Manual Unidad 2

Ecuaciones
Diferenciales
David Uscamayta Verástegui
Manual – Unidad 2
Índice
Introducción ............................................................................................................................................. 3
Organización de la Asignatura ........................................................................................................... 4
Unidades didácticas .......................................................................................................................... 4
Tiempo mínimo de estudio ............................................................................................................... 4
UNIDAD 2: ………………………………………………. ........................................................................ 5
Diagrama de organización .............................................................................................................. 5
Tema n.° 1: Ecuaciones Diferenciales lineales con coeficientes constantes …………… 5
Sub tema 1.1 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
homogeneas .................................................................................................................................... 6
Sub tema 1.2 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
completas ......................................................................................................................................... 8
Tema n.° 2: Ecuaciones Diferenciales Lineales con coeficientes variables ……………. 16
Sub tema 2.1 Ecuación de Euler - Cauchy .......................... 1¡Error! Marcador no definido.
Sub tema 2.1 Ecuación de Legendre ..................................................................................... 18
Tema n.° 3: Modelado Ecuaciones Diferenciales Lineales con coeficientes variables
……………. ............................................................................................................................................ 20
Tema n.° 4: Sistema de ecuaciones diferenciales lineales ……………................................ 22
Tema n.° 5: Solución de Ecuaciones Diferenciales con series de potencia ……………. 26
De la teoría a la práctica .......................................................................................................... 36
Bibliografía de la Unidad 2 ................................................................................................................. 37
2 Manual
Introducción
En general, las ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno son
muy difíciles de resolver, aunque para casos especiales se conocen
sustituciones que transforman la ecuación original en otra ecuación que
puede resolverse por medio de funciones elementales, elípticas o algún
otro tipo de función especial.
Sin embargo, la teoría de las ecuaciones lineales resulta sencilla ya que

admite una formalización algebraica y su resolución resulta inmediata en
el caso de que los coeficientes de la ecuación sean constantes.
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que uno surgen al

modelizar muchos problemas de ingeniería: muelles elásticos, caída de
cuerpos, flujo de corrientes eléctricas, etc. También resultan ´útiles para
obtener aproximaciones de las soluciones de los sistemas no lineales.
En esta unidad vamos a estudiar las ecuaciones diferenciales lineales y

sus aplicaciones, así como métodos para su resolución.
Los objetivos concretos de este tema son:
 Conocer la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales de orden

dos y generalizar este estudio a orden n.
 Resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes y coeficientes variables.
 Estudiar aplicaciones donde surgen este tipo de ecuaciones.
El autor
Universidad Continental | Manual 3

Organización de la Asignatura
Resultado de aprendizaje de la asignatura
Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de aplicar las herramientas

de las ecuaciones diferenciales para resolver ejercicios y problemas del
entorno real.
Unidades didácticas
UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4
Ecuaciones Ecuaciones Transformada de Ecuaciones
Diferenciales diferenciales Laplace diferenciales
Ordinarias de lineales de orden parciales lineales.
primer orden superior
Resultado de Resultado de Resultado de Resultado de

aprendizaje aprendizaje aprendizaje aprendizaje
Al finalizar la Al finalizar la Al finalizar la Al finalizar la
unidad el unidad el unidad el unidad el
estudiante será estudiante será estudiante será estudiante será
capaz de resolver capaz de resolver capaz de resolver capaz de resolver
ecuaciones ecuaciones una ecuación una ecuación
diferenciales diferenciales diferencial lineal diferencial parcial
ordinarias usando lineales de orden de orden superior y lineal y sus
diferentes métodos superior y sus sistemas de aplicaciones
de solución y sus aplicaciones a la ecuaciones utilizando el
aplicaciones en física y química diferenciales método de Fourier
problemas físicos y lineales mediante o separación de
químicos. la transformada de variables.
Laplace.
Tiempo mínimo de estudio
UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4
24 horas 24 horas 24 horas 24 horas
4 Manual
UNIDAD 2:
Ecuaciones diferenciales Lineales de orden
superior
Diagrama de organización
Ecuaciones
Diferenciales
Lineales de
orden superior
Ecuaciones Ecuaciones Solución de

Modelado con Sistema de
Diferenciales Diferenciales Ecuaciones
lineales con Ecuaciones ecuaciones Diferenciales con
Lineales con
coeficientes Diferenciales de diferenciales series de
coeficientes
segundo Orden lineales
constantes variables potencia
Tema n.° 1: Ecuaciones Diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Tienen la forma siguiente:
Dónde:
Ejemplos:
CASOS:
 Primer caso: Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogéneas
=0

 Segundo caso: Ecuaciones Diferenciales Lineales completas
1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES

CONSTANTES HOMOGENEAS
Recordando lo desarrollado en el capítulo anterior sobre una ecuación

diferencial lineal de primer orden de la forma:
cuya solución es:
Yp Yc
Dónde la solución general está compuesta por dos partes:

y: solución general.
yc: solución complementaria
yp: solución particular
En base a esta consideración todas las ecuaciones diferenciales lineales
de orden superior tienen soluciones de este tipo.
Para este caso cuando = 0, la solución se reduce a:
Como estamos trabajando con una ecuación diferencial con

coeficientes constantes.
por lo tanto, la solución de todas las E.D con coeficientes constantes

homogéneas tendrán la forma siguiente:
Además para reducir la simbolización de la forma general de las E.D.

lineales haremos el uso de un operador:
6 Manual
reemplazando en la E.D
Polinomio en D
El polinomio se puede factorizar:
se obtiene:
0 0 0 0
La solución dependerá de las raíces del polinomio de

CASOS:
1.- Raíces reales y diferentes:
2.- Raíces reales e iguales:
3.- Raíces complejas:

FORMULAS DE EULER
Ejemplos:
1) Resolver:
Tiene la forma:

La solucion sera:
2) Resolver:
Solución:
RECORDANDO:
La solucion sera:
1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES

CONSTANTES COMPLETA
Tiene la forma siguiente:
La solucion general es:
La solucion complementaria se halla haciendo.
8 Manual
Para hallar la solucion particular se tiene varios metodos, los cuales
se muestran a continuacion.
METODOS PARA CALCULAR
1.-Metodos operadores inversos.- consiste en resolver una secuencia

ordenada de ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden.
Ejemplo: Resolver
Solucion:
La solución tendrá la forma:
 Hallando :
 Hallando por el metodo de operadores.
Hallando u:
……

reemplazando en (3)
………(4)
Hallando v:
reemplazando en (4) hallamos yp:
Finalmente la solución general es:
10 Manual
2. Método de coeficientes indeterminados
En la siguiente tabla se muestra algunos ejemplos sobre la propuesta

de yp de acuerdo a la forma que tiene Q(x).
C (una constante ) A
Ejemplo:
Resolver
Solución
Hallando yc:

Hallando por el método de coeficiente indeterminados
En la ecuación diferencial:
Derivando yp:
Reemplazando en la ecuación diferencial
Finalmente
12 Manual
3. Métodos abreviados
CASO I: Si es de la forma
Ejemplo:
Hallando yp
Finalmente:
CASO II: De la forma
Ejemplo resolver

Solución
Hallando yp:
Por lo tanto
4. Variación de parámetros
El cálculo de yp depende de la solución homogénea, donde se

reemplaza las constantes por funciones desconocidas de x. Para una
ecuación diferencial de segundo orden es como sigue:
Luego se deriva tantas veces como el orden de la ecuación diferencial,

de la primera derivada se separan las derivadas de las funciones
desconocidas u1 y u2 y se igualan a cero, excepto en la última derivada
se iguala a f(x):
Puede expresarse en términos de los determinantes:
14 Manual
Ejemplo 1 Solución general por variación de parámetros
Resolver
Solución Primero escribimos la ecuación en su forma estándar

dividiéndola entre 4:
Cálculo de la solución complementaria:

Dado que las raíces de la ecuación auxiliar: m2 + 9= 0 es 𝑚 = 0 ± 3𝑖
entonces se plantea:
Cálculo de la solución particular:

Se plantea la solución particular:
𝑦𝑝 = 𝑢1 cos 3𝑥 + 𝑢2 sen 3𝑥
Reemplazando:
Al integrar se obtiene
Por lo tanto, una solución particular es:
Finalmente la solución general de la ecuación es:

Tema n.° 2: Ecuaciones Diferenciales Lineales con coeficientes variables
2.1 ECUACIÓN DE EULER - CAUCHY
derivando:
1 𝑑𝑧
=
𝑥 𝑑𝑥
También haremos uso de:
𝑑 𝑑
𝐷= ; =
𝑑𝑥 𝑑𝑧
Analizando
1
𝐷𝑦 = 𝑦
𝑥
𝑥𝐷𝑦 = 𝑦
𝑥 2 𝐷2 𝑦 = ( − 1)𝑦
𝑥 3 𝐷3 𝑦 = ( − 1)( − 2)𝑦
y así sucesivamente.
16 Manual
Ejemplo: Resolver
Tiene en forma:
Hallando yc de F(D)y = 0 :
Hallando yp :

Finalmente la solución general está dada por:
2.2 ECUACIÓN LINEAL DE LEGENDRE
Se hace sustitución siguiente:
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝐷𝑦 = 𝑎 𝑦
18 Manual
entonces, induciendo para los demás términos tenemos:
(𝑎𝑥 + 𝑏)2 𝐷2 𝑦 = 𝑎2 ( − 1)𝑦
(𝑎𝑥 + 𝑏)3 𝐷3 𝑦 = 𝑎3 ( − 1)( − 2)𝑦
y así sucesivamente.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial
Haciendo la sustitución:
reemplazando
La solución completa es:

Tema n.° 3: Modelado con Ecuaciones Diferenciales de segundo Orden
SISTEMA MASA - RESORTE
EJEMPLO 1. Una pesa de 16 libras se suspende de un resorte

produciendo un alargamiento de 32/25 pies. En el instante t = 0 se
sumerge la pesa en un líquido que impone una resistencia al avance de
3 libras por pie por segundo y se aplica una fuerza externa f(t) = ½ cos(wt).
Considere g = 32 pies por segundo cuadrado.
a) Determine la posición x(t) del cuerpo en función del tiempo, si x(0) =
x´(0) = 0.
b) Determine un valor de que maximice la amplitud de la solución
estacionaria.
Solución.
a) Tenemos mg = 16. Por lo tanto:
Luego nuestra ecuación diferencial es
o lo que es lo mismo
Como el polinomio característico es
siendo las raíces . La solución general de la ecuación

homogénea es:
Buscamos ahora una solución particular Xp(t) usando el método de los

coeficientes indeterminados, ponemos:
20 Manual
Entonces
y reemplazando en la ecuación y comparando coeficientes obtenemos

el sistema
cuyas soluciones son
Luego
y nuestra solución general es
La condición inicial implica
y la condición implica
Por lo tanto
b) Como la solución estacionaria es

su amplitud es:
Los que maximizan son los que minimizan la función
Como
tenemos
Por lo tanto, la amplitud máxima se obtiene con .
Tema n.° 4: Sistema de ecuaciones diferenciales lineales
En estos sistemas el número de ecuaciones simultáneas es igual al número

de variables dependientes.
dx
 ax  by  f (t )................................(1)
dt
dy
 cx  dy  g (t ).................................(2)
dt ...Sistema de dos ecuaciones.
Donde a, b, c, d, son constantes ƒ(t), g(t) son funciones
conocidas; x(t), y(t) son funciones incógnitas.
De la ecuación (1) despejamos:
1  dx 
y   ax  f (t )
b  dt 
22 Manual
Reemplazando “y” en (2) se obtiene:
d  1  dx  d  dx 
   ax  f (t )   cx    ax  f (t )  g (t )
dt  b  dt  b  dt 
1 d 2x d  dx 
 a   f (t )   cx    ax  f (t )  g (t )  0
dx d
b dt 2
dt dt b  dt 
Simplificando se tiene:
d 2x dx
A 2
 B  Cx  R(t )
dt dt
Donde A, B, C son constante, que es una ecuación diferencial de
coeficientes constantes.
EJEMPLO:
dx dy
  4 x  y  e ................................(1)
t
2
dt dt
dx Sistema de ecuaciones.
 3 x  y  0............................................(2)
dt
SOLUCIÓN:
d
D
Haciendo: dt
2 Dx  Dy  4 x  y  e
t
Dx  3 x  y  0
Factorizando tenemos:
(2 D  4) x  ( D  1) y  e ....................(3)
t
( D  3) x  y  0...................................(4)

Método Práctico:
(2 D  4) x  ( D  1) y  e .........() 
t
( D  1)(D  3) x  ( D  1) y  0
(2 D  4)  ( D  1)( D  3)x  et

2 D  4  D  2D  3x  e
2 t
D  1x   e ..................................(5)
2 t
Hallando la solución complementaria:
D 2
1 x  0
Hallando las raíces:
m 2

1  0
m1; 2    1  i
Por lo tanto:
X c  e (C1Cost  C 2 Sent )
0*t
X c  C1Cost  C 2 Sent
Hallando la solución particular:
1
Xp  *e
t
D 1 2
D 2u  u   e
t
e    e  *  e dt 
- dt dt t
 

e -t   e t * e dt t
e -t   e dt  2t
 1 
e -t  e 2t 
 2 
1 t
Xp  e
2
24 Manual
 Por coeficientes indeterminados:
X p  Ae
t
X ,p  A e
t
X ,p,  A e
t
Reemplazando:
Ae  Ae   e
t t t
2 Ae   e
t t
A1
2
X p  ( 1 ) e
t
2
 Por método abreviado:
F ( D) y  Q( x)
Si : Q ( x)  e
ax
ax
* e  e ................. para : F (a)  0

1
Yp 
ax
F ( D) F ( D)
En nuestro caso:
*e  
t
1
Xp  2
(1) t e
D 1 i2 1
 e
t
Xp
2
*Finalmente la solución general es:
X  Xc  X p
X  C1Cost  C 2 Sent  ( 1 ) e
t
2

Tema n.° 5: Solución de Ecuaciones Diferenciales con series de
potencia.
5.1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN:

Se hace uso de la serie de Taylor:
La solución de una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma,

cuando xo = 0:
y= +…….+ Cn xn + ……
Para ilustrar este método resolveremos un ejemplo.
Ejemplo: Resolver
Solución:
Aplicando series de potencia:
Reemplazando en la ecuación diferencial:
Homogenizando la potencia de “x”:

Cambio de subíndice:
Luego:
26 Manual
,
(n+1)
Ley de la formación de las constantes
Finalmente la solución es:

5.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN:
Donde:
son polinomios de x.
Siempre se trabaja alrededor de x = 0, se presentan dos casos:
5.2.1 Si x = 0 es un punto ordinario:

Se hace uso también de la serie de Taylor, alrededor de x = 0
……….(1)
la solución general tendrá la forma :
Ejemplo 1: usando series de potencia resolver la siguiente ecuación

diferencial:
Alrededor de
Solución:
Hallando las raíces del polinomio :
Como x = 0 no es raíz de decimos que x = 0 es un punto ordinario.

La solución será de la forma:
derivando se obtienen:
28 Manual
La ecuación diferencial queda:
hallando por separado:
Realizamos un cambio de subíndice a:
Sumando:
Factorizando :
Ley de formación de todos los

coeficientes

Induciendo:
Se sabe que:
Ejemplo 2. a) Usando series de potencia encuentre la solución general

alrededor de x = 1 de la ecuación:
b) Encuentre la solución particular que verifica las condiciones iniciales
, y el intervalo abierto máximo donde la solución

está definida.
Solución. a) Poniendo z = x - 1, tenemos 2x – x2 = 1 – z2 y
30 Manual
Luego en las nuevas coordenadas la ecuación es
Si
tenemos las derivadas
y
Por lo tanto
Reemplazando en la ecuación obtenemos
Luego debemos tener
Por lo tanto

De ésta forma
Luego la solución general es
y en las variables originales es
b) La condición implica y la condición
implica . Por lo tanto la solución de nuestro problema de

valores iniciales es:
Finalmente como
la serie de potencia tiene radio de convergencia 1, y por lo tanto el

intervalo abierto máximo donde está definida la solución es
5.2.2 Si: x = 0 es un punto singular:

Se aplica el método de Frobenius:
32 Manual
EJEMPLO: Usando el método de Frobenius encuentre la solución general
para x > 0 de la ecuación:
SOLUCIÓN: Como las funciones
son analíticas, el punto es un punto singular regular y podemos

usar el método de Frobenius para resolverla. El polinomio inicial es
y sus raíces son .
Sea
Luego
Reemplazando en la ecuación se obtiene

Por lo tanto debemos tener
De esta forma poniendo tenemos
Luego
En , tenemos
y la solución
Para encontrar una segunda solución linealmente independiente con
derivamos con respecto a . Se obtiene
y para todo
34 Manual
Evaluando en obtenemos y
para todo . Luego la segunda solución es
y la solución general es
con constantes arbitrarias.

De la teoría a la práctica
Problema 1. Determina la solución general de la siguiente ecuación

diferencial lineal no homogénea:
𝒅𝟒 𝒚 𝒅𝟑 𝒚 𝒅𝟐 𝒚
+ 𝟐 + 𝟓 = 𝒙 + 𝟐 + 𝒆𝒙
𝒅𝒙𝟒 𝒅𝒙𝟑 𝒅𝒙𝟐
Problema 2. Una masa de 2 kg se sujeta a un resorte suspendido del

techo. Esto ocasiona que el resorte se estire 196/125 m al llegar al reposo
en equilibrio. En el instante t=0, la masa se desplaza 1 m hacia abajo y se
195
suelta. En el mismo instante se aplica una fuerza externa 𝑓(𝑡) = 14 cos 𝑡
newton al sistema. Si la constante de amortiguación es 6 newton
segundo/metro, determine el desplazamiento 𝑥(𝑡) de la masa en un
𝑚
instante 𝑡 > 0 cualquiera. Considere 𝑔 = 9.8 𝑠2
Problema 3. Resolver la ecuación de Euler-Cauchy:
𝑥 3 𝑦 ′′′ + 𝑥 2 𝑦 ′′ − 6𝑥𝑦 ′ + 6𝑦 = 30𝑥
Problema 4.Consideremos el siguiente circuito eléctrico:
Calcular la intensidad de corriente que pasa por los cables de dicho

circuito RLC en serie cuando 𝑅 = 1 𝑜ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠, 𝐶 = 0.5 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠, 𝐿 =
1ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜, 𝐸(𝑡) = 𝑡 2 voltios sabiendo que inicialmente en el circuito la
𝑞(0) = 0 𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑏𝑖𝑜, 𝑖(0) = 0 amperios.
 
Problema 5. Resuelve la siguiente E.D. 3 x y  11xy  3 y  8  3ln x
2
36 Manual
Bibliografía de la Unidad 2
Cengel, Y. y Palma, W. (2014). Ecuaciones diferenciales para ingeniería y
ciencias. 1ª ed. México: Mc Graw Hill.
Espinoza, E. (2014). Análisis matemático IV. Perú: Editorial Servicios

Gráficos J.J.
Larson, R. y Edward, B. (2012). Cálculo de una variable. 9ª ed. México: Mc

Graw Hill. Código Biblioteca UC. 515.L26.
Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales. 9ª ed. México: Cengage Learning

Editores.
Zill, D. y Wright, W. (2012). Matemáticas avanzadas para ingeniería (4ª ed.)

México.: Mc Graw Hill.

38 Manual

Manual Unidad 2

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Manual Unidad 2

Cargado por

Información del documento

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Manual Unidad 2

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Ecuaciones

Sin embargo, la teoría de las ecuaciones lineales resulta sencilla ya que

Las ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que uno surgen al

En esta unidad vamos a estudiar las ecuaciones diferenciales lineales y

Los objetivos concretos de este tema son:

 Conocer la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales de orden

Universidad Continental | Manual 3

Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de aplicar las herramientas

Resultado de Resultado de Resultado de Resultado de

Tiempo mínimo de estudio

UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4

24 horas 24 horas 24 horas 24 horas

Ecuaciones Ecuaciones Solución de

Tema n.° 1: Ecuaciones Diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Tienen la forma siguiente:

Universidad Continental | Manual 5

1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES

Recordando lo desarrollado en el capítulo anterior sobre una ecuación

cuya solución es:

Dónde la solución general está compuesta por dos partes:

Como estamos trabajando con una ecuación diferencial con

por lo tanto, la solución de todas las E.D con coeficientes constantes

Además para reducir la simbolización de la forma general de las E.D.

El polinomio se puede factorizar:

La solución dependerá de las raíces del polinomio de

2.- Raíces reales e iguales:

3.- Raíces complejas:

Universidad Continental | Manual 7

1.2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES

Tiene la forma siguiente:

La solucion general es:

La solucion complementaria se halla haciendo.

METODOS PARA CALCULAR

1.-Metodos operadores inversos.- consiste en resolver una secuencia

La solución tendrá la forma:

 Hallando por el metodo de operadores.

Universidad Continental | Manual 9

reemplazando en (4) hallamos yp:

Finalmente la solución general es:

En la siguiente tabla se muestra algunos ejemplos sobre la propuesta

Universidad Continental | Manual 11

Reemplazando en la ecuación diferencial

CASO II: De la forma

Universidad Continental | Manual 13

El cálculo de yp depende de la solución homogénea, donde se

Luego se deriva tantas veces como el orden de la ecuación diferencial,

Puede expresarse en términos de los determinantes:

Solución Primero escribimos la ecuación en su forma estándar

Cálculo de la solución complementaria:

Cálculo de la solución particular:

Por lo tanto, una solución particular es:

Finalmente la solución general de la ecuación es:

Universidad Continental | Manual 15

2.1 ECUACIÓN DE EULER - CAUCHY

También haremos uso de:

Universidad Continental | Manual 17

2.2 ECUACIÓN LINEAL DE LEGENDRE

Se hace sustitución siguiente:

(𝑎𝑥 + 𝑏)2 𝐷2 𝑦 = 𝑎2 ( − 1)𝑦

(𝑎𝑥 + 𝑏)3 𝐷3 𝑦 = 𝑎3 ( − 1)( − 2)𝑦