉCNICA

Nombre Tuxmath

Sistema Aunque es una aplicación propia de Linux y para cada distribución cuenta con el archivo de instalación en su
repositorio, también encontramos una versión para Windows.

Descarga http://www.newbreedsoftware.com/tuxmath/download/

Licencia GNU

Contenido Operaciones matemáticas. Cálculo mental.

Nivel Multinivelar, recomendado para primaria y secundaria.

Metodología Los alumnos la utilizarán individualmente, aunque lo más aconsejable es que dos alumnos la utilicen en un mismo
equipo. Utilizarla en periodos cortos durante múltiples sesiones prolongadas en el tiempo.

84
 ojos matemáticos
Arte con
57
Febrero 2008, pp. 85-88 Ha vuelto para mirarnos

I niciamos con este artículo una nueva sección que hemos titulado
Arte con ojos Matemáticos.
En cada entrega analizaremos un cuadro, mirándolo con ojos matemáticos. Con esa
particular mirada, fruto de nuestra propia (de)formación.
Y desde ese punto de vista haremos paseos por el Arte y las Matemáticas.
Espero que el lector, como hago yo mismo, disfrute descubriendo más allá de lo que
a simple vista distinguiría cualquiera. Al fin de cuentas, el Arte, como las Matemáticas,
han sido creados para hacernos disfrutar.

Es ejemplo único de
desnudo en la pintura
española hasta su
momento. Todo es
plástico, de blanda y
fluida luminosidad.
Tan bien armonizada
en rojos, y con una
palpitación humana
que da a esta obra el
máximo interés
realista. Más que un
modelo clásico es ésta
no una mujer desnuda
sino divertida, con
toda la caliente
carnación de un
cuerpo vivo.
Camón Aznar,
Summa Artis
La Venus del espejo, Velázquez, National Gallery, Londres

Francisco Martín Casalderrey

fmc@revistasuma.es

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Febrero 2008

Y no podría empezar esta sección sino volviendo a contem- Haro, marqués del Carpio y Heliche –hijo del nuevo valido del
plar la Venus del Espejo, de Velázquez. Este cuadro, que habi- rey, Luis Méndez de Haro, tras la caida de Gaspar de Guzmán
tualmente se puede ver en la National Gallery de Londres, y Pimentel más conocido como el Conde-Duque de
está de visita en Madrid formando parte de la exposición Olivares–. Dado que en 1651 Velázquez aún permanecía en
Fábulas de Velázquez, en el Museo del Prado, que celebra así Italia es poco probable que pintara allí la Venus.
su reciente ampliación.
Si fue un encargo real para el solaz personal de Felipe IV, en
La Venus ha estado siempre rodeada de un cierto halo de mis- su gabinete secreto en esos años de viudedad, el rey, tras su
terio. No se sabe muy bien en qué fecha fue pintada, ni quién nuevo matrimonio, debió decidir desprenderse de él, quizás
la encargó. Pudo ser un encargo real. El rey Felipe IV había regalándoselo a su valido Luis de Haro. La otra posibilidad
enviudado en 1644, al morir su esposa la reina Isabel, con la plausible es que fuera un encargo directo de éste último, pero,
que había tenido siete hijos, de los que sólo dos llegaron a como digo, el comitente es otro de los muchos misterios de
adultos. De naturaleza melancólica, caía en estados depresi- esta Venus.
vos con cierta frecuencia. Dos años después de la reina moría
en Zaragoza el heredero a la corona, el principe Baltasar En todo caso, en el año 1661, a la muerte de Velázquez su
Carlos, recien prometido a su prima, Mariana de Austria. La yerno realiza un inventario en el que puede leerse:
Corona quedaba sin heredero. El rey terminaría casandose de
nuevo en 1649 con su sobrina, Mariana de Austria, la prome-
tida de su hijo, que tenía sólo quince años y con la que tuvo
cinco hijos más. El más pequeño de ellos, Carlos, sería final-
mente su sucesor y el último de los Austrias en ostentar la
Corona Española. Además, este prolífico rey tuvo otros dos
hijos, al menos, con dos de sus amantes. Una benus tendida de belazquez de dos brazas

No sabemos si se trata de la misma Venus, aunque, si hubo

más, éstas se han perdido.
La Venus del Espejo, de
Las fechas más destacadas de la historia de este misterioso
Velázquez, que habitualmente se
cuadro son las siguientes:
puede ver en la National Gallery
de Londres, está de visita en 1651-1686. Pertenece a Gaspar Méndez de Haro, marqués
Madrid, formando parte de la del Carpio y Heliche. Adquirido por 150 doblones. (En
exposición Fábulas de Velázquez, 1661 aparece la cita que hemos recogido en el inventario
en el Museo del Prado. Es un de bienes del artista)
cuadro que ha estado siempre 1688-1802. Pertenece al duque de Alba, después de su matri-
rodeado de un monio con Cristina de Haro y Guzmán, hija del marqués
del Carpio, del que heredó el cuadro.
cierto halo de misterio. 1802-1808. Incautado por Manuel Godoy a la muerte de la
duquesa Cayetana de Alba.
1808-1813. Adquirido por G.A.Wallis para W. Buchanan,
Londres. Fue valorado en 4 000 guineas.
1814-1905. Adquirido por George Yates, quien poco después
Por tanto, permaneció viudo el rey Felipe IV entre los años lo vendió a J.B.S.Morrit (Rokeby Hall, Yorkshire) por 500
1644 y 1649 y se sabe que La Venus fue pintada por Velázquez libras.
en ese periodo. Lo más probable incluso es que fuera pintada 1905: Vendido a la casa Agnew and Son, Londres.
antes de 1648, fecha en la que el pintor inició su segundo viaje 1906: Lo adquiere la National Gallery, Londres, por 45000
a Italia, donde permaneció más de dos años, con el encargo, libras.
entre otras cosas, de adquirir cuadros para el rey de los mejo- 1914: el día 10 de marzo sufre un atentado por parte de una
res pintores italianos del momento. En su estancia italiana sufragista, que realizó siete cortes en el lienzo.
Velázquez tuvo una amante con la que tuvo un hijo. Algunos
autores, que atribuyen la pintura a esa etapa italiana, creen ver Destaquemos dos momentos: Cuando pasó a formar parte de
en la Venus a la madre de su hijo. Pero como digo, otros con- la colección de Godoy estuvo colgado junto al otro único des-
sideran más probable que fuera pintado antes de este viaje. De nudo femenido de la pintura española, La maja desnuda, pin-
hecho, el cuadro pertenecía en 1651 a Gaspar Méndez de tada por Goya en 1800.

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En 1914, una mujer armada con un cuchillo, rasgó el cuadro en sujeta Cupido, despliega sobre quien la contempla una fuerte
la National Gallery de Londres. Las cuchilladas rompieron el atracción que resiste al paso de los años. Para una sufraguista
lienzo en la espalda y en las nalgas de la Venus. La autora con- de la segunda década del siglo XX el cuadro podía fácilmente
sideró el hecho una contribución a la igualdad de los sexos. convertirse en un símbolo de la mujer reducida a mero obje-
to del deseo del hombre.
No cabe duda de que esta mujer-diosa carnal y sensual, que de
espaldas muestra su cuerpo, vedando al espectador el resto, Pero pasemos, tras este largo prólogo, a mirar el cuadro con
salvo su desvaído rostro que aparece reflejado en el espejo que ojos matemáticos.

I II

III IV

La venus del espejo. Deconstrucción del cuadro para obtener el alzado

Del cuadro al alzado

Analizando la imagen I con detalle vemos el cuerpo femenino está apoyado sobre una almohada, que se oculta bajo la sábana y
extendido sobre un lecho cubierto de una sábana negra. proba- de la que sólo distinguimos la forma. La imagen II resalta, simpli-
blemente seda o satén. La mirada del espectador cae desde un ficando las formas, la perspectiva de la cama. De ésta no resulta
ángulo superior; sin duda está de pie, delante de este diván, a la difícil pasar a la imagen III, que correspondería a un alzado de la
espalda de la Venus. El lecho, en perspectiva nos oculta una de sus escena. El lecho está ahora horizontal. Las caderas tapan el espe-
esquinas, la más cercana a nosotros, que queda fuera de la ima- jo, que aparentemente ha descendido, al igual que el Cupido.
gen. La diametralmente opuesta a ésta se pierde tras la cortina Nuestra mirada es ahora perpendicular al centro de la escena, por
roja del fondo, que parece cubrirla. El brazo derecho de la diosa eso la cama aparece paralela a la línea de tierra, imagen IV.

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Del alzado a la planta ¿Qué ve la venus en el espejo?

Ahora podemos con facilidad, a partir de los datos que hemos Mirando el cuadro podemos hacernos la pregunta ¿qué ve la
analizado, imaginar cómo sería la planta de la escena, imagen V. venus en el espejo? La mayoría de los lectores se sentirán ten-

a’

V VI

tados a afirmar que se está mirando a sí misma, que es una Velázquez. La Venus, por tanto, nos mira y es contigo, espectador,
Venus coqueta. Pero razonando sobre la planta podremos ver si estás atento y te dejas llevar, con quien sostiene ahora ese diálo-
que no. go de miradas cruzadas.

Si trazamos la visual que parte de los ojos de la Venus y se La genialidad de Velázquez en este cuadro, como también sucede
refleja en el espejo, y aplicando la ley de la óptica que dice que en Las Meninas, logra incorporar al espectador en la escena
el ángulo de incidencia α es igual al de reflexión α’, descubri- representada, consiguiendo, por una parte, desde nuestra adversa
mos qué ve cuando parece mirarse en el espejo. Nuestra distancia temporal, situarnos en medio de ese momento mágico,
Venus resulta ser más que coqueta cotilla. y, desde la suya, convertir en atemporal, en eterno, lo que en algún
momento sólo fue un esbozo de una imagen en su cabeza.
Quizás, aburrida de posar como modelo en largas horas de
tedio, mira a través del espejo a quien se encuentra a su espal- Queda así desvelado un enigma de este cuadro, pero no su miste-
da: a Velázquez, al que no puede ver directamente. Velázquez rio. Como dice Susana Fortes en su novela Quattrocento (2007):
también la mira a ella y ambos quedan enlazados por ese diá- El misterio no es algo que uno pueda resolver como un
logo cómplice de miradas. enigma, sino algo en lo que uno se adentra como se aden-
tra en una ciudad.
Pero ahora, cuando contemplamos como paseantes por el museo
y sentimos la irresistible atracción de este cuadro misterioso y fas- En una ciudad desconocida.
cinante, somos nosotros los que nos situamos en el punto de vista
del pintor. Nosotros, por un momento, podemos sentirnos ARTE CON OJOS MATEMÁTICOS

88
 Hace...
57
Febrero 2008, pp.89-95 Robert Recorde: el creador del signo igual

H ace 450 años, en 1558, moría Robert Recorde, a la tem-

prana edad de 48 años, se cree que en prisión por razones ide-
…señala el despertar en su país de una
ológicas, políticas o religiosas. Fue casi el único matemático
importante de la Inglaterra del siglo XVI, y señala el desper-
matemática que llevaba dormida cerca de
tar en su país de una matemática que llevaba dormida cerca dos siglos, desde la muerte de Bradwardine,
de dos siglos, desde la muerte de Bradwardine, por lo que se por lo que se le considera como el iniciador
le considera como el iniciador de la escuela matemática ingle- de la escuela matemática inglesa.
sa.

Recorde había nacido en 1510, en el seno de una modesta

familia de Tenby, en el País de Gales. Estudió Matemáticas, y
en 1531 obtuvo su primer título universitario, que le permitía un maestro y un alumno. Recorde estaba muy preocupado
enseñar Matemáticas en Oxford y Cambridge. En 1545, se por la extensión de la enseñanza de la Aritmética, así que este
doctoró en Medicina por la Universidad de Cambridge, libro, dedicado a Eduardo VI, versa sobre el uso de las opera-
uniéndose así al grupo de médicos, como Chuquet y ciones fundamentales y sus algoritmos, así como de algunas
Cardano, que hicieron importantes aportaciones a las aplicaciones comerciales. Fue muy popular llegando a alcan-
Matemáticas. Poco después, recibió el nombramiento de zar más de doce ediciones, si bien solo en la isla, ya que esta-
médico del rey Eduardo VI y, más tarde, de la reina María. ba escrito en lengua vernácula, Recorde es el primer inglés en
Finalmente, fue nombrado hacerlo, y esto dificultaba su difusión por el continente.
para el cargo de Inspector Ejemplo del tipo de cuestiones que plantea son las siguientes:
de Minas y de la Moneda
de Irlanda.

El primer tratado de mate-

máticas suyo que se con-
serva es Grounde of Artes
(El campo de las artes),
publicado en 1541, y escri-
to en forma de diálogo, Santiago Gutiérrez
según acostumbraba, entre hace@revistasuma.es

89
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Febrero 2008

Problema del caballo segundo con los postulados, axiomas y resto de teoremas de
los tres primeros libros de Euclides.
Te vendo un caballo con cuatro herraduras, y cada
herradura lleva seis clavos, a condición de que tu me La obra más citada de Recorde es The Whetstone of Witte, (La
pagues una moneda por el primer clavo, dos monedas piedra de afilar el ingenio ), publicada en 1557, esto es, un año
por el segundo, cuatro monedas por el tercero, y así antes de su muerte. El libro está dedicado al álgebra, y en él es
sucesivamente, doblando cada vez la cantidad de donde aparece por primera vez el signo que hoy utilizamos
monedas hasta acabar con todos los clavos. Te pre- para afirmar la igualdad de dos expresiones, si bien Recorde
gunto, ¿cuál es entonces el precio del caballo? lo hace más largo de lo que nosotros hacemos en la actuali-
dad. Así lo justifica el propio Recorde en la obra citada:

Problema de los ladrillos And to avoide the tediouse repetition of these woordes
: is equalle to : I will sette as I doe often in woorke use,
Un señor proporciona cierto número de ladrillos a un a pair of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe,
albañil para que construya doce paredes de manera thus: ════, bicause noe .2. thynges, can be moare
que en la primera emplee los dos tercios del total de equalle.
ladrillos, en la segunda los dos tercios del resto, y así
sucesivamente hasta la última. Cuando el albañil
hubo terminado quedaba solo un ladrillo por utilizar. (Y para evitar la tediosa repetición de las palabras:
Te pregunto, ¿cuántos ladrillos se emplearon en cada “es igual a”, pondré, como hago a menudo en el curso
una de las paredes, y de cuántos disponía el albañil? de mi trabajo, un par de paralelas o rectas gemelas de
la misma longitud, así: ════, porque no hay dos
cosas que puedan ser más iguales.)
En 1551, publicó Recorde dos obras, el Pathewaie to knowled-
ge (El camino hacia el conocimiento), destinada a la iniciación Sin embargo este signo no iba a tener un éxito inmediato ni
de los artesanos, y el The Castle of knowledge (El castillo del fácil. Tardaría más de un siglo en imponerse definitivamente.
conocimiento), de contenido astronómico, en la que da su
aprobación al sistema heliocéntrico de Copérnico. El ¿Por qué y cómo ocurrió?
Pathewaie viene a ser una versión abreviada de los Elementos
de Euclides, con la traducción de los cuatro primeros libros.
Pensaba publicar cuatro partes, pero solo aparecieron dos. El
primer tomo con las definiciones y construcciones, y el Primeros pasos del signo de igualdad

Antes de Recorde, la igualdad solía aparecer expresada en

forma retórica por palabras tales como aequales, aequantur,
esgale, faciunt, ghelijck, o gleich, y a veces por la forma abre-
viada aeq. Entre los autores que expresaban la igualdad de

La obra más citada de Recorde es The

Whetstone of Witte, (La piedra de afilar el
ingenio ), publicada en 1557, esto es, un año
antes de su muerte. El libro está dedicado al
álgebra, y en él es donde aparece por primera
vez el signo que hoy utilizamos para afirmar
la igualdad de dos expresiones.

The Castle of Knowledge, Recorde

90
 SUMA 57
Febrero 2008

semejante manera están, entre otros, Kepler, Galileo, Pascal,

Napier, y Fermat. Es decir, unos cien años después de Recorde,
algunos de los más notables matemáticos no usan ningún tipo
de símbolo para expresar la igualdad. Lo más sorprendente es
que alrededor de un siglo antes de Recorde, Regiomontano, … unos cien años después de Recorde,
en su correspondencia, utiliza a veces para la igualdad una algunos de los más notables matemáti-
raya horizontal ( ── ), que había sido empleada ya por Pacioli. cos no usan ningún tipo de símbolo
para expresar la igualdad.

Los distintos significados del símbolo ════

Mientras tanto, en el continente europeo el signo ════ se

aplicaba a relaciones distintas de la igualdad. Así:

•Francisco Vieta, en 1591, en su In artem analyticen isa-

goge utiliza el signo ════ para designar la diferencia
aritmética.

•Descartes, en 1638, utiliza el signo ════ para designar

el doble signo, más o menos, ±.

•Johann Caramuel lo empleaba para indicar la separación

entre la parte entera y la parte decimal de un número; por
ejemplo, la expresión 102 ════ 857 significaba lo
mismo que nuestro 102,857.

•La cosa empeoró cuando Dulaurens y Reyher lo utiliza-

ron para indicar el paralelismo de dos rectas.

Si añadimos el significado original que le daba Recorde, nos

encontramos con que el símbolo ════ adquirió cinco signi-
El símbolo ════ de Recorde, después de su aparición en ficados difstintos, según los diferentes escritores continenta-
1557, no volvió a aparecer impreso hasta 1618, o sea, sesenta les. Por tal motivo, estaba en peligro de ser totalmente des-
y un años más tarde. Algunos escritores utilizan símbolos en cartado en favor de algún otro símbolo que no tuviera este
sus manuscritos privados que no exhiben en sus libros impre- tipo de inconvenientes.
sos, como John Napier, que utiliza el signo ════ de Recorde
en un manuscrito algebraico, que no fue impreso hasta 1839.
En 1618 nos encontramos con el signo ════ en un apéndice
anónimo (muy probablemente debido a Oughtred) impreso Otras propuestas de símbolos
en Inglés por Edward Wright’s, traducción de la famosa
Descriptio de Napier. Pero, fue en 1631 cuando disfrutó de un
reconocimiento generalizado en Inglaterra al ser adoptado Una nueva fuente de peligros para nuestro ════ lo constitu-
como símbolo de igualdad en tres influyentes obras: Artis yó la aparición de otros símbolos competidores. En efecto,
analyticae praxis de Thomas Harriot, Clavis mathematicae nuevos pretendientes hicieron su aparición tanto en el
de William Oughtred, y Trigonometria de Richard Norwood. Continente como en Inglaterra.

91
SUMA 57
Febrero 2008

En 1559, el monje francés J. Buteo, publicó su Logistica en la

que aparecen ecuaciones como

En notación moderna:

El signo “[“, de Buteo, funciona como un signo de igualdad.

En 1571, un escritor alemán, Wilhelm Holzmann, más cono-

cido bajo el nombre de Xylander, publicó una edición de la
Arithmetica de Diofanto en la que utilizaba dos paralelas ver-
ticales para la igualdad. No da ninguna pista sobre el ori-
gen de este símbolo, que fue adoptado por unos pocos mate-
máticos holandeses y franceses durante los cien años siguien-
tes, especialmente en los trabajos sobre proporciones.

Así, R. Descartes, en su Opuscules de 1619-1621, hace la afir-

mación: Página de la edición de Recorde de División de fracciones

“ex progressione habentur Numeri

esta notación no logró interesar a nadie. En algunos casos,
perfecti 6, 28, 496.”
Hérigone utiliza también para expresar la igualdad. Si a
este signo se le da la vuelta, de arriba abajo, tenemos el utili-

Aunque utilizados por los escritores de vez en cuando duran- zado por F.Dulaurens en 1667, a saber, ; con Dulaurens
te más de un siglo, este signo “ ” nunca dio la impresión de significa “majus” y significa “minus “. Leibniz, en
convertirse en el símbolo universal de la igualdad. parte de su correspondencia y algunos documentos no publi-
cados, utiliza normalmente y también ════. Pero, en
los documentos impresos, sólo utiliza el signo ════.

Si añadimos el significado original que Hubo todavía algún otro signo diferente para la igualdad,
le daba Recorde, nos encontramos con pero de menos importancia.
que el símbolo ════ adquirió cinco
significados distintos, según los diferen-
tes escritores continentales.
El signo de igualdad de Descartes

Todos los signos anteriores en ningún momento amenazaron

con poner en serio peligro el símbolo de Recorde. El gran
Lo más raro fue la propuesta de Hérigone en su Cursus competidor del símbolo de Recorde fue el signo , introdu-
cido por René Descartes en su Géométrie (Leyden, 1637). Sin
mathematicus (París, 1644). Es el símbolo para la igual-
embargo, también este símbolo tuvo un recorrido tortuoso,
dad. Basado en esta misma idea, es su para “mayor que”, como ahora veremos.
y su para “menor que”. Así, se indica, en su
Se ha pensado que el signo le fue sugerido a Descartes por
simbolismo, por . Aunque inteligente y curiosa,

92
 SUMA 56
Febrero 2008

su parecido con las iniciales æ de la palabra latina aequalis, ¿Por qué, entonces, se resistía tanto Descartes a adoptar la
que significa “igual”. Cantor lo describió como la unión de las notación de Recorde?
dos letras, ae, simplemente. Mejor, quizás, es la descripción
realizada por Wieleitner como la unión de las letras oe inver- Quizá el uso del signo ════ por Vieta, Girard, y De Var-
tidas; pero, tras un minucioso examen del símbolo, sostiene Lezard para indicar la “diferencia” aritmética habría sido un
que un modo más preciso de describirlo es pensar que se argumento que actuaba en contra. Por otra parte, Descartes
compone de dos letras o, es decir, oo, presionadas una contra veía difundirse su signo ampliamente por todo el continente,
otra, y suprimida la parte izquierda de la primera. Hay razo- a lo que contribuyeron varios factores. En primer lugar, la
nes para suponer, como hace Cajori, que el símbolo de igual- Géométrie, en la que apareció impreso por primera vez, llegó
dad de Descartes, es simplemente el símbolo astronómico de a ser reconocida como la obra de un genio, y por lo tanto lla-
Taurus colocado de lado, con la apertura vuelta a la izquierda. maba poderosamente la atención de los matemáticos. En
Este símbolo aparece regularmente en las obras astronómicas segundo lugar, en este libro, Descartes había perfeccionado la
y estaba por tanto disponible en algunos de los talleres de
imprenta. notación exponencial an, (siendo n un entero positivo), lo que
suponía un tremendo avance en el álgebra simbólica; así que
Descartes no menciona la notación de Recorde; su Géométrie lo más probable era que el símbolo de Descartes, , siguiera
carece de toda referencia, bibliográfica e histórica. Pero sabe- la estela de la notación exponencial.
mos que él conocía la Praxis de Harriot, donde se emplea el
símbolo ════ regularmente. De hecho, Descartes mismo
utiliza el signo ════ para la igualdad en una carta de 1640,
donde escribe: Una nueva fuente de peligros para nues-
tro ════ lo constituyó la aparición de
lC-6N ════ 40 (en lenguaje actual, )
otros símbolos competidores.El gran
competitor del símbolo de Recorde fue el
Pero, se trataba solo de un documento privado. Descartes no
da ninguna razón para haber dejado de utilizar, en este caso, signo introducido por René Descartes en
su nuevo símbolo, . su Géométrie (Leyden, 1637).

Como Descartes había vivido en Holanda varios años, no es

de extrañar que los escritores holandeses fueran los primeros
en adoptar ampliamente su nueva notación. Van Schooten
utiliza el signo cartesiano en varias ocasiones. Aún más influ-
yente fue Christiaan Huygens que lo utilizó ya en 1646 y en
sus escritos posteriores. En Holanda, el símbolo fue adoptado
por los más influyentes matemáticos del siglo XVII. Se abrió
paso incluso en los libros de texto más elementales. Jean
Prestetl lo adoptó en su Nouveaux Élémens, publicado en
París en 1689. Este hecho es de lo más notable, ya que en 1675
había utilizado el signo ════ . Parece indicar que poco des-
pués de 1675, en Francia, el signo estaba ganando terreno al
símbolo de Recorde, ════.

En 1659 el símbolo de Descartes invadió Inglaterra, apare-

ciendo en los pasajes en latín, del Miscellanies, de Samuel
Foster. En la versión Inglesa, sin embargo, se utiliza el signo
════. Otra publicación Londinense que emplea el signo de
igualdad de Descartes es una traducción latina del álgebra del
suizo Johann Alexander. Michael Rolle usa el símbolo en su
Traité d’algebre, de 1690, pero cambia al ════ en 1709. En
Página donde aparece el signo igual Holanda, el signo de igualdad de Descartes fue adoptado en

93
SUMA 57
Febrero 2008

1660 por Kinckhvysen, en 1694 por De Graaf, salvo en escri- como el momento en que cesa la competencia. Descartes
tos sobre proporciones, donde utiliza el ════. Bernard mismo usa el signo ════ en una carta a Mersenne del 30 de
Nieuwentüt usa el símbolo de Descartes en su septiembre de 1640. Los primeros libros de texto continenta-
Considerationes de 1694 y 1696, pero prefiere el ════ en el les en los que encontramos el uso del símbolo de Recorde son
Análisis infinitorum de 1695. Jakob Bernoulli utiliza el carác- un álgebra holandesa de 1639 y un folleto de 1640, ambos de
ter cartesiano, en el Ars Conjectandi (Basilea, 1713). J. Stampioen, además del Teutsche Álgebra del suizo Johann
Heinrich Rahn (1659). Rahn dice:

Bey disem anlaasz habe ich das namhafte

gleichzeichen ════ zum ersten gebraucht,
El hecho de que tanto Newton como bedeutet ist gleich, 2a=4 heisset 2a ist gleich 4.
Leibniz empleasen el símbolo de
Recorde, llevó a su adopción general,
debido principalmente, según parece, a
la influencia de Leibniz durante el perío- (En esta ocasión, utilicé el mencionado signo
do crítico que cierra el siglo XVII. igual ════ por primera vez. Significa “es igual”,
así 2a = 4 quiere decir que “2a es igual a 4”).

En resumen, el signo de igualdad de Descartes se utiliza

ampliamente en Francia y Holanda durante la última parte del
siglo diecisiete y la primera parte del dieciocho, pero no logra
una posición importante en otros países.

En algunos textos aparecen diversas variaciones del símbolo

cartesiano, probablemente debidas a razones de imprenta.
Por citar algunos ejemplos, tenemos el caso de Johaan
Caramuel que en 1670 emplea el símbolo Æ, o el de Fermat,
en 1679, que usa el símbolo ∞, como nuestro infinito, en su Ad
locos planos et solidos isagoge, si bien no lo hace en el manus-
crito original.

La lucha por la supremacía

El siglo XVII, es el de la adopción casi total del símbolo ════

de Recorde. Solo en dos libros impresos se ha encontrado el
de Descartes, . Después de Harriot y Oughtred, el símbolo de
Recorde fue usado por John Wallis, Isaac Barrow, e Isaac
Newton. Sin duda estos grandes nombres le dieron un gran
impulso al símbolo en su caminar hacia los otros países euro-
peos.

En el continente, el signo ════ no ofrece un avance sustan-

Portada de La piedra de afilar el ingenio de Recorde
cial hasta 1650 o 1660, alrededor de un siglo después de apa-
recer el algebra de Recorde. Cuando logró introducirse, expe-
rimentó una fuerte competencia con otros símbolos, durante Fue usado por Bernhard Frenicle de Bessy, en los famosos
medio siglo, antes de quedar plenamente establecido. El cuadrados mágicos, en una carta a John Wallis del 20 de
comienzo del siglo XVIII, más o menos, se puede señalar diciembre de 1661, y por Huips en el mismo año. Leibniz, que

94
 SUMA 57
Febrero 2008

había leído el Euclid de Barrow, de 1655, adoptó el símbolo de

Recorde, en su De arte combinatoria, de 1666, pero luego lo
abandonó durante casi veinte años. El primer libro de texto
conocido publicado en París que usa este signo es el de
Arnauld en 1667; el primero en Leyden es el de C.F.M.
Dechales, en 1674.

El signo ════ fue usado por una importante serie de mate-

máticos, pero la mayoría de los escritores del siglo XVII en el
continente o usa la notación de Descartes o no usa ninguna
para denotar la igualdad.

Con el comienzo del siglo XVIII el signo ════ de Recorde

gana terreno rápidamente. El gran avance matemático de este
tiempo fue la invención del cálculo diferencial e integral. El
hecho de que tanto Newton como Leibniz empleasen el sím-
bolo de Recorde, llevó a su adopción general, debido princi-
palmente, según parece, a la influencia de Leibniz durante el
período crítico que cierra el siglo XVII.

El signo de igualdad ════ es uno de los pocos símbolos

matemáticos que han contado con aprobación universal, si
bien fue acortando su longitud con el uso por evidentes razo-
nes prácticas. Recorde no propuso ningún otro símbolo alge-
braico, pero, ya hizo bastante. Éste fue elegido de manera tan
admirable que sobrevivió a todos los competidores, y consti-
tuye uno de los elementos clave del lenguaje matemático.

HACE

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

FLORIAN CAJORI : A History of Mathematical Notations. Dover publications. USA, 1993 (1ª ED. 1928).

95
SUMA 57
Febrero 2008

Servicio de Publicaciones de la FESPM

Información y pedidos: publicafespm@wanadoo.es

Apartado de Correos 590
06080 Badajoz

APRENDIENDO DE LOS GRANDES MAESTROS:

Selección de Problemas lineales y cuadráticos rescatados de los Elementos de Álgebra de
Leonard Euler (1707-1783)
Vicente Meavilla Seguí
Federacion Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM)
Badajoz, 2007
ISBN 978-84-934488-4-4
95 páginas

96
 ciudades invisibles
En las
57
Febrero 2008, pp. 97-104 En las ciudades invisibles IV y V

diálogo entre Marco Polo y Kublai Jan

diálogo entre Marco Polo y Kublai Jan

–Marco: Sólo si
conoces el residuo de ¿A qué recuerda ese residuo de infelicidad (imperfección, inexactitud) que jamás llega a
infelicidad que compensar la piedra más preciosa (fórmula, igualdad) y cuyo conocimiento determina el
número exacto de quilates (perfección, igualdad) a la que debe aproximarse el diamante final
ninguna piedra
(sucesión, serie, límite)? Sólo conociendo bien ese residuo evitaremos errores de cálculo,
preciosa llegará a errores en la igualdad.
compensar, podrás
calcular el número Esta descripción podría ser una lectura poética de la fórmula de Taylor para el desarrollo de
exacto de quilates a una función como serie de potencias cuyo residuo En(x) tiende a cero a medida que n tiende
que debe tender el a infinito:
diamante final, y no n
f k ) (a)
f ( x) = ∑ ( x − a ) + En ( x )
k
errarás desde el k =0 k!
principio los cálculos
de tu proyecto. Las Matemáticas rebosan de diamantes semejantes. Pero si tuviese que elegir, me quedaría
con dos. Uno relaciona el número fundamental con la fracción más elemental y cuya inspi-
ración puede situarse en la paradoja de Aquiles y la tortuga:
∞
1
∑2
k =1
k
=1

Un caso particular de:

∞
1 1
∀x ∈ (1, +∞) : ∑x
k =1
k
=
x −1

El otro diamante es la función exponencial cuya base lleva por nombre la inicial del apellido
de uno de los más grandes matemáticos que haya habido jamás:

∞
xk
∑ k! = e
k =0
x

Diseño y maquetación FMC

Miquel Albertí Palmer

ciudadesinvisibles@revistasuma.es

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SUMA 57
Febrero 2008

Olivia aivilO
La ciudad no es lo que se escucha decir de ella, (...)no se debe
ni lo que se lee en una guía de viaje, ni lo que se confundir nunca la
ve en miles de fotograf ías, ni los trazos delineados en
ciudad con las
un plano. Algo tan fácil de admitir en el lenguaje corriente
suele ser dif ícil de aceptar en el lenguaje técnico: una curva no es la palabras que la
línea trazada sobre una superficie del espacio, sino la función entre un intervalo real [a, b] y describen.
el espacio R3 en el que se representará su gráfica.

Tampoco debe confundirse una función f con ninguna de sus representaciones, ya se trate de
una tabla de valores, de una fórmula (expresión algebraica), de una figura (representación
y
gráfica) o de las palabras que la describen (expresión verbal):
y=f(x)
f≠Tabla de valores [x, y=f(x)]
f≠Graf(f)={(x, y)∈R2 / y=f(x)}
f≠f(x)
x

Y sin embargo, entre una y las otras hay una relación.

Evidentemente, existe una relación entre la representación y lo representado, aunque no sea

del mismo carácter que el de la función generatriz de dicha representación. Ya puede una
gráfica contener todos los puntos, una tabla todos los valores, y una fórmula abarcar todo el
dominio. Nada de eso es la función. La función es la correspondencia que asocia un valor con
otro y que se manifiesta en cada representación. Una función es invisible.

y
x
X X
3,75
-1,5 X

X
X
-1
2
X
0
0 X
X
X
0,5 X
0,25
X X
XX X
X XXX
1
0
2
2

3
6

Olivia: las funciones invisibles

98
 SUMA 57
Febrero 2008

aiportuE Eutropia
(...) el viajero no ve una Eutropia no es una sino todas esas ciudades a la
ciudad sino muchas… vez, una ciudad espacialmente desconexa.
Eutropia no es una sino
todas esas ciudades al
mismo tiempo (...)
(…) una sola está habi- Las mudanzas establecen conexiones entre las partes desconexas de Eutropia haciendo de ella
tada, las otras vacías; un grafo fuertemente conexo.
y esto ocurre por turno.
(…) toda la ciudadanía
decide trasladarse a la En Eutropia es raro que alguien desempeñe dos veces la misma función, que haga el mismo
ciudad vecina que está trabajo. A lo largo de su vida un eutropiano x pasa de una tarea a otra sin repeticiones:
∀m, n∈N, m<n: fm(x)≠fn(x).
ahí …vacía y como
nueva, donde cada uno
Sea E(t) la función que indica cómo es Eutropia en cada instante t. La ciudad permanece idén-
tomará otro trabajo, tica a sí misma si no cambia, si E(t) no varía con respecto al tiempo. En tal caso la función de
otra mujer cambio de E(t), su derivada, es nula [E’(t) = 0] y la ciudad es constante: E(t) = E(0)=E0=cte.
(…) sus vidas se Eutropia está muerta.
renuevan de mudanza
en mudanza (…) Pero hay otro modo de ser igual a uno mismo. Y es estar hecho de cambio. Si Eutropia vive en
un cambio incesante del que ella misma indica en todo momento su medida, será idéntica a sí
(…) el paso de una misma. Entonces, E(t)=E’(t) y E(t)=E0·et. La ciudad cambia a un ritmo exponencial.
función a otra se
produce sin grandes
sacudidas; la variedad
está asegurada por la
multiplicidad de las
tareas, de modo que en
el espacio de una vida
es raro que alguien
vuelva a un oficio que
ya ha sido el suyo.
Sola entre todas las
ciudades del imperio,
Eutropia permanece
idéntica a sí misma

Eutropia: desconexa como espacio, conexa como grafo.

99
SUMA 57
Febrero 2008

diálogo entre Marco Polo y Kublai Jan

Veamos como el término combinaciones cobra un sentido matemático más ajustado de –Kublai: (...) he cons-
lo que en principio parece. truido en mi mente un
modelo de ciudad del
Sea N la ciudad norma y sean {Ci} i=1,...,n las ciudades reales que dan lugar a las excep- cual se pueden deducir
ciones o diferencias con la norma: {ei=Ci–N} i=1,...,n. Puesto que las ciudades excepcio- todas las ciudades
nales están hechas con las combinaciones más probables, cabe preguntarse cuáles son las
posibles. Encierra todo
combinaciones más probables de dichas excepciones. Tenemos 2n modos de combinar
lo que responde a la
esas n excepciones disponibles y crear así ciudades con 0, 1, 2, 3, 4, 5,…, n excepciones:
norma. Como las
n ⎛n⎞ ciudades existentes se
∑ ⎜⎜ i ⎟⎟ = 2 n

alejan en diferente
i =0 ⎝ ⎠
Para i=0 se obtiene la ciudad sin excepciones, la ciudad norma E0=N. Con i excepciones grado de la norma, me
pueden formarse ciudades excepcionales Ei: basta prever las
excepciones y calcular
⎛n⎞ n!
⎜⎜ ⎟⎟ = las combinaciones más
i
⎝ ⎠ i ! ( n − i)! probables.

Si las excepciones son equiprobables, P(ei)=2–n. Considerando como probabilidad de que

una ciudad exista la proporción entre las posibles combinaciones de las excepciones que
posee y el total de ésas combinaciones, la probabilidad de que exista la ciudad Ei hecha
con i excepciones es:
⎛n⎞
P ( Ei ) = ⎜ ⎟ 2 − n
⎜i ⎟
⎝ ⎠

Puesto que P(N)=P(E0)=2–n, la ciudad norma es segura (P(N)=1) sólo cuando no hay
excepción alguna (n=0). Cuantas más excepciones haya (n→∞), menos probable será
(P(N)→0).

¿Es cierto que la ciudad excepcional X=En hecha con todas las excepciones es absoluta- –Marco: También yo he
mente improbable? Observemos que: pensado en un modelo
⎛n⎞ de ciudad del cual
P ( X ) = P ( En ) = ⎜ ⎟ 2 − n = 2 − n
⎜n⎟ deduzco todas las otras.
⎝ ⎠
Es una ciudad hecha
Así que la ciudad excepcional X es igual de probable que la ciudad norma N. Además,
sólo de excepciones.
disminuir las excepciones aumenta su probabilidad: n→0 ⇒ P(X)=P(N)=2–n → 1.
(...) Si una ciudad así es
Pero si las cosas se llevan muy lejos, como cuando n=0, X y N no sólo comparten pro- absolutamente
babilidad, sino que son idénticas: X=E0=N. improbable,

100
 SUMA 57
Febrero 2008

disminuyendo el ¡He aquí la paradoja expresada por Marco Polo! La reducción excesiva de excepciones
número de elementos produce ciudades demasiado verosímiles para ser verdaderas, demasiado probables
contrarios a la norma como para existir realmente:
aumentan las
posibilidades de que la P(X)=P(E0)=P(N)=1.
ciudad verdaderamente
Tomando como base del modelo de ciudad los múltiplos de un número, pueden trazar-
exista. Pero no puedo se modelos de ciudades diferencia. Si C3 es la ciudad de los múltiplos de 3 y C7 la de los
llevar mi operación múltiplos de 7, pueden formarse dos ciudades diferencia:
más allá de ciertos
límites: obtendría
ciudades demasiado
verosímiles para ser
verdaderas.

C3 C7 C3 – C7 C7 – C3

Y llegar así a diseñar un modelo matemático para la ciudad excepcional X hecha sólo con
diferencias. Es decir, la ciudad excepcional X formada con todos los números primos.

X={n∈N | n primo}

101
SUMA 57
Febrero 2008

Leandra ardnaeL
Tan pequeños que no se ven... ¿Qué es tan pe-
queño que no se ve? Sólo hay una cosa que
Dioses de dos especies
siempre resultará invisible a los ojos de la más
avanzada tecnología: el punto matemático. protegen la ciudad de
Aunque, no es por una cuestión de tamaño, Lenadra. Unos y otros
sino por concepto. ¿Y qué es tan numeroso que tan pequeños que no
no se puede contar? En el lenguaje cotidiano, incontable se ven y tan
e infinito son términos usados para calificar tanto lo extraordi- numerosos que no se
nariamente numeroso como lo verdaderamente infinito. pueden contar.
En Matemáticas es distinto porque algo puede contarse si puede establecerse una corres-
pondencia 1-1 entre sus elementos y los números naturales N. Y así, algo infinito numerable
es el que posee el mismo cardinal que N: ℵ0.

Cuando un conjunto infinito no puede contarse, es decir, no puede ponerse en correspon-

dencia 1-1 con N, se dice que es no numerable. George Cantor demostró que el continuo R,
el conjunto de los números reales, es no numerable. Su cardinal es ℵ1=2ℵ . ¿Es R un buen 0

modelo de esos dioses hogareños tan numerosos que ni se ven ni se pueden contar?

Puestos en fila, los Lares y los Penates de Leandra resultan indistinguibles. Más todavía al (...) Viéndolos a todos
acomodarse codo con codo. Algo parecido sucede con los números racionales, Q, y los irra- en fila no se
cionales, R–Q, si interpretamos que codo con codo se refiere al hecho de intercalarse y no al
distinguen el uno del
carácter consecutivo del intercalado.
otro... A los Penates les
Los números racionales son numerables; los irracionales no. Dando por hecho que el que no se toca acomodarse codo
puedan contar se refiere al carácter infinito, un modelo que asocie Lares con Q y Penates con R–Q con codo con los
no parece muy desacertado. Incluso podemos representarlos mediante la estrategia usada por Lares...
Cantor para demostrar lo innumerable que es R. En las hileras, los Lares; en las diagonales, los
Penates. En la figura siguiente hay un Penate destacado en rojo.

675645234567530387564533443634567890123456780344245235232395766666767812121278009009000001126345453766675091222118884515232324343545546656657767687757777747777679088776010129213836779881

56563475645241212345678901234567890123456789034757564334245235232395766666766577676877577774747777679088776010129213836779881
4354375867965757445635435433333333757566543434969018375900008999899978866677564432234165141
335463868793478562341321222747655405956700101103349575841412715
0345454363517354374853425346555517382212056380
42324352445545531188122883049317374473
4536534835736664241116011425448 Entre dos irracionales hay siempre

34543540689980071699117425
racionales, y viceversa, entre dos
racionales, hay siempre irracionales.

442111539685712726365482
900213936471850933141
Leandra: donde los puntos son dioses.

102
 SUMA 57
Noviembre 2008

ainaleM Melania
Sucede a veces que un Cien, mil, tres mil, treinta mil, cien mil.
interlocutor ¿Adónde conduce esta sucesión numérica?
desempeñe al mismo
tiempo dos o más 100 = 102
papeles... o que un 1 000 = 103
3 000 =3·103
papel se desdoble, se
30 000 =3·104
multiplique, se
100 000 = 105
atribuya a cien, a mil
habitantes de Las potencias de diez no son consecutivas. Y el 3 que las multiplica distorsiona la sucesión.
Melania: tres mil ¿Forman un ritmo los exponentes 2, 3, 3, 4 y 5? ¿Y los productos por tres? La sucesión de
para el hipócrita, exponentes podría ser 233455677899..., pero también podría ser 2233455667, u otra. Los tri-
treinta mil para el ples parecen alternarse de dos en dos.
gorrón, cien mil hijos
de reyes caídos en Otra opción posible es observar que cada término se multiplica alternativamente por 10 o
desgracia que esperan por 3, pero falla el quinto. Debería ser 90 000, y no 100 000. Reorganizando la serie se aven-
su reconocimiento. tura aun otra posibilidad:

100 1 000 10 000 100 000

300 3 000 30 000 300 000

¿Zigzaguea Calvino entre 10n y 3·10n siguiendo un patrón geométrico del que nos muestra
sólo el principio? ¿Quizá éste?:

102 103 104 105 106 107 108

3·102 3·103 3·104 3·105 3·106 3·107 3·108
¿O acaso el matemático busca pautas de las que carecen el capricho y el azar? Si esa serie
numérica obedece un patrón, también lo establece en los atributos que cuantifica. La pauta
que se desprende de 3 000, 30 000 y 100 000 determina otra correspondiente a hipócrita,
gorrón y príncipe. Ambos patrones van emparejados. Si no tiene sentido ordenar hipócritas,
gorrones y príncipes, ¿qué sentido tiene ordenar 3 000, 30 000 y 100 000?

En Melania el matemático busca un papel como interlocutor.

103
SUMA 57
Febrero 2008

diálogo entre Marco Polo y Kublai Jan

diálogo entre Marco Polo y Kublai Jan

¿Un puente sostenido por una línea? Un puente sobre un río sostiene el camino tendido entre Marco Polo describe
las dos orillas, pero ¿qué sostiene al puente? Uno diría que él mismo, el arco trazado por las un puente, piedra por
piedras que lo forman. Pero esa paradoja de que algo se sostenga en aquello de lo que está piedra.
hecho es desvelada también por Marco Polo. En realidad, un arco sostiene el puente, pero no
es el arco visible formado por las piedras, sino el arco de la línea invisible trazado por las fuer- – Pero ¿cuál es la piedra
zas de carga de esas piedras. que sostiene el puente?
–pregunta Kublai Jan.
Esa línea del arco que ellas forman es la curva de empuje, la línea formada por las resultan-
tes de las fuerzas de empuje y peso que cada parte del arco transmite a la inmediatamente
– El puente no está
inferior. Si la directriz del arco coincide con ella, el arco no cede, no se flexiona: sostenido por esta
piedra o por aquélla
–responde Marco–,
sino por la línea del
arco que ellas forman.
Kublai permanece
silencioso,
reflexionando.
Después añade:
–¿Por qué me hablas de
las piedras? Lo único
que me importa es el
arco.
Polo responde:
Sólo el arco catenario se sostiene a sí mismo. Gaudí hizo extenso uso de él aunando así la –Sin piedras no hay arco.
forma con la estructura. Pero sus obras no estaban destinadas a salvar ríos. Como puente, el
arquitecto prefiere el arco parabólico. A la vista resulta prácticamente indistinguible del otro.
El primero se caracteriza por soportarse a sí mismo; el segundo, por soportar lo que tiene
encima.

104
 De cabeza
57
Febrero 2008, pp.105-109 Ramanujan y el número π

“Las ideas de los matemáticos como las de los pintores o los poetas deben
ser bellas. La belleza es el primer requisito: no hay lugar permanente en el
mundo para unas matemáticas feas”

G.H. Hardy

Estimado señor:

Me permito presentarme a Vd. como un contable del departamento de

cuentas del Port Trust Office de Madrás, con un salario de 20 libras
anuales solamente. Tengo 26 años de edad. No he recibido educación
universitaria, pero he seguido los cursos de la escuela ordinaria. He
hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los
resultados a los que he llegado son calificados como sorprendentes por
los matemáticos locales...

Querría pedirle el favor de que repasara los trabajos aquí incluidos. Si

usted se convence de que hay alguna cosa de valor, me gustaría publi-
car mis teoremas, ya que soy pobre. No he presentado los cálculos rea-
les ni las expresiones que he adoptado, pero he indicado el proceso que
sigo. Debido a mi poca experiencia tendría en gran estima cualquier
consejo que usted me diera. Pido que me excuse por las molestias que
ocasiono.

Quedo, apreciado señor, a su entera disposición.

S. Ramanujan
Antonio Pérez Sanz
decabeza@revistasuma.es

105
SUMA 57
Febrero 2008

E sta es la carta que el joven Srinivasa Ramanujan, un

matemático que se consideraba a sí mismo un aficionado a las
matemáticas sin una formación académica seria. De hecho,
empleado de la aduana del puerto de Madrás en la India, Ramanujan fue rechazado en la prueba de acceso a la
había enviado a Hardy y que éste leyó con un cierto escepti- Universidad.
cismo el 16 de enero de 1913. Acompañando a la carta apare-
cían unas hojas de cuaderno en las que se apiñaban 120 extra- Hardy le invitó a trasladarse a Cambridge, a lo que Ramanujan
ñas fórmulas y la afirmación de haber descubierto una para en un principio se mostró reticente. Por fin, tras la interven-
obtener la cantidad de números primos menores que un ción de su madre y de la diosa Namagiri, de la que Ramanujan
número dado, con el sorprendente añadido de que esa fórmu- afirmaba que le dictaba sus resultados en sueños, y de una
la funcionaba sin error al menos hasta 10.000.000. También beca de 250 libras, el joven indio abandona Madrás para lle-
había unas cuantas con desarrollos en serie sobre el número gar al Trinity College en la primavera de 1913. Su estancia
π. Tras una primera ojeada, Hardy piensa que todo aquello es durante cinco años en Cambridge, hasta 1919, no fue del todo
obra de algún personaje estrafalario, de uno de tantos locos feliz. Vegetariano estricto, en un ambiente raro para él, con
con ínfulas de genio y a punto estuvo de tirarla a la papelera. una comida alejada de sus gustos y costumbres, en plena gue-
rra mundial, sin amigos salvo Hardy y Littelwod, acabó enfer-
Pero por la noche en compañía de su colega Littelwood, vuel-
ven a revisar las extrañas fórmulas y llegan a la conclusión de
que no se trata de la obra de un loco sino más bien de la de un
extraño genio.
Acompañando a la carta
aparecían unas hojas de cuaderno
“Forzoso es que sean verdaderas, porque de no en las que se apiñaban 120
serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria extrañas fórmulas y la afirmación
para inventarlas”. de haber descubierto una para
obtener la cantidad de números
primos menores que un número
Entre las más de cien fórmulas recibidas varias están relacio- dado, con el sorprendente añadido
nadas con el número π; de todas ellas Hardy sólo es capaz de
de que esa fórmula funcionaba sin
reconocer una, descubierta por Bauer, en la que aparecen los
error al menos hasta 10.000.000.
cubos de fracciones formadas con los números pares e impa-
res, y cuyos coeficientes forman una progresión aritmética de
diferencia 4:

mando seriamente, teniendo que ser ingresado en varios

sanatorios. En 1919 tras el fin de la contienda, y gravemente
enfermo, decide regresar a la India. Morirá a los pocos meses.
A pesar de ello, de su trabajo con Hardy nos ha dejado una
El resto son completamente nuevas para él y despiertan su increíble producción de resultados matemáticos sorprenden-
curiosidad y la sospecha de que Ramanujan está en posesión tes en forma de “Cuadernos”. Algunos de ellos todavía están
de teoremas más generales. Hardy se apresuró a responder a siendo estudiados.
la carta de quien ya consideraba un colega indio pidiéndole las
demostraciones de sus fórmulas y, sobre todo, la fórmula tan
ansiada desde los tiempos de Gauss acerca de la cantidad de
números primos menores que un número natural dado, no Cautivado por π
dudando en escribir:
Desde muy pequeño Ramanujan estuvo cautivado por el
número π. De hecho a lo largo de su corta vida descubrió
“Haber demostrado lo que usted afirma habría sido numerosas fórmulas para calcular aproximaciones de π.
la empresa matemática más extraordinaria de toda
la historia de las matemáticas.” Para ello, como ya venían haciendo los matemáticos desde
hacía más de 300 años, utilizó series formadas por infinitos
términos de estructura semejante. La más simple y conocida
Pero Ramanujan no envió dichas demostraciones, lo que acre- es ésta del inglés John Wallis, publicada en 1665 en su
centaría aún más el interés de Hardy hacia el desconocido Arithmetica infinitorum.

106
 SUMA 57
Febrero 2008

Algunas de sus aproximaciones a π se basan en construccio-

nes geométricas y nos permiten obtener de forma rápida π
con unos cuantos decimales.

La serie se acerca a π pero con una lentitud desesperante. Si

hiciésemos los 100 primeros productos obtendríamos un
valor de π = 3,1260789... Bastante alejado del valor verdadero.

Esta otra es de apariencia más sencilla. Son fracciones cuyos

denominadores son los números impares y en las que vamos
alternando sumas y restas.

Es la serie de Gregory-Leibniz. También nos sirve para calcu-

lar aproximaciones de π. Pero tiene el mismo inconveniente:
para calcular las 100 primeras cifras de π tendríamos que des-

arrollar más de 1050 términos de la serie.

Ramanujan descubrió series que se acercaban a π con una

velocidad de vértigo. Una de ellas no deja de extrañarnos:

La fórmula no es nada elemental. Aunque esta otra no le va a Esta constituye por sí sola un auténtico poema geométrico-
la zaga. aritmético

4 ∞ ( −1) (1123 + 21460n ) ( 2n − 1) !! ( 4 n − 1) !!

n

=∑
π n =0 8822 n +132n ( n ! )
3

Pero Ramanujan no siempre recurrió a series infinitas.

Que también se puede escribir así
Esta simple expresión le proporcionaba 15 decimales de π:

107
SUMA 57
Febrero 2008

O en forma de fracción a OH por el punto K. Esta recta corta a AE en el punto I.

• Con radio AI trazamos un arco de circunferencia que corta-

rá a la recta tangente a la circunferencia en el punto A en un
punto J.

• Por fin trazamos el segmento OJ.

Aproximación que obtuvo mediante una original y creativa
construcción geométrica Hecha la construcción, Ramanujan afirma que la media pro-
porcional entre OA y OJ es aproximadamente un tercio de la
semicircunferencia ACB. Hagamos los cálculos:
Longitud de ACB = π · r = π

(i)

Calculemos el valor de AJ.

AJ = AI. Los triángulos AIK y AHO son semejantes, por tanto

por lo cual,

(ii)

• Construimos un círculo de centro O y radio la unidad. AB es También son semejantes los triángulos AHG y AEF. Además
su diámetro. AE = AG. Por tanto

• C es el punto medio del arco ACB. Dividimos en tres partes

iguales el radio OA para obtener el punto K, así:

es decir,

(iii)
• Trazamos el segmento CB y sobre él desde C llevamos dos
veces el segmento AK para obtener los puntos E y F. Así:
Calculemos AF y AE. Aplicando el teorema del coseno en el
triángulo AFB tendremos:

• Trazamos los segmentos AE y AF.

Tengamos en cuenta que:
• Con radio AE trazamos un arco de circunferencia hasta que
corte al segmento AF. Tenemos así el punto G. Por él traza-
mos una paralela a BC que cortará a AE en el punto H.

• Unimos el centro O con el punto H y trazamos una paralela

108
 SUMA 57
Febrero 2008

Es decir: Sustituyendo estos valores en la expresión (iii) tendremos

y sustituyendo en (ii)

A lo largo de su corta vida de su

mano salieron cientos de formas
distintas de calcular valores
aproximados de π Sustituyendo este valor en (i) tendremos

Aplicamos ahora el teorema del coseno en el triángulo AEB

Y por tanto

Ahora

Ramanujan no encontró un par de aproximaciones a π. A lo

y por tanto largo de su corta vida de su mano salieron cientos de formas
distintas de calcular valores aproximados de π.

Decididamente, si alguien le puede disputar al genial

Arquímedes el título de padre de π, ese sería sin duda este
tímido muchacho indio: Srivinasa Ramanujan.

Y todo ello... ¿DE CABEZA?

DE CABEZA

REFERENCIAS BIBLIOGÁFICAS
BORWEIN. (1995) Grandes Matemáticos. Investigación y PEREZ SANZ, A. (2000) Documental Historias de Pi. Serie
Ciencia. Temas 1. Prensa Científica. Barcelona Universo Matemático. RTVE. Madrid
COLLANTES / PEREZ SANZ. (2007). Matemáticos a contra- POSAMENTIER / LEHMANN (2006). La proporción tras-
corriente. Ed. NIVOLA. Madrid. ( En prensa) cendental. Ed Ariel Barcelona
NEWMAN. (1968) Sigma. El Mundo de las Matemáticas. Vol.
1. Ed Grijalbo. Barcelona.

109
SUMA 57
Febrero 2008

Publicaciones recibidas

PROBLEMES OLÍMPICS PROBLEMES OLÍMPICS

SEMCV Al Khwarizmi SEMCV Al Khwarizmi
N.º 41, Octubre 2007 N.º 42, Desembre 2007
Valencia Valencia
ISSN: 1578-1771 ISSN: 1578-1771

BIAIX. REVISTA DE LA PNA. REVISTA DE INVESTIGACIÓN EN

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS
FEEMCAT Universidad de Granada
Núm.26, juny 2007 Vol. 2 n.º 2, enero 2008
Bellaterra. ISSN 1886-1350
ISSN: 1133-4282

MATHÉMATIQUES MATHÉMATIQUES
ET PÉDAGOGIE ET PÉDAGOGIE
SBPMeF SBPMeF
N.º163, Septembre-Octobre 2007 N.º164, Novembre-Decémbre 2007
ISSN: 0773-7378 ISSN: 0773-7378

AGACETA DE LA RSME EL LIBRO ESPAÑOL DE

RSME MATEMÁTICAS
MADRID
Vol.10, n.º 3, Septiembre-Diciembre 2007 EXPOSICIÓN BIBLIOGRAFICA
ISNN 1138-8927 Catálogo
Servcio de Publicaciones,
Universidad de Cordoba
Córdoba, 2005
ISBN: 84-7801-781-X

110
 Biblioteca
57
Febrero 2008, pp.111-116 Biblioteca

Mi biblioteca particular: balance y adiós

U na revista como SUMA, de periodicidad cuatrimestral, lista de novedades, pero que sin embargo tenían cosas que
no puede ser notaria de la actualidad palpitante en ningún aportar o que, al menos, habían sido importantes para algu-
campo, pero menos en el de una realidad editorial basada nos profesionales de la enseñanza de las matemáticas. Dicen
cada vez más en una rotación acelerada de novedades que algunos teóricos del marketing bibliográfico que las dos for-
pasan fugaces por las mesas de las librerías (las que quedan), mas fundamentales de vender libros es por presión (a base de
cadenas y grandes superficies, y son reemplazadas en seguida campañas masivas de publicidad) o por recomendación (lo
por otras. La existencia de los últimos libros aparecidos se que pasa por ejemplo con todos los libros de texto en los dife-
documenta en periódicos y revistas o por medio de los porta- rentes niveles). Yo pienso que también está el boca a boca o la
les de Internet (papel que en nuestro caso lo cumplen, por recomendación no cautiva (la del colega, el amigo o el diser-
ejemplo, divulgamat o matematicalia). tador), que muchas veces nos acercan auténticas perlas que
de otra forma no hubiéramos tenido la posibilidad de sabore-
Los libros siguen siendo fundamentales por ahora (yo deseo ar.
que por bastante tiempo aunque mi esperanza al respecto no
esté muy firme teniendo en cuenta la velocidad de evolución
de la web) para conformar una opinión fundada sobre las
Los libros siguen siendo fundamentales
matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje. Y aunque el paso
de los libros de matemáticas sea un poco menos fugaz que en por ahora para conformar una opinión
otros géneros bibliográficos, también les ha llegado su turno. fundada sobre las matemáticas, su
enseñanza y su aprendizaje.
Por todo eso consideré en la remodelación de la sección (que
comenzó en el número 50, de noviembre de 2005) que había
que reconducir el camino de la sección de bibliograf ía de
SUMA para poder traer al escaparate libros con los que no Fernando Corbalán (coordinador de la sección)
era fácil que nos topáramos al entrar en una librería ni en una biblioteca@revistasuma.es

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Febrero 2008

Solo me queda antes de hacer mutis por el foro esbozar un

Mi apuesta fue porque colegas destacados, formados y bri- pequeño balance de lo que han supuesto estas entregas de la
llantes, con perspectivas diferentes pusieran a nuestro alcan- sección. Y como no creo que sean tantas ni cuestión de un
ce una muestra de esos libros que les habían dejado huella. estudio sesudo, solo quiero decir que a mí, como lector, me ha
Porque tal vez podrían dejarla en nosotros. Si hay clásicos supuesto el descubrimiento de algunos libros que no conocía
(antiguos y modernos) en todas las ramas del conocimiento, (como el de Bergamini al que se refería Santiago Fernández en
con más razón tiene que haberlos en matemáticas (una cien- el número 54, con el añadido de que ahora se puede descargar
cia más ‘estable’, con resultados imperecederos). Y es fácil que de Internet) o que había leído por arriba hacía tiempo (como
además duren más que en otras disciplinas. Solo es cuestión ‘De letras y números’ de F. Mellizo al que hacía referencia
de ponerlos en el candelero, darles audiencia para que puedan Antonio Pérez en el 51). Y sobre todo el volver a mirar
continuar influyendo en nuevos lectores. muchos libros que uno tiene escondidos entre otros, que leyó
en su día incluso con atención, y que la mención actual hace
Y ya que se les pedía sus lecturas matemáticas favoritas, pensé volver a releer con otra perspectiva (y aquí no señalo ninguno
que era interesante ampliar el campo de visión y preguntar porque son casi todos los que han ido apareciendo en la sec-
también por otros elementos culturales (para poner en valor ción). Pero además creo que es importante (al menos para un
el hecho de que las matemáticas son parte sustancial de la cul- lector impenitente como quien escribe) que también me ha
tura y que a los profesores de matemáticas no solo nos intere- dado la sección recomendaciones de libros alejados de las
san las matemáticas) y en particular pensamientos o frases matemáticas que me han proporcionado un inmenso placer.
que les hubieran llegado de forma especial.
Por último, aunque en absoluto lo menos importante, esta
sección creo que me ha permitido conocer mejor a las perso-
nas (colegas y amigos) que han escrito las diferentes entregas
y sentirme más próximo, más ligado a ellas. Y espero que
hayan contribuido a humanizar para quien no los conociera
...las matemáticas son parte personalmente a seres humanos de los que seguro que cono-
sustancial de la cultura y que a los cían el nombre como firma de libros o artículos. Porque con
profesores de matemáticas no solo su ‘bibliograf ía particular’, cada uno de los firmantes dejaba
nos interesan las matemáticas... bastante de su biograf ía personal.

Decir también que yo quedo contento de mi labor al frente de

la sección de libros de SUMA (cada uno de vosotros es libre
de opinar sobre ella), porque me ha permitido relacionarme
de forma más profunda con uno de los objetos que más pla-
Y lo cierto es que pasados siete números de SUMA (casi tres ceres me han proporcionado, de forma tal que dif ícilmente
años desde el tiempo en que cavilé todo lo anterior) lo sigo los puedo mirar con distancia. Tengo con ellos una relación
pensando, aunque ahora ya no sea una cuestión en la que yo apasionada, que espero que se note, y que desearía, al menos
tenga relevancia, sino algo que depende del nuevo encargado en alguna medida, haber transmitido. Paso a un segundo
de la sección y de los nuevos directores de la revista. Porque plano en el que echaré las manos que se me soliciten, y desde
lo cierto es que este es el último número de SUMA en el que donde espero seguir disfrutando de mi historia de amor con
yo soy el responsable de la sección de libros: por medio de este los libros. Hasta siempre.
artículo me despido de la misma. Y en serio porque ya hice
otra despedida de la revista (de la sección de ‘Mates y medios’)
que resultó fallida porque me reenganché en esta.

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Febrero 2008

Escaparate 1:
En campo ajeno

EL GAMBITO DE BOURBAKI
Carl Djerassi
Fondo de Cultura Económica, México, 1996
ISBN: 0-8203-1652-0
240 páginas

E xiste toda una serie de estereotipos sociales sobre la cien- las relaciones de los científicos entre sí y con la sociedad, que
cia y los científicos, que incluyen el altruismo en la transmi- son aplicables en buena medida también a los investigadores
sión del conocimiento obtenido en el batallar por los descu- en matemáticas.
brimientos (‘por el bien de la humanidad’, por supuesto), el
reconocimiento del talento esté donde esté (sin distinción de Pero de todo esto no habla en un ensayo más o menos sesudo
sexo o nacionalidad) y el paso libre al empuje de la juventud sino en una novela con personajes creíbles, con una trama
(porque la ciencia requiere creatividad, que se va perdiendo que se sigue con gran interés y trufada de informaciones sig-
con los años). La vida diaria en los centros universitarios y/o nificativas y reflexiones pertinentes, sobre situaciones y
de investigación pone en cuestión no pocos de esos valores, ambientes conocidos y vividos en primera persona. Porque el
junto con otros conexos. autor (hasta donde tengo conocimiento no editado en
España) es un destacado biólogo ya veterano de reconocido
‘El gambito de Bourbaki’, de Carl Djerassi, se refiere directa- prestigio mundial, sintetizador del primer anticonceptivo
mente a las matemáticas solo en el título y en el hecho de que oral, con destacados galardones entre los que se encuentra el
Bourbaki sea el nombre de un ‘matemático colectivo’ de gran
influencia en la historia de las matemáticas, pero aborda Fernando Corbalán
cuestiones fundamentales de la investigación científica y de biblioteca@revistasuma.es

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Premio Nacional de Ciencias de Estados Unidos y más de una pesar de que las cosas se ‘mueven’, sigue siendo dominante.
decena de doctorados ‘honoris causa’. Por tanto cuando habla Por cierto, que en el libro, al hilo de la trama, hay mucha infor-
del ambiente científico lo hace con el conocimiento de causa mación sobre Bourbaki, entre la que entresacamos
que da el pertenecer a él y conocerlo desde la primera fila.

No voy a referirme en detalle a la trama, pero sí alguno de los “¿Sabes que [Bourbaki] nunca incluyeron una mujer?
temas que se abordan en ella. Por una parte está la prioridad Cuando buscaban nuevos miembros, invitaban a los posi-
en los descubrimientos importantes, algo que en nuestro bles candidatos –‘courbail’ los llamaban- a una sesión para
examinarlos. Encontré que, en los setenta, dos de esos cone-
jillos de Indias fueron mujeres, pero nada resultó de ello”.
se aborda el etnocentrismo de los
científicos, mayoritariamente blancos y con
usos sociales de universidades occidentales, Asimismo se aborda el etnocentrismo de los científicos,
con las dificultades de inserción de las mayoritariamente blancos y con usos sociales de universida-
des occidentales, con las dificultades de inserción de las otras
otras culturas.
culturas. Y el dinero, el poder, la fama,... Como se ve todos los
elementos que conforman la realidad social del colectivo de
científicos, con comportamientos no muy diferentes de los de
ámbito se conoce bien: sólo hace falta pensar en la literatura cualquier otra casta humana.
–y hasta cine, con la reciente película española ‘La habitación
de Fermat’ para ejemplificarlo- que la demostración de la con- Para acabar, junto con la recomendación de su lectura, añadir
jetura de Goldbach ha generado. También la dialéctica entre que este libro es parte de una tetralogía sobre temas relacio-
el trabajo individual y el que se desarrolla en equipo, con la nados con lo que podríamos llamar la sociología de la ciencia,
asignación de los logros que se obtienen. Y el papel que jue- de la que solo conozco este volumen, pero que espero ampliar
gan los investigadores con una edad avanzada, que tienen cuando los imponderables de la distribución bibliográfica me
todas las palancas del poder en sus manos, al tiempo que lo permitan.
inexorablemente van decayendo sus capacidades. Sin olvidar
el papel de las mujeres en un mundo en que lo masculino, a

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Escaparate 2:
Las funciones. Un paseo por su historia.

LAS FUNCIONES. UN PASEO POR SU HISTORIA

Carlos Sánchez Fernández.
Concepción Valdés Castro
Editorial: Nivola
ISBN: 978-84-96566-57-6
172 páginas

C omenzamos señalando que el libro está dividido en dos dirección parece indicar un alejamiento de la aparición de las
partes, tomando como momento final de la primera e inicio funciones, sin embargo, esto no va a ser así. Aunque los pro-
de la segunda la aparición del Cálculo Infinitesimal, fecha que blemas geométricos tratan de ser resueltos mediante la regla
fijan en 1620. La primera parte se inicia con las culturas pre- y el compás, la aparición de las magnitudes inconmensurables
helénicas y se cierra con la aparición del Cálculo, y la segun- y lo que hoy llamamos problemas clásicos (cuadratura del cír-
da llega hasta nuestros días con los fractales y distribuciones. culo, trisección y duplicación del cubo) junto con los esfuer-
Cada una de las dos partes se divide, a su vez, en cinco capí- zos para resolverlos, trajo consigo la creación de diferentes
tulos. Los cinco primeros son de periodos de tiempo muy curvas. Entre ellas se destaca la trisectriz, y su futuro uso para
amplios y los últimos abarcan periodos de un siglo más o cuadrar el círculo (cuadratiz). Aquí es donde se explica como,
menos regulares. Ambas partes, como los autores señalan en aunque no se cita el término función, si se habla de relación
la introducción, se pueden leer independientemente. entre magnitudes geométricas variables.

Los inicios de la idea de función los sitúan en los datos rela- El siguiente paso es mostrarnos la matemática árabe y su gran
cionados mediante tablas que ya era usados por la culturas personaje de la matemática, Al-Khwarizmi (siglos VIII-IX).
prehelénicas pues, como señalan, entender estas tablas es Como sabemos, Al-Khwarizmi dominó distintos ámbitos de
entender las relaciones funcionales que puedan existir entre las Matemáticas pero, los autores, se centran en sus estudios
los números que aparecen. Cuando aparece la cultura heléni-
ca, se producen cambios en los contenidos de estudio deri- Fernando Fouz Rodriguez
vando hacia un mayor papel de la Geometría. El tomar esta Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Donostia

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Febrero 2008

de ángulos y las tablas de valores de relaciones trigonométri- ras de Daniel Bernoulli, D’Alambert, Lagrange y Fourier. Cada
cas. Pero en la aparición del concepto de función no se pro- uno de ellos es perfectamente retratado en su aportación al
ducen avances. Cuando la influencia árabe desaparece, surge desarrollo de nuevas funciones y desarrollos en series trigo-
el papel de Europa con su Renacimiento. Las universidades, nométricas. El siglo siguiente es la búsqueda de la fundamen-
fundadas en los siglos anteriores, recuperaron la figura de tación del análisis matemático y dentro de ella el concepto de
Aristóteles y su obra. En particular, la Física con el estudio de continuidad es el primero a precisar. Se señala que, aunque su
la naturaleza del infinito y la divisibilidad de las cantidades obra nos es conocida hasta 1930, es Bolzano quien da la pri-
continuas. Se estudia el movimiento y el cambio y se estable- mera definición, siendo, sin embargo, otros grandes matemá-
ce, expresado con palabras, no algebraicamente como ahora ticos los que van a aparecer en este proceso de formalización:
lo conocemos, la relación entre el espacio y el tiempo en el Cauchy, Abel, Dirichlet, Riemann, Darboux, Weierstrass. Se
movimiento uniforme. fijan las relaciones entre derivabilidad y continuidad. A modo
de ejemplo se cita la famosa función de Weierstrass:
De ese trabajo aparecen continuadores que van formulando
nuevas ideas que ayudarán a la creación de la idea de función.
f ( x ) = ∑ n = 0 bn cos(a n πx )
∞

Oresme, Galileo (estudio de la Cinemática), Torricelli, Napier

son las figuras de las que nos presentan sus aportaciones. Esta
última parte del primer periodo que fijan los autores, se cierra que, siendo continua, no tiene derivada en ningún punto.
con la segunda mitad del siglo XVI y primera del XVII y, en También se trata de la aparición de funciones extrañas (traba-
este momento, es cuando emergen los grandes matemáticos jos de Koch), a las que incluso se llama funciones monstruo-
franceses: Viète, Descartes y Fermat. Su aportación, desde la sas, y son muchas veces rechazadas por grandes matemáticos
creación de la Geometría Analítica, es fundamental para todo (Hermite, Poincaré). Pero algunos de estos “monstruos” son el
lo que va venir luego. anticipo de una geometría de gran proyección en nuestros
días: la Geometría Fractal.

El último capítulo, que finaliza en 1970, trata de explicar, en

el libro se puede considerar palabras de los autores, lo que en el siglo XX aporta la idea de
como un recorrido histórico a representación analítica y las nuevas definiciones de función
través del desarrollo del entre conjuntos arbitrarios, no necesariamente numéricos.
concepto de función Los matemáticos que contribuyen a este proceso son figuras
de la talla de Borel, Baire, Lebesgue, Luzin, Dedekind o Peano,
en la primera parte del siglo y, Kolmogórov, Sobolev y
A partir de este momento se entra en la segunda parte del Schwartz en la segunda.
libro, que se inicia con la aparición del Cálculo, lo cual signi-
fica hablar de Newton y Leibniz. La herramienta que crean los En resumen el libro se puede considerar como un recorrido
dos es, sin duda, la mayor aportación matemática de la histo- histórico a través del desarrollo del concepto de función
ria. El gran salto ya está dado y, a partir de entonces, el pro- tomando como punto referencial la aparición del Cálculo.
greso se hará más rápido. Efectivamente, en el siglo siguiente, Está hecho sin grandes profundizaciones teóricas, algo de
va a aparecer la figura del matemático más prolífico de la his- agradecer en obras que buscan el acercamiento y divulgación
toria, Euler, al que le había precedido una familia de matemá- de la Matemática, lo que lógicamente ayuda a su lectura. La
ticos suizos realmente sorprendente: los Bernoulli (Johann y conclusión es que estamos ante un buen libro, fácil de leer y
Jacob, especialmente). Se señala en el libro cómo aparecen entender, que cumple perfectamente su objetivo de introdu-
funciones nuevas (las trascendentes) que ayudan a resolver cirnos en el proceso histórico de la aparición, desarrollo y for-
problemas relacionados con la Física (cicloide, catenaria, lem- malización del concepto de función, haciendo especial hinca-
niscata, ...). Pero es Euler quien lleva más allá la idea de fun- pié en los matemáticos que la desarrollaron. Y como no puede
ción, dándole la posibilidad de estudiarlas como entes mate- ser de otra forma, con especial énfasis en la figura de Euler, a
máticos propios pues hasta ese momento eran consideradas quien dedican el libro utilizando, como presentación, la defi-
como herramientas de resolver problemas, generalmente nición que Euler dio de función
relacionados con la Física. Clasifica las funciones según crite-
rios (algebraicas y trascendentes, explícitas e implícitas, etc) e Como nota final, señalar que los autores (con otros libros de
introduce el término de expresión analítica. historia de las matemáticas publicados en la misma editorial)
se formaron como matemáticos en la escuela de Kolmogórov
El final del siglo XVIII fue importante por el desarrollo de la en Moscú y que fue éste quien presidió el tribunal ante el que
Física, especialmente la Mecánica y Fluidos, que trajo “nuevas presentaron sus tesis doctorales, lo cual, indudablemente, es
necesidades matemáticas”. En este apartado aparecen las figu- una buena referencia de su trabajo. .

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 El hilo de Ariadna
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Febrero 2008, pp.117-122 El hilo de Ariadna

Foto: Pilar Moreno

E sta sección, El hilo de Ariadna, nace de la confrontación Caminante

entre la necesidad de buscar el camino con la imposibilidad
de encontrarlo. El caminante, en el poema de Machado es el ser humano que
transita el laberinto de su vida buscando caminos

LA IMPOSIBILIDAD No hay camino

Caminos que no existen. El camino, EL MÉTODO, para

Como dice el poeta: resolver con éxito cualquier problema no existe.

“Caminante, no hay camino, Las recientes investigaciones en neurofisiología nos dicen que
se hace camino al andar. el cerebro, cuando empieza a resolver un problema, entra en
Al andar se hace camino estado caótico.
y al volver la vista atrás Una cosa es el análisis del proceso de la resolución de proble-
se ve la senda que nunca mas y otra muy distinta el propio proceso.
se ha de volver a pisar.”
Xaro Nomdedeu Moreno
Antonio Machado ariadna@revistasuma.es

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SUMA 57
Febrero 2008

Se hace camino al andar LA NECESIDAD

El análisis de los procesos y su consiguiente disección en com- La necesidad de encontrar el método es el tema central del
ponentes, desvía la mirada del proceso mismo, impide la mito de Ariadna.
visión de la totalidad. El todo no es la suma de sus partes, ni
cuantitativa ni cualitativamente. El mito

La magdalena de Proust no es la receta dividida en ingredien- Ariadna era la hija de Minos, rey de Creta, y Teseo el héroe
tes y modo de hacerlo. Ni llega a serlo si le añadimos los aro- ateniense que mató a Asterión, el Minotauro. Dédalo fue el
mas y los recuerdos. constructor del laberinto en cuyo interior moraba el toro
monstruoso, el hermano o alter ego de Ariadna. Teseo des-
A resolver problemas se aprende resolviendo problemas, truyó al monstruo, eliminó la amenaza que pesaba sobre las y
como a vivir se aprende viviendo, tal como nos dice la metá- los jóvenes atenienses, que eran condenados a vagar por el
fora del poeta. laberinto hasta caer víctimas del Toro de Minos.

Y al volver la vista atrás Ariadna, enamorada, le dio a Teseo un ovillo de hilo y sujetó
uno de sus cabos. Mientras Teseo se internaba en el laberinto
Los análisis, bien sean sobre el proceso de resolución de pro- para matar a Asterión, el ovillo se desenrollaba. Después,
blemas, sobre la existencia humana o sobre la sintaxis grama- enrollando el hilo, Teseo encontró la salida.
tical, ayudan a comprender los procesos, son interesantes
como elementos de reflexión, pero no son métodos apropia-
dos para el aprendizaje, porque no pueden sustituir la prácti-
ca de los procesos que analizan.

Se ve la senda que nunca se ha de volver a pisar A resolver problemas se aprende

resolviendo problemas como a vivir
La magdalena, la vida, el problema, el monstruo, el minotau- se aprende viviendo.
ro, son únicos.

Teseo, una vez muerto el minotauro y con el hilo de Ariadna

en su mano, ya no se siente ni en peligro ni perdido, el labe-
rinto es ya, para él, una senda conocida, ya no es un laberinto.

Más tarde, el héroe abandonó a su libertadora, que pronto se

desposó con el dios Baco o Liber, quien le dio su nombre y le
regaló una corona de estrellas: la Corona Boreal.

El deseo de disponer de un hilo que nos guíe, como guió a

Teseo, ha hecho que el mito perviva en forma de metáforas y
símbolos que son la sal y la pimienta de los poemas y los cuen-
tos.

Las metáforas y los símbolos

Metafóricamente, se denomina “el hilo de Ariadna“ a la pista

o, mejor, al indicio o indicios que llevan a dar con la pista ver-
dadera para resolver un asunto complicado…
Dédalo ha quedado como sinónimo de “complicación”, “difi-
cultad” u “obstáculo” insuperables” (Vega, 1952)

Cuando los mitos se convierten en cuentos, los monstruos, los

problemas, el minotauro se convierten en brujas, ogros, dra-
gones y gigantes malvados; los atascos, los bloqueos, las des-
George F. Wats: Minotauros gracias, las dificultades toman la forma de hechizos maléficos;

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Febrero 2008

el hilo de Ariadna se convertirá en elemento auxiliar mágico UN PROBLEMA ES UN LABERINTO

Ariadna-Arihagne-Aracné es la araña que con su hilo teje el
laberinto de la vida, como Penélope y Láquesis. Éstas, con
Cloto la hilandera y Atropo que corta el hilo vital, forman las
tres partes del camino: nacimiento, vida y muerte. Son las Los Problemas Como Laberintos
Parcas. En Roma estaban representadas por tres estatuas, lla-
madas Tria Fata, que pasaron a estatus de Hadas en los cuen-
tos tradicionales, muy en particular en el cuento de todos los Hoy, cuando la vida virtual nos tiene atrapados o navegando
cuentos: La bella durmiente. en el caos laberíntico de la telaraña mundial, sentimos que no
perder el hilo es más necesario que nunca, porque, cada pro-
blema es un laberinto, con su entrada; sus calles; sus plazas,
como bellos oasis, donde todavía no hemos vencido al mino-
tauro pero donde podemos encontrar agua fresca y alimento
con el que reponer fuerzas y continuar el camino; sus callejo-
nes sin salida, que nos obligan a decidir si retrocedemos o nos
quedamos ahí disfrutando de ese recorrido; sus cruces y bifur-
caciones, en las que hay que tomar una decisión sobre qué
calle tomar. Tal vez acertemos el camino de salida, si existe; tal
vez exista y no lo encontremos. Tal vez descubramos la forma
más eficaz de salir. En cualquier caso, el camino recorrido for-
mará parte de nuestra experiencia.

Todo lo dicho hasta aquí, es válido para una clase particular

de problemas: los problemas de matemáticas, siempre que
queramos entrar en ellos. Polya lo veía así:
Foto: Pilar Moreno
“Los problemas que ponen en juego varias incógnitas,
En los cuentos, el papel de Ariadna pasó al hada buena, la que varias investigaciones y varias condiciones entreveradas,
libera de los maleficios, la que ayuda a salir de los problemas, son a menudo verdaderos laberintos; los crucigramas, la
la que acompaña en el viaje, la que, con su varita mágica, rea- construcción de figuras geométricas complejas proporcio-
liza el milagro. Ariadna posee el hilo, el método para alcanzar nan buenas ilustraciones. En la resolución de estos proble-
la idea feliz, el ¡eureka! o el ¡ajá! mas, se presenta una elección en cada etapa.”

Ariadna es EL CAMINO, pero… ¡las hadas no existen! Existe gran cantidad de literatura sobre la didáctica de la reso-
lución de problemas. Las mejores aportaciones, a grandes ras-
gos, coinciden en lo fundamental: Pappo, Descartes, Polya,
 Burton, Schoenfeld, Guzmán, Grupo Cero, etc.

Todos ellos dedicaron mucha energía al análisis, pero nunca

se despistaron de la máxima básica mencionada más arriba: “a
resolver problemas se aprende, resolviendo problemas”.

Dice el TAO, que se tradu-

ce como el camino, la vía,
el método, la dirección o el
curso: “el Tao que puede
nombrarse no es el Tao”.

Sinograma del Tao

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Febrero 2008

Por otra parte, lo que importa mientras se aprende a resolver Urania, de ciento veinte; y Calíope se marchó arrebatándo-
problemas, es más ese camino único e irrepetible seguido por me trescientas.
quien aprende, que el resultado, o resultados del problema Vengo a ti, pues, con las manos más ligeras,
mismo. Camino dif ícil de evaluar en pruebas escritas, en con- Con estas cincuenta manzanas que las diosas me dejaron”
textos hostiles y con tiempos limitados.
¿Y la solución?, ¿es la solución un concepto claro?
Llevamos largo trecho hablando del procedimiento de resolu-
ción de problemas, aceptando tácitamente que estamos de El siguiente enunciado es una buena herramienta para pro-
acuerdo en la convención que existe tras ese término, pero, bar que la respuesta es negativa.
¿lo estamos?, ¿qué significa resolver un problema?, ¿qué es un
problema?, ¿lo que es un problema para unos lo es también Un hombre sale de su casa, camina 10 km al sur, dobla y
para el resto? camina 10 km al este y después vuelve a doblar y camina
Un ejemplo: otros 10 km al norte. Tras este recorrido se encuentra de
nuevo en su casa, donde lo está esperando un oso ¿de qué
Sabemos que Diofanto revolucionó las matemáticas a raíz, color es el oso?
entre otras, de una de sus decisiones más conocidas, una deci-
sión política, no matemática. Los problemas, hasta entonces,
solían venir enunciados como historietas míticas, con lo que
introducían contextos paganos que, a Diofanto, cristiano Los Laberintos Como Problema
devoto, le molestaban. Decidió eliminar esos contextos y, de
ese proceso de abstracción en que se metió, surgió el álgebra
sincopada, tan fructífera. Resolver un laberinto por primera vez puede ser un problema.
La segunda, como le ocurre al juguete de Shanon “el ratón en
Una de esas historietas, la de las manzanas robadas, es uno de el laberinto”, puede dejar de serlo. El ratón del juguete, la
los epigramas, el tercero, de la Antología Palatina. Como es de segunda vez, recorre el laberinto linealmente sin que le asalte
suponer, es una historieta anterior a Diofanto, lo que deja ninguna duda durante el trayecto. Para él, ese laberinto ya no
claro que se proponía con la intención inevitable de que se es un problema. La pregunta obvia ante este juguete es: ¿cómo
resolviera sin el auxilio de álgebra simbólica alguna. se las arregla el ratón para aprender tan rápido? En sentido
más amplio:
¿Podéis enfrentaros a esta resolución con la misma tranquili-
dad mecánica que lo haríais de poder utilizar el aparato alge- ¿Cómo cruzar un laberinto sin perderse ni aturdirse?
braico?
En febrero de 1987, en la sección Taller y Laboratorio de la
Así se dirigió Cipria a Eros cabizbajo: revista Investigación y Ciencia, Jearl Walter, titulaba con ésta
“¿Qué dolor, hijo mío, te aqueja? Y él le respondió: pregunta su artículo. Lo comenzaba con otra serie de pregun-
“Las Musas de Pieria me robaron y se repartieron, tas como:
Unas manzanas del Helicón que llevaba yo en mi seno
Clio tomó la quinta parte; la doceava, •¿Cuál es la mejor manera de adentrarse en un laberinto desde
Euterpe; la octava le tocó en suerte a la divina Talía; la puerta y encaminarse a una meta interior?
Melpómene se llevó la veinteava; Terpsícore
La cuarta; Erato, del total un séptimo; •¿Hay algún modo de alcanzar ésta y regresar al punto de par-
Polimnia me despojó de treinta manzanas; tida sin hacer dos veces el mismo camino?

•¿Puede evitarse el dar vueltas interminablemente?

Supongamos que alguien se da cuenta de que se ha perdido

¿qué significa resolver un problema?, ¿qué es •¿Cómo hallar el camino de retorno a la entrada sin adentrar-
un problema?, ¿lo que es un problema para se más en el laberinto?
unos lo es también para el resto?

El problema y sus subproblemas se plantean en los nudos con

ramificaciones, en los que hay que elegir un camino, tomar
una decisión respecto la ruta a seguir.

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El éxito de la estrategia elegida depende del tipo de laberinto. ¿Cuál es la probabilidad de que salga del laberinto con
En el de Creta, basta con seguir el hilo de Ariadna o tocar vida y bien alimentada? ¿Y de que se la coma el lobo?
siempre la pared de tu derecha, tal como han aprendido los
ratones de laboratorio.
Si el laberinto es más complejo, si tiene bucles, conviene sim-
plificar su plano mediante una deformación topológica, para
formar un grafo, tal como hiciera Euler en el famoso proble-
ma de los puentes de Koenigsberg.

La cueva

Varios excursionistas se han perdido en una cueva de la

que parten cuatro caminos.
Problemas De Laberintos

La orquídea

Busca una línea que corte una y sólo una vez a cada uno
de los once arcos de la orquídea.
No está permitido pasar por los vértices.

Uno de ellos conduce al exterior en una hora; otro dos for-

man un bucle que se tarda en recorrer, de vuelta a la
cueva, un día, tanto en un sentido como en el otro; el res-
tante es un camino sin salida, del que deberán retroceder
e invertirán en ello dos días.

Como no llevan ninguna luz y la cueva está oscura y llena

de obstáculos, eligen, cada vez que hacen un intento de
salir, uno de los cuatro caminos al azar.

Si sólo tienen comida y agua para sobrevivir hasta tres

La oveja, el lobo y la col días, ¿qué proporción de excursionistas crees que logrará
salir de la cueva?
Observa el laberinto que representa el grafo. Tiene una
entrada y dos salidas: una guardada por un LOBO y otra Si tuviesen alimentos para subsistir indefinidamente,
en la que hay una COL. Una OVEJA está en la entrada y ¿crees que se salvaría todo el grupo?
avanza por el laberinto. En cada cruce elige al azar uno de
los dos caminos posibles. Si llega a la col, sale del laberin- ¿Cuánto tiempo crees que tardaría cada excursionista en
to relamiéndose, pero, si tropieza con el lobo, está irremi- salir, por término medio?
siblemente perdida

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Soluciones encontrarán preguntas que se podrán transformar en nuevos

enunciados. Si les apetece compartirlos en esta sección, serán
bienvenidos, de modo que El hilo de Ariadna nos enredará en
Dar soluciones, tal como indica el título de este epígrafe, sería un proyecto común, tejido con los recorridos irrepetibles pro-
contradictorio con el contenido de todo el artículo. vocados mutuamente.

Invitamos a los lectores y lectoras de esta sección a que se Quienes queráis formar parte de esta telaraña particular
adentren en el laberinto, que se impliquen en la resolución de podéis enviar vuestra colaboración a: ariadna@revistasuma.es
los problemas aquí enunciados y que nos comuniquen sus
hallazgos, experiencias y observaciones. De buen seguro que, EL HILO DE ARIADNA
si lo hacen, por los vericuetos de su laberinto particular,

Imagen de Marc Sporleder creada con TG-MAX

REFERENCIAS BIBLIOGÁFICAS

BORRAS VESES, E. y MORATA CUBELLS, M. (1989). El POLYA, G. (1967). La découverte des mathématiques.
azar y su aprendizaje. Suma, nº 3, 21-27. Dunod. Paris.

GRUPO CERO. (1989). De 12 a 16. Un proyecto de curricu- VEGA, V. (1952). Diccionario ilustrado de frases célebres y
lum. Mestral llibres, Valencia. citas literarias Editorial Gustavo Gili, S.A., Barcelona.

PATON, W. R. (1953). The Greek Anthology. Arithmetical WALKER, J. (1987). Cómo cruzar un laberinto sin perderse
Problems, Riddles, Oracles. Hardvard University Press, ni aturdirse. Investigación y Ciencia, nº 125, 98-104
Book 14
www.theoi.com/Georgikos/Ariadne.html

122
 Matemáticas
Literatura y
57
Febrero 2008, pp.123-129 Crímenes imperceptibles

LOS CRÍMENES DE OXFORD

Guillermo Martínez
Ediciones Destino, Colección Áncora y Delf ín
Volumen 992. Barcelona.
Barcelona, Marzo de 2004 (1ª Edición)
ISBN: 84-233-3601-8.
212 páginas

P resentamos en esta ocasión un libro de reciente publica- uno de los lógicos más eminentes del siglo, Arthur
ción, que se ha convertido en un indiscutible éxito editorial y Seldom, y el primero de una serie de crímenes.
que, en la actualidad, también se ha convertido en otro éxito Mientras la policía investiga a una sucesión de sospe-
cinematográfico con la adaptación realizada por el director chosos, maestro y discípulo llevan adelante su propia
español Alex de la Iglesia. investigación, amenazados por las derivaciones cada
vez más arriesgadas de sus conjeturas. Los crímenes de
En la presentación que aparece en la contraportada podemos Oxford, que conjuga los sombríos hospitales ingleses
leer: con los juegos de lenguaje de Wittgenstein, el teorema

Pocos días después de haber llegado a Oxford, un joven

estudiante argentino encuentra el cadáver de una
anciana que ha sido asfixiada con un almohadón. El Constantino de la Fuente Martínez
asesinato resulta ser un desaf ío intelectual lanzado a literatura@revistasuma.es

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de Gödel con los arrebatos de la pasión y las sectas El asesinato como acertijo, el crimen como desaf ío inte-
antiguas de matemáticos con el arte de los viejos lectual. Una fascinante indagación detectivesca con
magos, es una novela policíaca de trama aparentemen- Oxford como escenario.
te clásica que, en el sorprendente desenlace, se revela
como un magistral acto de prestidigitación.

Guillermo Martínez (Bahía Blanca, Argentina, 1962). Doctor en Matemáticas, en

1989 publicó el libro de cuentos “Infierno Grande”. Su primera novela, “Acerca de
Roderer”, recibió el elogio unánime de la crítica. Posteriormente publicó “La mujer
del maestro” y el libro de ensayos “Borges y la matemática (2003).

Nuestro comentario como recuerdos del narrador, pero que tienen una clara cone-
xión con la idea clave del final de la obra: la lógica de las rela-
La obra que nos ocupa es el relato, en primera persona, de los ciones de parentesco es la lógica de los sentimientos y, por
acontecimientos vividos por un joven matemático argentino, tanto, es otra lógica diferente a la matemática. Esos detalles
unos años antes, durante su estancia en Oxford becado por un contribuyen a que nos vayamos dejando llevar más plácida-
año y con el “propósito secreto de inclinarse hacia la Lógica...” mente hasta el desenlace final...; un desenlace inesperado,
La acción discurre durante casi tres meses, desde su llegada a muy aprovechable desde el punto de vista cinematográfico.
principios de abril de 1993 hasta el 25 de junio del mismo año.
Los conocimientos matemáticos casi nunca
Hay una constante a lo largo de esta magní- ocupan el primer plano de la acción, como
fica novela: la búsqueda de la verdad como cuando el personaje principal decide no
objetivo irrenunciable y, simultáneamente, acudir al famoso seminario de Cambridge
como meta inalcanzable. El autor nos lo porque tenía un cita amorosa. Aún así van
ilustra con múltiples ejemplos del conoci- desfilando personajes, desde Pitágoras
miento científico: el teorema de Gödel, el hasta Andrew Wiles; símbolos eternos,
principio de incertidumbre de Heisenberg, como la vesica piscis o la tetraktys griega;
la limitación de los sistemas filosóficos que ideas y conceptos del conocimiento mate-
parten de unos primeros axiomas, la bús- mático, como demostración, conjetura,
queda del término general de una sucesión; paradoja, teorema, etc. Esta circunstancia
todo ello con variadas situaciones y temáti- hace que el autor consiga, para el público en
cas de la vida: el conocimiento del otro y de general, un inmejorable equilibrio entre los
su realidad interior, el espectáculo de la temas científico-matemáticos y los de la
actuación de un mago de cartas, o la resolu- vida cotidiana, y que podamos afirmar sin
ción de cualquier investigación criminal, ningún género de dudas que nos encontra-
aunque sea de “crímenes imperceptibles”. mos ante una verdadera novela matemáti-
ca, según nuestra acepción habitual.
Paralelamente, el narrador nos va provocando diferentes sen-
saciones y estados emocionales: desde la serenidad y el sosie- Para terminar recordaremos que, así como Paul Erdös decía
go que se desprenden de los ambientes intelectuales en los que las demostraciones matemáticas que son modelo de
que se desenvuelve, hasta la angustia y el agobio preocupan- belleza y estética están sacadas del Libro de las
tes del hospital de los “siete pisos”, sin olvidarnos de la intran- Demostraciones que Dios (el Fascista Supremo según él) ense-
quilidad creciente que nos van generando las investigaciones ña de vez en cuando a algunos mortales antes de que pasen a
sobre la autoría de los crímenes que dan título al libro. ser inmortales, estamos en condiciones de conjeturar que
Es muy curioso y sorprendente cómo una segunda lectura de Guillermo Martínez, el autor de la obra que nos ocupa, tam-
la obra nos permite descubrir en profundidad los múltiples bién ha sacado su novela del Libro de las Novelas, homólogo
matices de las situaciones que, claro está, se nos muestran al de las demostraciones.

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Una propuesta de trabajo en el aula

Son muchos los temas que podríamos sacar del libro para ser llevados al aula, por lo que nos hemos
visto en la disyuntiva de tener que descartar algunos, sobre todos los relacionados con los funda-
mentos de la matemática, que desbordan las posibilidades de nuestros alumnos y alumnas de ESO
o Bachillerato.

En esta selección nos hemos quedado, esencialmente, con las sucesiones, las ternas pitagóricas y,
sobre todo, un recorrido histórico por el Ultimo Teorema de Fermat.

Antes de concretar la propuesta para la clase, conviene recordar que, cuando se hace mención de
alguna página del libro, ésta se refiere a la primera edición, en marzo de 2004.

Dicho esto, pasamos a enumerar las actividades.

1. Unos cuantos nombres

B) Ordena cronológicamente la lista anterior con las fechas de
En el libro aparecen los nombres de varios matemáticos: nacimiento (en algún caso aproximada) y muerte (si es el
- Kurt Gödel - Andrew Wiles caso).
- Pierre Fermat - Euclides
- Ernst Eduard Kummer - Leonardo de Pisa (Fibonacci) 2. Una de sucesiones
- Alan Turing - Pitágoras
- Goro Shimura - Yutaka Taniyama En el libro aparecen, en diferentes momentos, varias sucesio-
- Nicolas de Cusa - Ludwig Wittgenstein nes.
- Ernst Zermelo - Diofanto
- Alfred Tarski
A) Escribe los primeros términos de las tres más representa-
A) En esta lista se nos ha colado un nombre que no aparece en tivas.
la novela. ¿Quién es? Escribe una breve biograf ía sobre él,
haciendo hincapié en sus aportaciones al conocimiento mate- B) Propón dos posibles continuaciones diferentes para cada
mático. una de las sucesiones del apartado anterior, explicando el cri-
terio que utilizas.

C) Teniendo en cuenta el principio estético a priori que se

Carta de Martin a Lorna:
explica en la página 77, averigua los términos siguientes y el
término general de las siguientes sucesiones:
“Oh Dios, haz que el amor entre ella y yo sea parejo,
que ninguno rebase al otro, • 1, 4, 9, 16, ...
Haz que nuestros amores sean idénticos,
como ambos lados de una ecuación.” • 2, 5, 8, 11, ...

(sacado del ruego de Qais ben-al-Mulawah en • 15, qe, 12, de, 58, co, 23, _ _, ...
uno de los versos para Laila)
• 2, 6, 12, 20, ...

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D) En la Universidad de Michigan hay un grupo de investiga- D) El tercer término de la sucesión

dores sobre la creatividad humana llamado FARG (en siglas es el triángulo equilátero. Esta figu-
inglesas). Uno de los programas de ordenador, llamado ra geométrica es muy familiar, y de
Copycat, resuelve problemas sobre analogías como el siguien- ellas conocemos muchas cosas. Para
te: que repases o profundices en ella, te
vamos a plantear las siguientes
abc cambia a abd. Hacer lo mismo con ijk cuestiones:
- Calcula el área de un triángulo
equilátero conociendo la longitud del lado.
La mayoría de la gente responde ijl. ¿Por qué crees tú que será - Calcula la longitud del lado de un triángulo equilátero cono-
así? Otras respuestas han sido ijd, ijk, abd. ¿Con qué criterios ciendo el valor de su superficie.
podemos proponer estas respuestas? - ¿Puede haber un triángulo equilátero en el que su lado y su
área sean números enteros? Demuéstralo.
Resuelve la siguiente variante, dando más de una respuesta
posible: E) Llegamos al cuarto término: la tetraktys, que es la suma de
los cuatro primeros números naturales: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
abc cambia a abd. Hacer lo mismo con kji. También puede considerarse como el cuarto número triangu-
lar, pues éstos forman la sucesión 1, 3, 6, 10,.... Busca la expre-
sión general de los números triangulares. ¿Por qué se llaman
3. Círculo, pez, triángulo, tetraktys, ... así?

Esta misteriosa sucesión aparece intermitentemente a lo largo F)Demuestra que un número cuadrado perfecto se puede des-
de las páginas del libro. Vamos a estudiarla con un enfoque componer como suma de dos números triangulares consecu-
matemático tivos.

A) Tomemos el primero de los términos: el círculo. En la pági-

na 155 se habla de un método para obtener la longitud de la
circunferencia a partir de polígonos regulares inscritos, cada Seldon
vez con mayor número de lados. Suponiendo que el diámetro
de la circunferencia es 1, calcular el perímetro de un polígono "A los matemáticos siempre nos gusta tener la
regular de n lados, inscrito en ella. Cuando n sea muy grande, sensación de que podemos decir algo con
¿hacía qué valor se va acercando el perímetro? sentido."
B) Haz lo mismo con polígonos circunscritos a la circunfe-
rencia.

C) Nos vamos a fijar en el segundo término de

la sucesión: el pez o vesica piscis. Se puede
construir como la parte común a dos círculos
del mismo radio, de forma que la circunferen-
cia de cada uno pasa por el centro del otro. 4. Ternas pitagóricas

En el libro también se habla de las ternas pitagóricas; son

Suponiendo que los números enteros positivos x, y, z, que cumplen la igualdad
radios de los círculos
valen 1, demuestra x2+y2=z2
que los triángulos de
la figura son todos A) Encuentra varias ternas pitagóricas.
equiláteros, calcula la
distancia AC y el área B) Demuestra que si a, b y c son una terna pitagórica, enton-
del triángulo ABD. ces n.a, n.b, n.c, siendo n un número entero positivo, también
¿Cuál es el área de la lo son.
vesica piscis?

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C) Comprobar que las ternas de números de la forma Fermat demostró que su conjetura era cierta para n=4. ¿Cómo
lo hizo?
2n+1, 2n2+2n, 2n2+2n+1,
D) Más tarde demostró que también era cierto cuando n sea
siendo n un número entero positivo, forman una terna pita- un múltiplo de 4. ¿Cómo lo hizo?
górica para cualquier valor de n.
E) Demuestra que si el Último Teorema de Fermat es cierto
D) Hacer lo mismo con la terna a2-b2, 2ab, a2+b2, siendo a y para un exponente n, también lo será para todos los múltiplos
b enteros positivos, con a mayor que b. de n.

E) Encontrar otras ternas pitagóricas. F) Teniendo en cuenta el anterior resultado y como todo
número mayor que 2 es divisible por 4 o por un número
F) Fermat demostró que el área de un triángulo pitagórico (es primo impar, sólo es necesario demostrar su veracidad cuan-
decir, cuyos lados forman una terna pitagórica) no puede ser do el exponente sea un número primo impar (porque para
un número cuadrado perfecto. Lo consiguió utilizando un n=4 ya lo demostró él). Justifica de alguna forma que el enun-
método de demostración del que él fue su creador y que se ciado en negrilla es cierto.
denomina del descenso infinito. ¿En qué consiste este método?
¿Cómo se aplica en este caso?

xn + yn = zn n>2

5. Fermat y su Conjetura

Un personaje del libro comenta en la página 143 que la

Conjetura de Fermat o el Último Teorema de Fermat “no es 6. La Conjetura a través de la historia
más que una generalización del problema de las ternas pita-
góricas...” Fermat también afirmó que tenía la demostración para n=3,
pero no se conoce.

A) Escribe el enunciado de la Conjetura de Fermat. ¿Dónde A) Leonard Euler, un siglo después, publicó la demostración
apareció por primera vez? para n=3, pero tenía un fallo... ¿Qué método de demostración
Comenta su relación con las utilizó? ¿Cuál es el fallo que contenía?
ternas pitagóricas.

B) Escribe, de forma resumi- B) En el siglo XIX, concretamente en 1828 y 1830, dos mate-
da, la biograf ía de Pierre de máticos demostraron la validez del teorema para el caso n=5,
Fermat, también llamado “el utilizando el método de Euler mejorado. ¿Quiénes lo consi-
príncipe de los aficionados”. guieron?
¿Por qué se le llama así?
En 1839, Gabriel Lamé demostró el caso n=7 y el 1 de marzo
C) Partiendo de la idea de de 1847 Lamé anunció haber encontrado una demostración
que el área de un triángulo general de la Conjetura de Fermat, válida para todo exponen-
pitagórico no puede ser un te n, pero la demostración también tenía un fallo... Esto dio
número cuadrado perfecto, lugar a una lucha frenética entre él y otro matemático por ser

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el primero en tenerla. Casi quince días más tarde, el 17 de

marzo de 1847, Lamé y el otro matemático presentaron en la 8. Llegamos al siglo XX
Academia de Ciencias de París sendas demostraciones...
A lo largo del siglo XX, y sobre todo con la aparición de los
ordenadores, se fue estableciendo la veracidad del Último
C) Averigua el nombre del otro matemático y lo que pasó con Teorema de Fermat para valores más grandes del exponente n:
estas pruebas del teorema. Cuenta el desarrollo y el desenlace
de este episodio histórico. - En 1923 se formuló una conjetura que dice que la ecuación
de Fermat, para n mayor o igual que 3 posee, a lo sumo, un
número finito de soluciones enteras. Esta conjetura se demos-
7. Y la historia sigue... tró en 1983.

El 17 de mayo de 1847 Joseph Liouville leyó una carta en la - En 1970 se demostró su certeza para n primo menor que
Academia de Ciencias de París, por la que iban a cambiar 30.000.
muchas cosas en la historia de los intentos de demostración
de la Conjetura de Fermat. - En 1980 para n primo menor que 125.000.

A) ¿Quién había escrito esa carta? ¿Qué decía en ella? A) ¿Quiénes son los auto-
res de estas demostracio-
B) Ese mismo año, el autor de la carta, demostró la veracidad nes?
de la conjetura para bastantes números, muchos más que
hasta entonces... ¿Qué demostró concretamente? Así mismo, en 1955, un
matemático planteó un
C) La Academia de Ciencias de París, en 1854, creó un premio problema sobre funciones
de 300.000 francos para quien resolviera el problema. En elípticas que, junto con las
1858, la Academia concedió, a nuestro personaje misterioso, generalizaciones añadidas
un premio, pero no el de los 300.000 francos. ¿Qué fue lo que por otros dos matemáticos,
le dieron? se denominó la Conjetura Andrew Wiles
de ...
D) Reúne los principales datos de la biograf ía de este mate-
mático. B) Averigua el nombre de estas tres personas y el enunciado
de la conjetura.

9. Y acabamos otra vez en el libro...

Después de este paseo a través de la historia de las matemáti-

cas, llegamos a los días de la acción de la novela y leemos:

“El miércoles 23 de junio me desperté cerca del medio-

día...” (pág 184)

“Allí estaba el breve mensaje que se propagaba como

una contraseña a todos los matemáticos a lo largo y

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Andrew Wiles a los 10 años Yutaka Taniyama Andrew Wiles en 2007

ancho del mundo: ¡Wiles lo había conseguido! No había

detalles sobre la exposición final, sólo se decía que la
demostración había logrado convencer a los especialis-
tas y que una vez escrita podría llegar a las 200 pági-
nas.”(pág 185) Seldon:

Este acontecimiento había comenzado dos días antes en un "El crimen perfecto no es el que queda
Seminario en el Instituto Isaac Newton de Cambridge. sin resolver sino el que se resuelve con un
culpable equivocado."
A) ¿En qué año se produjo esta noticia y quién es su protago-
nista?

B) La realidad nos dice que, algo menos de dos años más

tarde, la comunidad matemática dio su beneplácito oficial a la
validez de la prueba. ¿Cuándo ocurrió esto? ¿Cómo se publi-
caron de forma impresa los resultados?

C) Recopila todas las informaciones que puedas sobre el pro-

ceso de trabajo, los años dedicados al tema, las impresiones
personales del protagonista, etc, y exponlas aquí..

LITERATURA Y MATEMÁTICAS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DAVIS, P. y HERSH, R. (1989): “Experiencia matemática”. Ed. Investigación y Ciencia (1995) “Grandes matemáticos. Temas
Mec-Labor, Barcelona. 1”. Ed. Prensa Científica, S. A., Barcelona.

HAKEN, H., HOFSTADTER, D. R. y otros (1990): “Sobre la STEWART, I. (1998): “De aquí al infinito. Las matemáticas de
imaginación científica. Qué es, cómo nace, cómo triunfa hoy”. Ed. Grijalbo Mondadori, Barcelona.
una idea”. Ed. Tusquets, Barcelona.

129
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Febrero 2008

Servicio de Publicaciones de la FESPM

Información y pedidos: publicafespm@wanadoo.es

Apartado de Correos 590
06080 Badajoz

LA MATEMÁTICA: REFLEJO DE LA REALIDAD

La modelización matemática como herramienta para la enseñanza/aprenizaje de las matemáticas
Joan Gómez i Urgellés
Federacion Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM)
Badajoz, 2007
ISBN 84-934488-6-8
166 páginas

130
 de la FESPM
Actividades
57
Febrero 2008, pp.131-132 Crónica de las XIII JAEM de Granada

D entro de dos años, nos vemos en Gerona 2009… Bajo el lema “El profesorado de matemáticas mira hacia el
futuro”, las XIII Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de
“He disfrutado muchísimo”, “Me he sentido muy a gusto en las Matemáticas han estado organizadas por la Sociedad
Granada”, “Días inolvidables”… Después de un curso muy Andaluza de Educación Matemática THALES. Conscientes
largo y a pesar del fuerte calor; eran las 10 de la noche del 7 de la importancia de las matemáticas. Del papel fundamental
de Julio, tras la clausura de las XIII JAEM. Estas y otras cosas que desempeña la educación matemática, sobre todo en los
similares se podían oír. niveles de primaria y secundaria, para la comprensión de
conceptos básicos y el desarrollo del pensamiento racional de
Cerca del millar de personas, todos interesados en la educa- la persona. De las aplicaciones que tiene para la ciencia, la
ción matemática, en sus diferentes etapas: Educación Infantil, tecnología, la economía, las comunicaciones y otros muchos
Primaria, Secundaria o Adultos, Universidad, del campo de la campos. Centradas en el papel del profesor, tuvieron lugar del
investigación y, como no, estudiantes. La juventud siempre 4 al 7 de Julio en Granada, en la Facultad de Ciencias de su
presente, independientemente de la edad. Una experiencia Universidad.
interesante que permitió la interacción y el encuentro entre
los distintos niveles. Es destacable la cantidad de jóvenes pro- Contamos con la presencia de auténticos maestros. D. Luis
fesores y docentes, muy valioso para el futuro de la enseñan- Rico Romero pronunció la conferencia inagural con el título
za de las matemáticas. de “Herramientas matemáticas y competencias escolares”.
Nos sorprendió la forma tan sencilla con la que D. Abrahan
Fueron 4 días muy intensos tanto a nivel profesional como
personal. Se trata del evento matemático más importante de
los que se organizan en toda España y que se celebra cada dos
años. En él se entregó el premio Gonzalo Sánchez Vázquez, Luis Berenguer Cruz
que en esta ocasión recayó en María Antonia Canals i Tolosa. Coordinador General de las XIII JAEM

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Febrero 2008

Arcavi dijo cosas tan importantes de la enseñanza de las vista. La cordialidad y buena disposición suplió con creces
matemáticas en “Hacia una visión integradora de la enseñan- cualquier imprevisto o fallo. El lenguaje matemático es uni-
za y el aprendizaje de las matemáticas” que rozaba la simplici- versal y pese a tratarse de un evento a nivel nacional, fueron
dad. Nos adentramos en el universo mágico y sorprendente de muchos los docentes extranjeros que se sumaron a las jorna-
las Matemáticas alternativas con D. Antonio Pérez Sanz y das. Nos hicieron partícipes de las experiencias educativas
“¡Malditos sean la regla y el compás!”. La clausura corrió a que se llevan a cabo en sus países y compartieron unos días
cargo de D. Rafael Pérez Gómez y sus “37º”. Nos “enseñó” La con nosotros enormemente enriquecedores.
Alhambra a todos los presentes y despidió las JAEM dejando
un gratísimo sabor de boca. El éxito de las JAEM ha sido de todos: la hospitalidad y belle-
za de Granada, la buena disposición, amabilidad y eficacia de
la organización, que puso no sólo el corazón sino cantidad de
detalles que adornaron todo; el saber de los conferenciantes,
ponentes, comunicantes; y el interés, participación y atención
de los asistentes. Y en definitiva de TODOS los que con su
trabajo e ilusión permiten que las matemáticas sigan ense-
ñándose. ¡Felicidades a todos!

Unas magníficas JAEM dif íciles de olvidar. Seguro que en

ellas hemos aprendido cosas nuevas, hemos recargado las
pilas, nos hemos encontrado con y entre amigos. Ahora esta-
mos dispuestos a enfrentarnos a este curso con más energía y
ganas, con mayor esperanza en al futuro de la enseñanza y
aprendizaje de las Matemáticas. En definitiva, han cumplido
ampliamente con las expectativas con las que las JAEM fue-
ron concebidas.

¡Nos vemos en las XIV JAEM!

En jornada de mañana y tarde, la agenda estaba apretadísima.
Tal era la cantidad y calidad de las ponencias, comunicacio- Las XIII JAEM en cifras.
nes o grupos de debate que todos encontrábamos asuntos de Participantes: 930
interés en cada momento, el problema era por cuál decidir- Países de procedencia: España, Portugal, Italia,
nos. En los talleres se participó masivamente. La alta partici- Méjico, Guatemala, Chile, …
pación contribuyó a aumentar aún más la temperatura. Voluntarios: 40
Destacar la presencia y colaboración de los voluntarios de Conferencias plenarias: 4
“rojo”, siempre dispuestos. Núcleos temáticos: 9
Ponencias: 35
El congreso también contaba con una parte menos académi- Comunicaciones: 118
ca. Los acompañantes no fueron olvidados. Tuvieron su pro- Talleres: 33
grama de actividades que incluía visitas turísticas y gastronó- Zocos: 6
micas a la ciudad y provincia. Las exposiciones “Geometría de Grupos de debate: 4
Metal” B. Pradas, “Números y Figuras” Zalemo y “De Cerca, Exposiciones: “Geometría del metal” B. Pradas,
Naturaleza y Forma” L. Morales estaban abiertas al público, al “Números y figuras” F. González Moreno, Zalemo y “De
igual que los Zocos o el stand comercial. Nos deleitó el cuadro cerca: Naturaleza y forma” L. Morales Rufo.
flamenco del Sacromonte. Vimos teatro”Matemática es nom-
bre de mujer”, “Del color del cristal con que se mira. Crónica
de un curso escolar”. Visitamos La Alhambra, (los más afortu-
nados). La cena en el Carmen de los Mártires fue “doblemen-
te mágica”.

Obsequios los hubo también. Los espárragos buenísimos. Los

regalos que se entregaban cada día con las firmas son pura
“artesanía”, auténticas joyas y no sólo matemáticas.

Fue complicado atender a tanta gente, mucha más de la pre- ¡Nos vemos en Girona en 2009!

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Actividades
de la FESPM
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Programa

1er Día, domingo 24 de junio 18:30 h Sesión de estrellas en el Planetario de Pamplona.

20:00 h Salida a Puente.
15:00 – 18:30 h Recepción de participantes en la Universidad 20:45 h Recogida de las cámaras de fotograf ía. Descanso.
Pública de Navarra. 21:30 h Cena y a las 23:45 h a dormir.
19:00 h Bienvenida, inauguración de la Olimpiada y 22:30 h Reunión de coordinadores.
presentación del programa.
20:00 h Salida hacia Puente la Reina en autobús.
20:30 h Entrega de credenciales, documentación y material. 4º Día, miércoles 27 de junio
A continuación entrega de cámaras a los equipos
para el concurso de fotograf ía matemática.
9:00 h Desayuno
21:00 h Distribución de habitaciones.
9:30 h Salida hacia el Parque Natural Señorío de Bértiz
21:30 h Cena y a las 23:45 h A dormir.
(Valle del Baztán)
22:30 h Reunión de coordinadores.
11:00 h Visita al jardín botánico y breve paseo por el bosque.
14:20 h Comida
15:30 h Taller de Juegos matemáticos.
2º Día, lunes 25 de junio 17:00 h Salida de regreso hacia Puente. En Pamplona:
Partido de pelota para los alumnos y cata de vinos
9:15 h Desayuno para los adultos.
10:00 h Realización de la prueba individual. 19:30 h Entrega de las fotograf ías para seleccionar y poner
12:15 h Visita-paseo por la villa de Puente la Reina. Saludo de pie.
la Alcaldía. 21:30 h Cena despedida
13:30 h Comida. 24:00 h Felices sueños.
16:00- 21:00 h Recorrido en autobús de una etapa del
Camino de Santiago: Obanos, Eunate, Estella, Irache.
21:30 h Cena y a las 24 horas a descansar. 5º Día, jueves 28 de junio
22:30 h Reunión de coordinadores.
9:00 h Desayuno
10:00 h Salida con equipajes
10:45 h Sesión de cierre en la Universidad Pública de
3er Día, martes 26 de junio Navarra:
- Discusión y análisis de los problemas planteados.
8:30 h Desayuno - “La magia en la teoría de códigos” por Pedro Alegría
9:00 h Salida hacia Pamplona. y Juan Carlos Ruiz de Arcaute.
9:45 h Saludo Consejero de Educación. - Entrega premios.
10:00-12:30 h Prueba por equipos: Encierro Matemático. - Clausura.
13:00 h Recepción en el Ayuntamiento de Pamplona. 13:30 h Aperitivo de despedida.
14:00 h Comida en “Aranzadi”.
16:00 h Paseo por Pamplona: Murallas, Parque de la
Taconera, Ciudadela, Parque Yamaguchi

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Foto P. Corcho

La XVIII Olimpiada Matemática alumnas y los 24 profesores y profesoras acompañantes (85

participantes), además de realizar las pruebas específicas de
Nacional Matemáticas, han podido disfrutar de otras actividades
lúdico-recreativas como excursiones, visitas turísticas, visita
al Planetario, partido de pelota y otras.
En el año 1990, cuando acababa de nacer nuestra Sociedad
Navarra de Profesores de Matemáticas TORNAMIRA A partir del medio día del domingo día 24, fueron llegando a
Matematika Irakasleen Nafar Elkartea, tuvimos el encargo la Universidad Pública de Navarra los alumnos participantes
de organizar la primera Olimpiada Matemática Nacional. con los correspondientes profesores responsables, o con sus
Éramos cinco Sociedades y hoy, gracias a la ilusión y el familias en el caso de los procedentes de comunidades veci-
esfuerzo de muchos profesores, celebramos la mayoría de nas. Los chicos y chicas fueron formando grupo al que se les
edad de la Olimpiada con la participación de alumnos de unían otros conforme iban llegando. Para cuando salimos de
todas las Comunidades Autónomas y de algunos colegios la Universidad ya se habían empezado a conocer.
españoles en el extranjero. En esta “puesta de largo” hemos
podido disfrutar todos con las matemáticas y ensanchar Tras un breve acto de bienvenida salimos en autobús hacia
nuestros lazos de amistad. Puente la Reina que es donde iban a estar alojados. Tras la
cena, los alumnos jugaron y charlaron un rato, y mientras se
disponían a descansar tras, en alguno de los casos, un largo
viaje, el equipo organizador se reunía con los colaboradores y
Breve relato sobre cómo ocurrió la XVIII OMN coordinadores.

Del 24 al 28 de junio de 2007, se celebró la XVIII Olimpiada

Matemática Nacional para alumnos de 2º de Educación
Secundaria Obligatoria, convocada por la Federación Julian Pérez Iturmendi
Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y Marilo Eraso Erro
organizada por la Sociedad TORNAMIRA. A lo largo de los Coordinadores de la XVIII Olimpiada
cinco días de duración de la Olimpíada los 61 alumnos y Matemática Nacional 2007

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El día 25, lunes, sin madrugar mucho y después de desayunar,

en la misma residencia los alumnos realizaron la prueba indi-
vidual. Desde las 10 hasta las 12 horas, los alumnos tuvieron
que resolver 6 problemas. En esta ocasión han participado
20 chicas y 41 chicos que han representado a
Hacia las 12:15 h, salimos de la residencia para realizar una las 17 Sociedades participantes,
visita turística a los lugares más importantes de Puente la además de los centros españoles en Marruecos,
Reina. En la visita nos acompañó la responsable de la Oficina
Roma y Andorra.
de Turismo que con sus explicaciones amenas y didácticas nos
hizo muy agradable el recorrido. Finalizamos en el Puente
Románico, que según cuentan da nombre a la localidad, y ahí
nos recibieron dos Txistularis, hicimos las fotos recuerdo y Camino de Santiago. Visitamos: Obanos, pequeña localidad
nos recibió el Alcalde y una representación del Ayuntamiento del Camino, la Iglesia Románica de Eunate, Estella donde hici-
en la Casa del Vínculo, próxima al puente. Después de comer, mos un recorrido turístico, y finalizamos en Irache visitando
hicimos un recorrido en autobús por una pequeña etapa del la Fuente del Vino que permite a los peregrinos hacer un alto
en el camino y disfrutar de un trago de
vino de Navarra. De vuelta, en la residen-
cia, un poco de descanso, la cena, unos
juegos y patadas al balón y a la cama.

El martes día 25, nos desplazamos a

Pamplona donde tuvo lugar la prueba
por equipos que denominamos “Encierro
Matemático”. El autobús nos llevó hasta
el Departamento de Educación que está
situado justo donde da comienzo el
encierro de los Sanfermines. Tras cantar
al Santo, como lo hacen los mozos antes
de correr el encierro, fuimos recibidos en
el Departamento por el Consejero de
Educación y el Director del Servicio de
Innovación Educativa. Un breve saludo y
la entrega de unos obsequios-recuerdo
nos llevaron a comenzar la prueba a lo
largo del recorrido del encierro. Todos
nos habíamos vestido de pamplonicas
con camiseta blanca y pañuelo y faja
rojos.

Esta prueba llamó la atención de los

medios de comunicación y en todo
momento varias cámaras de TV y varios
reporteros fueron tomando imágenes y
entrevistando a los alumnos y a los profe-
sores. En los escaparates de los comer-
cios del recorrido del encierro, coloca-
mos las reproducciones ampliadas de
sellos y sus correspondientes leyendas de
personajes y motivos matemáticos que
nos habían prestado nuestras compañe-
ras de Andorra. También se invitaba a los
viandantes a que participaran en la fiesta
de las matemáticas resolviendo unas
pruebas que se habían preparado al efec-
to. Al final se sortearon unas camisetas
entre los participantes.
Foto P. Corcho

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Al finalizar la prueba, nos recibió la señora alcaldesa Doña por el jardín y adentrarnos un poco en el bosque. Las explica-
Yolanda Barcina. Tras unas amables palabras, Julián Pérez, en ciones de la guía contribuyeron a que la visita fuera amena,
nombre de todos, le agradeció su colaboración y apoyo con la instructiva y muy agradable. Comimos en un restaurante cer-
olimpiada y un alumno y una alumna le entregaron un ramo cano y después de comer, Albert Violant dirigió una sesión de
de flores y un ejemplar de las pruebas que habían tenido que juegos que tuvo atrapados a alumnos y profesores hasta tal
resolver los participantes. Subimos a la planta superior del punto que fue dif ícil levantarlos de las mesas para emprender
Ayuntamiento donde nos ofreció un aperitivo y donde pudi- el viaje de regreso. En Pamplona hicimos un alto y los alum-
mos estar en el balcón desde el que se lanza el cohete-chupi- nos fueron a ver un partido de pelota en un frontón y los adul-
nazo que da comienzo a las fiestas de San Fermín. Al finalizar tos tuvimos ocasión de probar unos vinos navarros en una
nos desplazamos hasta un complejo deportivo municipal cata dirigida que nos ofreció un amigo en una vinotera. Hacia
“Piscinas Aranzadi” donde el Ayuntamiento nos obsequiaba las ocho de la tarde fuimos a Puente ya que teníamos que pre-
con la comida. pararnos un poco para la cena de despedida.

Después de comer y dando un paseo por las murallas, la plaza

del Castillo, la Ciudadela y el parque de Yamaguchi, llegamos Hubo también representantes de los centros
al Planetario de Pamplona donde disfrutamos viendo las del País Vasco, donde no hay por ahora una
estrellas. Desde allí volvimos a Puente. sociedad federada. A los participantes les
acompañaron 24 coordinadores y el equipo
El día 27 miércoles, después de desayunar visitamos el local organizador.
Señorío de Bértiz. El tiempo que tuvimos en todo el trayecto,
lloviendo, nos hacía pensar en un día desagradable, pero al lle-
gar a Bértiz, despejó y nos permitió realizar un bonito paseo

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La cita era en el Restaurante Jakue de Puente la

Reina a las 9:30 p.m. Nos acompañaron el
Consejero de Educación, la alcaldesa saliente de
Puente la Reina, y varios compañeros profesores
que han colaborado en distintas actividades. La
cena estuvo muy bien y al final los alumnos y
alumnas pudieron bailar un poco. Debemos
resaltar el estupendo comportamiento de los
alumnos que sorprendió al personal del restau-
rante y por lo que nos felicitaron.

A la llegada a la residencia el jurado formado por

los profesores, tuvo que valorar y premiar las
fotos que durante los días pasados habían reali-
zado los alumnos.

Llegó el día de partida. El jueves 28, después de

desayunar fuimos en autobús a Pamplona. En el
salón de actos del edificio “El Sario” de la
Universidad Pública de Navarra iba a tener lugar Fotos P. Corcho
el acto de clausura con la entrega de premios.
Antes de comenzar el acto, hubo una sesión de análisis y dis- El premio en la prueba por equipos correspondió al equipo
cusión de los problemas que se habían planteado y resuelto en PITÁGORAS formado por:
los dos días de pruebas. La sesión, abierta a profesores, alum-
nos y padres, fue dirigida por nuestro compañero Javier - Alberto Díaz Dorado Andalucía
Etxeberria y resultó muy interesante. A continuación Pedro - Julia Falo Sanjuán Aragón
Alegría (matemático y aficionado a la magia) y Juan Carlos - Pablo García Alonso Asturias
Ruiz de Arcaute (mago y aficionado a las matemáticas), ofre- - Joan Rafel Bisbal Mayol Baleares
cieron una pequeña, por breve, actuación de título “La magia
en la teoría de códigos” que hizo disfrutar un rato a los asis- Y el premio de Fotograf ía Matemática recayó al equipo for-
tentes. De ahí se pasó al acto final, que estuvo presidido por el mado por:
Rector de la Universidad Pública de Navarra, D. Julio
Lafuente, además matemático y socio de Tornamira, y por el - Albeto Díaz Dorado Andalucía
Consejero de Educación D. Luis Campoy a los que acompa- - Jorge Moliner Malaxechevarría Castilla León
ñaban en la mesa, José Ramón Pascual y Floreal Gracia. - Pedro Soria Postigo Madrid
- Norberto Vera Vélez Valencia
Se entregaron los diplomas a todos los participantes alumnos
y profesores, y las menciones de honor a los premiados en las Al finalizar el acto de entrega de premios, entregamos el tes-
pruebas: individual, de equipos y de fotograf ía. Después de tigo y “la antorcha” a nuestros amigos de Murcia en la perso-
realizar las fotos recuerdo disfrutamos de un aperitivo y llegó na de Ascensión Fernández Vicente, a la que damos todo
el momento de las despedidas. nuestro ánimo y deseamos toda la suerte en la organización
de la XIX Olimpiada Matemática Nacional.

Premiados en la XVIII Olimpiada Matemática

Nacional. Se puede encontrar información de la XVIII OMN en las
siguientes páginas:

www.villafrancadelosbarros.es/olimpiada/news.php
Las Menciones de Honor fueron para los cinco primeros
clasificados en la prueba individual (por orden alfabético) http://www.unavarra.es/info/not3042.htm

- Inés Laura Dawson Andalucía http://educarc.blogcindario.com/2007/07/01529-la-xviii-

- Fernando Etayo Rodríguez Cantabria olimpiada-nacional-de-matematicas-se-clausuro-en-pam-
- David Pardo Simón Valencia plona-con-la-entrega-de-premios.htm
- Rafael Sánchez Bailo Aragón
- Norberto Vera Vélez Valencia Nos vemos en Murcia en el 2008

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Convocatorias

Sociedad “Puig Adam” de Profesores de Matemáticas

XXVI Concurso de Resolución de Problemas

Sociedad “Puig Adam” de Profesores de Matemáticas y el Cuarta: Los Centros que deseen presentar alumnos (hasta un
Colegio de Doctores y Licenciados en Filosof ía y Letras y máximo de seis) deberán realizar la preinscripción antes del
en Ciencias día 7 de Mayo del 2008, dirigiéndose por correo electrónico,
carta o fax al presidente de nuestra Sociedad:
BASES DEL CONCURSO Prof. Javier Etayo Gordejuela
Departamento de Algebra
Primera: Los alumnos podrán participar en el Concurso en Facultad de Ciencias Matemáticas
tres niveles: 28040-Madrid Fax: 91 394 4662
a) Primer nivel: alumnos de 3º de E.S.O. Correo electrónico: jetayo@mat.ucm.es
b) Segundo nivel: alumnos de 4º de E.S.O.
c) Tercer nivel: alumnos de 1º Bachillerato En la preinscripción no es preciso hacer constar los nombres
de los alumnos seleccionados. Si algún centro desea presentar
Segunda: Las pruebas consistirán en la resolución de más de seis alumnos, debe solicitarlo antes de la fecha men-
Problemas de Matemáticas (los mismos para todos los con- cionada anteriormente.
cursantes de un mismo nivel) y se realizarán en la mañana del
sábado 7 de junio del 2008 a partir de las 10 horas en la Quinta: Los centros entregarán a los alumnos que envíen,
Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de credenciales individuales en las que se haga constar que han
Madrid. sido seleccionados por su excepcional aprovechamiento en
Matemáticas, así como el curso en que están matriculados en
Tercera: A los mejores de cada nivel, se concederán diplomas el año académico 2007-2008.
y premios.

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

VIII JORNADES D’EDUCACIÓ MATEMÀTICA DE LA COMUNITAT VALENCIANA

Los días 25, 26 y 27 de abril de 2008 tendrá lugar en la

Universitat Jaume I de Castellón las VIII JORNADES DE LA
SOCIETAT D’EDUCACIÓ MATEMÀTICA DE LA COMU-
NITAT VALENCIANA “AL-KHWARIZMI”. En la programa-
ción se incluyen conferencias, ponencias y una mesa redonda,
así como las propuestas aceptadas de comunicaciones, pos-
ters i talleres relacionados con la Educación Matemática, la
Historia de las Matemáticas, las Tecnologías de la
Información y la Comunicación aplicadas a las Matemáticas,
la Didáctica de las Matemáticas, y en general, cualquier apar-
tado teórico, práctico o aplicado de las matemáticas. Teneis
toda la información en www.semcv.org

140
Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas
Comisión Ejecutiva
Presidente: Serapio García Cuesta Secretariados:
Secretario General: Francisco Martín Casalderrey Prensa: María Peñas Troyano
Vicepresidente: Manuel Torralbo Rodríguez Revista SUMA: Tomás Queralt Llopis/Onofre Monzó del Olmo
Tesorera: Claudia Lázaro del Pozo Relaciones internacionales: Sixto Romero Sánchez
Publicaciones: Ricardo Luengo González
Actividades y formación del profesorado: Salvador Guerrero Hidalgo
Actividades con alumnos: Floreal Gracia Alcaine/Esther López Herrainz

Sociedades federadas

Federació d'Entitats per l'Ensenyament de les Sociedad Extremeña de Educación Matemática Ventura Reyes
Matemàtiques a Catalunya Prósper
Presidenta: Carme Aymerich Padilla Presidente: Ricardo Luengo González
CEIP Rocafonda Apdo. de Correos 590. 06080 Badajoz
C/Tàrrega, 41
08304 Mataró (Barcelona) Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas Emma
Organización Española para la Coeducación Matemática Castelnuovo
Ada Byron Presidente: Juan A. Martínez Calvete
Presidenta: M.ª Carmen Rodríguez C/ Limonero, 28. 28020 Madrid
Almagro, 28. 28010 Madrid
Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria
Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales Presidenta: María José González López
Presidente: Manuel Torralbo Rodríguez Avda. del Deporte s/n. 39012 Santander
Facultad Matemáticas. Apdo. de Correos 1160. 41080 Sevilla
Sociedad Melillense de Educación Matemática
Sociedad Aragonesa Pedro Sánchez Ciruelo de Presidente: Luis Serrano Romero
Profesores de Matemáticas Facultad de Educación y Humanidades. Ctra. Alfonso XIII, s/n. 52005 Melilla
Presidenta: Ana Pola Gracia
ICE Universidad de Zaragoza. C/ Pedro Cerbuna, 12. 50009 Zaragoza Sociedad Navarra de Profesores de Matemáticas Tornamira
Matematika Iraskasleen Nafar Elkartea Tornamira
Sociedad Asturiana de Educación Matemática Presidente: José Ramón Pascual Bonis
Agustín de Pedrayes Departamento de Matemática e Informática.
Campus de Arrosadía. Universidad Pública de Navarra. 31006 Pamplona
Presidente: Juan Antonio Trevejo Alonso
Apdo. de Correos 830. 33400 Avilés (Asturias)
Sociedad Puig Adam de Profesores de Matemáticas
Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas Isaac Newton Presidente: José Javier Etayo Gordejuela
Facultad de Educación. (Sec. Deptal. Álgebra). Despacho 3005.
Presidenta: Ana Alicia Pérez
C/ Rector Rollo Villanova, s/n. 28040 Madrid
Apdo. de Correos 329. 38208 La Laguna (Tenerife)

Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas A prima

Sociedad Castellana y Leonesa de Educación Matemática
Presidente: Javier Galarreta Espinosa
Miguel de Guzmán CPR. Avda. de la Paz, 9. 26004 Logroño
Presidente: Antonio Arroyo
IB Comuneros de Castilla. C./ Batalla Víllalar, s/n. 09006 Burgos
Sociedade Galega do Profesorado de Educación Matemática
(AGAPEMA)
Sociedad Castellano-Manchega de Profesores de
Presidente: Manuel Díaz Regueiro
Matemáticas C/ García Abad, 3, 1ºB. 27004 Lugo
Presidente: Serapio García Cuesta
Avda. España, 14, 5ª planta. 02002 Albacete
Societat d'Educació Matemática de la Comunitat Valenciana
Sociedad de Educación Matemática de la Región de Murcia Al-Khwarizmi
Presidente: Onofre Monzó del Olmo
Presidente: Bienvenido Espinar Cepas
Departamento Didáctica de la Matemática. Apdo. 22045. 46071 Valencia
CPR Murcia II. Calle Reina Sof ía n.º1. 30007 Murcia

Sociedad de Ensinantes de Ciencia de Galicia (ENCIGA) Societat Balear de Matemàtiques Xeix

Presidente: Josep Lluís Pol i Llompart
Coordinador: Manuel Rodríguez Mayo
C/ Martí Rubí 37/alts. 07141 Sa Cabaneta (Marratxí). Islas Baleares
Apdo. de Correos 103. Santiago de Compostela

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 SUMA 57
Febrero 2008

142
12 de mayo de 2008
Música y Matemáticas
DÍA ESCOLAR DE LAS MATEMÁTICAS
Servicio de Publicaciones de la FESPM
Apartado de Correos 590
06080 Badajoz
Información y pedidos: publicafespm@wanadoo.es
 NORMAS DE PUBLICACIÓN
1. Los artículos se remitirán por triplicado a la redacción de SUMA (Revista SUMA, Apartado de Correos 498, E-46900 Torrent
(Valencia), impresos a doble espacio, por una sola cara, en formato Din A-4.

2. Los gráficos, diagramas, fotograf ías y figuras se enviarán impresos en hojas separadas (una para cada gráfico), en tinta negra
sobre papel blanco. En el texto debe figurar el lugar donde deben ser colocadas; de igual forma, si tiene que llevar un pie de
ilustración, éste se reseñará en la hoja donde aparece la ilustración. Indíquense los créditos de las fotograf ías y dibujos.

2. Los datos de identificación del autor no deben figurar en el texto original impreso ya que éste será enviado a asesores para ser
referenciado. Estos no serán informados de la identidad del autor o autores del trabajo y aconsejarán la conveniencia o no de
la publicación del trabajo, o recomendarán posibles modificaciones, etc.

4. Adjunto al artículo se redactará un resumen, de un máximo de 625 caracteres contando los blancos, que no necesariamente
tiene que coincidir con la introducción al artículo. De este resumen se remitirá también su traducción al inglés.

5. Los datos de identificación del autor o autores: nombre y apellidos; dirección completa; lugar de trabajo; teléfono de contacto;
correo electrónico; sociedad federada a la que pertenecen (si procede) y el resumen en castellano y en inglés deberán ir escritos en
una misma hoja aparte.

6. Se enviará también en soporte magnético (disco de tres pulgadas y cuarto con formato PC, CDRom o DVDRom) una copia de
los archivo de texto que contenga el artículo y del que contega la hoja con los datos y los resumenes, así como tantos archivos
gráficos, como figuras elaboradas con el ordenador se quieran incluir. La etiqueta debe identificarlo sin lugar a dudas. En cuan-
to al formato de los archivos de texto, se recomienda Microsoft Word para Windows o RFT. Los archivos gráficos es preferi-
ble que tengan formato EPS o TIFF. Para las fotograf ías se recomienda archivos TIF o BMP y con una definición mínima de
600x600 puntos por pulgada cuadrada.

7. Al menos un ejemplar del texto como los gráficos, si proceden de impresoras, deben ser originales y no fotocopias.

8. Los trabajos se enviarán completos, aunque por necesidades de edición pudieran publicarse por partes.

9. Las notas a pie de página deben ir numeradas correlativamente, numeradas con superíndices a lo largo del artículo y se inclui-
rán al final del texto.

10.La bibliograf ía se dispondrá también al final del artículo, por orden alfabético de apellidos, indicando autor(es), año, título del
artículo, título de la revista completo (en cursiva o subrayado), volumen y páginas del mismo. Por ejemplo:
TRIGO, V. (1995): «Generación de números aleatorios», Suma, n.° 20, 91-98.
En el caso de libros se indicará el autor(es), año, título completo (en cursiva o subrayado), editorial y lugar de edición.
Por ejemplo:
GARDNER, M. (1988): Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas, Labor, Barcelona.
En el caso de artículos que se encuentran en una obra colectiva se indicará el autor(es), año, título del artículo (entre
comillas), título del libro (en cursiva), editorial y lugar de edición. Por ejemplo:
VILLARROYA, F. (1987): «Geometría: construir y explorar», en Aspectos didácticos de matemáticas, 2, ICE Universidad
de Zaragoza, Zaragoza.

11.Dentro del texto, las referencias a la bibliograf ía se indicarán con el apellido del autor y el año entre paréntesis. Por ejemplo: ...
supone un gran avance (Hernández, 1992). Si el autor aparece explícitamente en el texto tan sólo se pondrá entre paréntesis el
año. Por ejemplo: ... según Rico (1993).

12.Posteriormente, se notificará a los interesados la aceptación o no del artículo, así como -en caso afirmativo- la posible fecha de
su publicación. En ese momento los autores se comprometerán a retirar el artículo de otras publicaciones a las que lo hayan
remitido.

13.No se mantendrá correspondencia sobre las causas de no aceptación de un artículo.

143
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