Matematica para No Matematicos

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OT 9520 / UNIV. CATOLICA / Matemticas para no Matemticos / Plastificado Mate / Lomo OK 1.4 cm. / 228 pp / Bond 90 gr / Medida 49.5 x 22.0 cm
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PANTONE 3975
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NEGRO
Matemticas para no matemticos
Coleccin Intertextos N. 4
MATEMTICAS PARA NO MATEMTICOS
Cecilia Gaita Iparraguirre

COORDINADORA
Elizabeth Advncula Clemente
Elton Barrantes Requejo
Jos Henostroza Gamboa
Fabiola Jabo Bereche
Maritza Luna Valenzuela
ESTUDIOS
GENERALES
LETRAS
Matemticas para no matemticos

Coleccin Intertextos N. 4
Cecilia Gaita Iparraguirre, coordinadora
Elizabeth Advncula Clemente, Elton Barrantes Requejo, Jos Henostroza Gamboa, Fabiola Jabo Bereche,
Maritza Luna Valenzuela
Copyright 2009 Estudios Generales Letras - Pontificia Universidad Catlica del Per
Av. Universitaria 1801, San Miguel
Telfono: 626-2000
Correo electrnico: buzon18@pucp.edu.pe
http://www.pucp.edu.pe
Derechos reservados. Prohibida la reproduccin de este libro por cualquier medio, total o parcialmente,
sin permiso expreso de los editores.
Primera edicin: agosto de 2009
500 ejemplares
Impreso en Per - Printed in Peru
Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per N. 2009-09908
Registro del Proyecto Editorial en la Biblioteca Nacional del Per N. 11501360900563
ISBN: 978-9972-2968-3-3
Ilustraciones: Ricardo Bernal Hiyane

Diseo y diagramacin: Gisella Scheuch
Cuidado de la edicin: Roco Retegui y Rafael Moreno
Impresin: Tarea Grfica Educativa
ndice
Prlogo
Uldarico Malaspina

Introduccin
Cecilia Gaita

Captulo 1: Nmeros y operaciones
1.1. Escalas
1.2. Porcentajes
1.3.Variacin porcentual
1.4. Inters simple y compuesto
17
18
27
32
39
Captulo 2: Cambio y relaciones

2.1. Nocin de funcin. Dominio y rango
2.2. Funcin constante y funcin lineal
2.3. Funcin lineal por tramos
2.4. Funcin cuadrtica
2.5. Funcin exponencial
2.6. Anlisis de grficas
47
48
55
62
66
78
86
Captulo 3: Anlisis de datos

3.1.Variable estadstica. Definicin. Clasificacin
3.2. Tablas de distribucin de frecuencias para una variable
3.3. Representacin grfica: circular, de barras y de puntos
3.4. Medidas de tendencia central
3.4.1. Moda y mediana
9
13
93
94
101
111
121
121
3.4.2. Media aritmtica

3.5. Medidas de dispersin
3.6. Percentiles
129
137
150
Captulo 4: Incertidumbre
4.1. Experimento aleatorio
4.2. Espacio muestral y eventos
4.3. Probabilidad
159
160
164
171
Anexo
Respuestas a las preguntas propuestas
179
Bibliografia
225
Prlogo
Me es sumamente grato escribir el prlogo de este libro, porque conozco su origen, desde que empez a pensarse en un curso para aquellos alumnos de Estudios
Generales Letras de nuestra Universidad que no se han inscrito en una especialidad
que use intensivamente las matemticas. Se saba lo desagradable que resultaba para
un estudiante con el propsito de estudiar derecho (por ejemplo) tener que llevar un
curso de matemticas que era igual al que estudiaban quienes tenan el propsito de
estudiar contabilidad; y no solo en los contenidos, sino en la forma de impartirlos.
Lo grave de esta situacin era que adems de tener alumnos estudiando un curso
por obligacin y con desagrado, se contribua a acentuar ideas y actitudes negativas
hacia la matemtica, que se revelaban durante los estudios y luego en la vida profesional y cotidiana. Ciertamente, una alternativa sencilla habra sido simplemente no
considerar un curso de matemticas en el plan de estudios de especialidades como
derecho, literatura, filosofa, historia, comunicaciones, bibliotecologa, arqueologa; sin
embargo, prim el criterio, felizmente compartido por matemticos y no matemticos
vinculados con Estudios Generales Letras, de mantenerlo haciendo las adecuaciones
correspondientes tanto en los contenidos como en la forma de impartirlo.
Soy uno de los convencidos de que la matemtica debe formar parte de la cultura
general de los jvenes y ciudadanos, y con mayor razn de los profesionales de nuestra sociedad; ms an teniendo esta tales caractersticas por las que con muy justa
razn la llaman sociedad del conocimiento y la informacin. En una sociedad
globalizada, con cambios tan rpidos en la tecnologa, con avances profundos en
los diversos campos del conocimiento y con tendencias a la superespecializacin,
considero fundamental, en un marco de interdisciplinariedad, estimular el cultivo
de la matemtica en los estudiantes de todas las especialidades, haciendo evidente
su carcter de vnculo entre las ciencias, la tecnologa y la cultura, mostrando sus
Uldarico Malaspina Jurado
aportes para modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias

humanas, sociales y naturales.
Es de conocimiento bastante generalizado la relacin estrecha y dinmica entre las
ciencias naturales y la matemtica; sin embargo, la matemtica tiene tambin estrecha
relacin con las ciencias humanas. Es destacable el caso de la economa, pues los avances
en teora econmica deben mucho a los modelos matemticos en este campo y una
muestra de ello son los artculos de sus revistas especializadas, en los que se exponen
investigaciones con uso de matemtica avanzada, de niveles ms altos que los que se
consideran habitualmente en los planes de estudio de un ingeniero, un fsico o un
licenciado en matemtica pura. Pero la matemtica est tambin muy relacionada
con la psicologa, el derecho, la lingstica, la sociologa y otras ciencias humanas. Y
esta relacin no es solo porque se usa la matemtica ya construida para examinar y
resolver problemas en estos campos, sino que se han construido conceptos y teoras
matemticas a partir de problemas propios de las ciencias humanas y se han recibido
aportes de economistas, psiclogos y otros investigadores de las ciencias humanas.
Tenemos as el clculo de probabilidades, cuyo origen oficial se ubica en la segunda
mitad del siglo XVII, en las cartas entre Blaise Pascal y Pierre Fermat, a partir de una
pregunta sobre cmo se hara el reparto justo en un juego inconcluso de dos personas
lanzando monedas. Es un problema de decisin, que tiene que ver con el azar y est
tan presente en el juego como en la determinacin del valor justo de una prima de
seguros. Ahora tenemos no solo una teora slida de las probabilidades, sino avances
muy valiosos por su interrelacin con la estadstica, que a su vez ha recibido aportes del
psiclogo britnico Charles Spearman (1836-1945), creador del anlisis factorial, a partir
de reflexiones en sus investigaciones psicolgicas, que despus fue ampliado y mejorado
por el estadstico R. A. Fisher y el psiclogo L. L. Thurstone. Es claro que hay muchos
otros ejemplos de vinculacin entre las ciencias humanas y las matemticas y que esta
continuar, como lo manifiesta Marc Barbut, profesor de la cole des Hautes tudes
en Sciences Sociales, Centre d'Analyse et de Mathmatique Sociales, Pars: [] esta
aventura de las relaciones pluriseculares entre Matemticas y Ciencias Humanas est
lejos de acabar. Asegurara incluso que tiene ante s un hermoso porvenir a largo
plazo; los hombres siempre tienden a avanzar en su comprensin del mundo, fsico
o social, en el que estn inmersos, y tambin, por tanto, en su estructuracin, y esta
estructura acaba siempre por expresarse en lenguaje matemtico.
Hay pues razones profundas para considerar por lo menos un curso de matemticas
en los planes de estudio de las ciencias humanas; y su diseo, tanto en contenidos
10
Prlogo
como en la forma de impartirlo, tiene que ser muy cuidadoso. He impartido clases
en Estudios Generales Letras durante muchos semestres especialmente para los de
la especialidad de economa y conozco casos concretos de ex alumnos brillantes
de otras especialidades, que recuerdan con amargura sus ltimas experiencias en la
universidad estudiando un curso de matemticas. Por eso, desde que conversamos
sobre este proyecto con el doctor Fidel Tubino, decano de Estudios Generales Letras,
no dud en involucrarme con entusiasmo y sostener largas reuniones con los colegas
y ex alumnos de matemticas, especialmente, con la profesora Cecilia Gaita. Hice
una propuesta que estaba casi en el otro extremo de lo que se vena haciendo, pero me
pareci importante que se partiera de una utopa y en sucesivas reuniones con colegas
recuerdo claramente a Carlos Vera, Augusta Osorio, Elizabeth Advncula, Miguel
Gonzaga, Elton Barrantes y Jos Henostroza fuimos afinando las ideas, concretando
una propuesta viable y paralelamente discutiendo, discrepando alturadamente con
quienes tenan otra propuesta y manifestando el convencimiento de la bondad de la
nuestra. Finalmente, decidimos los contenidos del curso y pasamos a dar forma concreta
a la manera de desarrollarlos. Un excelente grupo de jvenes profesores de matemticas
dedic generosamente su tiempo a preparar diversos captulos en grupos pequeos
y a discutir lo trabajado en reuniones que tenamos todos los grupos. Soy testigo de
excepcin de ese trabajo con absoluta entrega, sencillez, apertura a la crtica y gran
vocacin docente. El trabajo avanzaba con el convencimiento compartido que se
iba reafirmando ms al hacer propuestas concretas de que los estudiantes aprenden
mejor si ellos participan activamente en las clases; si descubren que la matemtica est
presente en contextos de la vida diaria, y muchos de ellos relacionados con la profesin
que desean adquirir; y si experimentan situaciones en las que se evidencia su capacidad
de resolver problemas y entender conceptos matemticos. Una siguiente etapa muy
importante fue llevar a la prctica todo lo trabajado y esta se inici en el semestre
2007-2, con la coordinacin entusiasta y la visin didctica muy clara de la profesora
Cecilia Gaita y con el apoyo franco de las autoridades de Estudios Generales Letras.
Este libro recoge pues los aportes de las reflexiones y de las experiencias y estoy seguro
de que es una contribucin a la didctica de la matemtica en general, que se ubica
en el marco de teoras y propuestas contemporneas de la enseanza y el aprendizaje
de las matemticas. Baste mencionar las numerosas publicaciones en la lnea de la
educacin matemtica realista, en particular las del Freudenthal Institute for Science
and Mathematics Education, de la Universidad de Utrecht (Holanda).
La resolucin de problemas es fundamental en la formacin matemtica, pero no
reducindola a ser ejemplos prcticos de aplicacin de una teora ni a un conjunto de
tcnicas para adquirir rapidez en la obtencin de resultados. Lo importante es resolver
11
problemas como una forma de hacer matemtica; es decir, analizando, relacionando

lgicamente, conjeturando, demostrando (o rechazando) conjeturas, buscando diversas posibilidades, examinando casos particulares, pensando en generalizaciones
El presente libro brinda estas oportunidades con numerosas situaciones problemticas en contextos cotidianos, y vinculadas con las ciencias humanas, que deben ser
adecuadamente tratadas en las clases, con actividades individuales y grupales. Los
profesores del curso tienen un gran apoyo en este texto, pero todava mucho por hacer.
Es fundamental que contagien a sus alumnos su pasin por la matemtica, que con
entusiasmo contribuyan a que ellos descubran la belleza de esta disciplina, y que con
ella cultiven el amor a la verdad.
Termino expresando mi felicitacin a todos los que hicieron posible esta publicacin
y manifestando mi deseo de que sea un punto de referencia para avanzar en publicaciones similares en nuestro pas, que se nutran de la reflexin, la investigacin y
la crtica constructiva.
Profesor principal, Seccin Matemticas

Pontificia Universidad Catlica del Per
12
Introduccin
El principio de equidad en educacin propugna un acceso democrtico de los estudiantes a las ideas matemticas que les permitan comprender temas que son relevantes
para ellos y que promuevan su capacidad de accin. Esto, sin olvidar la otra finalidad
de la matemtica, que es el desarrollo del pensamiento lgico formal, ltimo nivel del
desarrollo cognitivo. Ambos supuestos contrastan con lo que ocurre en la formacin
escolar: la matemtica es una disciplina respetada por todos, comprendida por algunos
y querida por muy pocos. Esta situacin hace que; por un lado, quien sea bueno en
ella, adquiera un estatus superior y se sienta atrado por seguir una carrera en donde se la
volver a encontrar; por otro lado, quien no consigue comprenderla, tratar de evitarla
en todo momento.
El escenario descrito se extiende tambin a los estudios superiores, especialmente, a
carreras que no tendrn la matemtica como eje central. As, muchos de los estudiantes de especialidades como derecho, periodismo, psicologa, literatura, entre otras,
habrn elegido su carrera justamente porque quieren evitar un nuevo encuentro con
la matemtica. Y a pesar de que la mayora de los planes de estudios de las carreras
mencionadas contemplan algn curso de matemticas con una finalidad formativa,
la actitud negativa hacia esta disciplina se mantiene. Probablemente, esto se deba a
que la orientacin que se da al curso sea similar a la que se le da en las carreras de
ciencias, ingeniera o ciencias econmicas y que, en el mejor de los casos, difiera solo
en la profundidad de los temas tratados, pero no en la forma de abordarlos.
Ante esta realidad, este texto propone que partiendo de situaciones cotidianas y
contextos ms prximos a los de las carreras mencionadas se puede cambiar la
actitud de los estudiantes hacia la matemtica y hacia su capacidad matemtica. Ello
permitira cubrir el vaco en la formacin matemtica bsica antes descrito.
El libro se ha diseado bajo las siguientes premisas: se aprende matemticas cuando

se hace matemticas y el quehacer matemtico es el producto de las interacciones de
los estudiantes con el saber, a travs de la resolucin de problemas. Siendo coherentes con esta postura, se organiz el texto teniendo como eje central las situaciones
problema. La estructura de cada captulo es la siguiente: a) se explica por qu dicho
tema ha sido incluido en el texto; b) se describen los objetivos que se persiguen en
el captulo; c) se presentan situaciones problemas que sern el contexto apropiado
para generar el conocimiento matemtico esperado en esa seccin. Se recomienda
que este momento sea un espacio de trabajo para el alumno quien, individualmente
o en grupo, y con sus conocimientos previos, intentar dar solucin al problema
planteado; d) se realiza la definicin formal de los conceptos, poniendo especial
nfasis a su tratamiento en diversos tipos de registros algebraico, grfico, verbal y
numrico condicin necesaria para comprender y aprender en matemticas. Esta
etapa surge para atender las necesidades generadas por las situacin problema; e) se
plantean ms situaciones de refuerzo.
La seleccin de los temas que se abordan en el texto se realiz teniendo en cuenta las
ideas principales propuestas por la Organizacin para la Cooperacin y el Desarrollo
Econmico (OCDE) en el proyecto PISA, y se les asign los siguientes nombres:
Nmeros y operaciones, Cambio y relaciones, Anlisis de datos e Incertidumbre.
Estas reas resultan transversales a todas las disciplinas y permiten el desarrollo de
habilidades como la comunicacin matemtica, el clculo, el pensamiento inductivo
y deductivo, y el pensamiento analtico en general.
Es importante mencionar que este texto es el resultado del trabajo realizado por un
equipo de matemticos que, preocupados porque las matemticas sean vistas como
una herramienta, decidieron involucrarse en la tarea de identificar contextos en los
que las matemticas resultaran una herramienta para resolver problemas en contextos
extramatemticos. Agradecemos a los profesores Miguel Gonzaga, Carlos Vera y
Augusta Osorio por los aportes realizados en este trabajo, al profesor Jos Flores por
los comentarios y sugerencias que nos hizo llegar y un reconocimiento especial al
profesor Uldarico Malaspina, quien con su entusiasmo y experiencia nos acompa
en esta aventura desde el inicio.
El esfuerzo realizado por el equipo de profesores que particip en el diseo de las
actividades propuestas en el texto pudo haber quedado reducido solo a experiencias
de clase interesantes y originales que se hubieran perdido en el tiempo de no haberse
14
Introduccin
contado con el apoyo de las autoridades de la Facultad de Estudios Generales Letras.

Ellas, a travs de su decano, director de estudios y secretaria acadmica, brindaron todas
las facilidades para que este ambicioso proyecto se concretara, de modo que las experiencias trabajadas se puedan compartir con otros colegas y en otros escenarios.
Profesora de Matemticas
Pontificia Universidad Catlica del Per
15
Captulo 1
Nmeros y operaciones
Calcular o medir son operaciones que realizamos a diario, en nuestra casa, en la

universidad o en el lugar donde nos encontremos. Calculamos cunto tiempo nos
tomar llegar a tiempo a algn examen de la universidad; elaboramos un presupuesto
con nuestros gastos probables en la semana o el mes para medir nuestros gastos y
no quedarnos sin dinero a mitad de camino; comprobamos si la recarga de nuestro
celular es efectivamente la que la promocin que vimos prometa, o si el descuento
en la compra de varias prendas de vestir que estaban en remate cumple tambin con
lo que la publicidad que lemos ofreca.
Pero no solo en estas necesidades cotidianas requerimos de ciertos instrumentos para
calcular y medir: a lo largo de nuestra propia carrera o en nuestro desempeo profesional,
nos veremos forzados a manejar algn tipo de herramienta matemtica que sirva para
solucionar una necesidad prctica determinada. Ya sea para elaborar un plano o una
maqueta donde podamos disear la puesta en escena de una obra, o para elaborar un
presupuesto al momento de planificar una campaa publicitaria, requerimos de ciertos
conocimientos matemticos, algunos de los cuales presentaremos en este captulo. As,
en este primer captulo aprenderemos a interpretar escalas (tema 1), a elaborar y analizar
porcentajes y variaciones porcentuales (temas 2 y 3), as como a calcular de manera
sencilla tanto el inters simple como el inters compuesto (tema 4).
Para ello, tal como se ha sealado en la introduccin, cada tema comenzar con una
situacin o ms situaciones que deben analizarse y si es posible resolverse, en
la medida de nuestras posibilidades. En seguida, se presentarn los conceptos ms
importantes del tema, acompaados de ejemplos que ayuden a su comprensin. Por
ltimo, los problemas resueltos nos ayudarn a afianzar nuestro conocimiento del
tema, mientras que los problemas propuestos podrn servir para evaluar nuestra
comprensin de los conceptos estudiados.
Cecilia Gaita / Elizabeth Advncula / Elton Barrantes / Jos Henostroza / Fabiola Jabo / Maritza Luna
1.1. Escalas
Si tuvisemos que representar grficamente el Estadio Nacional, en sus dimensiones
reales, posiblemente nuestra demanda de papel hara an ms grave el problema de la
deforestacin; salvo, claro est, que decidiramos recurrir al papel reciclado. Pero aun
en este caso, sera sumamente difcil y poco prctico manipular tal cantidad de papel,
por no mencionar cmo se complicara nuestra presentacin del dibujo o plano del
estadio ante un saln de clases, un grupo de inversionistas interesados en remodelarlo
o cualquier otro pblico. De igual modo, tratar de representar en su dimensin real
la estructura de un tomo, del elemento que ms nos guste es prcticamente irrealizable, debido a la pequeez de las distancias que debemos representar. En estos dos
casos, es evidente la necesidad de presentar lo real, las dimensiones de estos objetos,
de manera que sean fcilmente visibles y comprensibles.
Pero tambin podra suceder que necesitemos tener una idea exacta de cul ser el
tamao o el volumen de un objeto determinado. Pensemos en el lanzamiento de un
nuevo celular. Ser necesario, al planificar su produccin, tener un conocimiento
exacto de cules sern sus dimensiones para ver si puede competir con el de otras
empresas en tamao, peso, atractivo, etctera. Al representar grficamente el diseo
del celular, ser ms til tener ante nosotros el diseo del celular en sus dimensiones
reales para evaluar sus posibles virtudes y defectos.
A continuacin nos enfrentaremos a situaciones en las que debemos encontrar una
solucin a las preguntas planteadas. A partir de ellas debemos preguntarnos: qu es
una escala?, para qu sirven las escalas?, cmo ha ayudado la nocin de escala a dar
solucin a las situaciones presentadas?
Situacin 1
En la pgina siguiente, observe el plano del centro de la ciudad de Chachapoyas, ubicada a 2 000 msnm, capital del departamento de Amazonas, situado en el nororiente
peruano. Responda a las siguientes preguntas:
a) Cul es la escala del plano?
b) Considerando que la distancia entre dos lugares tursticos se medir tomando
como referencia los centros de los crculos correspondientes, cul es la mnima
distancia entre la capilla Virgen Asunta y la iglesia de la Buena Muerte?
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c) Determine la escala del plano pequeo, si este ltimo ha resultado ser una reduccin del plano anterior.
100m
So
Bolivia
Tres Esquinas
La Merced
Grau
2 de Mayo
Capilla Santo Domingo

Capilla Virgen Asunta
Capilla Virgen de la Natividad
Casa de Toribio Rodrguez de Mendoza
Catedral
Iglesia de Beln
Hermosura
sie
Los Angeles
Elaboracin digital Grupo Geo Graphos 2004
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Santa Luca
Recreo
HOSPITAL
ESTADIO
go
a Chiclayo
a Cajamarca
Hermosura
50
Plazuela de la
Independencia
Piura
Bolivia
Los Angeles
Hermosura
La Unin
Junn
Junn
Piura
a Levanto
Hermosura
Recreo
La Merced
Triunfo
Triunfo
La Unin
Tres Esquinas
RENIEC
Ortz Arrieta
a las Pampas de
O.N.P. Higos Urco y Taquia

Amazonas
La Unin
Chincha Alta
Santo Domingo
ESSALUD
a Rodrguez
de Mendoza
Libertad
Ayacucho
Amazonas
Amazonas
Santo Domingo
GRAPHOS
La Merced
Plaza
de Armas CORREO
MUNICIPALIDAD M
PALACIO MUNICIPAL
Triunfo
INSTITUTO CENTRAL
DE CULTURA
La Merced
2 de Mayo
POLICA
NACIONAL
MERCADO CENTRAL
lap
Kue
G E O
2 de Mayo
Chincha Alta
Libertad
Grau
Primavera
Natividad
Ayacucho
Cristo Rey
Santa Rosa
Salamanca
Santa Ana
Salamanca
CHACHAPOYAS
Puno
10
Santo Domingo
Arequipa
ca
Salaman
PISCINA
MUNICIPAL
Grau
Plaza
Santa Ana 8
Santa Ana
Santa Ana
al Aeropuerto
a Huancas
Ortz Arrieta
Yanayacu
2
Asuncin
laya
Jos O
Ortz Arrieta
Ortz Arrieta
Pte. Los Eucaliptos
Plano de Chachapoyas
7. Iglesia de la Buena Muerte

8. Iglesia Santa Ana
9. Iglesia Seor de Burgos
10. Pozo de Yanayacu
11. Kulap
Fuente: PROMPERU. Plano de Chachapoyas. Mapas y planos, 2008.

<http://www.peru.info/planos/Chachapoyas.jpg>
19
50
100m
a Levanto
Hermosura
So
Los Angeles
Tres Esquinas
La Unin
La Merced
2 de Mayo
Grau
Bolivia
Santa Luca
go
a Chiclayo
a Cajamarca
Hermosura
GRAPHOS
HOSPITAL
ESTADIO
sie
Bolivia
Ortz Arrieta
Santo Domingo
G E O
Plazuela de la
Independencia
Piura
Piura
Los Angeles
Hermosura
La Unin
Triunfo
la
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Hermosura
La Unin
a las Pampas de
Junn
Junn
Recreo
La Merced
Ayacucho
Tres Esquinas
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Libertad
O.N.P. Higos Urco y Taquia

Amazonas
La Merced
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2 de Mayo
ESSALUD
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de Mendoza
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Amazonas
Chincha Alta
INSTITUTO CENTRAL
DE CULTURA
Plaza
de Armas CORREO
MUNICIPALIDAD M
PALACIO MUNICIPAL
Triunfo
MERCADO CENTRAL
Grau
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Recreo
La Merced
2 de Mayo
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POLICA
NACIONAL
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Natividad
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Cristo Rey
Santa Rosa
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CHACHAPOYAS
Puno
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Arequipa
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PISCINA
MUNICIPAL
Grau
Plaza
Santa Ana 8
Santa Ana
Santa Ana
al Aeropuerto
a Huancas
Ortz Arrieta
Yanayacu
2
Asuncin
aya
Jos Ol
Ortz Arrieta
Ortz Arrieta
Pte. Los Eucaliptos
Plano de Chachapoyas
Fuente: PROMPERU. Plano de Chachapoyas. Mapas y planos, 2008.

<http://www.peru.info/planos/Chachapoyas.jpg>
Situacin 2
Milagros es una alumna de intercambio estudiantil que ha sido enviada a Pars para
estudiar Sociologa.
Luego de practicar algo de tenis en
el estadio Roland Garrs, Milagros
debe llegar a una importante
reunin en el Palais des Congrs, en
un lapso de media hora. Si Milagros
puede pedalear en su bicicleta a
una rapidez de 5 km por hora y
el mapa que usa para orientarse
(mostrado en la figura) tiene una
escala de 1:60 000, podr llegar
a tiempo a su cita?
20
Solucin propuesta
Como el dato proporcionado es el mapa, primero se debe calcular qu distancia
debera recorrer Milagros en el mapa. Al tomar una regla con marcas hasta los mm
se obtiene que la distancia en el mapa es aproximadamente de 4,9 cm.
Pero se indica que el dibujo ha sido realizado en una escala de 1:60 000, lo que
significa que 1 cm en el dibujo representa 60 000 cm en la realidad; por lo tanto,
Milagros debera recorrer realmente:
4,9 cm x 60 000 = 294 000 cm
Expresando esta distancia en km, se obtiene 2,94 km.
2,94 = 0,598 h para hacer
Como Milagros emplea 1 hora para recorrer 5 km, tardar
5
el recorrido del estadio Roland Garrs al Palais des Congrs y, como este nmero es
mayor que 0,5 h, entonces no llegar a tiempo a su cita.
Las situaciones 1 y 2 permitirn introducir la nocin de escala.
Qu es la escala?
La escala E de un determinado dibujo es la relacin entre las dimensiones en
el dibujo y las dimensiones en la realidad, empleando la misma unidad de
medida.
Es decir,
dimensin en el dibujo
dimensin en la realidad
E=
Tambin se suele escribir empleando la siguiente notacin:

dimensin en el dibujo: dimensin en la realidad
Si el numerador de esta fraccin es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliacin; ser de reduccin en caso de que el numerador sea menor que
el denominador. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado en su tamao real
(escala natural).
21
Por ejemplo,
Una escala 1:20 significa que 1 unidad de longitud en el dibujo representa 20
unidades de longitud en la realidad.
As, una longitud de 1 cm en el dibujo representa 20 cm en la realidad; 1 km en
el dibujo representa 20 km en la realidad. En este caso, el dibujo es una reduccin
del objeto real.
Una escala de 50:1 significa que 50 unidades de longitud en el dibujo representa
1 unidad de longitud en la realidad.
As, una longitud de 50 cm en el dibujo representa 1 cm en la realidad; 50 km en
el dibujo representa 1 km en la realidad. En este caso, el dibujo es una ampliacin
del objeto real.
Qu es la escala estandarizada?
Se llaman escalas estandarizadas a aquellas que estn escritas en la forma
1
N
E=
Cualquier escala se puede expresar con numerador 1 empleando propiedades
de fracciones. De esta forma, la escala nos dice cuntas unidades en la realidad
son representadas por 1 unidad en el dibujo.
4
5
1
1,25
As, por ejemplo, se verifica que la escala es equivalente a la escala , pues

4
1
4
4
== .
5
5 1,25
4
Esto significa que 1 cm en el dibujo representa 1,25 cm en la realidad.

120
120
120
1
Tambin se verifica que = =
, entonces la escala 120:30 significa que
30
0,25
30
120
1 cm en el dibujo representa 0,25 cm en la realidad.
22
Ms situaciones problema para practicar

Problemas 1.1
1. Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones y justifique la respuesta:

a) Una copia a escala 25:20 reduce el tamao del objeto representado.
b) Un rectngulo de dimensiones 5 cm por 7 cm no puede ser copia a escala de
otro rectngulo de 20 cm por 30 cm.
2. Observe el plano turstico del centro de la ciudad del Cusco que se muestra a
continuacin.
PlanoPlano
de Cusco
de Cusco
Ayacucho
sa
na
Pa
Kurkurpata
Pantac cal e
Ccol ocalle
Cue
Almir sta del
ante
ro
ag
Alm
era
Q
C
Ve ruz
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C. Quicclla
ue
va
eN
Lechugal
Beln
ard
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Av
tar
itos
Av. Manco
Ca
pac
rio
.E
Av
na
Av. Pachac
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lS
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Av. de
lE
ard
.P
Av
jrcito
Bel
rre
Co
nte
eO
ro
Cultura
MERCADO
DE WANCHAQ
Ce
Pte. Beln
Pav
sd
Estadio
Universitario
1. Catedral
2. Iglesia de la
Compaa de Jess
3. Iglesia San Blas
4. Plazuela de San Blas
5. Iglesia y Convento de
La Merced
Santo Domingo
7. Museo de Santa Catalina
San Francisco
9. Palacio Arzobispal y
Piedra de los 12 ngulos
10. Casa del Inca Garcilazo
de la Vega
11. Iglesia Santa Clara
12. Iglesia Santa Teresa
13. Convento Las Nazarenas
14. Museo de Arte
Precolombino
15. Museo Arqueolgico
Av. Garcila
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Terrestre
Fuente: PROMPERU. Plano de Cusco. Mapas y planos, 2008.

<http://www.peru.info/planos/Cusco.jpg>
23
a) Halle la escala a la que ha sido dibujado.

b) Si se considera que la distancia entre dos lugares tursticos se medir tomando
como referencia los centros de los crculos de color negro correspondientes,
cul ser la distancia real entre el Museo Arqueolgico (15) y la iglesia de
Santo Domingo (6)?
c) Determine la escala del siguiente plano, el cual es una reduccin del plano anterior.
Plano de Cusco
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Fuente: PROMPERU. Plano de Cusco. Mapas y planos, 2008.

<http://www.peru.info/planos/Cusco.jpg>
3. Claudia est muy orgullosa de ser mayor de edad y de haber obtenido su primer
DNI, el cual tiene forma rectangular (aunque con esquinas redondeadas) con
medidas 8,5 cm por 5,5 cm. Claudia est tan entusiasmada que desea una copia
ampliada en una hoja tamao A4 (21 cm por 29,7 cm).
a) Lograr Claudia su objetivo si emplea para la ampliacin una escala de 7:2?
b) Y con una escala de 3:1?
24
c) Halle la escala en forma estandarizada que permita obtener la copia de mayor

tamao posible que quepa en el papel de tamao A4.
4. La familia Sols desea adquirir un nuevo departamento. Entre muchas alternativas,
se les ha enviado un plano de uno de los departamentos que construir el programa
MI VIVIENDA en cierto distrito. El plano que se muestra a continuacin tiene
una escala 1:200.
a) A cuntos centmetros en la realidad equivale 1 cm en el plano? Y 10 cm en el

plano, a cuntos centmetros de distancia equivalen en el departamento real?
b) Calcule el rea real del departamento.
c) Si se tiene una mesa rectangular de 1 m x 2 m y cuatro sillas de 0,50 m x
0,50 m cada una, vista desde arriba. Verifique si dichos muebles pueden
acomodarse en la cocina.
d) El hijo mayor de la familia Sols es ingeniero y quiere reproducir el plano
del departamento a escala 1:50. El tamao de este nuevo plano ser mayor
o menor que el tamao del plano mostrado?
e) Podr el ingeniero reproducir el plano a escala 1:50 en una hoja de papel
tamao A4?
5. Considerando el siguiente mapa de Alemania, responda a las preguntas propuestas
a continuacin. Justifique las respuestas.
25
Fuente: BLOG ALEMANIA. Mapa de Alemania.

<http://www.blog-alemania.com/imagenes/localizacionAlemania.jpg>
a) Determine, aproximadamente, la escala empleada en esta representacin. D

1
la respuesta en la forma E =
, con N entero.
N
b) Empleando el mapa, determine la distancia aproximada entre la ciudad de
Berln y la ciudad de Frankfurt, cuya ubicacin se muestra en el mapa. D
la respuesta en km.
26
1.2. Porcentajes
En el tema anterior aprendimos a interpretar escalas, y vimos que crear y utilizar una escala
sirve para mostrar algo de otra manera, por ejemplo, una distancia muy grande o muy pequea a travs de una medida ms fcil de manejar o representar. En cierto sentido, en este
tema tenemos que estudiar otra manera de por as decirlo economizar la organizacin
y presentacin de la informacin con la que trabajamos. La herramienta que estudiaremos
a continuacin tiene diferentes usos. Pensemos, por ejemplo, en las campaas electorales
municipales: gran cantidad de candidatos y gran cantidad de distritos en que se postulan
estos candidatos. Si tuvisemos que informar al pblico que espera en sus casas, frente al
televisor, o al radioescucha cul es el estado de la contienda electoral, perderamos demasiado tiempo muy valioso tanto en la televisin como en la radio si para cada distrito
dijramos la cantidad exacta de votos que ha recibido cada candidato. Una manera rpida
y comprensible de hacer conocer a los electores el estado del proceso electoral es mostrarles
la distribucin de los votantes en porcentajes.
Por supuesto, al igual que con cualquier otra herramienta matemtica, debemos tener
cuidado al utilizarla, pues por descuido o desatencin podemos malinterpretar la
informacin que los porcentajes nos dan. Esto podra pasar, por ejemplo, si analizramos
el presupuesto nacional y nos concentrramos en el porcentaje de este que le corresponde
al sector educacin. Normalmente, se evala la idoneidad de la distribucin viendo cunto
representa porcentualmente el monto asignado para un sector respecto del producto bruto
interno (PBI). Si vemos que al sector educacin le corresponde solo el 3,54% del PBI, podramos afirmar que es un porcentaje muy bajo, y que este debera aumentar. Sin embargo,
con la sola cifra 3,54% no sabemos exactamente cunto dinero recibir el sector educacin,
si ser suficiente o ser demasiado para cubrir sus necesidades. Es decir, no es suficiente
contar con datos porcentuales si es que no tenemos una idea real de cul es la totalidad de
la que esos porcentajes son parte: no es lo mismo que regresando al ejemplo electoral
un partido haya obtenido la mitad de los votos en Lima a que haya obtenido la mitad de
los votos en Tacna, pues la poblacin de ambas ciudades no es la misma.
Veamos, entonces, a partir de las dos siguientes situaciones, qu son los porcentajes
y cmo podemos utilizarlos.
Situacin 3
El grfico siguiente muestra el nmero de kilmetros que debieron intervenirse con
mantenimiento rutinario y el nmero de kilmetros efectivamente intervenidos
con mantenimiento rutinario, durante el perodo 1997-2007 en nuestro pas.
27
a) Cuntos kilmetros de carretera, aproximadamente, fueron intervenidos con

mantenimiento rutinario en el 2000?
b) Qu porcentaje de los kilmetros que debieron intervenirse con mantenimiento
rutinario en el 2000 realmente lo fueron?
c) Cuntos kilmetros de carretera, aproximadamente, no se atendieron como se
esperaba en el 2000?
d) Qu porcentaje de los kilmetros que debieron intervenirse con mantenimiento
rutinario en el 2007 no fueron atendidos?
e) En qu porcentaje se ha incrementado el nmero de kilmetros de carreteras
no atendidas en el 2007 con respecto al 2000?
Km que debieron ser intervenidos con mantenimiento rutinario
7 000
Km efectivamente intervenidos con mantenimiento rutinario

6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
1997
1998
1999
2000
2001 2002
2003*
2004
2005
2006
2007
* Estimados
Fuente:Instituto Peruano de Economa, 2008.
La situacin 3 permitir introducir el concepto de porcentaje.

Qu es el porcentaje?
Dada una cantidad C, se llama tanto por ciento de C a una o varias de las cien
partes iguales en que se puede dividir C, es decir, uno o varios centsimos de
C. El smbolo del tanto por ciento es %.
C
As, el r% de C designa el nmero dado por r que tambin puede in100
r c.
terpretarse como
100
Es decir, r% de C significa que de las cien partes iguales en las que se divide
C se toman r partes.
28
Para entender e interpretar mejor el significado del r% de C, se pueden considerar

los siguientes casos:
Caso 1: r = 0
C , que tambin puede entenderse como 0 C.
Es evidente que el 0% de C es 0
100
100
En cualquier caso, el 0% de C es 0.

Caso 2: r = 100
C , que tambin puede entenderse como 100 C. Bajo

El 100% de C es 100
100
100
ambas interpretaciones, el 100% de C es C.
Caso 3: 0 < r < 100

En tal situacin, el r% de C indica que de las 100 partes en que se divide C se
toma una cantidad r menor que 100. De esta manera, el nmero que se obtiene
r C es menor que C.
100
Caso 4: r > 100

Este caso generaliza la nocin de porcentaje. Si r es mayor que 100, entonces
estamos considerando una cantidad mayor a la cantidad C; de esta manera se
obtiene r C .
100
Para ilustrar estos casos, observemos los siguientes ejemplos:
a) El 20% de 15 es 20 (15) = 3. Notemos que es 20 (15)= 1 15 = 3. En general,

100
100
5
el 20% de una cantidad equivale a un quinto de dicha cantidad.
b) El 100% de 15 es 100 (15) = 15.
100
c) El 120% de 15 es 120 (15) = 18.
100

Puede tambin pensarse as:
29
120
100
20
100 20
(15) =
+
15 =
15 +
15 = 15 + 3 = 18. Es decir, en general
100
100
100
100 100
el 120% de una cantidad equivale a la cantidad ms un quinto de la cantidad.
d) El 50% de C es 50 C = 1 C = 0,5C, es decir, el 50% de C es equivalente a la
2
100
mitad de C.
e) El 25% de C es 25 C = 1 C = 0,25C, es decir, el 25% de C es equivalente a
100
4
una cuarta parte de C.
f) El 80% de C es 80 C = 4 C = 0,8C, es decir, el 80% de C es equivalente a los
100
5
cuatro quintos de C.
g) Otra situacin donde se aplica el porcentaje es la siguiente:
Dadas las cantidades A y B, qu porcentaje es A de B?
Si r % es el porcentaje buscado, entonces
r
B = A.
100
De donde se obtiene que r = A x 100.

B
As, por ejemplo, qu porcentaje es 49 de 196?

r=
49
x 100. Es decir, r = 25%.
196
Luego, 49 es el 25% de 196.

h) Cul es el costo de un producto si al agregarle el 19% de su costo se obtiene
S/. 59,50?

Si C el costo de dicho producto, entonces C + 0,19C = 59,50.
Esto equivale a 1,19C = 59,50, de donde C = S/. 50.
30
Situacin 4
El bocadito favorito de Carlos son las
papas fritas. Las bolsas de 280 g estn
ahora en oferta. En la figura se muestra
en qu consiste la oferta.
a) Explique cunto pagara en total Carlos si llevara dos de estos productos y
qu quiere decir que se hizo un 20%
de descuento.
b) Si la promocin del 30% es vlida para tres productos o ms (hasta seis, luego se
pagar el precio regular), cunto pagara Carlos si llevara ocho de estas bolsas
de papitas?
c) Si se siguiera con el mismo esquema y para cuatro productos se ofreciera un
descuento del 40%, cul sera el precio unitario en ese caso?
Solucin propuesta
a) La situacin mostrada ilustra que el precio que deber pagar Carlos al llevar dos
de estos productos es S/. 6,32 2 = S/. 12,64.
El que se haya aplicado un descuento del 20% significa que sobre el precio regular
que era S/. 7,90 2 = S/. 15,80 se le aplic un descuento del 20%:
15 ,80
20
100
= 3 ,16
Al precio regular de dos productos, S/. 15,80, se le rest el 20% de S/. 15,80, es
decir, S/. 3,16, debiendo pagar finalmente:
S/. 15,80 - S/. 3,16 = S/. 12,64
b) Si Carlos llevara ocho de estas bolsitas, debera pagar:

S/. 5,53 6 + S/. 7,90 2 = S/. 48,98
Pregunta pendiente: le convendra ms comprar una oferta de 4 productos

con el 30% de descuento y luego pasar por otra caja haciendo uso de la misma
promocin?
c) Si se compraran cuatro productos al precio regular de S/. 7,90 cada uno, se gastara
31
S/. 7,90 4 = S/. 31,6.

Pero como se propone hacer un descuento del 40%,
31 , 60 40 = 12 , 64
100
se debera pagar:
S/. 31,6 - S/. 12,64 = S/. 18,96
De esta manera, el precio unitario sera S/. 4,74.
1.3. Variacin porcentual

Este tema es una continuacin del tema anterior, los porcentajes. Aqu aprenderemos
a interpretar y calcular el cambio en los porcentajes que representan algn tipo de
poblacin, ya sea los electores adscritos a un partido poltico, la cantidad de consumidores de un producto alimenticio, o el nmero de hinchas de un equipo de ftbol
que pudieran haber migrado a algn otro partido, cambiado de hbitos alimenticios,
o comenzado a alentar a otro equipo. Si quisiramos medir cunto ha cambiado, por
ejemplo, el nmero de pobladores peruanos que son apristas, en un perodo de tiempo
que nos interese de modo especial, podramos comparar la distribucin porcentual de
ciudadanos peruanos que se declararon apristas en 1985, cuando comenzaba el primer
gobierno del presidente Garca, y cuntos en 1990, cuando ya haba terminado su
mandato. Podran presentarse casos diversos: por ejemplo, podramos ver que el porcentaje sigue siendo el mismo (digamos, 30%), aunque deberamos ver si la poblacin
que se ha tomado en cuenta para elaborar la informacin que nosotros consultamos
ha variado o no de 1985 a 1990. Por otro lado, podramos tener distintos porcentajes,
aunque no haya cambiado la poblacin que estudiamos (que en 1985 haya habido
75% de apristas y en 1990 tan solo 1%); o, por ltimo, que hayan cambiado tanto
los porcentajes como la poblacin estudiada. De qu manera podemos estudiar estos
tres casos e interpretar y expresar correctamente cul ha sido el cambio porcentual
de simpatizantes o compaeros apristas?
En este caso, como en muchos otros, es importante leer e interpretar correctamente
los grficos que muestran la informacin expresada en porcentajes, pues muchas
veces las empresas o personas particulares encargadas de elaborar los grficos no
proporcionan informacin fidedigna.
32
Las dos situaciones que presentamos a continuacin nos servirn para identificar
las herramientas que aprenderemos para interpretar correctamente la informacin
porcentual y su variacin.
Situacin 5
Durante el 2005 y el 2006, la inflacin fue prcticamente igual para todos los niveles de ingreso. La
situacin cambi en el 2007, cuando los precios de los
alimentos (47% de la canasta) subieron e impulsaron el
aumento de la inflacin, pero sobre todo de la inflacin
que afecta a los ms pobres.
a) Considerando la curva correspondiente al 2007 (curva superior), cul fue

aproximadamente la inflacin para una
persona de menor ingreso (nivel 1) y para
una persona de mayor ingreso (nivel 10)?
Explique en sus propias palabras qu
quiere decir esta diferencia.
b) Cmo se leera el grfico correspondiente al 2006 (curva inferior), teniendo
en cuenta los distintos niveles de ingresos?
c) En cuntos puntos porcentuales vari
la inflacin para una persona del nivel 1
entre el 2005 y el 2006?
d) Cul fue aproximadamente la variacin
porcentual de la inflacin para una
persona del nivel 1 entre el 2005 y el
2006? Cmo se interpreta el signo?
Variacin de precios
(porcentaje)
2005
8,90
2006
2007
7,90
6,90
5,90
4,90
3,90
2,90
1,90
0,90
Menores ingresos
10
Mayores ingresos
Fuente: Encuesta Nacional de Hogares / BCR.
Solucin propuesta
Como se observa en el grfico mostrado, los valores numricos en el eje vertical
corresponden a la inflacin (dada en porcentaje). Para resolver las preguntas planteadas en este problema ser necesario hallar valores aproximados en el eje vertical
del grfico.
33
a) Por ejemplo, si se considera que para Variacin de precios

(porcentaje)
una persona del nivel 1 la inflacin
2005
2006
2007
durante el 2007 ascendi a 8,20% y 8,90
8,20
para una persona del nivel 10 fue de
7,90
5,3%, entonces esto significara que las
personas de menor nivel econmico 6,90
experimentaron una mayor alza en los 5,90
productos de su canasta bsica, pues 5,3
4,90
8,20% > 5,3%.
b) El grfico correspondiente a la inflacin 3,90
durante el 2006 muestra, en cambio, 2,90
que si bien el nivel 10 experiment
1,90
tambin una menor inflacin que el
nivel 1, la diferencia entre estos valores 0,90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Menores ingresos
Mayores ingresos
no fue tan marcada como en el 2007.
c) Para determinar la variacin en puntos
porcentuales para una persona del nivel 1 entre el 2005 y el 2006 ser necesario hallar valores aproximados en el
Variacin de precios
eje vertical del grfico. Por ejemplo, si
(porcentaje)
se asumen los valores mostrados en el
2005
2006
2007
8,90
grfico: la inflacin en el 2005 para una
8,20
persona del nivel 1 fue de 1,6 % y luego
7,90
de un ao fue de 1,4% . Entonces hubo
6,90
una disminucin de 0,2 puntos porcentuales.
5,90
d) La variacin porcentual se calcular
4,90
asumiendo que 1,6 era el 100% y averiguando cunto representa 1,4 1,6 de
3,90
este valor; es decir, calculando:
2,90
1,90
1,6
1,4
0,90
(
1
Menores ingresos
Mayores ingresos
10
1, 4 1, 6
) 100 % = 12,5%
1, 6
El signo negativo indica que la inflacin

decreci en un 12,5% respecto al ao
anterior.
La situacin 5 ha servido para introducir el trmino variacin porcentual.
34
Qu es la variacin porcentual?
Dadas dos cantidades Vi y Vf , si se pide determinar la variacin porcentual, es
decir, cunto vari Vf respecto a Vi, se debe realizar la siguiente operacin:
variacin porcentual =
Vf Vi
Vi
x 100%
Si Vf Vi > 0, la variacin ser positiva y se hablar de un incremento; mientras que si

Si Vf Vi < 0, entonces la variacin ser negativa, y se hablar de una disminucin.
Ntese que la variacin porcentual no tiene unidades, se expresa en porcentaje.
Cuando la informacin est dada en porcentajes, esto es, Vi y Vf en porcentajes, y se da como respuesta la diferencia Vf Vi, entonces se puede afirmar
que el valor inicial vari en Vf Vi puntos porcentuales.
Problemas 1.2 y 1.3
1. En esta ltima semana, Claudia aument su nota de 09 a 13 y Vanessa aument
su nota de 15 a 19. Considerando los incrementos respecto a la nota inicial, cul
de las dos tuvo una mejora ms significativa en su aprendizaje durante esta ltima
semana?
2. Una tienda ofrece dos alternativas de descuento por un modelo de pantaln:
Alternativa A: el 60% de descuento
Alternativa B: el 50% + el 20% de descuento sobre el nuevo precio
Cul de las dos alternativas es la ms conveniente?
3. Una oferta que ofrecen muchas conocidas tiendas consiste en un doble descuento,
por ejemplo:
50% descuento
+ 10%
35
4.
Esta promocin consiste en descontar primero el 50% al precio regular y luego

descontar el 10% del nuevo precio.
a) Segn la explicacin anterior, es lo mismo el 50% + 10% que el 10% +
50%?
b) Si un pantaln cuesta S/. 80, cunto hay que pagar luego de aplicar la oferta?
c) Luego de aplicar esta oferta, pagu S/. 666 por una filmadora. Cunto costaba
esta originalmente?
SUBTOTAL ________
IGV (19%) ________
TOTAL
Se muestra parte de una factura. Complete los

datos que faltan basndose en la informacin
mostrada.
S/. 760,00
5. De exportar ms de 50 000 m3 de caoba en el 2000, se pas a exportar 23 000 m3

seis aos despus.

Se trata de una cada predecible pues, debido

a la depredacin de la especie, cada vez es ms
difcil hallar un rbol en pie en la selva peruana.
A partir de la informacin que presenta el

grfico de la pgina 37, responda a las siguientes
preguntas.
36
LEYENDA:
m3 comercializados
60000
51267
MADERA ILEGAL
MADERA LEGAL
52138
42406
50000
40000
30785
23621
30000
23231
32843
20000
2660
10000
0
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Fuente: Diario El Comercio, n.o 86322, ao 168, 23 de febrero de 2008.
a) Cul fue la variacin entre las exportaciones del 2001 y el 2002?

b) En qu porcentaje aument la exportacin entre el 2001 y el 2002?
c) Cul fue la variacin entre las exportaciones del 2002 y el 2006?
d) En qu porcentaje vari la exportacin entre el 2002 y el 2006?
e) Qu podra decir sobre las exportaciones en el 2008?
6. Ricardo es un agente de ventas y usualmente se comunica con sus clientes por
medio de telefona celular. La compaa telefnica a la que est suscrito le est
ofreciendo bonos adicionales si se realizan recargas virtuales, tal como se muestra
en la siguiente figura.
a) Explique cunto dinero adicional recibira en total Ricardo
si comprara dos recargas, cada
una de S/. 50.
b) Qu sera ms beneficioso
para Ricardo, comprar dos
recargas de S/. 35 y una de S/.
50, o comprar una sola recarga
de S/. 120?
37
c) Si el bono adicional en el telfono celular de Ricardo despus de una recarga

asciende a S/. 33, de cunto fue la recarga de Ricardo?
7. El siguiente grfico muestra la variacin en el nivel de aprobacin de la gestin del
presidente Alan Garca en diversas regiones del Per algunos meses despus de iniciada
su gestin. Tambin se compara el porcentaje de electores que vot en su contra en
las ltimas elecciones presidenciales.
CRECIENTE DESAPROBACIN DE ALAN GARCA EN LAS REGIONES
Rechazo a la gestin del Presidente en provincias supera el porcentaje de electores que vot en su contra en el 2006.
REF:
Aprueba
Desaprueba
Regin geogrfica
Ns/Nc
20%
22%
77%
ORIENTE
Resultados de la 2da. vuelta

junio 2006
Segn Datum
Segn U. Catlica
3%
76%
LORETO al 100%
52.770%
47.230%
O. Humala
A. Garca
2%
13%
CENTRO
15%
84%
4%
77%
18%
77%
81%
4%
37.192%
A. Garca
PUNO al 100%
69.598%
O. Humala
30.402%
A. Garca
8%
15%
SUR
JUNN al 100%
62.808%
O. Humala
5%
La Repblica
Fuente: U. Catlica, Datum y ONPE.
a) Si la encuesta que realiz la Universidad Catlica en el centro del pas se aplic

a un total de 200 personas, cuntas manifestaron su aprobacin a la gestin
presidencial?
b) Si se toman como referencia los resultados de la segunda vuelta en el departamento de Loreto y se compara el porcentaje de electores que no vot por
Alan Garca en ese departamento con el porcentaje de los que desaprueban su
gestin en el oriente, en cuntos puntos porcentuales se ha incrementado el
rechazo al presidente Garca, segn la encuesta de la Universidad Catlica?
38
c) Tomando en cuenta el enunciado de la pregunta b), determine en qu porcentaje (variacin porcentual) ha variado el rechazo al presidente Garca.
d) Si se toman como referencia los resultados de la segunda vuelta en el departamento de Puno y se compara el porcentaje de electores que vot por Alan
Garca en ese departamento con el porcentaje de los que aprueban su gestin en
el sur del pas, segn Datum, en cuntos puntos porcentuales ha disminuido
la aprobacin del presidente Garca?
e) Tomando en cuenta el enunciado de la pregunta d), determine en qu porcentaje (variacin porcentual) ha variado la aprobacin del presidente Garca.
f) En cul de las tres regiones (oriente, centro o sur) se podra decir que la
aprobacin del presidente Garca ha disminuido menos respecto a la segunda
vuelta? Por qu?
g) En cul de las tres regiones (oriente, centro o sur) se podra decir que el
rechazo al presidente Garca se ha incrementado ms respecto a la segunda
vuelta? Por qu?
1.4. Inters simple y compuesto

Ya sea cuando vemos publicidad de alguna tarjeta de crdito que ofrece una tasa
preferencial de inters, o cuando deseamos obtener un prstamo bancario para
comprar un carro o una casa (prstamo hipotecario), nos enfrentamos con la urgencia de elegir la tarjeta o entidad bancaria que ofrezca la tasa de inters que sea ms
conveniente para nuestra realidad econmica. Saber diferenciar una tasa de inters
simple de una compuesta es tambin importante, si queremos saber cunto sern
las cuotas que deberemos pagar por el prstamo, aunque tambin nos pueda ser
til para saber cunto debemos recibir de intereses por nuestros ahorros guardados
en el banco. Por supuesto, debemos notar siempre otros gastos en los que el banco
hace incurrir a los clientes, como cuotas de afiliacin, portes, comisiones, costo de
mantenimiento, etctera. De cualquier modo, en ambas situaciones, tanto cuando
debemos entregar un dinero (pago del prstamo) como cuando recibimos un pago
(los intereses provenientes de nuestros ahorros) necesitamos calcular con precisin
cunto dinero habremos de entregar o recibir.
Trate de resolver las situaciones que presentamos a continuacin, y analice cmo
intervienen los conceptos de inters simple y compuesto: en qu se diferencian
ambas nociones?
39
Situacin 6
Octavio ha decidido solicitar un prstamo al banco
Mi Per para amortizar el pago de las deudas que lo
estn abrumando. Para ello firma un contrato con el
banco en los siguientes trminos:
El banco otorgar a Octavio S/. 10 224 en calidad
de prstamo.
El banco impone una tasa de inters simple anual
de 8,18%.
Octavio pagar al banco una cuota fija mensual
por los siguientes 24 meses, de modo que pueda cumplir con cancelar el crdito
solicitado, incluidos los intereses.
a) Cul es el monto total que debe pagar Octavio al final de los dos aos?
b) Cul ser el monto total correspondiente al inters que debe pagar Octavio al
final de los dos aos? A qu porcentaje del monto total pagado equivale?
c) Cul es el valor de la cuota mensual que debe pagar Octavio?
d) Suponga ahora que la tasa de inters que cobra el banco es compuesta anualmente. Cul es el monto total que debe pagar Octavio al cabo de los dos aos?
Si Octavio prefiere pagar ese monto en cuotas mensuales iguales, cul sera el
valor de la cuota mensual?
La situacin 6 ha servido para introducir el tema de inters simple e inters compuesto.
Qu es el inters simple?
Es el sistema en el cual la tasa de inters r se aplica en cada perodo al capital
inicial P0. Es decir, el valor P(t) del capital luego de t perodos est dado por:
P(t) = P0 (1 + rt)
Ntese que r, la tasa de inters, se ingresa en la frmula de la siguiente manera: si se
trata de una tasa de 5%, entonces se reemplaza r por 0,05.
Qu es el inters compuesto?
Es el sistema en el cual la tasa de inters r se aplica en cada perodo al capital
acumulado en el perodo anterior. As, si el capital inicial es P0, el valor P(t)
del capital luego de t perodos est dado por:
P(t) = P0 (1 + r)t
40
Situacin 7
Don Miguel es un prspero negociante y don
Jos es un profesional que actualmente tiene dos
hijas que acaban de ingresar a la Universidad
Catlica, por lo que se ver obligado a solicitar
un prstamo a su amigo don Miguel. A pesar
de que son grandes amigos como negocios
son negocios, el prestamista pide a don Jos
firmar un documento donde se comprometern
a lo siguiente:
Don Miguel prestar al inicio de este ao
S/. 10 000 a don Jos.
Al finalizar cada ao, se contabilizarn intereses correspondientes al 8% de los
S/. 10 000 prestados.
Cuando don Jos decida cancelar su deuda, deber pagar a don Miguel los
S/. 10 000 prestados, adems de los intereses acumulados hasta esa fecha.
a) Cul ser el inters generado por el capital prestado luego de un ao?
b) Y luego del segundo ao? Y de cada ao en general?
c) Cunto deber pagar en total don Jos luego de cinco aos, si en ese momento
decide cancelar toda su deuda?
d) Suponiendo que el prstamo finaliza luego de t aos, exprese en trminos de t
cunto habr pagado en total don Jos a don Miguel por este concepto.
Solucin propuesta
a) Al finalizar el primer ao, se habr generado un inters del 8% de S/. 10 000; es
decir, 8 x 10 000 = S/. 800.
100
b) Como en las condiciones del documento se indica que cada ao la tasa de inters
del 8% se aplicar sobre los S/. 10 000, el inters generado luego del segundo ao
y luego de cualquier nmero de aos ser de S/. 800.
c) Don Jos deber pagar luego de cinco aos el capital que recibi prestado ms
los intereses; es decir,

10 000 + (5 x 800) = 14 000 soles
d) Luego de t aos don Jos deber pagar:

10 000 + t x 800 = 10 000 + 800t soles
41
Situacin 8
Consideremos el contexto de la situacin 7,
pero supongamos que el documento que
firman don Miguel y don Pedro tiene las
siguientes condiciones:
Don Miguel prestar al inicio de
este ao S/. 10 000 a don Jos.
Al finalizar cada ao se contabilizarn intereses correspondientes al
8% del nuevo monto:

monto inicial + intereses.
Cuando don Jos decida cancelar su
deuda, deber pagar a don Miguel
los S/. 10 000 prestados, adems de los intereses acumulados hasta esa fecha.
a) Cul ser el inters generado por el capital prestado luego de un ao? Cunto
se deber pagar en total si se desea cancelar la deuda al finalizar el primer ao?
b) Y si se desea cancelar la deuda al finalizar el segundo ao?
c) Cunto deber pagar en total don Jos luego de cinco aos, si en ese momento
decide cancelar toda su deuda?
d) Suponiendo que el prstamo finalizar luego de t aos, exprese en trminos de t
cunto habr pagado en total don Jos a don Miguel por concepto del prstamo.
e) Cunto tiempo deber transcurrir para que la deuda total ascienda a S/. 1 000 000?
Solucin propuesta
a) Al finalizar el primer ao, se habr generado un inters del 8% de S/. 10 000; es

decir, 8 x 10 000 = S/. 800.

100
Y se deber pagar 10 000 + 800 = 10 800 soles.
O tambin:
10 000 + 0,08(10 000)
10 000 (1 + 0,08)
soles
(1)
b) Como en las condiciones del documento se indica que cada ao el inters del 8% se
aplicar sobre el nuevo monto: monto inicial + intereses, entonces se debe realizar
la siguiente operacin para determinar el inters generado al segundo ao:

42
0,08(10 000 + 800) = 864 soles
En total, habr que pagar 10 000 + 800 + 864 = 11 664 soles.

Podemos escribir lo anterior de la siguiente manera:
10 000 + 0,08(10 000) + 0,08(10 000 + 0,08(10 000))

= 10 000 + 0,08(10 000) + 0,08(10 000)(1 + 0,08)
= 10 000[1 + 0,08 + 0,08(1 + 0,08)]
= 10 000[(1 + 0,08)(1 + 0,08)]
= 10 000(1 + 0,08)2 (2)
= 11 664 soles
c) De esta manera, comparando (1) y (2) se puede concluir que despus de cinco
aos se deber pagar:

10 000(1+0,08)5 = 14 693,28 soles
d) Luego de t aos don Jos deber pagar

10 000(1 + 0,08)t soles
e) Se debe cumplir que:

10 000(1 + 0,08)t = 1 000 000

(1,08)t = 100
Se debe hacer uso de la funcin logaritmo, ya que ella cumple la siguiente propiedad:
log a x = x(log a).
Luego,
t log(1,08) = log(100)
t = log(100) = 59,84 aos
log(1,08)
El clculo de los valores del numerador y denominador se realizan con una
calculadora y se obtiene que, aproximadamente, despus de sesenta aos la
deuda ascender a 1 000 000 de soles
43

Problemas 1.4
1. Se invierte una suma de $ 2 000 a una tasa de inters compuesto anual de 0,04.
Cul ser el capital acumulado luego de seis aos?
2. Se invirti una suma de $ 2 000 a una tasa de inters compuesto anual de r.
Cul fue la tasa de inters que se aplic si luego de seis aos se tena un capital
acumulado de $ 2 711?
3. Hildara pide un prstamo de $ 12 000 que debe cancelar dentro de tres meses,
con un inters simple mensual de 8%.
a) Qu cantidad deber pagar Hildara al finalizar los tres meses?
b) Si Hildara firma un contrato que en una de sus clusulas establece que, en
caso de mora, se cobrar el 1% de inters simple diario sobre la cantidad que
deba devolver por el tiempo que exceda al plazo fijado, y paga el total del
prstamo un da despus de los tres meses, cul sera el monto de la mora?
Cunto pagara en total?
c) Si la tasa de inters de 8% simple mensual se modifica por una tasa de inters
compuesto mensual, responda nuevamente a la parte a).
4. Se pide un prstamo de $ 2 000 con una tasa de inters simple anual de 6%.
a) Si el prstamo es por cuatro aos, cunto se tendr que pagar en total?
b) Cuntos aos como mximo se puede mantener el prstamo para que la
deuda total no exceda los $ 3 000?
5. Actualmente en Lima hay un boom inmobiliario.
Cientos de casas se destruyen para construir, en
su lugar, edificios. Pero qu tan accesibles son
estos departamentos o condominios? El mercado inmobiliario se mueve por dos variables:
la estabilidad econmica y las tasas de inters
hipotecario. En el Per, los intereses de prstamos
hipotecarios han bajado de 14% hace solo tres
aos, a 8 8,5% hoy en da; por lo que cada
vez ms personas tienen acceso a este tipo de
crdito.

44
Por ejemplo, la familia Ramrez se acerc a

una caja municipal con la intencin de solicitar
un crdito hipotecario de $ 32 000 para la compra de un departamento y se lo

ofrecieron bajo las siguientes condiciones:
Pago en cuotas mensuales iguales durante cinco aos.
Tasa de inters simple de 8,5% anual.
a) Cul ser el inters que deber abonar la familia Ramrez en total durante
los cinco aos?
b) Cul ser el monto total que deber pagar la familia Ramrez en los cinco
aos?
c) Cul es la cuota mensual que deber pagar la familia Ramrez?
d) Si la familia Ramrez pag $ 36 480, qu tiempo transcurri?
e) Suponiendo que el prstamo finalizar luego de t aos, exprese en trminos
de t cunto deber haber pagado la familia Ramrez a la Caja Municipal del
Callao.
6. La seora Julia abre una cuenta de ahorros en una entidad bancaria haciendo un
depsito de $ 2 000. Esta cuenta produce una tasa de inters compuesto anual
de 7%.
a) Cul ser el monto acumulado en la cuenta de la seora Julia al finalizar el
primer ao?
b) Cul ser el monto acumulado al finalizar el tercer ao?
c) En general, cul ser el monto acumulado en la cuenta de la seora Julia
luego de t aos?
d) Estime en cunto tiempo el monto acumulado ser el triple del depsito
original.
7. Un banco ofrece un inters compuesto del 8% anual. Se depositan en dicho
banco $ 12 000.
a) Cunto se habr acumulado en la cuenta luego de cuatro aos?
b) Y luego de cinco aos?
c) En cuntos dlares habr aumentado el monto acumulado entre el cuarto y
quinto ao?
d) Cul es la variacin porcentual del monto acumulado entre el cuarto y quinto
ao?
e) Con ayuda de una calculadora, determine entre qu aos el monto acumulado
ser el doble del monto inicial.
45
Captulo 2
Cambio y relaciones
El ser humano ha intentado desde siempre comprender el fenmeno del cambio:

cmo as una cosa determinada, una semilla, por ejemplo, llega a convertirse en
un frondoso rbol lleno de vida? Tambin podramos preguntarnos cmo explicar
el movimiento de un cuerpo en el espacio, o cmo ha evolucionado en los ltimos
aos la preferencia del pblico frente a un producto cuya campaa publicitaria deseamos planificar. Podramos multiplicar los ejemplos, pero lo que seguira siendo
comn a ellos es el firme propsito de explicar y, de igual manera, medir cmo se
lleva a cabo el proceso de cambio, qu principio gobierna que algo sufra algn tipo
de modificacin (ya sea un cambio de lugar, color, peso, etctera). Para poder medir
establecemos relaciones entre dos o ms fenmenos, y de acuerdo con nuestras necesidades atribuimos a esta relacin algn tipo de correlato o representante matemtico (una frmula, escrita en una notacin especial, ya no solamente en el lenguaje
coloquial que nos acompaa a diario). En este captulo, estudiaremos cierto tipo de
relaciones a las que se les llama funciones. Qu es una funcin es algo que, por el
momento, no definiremos. La definicin tcnica se encuentra en el cuerpo de este
captulo. Asimismo, para comprender qu es una funcin, se explicarn ms adelante
las nociones de dominio, rango, entre otras. Tras estas definiciones preliminares
analizaremos algunos tipos de funciones elementales bastante utilizadas en diferentes
disciplinas como: funcin constante, lineal, cuadrtica, exponencial, etctera. Por
ltimo, se estudiarn las grficas de las funciones antes mencionadas, con el fin de
que el alumno a partir de las representaciones grficas de las funciones infiera
informacin sobre las variables que est estudiando.
2.1. Nocin de funcin. Dominio y rango

Hemos mencionado en la introduccin a este captulo que las funciones son un
tipo particular o especial de relaciones. Qu las distingue? Aristteles, en un libro
titulado tica a Nicmaco, sostiene que en las competiciones o juegos deportivos no
ganan los ms bellos o los mejor preparados, sino los que compiten. A primera vista,
parecera que el viejo filsofo griego no ha dicho nada interesante o nada que no
sepamos. Analicemos lo dicho por Aristteles, y veamos si de algo sirve para explicar
el tema que aqu nos interesa. Pensemos en un juego cualquiera, como una carrera
de 100 metros planos. Cmo se aplica lo dicho por Aristteles a este contexto? En
primer lugar, no todos podramos ser aceptados como corredores en una carrera de
100 metros planos en las Olimpiadas: hay ciertos requisitos que debemos cumplir para
incorporarnos a los juegos y, particularmente, para incorporarnos al grupo de atletas
que pueden competir. Esto establece una separacin entre la totalidad de pobladores de
un pas, y aquellos que son aptos para competir. Solo a estos ltimos les asignaremos,
tras la competencia, un lugar en la tabla de calificacin. Puede ser que dos o ms
atletas empaten en obtener el primer o el segundo lugar y no habr ningn problema
en aceptar el empate en un lugar como vlido. Lo que es del todo descabellado es
pensar que un mismo atleta, en la misma competencia, pueda obtener el tercer y el
dcimo lugar a la vez. En resumen: del universo de personas no todas se encuentran
habilitadas para participar del juego; solo un grupo de personas podrn competir, y
es a ellas a quienes distribuiremos, de acuerdo con lo que establece el reglamento, los
lugares en la clasificacin del juego. De qu nos sirve este ejemplo para entender qu
es una funcin? Aquello que define una funcin es que siempre asigna a un elemento
del conjunto de partida (el dominio de la funcin, el grupo de atletas que van a
competir) una sola imagen (el rango de la funcin, el lugar que ocupa el deportista
en el cuadro de calificaciones tras la competencia). Colocamos el ejemplo que menciona Aristteles para sealar otro rasgo de la funcin: que el conjunto de partida
(en este caso, los atletas que compiten) muchas veces no coincide con la totalidad
de individuos (los ciudadanos de un pas determinado) a los que podra atribursele
una imagen, un valor en el rango de la funcin. Qu sucedera con la relacin entre
padres e hijos? Podra representarse como una funcin?
A continuacin se presentan situaciones problemas que usted debe tratar de resolver.
Luego veremos las definiciones formales de funcin, dominio y rango.
Situacin 1
En cada uno de los siguientes casos,
48
Caso 1: los alumnos matriculados en un horario determinado de un curso de matemticas y sus respectivas cuentas de correo electrnico.
Caso 2: las regiones del Per y el nmero de sus habitantes.
a) Analice si la relacin entre las variables indicadas corresponde a una funcin.
Explique en qu consiste dicha relacin.
b) En caso de tratarse de una funcin,
seale cul es la variable independiente y cul es la variable dependiente;
d como ejemplo un elemento del dominio y su respectiva imagen en el rango.
Situacin 2
Los seres humanos nos comunicamos emitiendo y captando mltiples mensajes.
Todo acto comunicativo es el intercambio de informacin o mensajes a travs de un
medio entre un emisor y un receptor, quienes comparten un cdigo, de manera que
el mensaje es codificado por el emisor y decodificado por el receptor. A veces para
comunicarnos nos valemos de ciertas seales que tienen por finalidad producir una
accin de manera directa e inmediata sobre el receptor del mensaje.
Por ejemplo, la seal mostrada significa silencio.
Seal
Significado

Silencio

...............................................
As, cuando en las calles vemos una seal, ella nos indica que debemos prestar atencin a un hecho en un momento determinado o modificar una actividad prevista.
Las seales deben respetarse ya que son de gran ayuda. A continuacin presentamos
dos columnas. En la primera columna, mostramos algunas seales frecuentemente
vistas en lugares pblicos que nos indican qu debemos hacer o no hacer en ciertas
acciones. Coloque el significado de cada una de ellas en la segunda columna.
...............................................
49
...............................................
...............................................
...............................................
...............................................
Si cada seal es el valor de una variable y lo que significa es el valor de otra variable,
responda a las siguientes preguntas:
a) Cul sera la variable independiente y cul la variable dependiente?
Considerando las seales anteriores, responda a las siguientes preguntas:
b) Cul es el conjunto de valores que toma la variable independiente y cul el que
toma la variable dependiente?
c) Una misma seal puede tener ms de un significado? Sera conveniente que
una misma seal tenga dos significados distintos?
50
Solucin propuesta
a) En realidad, la variable independiente podra ser la representacin grfica de las
seales (o la seal propiamente dicha) y la variable dependiente el significado
de cada seal. Pero tambin se podra considerar lo inverso. Para lo que sigue
asumiremos que la representacin grfica es la variable independiente.
b) El conjunto de valores que toma la variable independiente est dado por todos
los grficos de la parte a) y en los del ejemplo. El conjunto de valores que toma
la variable dependiente est dado por todos los significados de la parte a) y los
del ejemplo.
c) No sera conveniente que una misma seal tenga ms de un significado, ya que
podran ocasionarse confusiones.
Las situaciones 1 y 2 han servido para introducir el concepto de funcin.
Qu es una funcin?
Una funcin es una regla de correspondencia que asigna a cada valor de
un conjunto un nico valor en otro conjunto. El conjunto de valores de
entrada recibe el nombre de dominio de la funcin y el conjunto de valores
de salida recibe el nombre de rango o imagen de la funcin.
Nota: observe que, en la situacin 2, la funcin es la regla que asigna a cada smbolo
un significado. Esta funcin no se puede expresar mediante una frmula matemtica
y = f(x); sin embargo, es una funcin porque esta asignacin es nica.
51

Problemas 2.1
1. En cada uno de los siguientes casos, analice si la relacin entre las variables
indicadas corresponde a una funcin. En caso de serlo, seale cul es la variable
independiente y cul es la variable dependiente.
a) La longitud del lado de un cuadrado y su permetro.
b) Los alumnos de un curso de Matemticas y sus fechas de nacimiento.
2. Analice si las siguientes variables podran estar relacionadas por una funcin y en
los casos en los que la respuesta sea afirmativa, trace las grficas que relacionen
las variables indicadas. De ser necesario, busque informacin que corresponda
a la realidad.
a) La estatura promedio de un nio de 0 a 6 aos y su edad.
b) La masa corporal de una persona y su ndice de grasa.
c) La edad y la cantidad de caloras que requiere una mujer.
d) Nmero de minutos que se habla por telfono y costo de la llamada.
e) La longitud del largo de un rectngulo cuyo ancho es 8 cm con el permetro
correspondiente.
f) La longitud del lado de un cuadrado con su rea.
g) La longitud del ancho de un rectngulo de 20 cm de permetro con su rea.
3. En una universidad hay un sistema de pagos para las pensiones de los alumnos,
con escalas diferenciadas. Las escalas de pago consideradas son 1, 2, 3, 4 y 5 (que
van de menor a mayor pago). Considere el conjunto A de los alumnos y considere
tambin la correspondencia que asigna a cada elemento de A, su escala de pago.
Responda a lo siguiente:
a) Indique alguna circunstancia bajo la cual esta correspondencia no sera una
funcin.
b) Indique qu condiciones deberan cumplirse para que esta correspondencia
s sea una funcin.
4. Para cada uno de los siguientes contextos,
defina una funcin e indique cules son las
variables independientes y dependientes.
a) Hasta hace unos aos acceder a
una vivienda propia era un sueo
que muy pocos peruanos podan
realizar. Afortunadamente, desde
52
hace un tiempo, con el impulso de distintos programas, ms peruanos han

podido hacer su sueo realidad.
b) La mayora de estudiantes de la Universidad del Futuro hace uso de los
servicios que ofrecen las diversas cafeteras del campus. Sin embargo, parece
ser que el nmero de estas es insuficiente, ya que en todas ellas se observan
largas colas a la hora de almuerzo, las que desaniman a cualquiera. Sera
interesante hacer un estudio sobre el tiempo que emplea un estudiante para
almorzar en la Universidad del Futuro.
5. En la figura se muestra a la familia Marca Vilca. Amadeo es el abuelo; Luisa
y Carlo son los padres y tienen cuatro hijos: Marita, quien estudia Geografa y
Medio Ambiente en la universidad; Milco que cursa el 4.o de secundaria; Aureo
acaba de ingresar al nido y Luis que es el beb de la familia. Al costado de la
foto se muestra una representacin que relaciona las edades y la altura de cada
miembro de la familia.
Edad
Altura
a) Identifique cada punto con cada miembro de la familia.

b) Se puede considerar la grfica mostrada como una funcin?
c) Cmo mostrara usted el grfico para que sea una funcin?
6. La grfica representa la cantidad de libros vendidos en la Feria del Libro realizada
durante sesenta das.
n: nmero de libros
vendidos
200
100
10
20
30
40
t: das
53
a) Cuntos libros se vendieron durante los diez primeros das?

b) Podra ser la grfica mostrada una funcin? Justifique su respuesta.
c) Qu sucedi con la venta de libros entre los das 10-20 y los das 30-45?
Por qu?
d) En qu da se vendi la mayor cantidad de libros y cuntos fueron?
Nota: aunque realmente la grfica debera ser un conjunto discreto de puntos,
esta se presenta de manera continua.
7. Seale cules de las siguientes grficas corresponden a una funcin. Para aquellas
que lo sean, indique en el eje horizontal y en el vertical cul corresponde a la
variable independiente y cul a la dependiente. Seale, adems, los valores que
toman su dominio y rango.
Nota: cada divisin horizontal y vertical representa una unidad de medida.
54
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.2. Funcin constante y funcin lineal

Como adelantramos, veremos a continuacin algunos tipos importantes de funcin,
aprenderemos a determinar sus dominios, rangos y estudiaremos la manera de graficarlas. En el clculo mensual del pago de recibos de telfonos fijos o celulares, encontramos
siempre un monto fijo de minutos que estn incluidos en la renta bsica. Pasados los
minutos que incluye el plan en el que estamos, comienzan a contabilizarse los segundos o
minutos extra que deberemos pagar en el recibo. Si tuvisemos una lnea con tarifa plana
para llamadas de telfono fijo a telfono fijo de una misma empresa, pagaramos siempre
lo mismo. Estos son casos en los que podemos hacer uso de las funciones constante y lineal
para explicar la relacin entre minutos o segundos consumidos y el monto en soles que se
debe pagar a fin de mes. Veamos algunas situaciones problema al respecto.
Situacin 3
A medida que un buzo desciende
en el ocano, la presin aumenta
linealmente con la profundidad.
En la superficie, la presin es de 15
libras/pulgada2, mientras que a 33
pulgadas debajo de la superficie, es
de 33 libras/pulgada2. Halle la expresin matemtica que muestre la relacin entre la presin
(p) y el nivel de profundidad (h).
Considere un sistema de coordenadas con origen en las superficie y con eje vertical
para representar la presion.
55
Situacin 4
El costo de un departamento est en funcin de la cantidad de metros cuadrados
que tenga. Susy acaba de comprar un minidepartamento y ha pagado $ 1 500 por el
metro cuadrado. Se sabe que el rea de dicho departamento oscila entre 100 y 120
metros cuadrados. A continuacin se muestra el croquis del departamento de Susy.
RECIBIDOR
COCINA
HABITACIN 1
SALA
PASILLO
HABITACIN 2
BAO
Si se sabe que:
El largo del recibidor es el triple que el ancho.
La cocina y las dos habitaciones tienen de ancho el doble que el ancho del recibidor, y de largo, el triple que el ancho del recibidor.
El pasillo tiene de ancho la mitad que el ancho de la cocina, y el largo del pasillo
es cinco veces el ancho del recibidor.
La sala tiene igual ancho que el largo de la cocina y de largo cinco veces el ancho
del recibidor.
El bao es un cuadrado de lado igual al ancho de la cocina.
a) Halle una expresin matemtica para el permetro del departamento de Susy en
funcin del ancho del recibidor.
b) Halle una expresin matemtica para el rea del departamento de Susy.
c) La expresin obtenida en a), puede corresponder a una funcin? En caso de ser
una funcin, determine su dominio.
d) Cul sera la variable independiente y cul la variable dependiente de la funcin
definida en a)?
e) Grafique en el plano cartesiano la funcin permetro del departamento de Susy
en funcin del ancho del recibidor, e identifique el dominio y el rango.
f) Si el ancho del recibidor del departamento de Susy mide 1,5 metros, cul es el
permetro del departamento de Susy? Cul es el rea? Cunto pag Susy por
ese departamento?
56
Solucin propuesta
a) Asumiendo que x es el ancho del recibidor, podemos establecer de acuerdo con
las condiciones dadas una expresin matemtica correspondiente al permetro
del departamento dada por: P(x) = 28x.
b) Bajo las mismas condiciones dadas, el rea del departamento se puede representar
como: A(x) = 45x 2.
c) La expresin obtenida s corresponde a una funcin, pues a cada valor del ancho
del recibidor le corresponde un nico permetro. El dominio de la funcin est
dado por los valores reales de x que cumplan: x > 0 y 100 < 45x 2 < 120. Resolviendo el sistema encontramos: x [1,49 ; 1,63], donde x est dada en metros.
d) La variable independiente es el ancho del recibidor y la variable dependiente es
el permetro del departamento.
e) Considerando el dominio x [1,49 ; 1,63], se obtiene la siguiente grfica donde
el eje horizontal representa el ancho del recibidor y el eje vertical el permetro
del departamento de Susy.
Notemos que la grfica corresponde a un segmento, ya que x solo toma valores
entre 1,49 m y 1,63 m.
P(x)
45,64
41,72
x
0,5
1,49
1,63
f) Si el ancho del recibidor mide 1,5 m, entonces el permetro del departamento

es P(1,5) = 28(1,5) = 42 m y el rea es A(1,5) = 45(1,5)2 = 101,25 m2. Susy pag
por el departamento $ 151 875.
Existen algunas funciones muy usadas en la vida real. En la situacin anterior, se
trabaj con una funcin lineal para el permetro y una funcin cuadrtica para el
rea. Ahora nos dedicaremos a estudiarlas en profundidad.
57
Qu es una funcin lineal afn?

Una funcin lineal afn es una funcin de variable real y de valor real definida por:
f:RR
xa
f (x) = ax + b
donde a y b son nmeros reales.
En adelante estas funciones se denominarn solamente lineal.
Nota: el coeficiente a se denomina pendiente de la grfica de f. Es una medida de la
inclinacin de la recta (asociada a la grfica de esta funcin) respecto al eje x.
Cmo graficar una funcin lineal con b = 0?

Las grficas de estas funciones pasan por el origen.
Si a > 0:
la funcin es creciente. Un punto de paso lo constituye el origen. Para encontrar
otro punto de paso, basta con dar un valor diferente de cero a la variable independiente x. Por ejemplo, si x = 1, entonces, f(x) = a. Por tanto, el otro punto de
paso ser (1; a).
y
(1; a)
Si a < 0:
58
la funcin es decreciente. Un punto de paso lo constituye el origen. Para encontrar otro punto de paso basta con darle un valor diferente de cero a la variable
independiente x. Por ejemplo, si x = 1, entonces f(x) = a . Por tanto, el otro
punto de paso ser (-1; a). Ntese que en este caso a es positivo.
y
(-1,-a)
Existe un caso particular para la funcin lineal f (x) = ax + b, aquel en el que a = 0. En

este caso, la funcin lineal se denomina funcin constante.
Qu es una funcin constante?
Una funcin constante es una funcin de variable real y de valor real definida
por:
f:RR
xa
f (x) = k
donde k es un nmero real.
Una funcin constante se caracteriza porque siempre genera el mismo valor para
la variable dependiente, sea cual sea el valor de la variable independiente.
59

Problemas 2.2
1. Represente los siguientes pares ordenados (x; y) en el plano cartesiano e indique la

relacin que existe entre las variables x e y. Escriba una regla de correspondencia
para y en funcin de x.
x
y
1
1,5
2
2,0
3
2,5
4
3,0
5
3,5
6
4,0
2. Determine la regla de correspondencia de la funcin lineal que pasa por los puntos
(2;-1) y (5;1/2).
3. Determine cul o cules de las siguientes reglas de correspondencia corresponden
a funciones lineales.
a)
f ( x) = x + 3
b)
f ( x) =
c)
f (x) = 3 x + 2
d)
f ( x) =
e)
f ( x ) = 5 x 4 ( x 3 )( 2 x )
f)
f ( x ) = ( x 6 )( x + 6 )
x2
x+3
3
(7 2 x )
8
4. Grafique las siguientes funciones lineales y halle su dominio y su rango.

a)
f ( x) = x + 4
b)
f ( x) = x + 2
c)
f ( x) =
f (x) =
60
5 x
2
2x + 6
5
f (x) = 4 x
1
2
f ( x) = x + 4
f ( x) = x + 2
f ( x) =
5 x
2
2x + 6
d)
f ( x) =
e)
f (x) = 4 x
f)
2
f ( x ) = 2 x
g)
f (x) = 1 +
h)
f ( x) =
2x
5 + x
5. Halle la regla de correspondencia de la funcin cuya grfica se muestra a continuacin,

sabiendo que cada rectngulo tiene 40 unidades de largo por 15 unidades de ancho:
Y

30
-40
40
-30
6. Si la utilidad, en nuevos soles, de vender x artculos est dada por:

U(x) = 20x + 500, con x [0; 2 000]
a)
b)
c)
d)
Grafique la funcin utilidad.

Halle la utilidad al vender 200 artculos.
Halle la utilidad al vender 500 artculos.
Calcule la cantidad de artculos que se deben vender para obtener una utilidad
de S/. 3 400.
e) Cul es la utilidad mxima que puede obtenerse?
7. Susana va en busca de trabajo al emporio comercial Amarra y se le presentan dos

opciones de trabajo con los siguientes salarios:
Opcin A: un salario fijo mensual de S/. 400 ms el 2% del total de ventas que
realice durante el mes.
61
Opcin B: un salario fijo mensual de S/. 500 ms el 1,5% del total de ventas
que realice durante el mes.
a) Determine el salario mensual que recibira Susana en cada caso, en funcin
del total de ventas realizadas.
b) Cul ser el salario de Susana si en el mes realiza S/. 2 000 en ventas, segn
la opcin A?
c) Cul ser el salario de Susana si en el mes realiza S/. 2 000 en ventas, segn
la opcin B?
d) Trace en un mismo plano cartesiano las grficas que representen las diferentes
opciones de salario para Susana.
e) De las grficas anteriores, cul cree que sea la opcin de trabajo que ms le
conviene a Susana?
f) De qu factor o factores cree que dependa la eleccin de la mejor opcin?
8. Donatila decide invitar a sus amigas al concierto de su artista favorito y para ello
tiene dos opciones:
A: afiliarse a una tarjeta cuyo costo de afiliacin es de $ 30 y luego comprar
cada entrada a $ 16. As ella no pagara el costo de la entrada.
B: pagar cada entrada a $ 20.
a) Si n es el nmero de invitados de Donatila, escriba el precio que pagar Donatila
en cada caso, en funcin de n, si asisten al concierto ella y sus n amigas.
b) Si Donatila se presenta al concierto con cinco amigas, qu opcin le conviene, A o B?
2.3. Funcin lineal por tramos
Situacin 5
En un determinado pas, un trabajador independiente debe presentar anualmente su
declaracin jurada de impuesto a la renta. En
ella debe reportar sus ingresos y dependiendo
del monto total anual de este valor, deber
abonar el impuesto a la renta. Para determinar
el monto que debe pagar es necesario tener
en cuenta la siguiente norma:
62
Para ingresos que no excedan los S/. 156 600, el impuesto a la renta ser el 15%
de dichos ingresos.
Para ingresos mayores a S/. 156 600 se pagar el 15% de 156 600 ms el 30%
del exceso de S/. 156 600.
a)

b)
Determine el valor de R cuando:

I = S/. 100 000
I = S/. 200 000
Halle una expresin matemtica que muestre la relacin entre los ingresos
(I) de un trabajador independiente y el impuesto a la renta (R) que deber
cancelar al finalizar el ao.
c) Grafique la funcin definida en b).
Situacin 6
La siguiente lista de precios muestra la tarifa ofrecida por la empresa de telefona
celular Clara durante un mes, segn tres planes:
Planes
tarifarios
increbles
Cargo fijo
mensual en
S/.
Minutos libres
Costo de los minutos

adicionales activando
tarjetas prepago en S/.
Clara a Clara
nacional
Clara a
fijo local
Clara a Clara
nacional
Clara a
fijo local
Plan
increble
55
55
64
44
0,86
1,25
Plan
increble
70
70
100
78
0,70
0,90
Plan
increble
100
100
250
200
0,40
0,50
Considerando esta informacin:

a) Halle la expresin matemtica que relaciona la cantidad de minutos en llamadas
con el correspondiente pago, segn el Plan increble 100, cuando la comunicacin
es de un Clara a otro Clara nacional.
63
b) Esboce la grfica del plan tarifario hallado en a).

c) Determine cuntos minutos se hablaron si el gasto por llamadas, segn el Plan
increble 100 definido en a), fue de S/. 420.
Solucin propuesta
Si denotamos por x la cantidad de minutos hablados, se tendran las siguientes expresiones matemticas que relacionan el pago con la cantidad de minutos hablados segn
el Plan increble 100, cuando la comunicacin es de una Clara a una Clara nacional:
a)
x 250
100,
P1 ( x ) =
x > 250
100 + 0 , 40 ( x 250 ),
100,
P1 ( x ) =
0 , 40x,
x 250
x > 250
b)
y: costo por
minuto
P
100
250
c) 0, 40x = 420 x = 1 050

Esto indica que se hablaron 1 050 minutos.
64
x: minutos

Problemas 2.3
1. La siguiente lista de precios muestra la tarifa ofrecida por una empresa de telefona
celular durante un mes, segn dos planes:
Nuevos
planes
control
Pru 16
Amrica 20
Cargo
fijo
Segundos libres
llamando a:
US $
16
20
Fijos locales del Per

4 200
6 300
Costo de los segundos adicionales

activando
tarjetas prepago
Fijos locales (en US $)
0,004
0,003
Segn esta informacin, responda a las siguientes preguntas:

a) Halle la expresin matemtica que relacione la cantidad de segundos en llamadas
con el correspondiente pago segn el plan Per 16 cuando la comunicacin
es a fijos locales del Per. Luego haga lo mismo con el plan Amrica 20.
b) Esboce las grfica de los dos planes tarifarios construidos en a).
c) Si despus de un mes el gasto por llamadas asciende a $ 22,703, segn el
plan Amrica 20, cuntos segundos se habl?
2. La aerolnea Blue Air permite a sus pasajeros transportar gratuitamente hasta 25

kg de equipaje y por cada kg adicional cobrar 8 euros. Para evitar sobrecargas
en el avin, se restringe el nmero de kg que un pasajero puede llevar y se seala
que como mximo puede tener dos maletas, cada una con 32 kg.
a) Encuentre una expresin matemtica que
permita relacionar los kg de equipaje con el
monto total que se debe pagar por el exceso
de equipaje que transporta un pasajero.
b) Grafique la regla de correspondencia
determinada en a).
c) Si la compaa Sky Europe permite a sus
pasajeros transportar gratuitamente hasta
20 kg de equipaje y por cada kg adicional cobra 6 euros, hasta un mximo
de dos maletas cada una con 32 kg, cul de estas dos aerolneas le conviene
elegir a un viajero cuyo equipaje excede los 30 kg?
Nota: los kg de exceso de equipaje no se redondean a valores enteros, en ninguno de
los casos; as, por ejemplo, si el pasajero lleva 0,1 kg de exceso de equipaje, pagar
0,8 euros en la aerolnea Blue Air.
65
2.4. Funcin cuadrtica

Cuando deseamos emprender un negocio, todos lo hacemos esperando tener ganancias,
no solo recuperar el dinero invertido, sino recibir algo extra, la utilidad de nuestro
negocio. Para calcular la utilidad de nuestro negocio debemos encontrar la diferencia
entre los ingresos y los costos en los que hemos incurrido. En muchos casos, podemos
representar la utilidad de una empresa o de un negocio a travs de alguna funcin, sea
esta constante, lineal o para los fines de este subcaptulo una funcin cuadrtica.
Por ejemplo, pensemos que el costo de produccin de un pantaln depende de la
cantidad de metros cuadrados de tela que empleamos para su confeccin. Imaginemos
que el metro lineal de tela tiene un valor conocido, S/. 10 por ejemplo. Calculamos
la cantidad de metros cuadrados que necesitamos para confeccionar el pantaln. A
este costo puede agregrsele una serie de costos fijos, como el pago de los sueldos de
los empleados o del alquiler del taller donde elaboramos los pantalones. Tomando en
cuenta esta informacin podemos calcular tanto el costo de un pantaln, colocando
como variable la cantidad de tela empleada, como la utilidad de vender los pantalones
a un determinado precio, etctera. La misma lgica se utiliza para calcular el valor y
la utilidad o ganancia de construir un edificio para el programa Mi Vivienda. Aqu
nos interesar, adems de los costos fijos, las dimensiones del departamento que se
construir. El precio del departamento depender de su rea. Si un departamento tiene
forma rectangular, multiplicando el largo y el ancho de dicho rectngulo obtenemos
el valor del inmueble. Si una constructora debiera, por ejemplo, dividir un terreno de
dimensiones conocidas en cuatro partes, de modo tal que al momento de vender los
terrenos la utilidad sea mxima, cmo convendra dividir dicho terreno?
A continuacin, veremos algunos ejemplos con el fin de familiarizarnos con este
tipo de funcin.
Situacin 7
Luego de analizar las ventas de bebidas energizantes en un determinado supermercado,
se encuentra que si se venden x latas en un da, la utilidad (en dlares) estar dada por:
P(x) = 0,001x 2 + 3x 1800
a) Complete cuadrados para expresar P(x) en la forma
P(x) = a(x h)2 + k.
b) Grafique la funcin P(x).
c) Determine cuntas latas debe vender para que la utilidad
sea mxima.
66
Situacin 8
Aurelio y Graciela son amigos desde la infancia. Aurelio piensa construir un establo
con un piso circular y un cerco de madera que lo rodee. Graciela va a visitar a Aurelio
a su casa de campo y aprovecha para ayudarlo a decidir sobre la propuesta que mejor
le conviene para construir su establo.
Aurelio tiene dos propuestas de constructoras para levantar su establo, las cuales le
ofrecen los mismos materiales y acabados. La primera cobra $ 30 por metro cuadrado por la construccin de piso, $ 25 por metro lineal del cerco, ms una tasa fija
de $ 250 por gastos administrativos. La segunda constructora cobra $ 28 por metro
cuadrado por el piso, $ 30 por metro lineal del cerco, ms una tasa fija de $ 650 por
gastos administrativos.
Graciela quiere determinar cul de las dos constructoras le conviene a Aurelio para
levantar su establo de vacas de la forma ms econmica posible, siguiendo los siguientes pasos.
1. Completando la tabla que se muestra a continuacin, con los datos del enunciado.
Costo por m2 de
piso
(dlares)
Costo por m del

cerco circular
(dlares)
Costo fijo por gastos

administrativos
(dlares)
Primera
constructora
Segunda
constructora
67
2. Realizando algunos clculos para comparar los costos totales que proponen las
dos constructoras para realizar el establo, teniendo en cuenta que r es el radio
del establo, en metros. Utilice la calculadora y aproxime a los milsimos.
Longitud del
radio de la pista
circular (metros)
rea que se
pavimentar
Longitud
del borde
circular
Costo total de la
primera compaa
Costo total de la
segunda compaa
r2
2r
30r2 + 25(2r) +
250
28r2 + 30(2r) +
650
6
8
10
12
14
16
18
20
3. Graficando, en un mismo plano cartesiano, los costos totales de ambas constructoras.

4. Respondiendo, a partir de la grfica, a las siguientes preguntas:
Existir algn valor de r para el cual resulta lo mismo contratar a cualquiera
de las dos constructoras? Explique.
Cul de las dos propuestas le conviene a Aurelio? Por qu?
Solucin propuesta
Recordando que:
a) El rea de un crculo de radio r es igual a: pr 2.
b) La longitud de una circunferencia de radio r es igual a: 2pr.
1. Con los datos del enunciado, se completa la siguiente tabla:
Primera
constructora
Segunda
constructora
68
Costo por m2
de piso
(dlares)
30
Costo por m del cerco

circular
(dlares)
25
Costo fijo por gastos

administrativos
(dlares)
250
28
30
650
2. Usando las frmulas para calcular el rea y longitud de una circunferencia, se

completa la siguiente tabla:
C1(r) = 30r 2 + 25(2r) + 250
y
C2(r) = 28r 2 + 30(2r) + 650
Tabla de costos para construir el establo
Costo total (dlares)
Longitud del radio (metros)

6
3.
Primera compaa
Segunda compaa
4 585,394
4 947,695
7 538,489
7 787,692
10
11 245,565
11 331,406
12
15 706,623
15 578,836
14
20 921,662
20 529,982
16
26 890,683
26 184,844
18
33 613,686
32 543,422
20
41 090,670
39 605,716
A continuacin se esbozan las grficas de los costos de ambas propuestas:
40000
30000
20000
10000
10
15
20
69
4.

Existir algn valor de r para el cual resultar lo mismo contratar a cualquiera

de las dos constructoras?
De acuerdo con la grfica y con la tabla de valores se puede afirmar que s existe
dicho valor. Este se encuentra entre el valor 10 y 12. Y se puede obtener con
exactitud igualando los dos costos y resolviendo una ecuacin cuadrtica. Se
denominar a este valor c0.
Cul de las dos propuestas le conviene a Aurelio? Por qu?
Si el radio del piso del establo es menor que el valor c0, le conviene la propuesta
de la primera compaa y si el radio es mayor que c0, le conviene la propuesta de
la segunda compaa.
Las expresiones algebraicas correspondientes a los costos totales de la primera y

segunda compaa,
C1(r ) = 30r 2 + 25(2r) + 250
y
2
C2(r ) = 28r + 30(2r) + 650
corresponden a funciones cuadrticas.
La situacin estudiada permite mostrar la existencia de funciones no lineales como,
por ejemplo, la funcin cuadrtica.
Qu es una funcin cuadrtica?
Una funcin cuadrtica es una correspondencia de variable real y de valor
real definida por:
f :R R
x a f ( x ) = ax 2 + bx + c
donde a , b y c son nmeros reales, con a =/ 0.
La funcin cuadrtica, al igual que la funcin constante y lineal, corresponde al

conjunto de funciones polinmicas.
70
Cmo graficar una funcin cuadrtica?

La grfica de una funcin cuadrtica es una parbola, la cual se puede abrir hacia
arriba o hacia abajo; esto depender del signo de la constante a. As, si a >0, la parbola
se abre hacia arriba y si a < 0, la parbola se abre hacia abajo. Una vez identificada
la direccin de la abertura, interesar identificar las coordenadas del vrtice de la
parbola para proceder a graficarla.
Sea V = (h, k) el vrtice de la parbola asociada a la funcin cuadrtica f(x) = ax 2 +
bx + c. Para identificar el vrtice V = (h, k) se seguir el siguiente procedimiento:
2
f ( x ) = ax + bx + c = a ( x +
2
= a(x +
b
a
x+
= a(x +
b
2a
b
2a
) a
b
) a
x) + c
2a
+c
+c
2a
Como se puede observar, se ha completado cuadrados para expresar f en la forma

cannica:
f(x) = a (x h)2 + k.
donde: h =
b
2a
, k = f (h) = c
4a
Ntese que debemos tomar en cuenta los dos casos siguientes:

si a > 0, la funcin toma valor mnimo cuando x = h.
si a < 0, la funcin toma valor mximo cuando x = h.
Para mejorar el grfico de la funcin cuadrtica es conveniente hallar las intersecciones
de la grfica de la funcin con los ejes coordenados, en caso de que las hubiere.
Para ello se debe calcular (0; f(0), (x1; 0), y (x 2; 0), donde x1 y x 2 son las soluciones
reales de la ecuacin a(x - h)2 + k = 0.
71
Por ejemplo:
Grafique la funcin cuadrtica f(x) = x 2 + 6x + 5, y seale las coordenadas de su vrtice,
de los puntos de corte con los ejes de coordenadas, y su dominio y rango.
Solucin propuesta
En primer lugar, se identifican los coeficientes a = 1; b = 6; c = 5. De acuerdo con
esto, como a > 0, la parbola se abre hacia arriba.
A continuacin se identifica el vrtice. Para ello es necesario completar cuadrados
reescribiendo la funcin:
2
f (x) = x + 6x + 5
2
= (x + 6x +
6
2
6
2
+5
= ( x + 3) 9 + 5
2
= ( x + 3) 4
Por tanto, el vrtice es V = (h; k) = (3; 4).

Se calculan los puntos de interseccin con los ejes coordenados:
Si la grfica de f corta el eje y, entonces ese punto de interseccin debe tener
abscisa igual a cero:
x = 0, f(0 )= 5. Luego, el punto de interseccin con el eje x es (0; 5).
Si la grfica de f corta el eje x, entonces ese punto de interseccin debe tener
ordenada igual a cero:
y = 0, f(x) = 0.
Esto ocurrir cuando (x + 3)2 4 = 0
(x + 3)2 = 4
x + 3 = 2 x + 3 = 2
x = 1 x = 5
72
Luego, los puntos de interseccin con el eje y son (1;0) y (5;0).

y
Finalmente, se calcula el dominio Dom( f ) = R y el rango Ran(f ) = [4; +[.
Nota: En algunos problemas, segn el contexto, el dominio de la funcin debera ser

solo los nmeros enteros o los enteros positivos. Sin embargo, se considerar como
dominio el conjunto de nmeros reales o de reales positivos para efectos grficos.
73

Problemas 2.4
1. Represente grficamente las siguientes funciones y halle su dominio y rango.

a) f(x) = (x + 2)2 5
b) f(x) = x 2 + 4
c) f(x) = x 2 3
d) y = 2x 2
e) y = 7x 2
f) y = 3x 2 8
2. Escriba las siguientes funciones en la forma f(x) = a(x-h)2 + k y halle su dominio,
su rango y los puntos de interseccin con los ejes coordenados.
a) f(x) = 2x 2 + 8x 1
b) f(x) = x 2 + 6x + 9
c) f(x) = 3x 2 + 6x
3. Escriba la siguiente funcin f(x) = 4x 2 8x 1 en la forma f(x) = a(x h)2 + k
completando cuadrados y grafquela sealando dominio, rango y los puntos de
interseccin con los ejes coordenados.
4. Dado un rectngulo de permetro 16, exprese el rea de dicho rectngulo en funcin de uno de sus lados, e indique los valores que puede tomar dicha variable.
5. Desde un can se lanza un proyectil que sigue una trayectoria parablica, segn
el grfico que se muestra a continuacin.
El eje x representa los kilmetros lineales recorridos y el eje y, la altura.
15
10
a) Si la altura alcanzada es de 5 m, es cierto que el proyectil ha recorrido menos

de 2 km lineales?
b) Segn el grfico mostrado, es cierto que a cada valor de la altura le corresponde un nico elemento del dominio?
74
6. Un granjero cercar un campo rectangular, como se muestra en la figura, pero no

ser necesario cercar a lo largo del ro. Si se sabe que el permetro que se cercar es
de 3 400 m, exprese el rea del campo en funcin del ancho x de este.
campo
rectangular
ro

La expresin obtenida para el rea del campo rectangular corresponde a una

funcin lineal o cuadrtica? Indique cul es el dominio de la funcin obtenida.
7. La utilidad U de una empresa, en miles de dlares, est dada por la siguiente
expresin: U(x) = (x 5)2 + 4, donde x representa el nmero de cientos de unidades producidas y vendidas.
a) Halle la utilidad que obtendr la empresa si vende 600 unidades. Explique
qu significa el resultado obtenido.
b) Halle la utilidad que obtendr la empresa si vende 450 unidades. Explique
qu significa el resultado obtenido.
c) Grafique la funcin U.
d) Halle el nmero de unidades que se deben producir y vender para obtener
la mxima utilidad posible, y halle la mxima utilidad posible.
8. Una empresa que se dedica a la produccin de cierto artculo tiene un costo fijo
mensual de S/. 300 y un costo variable por unidad producida de S/. 10. Adems, se
sabe que su ingreso est dado por la siguiente expresin: I(x) = 0,1x2 + 100x, donde
x es el nmero de artculos que produce y vende la empresa mensualmente.
a) Determine la utilidad mensual de la empresa en funcin de x.
b) Halle la utilidad que obtendr la empresa si produce y vende 200 artculos.
c) Halle el nmero de artculos que debe producir y vender la empresa para
obtener la mxima utilidad, y calcule la mxima utilidad.
9. Don Miguel recibe la siguiente informacin de su servicentro acerca del rendimiento de la gasolina de un auto: el nmero T de kilmetros que puede viajar
un automvil con un galn de gasolina depende de la velocidad x en kilmetros
por hora, donde ambas magnitudes se relacionan mediante la siguiente expresin
matemtica: T(x) = 2x 2 + 80x 760 para 16 < x < 24.
75
a) Exprese T en la forma T(x) = a(x h)2 + k; es decir, halle a, h y k.

b) Grafique la funcin definida en a).
c) Cul es la velocidad que proporciona el nmero mximo de kilmetros por
galn?
d) Cul es el mximo nmero de kilmetros por galn que puede rendir la
gasolina para este auto?
10. Jos y Pedro son dueos de una empresa de alquiler de autos. La utilidad en
soles que ellos tienen por alquilar un auto
durante un tiempo t (en horas) est dada
por: U(t) = t 2 + 8t.
a) Si ellos alquilan un auto durante 2
horas, cunto obtendrn de utilidad?
b) Si ellos alquilan un auto durante 6
horas, cunto obtendrn de utilidad?
c) Esboce la grfica de U, e indique su vrtice y las coordenadas de los puntos
de corte con los ejes coordenados.
d) Halle el tiempo que debern alquilar un auto para obtener la mayor utilidad
posible y el valor de la mxima utilidad.
11. La agencia de viajes Volar.com es una de las de mayor xito en Amrica Latina.
Desde una PC, en esta direccin se puede conseguie las mejores ofertas de vuelos.
Esta agencia mensualmente vende 5000 pasajes a una tarifa promedio de $400
por persona, en vuelos de Lima a Nueva York.

Luego de un estudio, se encontr que por cada 4 dlares de aumento al precio

del pasaje, se dejaban de vender mensualmente 5 pasajes.
a) Halle la expresin matemtica que relaciona precio de pasajes p y el nmero
de pasajes vendidos n.
b) Halle el ingreso que recibe la agencia si el precio que se cobra por pasaje es p.
c) Que precio debe asignarse a un pasaje para obtener el mayor ingreso posible?
12. El dueo de la panadera El Trigalito se encuentra preocupado por el ltimo aumento de la harina de trigo y desea
averiguar cmo ha afectado este acontecimiento la venta
del pan. Luego de un estudio, encontr lo siguiente:
76
Cuando el precio de cada pan era de S/. 0,20, se venda en total 10 000 panes al
da.
Por cada S/. 0,005 de aumento, se dejaban de vender 10 panes diariamente.
a) Con la informacin anterior, complete la siguiente tabla.
Precio por pan
x
Nmero de panes vendidos

diariamente
y
0,20
10 000
0,20 + (1)0,005
10 000 (1)(10)
0,20 + 2(0,005)
0,20 + 3(0,005)
0,20 + 4(0,005)
0,20 + m(0,005)
b) Considerando x = 0,20 + m(0,005), exprese m en trminos de x.

c) Halle la expresin matemtica que relaciona x e y.
d) Halle el ingreso que recibe la panadera en una maana si el precio que se
cobra por cada pan es x.
e) Grafique la funcin encontrada en d) y seale algunos de sus elementos ms
importantes.
f) Qu precio debe asignarse a un pan para obtener el mayor ingreso posible?
13. Durante varios das se observ el comportamiento del precio de 1 kg de pollo y el
nmero de kg que se vendan de esta ave, llegndose a las siguientes conclusiones:
Cuando el precio del kg de pollo era S/. 5, se vendan 50 000 kg de esta ave.
Por cada S/. 0,10 que este precio se incrementaba, se
vendan 500 kg menos.
a) Halle una expresin matemtica que relacione las
variables p y n, donde p es el precio de 1 kg de pollo
y n es el nmero de kg de pollos vendidos.
b) Halle una expresin matemtica para la funcin que
relaciona el precio de 1 kg de pollo con el ingreso
obtenido por las ventas.
77
2.5. Funcin exponencial

Un uso bastante comn de la funcin exponencial es la medicin del ritmo de crecimiento de poblaciones. El tipo de poblaciones cuyo crecimiento desea cuantificarse
va desde bacterias hasta ciudades. Tambin se utiliza este tipo de funcin para medir
la velocidad de propagacin de algn tipo de virus o enfermedad o virus informtico,
como tambin la depreciacin del costo de un vehculo a travs del tiempo. Veamos
algunos ejemplos.
Situacin 9
Carlos compr hace siete aos un terreno cerca de la playa. Su esposa estuvo satisfecha
con dicha inversin, pues en esa zona el valor de las parcelas cada ao es 1,2 veces el
valor del ao anterior.Si actualmente Carlos puede vender dicho terreno en $ 10 000,
a) Cunto le cost el terreno a Carlos?
b) Por cunto lo podra vender el prximo ao? Y dentro
de cinco aos?
c) Si lo hubiera vendido hace un ao, cunto dinero le
hubieran dado por el terreno?
d) Determine la expresin matemtica que permita
obtener el precio de venta del terreno luego de t aos
de haberlo comprado.
e) Dentro de cuntos aos podr vender el terreno al triple de su valor de compra?
Situacin 10
Actualmente, la banca est encontrando en internet un aliado muy importante. Los
clientes utilizan la web para efectuar operaciones bancarias sin asistir a las oficinas
fsicas, pueden ver sus registros actuales, determinar si
un cheque en particular ya ha sido liquidado, solicitar un
crdito nuevo, pagar recibos y hacer cualquier consulta
al banco. Adems, los costos para el banco son cada vez
ms bajos, lo que permite a los bancos en lnea reducir
los costos a sus clientes y darles tasas de inters ms altas
por su dinero.
Para enero de 2010, se estima que en el Per existirn 20 000 clientes que harn uso
de este servicio y que el crecimiento mensual ser de 2% para los aos siguientes.
78
a) Teniendo en cuenta esta prediccin, cuntos clientes de banca por internet

existirn en febrero de 2010?
b) Cuntos clientes de banca por internet existirn en marzo de 2010?
c) Cuntos clientes de banca por internet existirn despus de transcurridos t meses
a partir de enero de 2010?
d) Bosqueje una grfica que relacione el mes (a partir de enero de 2010) con el nmero de clientes de banca por internet. Considere para ello la expresin hallada
en c).
e) Determine, aproximadamente, en qu mes y ao se alcanzarn los 20 millones
de clientes de banca por internet en nuestro pas.
Solucin propuesta
a) En la situacin 10, sea t el tiempo en meses transcurrido desde enero de 2010.
Es decir, considerando t = 0 en enero de 2010, se tendr:
C(0) = 20 000
C(1) = 20 000 + 2 (20 000) = 20 000 (1+ 2 ) = 20 400
100
100
Se estima que existirn 20 400 clientes que harn uso de este servicio.
b) Para determinar el nmero de clientes en marzo, se calcula:

C(2) = 20 400 + 2 (20 400)

100
= 20 400 (1 + 2 )
100
= 20 000 (1 + 2 ) (1 + 2 )
100
100
= 20 000
1+
100
= 20 808
c) El nmero de cliente despus de t meses a partir del 2010 ser:
t
2
t
C(t) = 20 000
1 + 100 , t > C(t) = 20 000 (1,02) , t > 0
d) Se bosquejar una grfica que relacione el nmero de meses transcuridos a partir

de enero de 2010, con el nmero de clientes de banca por internet. Considere
para ello la expresin hallada en c).
79
e) Para determinar, aproximadamente, en qu mes y ao se alcanzarn los 20 millones

de clientes de banca por internet en el pas, se plantea la siguiente igualdad:
20 000 000 = 20 000 (1,02)t
1 000 = (1,02)t
1n (1 000) = 1n((1,02)t)

Por propiedad de logaritmos:

ln (1 000) = t ln (1 , 02 )
t =
ln (1 000 )
ln (1 , 02 )
t = 348, 83

Aproximadamente, debern transcurrir 349 meses, 29 aos y 1 mes; es decir,

en febrero de 2039 se alcanzarn los 20 millones de clientes de banca por internet
en el pas.
Al igual que las funciones lineales y cuadrticas que sirven para construir modelos
matemticos para resolver problemas, existe tambin una funcin que desempea
una labor importante no solo en Matemticas, sino tambin en Finanzas, Economa, Biologa y otras reas de estudio. Esta funcin incluye una constante elevada
80
a un exponente variable, f(x) = kax. Tales funciones reciben el nombre de funciones

exponenciales.
Qu es una funcin exponencial?
Una funcin exponencial es una correspondencia de variable real y de valor
real definida por:
f :R R
x a f ( x ) = Ka x
donde a > 0, a 1; dom(f ) = R y K es una constante positiva.
Si se considera K = 1, se pueden presentar los siguientes casos, de acuerdo con el valor
que tome la constante a.
Caso 1:
Si a > 1, la funcin f(x) = ax es estrictamente creciente.
Su grfica ser de la forma:

Caso 2:
Si 0 < a < 1, la funcin f(x) = ax es estrictamente decreciente.
Su grfica ser de la forma:

En ambos casos, segn las grficas, se nota que el dominio de f es R.
81

Problemas 2.5
1. Grafique y halle el dominio y el rango de las siguientes funciones:

a) f(x) = 3x
b) f(x) = 3 x
c) f(x) = 3x + 1
d) f(x) = 3x 1
e) f(x) = 3 x + 1
f) f(x) = 3 x 1
g) f(x) = 3 x+1
Sugerencia: complete la siguiente tabla para graficar cada funcin.
x
f( x)
-4
-3
-2
-1
2. Dadas las curvas A, B y C, que no cortan el eje horizontal, seale:
a) Cul es la grfica de y = 4 x?
b) Cul es la grfica de y = 0,5x?
3. Encuentre una posible frmula de la forma f(x) = Cax para las funciones representadas por las tablas dadas:
82
f(x)
4, 30
6, 02
8, 43
11, 80
g(t)
5, 50
4, 40
3, 52
2, 82
4. Un cierto frmaco, cuya actividad antipirtica,

analgsica y antiinflamatoria es muy reconocida,
es indicado para el alivio de la fiebre y el dolor, en
las molestias dolorosas que se presentan durante los
procesos gripales, resfros, dolor de garganta, cefalea
y dolor dental. Cuando se le administr cierta dosis
a un paciente, se observ que el nmero de miligramos que permanecan en el torrente sanguneo
disminua 25% respecto a la dosis observada una
hora antes.
Si se considera que la dosis inicial administrada al paciente fue de D 0 miligramos,
a) Cuntos miligramos de dicho frmaco permanecern en el torrente sanguneo
del paciente despus de la primera hora?
b) Cuntos miligramos del frmaco permanecern en el torrente sanguneo
del paciente despus de la segunda hora?
c) Cuntos miligramos del frmaco permanecern en el torrente sanguneo
del paciente despus de t horas?
d) Represente grficamente la expresin encontrada en la pregunta anterior,
considerando D 0 = 10 mg.
e) Es cierto que, llegado un momento, el frmaco desaparecer totalmente del
torrente sanguneo? Por qu?
f) Cuntas horas han transcurrido desde la administracin de la dosis inicial D 0,
si en el torrente sanguneo permanecen an 0,5 D0 mg de dicho frmaco?
5. A causa de una recesin econmica, la poblacin de cierta rea urbana disminuye
a razn de 1% anual. Al inicio la poblacin era de 100 000 habitantes.
a) Cul ser la poblacin despus de tres aos?
b) Cuntos aos tienen que pasar para que la poblacin sea de 92 274 habitantes?
6. Las ciudades A y B en la actualidad tienen poblaciones de 70 000 y 60 000
habitantes, respectivamente. La ciudad A crece a razn de 4% anual y la B crece
a razn de 5% anual.
a) Determine la diferencia entre las poblaciones luego de cinco aos.
b) Despus de cunto tiempo las poblaciones sern iguales?
D las respuestas aproximndolas al valor entero ms cercano.
83
7. La poblacin proyectada de una ciudad est dada por P(t) = 125 000(1,11)t/20,
donde t es el nmero de aos despus de 1995.
a) Cul ser la poblacin en el 2015?
b) Cunto tiempo tiene que pasar para que la poblacin sea el doble de la
poblacin obtenida en el 2003?
8. Es posible medir la concentracin de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones mdicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de
tener un accidente automovilstico se modela mediante la ecuacin: R = 6ekx, donde
x es la concentracin variable de alcohol en la sangre y k es un valor constante.
a) Suponga usted que una concentracin de alcohol en la sangre de 0,04 produce
un riesgo de 10% (R = 10) de sufrir un accidente. Determine la constante k
de la ecuacin.
b) Utilice el valor de k e indique cul es el riesgo si la concentracin es de 0,017.
c) Con el mismo valor de k, encuentre la concentracin de alcohol correspondiente a un riesgo de 100%.
d) Si la ley establece que el riesgo de las personas que sufren un accidente es
mayor o igual al 20%, con qu concentracin de alcohol en la sangre debe
ser arrestado y multado un conductor?
9. Suponga que le ofrecen un empleo que dura un mes y por el cual se le pagar muy
bien. Cul de los siguientes mtodos de pago sera ms rentable para usted?
a) Un milln de soles a fin de mes.
b) 2 cntimos el primer da del mes, 4 cntimos el segundo da, 8 cntimos el
tercer da, y, en general, 2n cntimos en el ensimo da.
10. La recuperacin normal de una herida se puede modelar mediante una funcin
exponencial. Si A 0 representa el rea original de la herida y A es igual al rea de
la herida despus de n das, entonces tenemos la frmula:
A = A0e0,35n
Describa el rea de una herida en el ensimo da despus
de una lesin, si no hay infecciones que retarden la recuperacin.
Suponga que una herida tiene un rea inicial de 1 cm2.
a) En un proceso de recuperacin, cuntos das deben
transcurrir antes de que la herida tenga la mitad de
su tamao original?
b) Cunto tiempo debe transcurrir antes de que tenga
10% de su tamao original?
84
11. Un supermercado de nuestra ciudad ha determinado que el volumen de ventas

puede modelarse mediante la ecuacin:
S(x) = Aekx, 0 < x <5,

donde x es el nmero de semanas despus de

promover cierta venta y A es una constante
real positiva.
El volumen de ventas al final de la primera
y la tercera semana fue de $ 78 515 y
$ 60 055, respectivamente.
Responda a las siguientes preguntas. Utilice
una calculadora.
a) Halle la constante de decaimiento k.
b) Determine la constante de proporcionalidad A.
c) Utilice los valores de A y k obtenidos para encontrar el volumen de ventas
en las siguientes semanas:
Semana
Volumen (S/.)
d) Halle el volumen de ventas en la cuarta semana.

e) Represente la funcin S a travs de una grfica e interprete dicha grfica.
f) Despus de cuntos das el supermercado tendr un volumen de ventas de
$ 50 000?
12. Patricia, gerente administradora de M&D, empresa familiar dedicada a la venta de artculos para
damas, ha encomendado a su hermana Mariela
que investigue acerca de cmo se han ido incrementando sus ganancias en el departamento de
prendas de vestir en los ltimos aos. Mariela,
al revisar los registros de ganancias, observa que
las ganancias crecieron de $ 15 000 en 1985 a
$ 30 000 en el 2005. Con los conocimientos
adquiridos luego de haber llevado el curso de
Matemticas en una prestigiosa universidad,
85
Mariela ha decidido encontrar expresiones matemticas que representen dichas

ganancias en el tiempo, tarea que realiza con mucho xito.
Si x es el nmero de aos transcurridos a partir de 1985, resuelva lo siguiente:
a) Suponiendo que la ganancia ha crecido linealmente, determine una expresin
matemtica que represente dicho pago en trminos de x.
b) Suponiendo que la ganancia ha crecido exponencialmente, determine una
expresin matemtica (de la forma ) que represente dicho pago.
c) Use la expresin encontrada en la parte a) para completar la columna (I) y
la expresin encontrada en b) para completar la columna (II) de la siguiente
tabla.
x
(I) Crecimiento lineal de las ventas
(II) Crecimiento exponencial de las ventas
15 000
15 000
30 000
30 000
5
10
15
20
25
30
d) En un mismo sistema de coordenadas, bosqueje las funciones representadas

en las columnas (I) y (II) de la tabla anterior.
2.6. Anlisis de grficas

Tal como estudiamos las escalas en el captulo 1, debemos ahora aprender a analizar
los grficos de distintos tipos de funciones. Los grficos son, muchas veces, una
manera sencilla y econmica de representar gran cantidad de informacin. Qu tan
fcil sea para nosotros interpretar las grficas depender de cunto nos entrenemos
en esta labor. Por ltimo, qu tan bien entrenados estemos nos ayudar a detectar
en las grficas errores que por descuido o por una manipulacin deliberada de los
datos deforman la informacin en la que se basan las grficas. Esto es de parti-
86
cular importancia si pensamos en el uso que se da a las grficas; por ejemplo, en el

medio publicitario (recordemos los informes de rentabilidad de las AFP, los bancos,
la reduccin del porcentaje de caloras por el consumo habitual de algn producto,
etctera). A dicho entrenamiento est dedicado este subcaptulo.
Situacin 11
A continuacin se muestra informacin relacionada con el perfil del adulto mayor
en el Per y en el mundo.
Fuentes: Instituto Nacional de Estadstica e Informtica y Ministerio de la Mujer y el Desarrollo. Plan

Nacional para las Personas Adultas Mayores 2006-2010. Lima: INEI y MIMDES.

Encuesta Nacional de Hogares (2003-2004)
Comente el grfico:
a) Sealando qu variables se relacionan.
b) Explicando primero el comportamiento de dichas variable en el Per y luego en
el mundo.
c) Elaborando dos conclusiones que resulten de comparar los dos grficos.
d) Mostrando que la grfica de la esperanza de vida en el mundo no es una recta.
e) Explicando por qu la grfica de la esperanza de vida en el mundo parece una
recta.
87
Solucin propuesta
a) El grfico relaciona la esperanza de vida al nacer en el Per y el mundo a lo
largo del tiempo. Por lo tanto, las variables relacionadas son esperanza de vida y
tiempo.
b) Entre 1950 y 2050, la esperanza de vida en el Per es siempre mayor que la esperanza de vida en el mundo, excepto en 1972. En 1970, la esperanza de vida en el
Per fue de 54 aos en promedio, y a partir de ese ao ha ido incrementndose
con un crecimiento no constante. En 1950, la esperanza de vida en el mundo
fue de 46 aos en promedio y aparentemente ha ido incrementndose en forma
constante con el transcurso de los aos.
c) La esperanza de vida en el Per siempre es mayor que la esperanza de vida en el
mundo excepto en 1972 en el que fue la misma (55,5 aos).
d) No es una recta, porque al calcular las pendientes para distintos intervalos de
tiempo estas son diferentes. As, por ejemplo, de 1950 a 1972 la pendiente es
0,43; mientras que de 1972 a 2005 la pendiente es 0,32.
e) Porque los intervalos de tiempo en el eje X tienen diferente longitud en aos.
88

Problemas 2.6
1. El siguiente grfico muestra el nmero de huelgas a nivel nacional reportadas por

el Instituto Nacional de Estadstica e Informtica (INEI) entre 1985 y el 2007.
PERU 1985-2007: NUMERO DE HUELGAS A NIVEL NACIONAL REPORTADAS

POR INEI SEGN AOS
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
1985
1990
1995
2000
2005
2010
A partir de los datos mostrados en el cuadro, responda a las siguientes preguntas:

a) Qu variables se relacionan?
b) Es posible determinar el dominio y rango de la funcin representada en el
grfico? Son estas variables discretas o continuas?
c) Segn la grfica, en qu ao se realiz el mayor nmero de huelgas?
d) Cmo se podra obtener el nmero total de huelgas entre 1995 y el 2007?
89
2. La siguiente grfica representa a la funcin f :

y
-4
-1
-2
4 x
-2
-4
a)
b)
c)
d)
Determine el dominio y el rango de f.

Encuentre los intervalos donde f es creciente, decreciente o constante.
Encuentre el valor mximo y el valor mnimo de f.
Evale la expresin:
E =
f ( 4) + 3 f (0)
f ( 5 f ( 2 ))
e) Es posible encontrar los valores de f (1) y f (3)?

3. En el grfico siguiente se muestra la distancia que recorre un estudiante en su
camino de 10 minutos a la escuela,
s (distancia)
7
6
5
4
3
2
1
-1
-1
9 10 11
t(tiempo)
donde el tiempo t est dado en minutos y la distancia s en millas.

a) D una descripcin verbal de las caractersticas del recorrido del estudiante
hacia la escuela.
b) Encuentre la regla de correspondencia asociada a la grfica de la funcin.
90
4. El siguiente grfico muestra el nmero de desapariciones forzadas atribuidas a

las fuerzas policiales reportadas a la Comisin de la Verdad y Reconciliacin
PER 1980-2000: DESAPARICIONES FORZADAS ATRIBUIDAS A LAS
(CVR) en lasFUERZAS
zonas de
emergencia en Per entre 1980 y el 2000.
POLICIALES REPORTADAS A LA CVR SEGN AO
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 99 100
A partir de los datos mostrados en el cuadro, responda a las siguientes preguntas:

a) Qu variables se relacionan?
b) Es posible determinar el dominio y rango de la funcin? Son estas variables
discretas o continuas?
c) Es posible determinar la regla de correspondencia para el grfico que se
presenta?
d) Segn la grfica, entre qu aos la zona de emergencia tuvo el mayor nmero
de desapariciones forzadas?
e) Podra inferirse, a partir de la grfica, que el ao en que ms abusos cometieron las fuerzas policiales fue tambin el ao en que ms recrudeci el
terrorismo?
f) Cmo se podra obtener el nmero total de desapariciones forzadas entre
1980 y el 2000?
91
Captulo 3
Anlisis de datos
Desde la Antigedad, el ser humano ha requerido mantener un registro de diferentes

tipos de datos: ya sea la cantidad de trigo o maz producido, el vino almacenado, los
tributos recaudados, etctera. Las diferentes organizaciones y sociedades humanas
se han servido de una serie de recursos para poder hacer fcil el registro de toda esta
informacin, su comparacin y manejo. As, segn una hiptesis bastante plausible,
los incas quienes habitaron y gobernaron sobre gran parte de lo que hoy son los
pases de Per, Ecuador, Bolivia, Chile, Argentina y Venezuela utilizaron los
quipus como una herramienta sumamente sofisticada para registrar la informacin
importante para la manutencin del Tahuantinsuyu. Hoy en da, tambin los Estados modernos requieren tener un conocimiento preciso de cmo ha evolucionado la
produccin de ciertas materias primas, el ritmo de crecimiento o decrecimiento de
su tasa de natalidad/mortalidad, etctera. Por ello es fundamental el estudio de la
Estadstica, la cual en sus diferentes ramas sirve para organizar de manera sencilla
gran cantidad de informacin para compararla y para que, eventualmente, tomando
en cuenta la informacin recopilada y organizada, se puedan tomar decisiones adecuadas a la realidad del pas.
En este captulo estudiaremos algunos conceptos elementales de la Estadstica: qu se
entiende por variable estadstica, qu tipos de variables estadsticas existen, qu tipos
de grficos pueden ser tiles para representar datos estadsticos y, por ltimo, de qu
manera podemos obtener medidas representativas de la poblacin que estudiamos
y cmo podemos dividirla (o cmo podemos agrupar cierto nmero de datos) de
acuerdo con nuestras necesidades.
3.1. Variable estadstica. Definicin. Clasificacin

Cuando necesitamos describir a una persona podemos apelar a una serie de caractersticas de diverso tipo, que van desde caractersticas fsicas (altura, peso, color de
ojos, color de cabello, etctera) hasta preferencias musicales o deportivas (escucha
solo rock, salsa, mambo; es hincha de Universitario de Deportes, Alianza Lima,
Deportivo Municipal, etctera), pasando por la profesin (psiclogo, abogado, socilogo, etctera) o la localidad de residencia (Lima, Los Olivos, Pueblo Libre, Callao,
etctera). La eleccin de una de estas caractersticas depender de las necesidades
que debamos satisfacer en el estudio que realicemos. Por ejemplo, imaginemos que
para la campaa presidencial del 2011 deseamos conocer qu personas apoyarn al
Partido de Abogados Unidos. Al realizar una encuesta, tal vez nos interese saber no
solo quines apoyan al partido, sino complementar esta informacin con la ocupacin
a la que se dedican, el nivel de ingresos que tienen en su trabajo, etctera, con el fin
de planificar el resto de la campaa. Podramos, por ejemplo, tener un cuadro donde
se indique en las personas mayores de 50 aos cuntas de ellas apoyan a este
partido, o cuntas personas entre 18 y 25 aos que sean estudiantes universitarios
an no conocen el plan de gobierno del partido. En cualquier caso, cada una de las
caractersticas que hemos sealado puede constituir una perspectiva de anlisis de
una poblacin. A discriminar el distinto modo de trabajo con estos tipos de datos est
dedicado este subcaptulo. En seguida, encontraremos situaciones problema que nos
permitirn fcilmente reconocer cundo es vlido hablar de variables estadsticas,
as como diferenciar sus distintas clases.
Situacin 1
Federico es un estudiante que cursa
el octavo ciclo de Antropologa y un
grupo de investigadores lo ha invitado
para hacer un censo en una comunidad
ashninka ubicada en el departamento
de Loreto. Federico est encargado de
estudiar las variables que se muestran
en la tabla.
94
En la segunda columna, escriba una de las posibles respuestas que puede dar un
comunero ashninka.
En la tercera columna, indique de qu tipo son las variables estudiadas por
Federico.
Variable estudiada
Posible respuesta
Tipo de variable
El tiempo que se demora en llegar de su comunidad

a la ciudad de Iquitos
El grado de instruccin que posee
El nmero de hijos que tiene
Su edad
Su religin
Su ingreso semanal
Su estado civil
Su estatura
Situacin 2
Los alumnos de la especialidad de Publicidad necesitan averiguar ciertos datos acerca
de los alumnos matriculados en un curso de Matemticas con la intencin de disear
la campaa publicitaria para un nuevo producto. Dado que son muchos alumnos,
escogen una muestra de 50 personas. Los datos que se recabarn de cada alumno
son los siguientes:
Gnero
Especialidad en la que est matriculado
Escala de pago
Nivel de agrado por las matemticas (de 1 a 4, de menor a mayor nivel de agrado)
Orden de mrito en el examen de ingreso
Nmero de cursos en que est matriculado
Nmero de veces que ha llevado el curso de Matemticas
Nivel socioeconmico
Edad (en aos cumplidos)
a) D las posibles respuestas de dos alumnos a cada una de las preguntas.
b) Tiene sentido calcular la media aritmtica (suma de respuestas entre el nmero
de respuestas) para cada una de los datos que se recolectarn? Por qu?
95
Solucin propuesta
a)

Algunas posibles respuestas son las siguientes:

Masculino, femenino
Derecho y Psicologa
1 y 5
2 y 3
Primer puesto y tercer puesto
4 y 6
1 y 3
Bajo y alto
17 y 19
b) Calcular la media aritmtica solo tiene sentido para el nmero de cursos en que
est matriculado, nmero de veces que ha llevado el curso de Matemticas y edad
en aos cumplidos.
Las situaciones 1 y 2 han servido para introducir el tema de variables estadsticas. A
continuacin se presentan algunas definiciones elementales.
96
Definiciones elementales
Estadstica: es una ciencia que se ocupa de la recoleccin, organizacin, presentacin
y del anlisis de datos. La Estadstica descriptiva se ocupa de describir lo que ocurre
en una muestra de datos, mientras que la Estadstica inferencial se ocupa de, a partir
de los resultados obtenidos de una muestra relativamente pequea, hacer inferencias o
generalizaciones con un margen de error.
Poblacin: es un conjunto cuyos elementos tienen caractersticas que se pueden observar
o medir. Es el conjunto formado por los sujetos que van a ser materia de estudio, los
cuales pueden ser personas, animales, objetos, instituciones, etctera.
Muestra: es una parte de la poblacin que se selecciona para hacer un estudio. Lo ideal es
que se elija de modo que sea representativa para que aporte informacin confiable sobre
la poblacin en su conjunto, sin necesidad de estudiar a todos los individuos de esta.
Variables estadsticas: una variable estadstica es una propiedad o caracterstica de los
elementos que componen una determinada poblacin. Dicha caracterstica debe ser factible de medirse u observarse. As, por ejemplo, en la poblacin formada por los alumnos
de una determinada clase, se pueden estudiar variables como la estatura, el nmero de
hermanos, el nmero de cursos que llevan en un semestre acadmico, el sexo, etctera. Al
observarse o medirse una variable en un determinado sujeto de la poblacin, se obtiene
un dato estadstico.
Tipos de variables
Una forma de clasificar las variables es la siguiente:
1. Variables cuantitativas

Son aquellas que se pueden medir de manera que produzcan datos numricos. Los
datos son numricos cuando se pueden realizar operaciones aritmticas con los
valores de dichos datos y estas operaciones tienen significado.

Son ejemplos de variables cuantitativas la edad, los ingresos mensuales, el costo de
un producto, la nota final en el curso de Matemticas, etctera.

Las variables cuantitativas se clasifican a su vez en: cuantitativas continuas y cuantitativas discretas.
1.1. Variables cuantitativas continuas
Son aquellas cuyos valores posibles constituyen un intervalo.
97
Ejemplos: la temperatura, la velocidad de un auto, la capacidad de un recipiente, el

peso, etctera.
1.2. Variables cuantitativas discretas

Son aquellas cuyos valores posibles se pueden enumerar.
Ejemplos: el nmero de hijos de una familia, que pueden ser 0, 1, 2, etctera, pero
no un valor intermedio; el nmero de crditos que puede llevar un alumno de la
universidad, que pueden ser 0; 1; 1,5; 2; 2,5; etctera, pero no un valor intermedio,
por ejemplo, 2,66 crditos.
2. Variables cualitativas

Son aquellas que solo se pueden medir en datos que expresan distintas cualidades,
las cuales no pueden traducirse numricamente. Los diferentes valores que toma una
variable cualitativa se denominan cualidades o atributos; la medicin consiste en
clasificar a cada sujeto de la poblacin en dichos atributos. Son ejemplos de variables
cualitativas: el gnero, el lugar de residencia, el nivel socioeconmico, etctera.

Las variables cualitativas pueden a su vez tener un nivel de medicin nominal u ordinal.

98
2.1. Variables cualitativas ordinales

Cuando los valores que toma la variable se pueden ordenar siguiendo alguna escala
establecida, de manera que dicho orden expresa un grado de posesin de la caracterstica medida en la variable.
Ejemplos:
El nivel de dominio de un idioma hablado que puede clasificarse en elemental, medio,
avanzado, excelente; el grado de instruccin de una persona que puede clasificarse
en: inicial, primaria, secundaria, superior; etctera.
2.2. Variables cualitativas nominales
Son aquellas en las que no se puede establecer un orden para los atributos. nicamente
clasifican en categoras a los sujetos de la poblacin. Ejemplos: el color de cabello en
las personas. el gnero, el curso preferido, etctera.
Situacin 3
Para cada una de las siguientes variables, seale si se trata de una variable cualitativa
nominal, cualitativa ordinal, cuantitativa discreta o cuantitativa continua.
a) Religin profesada
b) Marca de gaseosa favorita
c) Estatura
d) Nivel de aceptacin del gobierno actual (de 0 a 5, de menor a mayor aceptacin)
e) Nivel socioeconmico
f) Restaurante favorito
g) Gasto diario (en soles) por concepto de alimentacin
h) Nmero de hermanos
Solucin propuesta
a) Cualitativa nominal
b) Cualitativa nominal
c) Cuantitativa continua
d) Cualitativa ordinal
e) Cualitativa ordinal
f) Cualitativa nominal
g) Cuantitativa continua (por convencin)
h) Cuantitativa discreta
99

Problemas 3.1
1. Para cada una de las siguientes variables, seale si se trata de una variable cualitativa nominal, cualitativa ordinal, cuantitativa discreta o cuantitativa continua.
a) Sueldo de un empleado
b) Marca de chocolate favorito
c) Estado civil de una persona
d) Grado de instruccin de una persona
e) Religin practicada por una persona
f) Grado de acuerdo o desacuerdo con la poltica de gobierno
g) Edad de una persona
h) Preferencia poltica
i) Cantidad de acciones vendidas diariamente en la Bolsa de Valores
2. Para cada una de las siguientes variables, indique si se trata de una variable
cualitativa o cuantitativa, y si es del tipo ordinal, nominal, discreta o continua.
Seale una posible poblacin de estudio para cada caso.
a) Distrito de residencia
b) Tiempo que emplea en desplazarse de su casa a su centro de estudios
c) Emisora radial favorita
d) Nmero de veces al mes que come en un restaurante de comida rpida
e) Cantidad de telfonos celulares que ha tenido hasta hoy
f) Rendimiento en el curso de Matemticas (muy bueno, bueno, regular,
malo).
3. En el siguiente grfico, se muestran los resultados de una encuesta realizada a
un grupo de habitantes del distrito de San Miguel.
NMERO DE ENTREVISTADOS POR NIVEL
DE ESTUDIOS
46
1
28
34
42
NIVEL DE ESTUDIO
a) Determine la variable estadstica involucrada y seale de qu tipo es.
100
b) Determine cul fue la muestra y seale una posible poblacin sobre la cual
se hizo el estudio.
4. En la siguiente tabla, se muestra informacin acerca del nmero de vehculos de
transporte pblico que toman en un da un grupo de estudiantes de la Universidad del Futuro para desplazarse de su casa a la universidad.

Nmero de vehculos de
transporte pblico que
toma al da
Nmero de
estudiantes
0 vehculos
1 vehculos
2 vehculos
3 vehculos
4 vehculos
34
67
161
45
68
Total
375

se hizo el estudio.
3.2. Tablas de distribucin de frecuencias para una variable

Ahora que hemos visto con qu tipos de variables podemos encontrarnos, debemos
estudiar de qu manera podemos tabular los datos con los que trabajaremos con el fin
de organizar la informacin de manera sistemtica y significativa. En gran medida, el
tipo de tabla y las caractersticas particulares de estas dependern de nuestra pericia
como usuarios de la Estadstica para tabular los datos y distribuirlos de tal modo que
el resultado sea til y comprensible.
Situacin 4
Mara Fernanda entrevist a un grupo de 50 personas acerca del tipo de programa
de televisin que prefiere ver. Ella utiliz los siguientes cdigos para registrar su
informacin:
A: Aventura
C: Comedia
D: Deporte
E: Ecologa
H: Historia
M: Msica
N: Noticias
S: Suspenso
T: Telenovelas
101
Los datos que Mara Fernanda registr son los siguientes:

N
Represente los datos en una tabla de frecuencias.

Situacin 5
A 20 alumnas se les pregunt cul de los siguientes colores preferan usar en el verano:
azul, rojo o blanco. Los datos que se obtuvieron se presentan a continuacin en dos
tablas diferentes.
Tabla 1
Rojo
Blanco
Blanco
Azul
Blanco
Azul
Azul
Azul
Azul
Rojo
Blanco
Blanco
Blanco
Blanco
Azul
Azul
Rojo
Azul
Azul
Blanco
Tabla 2
Color de polo
Cantidad de alumnas
Rojo
Blanco
Azul
Total
20
Cmo se podra garantizar que ambas tablas representan la misma informacin?

De cul de las dos maneras conviene presentar los datos, como en la tabla 1 o como
en la tabla 2? Justifique su respuesta.
Solucin propuesta
Ambas tablas representan la misma informacin, pues luego de contar las respuestas
dadas para cada color se puede construir la segunda. La segunda tabla resulta ms
conveniente si lo que se desea es observar la cantidad de alumnas que prefieren de-
102
terminado color de polo para el verano. Es decir, la segunda tabla es ms ventajosa

porque presenta la informacin mejor organizada; esto es til cuando se dispone de
muchos datos.
Situacin 6
Los siguientes datos se refieren al nivel socioeconmico (A: alto, M: medio y B: bajo)
de 40 familias de un distrito de Lima.
B
Represente dichos datos siguiendo el esquema de la segunda tabla de la situacin

anterior.
Solucin propuesta
Luego de contar los datos correspondientes a cada valor de la variable considerada
se obtiene la siguiente tabla:
Nivel socioeconmico
Cantidad de familias
Bajo
17
Medio
14
Alto
Total
40
Las situaciones 4, 5 y 6 han servido para mostrar que los datos se pueden organizar
segn una distribucin que indique el nmero de veces que se presenta cada dato.
Luego de medir las variables deseadas en los sujetos de la poblacin estudiada obtenemos
datos. Es necesario organizar estos datos de manera que puedan usarse eficientemente
en una investigacin. La organizacin de los datos comprende la presentacin numrica
y la presentacin grfica. Para la primera se emplearn tablas de frecuencias; para la
segunda se mostrarn los grficos estadsticos ms usados.
103
Tablas de distribucin de frecuencias de una variable

Las distribuciones de frecuencias son cuadros numricos en los que se representa una
variable estadstica. Una distribucin de frecuencias en su forma completa tiene la
siguiente estructura:
Clases
(ci)
Frecuencias
absolutas
(f i)
Frecuencias
relativas
(hi = f i/n)
Frecuencias
acumuladas
(Fi)
Frecuencias
relativas acumuladas (Hi)
c1
f1
h1
F1
H1
c2
.
ck
f2
.
fk
h2
.
hk
F2
.
Fk
H2
.
Hk
Los elementos mnimos indispensables en una distribucin de frecuencias son las

clases y las frecuencias absolutas.
La primera columna, las clases, corresponde a los valores de los atributos, de los
nmeros o de los intervalos de valores en los que se clasifican los datos.
En el caso de las variables cualitativas, las clases son categoras.
Si la variable es cualitativa ordinal, las categoras deben estar ordenadas en
forma creciente o decreciente segn el grado de posesin de la caracterstica
que expresan.
En el caso de las variables cuantitativas discretas, las clases son los valores
numricos distintos que se presentan en los datos.
Cuando la variable cuantitativa es continua se emplean intervalos o clases de
la forma [a; b[; esto es una convencin.
Se emplean algunas reglas empricas para la determinacin del nmero k de
intervalos cuando se tienen n datos. Por ejemplo, se puede elegir k como el
menor entero tal que 2k > n o emplear la regla de Sturges para que el valor de
k sea el menor valor entero mayor o igual que 1 + 3,33 log (n).
Cuando se trata de una variable discreta que toma muchos valores, estos
tambin se suelen agrupar en intervalos.
La frecuencia absoluta de una clase (fi) es el nmero de datos observados en dicha
clase. La suma de todas las frecuencias absolutas debe ser igual al nmero de datos
registrados. As, se verificar que f 1 + f 2 + ...+ f k =n (nmero total de datos).
La frecuencia relativa de una clase (h i) es igual al cociente entre la frecuencia
absoluta y el nmero total de datos; es decir, h i = f i /n. As, se verificar que
h1 + h2 + ... + hk = 1.
104
La frecuencia acumulada (Fi) de una clase se obtiene sumando la frecuencia absoluta de dicha clase con las frecuencias absolutas de todas las clases anteriores.
La frecuencia relativa acumulada de una clase (Hi) se obtiene sumando la frecuencia relativa de dicha clase con las frecuencias relativas de todas las clases
anteriores.
Es preferible trabajar con intervalos o clases con la misma amplitud.

Nosotros utilizaremos, segn el tipo de datos, las siguientes tablas:
Tabla de distribucin de frecuencias para datos sin agrupar
Valores de
la variable
(x i)
Frecuencias
absolutas
(f i)
Frecuencias
relativas
(hi = f i/n)
Frecuencias
acumuladas
(Fi)
Frecuencias relativas
acumuladas
(Hi)
x1
f1
h1
F1
H1
x2
f2
h2
F2
H2
fk
hk
Fk
Hk
Nmero total
de datos (n)
xk

donde: xi es uno de los valores que toma la variable en estudio.
Tabla de distribucin de frecuencias para datos agrupados
Intervalos
[x i - x i+1 [
Marca de
clase
(x i )
Frecuencias
absolutas
(f i)
Frecuencias
relativas
(hi = f i/n)
Frecuencias
acumuladas (Fi)
Frecuencias
relativas acumuladas (Hi)
[x 1 - x 2 [
x1
f1
h1
F1
H1
[x 2 - x 3 [
x 2
f2
h2
F2
H2
[x k - xk+1 ]
x k
fk
hk
Fk
Hk
Nmero
total de
datos (n)
donde:
la marca de clase de un intervalo es el valor medio de los extremos del intervalo. As,
x + x i +1.
en el intervalo [ xi; xi+1 [ , la marca de clase xi ' es igual a: x i ' = i
105
Situacin 7
Se lanzaron 2 dados 80 veces y se anot la suma de los valores obtenidos en la cara
superior de ambos dados, obtenindose los siguientes resultados:
Suma obtenida al
lanzar los dos dados
2
3
4
5
6
7
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Nmero de veces
que esto ocurri
4
8
4
10
2
18
Suma obtenida al Nmero de veces

lanzar los dos dados que esto ocurri
8
12
9
4
10
8
11
4
12
6
Construya la tabla de distribucin de frecuencias asociada a estos datos.

Cuntas veces la suma obtenida fue 6?
Cuntas veces la suma obtenida fue menor o igual a 9?
Cuntas veces la suma obtenida fue mayor que 5?
Qu porcentaje de las observaciones fue 12?
Qu porcentaje de las observaciones fue menor o igual a 10?
Qu porcentaje de las observaciones fue mayor que 6?
Solucin propuesta
a)
Valores de
la variable
(xi)
Frecuencias
absolutas
(fi)
Frecuencias
relativas
(hi = fi/n)
Frecuencias
acumuladas
(Fi)
Frecuencias relativas
acumuladas
(Hi)
0,050
0,05
0,100
12
0,15
0,050
16
0,20
10
0,125
26
0,325
0,025
28
0,35
18
0,225
46
0,575
12
0,150
58
0,725
0,050
62
0,775
10
0,100
70
0,875
11
0,050
74
0,925
12
0,075
80
80
106
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2
62
54
7,5%
87,5%
65%
Situacin 8
A continuacin se presenta la cantidad de kilmetros recorridos en una carrera de
autos por 45 participantes:
63
43
64
59
53
90
53
72
60
64
36
70
52
67
76
49
57
51
57
44
56
62
62
67
73
64
43
60
61
56
59
68
71
67
62
35
62
61
51
63
78
26
55
81
60
a) Construya la tabla de distribucin de frecuencias asociada a estos datos con 8

intervalos de igual amplitud.
b) Cuntos de estos datos son mayores o iguales que 50 y menores que 58?
c) Cuntos de estos datos son menores que 74?
d) Cuntos de estos datos son mayores o iguales que 74?
e) Qu porcentaje de las observaciones es mayor o igual que 42, pero menor que 58?
f) Qu porcentaje de las observaciones es menor que 82?
g) Qu porcentaje de las observaciones es mayor o igual que 82?
Solucin propuesta
a)
Intervalos
[xi; xi+1 [
[ 26 - 34 [
[ 34 - 42 [
[ 42 - 50 [
[ 50 - 58 [
[ 58 - 66 [
[ 66 - 74 [
[ 74 - 82 [
[ 82 - 90 ]
Marca de Frecuencias
clase
absolutas
(xi)
(fi)
30
1
38
2
46
4
54
10
62
16
70
8
78
3
86
1
45
Frecuencias
relativas
(hi = fi/n)
0,02
0,04
0,09
0,22
0,36
0,18
0,07
0,02
1
Frecuencias
acumuladas
(Fi)
1
3
7
17
33
41
44
45
Frecuencias
relativas
acumuladas (Hi)
0,02
0,06
0,15
0,38
0,73
0,91
0,98
1
107
b)

c)
d)
e)
f)
g)
108
1
0
41
4
31%
98%
2%

Problemas 3.2
1. Los siguientes datos muestran los puntajes de un test psicolgico aplicado a 40

nios de un centro de educacin inicial.
31
17
27
20
28
10
34
25
24
15
39
18
30
41
26
12
46
18
23
36
19
29
37
33
27
27
24
26
31
25
28
33
28
22
33
31
29
35
21
a) Seale cul fue la variable estudiada y clasifquela adecuadamente.

b) Se podran representar los datos empleando una tabla como la tabla 2 de la
situacin 5? Sera ventajoso?
c) Recordando que [a; b[ denota los nmeros mayores o iguales que a pero
menores que b, clasifique los datos en los intervalos de valores indicados y
complete el cuadro.
Intervalos de
puntajes
Cantidad de
nios
[4 - 11[
[11 - 18[
[18 - 25[
[25 - 32[
[32 - 39[
[39 - 46]
Total
d) Construya la tabla de distribucin de frecuencias asociada a los datos utilizando los intervalos dados en la parte c).
e) Cuntos nios han obtenido un puntaje menor que 25?
f) Cuntos nios han obtenido un puntaje mayor o igual que 11, pero menor
que 18?
g) Qu porcentaje de nios ha obtenido un puntaje menor que 32?
h) Qu porcentaje de nios ha obtenido un puntaje mayor o igual a 32?
109
2. Considere los siguientes puntajes obtenidos por 40 alumnos en una prueba (sobre
100 puntos) aplicada en una escuela privada:
Tabla 1
82
47
75
64
57
82
63
93
76
68
84
54
88
77
79
80
94
94
80
94
66
81
67
92
75
73
66
87
76
45
40
56
57
74
50
78
71
84
59
76
Tabla 2
Puntaje
[40 - 49[
[49 - 58[
[58 - 67[
[67 - 76[
[76 - 85[
[85 - 94]
Nmero de estudiantes

se hizo el estudio.
c) Conviene presentar la informacin detallada como en la tabla 1 o resumida
como en la tabla 2? Por qu?
d) Construya la tabla de distribucin de frecuencias, considerando 6 intervalos
de igual amplitud.
Empleando la tabla construida en d), responda a las siguientes preguntas:
e) Cuntos alumnos han obtenido un puntaje menor que 76?
f) Cuntos nios han obtenido un puntaje mayor o igual que 49, pero menor
que 58?
g) Qu porcentaje de nios ha obtenido un puntaje menor que 85?
h) Qu porcentaje de nios ha obtenido un puntaje mayor o igual que 85?
110
3. El grfico que se muestra a continuacin representa las estaturas (en centmetros)

de los nios que cursan estudios en la primaria de un colegio. Los nmeros en
el eje horizontal corresponden a los extremos de las bases de los rectngulos
mostrados.
7
6
5
4
3
2
1
0
127
132
137
142
147
152
157
162 cm
a) Construya una tabla de distribucin de frecuencias sealando los intervalos

considerados, sus respectivas marcas de clase y calculando frecuencias absolutas y relativas.
b) Qu porcentaje de los nios mide 142 cm o ms?
3.3. Representacin grfica: circular, de barras y de puntos

Como hemos sealado ya antes, el principal mrito de las representaciones grficas es
presentarnos de manera simplificada y de un golpe de vista gran cantidad de informacin que, de otra manera, sera difcil de manejar e interpretar. Esto tiene particular
relevancia cuando necesitamos exponer frente a un pblico los resultados de una
investigacin que hemos realizado, una anlisis de la situacin de nuestra empresa en
el mercado, la evolucin histrica del precio de algn bien insumo, etctera.
Situacin 9
Los siguientes datos muestran el nmero de discos compactos que tienen 40 estudiantes del curso de Matemticas:
111
Nmero de discos compactos

2
17
23
12
19
14
13
12
19
20
11
10
13
13
16
10
15
17
20
12
11
Elabore un grfico adecuado para representar la situacin mostrada.

Situacin 10
A un grupo de alumnos del primer ciclo de Psicologa se les pregunt cul era su curso
preferido hasta el momento. La informacin se muestra en la siguiente tabla:
Curso preferido
Matemticas
Redaccin
Historia
Otros
Total
Nmero de alumnos
20
15
10
5
50
A continuacin, se presentan dos grficos pero solo uno de ellos corresponde a la

informacin dada en la tabla anterior:
Grfico 2
Grfico 1
Otros
14%
Otros
10%
Matemtica
40%
Historia
20%
Redaccin
30%
Historia
16%
Matemtica
46%
Redaccin
24%
Cul de los dos grficos corresponde a la informacin dada en la tabla? Justifique

la respuesta.
112
Solucin propuesta
El grfico 1 corresponde a la informacin presentada en la tabla, dado que se verifican
los porcentajes para cada curso.
Las situaciones 9 y 10 han servido para introducir el tema de grficos estadsticos.
Existen muchas maneras de representar grficamente la informacin Actualmente,
existen programas informticos que elaboran los grficos con rapidez y permiten una
gran variedad en colores, texturas, formas.
Ante esta variedad de representaciones, cabe preguntarse cul es el tipo de grfico
ms adecuado para representar determinados datos. La respuesta depender de dos
factores:
Los tipos de variables que queremos representar en el grfico.
Lo que queremos mostrar a travs del grfico.
Grficos estadsticos
La finalidad primordial de un grfico es presentar cierta informacin estadstica
de manera visual, pero tambin de manera veraz. Para ello los grficos deben
tener ttulos, rtulos, unidades y todo elemento que permita una correcta
interpretacin de la informacin.
Dentro de los grficos ms usados para representar distribuciones de frecuencias, se encuentran el grfico de barras (o columnas), el grfico de sectores
circulares y el diagrama de puntos.
Grficos de barras
En un grfico de barras se representa cada clase a travs de una barra vertical
(u horizontal) cuya altura (o largo) es proporcional a la frecuencia absoluta
de dicha clase. Los grficos de barras sirven para representar tanto variables
cualitativas como cuantitativas. En el caso de variables cualitativas o de
variables cuantitativas discretas, las barras deben tener una separacin entre
ellas. En el caso de variables cuantitativas continuas, las barras van juntas para
transmitir la idea de continuidad entre los intervalos. Los grficos de barras
juntas reciben el nombre de histogramas.
113
Situacin 11
A continuacin, se muestra informacin sobre el nivel socioeconmico (bajo, medio
y alto) de un grupo de 40 nios de un colegio de Lima.
Nivel
socioeconmico
Bajo
Medio
Alto
Total
Cantidad
de nios
17
14
9
40
a) Seale cul es la variable de estudio y de qu tipo es.

b) Represente grficamente la informacin mostrada en la tabla.
Solucin propuesta
a) La variable de estudio es el nivel socioeconmico que considera las clases: bajo,
medio y alto. Esta variable es cualitativa ordinal.
b) La informacin mostrada se puede representar con un grafico de barras, tal como
se muestra a continuacin:
NIVEL SOCIOECONMICO DE 40 NIOS
N.o de nios
20
17
15
14
9
10
Bajo
Medio
Alto
0
Bajo
Medio
Alto
Situacin 12
El cuadro mostrado presenta informacin sobre el sueldo semanal (en nuevos soles)
de 200 profesores que trabajan en grupos de estudio.
114
Sueldo semanal
(en nuevos soles)
Cantidad de profesores
[150 - 180[
20
[180 - 210[
40
[210 - 240[
50
[240 - 270[
70
[270 - 300]
20
Total
200
a) Seale cul es la variable de estudio y de qu tipo es.

b) Represente grficamente la informacin mostrada en la tabla.
Solucin propuesta
a) La variable de estudio es el sueldo semanal y es una variable cuantitativa continua.
b) La informacin mostrada se puede representar con un grfico de barras, tal como
se muestra a continuacin.
Cantidad de prof.
70
60
50
40
30
20
150
180
210
240
270
300
Sueldos
(en nuevos soles)
115
Grfico circular o de sectores circulares

En una grfica circular, cada clase se representa mediante un sector circular.
Dado que la circunferencia completa corresponde a un ngulo central de
360, la medida en grados del ngulo central correspondiente a una clase con
frecuencia relativa hk es hk(360o).
Esto es, los ngulos centrales se relacionan con los porcentajes en la medida
que 360 equivale a 100%.
El grfico circular se emplea para representar variables cualitativas.
Situacin 13
Construya un grfico circular con la informacin presentada sobre el nivel socioeconmico de los 40 nios de un colegio de Lima.
Nivel
socioeconmico
Bajo
Medio
Alto
Total
Cantidad
de nios
17
14
9
40
Solucin propuesta
Se calculan las frecuencias relativas y los respectivos porcentajes para determinar los
ngulos de los sectores circulares correspondientes.
Nivel socioeconmico
Bajo
Medio
Alto
Total
fi
17
14
9
40
hi
0,42
0,35
0,23
1
ngulos
153
126
81
360
El grfico circular que da informacin sobre el nivel Alto

23%
socioeconmico de los nios sera el siguiente:
Medio
35%
116
Bajo
42%
Grfico de puntos (o de dispersin unidimensional)

Un grfico de puntos consiste en un diagrama con las siguientes caractersticas:
Un eje horizontal donde se ubican las clases consideradas para la variable
representada.
Cada dato contenido en una clase se grafica mediante un punto que se coloca
encima de la correspondiente clase representada en el eje horizontal.
Los puntos se disponen verticalmente de manera que a cada clase representada en el eje horizontal le corresponden tantos puntos como lo indica
la frecuencia absoluta de dicha clase.
Los grficos de puntos sirven para mostrar los agrupamientos en un conjunto
de datos.
Si se toma como ejemplo la siguiente tabla de distribucin de frecuencias:
Clases
xi
10
11
13
15
16
Total
Frecuencia absoluta
fi
2
4
6
5
3
20
el diagrama de puntos correspondiente ser:
10
11
13
15
16
117

Problemas 3.3
1. En el siguiente grfico, se muestra informacin sobre las defunciones por raza

en un determinado pas en el 2006.
316
350
300
250
200
150
100
50
0
306
203
175
Blanca
Negra
Amarilla
Mestiza
a) Determine cul es la variable estudiada y de qu tipo es.

b) Construya la tabla de distribucin de frecuencias correspondiente al grfico
mostrado.
c) Sera adecuado ubicar en el grfico las columnas sin separacin entre ellas?
Explique.
2. El siguiente grfico muestra informacin sobre personas atendidas en la unidad
de emergencia de un hospital.
Motivo de la atencin segn sexo
Cadas
12
15
20
Clicos
8
Heridas
0
10
Mujeres
25
Hombres
20
15
20
25
30
a) De qu tipo son las variables representadas en el grfico?

b) Pueden representarse las dos variables a la vez en una tabla de distribucin
de frecuencias de una variable?
c) Elabore grficos para cada una de las variables identificadas.
118
3.
a) En la siguiente tabla, se muestra informacin sobre el grado de preferencia
que tiene un grupo de 50 personas respecto a la comida vegetariana.
Preferencia por la comida vegetariana
Grado de preferencia
Nmero de personas
Nada
20
Poco
20
Mucho
10
Total
50

Seale cul es la variable involucrada y de qu tipo es.

Construya una tabla de distribucin de frecuencias.
Elabore un grfico adecuado para representar la informacin mostrada.
b) En la siguiente tabla, se muestra informacin sobre el costo del men que
consumen 28 empleados que laboran en Miraflores.
Costo del men

(en nuevos soles)
Cantidad de empleados
[8 -10[
[10 -12[
[12 - 14[
[14 - 16[
[16 - 18]
Total
28
Seale cules son las variables involucradas y de qu tipo son.

Elabore un grfico adecuado para representar la informacin mostrada.
4. Cuatrocientos entrevistados, entre trabajadores de prensa, estudiantes de comunicacin y personas no relacionadas con el periodismo, respondieron a la
pregunta qu medios prefiere para informarse mejor? Los resultados se muestran
en el siguiente grfico:
119
%
80
69.5
70
60
50
40
30
20
10
0
53.0
39.0
16.5
13.5
le
un
ng
ni
ab
les
ro
rc
tv
po
ot
ria
ria
ar
ita
io
sb
un
ed
m
co
os
di
ra
ta
ne
ier
ab
tv
in
ter
les
les
na
na
cio
io
na
ac
sn
os
di
io
ar
15.0 14.3
2.8
ra
di
47.5
Fuente: Postolski, Glenn y Daniel Rodrguez. Encuesta de credibilidad periodstica.
Determine cul es la variable representada en el grfico y de qu tipo es.

Cmo se explica que los porcentajes no sumen 100%? Se podra emplear un
diagrama de sectores circulares para representar la informacin mostrada?
5. La tabla y la grfica muestran el nivel de instruccin y el uso de mtodos anticonceptivos en un grupo de mujeres que fueron atendidas en el Hospital 4 de
Mayo durante el 2007.
Grado de
instruccin
Uso de anticonceptivos
4,6%
Total
Usa
No usa
Analfabeta
10
40
50
Primaria
40
35
75
Secundaria
60
50
110
Superior
23
29
Total
133
131
264
30,5%
38,2%
26,7%
a) Seale cules son las variables representadas en la tabla e indique de qu tipo son.
b) A qu parte de la informacin presentada en la tabla se refiere el grfico circular
mostrado? Complete el grfico con los nombres adecuados para cada regin.
c) Construya un grfico de columnas que ilustre simultneamente sobre el uso
(y no uso) de mtodos anticonceptivos y sobre el grado de instruccin de las
mujeres que participaron en el estudio.
120
3.4. Medidas de tendencia central

Hablar de medidas de tendencia central significa, para decirlo con pocas palabras,
encontrar valores que sean representativos de una muestra. Por ejemplo, cul es en
un saln de clases la nota que ms alumnos obtuvieron, si el profesor desea saber en
lneas generales cmo fue el rendimiento de un grupo de alumnos en una prctica
calificada. Tambin podramos preguntarnos cul fue el promedio de las notas del
saln, con el fin de comparar dicho resultado con el de las otras secciones del mismo
curso. La manera de realizar los clculos para hallar los valores exactos depender,
si tomamos en cuenta los tipos de variables estudiados, de si estamos estudiando
variables continuas o variables discretas.
3.4.1. Moda y mediana
Situacin 14
William es un estudiante norteamericano que visita el Per por intercambio estudiantil. Es aficionado al ftbol y quiere hacerse hincha del equipo peruano de mayor
aceptacin. Para ello William realiz una encuesta entre algunos amigos peruanos
en la que les pregunt por el equipo de ftbol de su preferencia. Los resultados se
muestran a continuacin:
Equipo de ftbol favorito
Cantidad de hinchas
Sporting Cristal
Cienciano
Universitario de Deportes
Alianza Lima
a) Cul es la variable de estudio y de qu tipo es?

b) Cuntas personas fueron encuestadas?
c) Si William elige el equipo del que se har hincha basndose en esta informacin,
qu equipo tendra que elegir?
d) Qu nombre podra llevar en Estadstica la respuesta seleccionada en c)?
Solucin propuesta
a) La variable de estudio es el equipo favorito de ftbol y es una variable cualitativa
nominal.
b) 23 personas.
121
c) William se volvera hincha de Universitario de Deportes porque es el equipo que

tiene mayor cantidad de hinchas.
d) La respuesta escogida en c) recibe el nombre de moda.
Generalmente, al considerar un conjunto de datos, se busca un valor que lo represente
en el sentido de que se parezca a muchos de los datos. Hay una gran variedad de
formas de elegir este representante; en la situacin 14 se eligi como representante al
valor de mayor frecuencia: la moda.
La moda (Mo)
La moda de un conjunto de datos es el puntaje o categora que ocurre con la mayor
frecuencia, o equivalentemente la que se repite ms veces.
Se adoptarn las siguientes convenciones:
Si hay dos valores o categoras que se repiten igual nmero de veces y dicha
cantidad de veces es la ms alta, diremos que hay dos modas y que la distribucin
de datos es bimodal.
Si ninguna categora o valor se repite ms veces que los otros; o si hay ms de
dos que se repiten ms veces, admitiremos que no hay moda.
As, por ejemplo, si se tienen los siguientes datos acerca de la escala de pago de 20
alumnos de Estudios Generales Letras:
3 ; 1 ; 2 ; 1 ;
2 ; 4 ; 3 ;3 ;
5 ; 5 ; 4 ; 3 ; 4 ; 5
2 ; 5 ; 3 ; 2 ; 4 ; 5
se observa que la escala 3 y la escala 5 ocurren cinco veces cada una y esa es la mayor
cantidad de veces que se repite uno de los datos. Es decir, dicho conjunto de datos
tiene dos modas: escala 3 y escala 5.
Situacin 15
Camila es una delegada estudiantil que recibe el encargo de analizar conjuntos de
notas de un determinado curso. Una de las tareas que debe hacer es encontrar, para
cada conjunto de notas, el valor Me que divide el conjunto en dos conjuntos con la
misma cantidad de elementos.
122
a) Un conjunto A de notas es el siguiente: 08, 10, 14, 15, 15, 17, 19. Qu valor de
Me obtendr Camila?
b) Otro conjunto B de notas es el siguiente: 18, 14, 16, 15, 12, 13. Puede obtener
Camila el valor de Me como lo hizo en el caso anterior? Qu debera hacer?
c) Un tercer conjunto C de notas se presenta en la siguiente tabla de distribucin
de frecuencias:
Notas
Cantidad de alumnos
10
14
15
16
17
19
Total
24
Qu columna adicional le sugerira completar a Camila para hallar un valor

para Me? Cul podra ser ese valor?
d) Se puede calcular Me para los datos de la situacin 14? Justifique la respuesta.
Solucin propuesta
a) Camila obtendr el valor Me = 15.
b) En este caso, Camila no puede obtener el valor de Me como en el caso anterior,
pero puede proceder de la siguiente manera: ordenar las notas para obtener 12,
13, 14, 15, 16, 18. Luego, elegir un valor que divida al conjunto en dos conjuntos
con el mismo nmero de elementos; podra ser:
Me = (14 + 15) = 14,5
2
c) En este caso, Camila podra completar la columna con la frecuencia acumulada,
tal como se muestra a continuacin:
123
Valores de la variable
(xi)
8
10
14
15
15
17
19
Total
Frecuencia absoluta
(fi)
2
3
7
5
4
2
1
24
Frecuencia acumulada
(Fi)
2
5
12
17
21
23
24

Y como el valor de Me se encuentra entre 14 y 15, podra elegir:
(14 + 15 )
Me =
= 14,5
2
d) Para los datos de la situacin 14 no se puede calcular el valor de la mediana,

porque la variable no es cuantitativa sino cualitativa nominal.
La situacin 15 ha servido para introducir otra medida de tendencia central llamada
mediana.
La mediana (Me)
La mediana es un valor que deja por debajo de l la misma cantidad de datos que
hay por encima de l.
La mediana de un conjunto de datos de una variable cuantitativa (ordenados
previamente de manera creciente o decreciente) ser:
El dato que ocupa la posicin central, si el nmero de datos es impar.
El promedio de los dos datos centrales, si el nmero de datos es par.
Es importante notar que si el nmero de datos n es impar, entonces el dato central
ocupa la posicin n + 1 . En cambio, si n es par hay dos trminos centrales que
2
n
n
ocupan los lugares
y + 1.
2
2
Para el caso de variables cualitativas ordinales tambin se podra definir la mediana
luego de ordenar previamente los datos. Pero en lo que sigue solo se calcular la
mediana de variables cuantitativas.
124
Situacin 16
a) Halle la mediana de las siguientes notas obtenidas por un estudiante a lo largo
de un curso de Matemticas: 08; 14; 10; 18; 10; 15; 16.
b) Halle la mediana de las siguientes notas: 120; 100; 200; 250; 150; 200.
Solucin propuesta
a) Para hallar la mediana de las notas 08; 14; 10; 18; 10; 15; 16, primero es necesario ordenarlas.
As, ordenndolas en forma creciente, se tiene: 08; 10; 10; 14; 15; 16; 18.
Dado que hay n = 7 datos, entonces el trmino central ocupar la posicin:
7 + 1 = 4.
2
La mediana ser el dato que ocupa la cuarta posicin, es decir, Me = 14.
b) Para hallar la mediana de las notas: 120; 100; 200; 250; 150; 200, primero es
necesario ordenarlos, obtenindose 100; 120; 150; 200; 200; 250.
Como hay 6 datos, entonces se consideran los dos trminos centrales, es decir,
los que ocupan las posiciones 3.a y 4.a. La mediana es la semisuma del tercer y
cuarto dato. Luego,

Me
= 150 + 200 = 175

2
Situacin 17
A continuacin, se muestra informacin sobre el nmero de hijos por familia en una
muestra de 50 familias de cierto asentamiento humano:
Nmero de hijos
10
11
Halle la mediana de los datos mostrados en la tabla.

Solucin propuesta
Para hallar la mediana de los datos de una variable discreta cuya informacin se
presenta agrupada en una tabla, se pueden emplear, como antes, las frecuencias
acumuladas.
125
Frecuencia
acumulada
(Fi)
Clases
(xi)
Frecuencia absoluta
(fi)
15
10
25
11
36
45
50
Total
50
Dado que hay 50 datos, la mediana ser el promedio aritmtico de los valores
que ocupan los lugares 25.o y 26. o.
De las frecuencias acumuladas se obtiene que el dato 25.o es 2 hijos y el dato 26.o
2 + 3 = 2 ,5
es 3 hijos. Luego, M e =
hijos por familia.
2
126

Problemas 3.4.1
1. El ingeniero responsable de la construccin de un edificio debe planear el espacio

destinado a estacionamientos para un nuevo complejo habitacional que tendr 80
departamentos. Se pide que la propuesta se base en el dato estadstico una medida
de tendencia central del nmero de vehculos por departamento es 0,9.
Puede ser 0,9 la mediana de la variable estadstica nmero de vehculos? Puede
ser la moda? Por qu?
2. A continuacin, se muestran los resultados obtenidos en una encuesta realizada a
un grupo de aficionados al ftbol con la finalidad de determinar la popularidad
de los equipos que intervienen en el torneo de primera divisin.
Equipo D
6%
Equipo C
11%
Otros
5%
Equipo A
42%
Equipo B
36%
Si se sabe que 200 aficionados respondieron que eran hinchas de otros equipos,
a) Cuntos aficionados fueron encuestados?
b) Cuntos aficionados respondieron que eran hinchas del equipo B?
c) Construya una distribucin de frecuencias para la informacin presentada.
d) Es posible determinar la moda y la mediana de los datos? De ser posible,
determine dichos valores e interprete su significado.
3. Sobre las carreras que estn estudiando un grupo de amigos de la promocin
2005 del colegio Albert Newton se sabe lo siguiente:
45 estudian Ingeniera industrial, 60 Ingeniera informtica, 70 Derecho, 15
Psicologa, 19 Economa, 27 Medicina, 18 Publicidad, 15 Arquitectura y 12
Educacin.
Teniendo en cuenta la informacin dada, realice las siguientes actividades:
b) Construya una tabla de distribucin de frecuencias para la informacin dada.
127
c) Construya un grfico estadstico adecuado para representar la informacin

dada.
4. Los siguientes datos muestran el total de horas semanales que invierten 50
alumnos en conectarse a internet:
37
38
17
35
16
14
44
23
36
14
40
16
41
43
30
36
27
16
42
32
20
36
14
24
21
31
33
30
35
40
25
38
24
44
26
37
25
29
40
42
35
39
39
34
34
36
38
40
32
35

b) Utilizando seis intervalos de la misma amplitud, elabore una tabla de distribucin de frecuencias para datos agrupados que represente la informacin
dada.
c) Construya un grfico estadstico adecuado para representar la informacin
dada.
128
3.4.2. Media aritmtica

Situacin 18
Jocelyn registra las notas de sus 7 primeras actividades en el curso de Matemticas:
14; 10; 13; 18; 12; 15; 15
a) Calcule la media aritmtica de las notas de las actividades de Jocelyn.
b) Si Jocelyn desea que el promedio aritmtico de sus 8 primeras notas de actividades en el curso de Matemticas sea 14, qu nota deber obtener en la prxima
actividad?
Solucin propuesta
a) La media aritmtica de las 7 notas est dada por la suma de las 7 notas dividida
entre el nmero de notas.
Es decir, la media aritmtica es 14 + 10 + 13 + 18 + 12 + 15 + 15 , que equivale

a 97 , aproximadamente 13,86.
b) Si se llama x a la nota que desea obtener Jocelyn en la octava actividad, entonces

la suma de las 8 notas dividida entre 8 debe dar 14. Es decir: 97 + x = 14. Ello
8
ser posible si 97 + x = 112. Luego, necesitar obtener 112 97 = 15 en su siguiente
actividad.
La situacin 18 ha servido para recordar el concepto de media aritmtica.
Media aritmtica de un conjunto de datos

La media aritmtica de un conjunto de datos de una variable cuantitativa es
el nmero que resulta de sumar todos los datos y dividir dicha suma entre el
nmero de datos.
As, si se tienen los datos: x1; x 2; x 3; ... ; xn y se denota la media aritmtica de
estos datos por x , entonces:
x=
x1 + x2 + ... + xn
n
129
Esta frmula se suele expresar mediante la notacin sigma para sumas, as:
n
i =1
x= n
La media aritmtica (a diferencia de la moda y la mediana) involucra a todos los datos

y, por lo tanto, es ms sensible a cambiar cuando se modifican los datos. Es la medida
de tendencia central que posee las mejores propiedades para trabajar situaciones en
la estadstica inferencial.
Cmo se halla la media aritmtica para datos sin agrupar?
Si se tienen n datos en una distribucin de frecuencias simple que consta de
k clases.
x1
x1
x2
...
xk
Total
f1
f1
f2
...
fk
n
Dado que cada uno de los datos se repite tantas veces

como lo indica su frecuencia absoluta y la suma de
dichas frecuencias absolutas coincide con el nmero
de datos, entonces si se tienen los datos agrupados
en k clases, la frmula ser:
k
(x f )
i i
i =1
(x f )
i i
i =1
(f )
i =1
Por ejemplo, a partir de los siguientes datos, construya una distribucin de frecuencias y aproveche dicha distribucin para calcular la media aritmtica del nmero de
hijos por familia.
Nmero de hijos
10
11
Se construye una tercera columna en el cuadro donde se colocan los productos de

cada valor xi por su frecuencia absoluta.
130
xi
0
fi
7
xi f i
0
1
2
3
4
5
8
10
11
9
5
8
20
33
36
25
As, se tendr que realizar el siguiente clculo:

m
x =
(x k
k =1
m
fk )
( fk )
122
50
= 2 , 44
k =1
Luego, el nmero promedio de hijos por cada

familia en esta muestra es 2,44 hijos.
Cmo se halla la media aritmtica para datos agrupados?

Cuando los datos con los que se cuenta han sido dados en intervalos, se
requiere elegir un representante de cada intervalo para realizar el clculo de la
media aritmtica. Adoptaremos como representante a la marca de clase de
cada clase o intervalo.
As, se emplear la siguiente frmula:
k
x=
( xi ' fi )
i =1
( xi ' f i )
=
i =1
k
( fi )
i =1
Es importante sealar que el resultado que se obtenga ser un valor aproximado a la

media aritmtica que se obtendra si se consideraran los n datos originales, es decir,
si se consideraran los datos sin agrupar.
Situacin 19
Calcule el ingreso promedio semanal de 200 profesores de academias de preparacin
a partir de los datos mostrados en la siguiente tabla:
Ingresos semanales (en soles)
Cantidad de profesores
[150 - 180[
70
[180 - 210[
40
[210 - 240[
50
[240 - 270[
70
[270 - 300[
20
Total
200
131
Solucin
Para calcular la media aritmtica de los datos agregamos dos columnas ms a la tabla
'
'
anterior: las marcas de clase x i y los productos x i . f i .
Intervalos
fi
x i
x i f i
[150 - 180[
20
165
3 300
[180 - 210[
40
195
7 800
[210 - 240[
50
225
11 250
[240 - 270[
70
255
17 850
[270 - 300]
20
285
5 700
Total
200
---
45 900
132
De este modo se obtiene:

k
x=
(x i' f i )
i =1
k
i =1
=
fi
45 900
200
= 229,5 soles
As, el ingreso semanal promedio de estos

200 profesores es S/. 229,5.

Problemas 3.4.2
1. Un grupo de 20 alumnos obtuvo las siguientes calificaciones en un examen cuyo

puntaje mximo era 10 puntos.
0
7
0
8
1
8
2
8
4
8
5
9
5
9
6
9
6
10
6
10

Calcule la media aritmtica, la mediana y la moda.
2. Al tabular las notas de un examen se obtuvieron los siguientes resultados:
Nota
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
Frecuencia
1
1
1
1
1
6
8
16
18
20
2
Calcule la media, la mediana y la moda de dichas notas.

3. El Colegio Mdico de un determinado pas tom una muestra de 200 mdicos
para averiguar sus honorarios por consulta. A continuacin se muestra la informacin parcial obtenida:
Clases
[150 - 180[
xi
fi
20
hi
Fi
Hi
60
110
0,25
- 300]
Total
a) Complete la distribucin de frecuencias.

b) Construya un grfico de barras para representar esta informacin.
c) Calcule la media aritmtica de los datos.
133
4. De las edades en aos de cuatro personas, se sabe quexx = 24, Me = 23 y Mo =

22. Determine las edades de las cuatro personas.
5. Una enfermera registr la temperatura media de un paciente durante 10 das
consecutivos, y obtuvo los siguientes valores:

37,8
38,0
37,1
38,2
38,0
38,3
37,5
37,5
37,3
37,2
a) Cul es la variable observada y de qu tipo es?

b) Cul es la media, mediana y moda de la temperatura?
6. En la unidad de emergencias de un hospital se registr el motivo de atencin
de los pacientes atendidos durante una semana, y se obtuvieron los siguientes
resultados:
Motivo de la atencin
Cantidad de pacientes
Cadas
35
Heridas provocadas por arma blanca
30
Atropellos
45
Clicos estomacales
55
Picaduras de insectos
10
Intoxicaciones
25
Total
200
a) Cul es la variable observada y de qu tipo es?

b) Con qu grfico se representaran mejor estos datos? Dibuje usted dicho
grfico.
c) De las tres medidas de tendencia central media, mediana y moda, cules
tienen sentido para estos datos?
7. Un instituto especialista en realizar estadsticas realiz un estudio sobre la inversin anual, en miles de dlares, de las empresas peruanas. A continuacin, se
muestra la inversin correspondiente a 40 empresas.
31
15
36
25,4
17
39
19,2
28
27
18
29
33,4
20,4
30,5
37
28
28
41,5
33
22
10,2
26
27
23
34
12
27
31
25,4
46
24
29
4
18
26,2
35
24,5
23
31
21,2
a) Halle la mediana, moda y media de los datos mostrados.

b) Elabore una tabla de distribucin de frecuencias con 6 intervalos de igual
amplitud.
134
c) Qu porcentaje de empresarios invierte menos de 18 000 dlares anuales?

d) Qu porcentaje de empresarios invierte por lo menos 32 000 dlares anuales?
e) Construya un grfico estadstico adecuado para representar la informacin
dada.
8. Los siguientes datos muestran el total de horas a la semana que invierten 45
alumnos en interaccin con videojuegos
35
35
37
40
20
38
39
47
43
36
34
39
17
41
12
41
34
35
43
24
26
34
16
30
21
37
36
44
36
31
25
38
46
27
33
29
40
23
16
33
40
32
36
46
35
a) Halle la media aritmtica, la mediana y la moda de estos datos.

b) Elabore una distribucin de frecuencias con 7 intervalos de la misma longitud
para estos datos; incluya las frecuencias relativas porcentuales y las marcas
de clase.
c) Construya un grfico estadstico adecuado para representar dicha situacin.
9. A continuacin, se muestra informacin relacionada con el estado civil de los
pobladores de la provincia Lima.
a) Cul ha sido la variable estudiada? De
qu tipo es y qu valores puede tomar?
b) Se puede elaborar una distribucin
de frecuencias de los datos obtenidos?
Explique.
c) Tiene sentido calcular la media aritmtica
de los datos? Por qu?
d) De qu otra manera se pueden representar
grficamente los datos?
135
10. Analice el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique sus respuestas.
a) Si 6 alumnas tienen la misma nota en un examen, entonces la media, la
mediana y la moda de estas 6 notas son iguales.
b) La mediana de 6 datos que son nmeros naturales es siempre un nmero
natural.
c) Es posible realizar operaciones algebraicas con variables cualitativas.
d) Si cada uno de los valores x1, x 2, x 3, x4, x5, y x 6 de una variable estadstica es
disminuido en una constante c, entonces la nueva media aritmtica es igual
a la media aritmtica de los datos originales, incrementada en la constante
c.
e) Si a cada valor x1, x 2, x 3, x4, x5, y x 6 de una variable estadstica se le multiplica
por una constante c, entonces la nueva media aritmtica corresponder a la
media aritmtica de los datos originales, multiplicada por c.
136
3.5. Medidas de dispersin

Las medidas de dispersin, como su nombre lo indica, tratan de mostrar cun dispersos
pueden estar los datos respecto de la media de la poblacin que estudiamos. La media
es, en cierto sentido, uno de los indicadores que se emplean para representar a una
poblacin o a una muestra, dependiendo del caso. Un caso interesante de aplicacin
de una medida de dispersin es el Craest, el coeficiente de rendimiento acadmico
estandarizado que utiliza la Pontificia Universidad Catlica del Per para medir
el rendimiento acadmico de sus alumnos. En qu consiste y cmo funciona este
coeficiente? A qu necesidad responde? Todos aquellos que han cursado estudios
en algn tipo de institucin educativa se deben haber preguntado qu tan justo
puede ser el sistema de calificacin de un profesor determinado. Suele hablarse de
profesores que son ms dadivosos al momento de la calificacin que otros (calificados
normalmente como profesores difciles). Estos ltimos, los profesores difciles, tienen
histricamente un promedio por saln ms bajo que los profesores dadivosos. Ello
ocasiona malestar en parte del alumnado, pues la asignacin del orden de matrcula,
as como del orden de mrito en una promocin de egreso, se calculan normalmente
utilizando el promedio ponderado de las notas obtenidas por el alumno. As, sera
posible que un alumno, que histricamente se matricul con profesores difciles
(que califican bajo a todo el saln) haya obtenido un promedio algo ms bajo que un
alumno que se matricul siempre con profesores dadivosos (que califican alto en
general): cmo medir cul de estos dos alumnos ha tenido un mejor rendimiento
acadmico, si no han estado por decirlo de alguna manera sometidos a las mismas condiciones de exigencia? Para tratar de solucionar este problema se pens en el
Craest, que mide cunto se ha distanciado el alumno de la media del saln en que
llev el curso. Entonces, lo que se mide no es ya cunto obtuvo como promedio final
el alumno en su seccin, sino cunto se distanci la nota del alumno del promedio del
saln. El Craest mide el nmero de desviaciones estndar que el alumno se ha alejado
de la media del saln. As, lo que compararemos para ver cul de los dos alumnos
de los que hablbamos ha tenido mejor rendimiento ser cunto se distanci este de
sus compaeros de clase no en trminos absolutos, sino en trminos relativos a la
poblacin que representa su saln de clase.
Situacin 20
El siguiente conjunto de datos corresponde al tiempo que emplean un grupo de
alumnos para desplazarse desde su casa a la universidad:
137
Tiempo de viaje desde su casa a la universidad

(en minutos)
18
48
44
36
48
60
37
27
17
63
19
27
36
37
48
65
19
26
28
23
47
56
42
27
17
29
47
40
27
35
28
38
49
51
55
37
20
30
35
37
Explique si los datos estn muy dispersos respecto a la media aritmtica.

Situacin 21
Se desea estudiar el precio de un medicamento (en nuevos soles) en los distritos de
Pueblo Libre y Jess Mara. En cada distrito se toman muestras aleatorias (al azar)
de 8 farmacias.
12
10
Jess Mara
Pueblo Libre
a)
b)
c)
d)
11
17
10
7
9
11
10
10
15
11
11
10
10
12
Elabore el diagrama de puntos correspondiente a los datos de cada distrito.

Calcule la media, la mediana y la moda de los precios en cada muestra.
Es ms barato el medicamento en alguno de estos distritos?
Podra decirse que el comportamiento del precio del medicamento es el mismo
en ambas muestras?
Solucin propuesta
a) Los grficos que se presentan a continuacin son los diagramas de puntos correspondientes.
Jess Mara
10
11
12
Pueblo Libre
13
14
15
10
11
12
13
14
15
b) Ordenando los datos de menor a mayor, se tiene lo siguiente:

Jess Mara
Pueblo Libre
138
9
7
10
10
10
10
10
10
11
11
11
11
12
12
15
17
16
17
Jess Mara
Media
Pueblo Libre
x = 9 + 3(10) + 2(11) + 12 + 15 = 88
8
8
x = 11 nuevos soles
x
x
= 7 + 3(10) + 2(11) + 12 + 17 = 88
8
8
= 11 nuevos soles
Mediana Dado que son 8 datos, la mediana es el Dado que son 8 datos, la mediana es el
promedio entre los datos 4.o y 5.o
promedio entre los datos 4.o y 5.o
Md =
Moda
10 + 11
2
= 10 , 5 nuevos
Mo = 10 nuevos soles
soles
Md =
10 + 11
2
= 10 , 5 nuevos
soles
Mo = 10 nuevos soles
c) Dado que las tres medidas de tendencia central en la muestra de Pueblo Libre coinciden con las tres medidas de tendencia central en la muestra de Jess Mara, no se
puede afirmar que el medicamento sea ms barato en alguna de las dos muestras.
d) No es el mismo, porque en los diagramas de puntos se puede observar mayor
diferencia entre el precio ms alto y el ms bajo en el distrito de Pueblo Libre.
Las situaciones 20 y 21 generan la necesidad de cuantificar los datos que se encuentren ms o menos alejados de la media aritmtica ya que cuando la media aritmtica
de dos muestras coincide, ello no implica que los datos se encuentren igualmente
distribuidos. Para estos casos conviene trabajar con una medida de dispersin que d
cuenta de la tendencia que tienen los datos a diferenciarse entre ellos.
Medidas de dispersin
Las medidas de dispersin o variabilidad describen qu tan dispersos o tan
cohesionados se encuentran los datos de una distribucin.
Las medidas de dispersin ms estudiadas son la varianza y la desviacin estndar. Estas medidas dan informacin sobre la distancia a la que se encuentran
los datos respecto a la media aritmtica.
Medidas de dispersin poblacionales y medidas de dispersin muestrales
A diferencia del caso de las medidas de tendencia central, en cuanto a la varianza
y desviacin estndar, las frmulas varan segn se refieran a datos de una muestra o de toda la poblacin. Esta diferencia en las frmulas no puede dejarse de
lado, especialmente en Estadstica inferencial cuando, a partir de la desviacin
estndar muestral, se pretende estimar la desviacin estndar poblacional.
139
Frmulas para la varianza y desviacin estndar poblacionales

Si tenemos un conjunto de n datos: x1; x 2; x 3; ...; xn correspondientes a toda
una poblacin, consideraremos lo siguiente:
1. Varianza poblacional (denotada por s2 o por sn2)
Se define la varianza poblacional como la media aritmtica de los cuadrados de las diferencias de los n datos con respecto a la media aritmtica de
dichos datos. Es decir:
n
(x
x)
i =1
2. Desviacin estndar poblacional (denotada por s o por sn)

Se define la desviacin estndar poblacional como la raz cuadrada de la
varianza poblacional. Es decir:
n
(x i x )
i =1
Frmulas para la varianza y desviacin estndar muestrales

Si se tiene un conjunto de n datos: x1; x 2; x3; ...; xn que constituyen una muestra,
consideraremos lo siguiente:
3. Varianza muestral (denotada por s2 o por sn12)
Se define la varianza muestral mediante la siguiente frmula:
n
2
s = i =1
( xi x )
n 1
4. Desviacin estndar muestral (denotada por s o por sn1)

Se define la desviacin estndar poblacional como la raz cuadrada de la
varianza poblacional.
n
140
Es decir: ss =
i =1
(x i x )
n 1
Situacin 22
Calcule las medidas de dispersin poblacionales y muestrales de los siguientes datos:
5; 6; 6; 8; 7; 7; 9; 5; 4; 11
Solucin propuesta
1.o Se calcula la media:
xi
i =1
x=
=
=
5 + 6 + 6 + 8 + 7 + 7 + 9 + 5 + 4 + 11
10
5 + 6 ( 2 ) + 8 + 7 ( 2 ) + 9 + 5 + 4 + 11
10
68
= 6 ,8
10
2.o Se calcula la varianza poblacional:

n
(x i x )
i =1
n
2
( 5 6 ,8 ) + ( 6 6 ,8 ) + ( 6 6 ,8 ) + (8 6 ,8 ) + ( 7 6 ,8 ) +
10
2
( 7 6 , 8 ) + ( 9 6 , 8 ) + ( 5 6 , 8 ) + ( 4 6 , 8 ) + (11 6 , 8 )
10
=
3 , 24 + 0 , 64 + 0 , 64 + 1, 44 + 0 , 04 + 0 , 04 + 4 ,84 + 3 , 24 + 7 ,84 + 17 , 64
10
=
39 , 6
= 3 , 96
10
3.o Se calcula la desviacin estndar poblacional:

n
i =1
(xi x )
39,6
10
3,96 = 1 , 99
4.o Si se tratara de una muestra, se realizara la siguiente operacin para hallar la

varianza muestral:
n
2
s = i =1
( xi x )
n 1
39 , 6
10 1
39 , 6
9
= 4,4
141
5.o Se calcula la desviacin estndar muestral:

n n
s =x
s =x
2 2
( x(i xi x )x )
i =1i =1
==
n n 1 1
39,6
39,6
99
= = 4 ,44, 4= =2 ,210,10
Situacin 23
Se muestran las notas del examen parcial de MAT128 de un grupo de 20 alumnos,
luego de ordenarlas:
7
12 12 12 12 12 15 15 15 16 16 16 16 18 18 18
Calcule la desviacin estndar muestral de dichas notas.

Solucin propuesta
Primero se calcula la media aritmtica:
x =

s=
7 ( 2 ) + 9 ( 3 ) + 12 ( 5 ) + 15 ( 3 ) + 16 ( 4 ) + 18 ( 3 )
20
264
20
= 13 , 2
Para calcular la desviacin estndar se debe promediar los cuadrados de las

diferencias de cada uno de los 20 datos con la media aritmtica que es 13,2.
Es evidente que, por ejemplo, si la nota 9 se repite 3 veces, la diferencia al cuadrado (9 13,2)2 aparecer como sumando 3 veces en la frmula para calcular
la desviacin estndar.
As, para abreviar el clculo se multiplica ese factor por 3:
(7 13,2) 2 ( 2) + (9 13,2) 2 (3) + (12 13,2) 2 (5) + (15 13,2) 2 (3) + (16 13,2) 2 ( 4) + (18 13,2) 2 (3)
20 1
Luego, s = 3,61.
La situacin 23 muestra cmo se puede generalizar la frmula para calcular las medidas
de dispersin, para datos organizados en una distribucin de frecuencias de variable
discreta y tambin de variable continua (por intervalos).
As, por ejemplo, en la situacin anterior se emple la frmula:
6
s=
142
( xi x )
i =1
n 1
. fi
Varianza y desviacin estndar para datos discretos organizados en

distribucin de frecuencias
Si se tienen n datos organizados en la siguiente tabla de distribucin de frecuencias:
Clases
xi
x1
x2
....
xk
Total
Frecuencias
fi
f1
f2
fk
n
Las frmulas para calcular las medidas de dispersin sern las siguientes:
k
( xi
x ) 2 fi
i =1
=
n
2
Varianza poblacional
( x x)
i
Desviacin estndar poblacional
Varianza muestral s =
(xi x )
i=1
i =1
fi
fi
n 1
Desviacin estndar muestral s =
i =1
(x i x ) fi
n 1
143
Situacin 24
A los 30 alumnos de un curso se les tom una prueba consistente en 5 ejercicios.
Se muestra el nmero de ejercicios correctamente resueltos por los alumnos en el
siguiente cuadro:
Nmero de ejercicios resueltos
Cantidad de alumnos
1
6
2
8
3
9
4
4
5
3
Calcule la varianza y la desviacin estndar poblacionales del nmero de ejercicios

resueltos.
Solucin propuesta
xi
fi
xi fi
- 2. fi
(xi x)
16,7340
16
3,5912
27
0,9801
16
7,0756
15
16,2867
Total
30
80
44,6976
i fi
80
Media aritmtica: x = i = 1
( x i x ) f i 44 , 6976
2
Varianza poblacional:
= i =1
=
30
ejercicios
= 2 , 67
144
Desviacin estndar poblacional: =
ejercicios
= 1, 49
30
(x i x ) f i
38 ,8270
i =1
ejercicios
=
= 1, 22
2
30
Varianza y desviacin estndar para datos agrupados

Se obtendrn valores aproximados de la varianza y la desviacin estndar
utilizando las marcas de clase xi' de los intervalos, en lugar de xi en las
frmulas.
k
Varianza poblacional
(x i ' x ) f i

n
i=1
Desviacin estndar poblacional

k
Varianza muestral s 2 =
i=1
( xi x )
i =1
fi
( xi ' x ) f i
2
n 1
k
Desviacin estndar muestral s
(x i ' x ) fi
2
i=1
n-1
Situacin 25
Se tienen los siguientes datos sobre el precio del men ejecutivo, en una muestra de
28 restaurantes de cierto distrito:
Precio del men (en soles)
Nmero de restaurantes
[8 - 10[
[10 - 12[
[12 - 14[
[14 - 16[
[16 - 18]
Total
28
Calcule la varianza y la desviacin estndar de los datos.
145
Solucin propuesta
Clases
fi
xi'
(xi' x)2 . fi
[8 - 10[
73,50
[10 - 12[
11
13,50
[12 - 14[
13
2,00
[14 - 16[
15
31,25
[16 - 18]
17
60,75
Total
28
181,00
xi ' f i
x = i =1
Media:
n
350
= 12,5
28
soles
( x ' x )
i =1
fi
181
2
Varianza muestral: soles
=
= 6 , 70
s =
n1
27
( x ' x )
i
fi
181
=
=
= 2 , 59
Desviacin estndar muestral: s soles
i =1
n1
27
Nota: Cuando dos muestras tienen diferentes medias, para determinar qu conjunto
de datos se encuentra ms disperso respecto a la media se deben comparar los cocientes s . As, aquella muestra con menor cociente tendr los datos menos dispersos
x
respecto a la media.
146

Problemas 3.5
1. A 20 estudiantes universitarios, elegidos al azar, se les pregunt por el nmero

de horas que dedican al estudio fuera de las horas de clase. Se obtuvo la siguiente
informacin:
2, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 5, 2, 10, 6, 5, 8, 7, 3, 2, 4, 4, 5, 3
a) Represente los datos en un diagrama de puntos.
b) Determine la media y la desviacin estndar de los datos.
2. A todos los estudiantes de Periodismo de un instituto superior se les pregunt
cuntos libros completos haban ledo en lo que iba del ao. Las respuestas obtenidas se muestran a continuacin:
Nmero de libros ledos
Cantidad de estudiantes
10
10
14
12
15
a) Elabore la distribucin de frecuencias apropiada para este caso.

b) Determine la media y la desviacin estndar de los datos.
c) Interprete los resultados obtenidos utilizando un grfico apropiado.
3. Dos grupos diferentes de alumnos de un curso de Matemticas tienen una misma
nota en promedio.
Las notas de los alumnos del primer grupo son: 11, 13, 10, 12, 11, 10, 12, 9, 11.
Las notas de los alumnos del segundo grupo son: 17, 03, 18, 19, 06, 15, 02, 14, 05.
a) Calcule la media de cada grupo. Qu se puede decir al comparar los resultados obtenidos?
b) Represente cada grupo de datos en un diagrama de puntos.
c) Se puede afirmar que el rendimiento acadmico de ambos grupos es similar?
Por qu?
d) Calcule la desviacin estndar muestral para cada grupo.
147
4. Se quiere estudiar cmo vara el precio del pasaje a Chiclayo durante el ao. En
el terrapuerto de Fiori se tom una muestra durante once das y se obtuvieron
los siguientes datos:
S/. 30; S/. 35; S/. 32; S/. 40; S/. 35; S/. 38;
S/. 30; S/. 37; S/. 35; S/. 40; S/. 33
a)
b)
c)
d)
Ubique los datos en un diagrama de puntos.

Determine la media y la desviacin estndar de los datos.
Interprete en el diagrama de puntos el resultado obtenido en c).
5. Los sueldos quincenales (en nuevos soles) de 6 socios de una empresa son:
1 400; 1 000; 6 000; 3 500; 2 200; 1 200

148
En vista de que ltimamente la empresa est obteniendo bastantes utilidades, los

socios quieren aumentar sus sueldos y estudian las siguientes dos alternativas:
Alternativa A: aumentar al sueldo actual de cada uno S/. 300
Alternativa B: duplicar el sueldo actual de cada uno
a) Calcule la media y la desviacin estndar de los sueldos iniciales y de los
sueldos resultantes, segn cada una de las alternativas de aumento.
b) Con cul de las dos alternativas son menores las diferencias entre los sueldos
de los empleados?
6. En dos centros de salud A y B de distintos niveles socioeconmicos se miden las

estaturas de los nios atendidos en la ltima semana. Los datos son los siguientes:
Centro A
Centro B
Estaturas
(en cm)
Nmero
de nios
Estaturas
(en cm)
Nmero
de nios
[80 - 85[
[85 - 90[
[90 - 95[
[95 - 100[
[100 - 105[
[105 - 110]
4
14
23
17
11
6
[80 - 85[
[85 - 90[
[90 - 95[
[95 - 100[
[100 - 105[
[105 - 110]
9
14
20
18
10
9
Total
75
Total
80
a) Halle la media y la desviacin estndar muestral para cada uno de los grupos.
b) Cul grupo tiene mayor estatura promedio?
c) En qu grupo las estaturas son ms homogneas?
7. Considerando los siguientes datos: x1, x 2, x 3, x4, x5 con media x y desviacin
estndar s, responda a las siguientes preguntas:
a) Si x1 = x 2 = x3 = x4 = x5, cul es el valor de la desviacin estndar muestral
s?
b) Si cada uno de los datos se incrementa en una constante positiva k, qu
ocurrir con la media y con la desviacin estndar de los nuevos datos con
relacin a la media y desviacin estndar de los datos originales?
c) Si a cada uno de los datos se le multiplica por una constante positiva k, qu
ocurrir con la media y con la desviacin estndar de los nuevos datos en
relacin con la media y con la desviacin estndar de los datos originales?
149
3.6. Percentiles
Seguramente muchos de nosotros alguna vez nos hemos preguntado a qu se refieren
los centros de trabajo o de estudio cuando piden como requisito para un puesto de
trabajo o para la postulacin a una beca ser parte del tercio superior, quinto superior
o el dcimo superior. Cmo se sabe en cada caso si uno pertenece o no a este grupo
dentro del total de la poblacin? Si esta es una medida estadstica debe haber algn
mtodo para calcular y saber quines pertenecen a dicho grupo. Otro caso vinculado
al mrito acadmico en el que es fundamental el uso de percentiles es el puesto que
ocupa un estudiante de colegio dentro de su promocin hacia el final de quinto de
secundaria. Muchas universidades dan beneficios al momento de postular a alumnos que han ocupado el tercio superior, y en algunos casos a los alumnos del quinto
superior se les evala cuando estn cursando su ltimo ao en el colegio.
Pero este tipo de denominacin no solo puede aplicarse a personas: tambin podramos requerir, de una poblacin de productos de belleza, saber cules pertenecen al
dcimo superior, si dividimos a estos productos de belleza de acuerdo con el costo de
produccin de cada uno, o al costo de venta de cada uno, tal vez porque deseamos
analizar cmo han evolucionado las ventas de dichos productos en los ltimos aos.
En cualquiera de estos casos, es necesario saber no solo hallar, sino interpretar qu
significa que nos hablen del medio, tercio o quinto superior. A continuacin, encontrar usted algunas situaciones problemas sobre el tema, seguidas de la definicin
formal de lo que es un percentil.
Situacin 26
Si para un puesto en una empresa se presentan dos egresados de universidades distintas
y ambos obtuvieron el mismo promedio final (media aritmtica) en su promocin,
cul podra ser un criterio de seleccin sobre la base de su rendimiento acadmico?
Situacin 27
Una importante empresa requiere egresados de la Universidad del Futuro de la carrera
de Economa para un puesto clave. Dado que los conocimientos matemticos de un economista son muy importantes, la empresa evaluar a los aspirantes del siguiente modo:
se considerar el promedio ponderado obtenido por cada estudiante al final de toda
su carrera. Luego se elegirn a aquellos que, con esta asignacin, se encuentren en el
quinto superior del grupo de aspirantes.
150
a) Con este criterio, qu significar estar en el quinto superior del grupo de

aspirantes?
b) Si se presentan los siguientes 20 aspirantes y cuyos promedios ponderados obtenidos al final de su carrera se muestran a continuacin,
Hugo
14,5
Paco
15
Luca
13
Luis
18
Tatiana
13,5
Celeste
15
Tania
14
Daro
19
Leonie
19
Javier
19,5
Jorge
14
Julio
12
Ins
13
Kurt
14,5
Sandra
19,5
Csar
13,5
Enzo
12,5
ngela
12
Lissette
13
Claudia
15,5

quines cumplirn el requisito establecido por la empresa?
Solucin propuesta
a) Intuitivamente, el trmino quinto superior sugiere dividir la lista de puntajes
en cinco partes iguales y considerar la ltima de ellas. Lgicamente, la lista
debe estar ordenada, de manera que la ltima de las 5 partes (quinto superior)
corresponda a los mejores puntajes.
b) Es necesario, previamente, ordenar los datos de modo creciente y asignarles su
nmero de orden en la lista:
1.o
ngela
12
2.o
Julio
12
6.o
Ins
13
7.o
Tatiana
13,5
11.o
Hugo
14,5
12.o
Kurt
14,5
3.o
Enzo
12,5
8.o
Csar
13,5
13.o
Paco
15
4.o
Luca
13
5.o
Lissette
13
9.o
Tania
14
10.o
Jorge
14
14.o
Celeste
15
15.o
Claudia
15,5
151
16.o
Luis
18
17.o
Daro
19
18.o
Leonie
19
19.o
Sandra
19,5
20.o
Javier
19,5
Cada parte contar con el 20% de los datos y el quinto superior ser la parte que
contenga los puntajes ms altos.
1.o
2.o
3.o
4.o
5.o
6.o
7.o
8.o
9.o
10.o
12
12
12,5
13
13
13
13,5
13,5
14
14
11.o
12.o
13.o
14.o
15.o
16.o
17.o
18.o
19.o
20.o
14,5
14,5
15
15
15,5
18
19
19
19,5
19,5
Para establecer qu puntaje determina el quinto superior es necesario definir qu

puntaje deja por debajo de l a lo ms el 80% del total de datos y, por encima de
l a lo ms el 20% del total de datos. El 80% de un total de 20 datos son 16 datos.
80%
20%
1.o 2.o 3.o 4.o 5.o 6.o 7.o 8.o 9.o 10.o 11.o 12.o 13.o 14.o 15.o 16.o 17.o 18.o 19.o 20.o
12 12 12,5 13 13 13 13,5 13,5 14 14 14,5 14,5 15 15 15,5 18 19 19 19,5 19,5
quinto superior
Por lo tanto, quienes estaran en el quinto superior seran: Daro, Leonie, Sandra y
Javier. Adems, se puede decir que el valor de nota que determina el quinto superior
est entre el 16.o dato (nota 18) y el 17.o dato (nota 19). En este caso, convendremos
en considerar como valor divisorio de los datos al nmero 18 + 19 = 18,5 .
2
En general, dado un conjunto de datos ordenados de modo creciente, el valor que
deja por debajo de l a lo ms el 80% de los datos y por encima de l a lo ms el 20%
de los datos se denomina percentil 80. Se llama quinto superior al conjunto de datos
cuyos valores son mayores que el percentil 80. La situacin 23 permiti introducir
el concepto de percentil.
152
Percentiles
En general, se llama percentil a cada uno de los 99 valores que dividen un
conjunto de datos en cien partes iguales. Se denotan por P1; P2; ... ; P99.
La interpretacin de los percentiles es la siguiente: el percentil Pk es el valor
que deja por debajo de l a lo ms el k% del total de datos y por encima de l,
a lo ms el (100-k)% del total de datos.
Esta situacin se puede representar de la siguiente manera:
Pk
k%
(100-k)%
Los percentiles son medidas de posicin. Es decir, son valores numricos que se
calculan de acuerdo con la posicin o lugar que ocupan los datos en una lista
ordenada de modo creciente.
Los percentiles no necesariamente coinciden con el valor de algn dato presente
tal como ocurra con la mediana. El valor de un percentil puede ser un nmero
intermedio entre dos datos consecutivos.
Algunos percentiles importantes son:
Percentil
Se le denomina
normalmente
Mediana
P50
P33 y P67
Terciles
P25, P50 y P75
Cuartiles
P20, P40 , P60 y P80
Quintiles
Por qu se le denomina de esa manera?

Porque divide el conjunto de datos en dos partes
iguales en cantidad de datos.
Porque dividen el conjunto de datos en tres partes
Porque dividen el conjunto de datos en cuatro partes
Porque dividen el conjunto de datos en cinco partes
El tercio superior de un conjunto de datos es el conjunto de valores mayores que P67.

El cuarto superior de un conjunto de datos es el conjunto de valores mayores que P75.
El quinto superior de un conjunto de datos es el conjunto de valores mayores que P80.
153
Los percentiles se suelen emplear con datos continuos; en este texto mostraremos
algunos ejemplos con datos discretos para ilustrar mejor cmo se trabaja con ellos.
Cmo se calcula el percentil Pk ?

Para calcular el percentil Pk de un conjunto de n datos ordenados de modo
creciente se seguirn los pasos siguientes:1
k
1. Se calcula
n
100
2. Si k n no es un nmero entero, redondeamos k n al entero inmediato
100
100
superior (llamemos m a este nmero entero). El valor del percentil Pk ser
en este caso el dato que ocupa la posicin m.
3. Si k n es un nmero entero, entonces el percentil Pk es el promedio de los
100
datos que ocupan las posiciones k n y k n + 1.
100
100
Situacin 28
Las calificaciones finales obtenidas por 40 alumnos en un curso de Ingls fueron las
siguientes:
65
63
95
79
71
83
87
92
100
75
64
60
91
76
68
80
84
88
96
72
65
61
93
77
69
80
85
89
97
73
65
62
94
78
70
83
86
90
100
74
a) Halle los percentiles: P25, P50, P67 y P80.

b) Cuntos alumnos se encuentran en el tercio superior?
c) Cuntos alumnos se encuentran en el quinto superior?
1
Vase Johnson, Robert y Patricia Kuby. Estadstica elemental, lo esencial. Mxico D. F.: Thomson,
2004.
154
Solucin propuesta
a) Como primer paso, se deben ordenar los datos:
1.o
2.o
3.o
4.o
5.o
6.o
7.o
8.o
9.o
10.o
60
61
62
63
64
65
65
65
68
69
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.o
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
21.o
22.o
23.o
24.o
25.o
26.o
27.o
28.o
29.o
30.o
80
80
83
83
84
85
86
87
88
89
31.o
32.o
33.o
34.o
35.o
36.o
37.o
38.o
39.o
40.o
90
91
92
93
94
95
96
97
100
100
Percentil P25

25
(40) = 10
100
Como dicho valor es entero, el percentil P25 ser el promedio de los datos 10.o
y 11.o
69 + 70
= 69,5
Luego: P25 =
2
Percentil P50
50
(40) = 20
100
y 21.o
79 + 80
= 79,5
Luego: P50 =
2
Percentil P67
67
100 (40) = 26,8
Como dicho valor no es entero, redondeamos al entero inmediato superior

27 y buscamos el dato que ocupa la posicin 27.o
Luego: P67 = 86
155
Percentil P80
80
(40) = 32
100
y 33.o
Luego: P80 =
b)
c)
156
91 + 92
= 91,5
2
El tercio superior lo forman todos los datos mayores que P67, que corresponde al
dato 27.o; es decir, P67 = 86. El tercio superior lo forman desde el dato 28.o dato
hasta el dato 40.o (13 datos en total).
El quinto superior lo formarn desde el dato 33.o hasta el dato 40.o (8 datos en
total).

Problemas 3.6
1. Los siguientes datos muestran el total de horas a la semana que invierten 45 nios
en cabinas de internet.
17
37
23
47
16
44
46
36
35
41
40
16
43
30
36
27
46
43
12
20
33
36
21
31
33
35
24
34
35
29
38
26
37
25
40
41
39
35
41
39
34
36
39
32
34
a) Calcule los percentiles P33. P67, P80.

b) Un nio que invierte 20 horas a la semana en internet estar en el tercio
inferior de los datos?
c) Si los nios cuyo tiempo semanal en internet est en el quinto superior se
consideran en peligro de adiccin a internet, a partir de qu valor se puede
considerar que un nio est en peligro de adiccin?
2. A continuacin se muestran 20 datos correspondientes a la altura (en centmetros)
de plantones de eucaliptos listos para transplantar.
90
91
113
100
87
95
96
84
113
118
85
120
94
87
86
110
97
101
103
95
a) Halle el primer y el tercer cuartil de los datos.

b) Halle el segundo cuartil de los datos. Cul es el significado de este valor?
3. Se realiz un estudio sobre el rendimiento de los alumnos de un curso de Matemticas en el examen parcial. Para ello se tom una muestra aleatoria de 50
alumnos cuyas notas se muestran a continuacin:
5
11
15
14
13
10
17
16
14
16
13
11
13
17
13
10
17
13
12
15
11
15
10
13
16
16
11
18
16
14
12
16
10
a) Elabore una tabla de distribucin de frecuencias con 5 intervalos de la misma

longitud.
b) Represente, mediante un grfico apropiado, la distribucin de frecuencias
elaborada en a).
157
c) Utilizando la distribucin de frecuencias elaborada en la parte a), determine

la media y la desviacin estndar de las notas.
d) Calcule los percentiles P33, P67 y P80.
e) A partir de qu nota se puede considerar que un alumno se encuentra en el
quinto superior?
4. Analice las siguientes situaciones.
a) En algunas ofertas de trabajo, se exige que el alumno haya tenido un rendimiento que lo ubique en el cuarto superior. En otras ofertas, se exige que se
ubique en el quinto superior. Cul de los dos requisitos es ms exigente?
b) Se tienen dos grupos de alumnos:
Grupo A: formado por el tercio superior de la universidad X
Grupo B: formado por el tercio superior de la universidad Y
Qu se podra afirmar sobre el rendimiento comparativo de ambos grupos?
5. Los siguientes datos muestran el total de horas semanales que invierten 50
alumnos en conectarse a internet.
37
38
17
35
16
14
44
23
36
14
40
16
41
43
30
36
27
16
42
32
20
36
14
24
21
31
33
30
35
40
25
38
24
44
26
37
25
29
40
42
35
39
39
34
34
36
38
40
32
35
a) Determine la variable estadstica involucrada y de qu tipo es.

b) Elabore una tabla de distribucin de frecuencias con 5 intervalos de la misma
longitud.
c) Represente, mediante un grfico apropiado, la distribucin de frecuencias
elaborada en b).
d) Utilizando la distribucin de frecuencias elaborada en la parte b), determine
la media y la desviacin estndar de las notas.
e) Calcule los percentiles P25, P67 y P80.
f) A partir de qu nmero de horas se puede considerar a un alumno en el
quinto superior?
158
Captulo 4
Incertidumbre
Podra parecer extrao hablar de incertidumbre en un libro dedicado enteramente a las Matemticas, pues tendemos a pensar que la exactitud y la precisin son
lo que caracteriza a esta disciplina. En efecto, hemos analizado la importancia que
tiene el conocimiento matemtico en contextos distintos procesamiento de datos
y elaboracin de escalas, cuadros, el empleo de diferentes funciones para describir
la relacin entre dos variables, etctera y, en especial, en el captulo anterior, en
el primer acercamiento que tuvimos a la Estadstica. Ampliaremos aqu el uso de
las herramientas adquiridas, ya no solo como un modo de ordenar y sistematizar
la informacin sobre una poblacin determinada, sino como una metodologa de
cuantificar cierto tipo de posibilidades. Para ello requeriremos nuevos conceptos, a
saber, qu es un experimento en el lenguaje estadstico as cmo distinguir entre un
experimento aleatorio y otro no aleatorio; qu entenderemos por espacio muestral y
evento para en el ltimo subcaptulo introducir la nocin de probabilidad. Desde
ya podemos decir que intuitivamente todos manejamos la nocin de probabilidad,
como tambin las otras mencionadas. Cuando, por ejemplo, asignamos un valor
numrico a la posibilidad de que un determinado suceso acontezca: estoy casi 100%
seguro de que pasar el curso de Matemticas. Evidentemente, que esto sea cierto
depende de una serie de variables, que para nuestros fines no es necesario investigar.
Lo central es que as como somos capaces de expresarnos tentativamente sobre cun
posible es que algo suceda, ahora veremos la manera matemtica de hacer que el grado
de certeza sobre la posibilidad de que algo suceda pase del plano meramente subjetivo
al anlisis objetivo de los datos que conocemos sobre un suceso.
4.1. Experimento aleatorio

El sueo de toda ciencia es poder predecir con certeza, determinar por completo las
relaciones causales entre los fenmenos que estudia. Sin embargo, estamos an lejos
de poder realizar una empresa de tamaa envergadura. Aun as, lo cierto es que en
muchos casos s somos capaces de reconocer las causas de un fenmeno y estudiar las
condiciones necesarias para que este se d. En otros casos podemos afirmar algo con
menor grado de certeza, grado de certeza que se diluye si atendemos a la diversidad de
factores que interactan para que este se d. Veamos entonces un par de ejemplos, y
analicemos hacia dnde se inclina la balanza en cada caso, hacia lo calculable y en
cierto sentido predecible, o hacia lo indeterminado parcial o totalmente.
Situacin 1
Roberto conoce a Luca en una fiesta y le pide
su nmero telefnico. Una semana despus,
Roberto decide llamarla para invitarla a salir.
Luego de que Roberto marque el nmero
de telfono que le dio Luca, qu podra
ocurrir?
Haga un listado de las posibles situaciones
que se le podran presentar a Roberto.
Solucin propuesta
Despus de que Roberto marque el nmero telefnico de Luca puede ocurrir lo
siguiente:
Que escuche un mensaje que le indique que el nmero no existe.
Que le responda una persona sealndole que ese nmero no le pertenece a Luca.
Que el nmero sea de Luca pero que ella no conteste.
Que conteste Luca y se concrete una cita.
Que conteste Luca pero que no lo recuerde y no acepte salir con l, entre otras
opciones.
Es importante notar que en esta lista no se muestran todos los resultados posibles,
puede haber muchas ms situaciones. Tambin se debe tener en cuenta que estos
posibles resultados se pueden pensar antes de realizar el experimento.
160
La situacin 1 ha servido para introducir los trminos: experimento, experimento

aleatorio, experimento no aleatorio.
Qu es un experimento?
Es una actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos.
Un experimento puede ser aleatorio o no aleatorio.
Qu es un experimento aleatorio?
Un experimento es aleatorio cuando se conocen todos sus posibles resultados,
pero no se puede predecir cul ser el resultado hasta que se lleve a cabo.
Qu es un experimento no aleatorio?
Un experimento es no aleatorio o determinstico cuando el resultado de la
observacin es determinado en forma precisa por las condiciones bajo las
cuales se realiza dicho experimento.
Como ejemplos de situaciones cuyos resultados son inciertos o aleatorios tenemos
los siguientes:
Aprobar el examen de algn curso.
Lanzar una moneda ocho veces y observar el nmero de caras obtenidas.
El nmero de accidentes de trnsito que se producirn en Lima durante el fin de
semana.
El resultado del partido Universitario-Alianza Lima.
La duracin de una conversacin telefnica.
Como ejemplos de situaciones no aleatorias se puede nombrar las siguientes:
Observar si la suma de dos nmeros naturales pares es par o no.
Observar el color de una bola extrada de una urna que contiene solo bolas
negras.
161

Problemas 4.1
1. Seale cules de los siguientes resultados corresponden a situaciones no aleatorias o

determinsticas y cules corresponden a situaciones aleatorias o de incertidumbre.
Justifique las respuestas.
a) El resultado del prximo partido Per-Argentina.
b) Lo que desayunar el da de maana.
c) El porcentaje de aprobados de un curso de Matemticas (antes de acabar el ciclo).
2. Durante su estada en el Per, Diana conoci
a Julio, un periodista peruano. Antes de su
retorno a Espaa, Diana invit a Julio a que
conozca su pas. Despus de tres meses de
trmites, Julio viaja a Espaa. Qu podra
ocurrir en el aeropuerto de Espaa?
Haga un listado de las posibles situaciones que
se podran dar en el aeropuerto de Espaa.
3. Pedro est en el paradero
de la esquina de la avenida
Javier Prado con la avenida
Petit Thouars y debe llegar
a Plaza San Miguel.
Haga un listado de las
posibles formas que puede
usar Pedro para llegar a
Plaza San Miguel.
162
4. Luego de una semana de parciales

exitosa, tu mejor amiga y t deciden
ir a ver una pelcula a un multicine
de 13 salas.
Decida si cada una de las siguientes
situaciones es aleatoria o no lo es:
a) A qu nmero de sala irn?
b) Cunto tiempo tardarn en la
fila de la boletera para adquirir
las entradas?
c) Qu pelcula vern?
163
4.2. Espacio muestral y eventos

Hemos visto hasta aqu, entonces, que no es lo mismo trabajar con una variable aleatoria que con una no aleatoria. Pensemos ahora, entonces, ya no en el tipo de variable con la
que trabajaremos, sino en cules seran todos los resultados posibles en que un suceso
termine. Por ejemplo, si debemos agrupar a los alumnos de un saln de 60 personas en
grupos de 5, podramos elaborar una lista con todas las opciones posibles de grupos.
Cules de ellos sern los grupos que lleguen a formarse no lo sabemos, pero sabemos
que la lista cubre completamente el espectro de las posibilidades de agrupacin. A
propsito de la llegada en el 2008 de inversionistas y lderes de la economa mundial
al Per, en el marco del Foro de Cooperacin Econmica Asia Pacfico (APEC,
por sus siglas en ingls), nos preguntamos en aquella oportunidad cules seran las
posibles opciones para elaborar un men que comprenda una entrada, un plato de
fondo y un postre, tomndolos de la carta de algn prestigioso restaurante limeo.
Es posible hacer una lista con todas las combinaciones posibles de entrada-plato de
fondo-postre que se ofrecen en dicho restaurante. Cul o cules elijamos depender
de otros criterios, como qu combinacin no contiene tantos aderezos (en caso de
que algn invitado sea sensible al aj o al ajo), qu combinacin no tiene ningn tipo
de carne (en caso de que algn invitado sea vegetariano, etctera). A travs de las
dos situaciones problema siguientes trataremos de aclarar tanto la nocin de espacio
muestral como de evento.
Situacin 2
Cuatro lindas chicas, Katia, Ludovika, Claudia y Fiorella compiten en un concurso
de belleza.
El experimento consiste en observar quines ocuparn el primer y segundo lugar en
este concurso. Realice las siguientes
actividades:
a) Haga una lista de los posibles
resultados del experimento.
b) Describa de qu manera se
podran producir cada una de
las siguientes situaciones:
Ludovika obtiene el primer
puesto.
Claudia obtiene el primer puesto y Fiorella el segundo puesto.
164
Solucin propuesta
a) La lista de las posibles ganadoras del concurso est dada en la siguiente tabla:
Se usar esta representacin

para abreviar:
Primer puesto
Segundo puesto
Katia
Ludovika
(K; L)
Katia
Claudia
(K; C)
Katia
Fiorella
(K; F)
Ludovika
Katia
(L; K)
Ludovika
Claudia
(L; C)
Ludovika
Fiorella
(L; F)
Claudia
Katia
(C; K)
Claudia
Ludovika
(C; L)
Claudia
Fiorella
(C; F)
Fiorella
Katia
(F; K)
Fiorella
Ludovika
(F; L)
Fiorella
Claudia
(F; C)
La lista de las posibles ganadoras del concurso tambin puede expresarse en

trminos de conjuntos:
S = {(K; L), (K; C), (K; F), (L; K), (L; C), (L; F), (C; K), (C; L), (C; F), (F; K),
(F; L), (F; C)}
b) Segn la tabla anterior, se tienen los siguientes resultados para las situaciones:
{(L; K), (L; C), (L; F)}
{(C; F)}
La situacin 2 ha servido para introducir los trminos: espacio muestral y evento.
Qu es el espacio muestral?
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Como
todo conjunto, el espacio muestral puede estar dado por comprensin o por
extensin.
165
Tomemos los siguientes ejemplos:

El espacio muestral del experimento de lanzar un dado para observar el nmero
que sale es
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
El espacio muestral del experimento de lanzar una moneda tres veces y observar
la secuencia de caras y sellos es
S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}
Observacin: los espacios muestrales de experimentos aleatorios que consisten de

dos o ms pruebas sucesivas se pueden obtener mediante un diagrama de rbol.
Por ejemplo, para el experimento de lanzar una moneda tres veces y observar la
secuencia de caras y sellos se tiene el siguiente diagrama de rbol:
C
C
S
C
C
S
S
C
C
S
S
C
S
S
De donde se obtiene el espacio muestral:
S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}
Este espacio muestral tambin se puede expresar en trminos de ternas, de la

siguiente manera:
S = {(C; C; C), (C; C; S), (C; S; C), (S; C; C), (C; S; S), (S; C; S), (S; S; C), (S; S; S)}
166
Qu es un evento?
Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Puede estar dado por comprensin o por extensin. Como subconjunto, puede tener un solo elemento
(eventos simples) o ms de un elemento (evento compuesto).
Por ejemplo, en la situacin 2 se tienen los siguientes eventos con un solo elemento:
{(F; C)}
{(K; L)}
Estos eventos tambin pueden expresarse por comprensin, de la siguiente manera:
Fiorella obtiene el primer puesto y Claudia el segundo.
Katya obtiene el primer puesto y Ludovika el segundo.
Tambin se pueden considerar los siguientes eventos con ms de un elemento:
{(F;K), (F; L), (F; C)}
{(L; K), (L; C)}
Estos eventos tambin pueden expresarse por comprensin, de la siguiente manera:
Fiorella obtiene el primer puesto.
Katya y Claudia obtienen el segundo puesto y Ludovika obtiene el primer puesto.
167

Problemas 4.2
1. Michael y Robert son dos turistas ingleses que han venido al Per a conocer una
de las siete maravillas del mundo. Despus de visitar Macchu Picchu, ellos deciden
ir a disfrutar de las comidas tpicas que se ofrecen en el restaurante El ltimo
Inca. A Carlos, el sobrino del dueo, se le ha encomendado la tarea de observar
qu platos tpicos comern los dos turistas. La lista de platos es la siguiente:
Platos tpicos
Trucha con papas fritas
Precio (en $)
6
Milanesa de alpaca
8,5
Cuy con papas
10,5
Guiso de alpaca
7,5
Suponiendo que cada turista pedir solo un plato, responda a las siguientes
preguntas acerca de lo observado por Carlos.
La situacin descrita es aleatoria?
Cul es el espacio muestral del experimento?
Describa por extensin y comprensin dos eventos.
2. Considere el siguiente experimento: se lanzan
simultneamente un dado y una moneda
comunes y se registra el resultado.
a) Cul es el espacio muestral del experimento?
b) Describa por extensin cada uno de los siguientes eventos:
Se obtiene un nmero par.
Se obtiene una cara.
Se obtiene una cara y un nmero par.
Se obtiene una cara o un nmero par.
Se obtiene un nmero menor que 5 y un sello.
168
3. Silvia decide ir a comprar dos cajas (distintas) de discos compactos de msica

clsica. En el catlogo de msica se tienen a cantantes como: Enrico Caruso,
Franco Corelli, Luciano Pavarotti, Plcido Domingo y Juan Diego Flrez. En
cada caja vienen 2 discos compactos de diferentes tenores, distribuidos de la
siguiente manera:

Caja 1 : Caruso y Corelli
Caja 3: Flrez y Caruso
Caja 4: Corelli y Domingo
Caja 5: Pavarotti y Flrez
Caja 6: Caruso y Domingo
Caja 2: Pavarotti y Domingo
Si el experimento consiste en anotar

qu cajas comprar Silvia, responda a las siguientes preguntas.
a) Cul es el espacio muestral del experimento?
b) En qu consiste el evento:

Silvia decide comprar msica de Caruso?

Silvia decide comprar msica de Juan Diego?

Silvia decide comprar msica de Caruso y Juan Diego?

Silvia decide comprar msica de Caruso o Juan Diego?
Nota: Los dos cantantes no tienen que estar necesariamente en la misma caja.
4. Laura ir este sbado a la playa y se ha propuesto poner atencin a lo que ocurrir
a su alrededor y llevar un registro.
Tomar el tiempo que demora en
llegar a la playa, contar cuntos
heladeros pasarn ofrecindole sus
productos cuando est solendose,
contar cuntos chicos guapos hay
a su alrededor entre otros hechos
adicionales.
a) De qu tipo son las variables
que registr Laura?
169
b) D un elemento del espacio muestral asociado al experimento: tomar

el tiempo que ella demora en llegar a la playa, contar cuntos heladeros
pasan ofrecindole sus productos y contar cuntos chicos guapos hay a su
alrededor
c) D ejemplos de otros dos hechos adicionales que se podran observar en la
situacin en la que se encuentra Laura.
d) Establezca el espacio muestral para los experimentos descritos en c).
e) Para cada uno de los espacios muestrales de la pregunta d), defina por
extensin y por comprensin dos eventos, uno de ellos con un elemento y
el otro con ms de un elemento.
170
4.3. Probabilidad
Debemos ver ahora de qu manera medir qu evento tiene mayores posibilidades de
suceder. Pensemos en qu sucede cuando lanzamos un dado. Si el dado est bien
balanceado, habr iguales posibilidades de que salga cualquier nmero. Sin embargo, si lanzamos dos dados a la vez y tomamos nota de la suma de ambos, habr un
nmero que se repita mayor nmero de veces. Por qu sucede ello? Qu nmero
es aquel que tiene mayores posibilidades de salir? A continuacin se encuentran dos
situaciones que nos permitirn explicar la nocin de probabilidad.
Situacin 3
Un experimento consiste en anotar qu bola ha sido extrada de una caja donde solo
hay 5 bolas rojas y 3 azules.
Determine lo siguiente:
a) Cules son los posibles resultados de este experimento?
b) Todos los resultados son igualmente probables?
c) Cul es la probabilidad de que al extraer una bola al azar esta resulte roja? Vara
la probabilidad si se desea que la pelota sea azul o negra?
Solucin propuesta
a) Los posibles resultados del experimento son: S = {r, a}.
b) No, obtener una bola roja es ms probable que obtener una bola azul.
c) De entre un total de 8 posibilidades igualmente probables de que salgan, hay 5
maneras de extraer una bola roja. Por lo tanto, la probabilidad de extraer una
bola roja es: 5 .
8
Anlogamente, la probabilidad de que salga una bola azul es: 3 .
8

Como no existen bolas negras en la caja, entonces la probabilidad de que salga

una bola negra es 0.
La situacin 3 ha servido para introducir el concepto de probabilidad.
171
Qu es la probabilidad?
La teora de probabilidades corresponde a un rea dentro de las Matemticas
que trata de manejar con nmeros el grado de incertidumbre de un evento. Es
decir, trata de medir hasta qu punto se puede esperar que ocurra un evento.
Se dice que esa medida es su probabilidad.
La probabilidad de un evento se define como un nmero comprendido entre
0 y 1. Si la probabilidad de un evento se aproxima al nmero 0, se dice que
el evento es poco frecuente. Si la probabilidad de un evento se aproxima al
nmero 1, se dice que el evento es muy frecuente.
Se considerarn dos tipos de planteamiento para el clculo de la probabilidad: clsica
y emprica. A continuacin, se presenta e ilustra con un ejemplo cada una de ellas.
Clculo de la probabilidad clsica
Si S es un espacio muestral con un nmero de resultados n(S) igualmente
probables de que ocurran, y E es un evento de dicho espacio muestral con
n(E) resultados igualmente probables de que ocurran, entonces la probabilidad
clsica de E, que se denota por P(E), es la siguiente:
P(E)= n( E )
n( S )
Situacin 4
Se seleccionar al azar un nmero entre los enteros del 1 al 12. Determine la probabilidad de que ese nmero sea
a) divisible entre 3
b) par y divisible entre 3
c) par o divisible entre 3
Solucin propuesta
El espacio muestral del experimento es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12}.
a) El conjunto E = {3, 6, 9, 12} contiene los mltiplos de 3. Por lo tanto,
P(E) = n( E ) = 4 = 1
n( S ) 12 3
172
b) El conjunto E = {6, 12} contiene a los pares y divisibles entre 3. Por lo tanto,
P(E) = n( E ) = 2 = 1
n( S ) 12 6
c) El conjunto E = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12} contiene a los pares o divisibles por 3.
Por lo tanto,
P(E) = n( E ) = 8 = 2
n( S ) 12 3
Clculo de la probabilidad emprica

La probabilidad emprica es una manera de asignar probabilidad a cada
evento, segn los datos que se han recopilado. La probabilidad emprica se
halla realizando un experimento u observando una situacin varias veces,
contando cuntas veces ocurre cierto evento y estableciendo la relacin entre
casos favorables y casos totales.
P(E) =
Nmero de veces que se observa que el evento ocurre

Nmero total de pruebas u observaciones
Situacin 5
A continuacin se muestran los resultados obtenidos luego de lanzar un dado y anotar
el nmero que aparece en la cara superior:
Nmero de lanzamientos
120
100
130
150
120
140
Nmero de veces que se obtuvo el nmero 6

22
21
26
20
21
26
Teniendo en cuenta esta informacin, cul sera la probabilidad emprica de que al

lanzar nuevamente el dado se obtenga el nmero 6?
173
Solucin propuesta
Nmero de
lanzamientos
Nmero de veces
que se obtuvo el
nmero 6
120
100
130
150
120
140
22
21
26
20
21
26
Acumulando el
nmero de veces
que el evento
ocurre
22
43
69
89
110
136
Acumulando
las
observaciones
120
220
350
500
620
760
Dividiendo los
nmeros de
las columnas
3y4
0,18333333
0,19545455
0,19714286
0,178
0,17741935
0,17894737
Se observa cierta estabilidad alrededor del 0,17 y se podra definir este valor como
la probabilidad emprica de que al lanzar el dado nuevamente se obtenga el nmero
6.
Observacin: en trminos generales, las probabilidades empricas pueden diferir de
las tericas, pero tienden a coincidir cuando el nmero de observaciones es grande.
174

Problemas 4.3
1. Un experimento consiste en anotar qu lapicero ha sido extrado de una caja

donde hay 6 lapiceros rojos y 4 lapiceros negros. Determine lo siguiente:
a) Cules son los posibles resultados de este experimento?
b) Todos los resultados son igualmente probables?
c) Calcule la probabilidad de que al extraer un lapicero al azar suceda lo
siguiente:
Que sea un lapicero rojo.
Que sea un lapicero negro.
Que sea un lapicero azul.
2. Si se tiene una ruleta como la que se muestra en la figura,
a) Cul es la probabilidad de que al girarla esta se detenga en un nmero
impar?
b) Cul es la probabilidad de que se detenga en los nmeros 4 5?
3. De una bolsa que solo contiene caramelos de dos sabores (25 de fresa y 25 de
limn), Juan extrae con reposicin al azar tres de ellos de uno
en uno. Considerando dicha situacin, realice las siguientes
actividades:
a) Haga un diagrama de rbol para el experimento.
b) Determine el espacio muestral del experimento.
c) Describa por extensin los siguientes eventos y seale si
tienen uno o ms elementos:

Todos los caramelos son del mismo sabor.
Se seleccionan exactamente dos caramelos de fresa.
d) Determine la probabilidad de que ocurran los eventos
descritos en c).
175
4. El profesor Ramrez decidi llevar a la escuela un juego de bingo para asignar a

sus alumnos, aleatoriamente, una tarea. El juego contiene 5 esferas numeradas
del 1 al 5. Antes de iniciar la clase present a sus 12 alumnos el siguiente cuadro.
Esfera 1
Pintar acuarela
Esfera 2
Experimentos sobre
botnica
Esfera 3
Lectura silenciosa
Esfera 4
Resolver problemas de
matemticas
Esfera 5
Componer poemas
Cada alumno saldr segn el orden alfabtico, extraer una esfera y la retornar
a la caja.
a) Cul es la probabilidad de que un alumno no pinte acuarela?
b) Cul es la probabilidad de que un alumno no resuelva problemas de matemticas y que tampoco realice experimentos de botnica?
c) Cul es la probabilidad de que componga poemas?
d) Explique en qu medida variara el problema si se extrajeran las esferas sin
reposicin.
5. En un curso de Matemticas, dirigido a estudiantes de diferentes especialidades,
se encuentran matriculados 70 alumnos de los cuales 15 siguen la carrera de
Psicologa, 26 la de Derecho, 13 la de Antropologa y 16 la de Filosofa.
Si se selecciona un estudiante al azar:
a) Calcule la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea de la especialidad de Derecho.
b) Calcule la probabilidad de que el estudiante seleccionado sea de Psicologa
o Antropologa.
c) Calcule la probabilidad de que el estudiante seleccionado no sea de Filosofa.
d) A qu especialidad es ms probable que pertenezca este estudiante?
176
6. En el siguiente cuadro, se muestra el nmero de alumnos que decidieron seguir

una carrera de Letras de cada 1 000 ingresantes a la Universidad del Futuro.
Ao
Nmero de alumnos que siguieron

una carrera de Letras
480
625
550
640
580
590
610
680
560
10
605
11
590
12
620
a) Complete la tercera y cuarta columna de la tabla, siguiendo el procedimiento

mostrado a continuacin:
1
2
480
625
480
1 105
480/1 000
1 105/2 000
b) Comente cmo cambian los valores de la cuarta columna cuando se consideran ms aos.
c) Si se eligiera al azar a uno de los nuevos ingresantes a dicha universidad
el prximo ao, cul sera la probabilidad de que dicho alumno siga una
carrera de Letras?
177
Anexo
Respuestas a las preguntas propuestas
Captulo 1
Problemas 1.1
1. a) F
b) V
2. a) La escala del plano ser 1:20 000, lo que significa que 1 cm en el plano representa 20 000 cm 200 m en la realidad.
b) La distancia real entre el Museo Arqueolgico (15) y la iglesia Santo Domingo
(6) es 80 000 cm u 800 m.

c) E =
3,7
1
80 000 21 622
3. a) Para E = 7 la copia excede del tamao de una hoja A4.

2

b) Para E = 3 la copia ampliada tiene dimensiones menores a la hoja A4.

1
1
c) La escala adecuada es E =
0,2892
4. a) 1 cm en el plano equivale a 200 cm en la realidad.

10 cm en el dibujo equivale a 2000 cm en la realidad.
b) Dimensiones reales (valores aproximados)
Aproximadamente rea = 261 m2

c) La mesa y las sillas s pueden acomodarse en la cocina, dado que sus dimensiones son menores a las dimensiones de la cocina (4,2 m x 2,4 m) y se pueden
distribuir en este espacio.
d) El tamao de este nuevo plano ser mayor que el tamao del plano mostrado
pues, segn la nueva escala, 1 cm del dibujo equivale a 50 cm de la realidad.
e) No es posible porque las dimensiones del nuevo plano son mayores que las
dimensiones de la hoja A4.
5. a)

1
6 666 667
b) 440 km
Problemas 1.2 y 1.3

1. Claudia tuvo una mejora ms significativa en su aprendizaje, pues el incremento
porcentual fue de 44,4%; mientras que el de Vanesa fue de 26,7%.
2. Las dos alternativas son iguales.
3. a) S

b) S/. 36

c) S/. 1 480
4.
5.

180
SUBTOTAL
S/. 636,66
IGV (19%)
S/. 121,34
TOTAL
S/. 760,00
a) 19 295 m3
b) 58,75%
c) Disminuy en 28 907 m3
d) Disminuy en 55,44%
e) Se podra decir que en el 2008 no habr suficiente madera ni siquiera para el
comercio legal.
Anexo
6. a) Ricardo recibira adicionalmente 25 soles en total.

b) Para Ricardo sera ms beneficioso comprar una sola recarga de 120 soles, por
la cual recibira un bono de 36 soles.
c) La recarga fue de 110 soles.
7. a) Segn la Universidad Catlica, 26 personas manifestaron su aprobacin a la
gestin presidencial.
b) Segn la Universidad Catlica, el rechazo al presidente Garca se ha incrementado en 24,23 puntos porcentuales.
c) El rechazo a la gestin del presidente Garca ha variado en 46,1%.
d) La aprobacin del presidente Garca ha disminuido en 12,402 puntos porcentuales.
e) La aprobacin de Garca ha variado porcentualmente en 40,793%.
f) Segn la Universidad Catlica, en el Sur del pas la aprobacin del presidente
ha disminuido menos.
g) Segn Datum, en el Oriente del pas el rechazo se ha incrementado ms.
Problemas 1.4
1. El capital acumulado luego de 6 aos ser de S/. 2530,63.
2. La tasa de inters que se aplic fue de 5,2%.
3. a) Hildara deber pagar $ 14 880
b) Monto de la mora: $ 144,8
Pago total: $ 15 028, 8
c) Hildara deber pagar: $ 15 116, 544
4. a) En total se pagar $ 2 480
b) 8 aos
5. a) $ 13 600
b) $ 45 600
c) $ 760
d) 4 aos
e) $ 32 000(1+0,085t)
181
6.

a) $ 2 140
b) $ 2 450,1
c) 2 000(1,07)t
d) Luego de aproximadamente 16,24 aos
7. a) El monto acumulado en la cuenta luego de 4 aos es: $ 16 325,868.

b) El monto acumulado en la cuenta luego de 5 aos es: $ 17 631,937.
c) Entre el cuarto y quinto ao, el monto acumulado habr aumentado en
$ 1 306,069.
d) Variacin porcentual = 17 631,937 16 325,868 x 100% = 7,9%
16 325,868
e) Entre el noveno y dcimo ao.
Captulo 2
Problemas 2.1
1. a) S es funcin.
Variable independiente: longitud del lado.
Variable dependiente: permetro.
b) S es funcin, ya que cada alumno tienen una nica fecha de nacimiento.
Variable independiente: alumno del curso de Matemticas.
Variable dependiente: la fecha de nacimiento.
2. a) S es funcin.
Estatura en cm
Edad en aos
182
Anexo
b) No es funcin, pues hay personas con igual masa corporal, pero con distinto
ndice de grasa diferente.
c) No es funcin, pues hay mujeres que tienen la misma edad pero necesitan
diferentes cantidades de caloras.
d) S es funcin
e) S es funcin
Costo en soles
Permetro en cm
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Tiempo en minutos
f) S es funcin
7
8
Largo en cm
g) S es funcin
rea del rectngulo
rea
3
Lado
Lado del rectngulo
183
3. A = {1; 2; 3; 4; 5 }.
a) No es funcin cuando a un alumno le corresponda dos escalas de pago diferentes.
b) Para que sea funcin a cada alumno le debe corresponder una nica escala.
4. a) A cada peruano que lo solicita le corresponde un crdito hipotecario.
Variable independiente: un peruano que solicita un prstamo hipotecario.
Variable dependiente: el monto asignado para el prstamo.
b) Tiempo que emplea un estudiante para almorzar en una cafetera de la Universidad del Futuro.
Variable independiente: estudiante de la Universidad del Futuro.
Variable dependiente: tiempo que demora un estudiante en almorzar.
5. a) Es suficiente observar la grfica.
b) No es una funcin.
c) Se tiene que considerar la edad en el eje X y la altura en el eje Y.
6. a) 1750 libros.
b) S es funcin, pues a cada da le corresponde una nica cantidad de libros
vendidos.
c) Segn la grfica, durante los das 10-20, la venta de libros ha disminuido con
respecto al dcimo da, y durante los das 30-45 la venta de libros ha disminuido con respecto al da 30.
d) En el da 30 se vendi la mayor cantidad de libros y fueron 250.
184
Anexo
7.
a)
b)
S es una funcin.
La variable independiente se encuentra en
el eje horizontal y la dependiente en el eje
vertical.
Si se considerara a la variable independiente

en el eje horizontal y la dependiente en el eje
vertical, entonces no sera funcin ya que hay
valores de x con dos imgenes. Sin embargo, se
podra considerar como funcin si se considera a
la variable dependiente en el eje horizontal y la
independiente en el eje vertical.
Dominio: [-3,5 ; 4]
Rango: [-4; 3]
c)
d)
Considerando a la variable independiente

vertical, no sera funcin ya que hay valores
de x con dos imgenes.
S es una funcin.
La variable independiente se encuentra en el eje
horizontal y la dependiente en el eje vertical.
Dominio: [-3;6]
Rango: {1;3}
185
e)
f)
Si se considera a la variable independiente

vertical, entonces no sera funcin ya que el
valor de x = 2 tiene ms de una imagen (en
realidad, infinitas). Sin embargo, se podra
considerar como funcin si se considera a la
variable dependiente en el eje horizontal y la
independiente en el eje vertical.
Considerando a la variable independiente en el eje

horizontal y la dependiente en el eje vertical, s
sera funcin, ya que a cada valor de x se le asigna
un nico valor de y.
Dominio: [-3; +[
Rango: [-3;3]
Problemas 2.2
1
1. Una regla de correspondencia para y en funcin de x est dada por: y = x + 1 .
2

2. f(x) = 1 x
2
3. Las reglas de correspondencia que corresponden a funciones lineales son a, c y d.
4. Cada una de las funciones tiene como dominio y rango el conjunto de los nmeros
reales. Las grficas de a) y b) se muestran a continuacin.
y
(0,4)
(-4,0)
186
(0,2)
(2,0)
Anexo
9
5. La funcin que corresponde a la grfica mostrada es y = x + 15 .
8
6. a)
U(x)
soles
(2 000,40 500)
500
x
nmero de artculos
b) Al vender 200 artculos se obtiene una utilidad de 4 500 soles.

c) Al vender 500 artculos se obtiene una utilidad de 10 500 soles.
d) Para obtener una utilidad de 3 400 soles se deben vender 145 artculos.
e) La mxima utilidad que puede obtenerse es 40 500 soles.
7. a) Segn la opcin A: A(x) = 400 + 0,02x, donde x es el total de ventas realizadas

por Susana.
Segn la opcin B: B(x) = 500 + 0,015 x, donde x es el total de ventas realizadas
por Susana.
b) S/. 440
c) S/. 530
d)
Sueldo en S/.
B
A
800
500
400
20 000
Ventas en S/.
187
e) Si las ventas de Susana son menores a S/. 20 000, le conviene la opcin B; y

si sus ventas son mayores a S/. 20 000, le conviene la opcin A.
8. a) Caso A: precio por pagar = 30 + 16n.

Caso B: precio por pagar = 20(n + 1).

b) Le conviene la opcin A, con lo cual pagara 110 soles.
Problemas 2.3
1. a) Plan Per 16:
x 4 200
16,
C ( x) =
16 + 0,004( x 4 200), x > 4200
donde x es la cantidad de segundos en llamadas.
Plan Amrica 20:

x 6 300
20,
A( x) =
20 + 0,003( x 6 300), x > 6 300
b)
y: costo
por
minuto
Per 16
Amrica
20
20
16
4200
6300
x:
segundos
c) Se habl 7201 segundos.
2. a) Sea x el peso del equipaje total en kilogramos y M (x) el monto total que se
debe pagar por exceso de equipaje. Entonces, obtenemos la siguiente regla
de correspondencia:
188
Anexo
0 x 25
0,
M ( x) =
< x 64
(
x
25
)
8
,
25
0 x 25
0,
b) Graficamos M ( x) =
< x 64
8
x
200
,
25
M(x)
Euros
312
25
64
x
Kilos
c) Si el equipaje excede los 30 kilos se pueden presentar los siguientes casos:

Si 30 < x < 40, le conviene viajar en Blue Air.
Si x = 40, en cualquiera de las aerolneas pagar lo mismo.
Si 40 < x < 64 le conviene viajar en Sky Blue.
Debemos notar que el punto de interseccin de las dos grficas se da en x = 40.
189
Problemas 2.4
a)
b)
10
1
4
?2,? 5
c)
d)
1
2
e)
f)
4
4
3
4
1
6
8
2. a) f(x) = 2(x 2)2 + 7; Dom = R; Ran = ]-; 7]; interceptos: (0; -1), 2

190
b) f(x) = (x 3)2; Dom = R; Ran = [0; +[; interceptos: (-3; 0), (0; 9)
c) f(x) = 3(x 1)2 + 3; Dom = R; Ran = ]-; 3]; interceptos: (0; 0), (2; 0)
7
;0
2
Anexo
3. f(x) = 4(x 1)2 5; Dom = R; Ran = [-5; +[; interceptos: (0; -1), 1
5
;0
2
y
6
2
-2
-4
4. A(x) = x(8x), donde x es la longitud de uno de los lados del rectngulo y 0 < x < 8.
5. a) Depende, pues hay dos instantes en los que la altura del proyectil es 5 m. En uno de
ellos, la cantidad de km recorridos es menor que 5 km pero; en el otro, es mayor.
b) No, solo a la altura y = 15 km le corresponde un nico elemento del dominio, x = 4 km. A los otros valores de la altura le corresponden dos valores del
dominio.
6. A(x) = x(3400 2x)
La expresin obtenida corresponde a una funcin cuadrtica cuyo dominio es
]0; 1700[.
7. a) U = 3, lo que significa que hubo una ganancia de 3 000 dlares.
b) U = 3,75, lo que significa que hubo una ganancia de 3 750 dlares.
c)
8
.
x
-4
191
d) Se deben producir 500 unidades para obtener la mxima utilidad que es

4 000 dlares.
8. a) U(x) = 0,1x2 + 90x 300

b) S/. 13 700
Se deben producir y vender 450 artculos para obtener la mxima utilidad
que es S/. 19 950.
9. a) T(x) = 2(x 20)2 + 40; a = -2; h = 20; k = 40, considerando 16 < x < 24
b)
56
52
48
44
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
-4
-8
-12
2.
4.
6
.
8.
10
.
12
.
14
.
16
.
18
.
20
.
22
.
24
.
26
.
28
.
c) 20 km/h
d) 40 km
10. a) S/. 12
b) S/. 12
c)
l(x)
16000
(2,6; 13 520)
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
192
x
2
5,2
Anexo
U(t) = (t 4)2 + 16
Vrtice (4; 16)
Puntos corte con los ejes: (0; 0), (8; 0)
d) Deben alquilar un auto por 4 h para obtener la mayor utilidad posible que es
S/. 16.
11. a) La expresin que relaciona el precio del pasaje y el nmero de pasajes vendidos
es la siguiente, o una equivalente, p 400 = 5000 n
4
10
b) Una frmula para la funcin que relaciona el ingreso con el precio es la
siguiente
I (p) = 24000-10p p
4
I (p) =-2,5(p-1200)+3600 000

c) Para tener un mximo ingreso el pasaje debe costar 1200 dlares.
12. a) La tabla quedara de la siguiente manera:
Precio por pan

x
Nmero de panes vendidos diariamente

y
0,20
10 000
0,20 + (1)0,005
10 000 - (1)(10)
0,20 + 2(0,005)
10 000 - (2)(10)
0,20 + 3(0,005)
10 000 - (3)(10)
0,20 + 4(0,005)
10 000 - (4)(10)
0,20 + m(0,005)
10 000 - (m)(10)
b) m = 200x 40
c) y = 2 000x + 10 400
d) Sea I el ingreso: I(x) = 2000x 2 + 10 400x
193
e) La grfica de I es:
l(x)
16000
(2,6; 13 520)
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
x
4
5,2

Su vrtice es (2,6; 13 520).
Los interceptos con los ejes coordenados son (0; 0) y (5,2; 0).
f) El precio que debe asignarse a un pan para obtener el mayor ingreso posible
es S/. 2,6.
13. a) De los datos se obtiene la siguiente tabla
Precio de un kg de pollo
p
Nmero de kg de pollo vendidos

n
S/. 5
S/. (5 + 0,10)
S/. (5 + 0,10(2))
S/. (5 + 0,10(x))
50 000
50 000 - 500
50 000 - 500(2)
50 000 - 500(x)
Entonces, obtenemos la siguiente expresin:

p = 5 + 0,10x n = 50 000 500x
Si se despeja x en cada ecuacin y se iguala:
p 5 50000 n
=
0,10
500
b) Una frmula para la funcin que relaciona el ingreso con el precio es la siguiente:
Ingreso = (precio de un kg)(nmero de kg vendidos)
194
Anexo
n=
De la frmula obtenida en a), se obtiene que

Entonces:
7500 500 p
0,10
I ( p) = n p
I ( p) =
7500 500 p
p
0,10
Problemas 2.5
1. a) La grfica es la siguiente:
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
Dom(f ) = R
Ran(f ) = ]0; + [
195
b) La grfica es:
4 y
1
x
-1
-2
-1
Dom(f ) = R

Ran(f ) = ]0; + [
c) La grfica es la siguiente:
y
5
4
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
Dom(f ) = R

196
Ran(f ) = ]1; + [
Anexo
d) La grfica es la siguiente:
y
5
4
3
2
1
x
-5
-4
-1
-2
-3
-1
-2
Dom(f ) = R

Ran(f ) = ]1; + [
e) La grfica es la siguiente:
y
5
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
Dom(f
) = R
Ran(f ) = ]1; + [
197
f) La grfica es la siguiente:
y
5
4
3
2
1
x
-3
-4
-1
-2
-1
Dom(f
) = R
Ran(f ) = ]1; + [
g) La grfica es la siguiente:
y
5
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
-1

2.

Dom(f
) = R
a) B
b) A
3. f(x) = 4,3(1,4)x
g(t) = 5,5(0,8)t
4. a) 0,75 D 0
b) 0,5625 D 0
198
Ran(f ) = ]0; + [
Anexo
c) 0,75 D 0
d) Sea f(t) = 10(0,75)t, t > 0, su grfica es la siguiente:
11 y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
-1
t
1
9 10 11 12 13 14 15 16 17
-2
-3
e) Segn la expresin obtenida en la parte c), el ibuprofeno no desaparecer totalmente

del torrente sanguneo, pero a medida que pase el tiempo ir disminuyendo.
f) 2, 4 horas (valor aproximado).
5. a) La poblacin despus de 3 aos ser de 97 029 habitantes (aproximadamente).

b) 8 aos (aproximadamente).
6. a) 8 589 habitantes.
b) 16 aos.
7. a) Para el 2015 la poblacin ser de 138 750 habitantes.
b) 141 aos (valor aproximado).
8. a) k = 12,77
b) Para R = 7,45, es decir, el riesgo es de 7,45%.
c) x = 0,22
9. Sera ms rentable el mtodo b), pues 21 474 836,46 > 1 000 000.
10. a) n = 1,98 das (1 da 23 horas 31 minutos 12 segundos)
b) n = 6,58 das (6 das 13 horas 53 minutos 30 segundos)
199
11. a) k = 0,1340
b) A = 89 774,78
c)
Semana
Volumen
1
78 515
2
68 667,44
3
60 055
4
5
52 522,75 45 935,21
d) El volumen de ventas en la cuarta semana fue de $ 52 522,76.

e)
Voluntad de ventas ($)
x (semanas)

El volumen de ventas disminuye al transcurrir el tiempo.
f) 4,3673 das.
12. a) y = 750x + 15000

b)
c)
S = 15000 (
x
0
5
10
15
20
25
30
200
20
2)
(I) Crecimiento lineal del

alquiler
15 000
18 750
22 500
26 250
33 750
37 500
37 500
(II) Crecimiento exponencial

del alquiler
15 000
17 838,11
21 213,20
25 226,89
30 000
35 676,21
42 426,40
Anexo
d)
Alquiler ($)
30000
15000
x (aos)
Problemas 2.6
1. a) Las variables que se relacionan son los aos y el nmero de huelgas producidas a
nivel nacional en esos aos. Es importante notar que en la grfica los puntos que
sobresalen se han unido por segmentos para resaltar el crecimiento o decrecimiento
del nmero de huelgas, pero en realidad la grfica debi ser solo un conjunto finito
de puntos.
b) El dominio est formado por los valores enteros entre 1985 y 2007 inclusive, y
el rango de la funcin est formado por las alturas de los puntos marcados en el
grfico; es decir, por el conjunto {50; 100; 150; 200; 300; 550: 600; 650; 700;
750; 850}. Estas variables son discretas.
c) Segn la grfica, en 1988 hubo mayor nmero de huelgas.
d) El nmero total de huelgas entre 1995 y 2007 se obtiene sumando las ordenadas
de los aos respectivos.
2. a) Dom ( f ) = [4; 2[]2; 4] y Ran ( f ) = [2; 6]
b) Creciente: ]-4; -2] ]0; 1[
Decreciente: ]-2; 0[
Constante: ]1; 4]
c) Valor mximo de f : f (1) = 6 y valor mnimo de f : f (0) = 2
4
d) E =
3
e) No es posible encontrar f (1), pero s f (3) =4.
201
3. a) Solucin alternativa: asumiendo que se moviliza en automvil, dado que la distancia es en millas. El estudiante parte de su domicilio y en 4 minutos recorre 2
millas, luego se detiene a recoger a otros estudiantes que demoran 2 minutos
y finalmente llega a la escuela en 10 minutos.
x
2 , 0 x4
b) f ( x) = 2 , 4 < x < 6
x 4 , 6 x 10
4. a) x: aos entre 1980 y 2000

y: nmero de desapariciones forzadas atribuidas a las fuerzas policiales reportadas
b) Dom(f ) = {80;81;82;;99;100}
Teniendo en cuenta los datos puntuales tenemos:
Ran(f ) = {2;6;30; ; 5; 0}
c) S, pero por tramos.
d) Entre 1982 y 1984.
e) S podra inferirse.
f) Con los datos obtenidos se tendra una informacin aproximada.
Captulo 3
Problemas 3.1
1.

a) Cuantitativa continua
b) Cualitativa nominal
c) Cualitativa nominal
d) Cualitativa ordinal
e) Cualitativa nominal
f) Cualitativa ordinal
g) Cuantitativa continua
h) Cualitativa nominal
i) Cuantitativa discreta
j) Cuantitativa continua
2. a) Tipo de variable:
Posible poblacin:
202
cualitativa nominal
personas que viven en Lima
Anexo
b) Tipo de variable:
Posible poblacin:
c) Tipo de variable:
Posible poblacin:
d) Tipo de variable:
Posible poblacin:
e) Tipo de variable:
Posible poblacin:
cuantitativa continua
estudiantes de la Universidad del Futuro
cualitativa nominal
personas que escuchan radio
cuantitativa discreta
personas que comen en restaurantes
personas que utilizan celular
3. a)

b)

nivel de estudio
cualitativa ordinal
grupo de habitantes del distrito de San Miguel
habitantes del departamento de Lima
Variable estadstica:
Tipo de variable:
Muestra:
Posible poblacin:
4. a) Variable estadstica:
Tipo de variable:
b) Muestra:
Poblacin:

nmero de vehculos de transporte pblico que toma al da

grupo de estudiantes de la Universidad del Futuro
estudiantes de la Universidad del Futuro
Problemas 3.2
1. a) Variable estadstica: puntaje obtenido en un test psicolgico
Tipo de variable:
b) S se poda utilizar una tabla como la descrita. La ventaja sera que as tendramos
la informacin organizada por puntaje obtenido en el test.
c)
Intervalos de
puntajes
[4; 11[
[11; 18[
[18; 25[
[25; 32[
[32; 39[
[39; 46]
Total
Cantidad de nios
2
3
9
15
8
3
40
203
d)
Intervalos
[xi; xi+1 [
[4 - 11[
[11 - 18[
[18 - 25[
[25 - 32[
[32 - 39[
[39 - 46]
Marca de Frecuencias
absolutas
clase
(xi)
(fi)
7,5
14,7
21,5
28,5
35,5
42,5
2
3
9
15
8
3
40
Frecuencias
relativas
(hi = fi/n)
Frecuencias
Frecuencias
relativas
acumuladas
acumuladas
(Fi)
(Hi)
0,05
0,075
0,225
0,375
0,2
0,075
1
2
5
14
29
37
40
0,05
0,125
0,35
0,725
0,925
1
e) 14 nios
f) 3 nios
g) 72,5%
h) 27,5%
2. a) Variable estadstica: puntaje obtenido en una prueba sobre puntos

Tipo de variable: cuantitativa discreta
b) Muestra: 40 alumnos de un colegio
Posible poblacin: todos los alumnos del colegio
c) Es ms conveniente presentar la informacin resumida como la tabla 2 porque esto
permite detectar el rendimiento de los alumnos. Aunque la presentacin de los
datos depende del tipo de investigacin que se est realizando, la forma 2 permite
organizar la informacin recogida directamente, en este caso de las pruebas.
d)
Intervalos
[xi; xi+1 [
[40 - 49[
[49 - 58[
[58 - 67[
[67 - 76[
[76 - 85[
[85 - 94]
204
Marca de Frecuencias Frecuencias Frecuencias

clase
absolutas
relativas acumuladas
(fi)
(hi = fi/n)
(Fi)
(xi)
44,5
53,5
62,5
71,5
80,5
89,5
3
5
5
7
13
7
0,075
0,125
0,125
0,175
0,325
0,175
40
3
8
13
20
33
40
Frecuencias
relativas
acumuladas
(Hi)
0,075
0,2
0,325
0,5
0,825
1
Anexo
e) 20
f) 5
g) 82,5%
h) 17,5%
3. a)
Intervalos
[xi; xi+1 [
Marca de
clase
(xi)
[127 - 132[
[132 - 137[
[137 - 142[
[142 - 147[
[147 - 152[
[152 - 157[
[157 - 162]
129,5
134,5
139,5
144,5
149,5
154,5
159,5
Frecuencias Frecuencias Frecuencias

absolutas
relativas
acumuladas
(fi)
(hi = fi/n)
(Fi)
4
6
3
3
2
1
1
20
0,2
0,3
0,15
0,15
0,1
0,05
0,05
1
4
10
13
16
18
19
20
Frecuencias
relativas
acumuladas
(Hi)
0,2
0,5
0,65
0,8
0,9
0,95
1
b) 35%
Problemas 3.3
1. a) Variable estudiada: la raza; tipo: cualitativa nominal
b)
Raza
Frecuencia
absoluta fi
Frecuencia relativa
hi
Frecuencia
porcentual pi
Blanca
Negra
Amarilla
Mestiza
Total
316
175
203
306
1000
0,316
0,175
0,203
0,306
1
31,6%
17,5%
20,3%
30,6%
100%
c) No sera adecuado, ya que la variable estudiada no es cuantitativa continua.
2. a) Son cualitativas nominales: el sexo y el motivo de la atencin.

b) Ambas variables no podran representarse en una tabla de frecuencias de una
variable aleatoria; habra que hacerlo en tablas distintas.
205
Por ejemplo:
Mujeres
Motivo de la
atencin
Cadas
Clicos
Heridas
fi
15
20
8
Hombres
hi
0,35
0,46
0,19
Motivo de la
atencin
Cadas
Clicos
Heridas
pi
35%
46%
19%
fi
12
25
20
hi
pi
0,21
0,44
0,35
21%
44%
35%
c) Mujeres:
Motivo de la atencin
Heridas
19%
Cadas
Cadas
35%
Clicos
Heridas
Clicos
46%
De manera similar, se obtiene un grfico para los hombres.
3. a) Variable: grado de preferencia por la comida vegetariana

Tipo: cualitativa ordinal

Tabla de frecuencias:
Grado de preferencia
fi
hi
pi
Nada
Poco
Mucho
20
20
10
0,4
0,4
0,2
40%
40%
20%
Grfico:
Grado de preferencia por la comida vegetariana
Poco
20%
Nada
40%
Mucho
40%
206
Nada
Mucho
Poco
Anexo
b) Variable: costo del men

Tipo: cuantitativa continua

Tabla de frecuencias:
Clases
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
[8; 10[
0,21
21%
0,21
21%
[10; 12[
11
0,21
21%
12
0,42
42%
[12; 14[
13
0,29
29%
20
0,71
71%
[14: 16[
15
0,18
18%
25
0,89
89%
[16; 18]
17
0,11
11%
28
100%
Grfico:
9
[12-14[
8
7
6
[8-10[
[10-12[
[8-10[
[14-16[
[10-12[
[12-14[
[16-18]
[14-16[
[16-18]
2
1
0
4. a) Variable: medio de preferencia para informarse mejor

Tipo: cualitativa nominal
b) No, porque la suma no es 100%.
5. a) Se representan dos variables:
El grado de instruccin y el uso o no uso de anticonceptivos. Los tipos de estas
variables son, respectivamente, cualitativa ordinal y cualitativa nominal.
b) Corresponde al grado de instruccin de las personas que no usan anticonceptivos.
primaria
5%
secundaria
31%
analfabeta
37%
secundaria
superior
analfabeta
primaria
superior
27%
207
Problemas 3.4.1
1. No puede ser la mediana ya que la nica manera de que esta sea un nmero con
cifras decimales es si fuera el resultado de promediar dos enteros consecutivos
(por ejemplo 0 y 1, 1 y 2, etctera), y en ningn caso este promedio ser 0,9.
Tampoco puede ser la moda porque esta medida de tendencia central debe tomar uno
de los valores de la variable y 0,9 no es un valor de la variable nmero de vehculos.
2. a) En total fueron encuestados 4 000 hinchas
b) El equipo B tiene 1 440 hinchas
c) Hinchas del equipo A: 1 680
Hinchas del equipo C: 440
Hinchas del equipo D: 240
La variable es cualitativa nominal
xi
Equipo A
Equipo B
Equipo C
Equipo D
Otros
fi
1 680
1 440
440
240
200
Fi
1 680
3 120
3 560
3 800
4 000
hi
0,42
0,36
0,11
0,06
0,05
Pi=hi%
42
36
11
6
5
Hi
0,42
0,78
0,89
0,95
1,00
d) Es imposible determinar la mediana, ya que se trata de una variable cualitativa.

La moda est dada por el equipo A, pues es el de mayor preferencia.
3. a) Denotemos por xi la variable estadstica involucrada. Esta variable est definida

como la carrera que estudian los alumnos de la promocin 2005 del colegio Albert
Newton. La variable es de tipo cualitativa nominal.
b)
xi
I. Industrial
I. Informtica
Derecho
Psicologa
Economa
Medicina
Publicidad
Educacin
Arquitectura
208
fi
45
60
70
15
19
27
18
12
15
hi
0,16
0,21
0,25
0,05
0,07
0,10
0,06
0,04
0,05
pi
16
21
25
5
7
10
6
4
5
Anexo
c)
70
60
45
18
12
15
Arq
Publicidad
Medicina
Psicologa
Economa
15
Educacin
Derecho
Industrial
Informtica
27
19
4. a) Variable: nmero de horas que invierten los alumnos en internet

Tipo: variable cuantitativa continua

b)
Intervalos
xi
fi
Fi
hi
Pi=hi%
Hi
[14 - 19[
16,5
0,14
14
0,14
[19 - 24[
21,5
10
0,06
0,20
[24 - 29[
26,5
16
0,12
12
0,32
[29 - 34[
31,5
23
0,14
14
0,46
[34 - 39[
[39 - 44]
36,5
41,5
15
12
38
50
0,30
0,24
30
24
0,76
1,00
c) La siguiente variable relaciona el nmero de alumnos con las horas que invierten
en internet.
14 19
24
29 34 39
44
x
horas
209
Problemas 3.4.2
1. Media aritmtica = x =
121
= 6,05
20
6+7
= 6,5
2
Mediana= M e =
Moda = Mo = 8
2.
x = 14,25, M e = 15 M o ,= 16
3.
Clases
xi
fi
hi
pi
Fi
Hi
[150; 180[
165
20
0,1
10%
20
0,10
[180; 210[
195
40
0,2
20%
60
0,30
[210; 240[
50
0,25
25%
110
0,55
[240; 270[
50
0,25
25%
160
0,80
[270; 300]
40
0,2
20%
200
4. Las edades son 22, 22, 23 y 28.

5. a) La variable estudiada es la temperatura promedio de un paciente durante 10 das
y el tipo de la variable es cuantitativa continua.
b) M=
x 37,69, Me = 37,65, Mo = 37,5 y 38, es bimodal.
6. a) Variable estudiada: motivo de atencin de los pacientes durante una semana en
una unidad de emergencia.
Tipo: cualitativa nominal
b) En un grfico de barras.
60
50
40
30
20
10
0
210
Cadas
Atropellos
Picaduras Intoxicaciones
Heridas
Clicos
producidas...
estomacales de insectos
Anexo
c) La moda
7. a)
Mediana = 27
Moda = 27, 28,31
Media = 26,9
b)
Marcas de
clase xi
7,5
14,5
21,5
28,5
35,5
42,5
Inversin
[4 - 11[
[11 - 18[
[18 - 25[
[25 - 32[
[32 - 39[
[39 - 46]
fi
hi
Fi
Hi
pi
2
3
10
15
7
3
0,05
0,075
0,25
0,375
0,175
0,075
2
5
15
30
37
40
0,05
0,125
0,375
0,75
0,925
1
5%
7,5%
25%
37,5%
17,5%
7,5%
c) Menos de 18 mil dlares: 12.5%.

d) Por lo menos 18 mil dlares: 22,5%.
e)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
[4,11>
[11,18> [18,25> [25,32> [32,39> [39,46]
8. a) Media = 33,34
Mediana = 35
Moda = 35 y 36
211
Intervalos
[12 - 17[
[17 - 22[
[22 - 27[
[27 - 32[
[32 - 37[
[37 - 42[
[42 - 47]
Total
b)
Marcas de clase
14,5
19,5
24,5
29,5
34,5
39,5
44,5
fi
3
3
4
4
14
11
6
45
hi
0,07
0,07
0,09
0,09
0,31
0,24
0,13
Fi
3
6
10
14
28
39
45
Hi
0,07
0,14
0,23
0,32
0,63
0,87
1
pi%
7
7
9
9
31
24
13
16
14
12
10
8
6
4
2
0
[12 - 17[ [17 - 22[ [22 - 27[ [27 - 32[ [32 - 37[ [37 - 42[ [42 - 47]
9. a) Variable estudiada: el estado civil (o tambin lugar de procedencia)

Tipo de variable: cualitativa nominal. Los valores que puede tomar son soltero,
casado, divorciado y conviviente.
b) No es posible, pues no se menciona el total de entrevistados.
c) No tiene sentido.
d) En un diagrama circular, considerando las variables estado civil o lugar de procedencia por separado.
10. a) Verdadero
b) Falso
c) Falso
d) Falso
e) Verdadero
212
Anexo
Problemas 3.5
1. a) En un diagrama de puntos
N. de
estudiantes
5
4
3
2
1
0
0
10
N. de horas de
estudio
b) Media = 5,1
Desviacin estandar = 2,26
2. a)
Libros ledos
5
8
10
12
15
fi
8
10
14
8
2
42
Fi
8
18
32
40
42
hi
0,19
0,24
0,33
0,19
0,05
Hi
0,19
0,43
0,76
0,95
1
1
pi
19%
24%
33%
19%
5%
100%
b) Media aritmtica = 9,19

Desviacin estndar = 2,65
213
c)
Cantidad de
estudiantes
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
12
14
N. de libros
ledos
3. a) La media aritmtica de ambos grupos es 11.

b) Grfico
Grfico 1
Grfico 2
N. de
alumnos
N. de
alumnos
2
1
0
0
8
10
12
Notas
c) No es similar.
d) Desviacin estndar del grupo 1: 1,29.
Desviacin estndar del grupo 2: 6,50.
214
Notas
5
10
15
20
Anexo
4. a) Grfica
30 32 33
37 38
35
40
b)
xi
fi
hi
fi
30
32
33
35
37
38
40
2
1
1
3
1
1
2
0,18
0,09
0,09
0,27
0,09
0,09
0,18
2
3
4
7
8
9
11
11
1,00
c) xx = 35 y S = 3,55
d) La mayora de datos se encuentran en el intervalo:
[ x S ; x + S ]= [ 31, 45; 38, 55]
5. a) La media aumenta en S/. 300 y la desviacin se mantiene igual
x A = 2850,

En este caso la media, como la desviacin estndar, se duplica

x A = 5100,
SA = 1922
SA = 3844
b) La alternativa A conviene, pues el sueldo aumenta por igual para todos, adems,
hay menor dispersin de datos.
215
6. a) Grupo A
x'i
fi
fi x'i
82,5
87,5
92,5
97,5
102,5
107,5
4
14
23
17
11
6
330
1 225
2 127
1 657
1 127
645
x A = 94,83
SA = 6,59
Grupo B
fi(x'i x)2
608
753
125
121
647
963
82,5
87,5
92,5
97,5
102,5
107,5
fi(x'i x)2
fi
fi x'i
9
14
20
18
10
9
743
1 225
1 850
1 755
1 025
968
1 310
698
85
155
630
4 384
x B = 94,56
SB = 7,45
b) El grupo A tiene mayor estatura promedio (mayor media).

S
c) En el grupo A las estaturas son ms homogneas, pues A
xA
<
SB
xB
7.
a) Si se cumple que
x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = a
Entonces se tendr que:
x = 0
S = 0
b) Al sumar k a cada uno de los datos:
La media aumenta en k.
La desviacin estndar no cambia.
c) Al multiplicar por k a cada uno de los datos, se tendr que la media y la desviacin estndar respectivas sern kx y kS, donde x y S son los valores de la media y
desviacin de los datos iniciales.
Problemas 3.6
1.

216
a)
El dato ocupa la posicin 15. As P33 = 32.
El dato ocupa la posicin 31. As P67 = 38.
Tomando los datos de la posicin 36 y 37 tenemos P80 = 40,5.
Anexo
b) S, ya que el tercio inferior considera hasta el dato 15 que es 32 horas.

c) El quinto superior se considera desde el dato 37 al dato 45, es decir, a partir de 41
horas.
2. a) P25 = 88,5
P75 = 106,5

b) P50 = 95,5 quiere decir que el 50% de los datos tienen altura mayor a 95,5 cm.
3. a)
[4 - 7[
[7 - 10[
[10 - 13[
[13 - 16[
[16 - 19[
x'i
fi
hi
fi
f ix'i
f i(x'i x)2
5,5
8,5
11,5
14,5
17,5
5
13
10
12
10
0,1
0,26
0,2
0,24
0,2
5
18
28
40
50
27,5
110,5
115
174
175
214
163
3
73
298
50
1,00
602
750
b) La siguiente grfica muestra la cantidad de alumnos que se ubican en los distintos

grupos, segn haya sido su rendimiento en un examen de Matemticas.
14
13
12
12
10
10
10
8
6
4
2
0
[4 - 7[
[7 - 10[
[10 - 13[
[13 - 16[
[16 - 19[
c) x = 12 , 04
S = 3 , 91
217
d) P33 = 9
P67 = 13
P80 = 15,5
e) A partir del dato 41.o al 50.o corresponde a 16.
4. a) En el cuarto superior se encuentra el 25% de los datos. En el quinto superior est
el 20% de datos. Ser ms exigente estar en el quinto superior.
b) Cada grupo est en el respectivo tercio superior de su universidad, habra que tener
cuidado al comparar los rendimientos de ambos grupos pues el nivel de exigencia
de cada universidad podra haber sido distinto.
5. a) Variable: total de horas semanales en internet
Tipo: cuantitativa discreta
b)
[14 - 20[
[20 - 26[
[26 - 32[
[32 - 38[
[38 - 41[
x'i
fi
hi
fi
f ix'i
17
23
29
35
41
7
7
6
15
15
0,14
0,14
0,12
0,3
0,3
7
14
20
35
50
119
161
174
525
615
50
1,00
1594
c) La siguiente grfica muestra la cantidad de alumnos que se ubican en los distintos

grupos, segn haya sido el nmero de horas que usaban internet.
16
15
15
[13 - 16[
[16 - 19[
14
12
10
8
4
2
0
[4 - 7[
218
[7 - 10[
[10 - 13[
Anexo
d) x = 31, 88
S = 8, 51
e) P25 = 25
P67 = 37
P80 = 39,5
f) El dato nmero 41 es 40. Se considera a partir de 40 horas.

Captulo 4
Problemas 4.1
1. a) Aleatoria
b) Depende. Es no aleatoria si s lo que desayuno todos los das y es aleatoria si no
lo s.
c) Aleatoria
2.

Algunos posibles resultados son los siguientes:

Julio no encuentra a Diana.
Julio y Diana se enamoran.
Julio es deportado a su pas.
3.

Algunos posibles resultados son los siguientes:

Toma un mnibus.
Toma un taxi.
Un amigo que estaba pasando por all lo lleva hasta su destino.
4. a) Aleatorio
b) Aleatorio
c) No aleatorio
Problemas 4.2
1. a) La situacin es aleatoria, pues Carlos, que es el observador, no sabe qu plato
pedirn.
b) = {(T; T),(T; M),(T; C),(T; G), (M; M),(M;C),(M; G),(C;C),(C; G),(G; G)}
donde T: trucha, M: milanesa, C: cuy, G: guiso.
c) W1 = {M, M)}. Los dos turistas comen milanesa de alpaca.
219
2. Se denotar cara por c y sello por s

a) {(1;c), (1; s), (2;c), (2;s), (3;c), (3;s), (4;c), (4;s), (5;c), (5;s), (6;c), (6;s)}
b) Evento: Se obtiene un nmero par= {(2;c), (2;s), (4;c), (4;s), (6;c), (6;s)}
Evento: Se obtiene una cara= {(1;c), (2;c), (3;c), (4;c), (5;c) (6;c)}
Evento: Se obtiene una cara y un nmero par= {(2;c), (4;c), (6;c)}
Evento: Se obtiene una cara o un nmero par= {(1;c), (2;c), (2;s), (3;c), (4;c), (4;s),
(5;c), (6;c), (6;s)}
Evento: Se obtiene un nmero menor que 5 y un sello= {(1;s), (2;s), (3;s), (4;s)}
3. Sean C1: caja 1, C2: caja 2, C3: caja 3, C4: caja 4, C5: caja 5, C6: caja 6.
a) Espacio muestral = {(C1; C2), (C1; C3), (C1; C4), (C1; C5), (C1; C6), (C2; C3),
(C2; C4), (C2; C5), (C2; C6), (C3; C4), (C3; C5), (C3; C6), (C4; C5), (C4; C6),
(C5; C6)}
b)
E1 = {(C1; C2), (C1; C3), (C1; C4), (C1; C5), (C1; C6), (C2; C3), (C2; C6), (C3;
C4), (C3; C5) (C3; C6), (C4; C6), (C5; C6)}

C5), (C5; C6)}
E3 = {(C1; C3), (C1; C5), (C2; C3), (C3; C4), (C3; C5), (C3; C6), (C5; C6)}
C6), (C3; C4), (C3; C5), (C3; C6), (C4; C5), (C4; C6), (C5; C6)}
4. a) Variables cuantitativas.
b) (1 hora; 5 heladeros; 1 chico guapo).
c) Nmero de nios que entran a baarse al mar, el nmero de bebidas que tomaron
los asistentes a la playa, el nmero de chicas que usan lentes, etctera.
d) S = {(un nio, una bebida, una chica con lentes), (un nio, 0 bebidas, dos chicas
con lentes), (dos nios, 4 bebidas, tres chicas con lentes), .. }
e) Un primer evento:
Por extensin: un nio entra a baarse al mar.
Por comprensin: {un nio}.

220
Un segundo evento:
Por extensin: un nio entra a baarse a la playa y tres chicas usan lentes.
Por comprensin: {(un nio, 0 bebidas, tres chicas)}.
Anexo
Problemas 4.3
1. a) Rojo, negro.
b) No, es ms probable que sea roja pues hay ms lapiceros de este color.

c) P rojo
= 0 ,6
10
P negro =
P azul =
= 0 ,4
10
0
= 0
10
2.
a)

b)
3. a)
1.o
2.o
3.o
F
F
F
L
F
L
F
L
L
F
F
L
b) S = {FFF, FFL, FLF, FLL, LFF, LFL, LLF, LLL}

c) E1 = {FFF, LLL} Tiene ms de un elemento
E2 = {FFL, FLF, LFF} Tiene ms de un elemento
221
d) P1 =
e) P 2 =
2
8
3
8
= 0 , 25
= 0 , 375
4. a) 4

5
b) 3
5
c) 1
5
d) Para cada ensayo el espacio muestral disminuira y adems solo 5 alumnos tendran
asignada alguna tarea y el resto no.
5. a) 13
35
b) 2
5
c) 27
d) A la especialidad de Derecho porque hay ms estudiantes de esta carrera en el

grupo de alumnos.
222
35
Anexo
6. a)
Ao
Nmero de alumnos que

siguieron una carrera de
Letras
480
480
0,4800
625
1 105
0,5525
550
1 655
0,5517
640
2 295
0,5738
5
6
580
590
2 875
3 465
0,5750
610
4 075
0,5775
0,5821
680
4 755
0,5944
560
5 315
0,5906
10
605
5 920
0,5920
11
590
6 510
0,5918
12
620
7 130
0,5942
b) Los valores van incrementndose poco a poco estabilizndose alrededor de 0,59.

c) 0,59
223
Bibliografa
Johnson, Robert y Patricia Kuby

2004 Estadstica elemental, lo esencial. Mxico D. F.: Thomson.
Stewart, James
2001 Precclulo. Mxico D. F.: Thomson.
Se termin de imprimir en los talleres grficos de

T area A sociacin G rfica E ducativa
Pasaje Mara Auxiliadora 156 - Brea
Correo e.: tareagrafica@terra.com.pe
Telf. 332-3229 Fax: 424-1582
Agosto 2009 Lima - Per
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
OT 9520 / UNIV. CATOLICA / Matemticas para no Matemticos / Plastificado Mate / Lomo OK 1.4 cm. / 228 pp / Bond 90 gr / Medida 49.5 x 22.0 cm
100
100
100
100
100
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100

Matemticas para no matemticos

MATEMTICAS PARA NO MATEMTICOS

Cecilia Gaita Iparraguirre

Matemticas para no matemticos

Ilustraciones: Ricardo Bernal Hiyane

Captulo 2: Cambio y relaciones

Captulo 3: Anlisis de datos

3.4.2. Media aritmtica

Uldarico Malaspina Jurado

aportes para modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias

Uldarico Malaspina Jurado

problemas como una forma de hacer matemtica; es decir, analizando, relacionando

Profesor principal, Seccin Matemticas

Cecilia Gaita Iparraguirre

El libro se ha diseado bajo las siguientes premisas: se aprende matemticas cuando

contado con el apoyo de las autoridades de la Facultad de Estudios Generales Letras.

Cecilia Gaita Iparraguirre

Calcular o medir son operaciones que realizamos a diario, en nuestra casa, en la

Captulo 1: Nmeros y operaciones

Capilla Santo Domingo

Elaboracin digital Grupo Geo Graphos 2004

O.N.P. Higos Urco y Taquia

Pte. Los Eucaliptos

7. Iglesia de la Buena Muerte

Fuente: PROMPERU. Plano de Chachapoyas. Mapas y planos, 2008.

Elaboracin digital Grupo Geo Graphos 2004

O.N.P. Higos Urco y Taquia

Pte. Los Eucaliptos

Fuente: PROMPERU. Plano de Chachapoyas. Mapas y planos, 2008.

Captulo 1: Nmeros y operaciones

Tambin se suele escribir empleando la siguiente notacin:

As, por ejemplo, se verifica que la escala es equivalente a la escala , pues

Esto significa que 1 cm en el dibujo representa 1,25 cm en la realidad.

1 cm en el dibujo representa 0,25 cm en la realidad.

Captulo 1: Nmeros y operaciones

Ms situaciones problema para practicar

1. Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones y justifique la respuesta:

Elaboracin digital Grupo Geo Graphos 2004

Fuente: PROMPERU. Plano de Cusco. Mapas y planos, 2008.

a) Halle la escala a la que ha sido dibujado.

Elaboracin digital Grupo Geo Graphos 2004

Fuente: PROMPERU. Plano de Cusco. Mapas y planos, 2008.

Captulo 1: Nmeros y operaciones

c) Halle la escala en forma estandarizada que permita obtener la copia de mayor

a) A cuntos centmetros en la realidad equivale 1 cm en el plano? Y 10 cm en el

Fuente: BLOG ALEMANIA. Mapa de Alemania.

a) Determine, aproximadamente, la escala empleada en esta representacin. D

Captulo 1: Nmeros y operaciones

a) Cuntos kilmetros de carretera, aproximadamente, fueron intervenidos con

Km efectivamente intervenidos con mantenimiento rutinario

La situacin 3 permitir introducir el concepto de porcentaje.

Captulo 1: Nmeros y operaciones

Para entender e interpretar mejor el significado del r% de C, se pueden considerar

C , que tambin puede entenderse como 100 C. Bajo

Caso 3: 0 < r < 100

Caso 4: r > 100

a) El 20% de 15 es 20 (15) = 3. Notemos que es 20 (15)= 1 15 = 3. En general,

Puede tambin pensarse as: