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PRIMERA LISTA DE EJERCICIOS
Conjuntos y funciones
1. Si A y B son conjuntos, demostrar que A ⊆ B si y sólo si A ∩ B = A.
2. Demostrar las leyes distributivas
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
3. Para todo n ∈ N, sea An = {(n + 1)k.k ∈ N}.
a) ¿Cuál es A1 ∩ A2 ?
S T
b) Determinar los conjuntos An y An .
4. Sean g(x) = x2 y f (x) = x + 2 para todo x ∈ R y sea h = g ◦ f .
a) Encuentre la imagen directa h(E) de E = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

b) Encuentre la imagen inversa h−1 (G) de G = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 4}.
5. Demuestre que si f : A → B y E, F son subconjuntos de A, entonces f (E ∪F ) = f (E)∪f (F )

y f (E ∩ F ) = f (E) ∩ f (F ).
6. Demuestre que si f : A → B y G, H son subconjuntos de B, entonces f −1 (G ∪ H) =

f −1 (G) ∪ f −1 (H) y f −1 (G ∩ H) = f −1 (G) ∩ f −1 (H).
7. Demuestre que
a) Si f : A → B es inyectiva y E ⊆ A entonces f −1 (f (E)) = E.

b) Si f : A → B es suprayectiva y H ⊆ B entonces f (f −1 (H)) = H.
8. Demuestre que si f : A → B es biyectiva y g : B → C es biyectiva, entonces g ◦ f es biyectiva

de A sobre C.
9. Sean f : A → B y g : B → C funciones.
a) Demostrar que si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

b) Demostrar que si g ◦ f es suprayectiv, entonces g es suprayectiva.
10. Sean f : A → B y g : B → C funciones y sea H ⊆ C. Entonces
(g ◦ f )−1 (H) = f −1 (g −1(H)).
Inducción matemática
1. Demuestre que si n es un número impar, 7n + 1 es divisible por 8.
1
2. Pruebe que la fórmula
n(n + 1)(n + 2)
1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · n · (n + 1) = .
3
n
3. Pruebe que para todo número natural n > 1, el último dı́gito del número 22 + 1 es 7.
4. Demuestre que para todo número natural n ≥ 2

1 1 1 1 √
√ + √ + √ + · · · + √ > n.
1 2 3 n
5. Demuestre que para todo número natural n, n5 − n es divisible por 5.
6. Demuestre que para todo número natural n,

n(n + 1)(n + 2)
12 + 22 + 32 + · · · n2 = .
6
(n + 1)(n + 2)(n + 3) · · · (n + n) = 2n · 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1).

n(n + 1)
12 − 22 + 32 − 42 + · · · (−1)n−1 n2 = (−1)n−1 .
2
9. Demuestre que para todo número natural n, 22n − 1, es divisible por 3.
10. Demuestre que para todo número natural n, n3 + 5n, es divisible por 6.
11. Considere la sucesión 1, 5, 85, 21845, · · · , definida por
c1 = 1, c2 = c1 (3c1 + 2), · · · , cn+1 = cn (3cn + 2), · · ·
pruebe que para todo entero positivo n,

n−1
42
cn = .
3
12. Demuestre que la desigualdad de Bernoulli (Jaques Bernoulli 1654-1705)
(1 + a)n ≥ 1 + na
es válida para a ≥ −1 y para todo entero no negativo.
13. Pruebe la desigualdad

4n (2n)!
= .
n+1 (n!)2
2
14. Demuestre que para todo n ∈ N
n n2 n3
+ + ∈ N.
3 2 6
(1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n)2 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 .

n
X n(n + 1)(2n + 7)
k(k + 2) = .
k=1
6

n
X 5k − 1
5k−1 = .
k=1
4
n(3n + 1)
2 + 3 + 5 + 8 + · · · + (3n − 1) = .
2
19. Demuestre que para todo n ∈ N n

1 1
< .
2 n
2
3 3 3 n(n + 1)
3
1 + 2 + 3 + ···n = .
2
21. Demuestre que para todo número natural n, n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 , es divisible por 9.
3n + 25 < 3n .
23. Sea f0 = 0, f1 = 1 y fn+2 = fn+1 + fn para n ≥ 0 (la sucesión de Fibonacci). Entonces

" √ !n √ !n #
1 1+ 5 1− 5
fn = √ −
5 2 2
24. Demuestre que ∀n ∈ N, ∀m ∈ N
n < m ⇒ n + 1 ≤ m.
25. ¿Cuál es el error en la siguiente demostración?
3
Teorema 1. Todos los caballos tienen el mismo color.
Demostración. .
Sea Pn la proposición “Todos los caballos de un conjunto de n caballos son del mismo color”.
a) P1 es claramente verdadera.
b) Supongamos que Pk es verdadera. Veamos que Pk+1 también es verdadera. Sean c1 ;
c2 ; c3 ; · · · ; ck+1 los k + 1 caballos en un conjunto de k + 1 caballos. Consideremos el
conjunto de k caballos {c1 ; c2 ; c3 ; · · · ; ck }. Por hipótesis de inducción todos estos caballos
son del mismo color. En el conjunto anterior reemplacemos ck por ck+1, luego el conjunto
resultante {c1 ; c2 ; c3 ; · · · ; ck−1, ck+1 } de k caballos, por hipótesis de inducción, todos son
del mismo color; como c1 y ck al igual que ck+1 y c1 son de igual color, todos los k + 1
caballos son del mismo color. Luego Pk+1 es verdadera y por el principio de inducción
se sigue que todos los caballos son del mismo color.

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PRIMERA LISTA DE EJERCICIOS

1. Si A y B son conjuntos, demostrar que A ⊆ B si y sólo si A ∩ B = A.

2. Demostrar las leyes distributivas

3. Para todo n ∈ N, sea An = {(n + 1)k.k ∈ N}.

4. Sean g(x) = x2 y f (x) = x + 2 para todo x ∈ R y sea h = g ◦ f .

a) Encuentre la imagen directa h(E) de E = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

5. Demuestre que si f : A → B y E, F son subconjuntos de A, entonces f (E ∪F ) = f (E)∪f (F )

6. Demuestre que si f : A → B y G, H son subconjuntos de B, entonces f −1 (G ∪ H) =

a) Si f : A → B es inyectiva y E ⊆ A entonces f −1 (f (E)) = E.

8. Demuestre que si f : A → B es biyectiva y g : B → C es biyectiva, entonces g ◦ f es biyectiva

a) Demostrar que si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

10. Sean f : A → B y g : B → C funciones y sea H ⊆ C. Entonces

(g ◦ f )−1 (H) = f −1 (g −1(H)).

1. Demuestre que si n es un número impar, 7n + 1 es divisible por 8.

4. Demuestre que para todo número natural n ≥ 2

5. Demuestre que para todo número natural n, n5 − n es divisible por 5.

6. Demuestre que para todo número natural n,

7. Demuestre que para todo número natural n,

(n + 1)(n + 2)(n + 3) · · · (n + n) = 2n · 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1).

8. Demuestre que para todo número natural n,

9. Demuestre que para todo número natural n, 22n − 1, es divisible por 3.

11. Considere la sucesión 1, 5, 85, 21845, · · · , definida por

c1 = 1, c2 = c1 (3c1 + 2), · · · , cn+1 = cn (3cn + 2), · · ·

pruebe que para todo entero positivo n,

12. Demuestre que la desigualdad de Bernoulli (Jaques Bernoulli 1654-1705)

es válida para a ≥ −1 y para todo entero no negativo.

13. Pruebe la desigualdad

16. Demuestre que para todo n ∈ N

17. Demuestre que para todo n ∈ N

18. Demuestre que para todo n ∈ N

19. Demuestre que para todo n ∈ N  n

22. Demuestre que para todo número natural n,

23. Sea f0 = 0, f1 = 1 y fn+2 = fn+1 + fn para n ≥ 0 (la sucesión de Fibonacci). Entonces

24. Demuestre que ∀n ∈ N, ∀m ∈ N

25. ¿Cuál es el error en la siguiente demostración?

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19. Demuestre que para todo n ∈ N n