PROGRAMA DE ESTUDIOS GENERALES

ÁREA DE CIENCIAS

Matemática Aplicada
a los Negocios
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DERIVACIÓN IMPLÍCITA Y REGLA DE LA CADENA

Contenido de la clase virtual

➢ Derivación implícita
➢ Regla de la cadena
➢ Ejercicios resueltos

Objetivo de la clase virtual

✓ Derivar implícitamente una función definida por una ecuación con dos variables
✓ Derivar mediante la aplicación de la Regla de la cadena

MATEMÁTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS

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¿Es posible calcular la pendiente de las curvas como la que se muestran?

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DERIVACIÓN IMPLÍCITA
4𝑥 2 + 5 4𝑥 2 + 5
Consideremos la función 𝑓 𝑥 = 2 o 𝑦= 2
𝑥 +𝑥−2 𝑥 +𝑥−2

La última expresión se puede escribir como 𝑦𝑥 2 + 𝑦𝑥 − 2𝑦 − 4𝑥 2 − 5 = 0

En las dos primeras formas se dice que la función está definida explícitamente y en la tercera se
dice que la función está definida implícitamente.

Derivación implícita es el método que se utiliza para hallar la derivada de una función que
está definida implícitamente.

El método consiste en derivar cada uno de los términos de la ecuación, considerando a la

variable 𝒚 como una función que depende de la variable 𝒙 y aplicando las reglas de derivación.

Por ejemplo, si la ecuación presenta el término 𝑦 4 , su derivada es 𝑦4 ′

= 4𝑦 3 ∙ 𝒚′

Esta derivada es válida, porque ( ( f ( x) )4 ) = 4 ( f ( x) )  f ( x)

 3

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Ejemplo 1

a) 𝑥 2. 𝑦4 ′
= 2𝑥 (𝑦 4 ) + 4𝑦 3 ∙ 𝒚′ 𝑥 2 = 2𝑥𝑦 4 + 4𝑥 2 𝑦 3 ∙ 𝒚′

′
𝑥3 𝑦 2 3𝑥 2 − (2𝑦 ∙ 𝒚′ )(𝑥 3 ) 3𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 3 𝑦 ∙ 𝒚′
b) = =
𝑦2 𝑦4 𝑦4

Ejemplo 2 Si 4𝑥 5 −3𝑦 4 + 7𝑦 2 − 5𝑥 + 9𝑦 = 40, halle 𝑦 ′ .

Solución.

Derivando implícitamente, obtenemos: 20𝑥 4 −12𝑦 3 . 𝑦 ′ + 14𝑦. 𝑦 ′ − 5 + 9. 𝑦 ′ = 0

Despejamos 𝑦 ′ : 𝑦 ′ (−12𝑦 3 + 14𝑦 + 9) = 5 − 20𝑥 4

5 − 20𝑥 4
′
Finalmente, 𝑦 =
9 + 14𝑦 − 12𝑦 3

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Ejercicios resueltos
1 Si 2𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 4 − 𝑦 2 − 3𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0 , calcule el valor de 𝑦 ′ en el punto 𝑃(1; −1).

Solución.

Derivando implícitamente, obtenemos:

6𝑥 2 + (3𝑥 2 )(4𝑦 3 . 𝑦 ′ ) + (𝑦 4 )(6𝑥) − 2𝑦. 𝑦 ′ − 3 − 4𝑦 ′ = 0 (*)

Deseamos calcular 𝑦 ′ en el punto 𝑃(1; −1).

Para este propósito, reemplazamos 𝑥 = 1 e 𝑦 = −1 en (*) y obtenemos:

6 − 12𝑦 ′ + 6 + 2𝑦 ′ − 3 − 4𝑦 ′ = 0 , de donde:

9
𝑦 ′ 1; 1 =
14

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2 La ecuación de una curva es 𝑥 3 − 4𝑥 3 𝑦 2 + 6𝑦 3 = 9. Halle las ecuaciones de las rectas

tangente y normal en el punto P −1; 1 .

Solución.
Para que el signo − delante de la derivada de un producto no genere alguna dificultad, pasamos
el término respectivo al otro lado de la igualdad (no es indispensable este procedimiento).

Escribimos la ecuación de la forma: 𝑥 3 + 6𝑦 3 = 9 + 4𝑥 3 𝑦 2

Derivando implícitamente, obtenemos: 3𝑥 2 + 18𝑦 2 𝑦 ′ = 12𝑥 2 𝑦 2 + (4𝑥 3 )(2𝑦𝑦 ′ )

Evaluamos en 𝑥 = −1 e 𝑦 = 1: 3 + 18𝑦′ = 12 − 8𝑦 ′

9
De donde, 𝑦 ′ = (Pendiente de la recta tangente)
26
9
Ecuación de la recta tangente: 𝑦−1= 𝑥+1
26

26
Ecuación de la recta normal: 𝑦−1=− 𝑥+1
9
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EP − 2018-1

3
5𝑦 2
3 La ecuación de una curva es 2𝑥 𝑦 + 2𝑦 2 +𝑥+ = 27.
𝑥
Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto P 1; 2 .
Solución.
4𝑦𝑦 ′ + 1 𝑥 10𝑦𝑦 ′ − 5𝑦 2
Derivando implícitamente, obtenemos: 6𝑥 2 𝑦 + 2𝑥 3 𝑦 ′ + + 2
=0
2
2 2𝑦 + 𝑥 𝑥

8𝑦 ′+1
Evaluamos en 𝑥 = 1 e 𝑦 = 2: 12 + 2𝑦 ′ + + 20𝑦 ′ − 20 = 0
6
47
De donde, 𝑦 ′ = (Pendiente de la recta tangente)
140

47
Ecuación de la recta tangente: 𝑦 − 2 = 𝑥−1
140

140
Ecuación de la recta normal: 𝑦−2=− 𝑥−1
47

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Pág. 33 − 31

4𝑥 2
4 La ecuación de una curva es 2
= 𝑥 3 − 4𝑦 2 − 𝑥𝑦 + 4.
𝑦
Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto P 3; 2 .
Solución.
4𝑥 2 3 2
Escribimos la ecuación de la forma: + 𝑥𝑦 = 𝑥 − 4𝑦 + 4.
𝑦2

𝑦 2 8𝑥 − (4𝑥 2 )(2𝑦𝑦 ′ )
Derivando implícitamente, obtenemos: 4 + 𝑦 + 𝑥𝑦′ = 3𝑥 2 − 8𝑦𝑦 ′
𝑦
96 − 144𝑦 ′
Evaluamos en 𝑥 = 3 e 𝑦 = 2: + 2 + 3𝑦′ = 27 − 16𝑦 ′
16
19
De donde, 𝑦 ′ = (Pendiente de la recta tangente)
10
19
Ecuación de la recta tangente: 𝑦 − 2 = 𝑥−3
10

10
Ecuación de la recta normal: 𝑦−2= − 𝑥−3
19
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EP − 2020-0

𝑥+4
5 La ecuación de una curva es 3𝑥 2 𝑦
− 5𝑥 2
+ 9𝑦 + 2 − − 27 = 0.
𝑦
Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a esta curva en el punto 𝑃 2; 3 .
Solución.
𝑥+4
Escribimos la ecuación de la forma: 3𝑥 2 𝑦 = 27 + 5𝑥 2 + 9𝑦 + 2 +
𝑦

2 ′
10𝑥 + 9𝑦 ′
1 . 𝑦 − 𝑥 + 4 𝑦′
Derivando implícitamente, obtenemos: 6𝑥𝑦 + 3𝑥 𝑦 = +
2
2 5𝑥 + 9𝑦 + 2 𝑦2

20 + 9𝑦 ′ 3 − 6𝑦 ′
Evaluamos en 𝑥 = 2 e 𝑦 = 3: 36 + 12𝑦 ′ = +
14 9
1438
De donde, 𝑦 ′ = − (Pendiente de la recta tangente)
505
1438
Ecuación de la recta tangente: 𝑦−3=− 𝑥−2
505
505
Ecuación de la recta normal: 𝑦−3= 𝑥−2
1438
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EP − 2019-1

𝑦2 + 3 𝑥 4
6 La ecuación de una curva es + 𝑥 3
𝑦 2
+ 3𝑥 2 + 4𝑦 2 = + 5𝑦 3
+ 7.
𝑥 2 − 2𝑦 8
Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a esta curva en el punto 𝑃 2; 1 .
Solución.
Derivando implícitamente, obtenemos:

2𝑦𝑦 ′ 𝑥 2 − 2𝑦 − 𝑦 2 + 3 2𝑥 − 2𝑦′ 6𝑥 + 8𝑦𝑦′ 4𝑥 3

2 2
+ 3𝑥 2 𝑦 2 + 2𝑥 3 𝑦𝑦 ′ + = + 15𝑦 2 𝑦′
𝑥 − 2𝑦 2 3𝑥 2 + 4𝑦 2 8

4𝑦 ′ − 4 4 − 2𝑦′ ′
12 + 8𝑦′
Evaluamos en 𝑥 = 2 e 𝑦 = 1: + 12 + 16𝑦 + = 4 + 15y ′
4 8
11
De donde, 𝑦′ =− (Pendiente de la recta tangente)
10

11
Ecuación de la recta tangente: 𝑦 − 1 = − 𝑥−2
10

10
Ecuación de la recta normal: 𝑦−1= 𝑥−2
11
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Pág. 31 − 16

𝑦 3 + 4𝑥𝑦 + 25
7 La ecuación de una curva es 2𝑦 − 𝑥 = .
𝑥 2 + 2𝑦
Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a esta curva en el punto 𝑃 −1; 2 .
Solución.

Escribimos la ecuación de la forma: 2𝑦 − 𝑥 𝑥 2 + 2𝑦 = 𝑦 3 + 4𝑥𝑦 + 25

Derivando implícitamente, obtenemos: 2𝑦′ − 1 𝑥 2 + 2𝑦 + 2𝑦 − 𝑥 2𝑥 + 2𝑦′ = 3𝑦 2 𝑦 ′ + 4𝑦 + 4𝑥𝑦′

Evaluamos en 𝑥 = −1 e 𝑦 = 2: 2𝑦′ − 1 5 + 5 −2 + 2𝑦′ = 12𝑦 ′ + 8 − 4𝑦 ′

23
De donde, 𝑦′ = (Pendiente de la recta tangente)
12
23
Ecuación de la recta tangente: 𝑦−2= 𝑥+1
12

12
Ecuación de la recta normal: 𝑦−2=− 𝑥+1
23

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REGLA DE LA CADENA o DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

Al plantear el siguiente modelo: 𝑦 = 𝑓 𝑧 ∧ 𝑧 = 𝑔 𝑥 , donde 𝑓 y 𝑔 son dos funciones,
obtenemos la función compuesta 𝑦 = 𝑓 𝑔(𝑥) .

Si las funciones 𝑓 y 𝑔 son derivables, la regla de la cadena permite hallar la derivada de la función
compuesta (derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥) sin tener que hallar la función compuesta y es la siguiente:

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑧
= 𝑓 ′ (𝑧) ⋅ 𝑔′ (𝑥) o = ∙
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥

Para evaluar la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 en 𝑥 = 𝑎, se halla 𝑏 = 𝑔 𝑎 y se tiene:

dy dy d y  dz 
= 𝑓 ′ (𝑏) ⋅ 𝑔′ (𝑎) o =  
dx dx dz  d x 
x =a x =a  z =b   x =a 

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Ejemplo
𝑑𝑦
a) Si 𝑦 = 𝑧 3 + 2𝑧 2 − 3𝑧 − 5 y 𝑧 = 4𝑥 2 − 6𝑥 − 1, halle .
𝑑𝑥
dy
b) Calcule el valor de .
dx x =2
Solución.

𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑧
a) = ∙ = (3𝑧 2 +4𝑧 − 3)(8𝑥 − 6)
𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥

𝑑𝑦
b) Para evaluar la derivada se necesita calcular el valor de 𝑧 .
𝑑𝑥

Como 𝑧 = 4𝑥 2 − 6𝑥 − 1, para 𝑥 = 2, se tiene 𝑧 = 3.

Luego,
dy
= (36)(10) = 360
dx x =2

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Pág. 33 − 27

Ejercicios resueltos
640
1 La ecuación de demanda semanal de jabones está dada por 𝐷 𝑝 = , donde 𝐷 es
𝑝2
la cantidad de jabones que se demandan al precio unitario de 𝑝 soles. Se estima que
dentro de 𝑡 semanas, el precio del jabón estará dado por 𝑝 𝑡 = 0,02𝑡 2 + 0,08𝑡 + 2,08.
dD
Calcule el valor de .
dt t =8
Solución.

𝑑𝐷 𝑑𝐷 𝑑𝑝 1280
= ∙ = − 3 (0,04𝑡 + 0,08)
𝑑𝑡 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑝

Para evaluar la derivada, calculamos el valor de 𝑝:

Para 𝑡 = 8, 𝑝 = 4, porque 𝑝 𝑡 = 0,02𝑡 2 + 0,08𝑡 + 2,08

dD
= (−20)(0, 4) = −8
dt t =8

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Pág. 31 − 11

La ecuación de demanda de cierta mercancía es 𝑝𝑥 = 36000, donde 𝑥 es la

2 cantidad de unidades que se demandan por semana al precio unitario de 𝑝
dólares. Se espera que transcurridas 𝑡 semanas, el precio sea 30𝑝 = 148 + 3 𝑡.
𝑑𝑥
Calcule el valor de ቤ .
𝑑𝑡 𝑡=8

Solución.

36000 148 + 3 𝑡
En este caso, las funciones son: 𝑥 = y 𝑝=
𝑝 30
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑝 36000 𝑡 −2/3
= ∙ =−
𝑑𝑡 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑝2 90

Para 𝑡 = 8, 𝑝 = 5

dx
= (−1440)( 360
1 ) = −4
dt t =8

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EP − 2020-0

Una empresa dedicada a la preparación de tortas estima que la producción de tortas

1
12𝑥
será 𝑃 𝑥 = , donde 𝑃 es el número de tortas producidas en cientos de unidades
𝑥+1
cuando se utilizan 𝑥 sacos de harina. La cantidad 𝑥 de sacos de harina utilizados
depende del número 𝑡 de meses transcurridos desde que esta empresa inició sus
actividades, según la regla 𝑥 𝑡 = 3𝑡 2 + 4𝑡 .
𝑑𝑃 𝑑𝑃
a) Halle b) Calcule el valor de ቤ
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡=4
Solución.
 6x 
12 x + 1 −
𝑑𝑃 𝑑𝑃 𝑑𝑥  x + 1   3t + 2 
a) = ∙ =  
𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡  x +1   3t 2 + 4t 

 
 

b) Para 𝑡 = 4, 𝑥 = 8

𝑑𝑃
ቤ = 3,89
𝑑𝑡 𝑡=4

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