SECCIÓN 1.

3 Cálculo analítico de límites 67

1.3 Ejercicios
x x
En los ejercicios 1 a 4, utilizar una herramienta de graficación 35. lím tan 36. lím sec
x 3 4 x 7 6
para representar la función y estimar los límites de manera
visual. En los ejercicios 37 a 40, utilizar la información que se expone
12 x 3 para evaluar los límites.
1. h x –x 2 4x 2. g x
x 9 3
37. lím f x 3 38. lím f x 2
x c x c
a) lím h x a) lím g x 1
x 4 x 4 lím g x 2 lím g x 2
x c x c
b) lím h x b ) lím g x
x 1 x 0 a) lím 5g x a) lím 4f x
3. f x x cos x 4. f t tt 4 x c x c
b) lím f x gx b) lím f x gx
a) lím f x a) lím f t x c x c
x 0 t 4
c) lím f x g x c) lím f x g x
b) lím f x b) lím f t x c x c
x 3 t 1
f x f x
d) lím d) lím
x c g x gx
En los ejercicios 5 a 22, calcular el límite. x c

39. lím f x 4 40. lím f x 27

5. lím x 3 6. lím x4 x c x c
x 2 x 2 3 3
a) lím f x a) lím f x
7. lím 2x 1 8. lím 3x 2 x c x c
x 0 x 3
f x
9. lím x 2 3x 10. lím x2 1 b) lím f x b) lím
x 3 x 1 x c 18 x c
2
11. 12. c) lím 3f x c) lím f x
lím 2x 2 4x 1 lím 3x 3 2x 2 4 x c x c
x 3 x 1
3 2 2 3
d) lím f x d) lím f x
13. lím x 1 14. lím 3 x 4
x c x c
x 3 x 4

15. lím x 3 2 16. lím 2x 1 3 En los ejercicios 41 a 44, utilizar la gráfica para determinar el
x 4 x 0 límite (si existe) de manera visual. Escribir una función más simple
1 2 que coincida con la dada, salvo en un punto.
17. lím 18. lím
x 2 x x 3 x 2
x2 x x2 3x
x 2x 3 41. g x 42. h x
19. lím 20. lím x x
x 1 x2 4 x 1 x 5 y y
3x3x x 2
21. lím 22. lím 1 4
x 7 x 2 x 2 x 4
x 3
En los ejercicios 23 a 26, encontrar los límites. 2 1 1 2 2
1
1
23. f x 5 x,฀ g x x3 x
1 1 2 3 4
a) lím f x b) lím g x c) lím g f x 3 1
x 1 x 4 x 1
24. f x x 7,฀ g x x2 a) lím g x a) lím h x
0 2
a) lím f x b) lím g x c) lím g f x x x
x 3 x 4 x 3 b) lím g x b) lím h x
25. f x 4 x 2,฀ g x x 1 x 1 x 0

a) lím f x b) lím g x c) lím g f x x3 x x

43. g x 44. f x
x 1 x 3 x 1 x 1 x2 x
26. f x 2x 2 3x 1,฀ g x 3 x 6 y y
a) lím f x b) lím g x c) lím g f x
x 4 x 21 x 4 2
3
En los ejercicios 27 a 36, encontrar el límite de la función trigo- 1
2
nométrica. x
1 2 3
27. lím sen x 28. lím tan x
x 2 x x
x 2
x 2 1 1
29. lím cos 30. lím sen
x 1 3 x 2 2
a) lím g x a) lím f x
x 1 1
31. lím sec 2x 32. lím cos 3x
x
x 0 x
b) lím g x b) lím f x
33. lím sen x 34. lím cos x x 1 x 0
x 5 6 x 5 3
68 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades

1 2 x 1 2 x5 32
En los ejercicios 45 a 48, encontrar el límite de la función (si 79. lím 80. lím
0 x x 2 x 2
existe). Escribir una función más simple que coincida con la dada x
sen 3t cos x 1
salvo en un punto. Utilizar una herramienta de graficación para 81. lím 82. lím
confirmar el resultado. t 0 t x 0 2x2
sen x 2 sen x
x2 1 2x 2 x 3 83. lím 84. lím 3
45. lím 46. lím x 0 x x 0 x
x 1 x 1 x 1 x 1
x3 8 x3 1 f x x f x
47. lím 48. lím En los ejercicios 85 a 88, encontrar lím .
x 2 x 2 x 1 x 1 x 0 x
85. f x 3x 2
En los ejercicios 49 a 64, encontrar el límite (si existe).
86. f x x
x 3x
49. lÓm 50. lÓm 87. f x 1
x x2 0 x x 0 2xx2
x 3
x 4 3 x
51. lím 2 52. lím 2 88. f x x2 4x
x 4 x 16 x 3 x 9
x2 x 6 x2 5x 4 En los ejercicios 89 y 90, utilizar el teorema del encaje para calcu-
53. lím 54. lím
x 3 x2 9 x 4 x2 2x 8 lar lím f x .
x c
x 5 3 x 1 2 89.
55. lím 56. lím c 0
x 4 x 4 x 3 x 3
4 x2 f x 4 x2
x 5 5 2 x 2
57. lím 58. lím 90. c a
x 0 x x 0 x
b x a f x b x a
1 3 x 1 3 1 x 4 1 4
59. lím 60. lím
x 0 x x 0 x En los ejercicios 91 a 96, utilizar una herramienta de grafica-
2x x 2x x x2 x2 ción para representar la función dada y las ecuaciones y | x | y
61. lím 62. lím y | x | en una misma ventana. Usando las gráficas para visuali-
x 0 x x 0 x
2 zar el teorema del encaje, calcular lím f(x).
x x 2x x 1 x2 2x 1 x 0
63. lím
x 0 x
91. f x x cos x 92. f x x sen x
x x3 x3
64. lím 93. f x x sen x 94. f x x cos x
x 0 x
1 1
95. f x x sen 96. hx x cos
En los ejercicios 65 a 76, determinar el límite (si existe) de la x x
función trigonométrica.
sen x 31 cos x Desarrollo de conceptos
65. lím 66. lím
x 0 5x x 0 x
97. En el contexto del cálculo de límites, analizar qué se quiere
sen x 1 cos x cos ฀tan
67. lím 68. lím decir mediante las funciones que coinciden en todo salvo en
x 0 x2 0
un punto.
sen2 x tan2 x
69. lím 70. lím 98. Elaborar un ejemplo de funciones que coinciden en todo
x 0 x x 0 x salvo en un punto.
1 cos h 2
71. lím 72. lím sec 99. ¿Qué se quiere decir con indeterminación o forma indeter-
h 0 h minada?
cos x 1 tan x 100. Explicar el teorema del encaje.
73. lím 74. lím
x 2 cot x x 4 sen x cos x
sen 3t
75. lím
t 0 2t
101. Redacción Utilizar una herramienta de graficación para hacer
sen 2x 2 sen 2x 3x la representación de
76. lím Sugerencia: Encontrar lím .
x 0 sen 3x x 0 2x 3 sen 3x
sen x
Análisis gráfico, numérico y analítico En los ejercicios 77 a f x x, gx sen x,x y hx
x
84, utilizar una herramienta de graficación para representar la
función y estimar el límite. Emplear una tabla para respaldar la en la misma ventana. Comparar las magnitudes de f(x) y g(x)
conclusión. Posteriormente, calcular el límite empleando métodos cuando x se acerca a 0. Utilizar la comparación para escribir un
analíticos. breve párrafo en el que se explique por qué

x 2 2 4 x lím h x 1.
77. lím 78. lím 0
x 0 x x 16 x 16 x