1

5° AÑO ESCUELA NORMAL – año 2024

UNIDAD I: FUNCIÓN LINEAL
Función lineal. Pendiente y ordenada al origen. Gráficas. Ecuación explícita de la recta. Ecuación
de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente dada. Condición de paralelismo y
perpendicularidad. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Gráficas. Ejercicios y
problemas.
UNIDAD II: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolución. Método de igualación. Regla de
Cramer. Resolución analítica y gráfica. Problemas y ejercicios. Clasificación de los sistemas de
dos ecuaciones. Ejercicios.
UNIDAD III: FUNCIÓN CUADRÁTICA
Función cuadrática. Raíces de una función cuadrática. Eje y vértice. Gráficas. Análisis del gráfico
de la función cuadrática. Problemas. Forma polinómica, canónica y factorizada.
UNIDAD IV: CONJUNTO DE NÚMEROS REALES
Los números reales. Propiedades de la potenciación y de la radicación en el conjunto de los
números reales.
Ecuaciones e inecuaciones con módulo.
Radicales. Operaciones con radicales. Simplificación. Extracción e introducción de factores en
el radical. Ejercicios. Adición. Sustracción. Multiplicación. Ejercicios. Racionalización de
denominadores. Distintos casos. Potencias de exponente racional. Propiedades. Ecuaciones.
Ejercicios. Problemas.
UNIDAD V: LOGARITMACIÓN
Logaritmación. Propiedades. Aplicación de la definición y de las propiedades en la resolución de
ejercicios. Logaritmos decimales. Cambio de base. Uso de la calculadora científica. Ecuaciones
exponenciales y logarítmicas. Ejercicios y problemas de aplicación.-
UNIDAD VI: CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS.
Forma binómica de un complejo. Operaciones: suma, resta producto, cociente. Cuadrado y cubo
de un complejo. Potencias sucesivas de la unidad imaginaria. Operaciones combinadas con
números complejos. Representación gráfica de un complejo en los ejes cartesianos. Ecuaciones
con complejos. Ejercitación.-
Criterios de evaluación
- Presentación de las actividades propuestas es tiempo y forma.
- Adquisición y manejo de los conceptos y propiedades básicas de la disciplina.
- Evaluación con aviso previo de los temas por bloque temático y evaluaciones parciales; y sin
aviso previo de los temas que se deben estudiar para cada clase.
- Aplicación correcta, en forma oral y escrita, del vocabulario específico del área.

2
 - Responsabilidad y dedicación de las tareas áulicas y extra-áulicas.
- Integración y participación en el trabajo diario individual y grupal en las tareas de estudio y de
revisión.
- Respeto al docente y a sus pares.
- Nota de concepto que será el resultado del seguimiento que haga el profesor de todas las
actividades recomendadas al alumno.
- Demostración del manejo de todos los conceptos desarrollados en cada trimestre

Instrumentos de evaluación:
- Evaluación escrita con previo aviso.
- Evaluación oral diaria del tema dictado en la clase anterior.
- Evaluación de trabajos prácticos y carpeta.
- Presentación de las actividades propuestas en tiempo y forma.
- Observación del desempeño del alumno durante la clase.

3
 UNIDAD I
FUNCIÓN LINEAL
La función polinómica de primer grado 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, siendo a y b números reales, se la
denomina función lineal.
El coeficiente principal y el término independiente de la función, reciben el nombre de
PENDIENTE y ORDENADA AL ORIGEN, respectivamente.

Ecuación explícita de la recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Ordenada al origen

Pendiente

La representación gráfica de esta función es una recta

La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje y (eje de ordenadas).

𝑓(0) = 𝒃

El valor de la pendiente determina si la función es creciente (pendiente positiva), decreciente

(pendiente negativa) o constante (pendiente nula).
La pendiente de una recta se calcula como el cociente entre la variación de la variable
dependiente (∆𝑦) y la variación de la variable independiente (∆𝑥) de dos puntos cualesquiera de
la misma
∆𝑦 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒂= =
∆𝑥 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Representación gráfica de una función lineal dada en forma explícita.

Para representar una recta en el plano es posible hacer una tabla de valores asignándole valores
a x y calculando los valores de y, o utilizar la forma práctica:

1. Se marca un punto sobre el eje y, la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar
dicho eje.
2. Desde ese punto, avanzo hacia la derecha tantos lugares como indique el denominador de la
pendiente y desde allí subo o bajo dependiendo del signo de dicha pendiente tantos lugares
como indique su numerador. En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.
3. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo:
1
Graficar la siguiente función: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3
2
La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar
sobre el eje y en el 3.
1
La pendiente es 𝑎 = 2 entonces desde y= 3 avanzo 2 y
subo 1

4
Graficar:
2
𝑦 = −3𝑥 + 2 𝑦 = 3𝑥

El valor de la pendiente determina que

la función sea creciente, decreciente
o constante
La ordenada al origen es el valor donde
la recta corta al eje y (eje de ordenadas).

Casos Particulares
1) b=0 y a=1 𝑦 = 𝑥 f(x) función identidad.

2) b=0 𝑦 = 𝒂𝑥 f(x) función afín

1
Ejemplo 𝑦 = 2 𝑥

3) Si a=0 y b=0 𝑦 = 𝟎. f(x) función nula

Pertenencia de un punto a una recta

Un punto 𝑃 = (𝑥0 ; 𝑦0 ) pertenece a la recta de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, si y sólo si sus coordenadas

verifican 𝑦0 = 𝑎𝑥0 + 𝑏

1) Determina si el punto dado pertenece a la recta indicada:

Ejemplo:
(-4, 2); 𝑦 = −2𝑥 – 6

𝑥0 𝑦0 𝟐 = −2. (−𝟒) − 6
𝟐=8−6
𝟐=2 Se verifica la igualdad 𝑃 ∈𝑎𝑟

a) (1, 3); 𝑦 = 𝑥– 4

5
 b) (-2, 0); 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0

c) (1/2, -2); 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0

2) Escribir la ecuación de la recta en forma explícita. Indicar el valor de la pendiente y la

ordenada al origen.
a) 2𝑦 + 6𝑥 − 4 = 0 e) 7𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0

3
f) 𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
4
b) 8𝑥 − 4𝑦 − 10 = 0

g) 3𝑥 − 𝑦 = 0
c) 3𝑥 − 7𝑦 + 5 = 0

h) 4𝑦 − 7𝑥 = 0

d) 𝑥 + 2𝑦 = 0

6
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA, DADA LA PENDIENTE Y UN PUNTO DE LA MISMA
y

𝑦1 𝑃1 = (𝑥1 ; 𝑦1 )

R x 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒂 . (𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝑥1
Ejemplo: dado P=(2;-3) encontrar la ecuación explícita de la recta r que pasa por P y tiene
1
pendiente 2
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒂 . (𝒙 − 𝒙𝟏 )
1 𝟏
Si 𝒂 = , 𝒙𝟏 = 𝟐 𝒚 𝒚𝟏 = −𝟑 𝑦 − (−𝟑) = 𝟐 . (𝑥 − 𝟐)
2

Regla de Prop.
Distributiva
signos

𝟏
𝑦 + 3 = 𝟐𝑥 − 1 Despejar “y”
𝟏
𝑦 = 𝑥−1−3 Agrupar términos semejantes
𝟐
𝟏
𝑦 = 𝟐𝑥 − 4 Ecuación explícita

CONDICION DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Graficar en un mismo sistema de ejes las rectas r: 𝑦 = −2𝑥 + 3 y s: 𝑦 = −2𝑥 − 1

Dos rectas son paralelas sí y sólo sí sus pendientes son iguales.

7
 1
Graficar en un mismo sistema de ejes las rectas r: 𝑦 = −3𝑥 − 2 y s: 𝑦 = 3 𝑥 + 3

Dos rectas son perpendiculares sí y sólo sí sus pendientes son inversas y opuestas.

ACTIVIDADES.
1) Encontrar la ecuación explícita de la recta r que pasa por M=(-2;0) y cuya pendiente es
3
igual a 2.

a) Encontrar la ecuación explícita de la recta r1 paralela (//)

a r que pasa por N=(1;-2).

b) Encontrar la ecuación explícita de la recta r2

perpendicular (⊥) a r1 que pasa por P=(0;2).

c) Graficar las tres rectas en un mismo sistema de ejes. Marcar los puntos M, N y P en el
plano.

8
 2) Dada la recta r : 𝑌 = 3𝑥 − 1:

a) Encontrar la ecuación explícita de la recta r1⊥ r que

pasa por M=(3;0).

b) Encontrar la ecuación explícita de la recta r2// r

que pasa por M

c) Graficar las tres rectas y el punto M.

ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Sean 𝑀 = (𝑥1 ; 𝑦1 ) y 𝑁 = (𝑥2 ; 𝑦2 )

𝒚 −𝒚
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐 −𝒙𝟏 . (𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝟐 𝟏

Ejemplo: Encontrar la ecuación explícita de la recta r que pasa por los puntos 𝑃 = (−1; 3) y
𝑄 = (−2; 1).
∆𝑦 𝒚 −𝒚
Calculamos la pendiente sabiendo que 𝒂 = = 𝒙𝟐 −𝒙𝟏
∆𝑥 𝟐 𝟏

𝟏−𝟑 −𝟐
𝒂 = −𝟐−(−𝟏) 𝒂 = −𝟏 𝒂=𝟐

Conociendo la pendiente se considera cualquiera de los puntos dados (P o Q) y se reemplaza

en 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒂 . (𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝑦 − 𝟑 = 𝟐 . (𝑥 − (−𝟏)) resolvemos
𝑦 − 3 = 2𝑥 + 2
𝑦 = 2𝑥 + 2 + 3
𝑦 = 2𝑥 + 5 Ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos P y Q

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ACTIVIDADES
1) Sabiendo que las siguientes gráficas corresponden a funciones lineales, indicar con un
número en el círculo la correspondencia entre las condiciones de a y b con los gráficos

𝑎>0 𝑎>0 𝑎<0 𝑎>0

𝑏>0 𝑏=0 𝑏>0 𝑏<0

2) Encontrar las ecuaciones explícitas de las rectas correspondientes a los gráficos del
ejercicio 1)

3) Dados M=(0;2) y N=(3;-1):

a) Encontrar la ecuación explícita de la recta r que pasa por M y N

b) Encontrar la ecuación explícita de la recta r1⊥ r que pasa por M

10
 c) Encontrar la ecuación explícita de la recta r2//r1 que pasa por N.

d) Graficar las tres rectas y los puntos M y N.

4) Dados P=(-1;2) y Q=(3;-1):

a) Encontrar la ecuación explícita de la recta r que pasa por P y Q

b) Encontrar la ecuación explícita de la recta r1⊥ r que pasa por Q

c) Encontrar la ecuación explícita de la recta r2//r1 que

pasa por P.

d) Graficar las tres rectas y los puntos P y Q

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5) Tres de estos cinco puntos pertenecen al gráfico de la función 𝑦 = 3𝑥 + 2. Indicar cuáles son:
1
𝐴 = (1; 5); 𝐵 = (2; 6); 𝐶 = (−2; −4); 𝐷 = (3 ; 3); 𝐸 = (0; 3)

6) Hallar la ecuación de la recta s que tiene pendiente 2 y contiene al punto (3;1)

7) Dar la fórmula de una recta paralela a 𝑦 = 4𝑥 + 5 que pase por el origen de coordenadas.

8) Dada la recta m cuya ecuación es 𝑦 = −2𝑥 + 5:

a) Hallar la ecuación de la recta s//m que pasa por el punto (0;-2)

b) Hallar la ecuación de una recta r⊥m que pase por el punto (-1;3)

c) Representar las tres rectas en un mismo sistema

de ejes cartesianos.

12
9) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐸 = (−2; −4) y 𝐹 = (1; 5).

1
10) Hallar la ecuación de una recta perpendicular a 𝑦 = 5 𝑥 − 3 y que corte al eje x en 𝑥 = 2.

5
11) Dada la recta r de ecuación 𝑦 = 3 𝑥 + 1 obtener la ecuación explícita de la recta s
perpendicular a r que satisface la condición indicada en cada caso:
a) S pasa por el origen de coordenadas

1
b) S tiene ordenada al origen − 2

1
c) S pasa por el punto (3 ; 1)

d) Graficar las cuatro rectas

13
FUNCIÓN LINEAL - EJERCICIOS DE REVISIÓN
1) Indicar Verdadero o Falso en cada caso. JUSTIFICAR
a) La pendiente de la recta 𝑦 = −1 − 2𝑥 es -1.
𝑥+3
b) La ordenada al origen de la recta 𝑦 = es 3.
4
c) Si la pendiente de una recta es 0, entonces esta recta es paralela al eje de las abscisas
(eje de las x).
d) El punto (1, -2) satisface la ecuación de la recta x – 2y = 5.
e) La recta 𝑦 = 3𝑥 + 1 es perpendicular a la recta de ecuación 𝑦 = −3𝑥 + 5
f) Para que la recta 𝑦 = 2𝑥 + 3 sea perpendicular a la recta 𝑦 = 𝑎𝑥 − 2 , el valor de a debe
1
ser − 2

2) Escribir la ecuación de la recta que verifica:

a) pasa por los puntos (1 ;5 ) (-1; 3 )

b) pasa por (1; 4 ) y es perpendicular a la recta 𝑦 = 3𝑥

3) Dada la recta r1: 𝑦 = −2𝑥 − 6, hallar:

a) La ecuación explícita de la recta r3⊥r1 que pase por el punto A=(1;3)

b) La ecuación explícita de la recta r4 //r1 que pase por el punto B=(-1;3)

c) Grafica las rectas

4) Dados los puntos A=(-2;1) y B=(2;2):

a) Encontrar la ecuación explícita de la recta r que pasa por A y B

b) Encontrar la ecuación explícita de la recta m⊥r que pasa por A

c) Encontrar la ecuación de la recta s // r que pasa por B.

d) Graficar todos los puntos y las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

14
 UNIDAD II:
SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITA
Dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas cada una, determinan un sistema de
ecuaciones.
Cada ecuación representa una recta en el plano y la solución del sistema es el punto de
intersección de ambas rectas. Si las rectas son paralelas, no tiene solución.
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

Clasificación de los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Cada ecuación del sistema representa una recta en el plano. Resolver el sistema es hallar el
punto de intersección de ambas rectas (x,y). Por esta razón, un sistema puede tener UNA
SOLUCIÓN (hay intersección, las rectas son secantes), NINGUNA SOLUCIÓN (rectas paralelas)
ó INFINITAS SOLUCIONES(las rectas son coincidentes) . Esto es:

 Rectas secantes  Rectas coincidentes  Rectas paralelas

Hay una única solución Hay infinitas soluciones

No hay solución
No se intersectan
SISTEMA COMPATIBLE SISTEMA INCOMPATIBLE
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
DETERMINADO

15
Resolución Analítica 1°) Se despeja de ambas ecuaciones la
MÉTODO DE IGUALACIÓN. variable y
2°) Se igualan los segundos miembros
3𝑥 + 𝑦 = −3 y se calcula el valor de x
4𝑥 − 2𝑦 = −14 3°) Se reemplaza el valor obtenido en
cualquiera de las ecuaciones y se
calcula el valor de y

Resolución Gráfica
Se representan gráficamente ambas rectas y
el punto de intersección de las mismas es la solución
del sistema.

Actividad
Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. Clasificar
1
A) 2𝑥 − 9𝑦 = 11 B) 𝑥 − 3 𝑦 = −0, 2̂
4𝑥 + 𝑦 = 3 𝑦 − 2 = 3𝑥

𝑦+3 2 1 1
C) 2. (𝑥 + 3) − 3 = D) 3. (𝑥 + 3) − 3. (𝑦 − 4) = − 4
2
𝑥−4 2𝑦−1 1 −2 4 3 1
− = − (2) 2. (𝑥 + 𝑦) − 5 = 2 𝑦 + 15
2 4

16
REGLA DE CRAMER

Actividad
Resolver aplicando la Regla de Cramer y clasificar el sistema:
4
𝑦 − = 2𝑥 −𝑥 + 5𝑦 = −6
3
1
A) 𝑥 + 𝑦 = −1 B) 2𝑥 + 10 + 𝑦 = 0
3

3 1 4𝑥−3
− 2 . (𝑥 − 4𝑦) = −4 𝑥− =𝑦
4 2
6𝑦+5𝑥 1 2 5−3𝑥
C) − 6 = −5𝑦 D) − 𝑦 = −2
10 2

17
 ACTIVIDADES
1) Resuelve los siguientes sistemas por distintos métodos. Clasifica el sistema. Graficar.
𝑥−1 𝑦+1 3 7
+ =2 𝑥 − 5𝑦 = 0
3 2 2
2𝑥+1 2−𝑦 1 1
A) − =2 B) 𝑥 − 5𝑦 = 3
9 5 2

2𝑥−1 3
= 4𝑦 − 2 2. (𝑦 − 3) + 5𝑥 = 𝑦 + 1
2
1 𝑥+6
C) . (𝑦 + 3) = D) 4. (𝑦 − 1) − 1 = 3𝑦 − 2𝑥
5 10

2) Plantea un sistema de ecuaciones y resuelve:

a) En una caja hay tornillos pequeños que pesan 5 g y tornillos grandes que pesa 10 g. en
total hay 340 tornillos y pesan 2,5 kg. ¿Cuántos tornillos de cada tipo hay?
b) En una granja hay gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas son 28. Si se cuentan las
patas son 86. Sabiendo que no hay animales rengos, ¿cuántas gallinas y cuántos conejos
hay?
c) Valentina pagó $581 por tres paquetes de pastillas y siete alfajores. Camila pagó $577
por seis paquetes de las mismas pastillas y cinco alfajores iguales. ¿Cuánto cuesta cada
paquete de pastilla y cada alfajor?
d) En el aula hay 52 alumnos. Si el número de chicos es 7 más que el doble de chicas,
determina el número de chicas en el aula.
e) Hace 5 años María tenía el doble de la edad de su hermano. Encuentre la edad actual de
María si la suma de sus edades hoy es 50 años.
f) La diferencia entre dos números es 3. Si la suma entre el mayor de ellos y el doble del
menor es 27. ¿cuáles son los números?
g) Dos amigas tienen juntas $1290 y una de ellas tiene el doble que la otra. ¿Cuánto dinero
tiene cada una de ellas?
h) Se compran 3 kg de manzanas y 2 kg de kiwi a $3400. Si el kilo de kiwi cuesta $200 más
que el de manzanas. ¿Cuánto cuesta cada uno?

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 EJERCICIOS DE REVISIÓN
1) Resolver analíticamente y gráficamente. Clasificar el sistema.
𝑥+2 7 1 1
+2 = 𝑦+3 𝑦 + 2 . (𝑥 − 2) − 4 . (3𝑥 + 1) = 0
4
3 𝑦−3 3 9
𝑥 =1− 𝑥 − 2. (𝑦 − 2) = 4𝑦 + 3
4 3 2

2) Resolver gráficamente. Clasificar el sistema.

5𝑥 + 3𝑦 = 2
10𝑥 + 6𝑦 = 4
3) Plantear un sistema de ecuaciones y resolverlo analíticamente.
A) En una bicicletería hay entre bicicletas y triciclos 23 vehículos. La cantidad total de
ruedas es de 49. ¿Cuántas bicicletas y triciclos hay?
B) Hallar dos números que verifiquen que su diferencia es 2 y que el doble del primero
menos el segundo es 9.

4) Resolver aplicando el método de igualación. clasificar el sistema

2𝑥 − 5𝑦 = −9
𝑥 + 4𝑦 = 2
5) Resolver aplicando Regla de Cramer. Clasificar el sistema
1 2
−2𝑥 − 3𝑦 = 1
1 1 1
𝑥 + 5 𝑦 = − 10
4

19
 UNIDAD III – FUNCION CUADRÁTICA
A la función polinómica de segundo grado 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, siendo a, b, c números reales y 𝑎 ≠ 0, se
la denomina función cuadrática.
Los términos de la función reciben los siguientes nombres:
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

………………….. ………………… ……………………..

………………….. ………………… …………………….
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Gráfica de la parábola
Para realizar el gráfico de la parábola se deben calcular los elementos de la misma y luego
representarla.
 Raíces de la parábola
Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, vale decir que 𝑓(𝑥) = 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑥1,2 = 2𝑎

 Ordenada al origen
Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, vale decir que 𝑓(0) = 𝑐

 Vértice de la parábola
Es el punto donde la gráfica pasa de ser creciente a decreciente, entonces el vértice es el
máximo absoluto de la función o es el punto donde pasa de ser decreciente a creciente,
entonces el vértice es el mínimo absoluto.

𝑥1 +𝑥2 −𝑏
𝑥𝑣 = 𝑜 𝑥𝑣 =
2 2𝑎

𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣 )

Las coordenadas del vértice son 𝑽 = (𝒙𝒗 ; 𝒚𝒗 )

 Eje de simetría
Es la recta que tiene por ecuación 𝒙 = 𝒙𝒗

20
EJEMPLO: Realizar el gráfico aproximado de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3

Actividades
1) Realizar un gráfico aproximado de las siguientes funciones. Indicar en cada caso:
vértice, eje de simetría, raíces y ordenada al origen.
a) 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 − 2

21
 5
b) 𝑦 = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 2

c) 𝑦 = 3𝑥 2 − 12𝑥 + 12

22
d) 𝑦 = −𝑥 2 + 7𝑥 − 10

e) 𝑦 = −𝑥 2 + 6𝑥 − 11

23
 ECUACIÓN POLINÓMICA, CANÓNICA Y FACTORIZADA
POLINÓMICA
Se desarrolla elcuadrado 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se aplica la propiedad
de un binomio distributiva

CANÓNICA FACTORIZADA
𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥𝑣 )2 + 𝑦𝑣 se busca el se buscan 𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1 ). (𝑥 − 𝑥2 )
vértice las raíces

1) Expresar en forma polinómica cada una de las siguientes funciones

a) 𝑦 = 5(𝑥 − 1)2 − 8 1
c) 𝑦 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 5)
2

2 1 2 1 1
b) 𝑦 = 3 (𝑥 − 2) + 6 d) 𝑦 = −3 (𝑥 + 2) (𝑥 − 4)

2) Expresar en forma canónica cada una de las siguientes funciones

a) 𝑦 = 𝑥 2 + 10𝑥 + 15
1
d) 𝑦 = 3 𝑥 2 + 2𝑥 + 1

b) 𝑦 = −2𝑥 2 − 4𝑥

e) 𝑦 = 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

1
c) 𝑦 = 5𝑥 2 − 2𝑥 + 5

24
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1) Supongamos que la temperatura (en °C) de un cierto dia de la ciudad de Gualeguay luego
de t horas pasada la medianoche esta dada por la función 𝑇(𝑡) = −0,25𝑡 2 + 4𝑡 + 10
a) Graficar la temperatura en función del tiempo
b) ¿Qué indica la ordenada al origen en términos del problema?
c) ¿Cuál fue la temperatura a las 2 de la mañana?
d) ¿A que hora la temperatura fue máxima? ¿Cuál fue esa temperatura?
e) ¿En algún momento vuelve a tener la misma temperatura que a medianoche? En caso
afirmativo, indicar en qué momento.

2) Dentro del proceso de sembrado de truchas, en 1990 se introdujeron 100 individuos de

esta especie en un lago ubicado en la zona cordillerana, en el cual no había registro de su
existencia. Al principio la población comenzó a crecer rápidamente pero luego distintos
factores, entre ellos la falta de alimento, determinó un decrecimiento. El número de estos
salmónidos para cada año t si consideramos t=0 al año 1990, se puede modelizar por:

𝑆(𝑡) = −1𝑡 2 + 16𝑡 + 105

a) Graficar la función indicando las variables que se relacionan
b) ¿Cuánto vale y que indica la ordenada al origen en términos del problema?
c) ¿en qué año la población de truchas fue máxima? En dicho año, ¿Cuántos ejemplares
había?
d) ¿En qué periodo de tiempo decrece la población de truchas?
e) ¿En qué año se puede estimar que se extinguirá la población de truchas?

3) El rendimiento de nafta r (en km por litro) de un automóvil está relacionado con la velocidad
1
v (en km/h) por la función 𝑟(𝑣) = − 30 𝑣 2 + 6𝑣
a) ¿cuál debe ser la velocidad para que el rendimiento sea máximo?
b) ¿Cuál es el rendimiento máximo?
c) Si el rendimiento durante el viaje fue máximo, ¿se respetó el límite de velocidad de 110
km/h?
d) ¿para qué valores de v el rendimiento aumenta?

4) En una estación de servicio se describe el beneficio semana, de acuerdo con los litros de
nafta sin plomo que vendió, según la siguiente fórmula:

𝐵(𝑥) = −𝑥 2 + 46𝑥 − 205

a) ¿Cuánto dinero pierde si no vende ningún litro de nafta?
b) ¿Para qué cantidad de litros no hay perdidas ni ganancias?
c) ¿Cuántos litros debe vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio?

𝑚
5) Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 60 𝑠 . A partir de
cierto momento comienza a caer. La relación que existe entre el tiempo (en seg) que la
piedra lleva en el aire y la altura h (en metros) a la que se encuentra esta dada por: ℎ(𝑡) =
−4,9𝑡 2 + 60𝑡 + 1
a) Interpretar qué significa ℎ(0) = 1
25
 b) ¿para qué valores de t la piedra asciende?
c) ¿en qué momento la piedra llega a la altura máxima? ¿Cuál es esa altura?
d) ¿en qué momento toca el suelo?

6) Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función 𝐼(𝑧) =
1000𝑧 − 2𝑧 2 donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.
a) Realizar un gráfico aproximado de la función y responder
b) ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener mayor ingreso?
c) ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares? ¿y 375 pares?
d) ¿A partir de que cantidad de pares comienza a tener pérdidas?

REVISIÓN – FUNCIÓN CUADRÁTICA

1) Expresar las siguientes ecuaciones en forma polinómica, canónica y factorizada según
corresponda:
1
a) 𝑦 = 2 (𝑥 − 3)2 − 2
1
b) 𝑦 = 2(𝑥 + 3) (𝑥 − 2)
1 3 5
c) 𝑦 = − 4 𝑥 2 + 4 𝑥 + 2

2) Dada las siguientes funciones cuadráticas:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 6
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 8𝑥 − 10
Determinar vértice, raíces, ordenada al origen y eje de simetría, y plantear la ecuación de la
parábola en su forma canónica y factorizada.

3) En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los
recursos de la isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de iguanas a
los t años de haberlos dejado en la isla está dado por: 𝐼(𝑡) = −𝑡 2 + 22𝑡 + 112 siendo t>0:
a) Graficar la función
b) ¿Cuánto vale y qué indica la ordenada al origen en términos del problema?
c) ¿en qué período de tiempo la población de iguanas aumentó?.
d) ¿En qué momento la población de iguanas se extingue?

26
 UNIDAD IV
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES(ℝ)
Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos números
enteros.
Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o como expresión decimal
EJEMPLOS:
3 5
1,125 3,78̂
8 2
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre dos
números enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas. Todas las raíces no exactas de
radicando entero son números irracionales.
EJEMPLOS:
3
√5 √7 𝜋
El conjunto de los números reales está formado por los números racionales e irracionales.

27
El conjunto de los números reales se grafica sobre la recta real. A cada número real le corresponde un
punto de la recta y viceversa.

Actividades
1) ¿A qué subconjuntos de los números reales pertenece cada uno de los siguientes números?
2
5 3
√7
15
-14 − 5
√51
16
0 0,1 ̂
0, 36
2

2) Hacer una lista o describir los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
a) Números naturales menores que 5.
b) Números enteros mayores que 100.
c) Números enteros entre 2 y 7.
d) Números enteros mayores que -3.
e) Números enteros negativos mayores que -3.
f) Números enteros positivos menores que 5.
g) Números enteros menores que 1.

3) Unir con flecha cada número real con el intervalo al cual pertenece:
7
−3 (0; 1)

√5 (1; 3)
𝜋 (-3; 2)
1
(-2; 0)
7
3
√100 [3; 5]
4) Escribir V o F, según corresponda. Justificar la respuesta:
a) -3 es un número natural.
b) Todo número natural es un entero.
c) Todo número entero es un natural.
d) Los múltiplos de 11 son números enteros.

28
 e) El inverso multiplicativo de todo número entero distinto de cero es un número entero.
f) Los números pares son racionales.
g) Los números impares son irracionales

h) La √5 es racional.

RECUERDA!!!
5) ¿Qué propiedad se ilustra en cada caso?
3 3
a) √5 + 7 = 7 + √5
b) 9 + (7 + 6) = (9 + 7) + 6
1 1
c) 1 ∙ 9 = 9

d) 0. (√2 + √3) = 0
1
e) ∙ √2 = 1
√2

f) (4 . 5) + (4 . 8) = 4 . (5 + 8)
g) −13 + 0 = −13

6) Indicar V o F. Justificar.

a) √8.3 = √8. √3

b) √9 + 16 = √9 + √16
3
c) √273 = (√27)
6
d) √√2 = √2
8

4
e) √26 = √23

f) (2 + 5)3 = 23 + 55

g) (3 − 2)2 = 32 − 2 . 3 . 2 + 22

29
RECUERDA!!!

7) Resolver los siguientes ejercicios combinados

5 81
a) (0, 3̂ + 6) : 0, 2̂ − 5 ∙ √16 =

4
b) √( − 1) ∙ 0, 3̂ + (0,1 ∙ 7 − 3,1). 0,16̂ =
3

9 2
̂ + ) . (0, 6̂ + 0, 3̂2 ) =
c) (− 7 ∙ 0, 25 7

3 7 −1 3
d) √1 − 8 + (2 . 0,3 + √0,04) −2 =

1 425
e) 0,08̂ ∙ ((2) . √8 + √64) − 0,26̂ =
3

8) Resolver las siguientes ecuaciones:

3 1
a) 2
𝑥 − 2,5 = 5 + 4 𝑥
2 𝑥−2
b) 5
𝑥 −1= 4
3−24𝑥 1−2𝑥 1
c) 10
− 2
= − 10 ∙ (3𝑥 − 4)
2 1 5
d) 2𝑥 − 3 + 3. ( 𝑥 − ) = 𝑥 − ∙ (𝑥 − 1)
3 6 4

6 4 𝑥 1
e) − 10 𝑥 + 10 = 3 − 3 + 1

30
 9) Resolver las siguientes inecuaciones:
a) −4. (𝑥 + 2) > 10
b) 2𝑥 − 3 < 5
4
c) −2𝑥 + 5 ≤ 0,5𝑥 − 2,2

d) (−0,2 − 𝑥): 0,1 ≥ 0,4 − 5𝑥

e) 2. (𝑥 − 3) ≤ 5
1 2 1 7
f) 6
− 3. (− 9 𝑥 + 1) < − (10 − 𝑥) − 3 𝑥

MÓDULO O VALOR ABSOLUTO

El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real.
Dado un n° real, definimos como el “Módulo de x”, con la notación | x | , a:

x si x  0

|x|= –x si x < 0

De modo que el valor absoluto de cualquier número, siempre es positivo por tratarse de una
distancia.
Ejemplos:
|5|=5 |–7|=7 |2–3|=1 |–2.3 |=6
1) Calcular los siguientes módulos
a) |2,3|
b) |-0,5|
c) |1-5|
d) |-4-5|

2) Completar con <, > o = según corresponda.

a) |-6| ……..|6|
b) |5+7|………|5|+|7|
c) |-3-(-10)|………|-3|+|-10|
d) |-1,2 . 0,5| ……… |-1,2| .| 0,5|
e) |-11-4|………..|-11|-|4|
f) |-5+2|………….|-5|+|2|
g) |3,5+(-2)| ………|3,5|+|-2|
h) |5,1-(-2,8)|………… |5,1|-|-2,8|

31
 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo,
son aquellos valores que satisfacen:
ax + b = c ó -(ax + b) = c.
Ejemplos:

│3𝑥 − 4│ = 5 3|2 − 3𝑥| + 2 = 𝑥 + 5

TUTORIAL
https://www.youtube.com/watch?v=AI--j_fYKoQ&ab_channel=LaProfLinaM3

Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones

a) 3 + |2 − 𝑥| = 5
b) |3 − 𝑥| = 5
c) 3. |𝑥 − 1| + 2 = 5 − 𝑥
d) 2𝑥 + 1 = 5. |4 − 2𝑥| − 10
e) 5. |2𝑥 − 1| + 1 = 6
f) 2 − 3. |𝑥 + 1| = 4𝑥 − 5

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto
de la misma.
ax  b  c ax  b  c ax  b  c
Expresión general: , o todas sus equivalentes ,o , etc. …

Método de resolución: aplicamos la definición de valor absoluto de una cantidad y pasamos a

un sistema de dos ecuaciones cuya solución es la solución de la inecuación.
ax  b  c ax  b  c
 
ax  b  c
por definición   ax  b   c ax  b  c ,
Recuerda que al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por una cantidad,
negativa, cambia el sentido de la desigualdad.

TUTORIAL:
https://www.youtube.com/watch?v=KgfnFHqjc_4&t=301s&ab_channel=ProfeGuilleMatem%C3
%A1tica

32
Ejemplos:
|2𝑥 − 1| < 2 2|𝑥 − 1| − 2 ≥ 5

Resolver las siguientes inecuaciones

a) 2 − |𝑥 + 4| > 7 − 2𝑥
b) 2 − 3. (2𝑥 − 4) ≤ 3 − |2𝑥 + 1|
c) |2𝑥 + 1| < 5
d) 2|𝑥 + 1| < 6
e) 4 + |2𝑥 − 3| ≥ 7
f) 5. |1 − 𝑥| > 2𝑥 − 3

REVISIÓN

1) Resolver las siguientes inecuaciones. Representar en la recta numérica, escribir y

clasificar el intervalo solución.
1 1
A) 𝑥 + 3 ∙ (5 𝑥 − 1) > 0, 6̂𝑥 − 2,13̂
2
3𝑥−2 𝑥+2 1 16
B) + ≤ 4 ∙ (𝑥 − )
4 6 5
𝑥+4 1 3
C) − + 10 𝑥 + 0,4 ≥ − 2 ∙ (0, 4̂𝑥 − 1)
2

2) Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con módulo:

a) 4. |𝑥 − 1| + 7 − 5𝑥 = 2𝑥 + 15
b) −3. |2𝑥 + 3| − 4 < 31
c) 7. |1 − 2𝑥| + 10𝑥 − 9 > 𝑥 + 13

3) Transformar en fracción y resolver:

̂ 2 − (0, 72
a) [0, 45 ̂ )2 ] ∙ 0, 27
̂ − 0, 63 ̂2 =

1 2
b) √(3−2 + 0, 6̂): 7 − (1,5 − 0,83̂) − 2, 3̂ =

33
 RADICALES
SIMPLIFICACIÓN DE ÍNDICES:
Cuando el índice de la raíz y el exponente son divisibles por el mismo número, procedemos a
simplificarlos.
15
√𝑥 2 = √𝑥 5 =

n
an  a
n
an  a
OJO!!! Si n es impar: Si n es par:
TUTORIALES
Para descomponer un número ver el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=wuBgwLK9Xy0
Para simplificar ver el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=48IXkLXVTlQ
Actividad
Simplificar los siguientes radicales:
4
a) √32 =
6
b) √𝑥 3 =
12
c) √26 𝑏 3 =
8
d) √𝑎4 𝑏16 =
10
e) √𝑥15 𝑦 20 =
18
f) √36 𝑎12 𝑥 24 =

EXTRACCIÓN DE FACTORES FUERA DEL RADICAL:

Cuando los factores que figuran en el radicando son potencias de exponente mayor o igual que
el índice de la raíz, podemos extraerlos fuera del radical, aplicando las propiedades.

- Dividiendo el exponente por el índice de la siguiente manera:

el resto es el exponente 5 | 2 el resultado es el exponente

que queda “adentro” 1/ 2 que queda “afuera”

√𝑎5 = 𝑎2 . √𝑎
Tutoriales
Para extraer factores fuera del radical ver el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=H12FoN4r_sE

34
Actividades
Descomponer y extraer todos los factores de las raíces cuando sea posible:
5 1 3 64𝑎4 𝑏
a) √− 32 𝑎10 𝑦15 𝑚6 = b) √16. 𝑥 3 = c) √ 27𝑐 5 =

3 0,064.𝑎8 .𝑏10
d) √9. 𝑎2 . 𝑏 6 . 𝑐 = e) √ = f)
𝑐 21
3
√125000. 𝑎7 . 𝑏11 . 𝑐 2 =
RADICALES SEMEJANTE
Los radicales semejantes tienen el mismo índice e igual radicando.
3
√2 −√2 3√2 − 5 √2

3
No son semejantes √𝑥 y √𝑥
√2 y √5
OPERACIONES CON RADICALES
Suma y resta de radicales
Para sumar o restar radicales tienen que ser semejantes (mismo índice y radicando). Para
sumar radicales semejantes se suman los coeficientes de los sumandos y se deja el mismo
radical.
En el caso de que los radicales no sean semejantes, hay que intentar transformarlos en otros
equivalentes que sí lo sean (sacando factores o simplificando) En el caso que no se pueda, la
operación se deja indicada.
3 3
Ejemplos: √5 + 8 √5 = √2 + √8 =

Actividades
Efectuar las siguientes sumas y restas, cuando sea posible:
a) √2 + √2 − 5√2 =
3 3 3
b) √𝑥 + 2 √𝑥 − 3 √𝑥 =
c) √𝑎 − 2√𝑏 + √𝑎 − √𝑏 =
d) 3√18 − 11√2 + 2√50 =
e) 4√3 − 6√5 − 9√27 + √20 =

f) √𝑥 5 + 𝑥√𝑥 3 + √√𝑥10 =
3 6 3
g) 5√128𝑥 + 3 √4𝑥 2 − 4√16𝑥 =
3 3 9 3
h) 4√16 − 2√81 + 5√8 + √24 =

35
 PRODUCTO DE RADICALES
- Del mismo índice: se realiza el procedimiento inverso a la propiedad distributiva (en vez
de distribuir la raíz, la “juntamos”):

√2𝑥. √𝑥𝑦 =

√2𝑥. 𝑥𝑦 = Aplicamos la propiedad de la potenciación, producto de potencias de igual base, se

suman los exponentes: 𝑥. 𝑥 = 𝑥 1+1 = 𝑥 2

√2𝑥 2 𝑦 = Se realizan las extracciones posibles como se vio en clases anteriores

𝑥. √2𝑦 Resultado final

Tutoriales: https://www.youtube.com/watch?v=MGQD-7zyRoM
https://www.youtube.com/watch?v=DL3ITENNgOY
https://www.youtube.com/watch?v=0Ri6V4wGWEE
- De índices distintos: debemos amplificar las raíces a un mismo índice común:
Se multiplica el índice de la raíz y se eleva el radicando siendo el exponente el mismo número
por el cual se multiplicó:

2 5 4
Ej: √3. √2𝑎2 . √27𝑎3 = descomponer en factores primos los números 27 = 33
2 5 4
√3. √2𝑎2 . √33 𝑎3 = (buscamos el m.c.m entre los índices 2, 4 y 5 que es 20)

Multiplicamos los índices y aplicamos

2.10 5.4 4.5 distributiva de la potenciación teniendo en
√310 . √(2𝑎2 )4 . √(33 𝑎3 )5 = cuenta que potencia de potencia se
multiplican los exponentes

20 20 20
√310 . √ 24 (𝑎2 )4 . √(33 )5 (𝑎3 )5 = Multiplicamos
exponentes
20 20 20
√310 . √ 24 𝑎8 . √315 𝑎15 = Como tenemos un producto de raíces de igual índice, se
aplica la propiedad recíproca a la distributiva
20
√310 24 𝑎8 315 𝑎15 Aplicamos la propiedad del producto de potencias de
igual base sumando exponentes
20 20
√310 24 𝑎8 315 𝑎15 = √325 24 𝑎23 Se extraen los factores que tengan exponente mayor o
igual que el índice
20
3𝑎 √35 24 𝑎3 RESULTADO FINAL

Tutoriales: https://www.youtube.com/watch?v=NuXTtcGzgMM
36
 https://www.youtube.com/watch?v=MaE6zwrKlxA
Actividades
3
1) √𝑥 2 . √𝑥 =
4
2) √8𝑥 2 . √2𝑥 =
3
3) √2. √2 =
3 4
4) √𝑥 2 . √𝑥 3 =
3
5) √2 . √4 =
5
6) √3𝑥 3 . √3𝑥 =
3 4
7) √𝑥 . √𝑥 2 . √𝑥 3 =
81 25
8) √125 𝑥 4 . √27 𝑥 =

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
3 1 𝑎 5
Expresiones como , , , 3 , … , tienen en común que sus denominadores son
√2 √2+√3 √2𝑥 √2
irracionales (Raíces que tienen infinitas cifras decimales no periódicas, no son exactas) o al
menos aparecen en ellos alguna raíz.
Racionalizar consiste en transformar los denominadores en expresiones racionales (no puede
quedar una raíz en el denominador).
El procedimiento se basa en amplificar (multiplicar) por un factor adecuado. Es decir, se
multiplica el numerador y el denominador por una misma cantidad, con lo cual se obtiene una
expresión equivalente a la expresión dada.

1° CASO: En el denominador hay un solo término y está afectado por una raíz.

2
Ejemplo: Debemos racionalizar, significa eliminar la raíz del denominador sin alterar el
√3
resultado. Para que una raíz (cuadrada en este caso) se simplifique, debe estar elevada (al
2
cuadrado). Debemos llegar a (√3) que equivale a √3 . √3 Por lo tanto, si tenemos √3,
debemos multiplicar por √3 el denominador. Pero para que no se altere la expresión debemos
multiplicar el denominador y también el numerador . Entonces:
2 √3
. = Efectuamos la multiplicación, numerador por numerador y denominador por denominador
√3 √3

2 √3 2√3 2√3 2√3

. = 2 Simplificamos exponente y raíz en el denominador 2 = Resultado Final
√3 √3 (√3) (√3) 3

En general, cuando el denominador es una raíz cuadrada, ella misma es el factor de

amplificación.

37
 3
Ejemplo: 3 Debemos racionalizar, significa eliminar la raíz del denominador sin alterar el
√5
resultado. Para que una raíz (cúbica en este caso) se simplifique, debe estar elevada (al cubo).
3 3 3 3 2 3
Debemos llegar a ( √5) que equivale a √5 . ( √5) Por lo tanto, si tenemos √5, debemos
3 2
multiplicar por ( √5) el denominador. Pero para que no se altere la expresión debemos
multiplicar el denominador y también el numerador . Entonces:

3 2
3 ( √5)
3 . 3 2 = Efectuamos la multiplicación, numerador por numerador y denominador por
√5 ( √5)
denominador

3 2 3 2 3 2 3 2
( √5) 2 .( √5) 2 .( √5) 2 .( √5) 3
3 2. √52
3 . 2 = 3 Simplificamos exponente y raíz en el denominador 3 = = =
√5 3
( √5)
3
( √5)
3
( √5) 5 5

3
2. √25
= Resultado Final
5

𝒏 𝒏
En general, si en el denominador aparece √𝒂𝒌 es necesario amplificar por √𝒂𝒏−𝒌 con el
objeto de igualar el índice de la raíz con el exponente del radicando.
Actividades
Racionaliza los denominadores.
5
a)
√2

3
b)
√5

2𝑥
c) 3
√2𝑥

5𝑥
d) 4
2 √2𝑥

2𝑥
e) 5
√𝑥3

3𝑥
f) 5
√2𝑥6

38
2° CASO: Si el denominador es un binomio, se amplifica (Multiplica) la fracción por su
conjugado.
Si se trata, por ejemplo, de √3 + 2 se multiplica por √3 − 2. La idea es formar el producto de la
suma por la diferencia que es igual a la diferencia de los cuadrados, con lo cual se consigue
eliminar las raíces.
(𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2

Suma por diferencia = diferencia de cuadrados

Ejemplos:
3
√3+2

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, es decir, si es √3 +

2 multiplicamos por √3 − 2
Prop. distributiva
3 √3−2 3.(√3−2) 3√3−2 3√3−2 3√3−2 3√3−2 3√3 2
∙ =( = 2 = 2 = = = − −1 = −3√3 + 2
√3+2 √3−2 √3+2).(√3−2) (√3) −22 (√3) −22 3−4 −1 −1

Diferencia de Simplificar Regla

Distributiva Resultado final
cuadrados
exponente/raíz del de
denominador signos
3+√5
√3−√2

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, es decir, si es √3 −

√2 multiplicamos por √3 + √2
No se suman las
raíces porque no
son semejantes

Prop. Distributiva (3 + √5). (√3 − 2)

3+√5 √3+√2 (3+√5).(√3−2) 3√3−6+√15−2√5 3√3−6+√15−2√5 3√3−6+√15−2√5
∙ =( = 2 = 2 = =
√3−√2 √3+√2 √3+2).(√3−2) (√3) −22 (√3) −22 3−4

Diferencia de
Simplificar
cuadrados
exponente/raíz

3√3−6+√15−2√5 3√3 6 √15 2√5

= = − −1 + − −1 = −3√3 + 6 − √15 + 2√5
−1 −1 −1

Distributiva Regla Resultado final

del
de
denominador
signos

39
 TUTORIALES
Caso 1
https://www.youtube.com/watch?v=PI2TVst7Ibs
Caso 2
https://www.youtube.com/watch?v=6ACzZyn99v8
https://www.youtube.com/watch?v=Dw7HrYXMJQc
https://www.youtube.com/watch?v=eGoiGnI0ZGw
https://www.youtube.com/watch?v=e6gmBwa-mr4
Actividades
Racionaliza los denominadores
√2
a) 5−√2

√5−1
b) 1−√5

√2−√3
c)
√3−√2

5+√2
d)
√5−√2

√2
e)
√5−√2

40
REVISIÓN
1) Descomponer, extraer y efectuar las siguientes operaciones (siempre que sea posible):
a) √9𝑥 − √25𝑥 + √49𝑥 =
4 6
b) √9𝑦 8 + √27𝑦 12 =
3 3
c) 2√81 − 4√24 =
3 9 6
d) 2√4 + 3 √64 − 4√16 =
2) Resolver los siguientes productos:
12 4
a) √8𝑧13 ∶ √2𝑧 3 =
3 5
b) √𝑎𝑏 2 . √𝑎2 𝑏 3 =
6 3
c) √3𝑥𝑦 3 . √3𝑥 5 𝑦 3 . √3𝑥 2 𝑦 =
3 6
d) √4𝑥 . √4𝑥 2 . √16𝑥 3 =
3) Racionalicen las siguientes expresiones:
2𝑥𝑦
c)
√6𝑥

√3
d) 1+√3 =
3−√2
e) 3+√2 =
2√15
f) =
√5−√3

√2−√3
g) =
√2+√3

41
 UNIDAD V
LOGARITMACIÓN
Como operación inversa de la potenciación tenemos la radicación, cuando la incógnita es la base:
𝑥𝑛 = 𝑏 Por ejemplo: 𝑥 3 = 8
𝑛
𝑥 = √𝑏 𝑥=

En cambio, cuando la incógnita es el exponente de una potencia, la operación que debemos

utilizar es la logaritmación.
Definición: La logaritmación es una operación entre dos números a y b llamados base y
argumento respectivamente, que se define como:

𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 ⇔ 𝑎 𝑥 = 𝑏
a es la base del logaritmo y debe
ser real, positivo, y distinto de 1
b es el argumento del logaritmo y
Por ejemplo: log 5 125 = 3 debe ser real positivo y distinto
de cero
La pregunta que debemos hacernos es: ¿A qué debemos elevar 5 (la base del logaritmo)
para obtener 125?
SI te quedan dudas: https://www.youtube.com/watch?v=vWyKxiUn0CM

Observamos una serie de elementos, como:

a) La base: Es el número que elevado al exponente nos da el número total. (En el ejemplo es 5)
b) El argumento: Es el resultado, la potencia. (En el ejemplo es 125)
CASOS PARTICULARES:

log 𝑏 𝑏 = 1 Ejemplo: log 3 3 = 1

log 𝑏 𝑏 𝑛 = 𝑛 Ejemplo: log 5 53 = 3
log 𝑏 1 = 0 Ejemplo: log 2 1 = 0
1 1
log 𝑏 𝑏 = −1 Ejemplo: log 2 2 = −1

LOGARITMOS DECIMALES:
Si la base del logaritmo es 10 se llama logaritmo decimal y se puede escribir log sin indicar la
base.
El logaritmo decimal aparece en la calculadora científica
Ejemplo: log 2 =

42
Propiedades de los logaritmos

1) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log 𝑎 (𝑥. 𝑦) = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦

Ejemplo: log 2 (4 . 8) =

2) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del

divisor.
𝑥
log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦
𝑦

Ejemplo: log 2 (8 ∶ 4) =

3) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la

base.

log 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑛 log 𝑎 𝑥

Ejemplo: log 2 84 =

4) El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice
de la raíz.

𝑛 1
log 𝑎 √𝑥 = log 𝑎 𝑥
𝑛

Ejemplo: log 2 √64 =

TUTORIAL PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

https://www.youtube.com/watch?v=tWLWNinCNow ( VER A PARTIR DEL MINUTO 3)

43
CAMBIO DE BASE
Calcular log 3 5 =

Como no es posible realizar este cálculo directamente en la calculadora, se debe efectuar un

cambio de base, donde la nueva base sea la decimal:
log 5
log 3 5 = ≅
log 3

𝐥𝐨𝐠 𝒂
En general: 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃

Tutorial cambio de base: https://www.youtube.com/watch?v=trk2fxhtCOs

Actividades
1) Calcular los siguientes logaritmos aplicando la definición:
1
a) log4 64 = b) log3 81 = c) log 3 27 d) log 1 1 =
2
1 1 1
e) log10 1000 = f) log 2 4 g) log 1 128 h) log 100
2

1 1
i) log 1 4 = j) log 1 81 = k) log 5 125 = l) log 3 √3 =
2 3

2) Determinar el valor de x aplicando la definición de logaritmo

a) 𝑥 = log 3 81 + log 1 8 − log 1 5
2 5
log9 3 log2 4
b) 𝑥 = log + log
25 5 √3
3
log√2 2+log1 3−log√7 49
c) 𝑥 = 3
3
log7 √7−log1 9
3

log5 √5−log1 3
1
d) 𝑥 = [ 1
3
] . log 5 5
log3
27

3) Aplicar el cambio de base conveniente para poder operar con calculadora y resolver:
a) log 2 18 = b) log 3 100 = c) log 2 256 =

44
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Las ecuaciones logarítmicas son las que tienen la incógnita en el argumento de algún logaritmo.
Para resolverlas, debemos tener presente que:
- Siempre que sea posible, conviene agrupar los logaritmos en uno solo, para lo cual se
aplican las propiedades.
- Para despejar una incógnita contenida en el argumento, se aplica la definición de
logaritmo.
𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 𝑎𝑥 = 𝑏 log 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⇒ 𝑥 = 𝑎𝑏
- Sólo existen logaritmos de números positivos, por lo cual deben descartarse como
soluciones los valores que no verifiquen la ecuación original (Valores nulos o negativos).

EJEMPLO 1

DESPEJAR “X”

𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝑥 + 1) = −1 por definición log 𝑎 𝑥 = 𝑏 ⇒ 𝑥 = 𝑎𝑏 verificación: (reemplazar e valor

obtenido
𝑥 + 1 = 𝟐−1 en la ecuación)
1 1
𝑥+1 = log 2 (− + 1) = −1
2 2
1 1
𝑥 = 2
−1 log 2 (2) = −1
1
𝑥 = −2 RESULTADO FINAL −1 = −1

TUTORIAL: https://www.youtube.com/watch?v=z5WDNFfSifo

Ejemplo 2: (igual base – igual argumento)

SUMAR/RESTAR LOS LOGARITMOS

2 log 3 (𝑥 − 1) − log 3 (𝑥 − 1) = 6
2 log 3 (𝑥 − 1) − log 3 (𝑥 − 1) = 6

2 log - 1 log (recuerden si no hay ningún factor es porque hay un 1)

= 1 log Entonces:

log 3 (𝑥 − 1) = 6 (No pongo el 1, es una obviedad)

Ahora despejo “x” como el ejemplo anterior. Si el factor es distinto de 1, pasa primero
dividiendo. En este caso paso primero el log como base de la potencia
𝑥 − 1 = 36
𝑥 − 1 = 729
𝑥 = 729 + 1

𝑥 = 730 RESULTADO FINAL

45
Resolver: Resultados
1) log 2 (𝑥 − 1) = 0 𝑥=2
2) log 2 (𝑥 + 2) = 2 𝑥=2
3) log 1 (𝑥 − 2) = −1 𝑥=4
2
4) log 3 (𝑥 + 5) = 0 𝑥 = −4
3
5) log 5 (𝑥 − 4) = 2 𝑥=7
2
6) 2 log 4 (𝑥 − 1) + log 4 (𝑥 − 1) = 6 𝑥 = 17
7) 3 log 4 (𝑥 + 4) − log 4 (𝑥 + 4) = 2 𝑥=0

Ejemplo 3: (Igual base – Distinto argumento)

APLICAR LAS PROPIEDADES DE LA LOGARITMACIÓN:

log 3 (𝑥 + 4) + log 3 (𝑥 − 4) = 2

No se puede sumar porque no son términos semejantes ya que los argumentos son distintos.
En este caso se aplica la recíproca de la propiedad 1: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores

log 𝑎 (𝑥. 𝑦) = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦

log 3 [(𝒙 + 𝟒). (𝒙 − 𝟒)] = 2

Propiedad distributiva
𝟐
log 3 (𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟔) = 2
log 3 (𝒙𝟐 − 𝟏𝟔) = 2 Despejando
𝑥 2 − 16 = 32
𝑥 2 − 16 = 9
𝑥 2 = 9 + 16
𝑥 2 = 25
𝑥 = √25
𝑥 = ±5 𝑥 = +5 Es solución
𝑥 = −5 NO es solución (porque al reemplazar el argumento quedaría
negativo)

46
log(𝑥 − 3) − log 𝑥 = log 4

No se puede restar porque no son términos semejantes ya que los argumentos son distintos.
En este caso se aplica la recíproca de la propiedad 2: El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los
logaritmos de los factores

𝑥
log 𝑎 (𝑦) = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦

𝑥−3
log ( ) = log 4
𝑥

En este caso, es posible simplificar los logaritmos a ambos miembros por ser de igual base
𝑥−3
=4 Pasa multiplicando
𝑥

𝑥 − 3 = 4𝑥
𝑥 − 4𝑥 = 3
−3𝑥 = 3
3
𝑥=
−3

𝑥 = −1 RESULTADO FINAL

TUTORIALES: https://www.youtube.com/watch?v=LW_sP5jDBQA

https://www.youtube.com/watch?v=QOBk8--JN-Q

Resolver: Resultados
8) log 2 (2𝑥 + 2) − log 2 (−𝑥 + 2) = 2 𝑥=1
9) log 2 (3𝑥 + 2) − log 2 (2𝑥 − 3) = 3 𝑥=2
3
10) log 5 (𝑥 + 12) − log 5 (𝑥 + 3) = 1 𝑥 = −4
11) log 2 (𝑥 + 2) + log 2 (𝑥 − 1) = 2 𝑥1 = 2
12) log 3 (𝑥 − 5) − log 3 (2𝑥 + 3) = −1 𝑥 = 18

47
Ejemplo 4: (Distinta base – Igual argumento)

REALIZAR UN CAMBIO DE BASE

log 2 𝑥 − log 8 𝑥 = 2

No se puede restar porque no son términos semejantes ya que las bases son distintas, por lo tanto se hace un cambio de base

log 2 𝑥 − log 8 𝑥 = 2 Si tenemos bases distintas ¿cuál cambio? La que sea múltiplo de la otra (8 cambia a 2)

log2 𝑥
log 2 𝑥 − = 2 Resuelvo el log del denominador
log2 8

log2 𝑥
log 2 𝑥 − = 2 Ahora que tengo términos semejantes porque son log de igual base e igual argumento,
3
puedo restarlos (o sumarlos)

1 log - 1/3 log = 2/3 log

2
log 2 𝑥 = 2 Se despeja de izquierda a derecha, el número que está adelante multiplica pasa dividiendo
3
3
log 2 𝑥 = 2. 2
log 2 𝑥 = 3
𝑥 = 23
𝑥=8 RESULTADO FINAL

log √5 (𝑥 + 1) + log 5 (𝑥 + 1) = 9 Siempre que la base de un log sea una raíz, elijo esa para cambiar

log √5 (𝑥 + 1) + log 5 (𝑥 + 1) = 9

log5(𝑥+1) 1
+ log 5 (𝑥 + 1) = 9 Resuelvo el log del denominador log 5 √5 sabiendo que log 5 52 y, por
log5 √5
1 1
uno de los casos particulares log 𝑏 𝑏 𝑛 = 𝑛 entonces log 5 52 =
2
log5 (𝑥+1) 1
1 + log 5 (𝑥 + 1) = 9 El se multiplica invertido, entonces:
2
2
2 log 5 (𝑥 + 1) + log 5 (𝑥 + 1) = 9

Son términos semejantes por tener misma base y mismo argumento, entonces puedo sumarlos
3 log 5 (𝑥 + 1) = 9 Una vez que se logra tener un solo log, se puede despejar
9
log 5 (𝑥 + 1) = 3
log 5 (𝑥 + 1) = 3
𝑥 + 1 = 53
𝑥 + 1 = 125
𝑥 = 124 RESULTADO FINAL

TUTORIALES CON CAMBIO DE BASE

https://www.youtube.com/watch?v=c-lfnE_sXPQ
https://www.youtube.com/watch?v=XXmXZK8fhGs

48
Resolver: Resultados
1) log 4 2𝑥 + log 2 2𝑥 = 3 𝑥=2
2) log 5 𝑥 2 − log 25 𝑥 2 =0 𝑥 = ±1
3) log √7(𝑥 − 2) + log 7 (𝑥 − 2) = log 3 27 𝑥=9
4) log √7(𝑥 − 1) − log 7 (𝑥 − 1) = log 7 49 𝑥 = 50
5) log √5(𝑥 + 2) − log 5 (𝑥 + 2) = log 5 1 𝑥 = −1

ECUACIÓN EXPONENCIAL
Una ecuación exponencial (ecuación que incluye potencias) es aquella ecuación en la que
la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial debemos tener en cuenta que:
𝑎>0 y 𝑎≠1 ( a debe ser mayor que cero y distinto de 1)
y que si 𝑎 𝑥1 = 𝑎 𝑥2 𝑥1 = 𝑥2 (si la base a es igual a la base a, entonces los exponentes
serán iguales entre sí)
Propiedades de la potenciación:

Para resolver una ecuación exponencial puede resolverse de distintas maneras:

Ejemplo 1: 3𝑥+1 = 81

PRIMERA FORMA SEGUNDA FORMA

Aplicamos la definición de logaritmo (la base
Si los dos miembros de la igualdad tienen de una potencia pasa como base de un
distinta base, debemos reducirlos a la misma logaritmo)
base.
𝟑𝑥+1 = 81
3𝑥+1 = 81 Pero 81 = 34 𝑥 + 1 = log 𝟑 81
3𝑥+1 = 34 Por definición, si las bases son
iguales los exponentes también lo 𝑥+1=4
son, igualamos exponentes:
𝑥 = 4−1
𝑥+1=4 Despejamos
𝑥 = 4−1 𝑥=3 RESULTADO FINAL
𝑥=3 RESULTADO FINAL

49
Verificación:

3𝟑+1 = 81
34 = 81
81 = 81 Se verifica la igualdad

TUTORIAL: https://www.youtube.com/watch?v=j2295KOxgXw

1) 5−𝑥 = 125 𝑥 = −3
1
2) 72𝑥+3 = 𝑥 = −2
7
3) 9 . 3𝑥 = 27 𝑥=1
3
4) 32+2𝑥 = 243 𝑥=
2
5) 5𝑥+1 = 625 𝑥=3
3𝑥−2 4
6) 4 . 64 = 1024 𝑥=3

En algunas ecuaciones deben aplicarse las propiedades de la potenciación:

Ej 2: 4𝑥−2 + 4𝑥 + 4𝑥+1 = 324
Cuando se tiene la suma algebraica de más de una potencia pero todas de igual base, aplicamos
en cada término la propiedad de la potenciación: producto de ponencias de igual base se
multiplican los exponentes
4𝑥−2 + 4𝑥+0 + 4𝑥+1 = 324
4𝑥 . 4−2 + 4𝑥 . 40 + 4𝑥 . 41 = 324 Extraemos Factor Común 4𝑥
4𝑥 . (4−2 + 40 + 41 ) = 324 Resolvemos el paréntesis

1
4𝑥 . (16 + 1 + 4) = 324

81
4𝑥 ∙ = 324 Que es lo mismo que
16
81
∙ 4𝑥 = 324 Una vez que logramos tener una sola potencia y en el primer miembro no hay
16
nada para resolver, comenzamos a despejar. El 4 no se puede ir porque tiene
exponente “x”, por lo tanto se va primero el número que lo multiplica.
81
4𝑥 = 324 ∶ 16
16
4𝑥 = 324 ∙ 81
𝑥
4 = 64
4𝑥 = 43
𝑥=3 RESULTADO FINAL

50
 TUTORIALES
https://www.youtube.com/watch?v=QWYOcBLA2is
https://www.youtube.com/watch?v=NTpgrznt4Yc
https://www.youtube.com/watch?v=Kae0R7viRHQ&list=PLeySRPnY35dHJJIKyqY0Wg4TTM0NDsS7f&ind
ex=8

6
7) 5𝑥 + 5𝑥+1 = 25 𝑥 = −2
19
8) 2𝑥 + 2𝑥+3 + 2𝑥−1 = 𝑥 = −1
4
9) 3𝑥+2 − 3𝑥−1 = 26 𝑥 =1
10) 2𝑥+1 − 2𝑥−3 + 2𝑥 = 23 𝑥 =3
11) 6𝑥 + 6𝑥−1 = 7 𝑥 =1
12) 3𝑥+1 + 3𝑥−1 = 30 𝑥 =2
13) 2𝑥 + 2𝑥+2 = 40 𝑥 =3
14) 3𝑥 + 3𝑥−2 + 3𝑥+1 = 37 𝑥 =2

2𝑥+2 𝒎
Ej 3: √2𝑥+3 = 2 𝒏
Sabiendo que 𝒂 𝒏 = √𝒂𝒎

𝑥+3
2 2𝑥+2 = 21 Si las bases son iguales, los exponentes también lo son

𝑥+3
=1 Resolvemos la ecuación
2𝑥+2

𝑥 + 3 = 1. (2𝑥 + 2)
𝑥 + 3 = 2𝑥 + 2
𝑥 − 2𝑥 = 2 − 3
−1𝑥 = −1
𝑥=1 RESULTADO FINAL

51
Otro ejemplo:
4
√22𝑥−1 = √8𝑥+3
2𝑥−1 𝑥+3
2 2 =8 4 Los exponentes son iguales si las bases son iguales, por lo tanto debemos convertir las
potencias de modo que las bases sean iguales. Sabiendo que 8 = 23
2𝑥−1 𝑥+3
2 2 = (23 ) 4 Aplicamos la propiedad de la potenciación, potencia de potencia se multiplican los exponentes

2𝑥−1 𝑥+3
= 2 3.( )
2 2 4 Ahora sí, se pueden igualar los exponentes
2𝑥−1 𝑥+3
= 3. ( ) Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro
2 4
2𝑥−1 3𝑥+9
= Multiplicamos cruzado
2 4

4. (2𝑥 − 1) = 2. (3𝑥 + 9)
8𝑥 − 4 = 6𝑥 + 18
8𝑥 − 6𝑥 = 18 + 4
2𝑥 = 22
22
𝑥= 2

𝑥 = 11 RESULTADO FINAL

TUTORIAL: https://www.youtube.com/watch?v=YhegYCccbrA (A partir del minuto 6)

3
1) √32𝑥 = √9𝑥+1 𝑥 = −3
𝑥+1 4𝑥+1
2) √5 = √125 𝑥=2
2𝑥−1 3 13
3) √8 = √2𝑥+2 𝑥 = 16
3
4) √3𝑥+6 = √9𝑥 𝑥 = 18
REVISIÓN
Ejercicio 1: Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:
a) 5𝑥+1 + 5𝑥 − 5𝑥−2 = 149
𝑥+2 𝑥
b) √125 = √5
c) 125𝑥 . 5 = 3125
1 3
d) ∙ 3𝑥 + 3𝑥 =
2 2

Ejercicio 2: Resolver las siguientes ecuaciones:

a) log 5 (𝑥 − 3) + log √5(𝑥 − 3) = 9
b) log 9 (𝑥 + 1) + log 3 (𝑥 + 1) = 3
c) log(𝑥 + 1) − log(𝑥 − 1) = log 2
d) log 2 (8𝑥) + log 2 (4𝑥 2 ) = 8
52
 UNIDAD VI – NÚMEROS COMPLEJOS
La imposibilidad de resolver expresiones del tipo √−4, √−25, √−16, etc., crea la necesidad de
ampliar el conjunto de números reales, mediante la introducción de los números complejos.
𝑥2 + 1 = 0 𝑥 2 + 15 = −1
𝑥 2 = −1 𝑥 2 = −16
𝑥 = √−1 (No tiene solución real) 𝑥 = √−16 (No tiene solución real)

𝑥=𝑖 𝑥 = 4𝑖

Pero √−1 no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para resolver esta ecuación
llamamos a √−1 = 𝑖 , introduciendo un nuevo conjunto de números llamados imaginarios. Estos
nuevos números con los demás conjuntos numéricos forman el conjunto de Números Complejos.
√−9 = √9 . (−1) = √9 . √(−1) = 3𝑖

√−25 = √25 . (−1) = √25 . √(−1) = 5𝑖

√−3 = √3 . (−1) = √3 . √(−1) = √3 𝑖

𝑖 = √−1 se llama unidad imaginaria, de donde 𝑖 2 = −1

Definición
Un número complejo está formado por un par ordenado de números reales.
Expresión Cartesiana 𝑧 = (𝑎; 𝑏)

Número Componente Componente

Número complejo Real Imaginaria
Complejo

Ejemplo: 𝑧 = (3; 4)

Expresión Binómica 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖

Número Parte Real Parte

complejo Imaginaria

Ejemplo: 𝑧 = 3 + 4𝑖

 Todos los números de la forma (𝑎; 0) son números reales.

 Todos los números de la forma (0; 𝑏) Son números complejos imaginarios puros.
 El número (0; 𝑖) es la unidad imaginaria i

53
Representación Gráfica de un Número Complejo
A cada número complejo le corresponde un punto en el plano, cuya abscisa (x) es la componente
real y cuya ordenada (y) es la componente imaginaria. Por esta razón, al eje de abscisas se lo llama
real y al eje de ordenadas imaginario.
Ejemplo: 𝑧1 = 3 + 2𝑖 𝑧2 = −5 𝑧3 = 4𝑖

Representar gráficamente los siguientes números complejos en un mismo sistema de ejes:

a) 𝑧4 = −3 + 5𝑖
b) 𝑧5 = −3𝑖
c) 𝑧6 = 3 − 2𝑖
d) 𝑧7 = −5 − 2𝑖
e) 𝑧8 = 3 + 7𝑖

Complejos conjugados
Dado un complejo 𝑧, se define como conjugado 𝑧̅ al complejo que tiene la misma parte real y
opuesta su parte imaginaria.
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖
Un complejo y su conjugado son simétricos respecto del eje x.

Suma y resta de números complejos

Para sumar o restar números complejos se suman o restan las componentes reales y las
imaginarias respectivamente.

Expresión Cartesiana
𝒂; 𝒃) ± (𝒄; 𝒅) = (𝒂 ± 𝒄; 𝒃 ± 𝒅)
(2; 1) + (3; 9) = (2 + 3; 1 + 9) = (5; 10)
(2; 1) − (3; 9) = (2 − 3; 1 − 9) = (−1; −8)

Expresión Binómica
(𝒂 + 𝒃𝒊) ± (𝒄 + 𝒅𝒊) = (𝒂 + 𝒄) ± (𝒃 + 𝒅)𝒊
(2 + 𝑖) + (3 + 9𝑖) = (2 + 3) + (𝑖 + 9𝑖) = 5 + 10𝑖
(2 + 𝑖) − (3 + 9𝑖) = (2 − 3) + (𝑖 − 9𝑖) = −1 + (−8𝑖) = −1 − 8𝑖
Resolver las siguientes sumas y restas
1 3
1) (1 ; 2) + (2 ; 1) =

2) (5 ; 9) − (−4 ; 2) =
54
 5 3
3) (2 − 𝑖) + (2 + 2𝑖) =

3 1
4) (5 𝑖) − (3 + 2𝑖) =

5) (√2) − (−3√2 + √3𝑖) =

Multiplicación de números complejos

Para multiplicar números complejos dados en forma binómica se aplica la propiedad distributiva
de la multiplicación respecto de la suma y/o resta; teniendo en cuenta que 𝑖 2 = −1

Ejemplo: (1 + 2𝑖). (3 + 4𝑖) = (1 + 2𝑖). (3 + 4𝑖) = 3 + 4𝑖 + 6𝑖 + 8𝑖 2

= 3 + 4𝑖 + 6𝑖 + 8. (−1)
= 3 + 4𝑖 + 6𝑖 − 8
= −5 + 10𝑖

Resolver las siguientes multiplicaciones

1) (4 ; 6). (2; 3) =
1
2) (1 ; − 2) . (2; 2) =
3) (8 + 2𝑖). (−3 + 𝑖) =
4) (√3 + 𝑖). (2√3 + 4𝑖) =
1
5) (3 − 𝑖) . (1 + 2𝑖) =

División de Números Complejos

Para dividir números complejos dados en expresión binómica, se multiplica al dividendo y al
divisor por el conjugado del divisor

Ejemplos:
1+3𝑖 Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, es decir,
=
2−𝑖 si es 2 + 𝑖 multiplicamos por 2 + 𝑖

Prop. distributiva

1+3𝑖 2+𝑖 (1+3𝑖).(2+𝑖) 2+𝑖+6𝑖+3𝑖 2 2+𝑖+6𝑖+3.(−1) 2+𝑖+6𝑖−3 −1+7𝑖 1 7

∙ 2+𝑖 = = = = = −5 + 5𝑖
2−𝑖 (2−𝑖).(2+𝑖) 22 −𝑖 2 4−(−1) 4+1 5

Diferencia de
Distributiva Resultado final
cuadrados
del
denominador

55
Resolver las siguientes divisiones
4+2𝑖
a) =
4−2𝑖
2+𝑖
b) =
3−2𝑖
5+3𝑖
c) =
1+4𝑖
(0;1)
d) 1 =
(−2;− )
2
(√6;√6)
e) (√6;−√6)
=

TUTORIALES:
REPRESENTACIÒN GRÀFICA https://www.youtube.com/watch?v=aQvmmWQlNZY
SUMA Y RESTA https://www.youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk
MULTIPLICACIÒN https://www.youtube.com/watch?v=38DPFbTKUpQ
DIVISIÒN https://www.youtube.com/watch?v=XV5buDdtUEU

Potencia de la unidad imaginaria

Aplicando las propiedades de la potenciación se puede hallar la potencia enésima de i.

A partir de la cuarta potencia los números 𝟏, −𝟏, 𝒊, −𝒊 se repiten periódicamente.

En general, para calcular una potencia cualquiera de i, por ejemplo 𝑖 𝑛 , se debe hallar el resto de
la división de n por 4
Ejemplos: 𝑖7 = 𝑖5 = 𝑖 49 =

Escribir en forma cartesiana cada uno de los siguientes números complejos:

a) 𝑧 = 𝑖 55 + 3 + 𝑖 45
b) 𝑧 = −𝑖 125 + 𝑖 50 − 2𝑖
c) 𝑧 = 2𝑖 153 − 4𝑖 58 + 5𝑖
d) 𝑧 = 3𝑖 22 − 5𝑖 7 + 𝑖 31

56
Cuadrado y cubo de un Número Complejo
Para elevar al cuadrado o al cubo un número complejo, se desarrolla el cuadrado o el cubo de un
binomio

Ejemplos: (3 − 2𝑖)2 = 32 + 2.3. (−2𝑖) + (−2𝑖)2

= 9 − 12𝑖 + 4𝑖 2 pero 𝑖 2 = −1
= 9 − 12𝑖 + 4 . (−1)
= 9 − 12𝑖 − 4 Se agrupan términos semejantes
= 5 − 12𝑖

(2 + 3𝑖)3 = 23 + 3. 22 . 3𝑖 + 3.2. (3𝑖)2 + (3𝑖)3 Se resuelven las potencias

= 8 + 3.4.3𝑖 + 3.2.9𝑖 2 + 27𝑖 3 pero 𝑖 2 = −1 y 𝑖 3 = −𝑖
= 8 + 36𝑖 + 54 . (−1) + 27. (−𝑖)
= 8 + 36𝑖 − 54 − 27𝑖 Se agrupan términos semejantes
= −46 + 9𝑖
Desarrollar los siguientes cuadrados y cubos de números complejos:
a) (2 − 5𝑖)2 =

b) (5 − 2𝑖)3 =

c) (−1 + 3𝑖)3 =

3 2
d) (2 + 4𝑖) =

4 3
e) (3 − 3𝑖) =

1 3
f) (3 + 3 𝑖) =

57
Operaciones combinadas
Las operaciones combinadas entre números complejos se resuelven respetando el orden de
resolución de cada una de ellas. Se debe tener en cuenta que, debe resolverse todo lo que sea
posible en el numerador por una parte, y por otra parte en el denominador
1. Se resuelven potencias.
2. Las multiplicaciones y divisiones.
3. Las adiciones y sustracciones.
Los paréntesis alteran el orden de resolución de las operaciones.
Ejemplos:
(1+𝑖)2 12 +2.1.𝑖+𝑖 2 1+2𝑖+(−1) 1+2𝑖−1 2𝑖 3−𝑖 2𝑖.(3−𝑖) 6𝑖−𝑖 2 6𝑖−(−1)
= = = = ∙ = (3+𝑖).(3−𝑖) = = =
3𝑖 20 −𝑖 19 3𝑖 0 −𝑖 3 3.1−(−𝑖) 3+𝑖 3+𝑖 3−𝑖 32 −𝑖 2 9−(−1)
6𝑖+1 1+6𝑖 1 6 1 3
= = + 𝑖= + 𝑖
9+1 10 10 10 10 5

TUTORIALES
Potencia de la unidad imaginaria
https://www.youtube.com/watch?v=Qv_bvmJJfV0&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex
Cuadrado de un complejo
https://www.youtube.com/watch?v=V7SQJhQbQ5s
Cubo de un complejo
https://www.youtube.com/watch?v=dukhyr5OHpQ
Operaciones combinadas
https://www.youtube.com/watch?v=GiFO5TcmJTc&ab_channel=RodriBaza31enCuarentena

Resolver las siguientes operaciones combinadas:

(6+2𝑖).(5+3𝑖)
a) =
2+2𝑖

(2+𝑖).(5−3𝑖)
b) =
(1−2𝑖)2

3+2𝑖
c) + (6 − 𝑖)2 − 3𝑖 2 =
𝑖

𝑖 2 +3+4𝑖−𝑖 4 −(8𝑖−5)
d) =
1+𝑖

2
(3𝑖 50 −2𝑖 23 )
e) =
2−3𝑖

Ecuaciones en C: Hallar el valor de z:

EJEMPLO: 𝑧 .( 2 – 3 𝑖 ) + ( – 2 – 𝑖 ) = 3 – 2 𝑖

58
1) ( – 1 , – 2 ) – z = ( 1 , – 1 ) R: (–2, –1)

2) ( 2 , – 3 ) + z = ( –1 , 2 ) R: ( – 3 , 5 )

3) ( – 2 , 2)+z=(–2,3 2)–z R: ( 0 , 2)

4) ( 1 – i ) . z = – 1 + i R: ( – 1 )

z  (2,1)
5) =(2,2) R: ( 6 , 1 )
(2,2)

6) ( 2 , – 2 ) . z – ( 8 , – 2 ) = ( 0 , 2 ) R: ( 2 , 2 )

( 3 , 3)
7) +(1,0)=( 3+ 1 , 3) R: ( 0 , – 1 )
z

8) 2 i + z = 3 – i R: ( 3 – 3 i )

12 5
9) ( 2 – 3 i ) . z = ( 2 + 3 i ) . i R:( –  i)
13 13

10) 2 + i + 3 z = 2 – i R: ( – 2/3i)

REVISIÓN
1) Multiplicación y División de Números Complejos:
3
a) ( 𝑖 48 + ½ 𝑖 77 ) + ( 3 + 𝑖 63 ) − ( – 4 + 𝑖 ) = R: ( 8-2i )
2
b) ( – 1 + 𝑖 ) . ( – 1 – 𝑖 ) = R: ( 2 )
–4+2𝑖
c) = R: ( – 1 + 3 i )
1+𝑖

2) Ejercicios combinados en C:
(1  2i )².i 47
a) R: -½+3/2i
(3  2i )  (2  i)

59
 2  2i ³  2i
b)  R; 7/5 – 1/5i
3  i5 1 i
2i (1  i)²
c)   R: 1
(1  i)² 2i

3) Representar gráficamente los resultados

del ejercicio anterior

4) ECUACIONES

1 i 2 1
a) –(1+2i)=i R: (  i)
z 5 5
z 1
b)  2i R: ( 2 – i)
z 1
zi 1 3
c)  1  2i R: (  i )
zi 2 2
2i
d)  1  2i R: ( 1 – i )
z 1
z  2i
e)  2 i R: ( 2 )
z i

60