1 Clase 2 Logica
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Si una proposición es verdadera, entonces decimos que tiene un valor de verdad de
"verdadero"; Si una proposición es falsa, su valor de verdad es "falso".
Por ejemplo: "La hierba es verde", y "2 + 5 = 5" son proposiciones.
La primera proposición tiene el valor de verdad de "verdadero" y el segundo de "falso".
Pero "Cierra la puerta", "¿Hace calor afuera?" ó "x = x" No son proposiciones.
También "x es mayor que 2", donde x es una variable que representa un número, no es
una proposición, porque a menos que se dé un valor específico a x, no podemos decir si
es verdadero o falso, ni sabemos qué representa x.
Elementos: Las frases simples que son verdaderas o falsas son proposiciones básicas. Las
oraciones más grandes y más complejas se construyen a partir de proposiciones básicas
combinándolas con conectivas. Así, las proposiciones y los conectivos son los elementos
básicos de la lógica proposicional. Aunque hay muchas conectivas las más básicas son las
siguientes:
Conectivas Símbolo
┌ Not
∧ And
∨ Or
→ Si --- Implica
↔ Si y solo si --- iff
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Por lo tanto, para ser utilizado en la inferencia, cada una de Estas equivalencias deben
ser listadas individualmente en lugar de tratar con una fórmula general que cubre
colectivamente todas estas equivalencias e instanciarlas cuando sean necesarias, si sólo
se usa la lógica proposicional. Por lo tanto, necesitamos una lógica más poderosa para
lidiar con estos y otros problemas. La lógica del predicado es una de esas lógicas y aborda
estas cuestiones entre otras.
Para hacer frente a las deficiencias de la lógica proposicional introducimos dos nuevas
características: predicados y cuantificadores.
Un predicado es una plantilla de frase verbal que describe una propiedad de
objetos o una relación entre objetos representados por las variables.
Por ejemplo, las oraciones "El automóvil que JURGEN está manejando es azul", "El cielo
es azul" y "La portada de este libro es azul" proviene de la plantilla "es azul" colocando
una frase sustantiva / nominal apropiada delante Del mismo. La frase "es azul" es un
predicado y describe la propiedad de ser azul. A los predicados se les da a menudo un
nombre. Por ejemplo, cualquiera de "es_azul", "Azul" o "A" puede usarse para
representar el predicado "es_Azul" entre otros. Si adoptamos A como el nombre del
predicado "es_azul", las oraciones que afirman que un objeto es azul pueden
representarse como "A (x)", donde x representa un objeto arbitrario. A (x) se lee como "x
es azul".
Del mismo modo, las oraciones "SUREYA le da el libro a KEVIN", "JANELYS le da una pizza
a LUIS" o "DIEGO da una explicación a CRISTIAN" se obtienen sustituyendo un objeto
apropiado por las variables x, y z en la oración "X da y a z". La plantilla "... da ... a ..." es un
predicado y describe una relación entre tres objetos. Este predicado puede ser
representado por Dar (x, y, z) o G (x, y, z), por ejemplo.
Cuantificadores
Un predicado con variables no es una proposición. Por ejemplo, la sentencia x > 1 con la
variable x sobre el universo de números reales no es ni verdad ni falsa, ya que no sabemos
qué x es. Puede ser verdadera o falsa dependiendo del valor de x.
Se puede hacer una proposición aplicando una de las dos operaciones siguientes a cada
una de sus variables:
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En general, se realiza una cuantificación en fórmulas de lógica de predicados
(denominadas wff), tales como x > 1 o P (x), utilizando cuantificadores de variables. Hay
dos tipos de cuantificadores: cuantificador universal y cuantificador existencial.
El cuantificador universal convierte, por ejemplo, la afirmación x > 1 a "para todo objeto
x en el universo, x > 1", que se expresa como "∀ x, x > 1". Esta nueva afirmación es
verdadera o falsa en el universo del discurso. Por lo tanto, es una proposición una vez
que se especifica el universo.
Del mismo modo, el cuantificador existencial gira, por ejemplo, la afirmación x> 1 a "para
algún objeto x en el universo, x> 1", que se expresa como "∃ x, x> 1". Una vez más, es
cierto o falso en el universo del discurso, y por lo tanto es una proposición una vez que
se especifica el universo.
Universo del Discurso
El universo del discurso, también llamado universo, es el conjunto de objetos de interés.
El universo es, pues, el dominio de las variables (individuales). Puede ser el conjunto de
números reales, el conjunto de enteros, el conjunto de todos los automóviles en un
estacionamiento, el conjunto de todos los estudiantes de la UTP, etc. El universo a
menudo se deja implícito en la práctica, pero debe ser obvio desde el contexto.
El cuantificador universal
La expresión: ∀x P(x), denota la cuantificación universal de la fórmula atómica P(x). Se le
Para todo x , P(x) tiene","para cada x, P (x) tiene" o "para cada x, P (x) mantiene". A ∀ se le
llama cuantificador universal, y x significa todos los objetos x en el universo. Si esto es
seguido por P(x) entonces el significado es que P(x) es verdadero para cada objeto x en
el universo. Por ejemplo, "Todos los automóviles tienen cuatro ruedas" podría
transformarse en la forma proposicional, ∀ x P(x), donde:
Por ejemplo, en el ejemplo anterior de ∀x, P(x), si supiéramos que sólo había cuatro
automóviles en nuestro universo de discurso (c1, c2, c3 y c4), también podríamos traducir
la sentencia como: P(c1) ∧ P(c2) ∧ P(c3) ∧ P(c4).
El cuantificador existencial
La expresión: Ǝx P(x), denota la cuantificación existencial de P(x). La expresión también
podría entenderse como: "Existe una x tal que P(x)" o "Hay al menos un x tal que P(x)" se
llama cuantificador existencial, y x significa Al menos un objeto x en el universo. Si esto es
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seguido por P(x) entonces el significado es que P(x) es cierto para al menos un objeto x
del universo. Por ejemplo, "Alguien desea hablar contigo" podría transformarse en la
forma proposicional, Ǝx, P(x), donde:
Por ejemplo, en el ejemplo anterior de Ǝx, P(x), si supiéramos que sólo había cinco
entidades en nuestro universo de discurso (digamos yo, él, ella, Google y Android),
también podríamos escribir la declaración Como: P(me) ∨ P(él) ∨ P(ella) ∨ P(Google) ∨
P(Android).
Cómo leer las fórmulas cuantificadas
Al leer fórmulas cuantificadas, se debe leer de izquierda a derecha. ∀x puede ser leído
como "para cada/todo objeto x en el universo se sustenta/sostiene/dice" y Ǝx puede ser
leído como "existe un objeto x en el universo que satisface el siguiente" o "para algún
objeto x en el universo lo siguiente se cumple".
Por ejemplo: Sea el universo el conjunto de aviones y sea F(x, y) el predicado "x vuela más
rápido que y ". Entonces
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Sin embargo, las posiciones de los diferentes tipos de cuantificadores no se pueden
cambiar.
Por ejemplo ∀x ∃y F(x, y) no es equivalente a ∃y ∀x F(x, y).