MATEMÁTICA I EFG

LÓGICA PROPOSICIONAL
El gran filósofo Aristóteles de Estagira, “Padre de la Lógica”, escribió la obra “Organon”, palabra que
literalmente significa instrumento, y se entiende cómo el medio para el desarrollo de la ciencia y el
conocimiento. La lógica es, por tanto, el instrumento para desarrollar el pensamiento, el razonamiento
en base a las leyes lógicas.

Definición de Lógica.- La lógica es la ciencia formal que estudia los principios y procedimientos que
permiten demostrar la validez e invalidez de las inferencias o razonamientos deductivos.

Lógica de Proposiciones.- Es una rama de la lógica clásica que estudia las variables
proposicionales o sentencias lógicas, sus posibles implicaciones, evaluaciones de verdad y en algunos
casos su nivel absoluto de verdad. Algunos autores también la identifican con la lógica matemática, ya
que utiliza una serie de símbolos especiales que lo acercan al lenguaje matemático.

Proposición.- La proposición es una oración declarativa o aseverativa, que puede ser falsa o
verdadera pero no ambas a la vez.

Ejemplos:
1. La frase “1=1”es una proposición, puesto que puede ser verdadero o falso. Resulta ser un
enunciado verdadero.
2. La frase "1=0" también es un proposición, pero su valor de verdad es F.
3. El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Es una proposición.

Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones, esto es las oraciones
interrogativas, exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas NO son
proposiciones.

Ejemplos.
1. ¿Qué es Lógica?
2. Debemos honrar a nuestros héroes.
3. Sea en hora buena.
4. ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería!
5. Quizá llueva mañana.
6. "Haz los ejercicios de lógica" No es una proposición, puesto que no se le puede asignar ningún
valor de verdad (Está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa)
7. “Haz el amor y no la guerra” No es proposición, puesto que no se le puede asignar ningún valor
de verdad (También está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa).

Toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda oración aseverativa es una proposición.

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Para que una expresión lingüística sea proposición debe cumplir con los siguientes requisitos:
1. Ser oración.
2. Ser oración aseverativa, y
3. Ser o bien verdadera o bien falsa.
Diferencia entre Enunciado y Proposición
Enunciado: Denominamos asís a toda frase u ración.
Por ejemplo:
1. ¡Auxilio, me ahogo! (Exclamativa)
2. No conversen en clase (Desiderativa)
3. Lima es la capital del Perú (Afirmativa)
4. ¿Qué día es hoy? (Interrogativa)

Enunciados no proposicionales: Se llama así a aquellas expresiones o enunciados exclamativos,

interrogativos y desiderativos. De estos no se puede saber si son verdaderos o falsos, porque no
afirman ni niegan nada.
Ejemplos:
 ¡Uff, que calor!
 ¿están cansados?
 Escriban rápido

Enunciado abierto: Se llama así a aquellos enunciados que contienen una o más variables. Estos no
pueden ser ni verdaderos ni falsos, ya que no afirman nada.

Ejemplos:
 X es la capital de Uruguay
 X es un planeta del sistema solar
 − 13 = 28
 2 − 7 > 13
 X es una vocal

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Sin embargo, estos enunciados abiertos se pueden convertir en proposiciones verdaderas o falsas -
¿cómo? – reemplazando la variable o variables por un nombre, palabra, número, letra o cualquier
símbolo, según sea el caso. Así del primer ejemplo tenemos:

 X es la capital de Uruguay
Si X=Buenos Aires entonces la expresión se lee:
“Buenos Aires es la capital de Uruguay”
Se observa el enunciado abierto se convirtió en una proposición falsa.

 Si X=Montevideo entonces la expresión se lee:

“Montevideo es la capital de Uruguay”
Ahora el enunciado abierto se convirtió en una proposición verdadera.

 X es un planeta del sistema solar

Marte es un planeta del sistema solar.
Es una proposición verdadera.
 − 13 = 28
50 menos 13 es igual 28
Es una proposición falsa

Proposición: Son aquellos enunciados afirmativos del cual se sabe que tiene dos valores de la verdad
mutuamente excluyentes: verdadero o falso. Las proposiciones se representan por las letras
minúsculas: p, q, r, s, t, .....

Así por ejemplo tenemos las siguientes proposiciones:

a) p: Alejandro Toledo fue el presidente del Perú.

Luego: = y se lee: “el valor de la verdad de p es verdadero”

b) q: Francisco Bolognesi murió en Angamos

Luego: = y se lee: “el valor de la verdad de q es falso”

c) r: Caracas es la capital de Venezuela

Luego: = y se lee: “el valor de la verdad de r es verdadero”

Clases de proposiciones. - Estas pueden ser de dos clases: simples y

compuestas.

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Las proposiciones simples (atómicas o elementales) Son aquellas proposiciones que tienen un
solo sujeto y un solo predicado. Carecen de conjunciones gramaticales típicas o conectivas (‘y’, ‘o’,
‘si... entonces’, ‘si y sólo si’) o del adverbio de negación ‘no’.

Ejemplos:
1. San Marcos es la universidad más antigua de América.
2. La lógica es distinta a la Matemática.
Las proposiciones simples de acuerdo a sus elementos constitutivos pueden clasificarse en
predicativas y relacionales.

Las proposiciones predicativas constan de sujeto y predicado.

Ejemplos:
1. El número 2 es par.
2. El espacio es relativo.

Las proposiciones relacionales constan de dos o más sujetos vinculados entre sí.

Ejemplos

1. Silvia es hermana de Angélica.

2. 5 es mayor que 3.

Las proposiciones compuestas también llamadas proposiciones moleculares o coligativas. Se

denomina así a aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples. Estas proposiciones
Simples están unidas a través de conectivos lógicos.

CONECTIVO LÓGICO SÍMBOLO

y ˄
O ˅
O…O….. ∆
Si … entonces … →
Si y solo si ↔
no ¬ ῀

Ejemplos:
1. La lógica y la Matemática son ciencias formales.
: La Lógica es una ciencia formal.
: La Matemática es una ciencia formal.
2. El tiempo es absoluto o es relativo.
: El tiempo es absoluto.
: El tiempo es relativo.

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3. Si dos ángulos adyacentes forman un par lineal, entonces son suplementarios.
: Dos ángulos adyacentes forman un par lineal.
: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
4. Este número es par si y sólo si es divisible por dos.
: Este número es par
: Este número es divisible por dos.
5. El Inca Garcilaso de la Vega no es un cronista puneño.
: El Inca Garcilaso de la Vega es un cronista puneño.

Aplicaciones de la lógica en la computación:

 Lenguajes de programación: como se estructura la lógica de un programa.
 Bases de datos: lenguajes de consulta.
 Inteligencia artificial: técnicas para el razonamiento, deducción de conocimiento.
 Análisis y diseño de algoritmos: análisis de complejidad de los problemas.

Lenguaje de la Lógica Proposicional

 La lógica proposicional pretende estudiar las frases declarativas simples (enunciados o
proposiciones)
 Estos elementos son los utilizados como base para la transmisión de conocimiento humano
 Una proposición se define como un enunciado que puede ser calificado como verdadero o falso y
que no puede descomponerse en otras frases verdaderas o falsas
 ¿Ejemplos de lo que serían proposiciones? ¿ejemplo de lo que no serían proposiciones?
 Para relacionar las proposiciones, se utilizan diferentes conectivos

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 La siguiente tabla describe todo el alfabeto utilizado en la lógica proposicional

!" !# : ,
Variables o letras proposicionales: , %, &, , !, ', , ( … ..
Símbolos de Conectivos: ∿, ∧, ∨, → , ↔
Signos de agrupación: , . /, 0 1

Sintaxis de la Lógica Proposicional (LP)

1. Las constantes V (verdadero) y F (falso) perteneces a la LP
2. Las letras de la proposición p, q, r, s, … pertenecen a la LP.
3. Sí “p” y “q” pertenecen a la LP, entonces ∿ , ∿ , ∨ , ∧ , ⟶ , ⟷ pertenecen
a la LP.
4. Se establece la jerarquía de operaciones:
I. ∿
II. ∧, ∨
III. → ,↔

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1:
I. Dados los siguientes enunciados, diga ¿cuáles son proposiciones (P)? ¿Cuáles son enunciados no
proposicionales (ENP)? ¿Cuáles son enunciados abiertos (EA)?

1. 13 es un número par P 1) ¡Alto, deténgase! ENP

2. ¿todos asistieron a clase? ENP 2) 3x = 15 para x=5 P
3. No deben llegar tarde ENP 3) ¿Melissa está llorando? ENP
4. Melissa está llorando P 4) ;4 + < = =4 + =6 ENP
5. 4 + 6 = 7 EA 5) 72 = 15 ? 75 ÷ 5 = 15 P
6. La ballena es un mamífero. P 6) Honduras es un país asiático P
7. 49 + 29 = 20 P 7) A6 − B < 7 EA
8. x es divisor de 24 EA 8) ¡No peleen! ENP
9. ¿Dónde vives? ENP 9) No conversen en clase. ENP
10. España, Italia y México son países 10) Génova es una ciudad de Italia. P
europeos. P

II. Convierta cada uno de los enunciados abiertos de la pregunta I, en proposiciones verdaderas
y falsas.

x+2=5 v
P: 3
Q: 7

x Es divisor de 24 puede ser 1 o 4 v

P: 4
Q: 7

7x + 8 = 3x + 32 = 6 v
P: 6
Q:4

12 − x < 5 v
P: 9
Q: 3

III. Halle el valor de la verdad de las siguientes proposiciones:

1) México es un país europeo F 7) Londres es la capital de Alemania F

2) Las aves son animales mamíferos F 8) 3E + 4F = 0 F
3) 12 es un múltiplo de 24 V 9) 13 es un número primo V
4) 20 es un número compuesto V 10) Guayaquil es una ciudad de Colombia V
5) El Rímac es el río más caudaloso

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del mundo ES EL MAS COMTAMINADO
F
6) 7 es un divisor de 87 F

IV. Dados los siguientes conjuntos y sus respectivos enunciados abiertos, verifique para qué valores
de “x” la proposición es verdadera.

a) G = HIJI KL MNO ?POQR V j) F={x / x ∈N , x es mayor que 4 y menor 10} 7 V

b) S = HIJI es un día de la semanaR V k) G={x / x∈N ∧ x es mayor que 7}

X=8 V
c) P={x/ x es una estación del año} V
l) D={x / x es un número natural impar mayor
d) R={x/ x es un mes del año} V
que 13}
e) M={x/ x es un mes de 30 días} ABRIL V
X= 27
f) D={x/ x es un Ministro del Perú} GUIDO
BELLIDO V
g) C={x / x es un planeta del Sistema

V. Sean las siguientes proposiciones:

p: Manuel estudia
q: Manuel aprueba el curso
Manuel estudia y aprueba el curso respuesta la A
Exprese verbalmente las siguientes proposiciones:

Manuel estudia y aprueba el curso.

Manuel aprueba el curso y no estudia.
Manual estudia o aprueba el curso
Manuel no aprueba el curso o estudia
Si Manuel estudia entonces aprueba el curso
Manuel no aprueba el curso si y solo si estudia
Manuel estudia si y solo si no aprueba el curso
Si Manuel no estudia entonces no aprueba el curso
Manuel no aprueba el curso si y solo si no estudia
No es cierto que, Manuel estudia, pero no
8 aprueba el curso
No es cierto que, Manuel no estudia y aprueba el curso
No es cierto que, Manuel aprueba el curso si no estudia