UNIVERSIDAD NACIONAL DE

INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

“Año del buen servicio al ciudadano ”

CURSO: Cálculo de elementos finitos

TRABAJO: Problema 3.3 del Chandrupatla.

PROFESOR: Ing. Abregu Leandro Edwin

SECCION: B

ALUMNOS:

Avila Lozano Luis Antonio

Figueroa Mejia William

Mamani Guerrero Diego

2017-2

1
ÍNDICE

Enunciado del problema.........................................................................................................1

2.Solucion del problema.........................................................................................................2

2.1. Modelamiento de la placa………………………………………………………………………………………

2.2. Elementos de la matriz de rigidez………………………………………………………………………….

2.3. Matriz de rigidez y vector de fuera global………………………………………………………………

2.4. Vector de desplazamiento Q…………………………………………………………………………………
2.5. Esfuerzo de cada elemento……………………………………………………………………………………
2.6. Fuerza de reacción en el soporte…………………………………………………………………………..

3. Diagrama de flujo ……………………………………………………………………………………………………

4. Código en MATLAB…………………………………………………………………………………………………
5. Conclusiones.....................................................................................................................15

6. Bibliografia........................................................................................................................15

2
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Considerando la placa (de acero) de la figura 3.3a. La placa tiene un espesor uniforme de 1
lb
pulgada. Módulo de Young E=30 x 106 psi y densidad lineal ρ=0.283 . Además de su
pulg
propio peso la placa es sujetado de su punto medio a una carga de P=100 lb.
a) Modele la placa con cuatro elementos finitos.
b) Escriba las expresiones de los elementos de la matriz de rigidez y los elementos de los
vectores de fuerza.
c) Ensamble la matriz de rigidez y el vector de fuerza global.
d) Usando la aproximación por eliminación, resuelva el vector de desplazamiento global
Q.
e) Evalúe los esfuerzos de cada elemento.
f) Determine la fuerza de reacción en el soporte.

Utilizar cuatro elementos finitos.

Considerar:

PA = 100 lb

t (espesor) = 1 pulg

3
 E = 3.0x10 6 psi

Y = 0.2836 lb/pulg 3

SOLUCION:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Se considerarán cuatro elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos
tendrán longitud de 6 in cada uno.

Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

( 6+5 . 25 )
b1 = =5. 625 pu lg
2
( 5 .25+4 . 5 )
b2 = =4 . 875 pu lg
2
( 4 .5+3. 75 )
b3 = =4 . 125 pu lg
2
( 3. 75+3 )
b4= =3 .375 pu lg
2

Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:

4
Y las áreas se calculan de la siguiente relación:

A 1 = b1 x t …………………………………………….(1)

Cuadro de conectividad:

NODOS GDL le Ae
(1) (2) 1 2
e (pulg) (pulg2)

1 1 2 1 2 6 5.625
1
2 3 2 3 6 4.875
2
3 3 4 3 4 6 4.125
3
4 4 5 5 5 6 3.375
4

5
 2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento será:

[]
Q1
Q i= Q2 ……………………………..(2)
Q3
Q4

Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas que
tendrán que ser calculadas.

3. MATRIZ DE RIGIDEZ

6
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que está determinada por la
siguiente ecuación:

K ¿ 0 0 0 0 0

[ ] [ ]
1 −1 0 0 0
0 1 −1 0 0
−1 1 0 0 0 AE
i ¿=
∫
AE
l 1( )
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
+ ( )
l 2
0 −1 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

+ ( ) AE
l 3
[ 0
0
0
0
0 0 0 0
0 1 −1 0
0 −1 1 0
0 0 0 0
] [+
AE
( )
l 4
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 1 −1
0 −1 1
] ……………………..(3)

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

K 1 −1 0 0 0
¿
i ¿=
∫ (
5. 625 x3 x10
6
6 −1 1 0 0 0
)
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
[ ]
0 0 0 0 0

+ ( 4.875 x3 x106
6 )2
[ 0 1 −1 0 0
0 −1 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
]
7
 0 0 0 0 0

+ ( 4. 125 x 3 x 106
6 ) 3
[ 0
0
0
0
0 0 0 0
0 1 −1 0
0 −1 1 0
0 0 0 0
]
0 0 0 0 0

+
3 .375 x3 x106
(
Finalmente:
6 )
4
[ 0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 1 −1
0 −1 1
]
K 2 .8125 −2 .8125 0 0 0
¿
∫ 6
i ¿= 10 x 0
0
0
[
−2 . 8125 5 .25 −2 . 4375
−2. 4375
0
0
4 .5
−2 .0625
0
0
−2. 0625
0
0
3 .75 −1 .6875
−1. 6875 1 .6875
lb
in
]
4. VECTOR CARGA
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:

8
 y ( Axl )1
F1 = = 4 . 78575 lb
2
y ( Axl )2
F2 = = 4 . 14765 lb
2
y ( Axl )3
F3 = = 3 .50955 lb
2
y ( Axl )4
F4 = = 2 .87145 lb
2

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

F1 = F 1 =4 .78575 + R 1 lb
F2 = F 1 + F2 = 8. 9334 lb
2 3
F3 = F + F +Pa = 107 . 6572 lb
F 4 =F3 +F 4 = 6 . 381 lb
F5 =F 4 = 2. 87145 lb

Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera

9
 F

[ ][
1

F R

]
2
4 . 78575 + 1
8 . 9334
F= F 3
=
107 . 6572
lb
6. 381
F 4 2 . 87145

F 5

CÁLCULO DEL VECTOR DESPLAZAMIENTO Q

A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales, se utiliza la
fórmula que relaciona el desplazamiento con la constante de rigidez.

F=K .Q ………………… (4)

Donde:

ϵ
Q= ∑ qr ………………………(5)
p =1

ϵ
F=∑ F S ……………………… (6)
p=1

10
Luego el vector de desplazamiento será:

0
Q1
Qi= Q2
Q3
Q4
[]
Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son
incógnitas que tendrán que ser calculadas.

Eliminando la primera columna y fila de la matriz de rigidez porque Q 1=0 se obtiene:

11
 10.5 −4.875 0 0
K=5∗10 −4.8756 9
[ −4.125 0
0 −4.125 7.5 −3.375
0 0 −3.375 3.375
lb/ pulg
]
10.5 −4.875 0 0 Q1 8.93

[
5∗10 −4.875 9 −4.125 0
6 Q
∗ 2 = 107.66
0 −4.125 7.5 −3.375 Q 3
0 0 −3.375 3.375 Q4
6.38
2.87
][ ] [ ]
Q1 4.47

[] [ ]
Q2
Q3
Q4
=10
−6 9.27 pulg
9.72
9.89

Q=10−6 [ 0 4.47 9.27 9.72 9.89 ] pulg

LOS ESFUERZOS DE CADA ELEMENTO:

30∗106
∗[ −1 1 ]∗10−6 0 =22.372 psi
σ1=
6 4.47 [ ]
30∗106
σ 2= ∗[ −1 1 ]∗10−6 4.47441 =23.981 psi
[ ]
6 9.27

30∗106
∗ [−1 1 ]∗10−6 9.27071 =2.243 psi
σ3=
6 [
9.72 ]
30∗106
∗[ −11 ]∗10−6 9.71931 =0.8508 psi
σ 4=
6 [
9.89 ]
LA FUERZA DE REACCIÓN DEL SOPORTE:

[]
4.47
R1=5∗106 [ 5.625−5.625 0 0 0 ]∗10−6∗ 9.27
9.72
9.89

12
R1=−125.8428 lb

3. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOS

CALCULO DE LAS
CONSTANTES ELÁSTICAS
EQUIVALENTES

FORMACIÓN DE LA MATRIZ DE
RIGIDEZ Y VECTOR FUERZA

Calculo de los desplazamientos de

los nodos y los esfuerzos de cada
bloque

FIN

13
1. USO DEL PROGRAMA MATLAB

% Datos del problema

w1 = 2;

w2 = 1;

t = 1

L = 10;

P = 100;

E = input (‘ingrese el modulo de Young ´)

%N° de elementos finitos

N=input (‘ingrese el numero de elementos ´)

%Cálculo de las áreas transversales

A =[w1*t];

for i=1:N-1

A = [A (w2*i+w1*(N-i))*t/N];

end

A = [A w2*t];

%Calculo de las constantes elásticas equivalentes

k=[];

for i=1:N

k = [k (A(i)+A(i+1))*E/(2*(L/N))];

end

%Formación de la matriz de rigidez

KG=zeros(N+1);

b=zeros(N+1);

h=[1 -1;-1 1];

for i=1:N

b(i:i+1,i:i+1)=h*k(i);

14
 KG = KG + b;

b(i:i+1,i:i+1)=zeros(2);

end

KG(1,1:2)=[1 0];

%Desplazamiento de los puntos deseados

F=zeros(N+1,1);

F(N+1,1)=P;

U=inv(KG)*F;

%Esfuerzos en cada bloque

O=[];

for i=1:N

O=[O E*(U(i+1)-U(i))/(L/N)];

end

CONCLUSIONES
 Con el uso del software Matlab se obtienen resultados muy precisos y con poco
margen de error.
 Se obtienen resultados muy aproximados a cálculos reales usando solo 4
bloques como modelamiento de la barra completa.
 Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas (décimas de
micras).
 Se observa que todos los esfuerzos son de tensión al obtener resultados solo
positivos.

BIBLIOGRAFIA
 “Introducción a los elementos finitos en ingeniería”. Ashok D. Belegundu,
Tiruphati R. Chandrupatla.
 “Análisis de elementos finitos”. Saeed Moaveni.
 Cuaderno profesor Abregu Edwin.
 Cuaderno profesor Cueva Ronald.

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