Fase Final Geometria Plana

FASE 5.
APLICAR LOS CONCEPTOS DE LAS UNIDADES VISTAS
PARTICIPANTES:
EDER ANTONIO FERNÁNDEZ DAVID. Código: 1017178370
ROGER DANIEL VILLADIEGO. Código: 1.003.157.780
FERNANDO JAVIER ROBLES. Código: 9.254.424
SAMIR ALBERTO GUEVARA. Código: 3.840.379
CURSO:
GEOMETRIA PLANA (LIC. EN MATEMATICAS) 551121A_471
GRUPO
551121_1
TUTOR.
MARIA CAMILA GONZALEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
MAYO – 2018
INTRODUCCIÓN
1. Si: ∠ AOD=2 x; ∠ DOC=5 x; ∠ COB=3 x . ¿Cuánto mide cada ángulo?
La suma de los tres ángulos es de 180º

Entonces para saber cuánto mide cada ángulo realizamos la siguiente operación:
2 x+5 x +3 x=180 °
10 x=180 °
180
x=
10
x=18
Ahora reemplazamos
∠ AOD=2∗18=36 °
∠ DOC=5∗18=90 °
∠ COB=3∗18=54 °
Sumamos
36 ° +90 ° +54 °=180 °
2. Hallar los complementos de los siguientes ángulos:
a) 18 °
El complemento del ángulo es cuando dos ángulos suman entre si 90º entonces
a ¿ x +18 °=90 °
x = 90º - 18º
x=72 º
b) 36 ° 52 ’
b)x +36 ° 52 ’=90 °
x=90 °−36° 52 ’
x=53 ° 48 ’
c) 48 ° 39 ’ 15 ’ ’
c) x +48 ° 39’ 14 ’ ’=90 °
x=90 °−48 ° 39 ’ 14 ’ ’
x=41° 20 ’ 46 ’ ’
3. Encontrar los suplementos de los siguientes ángulos:
Un ángulo suplementario es aquel que:

α + β=180 °
Entonces
a) 78 °
a) x +78° =180 °
x=180 °−78 º
x=102 °
b) 92 ° 15 ’
b) x +92 ° 15 ’=180 °
x=180 °−92 ° 15’
x=87 ° 45 ’
c) 123°9’16’’
c) x +123° 9 ’ 16 ’ ’=180°
x=180 °−123 ° 9 ’ 16 ’ ’
x=56 ° 50’ 44 ’ ’
4. Si el ∠ AOB es recto y ∠ AOC y ∠ BOC están en relación 4 :5, ¿cuánto vale

cada ángulo?
Sabemos que un ángulo recto es aquel que mide 90 ° y Sí la suma de sus dos ángulos es
90grados, estamos hablando de ángulos complementarios, ya que son los que suman 90
grados. Entonces:
Sea el ángulo x=∠ AOC

Su complemento (90 – x)=∠ BOC
Entonces:
x 5
=
90−x 4

Multiplicamos
4 x=5(90−x)
4 x=450−5 x
4 x+5 x=450
9 x=450
450
x=
9
x=50 °
El Angulo ∠ AOC mide 50 º
y su complemento : 90−x=90−50=40 ° entonces ∠ BOC=40 °
RESPUESTA:
∠ AOCmide50 º
∠ BOC=40 °
5. Si el ∠ AOD es recto y ∠ AOB=2 x; ∠ BOC=3 x; ∠ COD=4 x, ¿cuánto vale

cada ángulo?
∠ AOD=90° →∠ AOB+∠ BOC +COD=90 °
Hallamos el valor de x
90 °
2 x+3 x +4 x=90 ° → 9 x=90 ° → x= → x=10°
9
Hallamos el ∠ AOB=2 x → 2 ( 10° ) →∠ AOB=20 °
Hallamos el ∠ BOC=3 x → 3 ( 10 ° ) →∠ BOC=30 °
Hallamos el ∠ COD=4 x → 4 ( 10° ) → ∠COD=40°

6. si ∠ BOC=2∠ AOB , hallar: ∠ AOB, ∠ COD
BOC=2 ∠ AOB
∠ BOC+∠ AOB=180 °
∠ BOC=2 x ; ∠ AOB=x
Despejamos x
180 °
2 x+ x=180° →3 x=180 ° → x= → x=60°
3
Hallamos
∠ AOB=x →∠ AOB=60 °
Hallamos
BOC=2 x → BOC=2 ( 60 ° ) → BOC=120 °
7. Si ∠ MONy ∠ NOP están en la relación 4 a 5, ¿cuánto mide cada uno?
Los ángulos solicitados son adyacentes, puesto que tienen un mismo vértice y un lado
en común, esta clase de ángulos son complementarios.
Como son suplementarios deben sumar 180 °. Entonces:
4 x+5 x=180 °9 x=180 °x=20.
Como larel ación es de 4 a 5 ; entonces un ángulo mide :4 x=80 ° ,
y el otro
4 x=100 °
8. Hallar el ángulo que es igual a su complemento

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas 90 °
Entonces
x + x=90 °
2 x=90
90
x= =45°
2
9. Encontrar el ángulo que es el doble de su complemento
Matemáticamente lo podemos expresar de la siguiente manera
x +2 x=90 °
3 x=90 °
90 °
x=
3
x=30 °
El ángulo será : 2 x=2∗30 °=60°
10. Un ángulo y su complemento están en relación 5 a 4, hallar dicho ángulo y su

complemento
x 5
=
90−x 4
Multiplicamos
4 x=5(90−x)4 x=45−5 x
450
4 x+5 x=4509 x=450 x= x=50 ° El ángulo mide 50 °
9
y su complemento: 90−x=90−50=40 °
11. Dos ángulos están en relación 3 a 4 y su suma es igual a 70°. Hallarlos.
x 3
=
y 4
x + y=70
x=30 °
y=40 °
12. Dos ángulos se encuentran en relación 4 a 9 y su suma es igual a 130°. Hallarlos
La suma de los dos ángulos es 130 ° por lo tanto 9+ 4=13
x 4
=
130° −x 9
9 x=4(130 °−x )
9 x=520 °−4 x
13 x=520 °
520°
x= =40 °
13
130 °−40° =90 °
Por lo tanto el angulo Amide 40 ° y el angulo B mide 90 °
13. Los lados de un triángulo miden 6, 7 y 9 cm. Construir el triángulo y calcular

su perímetro y su semiperimetro.
14. Los lados de un triángulo miden 3,4 y 5 pulgadas. Construir el triángulo y

calcular su perímetro y su semiperímetro tanto en pulgadas como en cm (tomar
como valor de la pulgada 2,54 cm).
Convertimos las medidas de los lados las pasamos a pulgadas según el valor dado el
cual es 2,54cm
3∗2.54=7,62cm
4∗2,54=10,16 cm
5∗2,54=12,7 cm
El perímetro es la
suma de sus lados 7,62+10,16+12,7=30.48
El semiperimetro es la mitad del perímetro por lo tanto lo resolvemos así
30.48
=15.24 cm
2
15. Construir un triángulo que tenga un ángulo que mida 60° y los lados que lo
forman midan 3 y 4 pulgadas. Trazar las tres medianas y señalar el baricentro.
Convertimos de pulgada a centímetros

3∗2.54=7,62cm
4∗2,54=10,16 cm
Realizamos en geogebra
16. Construir un triángulo que tenga un lado que mida 4 pulgadas y los ángulos
adyacentes midan 40° y 50 °. Trazar las bisectrices y señalar el incentro.
Convertimos las 4 pulgadas a centímetros
4∗2,54=10,16 cm
17. Construir un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 6 cm y un

ángulo agudo de 50°, dibujar las tres mediatrices.
18. Construir un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa que mida 5 cm y
un ángulo que mida 45°. Dibujar las tres medianas.
19. Dos ángulos de un triángulo miden 40 y 30 ° respetivamente. ¿Cuánto mide el
tercer ángulo y cada uno de los ángulos exteriores?
20. La apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 m de radio si el

lado del cuadrado mide 3 √ 2 m.
1
Fórmula de la apotema:a n= √ 4 r 2−l24
2
Lado del cuadrado, l 4 =¿ 3 √2 ¿
r =3 m
n=4, entonces tenemos:
1
a n= √ 4 r 2−l24
2
1 2
a 4= 4 (3)2−( 3 √2)
√
2
1
a 4= √ 36−18
2
1
a 4= √ 18
2
3
a 4= √2 m
2
a 4=2,12 m.
Respuesta: La apotema solicitada es de 2,12 m.

21. Calcular la apotema de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia
de 5m de radio, si el lado del triángulo mide 5 √ 3 m.
3
En este caso la apotema de un triángulo equilátero corresponde a ap=√ ?
6
Sencillamente lo anterior lo multiplico por el valor que nos dan, quedando así:
3
√ ∗5 √ 3=2.5
6
22. Sabiendo que el lado del octágono regular inscrito en una circunferencia de 6 m
de radio es igual a 6 √ 2−√ 2 m, hallar el lado del polígono regular de 16 lados
inscritos en la misma circunferencia.
Fórmula del lado del polígono de doble número de lados
l 2 = 2 r 2−r √ 4 r 2 −l 2n:
n
√
Lado del octágono 6√ 2−√ 2:
r=6;
n=16.
Entonces tenemos:
l 2 = 2 r 2−r √ 4 r 2 −l 2n
n
√
√ 2 r −r √ 4 r −l
2 2 2
6
l 16= 2(6)2−6 √ 4 (6)2−¿ ¿ ¿ ¿

√
2
√
l 16= 2(6)2−6 √ 4 ( 6 ) −6 2 ¿ ¿ ¿
l 16=√ 2(6)2−6 2 √ 4−¿ ¿ ¿
l 16=6 √ 2− √2+ √ 2 ¿¿
l 16 ≅ 2,34 m
Respuesta: el lado del polígono regular de 16lados inscritos en la circunferencia

indicada es de 2,34 m aproximadamente.
23. Si el lado del hexágono regular inscrito en una circunferencia de 9 mde radio es
igual a 9 m, hallar el lado del hexágono regular circunscrito a la misma
circunferencia.
Fórmula del lado del polígono circunscrito
2r l n
Ln = 2 2
√ 4 r −l n
Lado del hexágono regular inscrito
L6=r =9 m
r =9 m
n=6 ;Entonces tenemos:
2r l n
Ln = 2 2
√ 4 r −l n
2r l 6
L6 = 2 2
√ 4 r −l 6
2 r2
L6 =
√ 4 r 2−r 2
2r 2
L6 =
r √3
2r
L6 =
√3
2(9) √ 3
L6 =
3
L6=6 √3 m .
L6 ≅ 10.39 m
Respuesta: el lado del hexágono regular circunscrito a la circunferencia indicada es de

10.39 m aproximadamente.
24. Si el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 m de radio es igual a

7 √ 2m, hallar el lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia.
Sabemos que L=2 r

Reemplazamos L=2 ( 7 √ 2 )=7∗2=14 m
25. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 20 √ 2 m, hallar le
diámetro de esta circunferencia
El perímetro es 20 √ 2, el lado del cuadrado es 5 √ 2, de donde afirmamos que su

diagonal, que es a la vez diámetro de la circunferencia, mide 10.
26. Si el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a

48 cm, calcular el diámetro de dicha circunferencia.
Un hexágono tiene seis lados y por lo tanto tenemos que el perímetro de este hexágono
es de 48 cm, por lo tanto dividimos 48 cm entre 6 (lados) y nos da como resultado 8
48
=8 Ahora, para hallar el diámetro multiplicamos por dos el resultado 8∗2=16
6
27. Calcular el lado del octágono regular inscrito en la circunferencia cuyo radio es
igual √ 2+ √ 2m .
Fórmula del lado de un octágono
l 8=r √ 2− √ 2
r =√ 2+ √ 2m ; entonces tenemos:
l 8=r √ 2− √ 2; reemplazamos a r y tenemos:
l 8= √ 2+ √ 2 √ 2−√2; operando tenemos:
2
l 8= 22−( √ 2) Operando tenemos:
√
l 8= √ 4−2 Luego:
l 8= √ 2 m.
l 8 ≅ 1,41 m
Respuesta: el lado del octágono regular inscrito en la circunferencia indicada es de

1,41 maproximadamente
28. El lado del decágono regular inscrito en una circunferencia cuyo diámetro
mide 2+2 √ 5 m .
Dividimos 2+2 √5 m entre 2 quedando así:
2+2 √5 m=6.472
6.472
=3.236
2
Ahora sabemos que un decágono tiene 10 lados por lo tanto dividimos 360 °
(circunferencia) entre los lados (10)
Por lo tanto nos da como resultado 30 °
O 36 °
= =13 °
2 2
L
=3.24∗sen 13 °=0.728
2
L=1.45
29. Calcular el lado del decágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio
mide 2+ √ 3 m
Hacemos el mismo procedimiento del anterior.

360°
=36 °
10
36 °
Ahora =13 °
2
L
=2+ √ 3∗sen 13° =3.732∗sen 13° =0.8395
2
L=1.679
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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APLICAR LOS CONCEPTOS DE LAS UNIDADES VISTAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

La suma de los tres ángulos es de 180º

Un ángulo suplementario es aquel que:

4. Si el ∠ AOB es recto y ∠ AOC y ∠ BOC están en relación 4 :5, ¿cuánto vale

Sea el ángulo x=∠ AOC

5. Si el ∠ AOD es recto y ∠ AOB=2 x; ∠ BOC=3 x; ∠ COD=4 x, ¿cuánto vale

∠ AOD=90° →∠ AOB+∠ BOC +COD=90 °

Hallamos el ∠ AOB=2 x → 2 ( 10° ) →∠ AOB=20 °

Hallamos el ∠ BOC=3 x → 3 ( 10 ° ) →∠ BOC=30 °

Hallamos el ∠ COD=4 x → 4 ( 10° ) → ∠COD=40°

7. Si ∠ MONy ∠ NOP están en la relación 4 a 5, ¿cuánto mide cada uno?

Como son suplementarios deben sumar 180 °. Entonces:

4 x+5 x=180 °9 x=180 °x=20.

Como larel ación es de 4 a 5 ; entonces un ángulo mide :4 x=80 ° ,

8. Hallar el ángulo que es igual a su complemento

9. Encontrar el ángulo que es el doble de su complemento

Matemáticamente lo podemos expresar de la siguiente manera

El ángulo será : 2 x=2∗30 °=60°

10. Un ángulo y su complemento están en relación 5 a 4, hallar dicho ángulo y su

11. Dos ángulos están en relación 3 a 4 y su suma es igual a 70°. Hallarlos.

12. Dos ángulos se encuentran en relación 4 a 9 y su suma es igual a 130°. Hallarlos

La suma de los dos ángulos es 130 ° por lo tanto 9+ 4=13

130 °−40° =90 °

Por lo tanto el angulo Amide 40 ° y el angulo B mide 90 °

13. Los lados de un triángulo miden 6, 7 y 9 cm. Construir el triángulo y calcular

14. Los lados de un triángulo miden 3,4 y 5 pulgadas. Construir el triángulo y

El semiperimetro es la mitad del perímetro por lo tanto lo resolvemos así

Convertimos de pulgada a centímetros

17. Construir un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 6 cm y un

20. La apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 m de radio si el

Lado del cuadrado, l 4 =¿ 3 √2 ¿

n=4, entonces tenemos:

Respuesta: La apotema solicitada es de 2,12 m.

Fórmula del lado del polígono de doble número de lados

l 16= 2(6)2−6 √ 4 (6)2−¿ ¿ ¿ ¿

l 16=√ 2(6)2−6 2 √ 4−¿ ¿ ¿

Respuesta: el lado del polígono regular de 16lados inscritos en la circunferencia

Fórmula del lado del polígono circunscrito

Lado del hexágono regular inscrito

n=6 ;Entonces tenemos:

Respuesta: el lado del hexágono regular circunscrito a la circunferencia indicada es de

24. Si el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 m de radio es igual a

Sabemos que L=2 r

El perímetro es 20 √ 2, el lado del cuadrado es 5 √ 2, de donde afirmamos que su

26. Si el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a

Fórmula del lado de un octágono

l 8=r √ 2− √ 2; reemplazamos a r y tenemos:

l 8= √ 2+ √ 2 √ 2−√2; operando tenemos:

Respuesta: el lado del octágono regular inscrito en la circunferencia indicada es de

Dividimos 2+2 √5 m entre 2 quedando así:

Por lo tanto nos da como resultado 30 °

Hacemos el mismo procedimiento del anterior.

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