Ecuaciones

Diferenciales
David Uscamayta Verástegui
Manual – Unidad 1
 Índice
Introducción ............................................................................................................................................. 3
Organización de la Asignatura ........................................................................................................... 4
Unidades didácticas .......................................................................................................................... 4
Tiempo mínimo de estudio ............................................................................................................... 4
UNIDAD 1: ………………………………………………. ........................................................................ 5
Diagrama de organización .............................................................................................................. 5
Tema n.° 1: Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales…………………………… ... 5
Sub tema 1.1 Ecuaciones Diferenciales ................................................................................... 7
Sub tema 1.2 Tipo de soluciones ................................................................................................ 7
Tema n.° 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden ………………………... 8
Sub tema 2.1 Métodos clasicos de solucion de ecuaciones diferenciales de primer
orden ................................................................................................................................................ 10
Tema n.° 3: Modelado con Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden......28
De la teoría a la práctica .......................................................................................................... 35
Bibliografía de la Unidad 1 ............................................................................................................ 37

2 Manual
 Introducción
En el análisis o estudio de fenómenos reales en los que se analiza un
cambio o una variación, aparecen ecuaciones que relacionan
determinadas funciones y sus derivadas. A este tipo de ecuaciones se les
denomina ecuaciones diferenciales.

La información que se obtiene a partir de estas ecuaciones nos permite

predecir cómo va a evolucionar el modelo que se está estudiando. En
particular, la solución de la ecuación diferencial es una función que
representa una cantidad cuya variación estamos analizando.

En esta unidad nos vamos a centrar en el estudio de las ecuaciones

diferenciales de primer orden. Resolver analíticamente las ecuaciones
diferenciales no siempre es posible, pero en el caso de las ecuaciones de
primer orden, existen métodos para resolver ciertos tipos de ecuaciones
que presentan determinadas características o propiedades.
Estudiaremos algunos de los más habituales.

También veremos la modelización y resolución de problemas reales

donde surgen ecuaciones diferenciales de primer orden. Los objetivos de
este tema son:

 Distinguir de qué tipo es una ecuación diferencial de primer orden.

 Clasificar las ecuaciones diferenciales.
 Estudiar los diferentes tipos de soluciones que se pueden obtener.
 Aplicar métodos de resolución para las ecuaciones diferenciales
de primer orden de variables separables, exactas, lineales,
ecuaciones de Bernoulli, homogéneas y ecuaciones con
coeficientes lineales.
 Modelizar y resolver problemas provenientes de fenómenos reales
donde aparecen ecuaciones diferenciales de primer orden.
.

El autor

Universidad Continental | Manual 3

 Organización de la Asignatura
Resultado de aprendizaje de la asignatura

Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de aplicar las herramientas

de las ecuaciones diferenciales para resolver ejercicios y problemas del
entorno real.

Unidades didácticas
UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4
Ecuaciones Ecuaciones Transformada de Ecuaciones
Diferenciales diferenciales Laplace diferenciales
Ordinarias de lineales de orden parciales lineales.
primer orden superior

Resultado de Resultado de Resultado de Resultado de

aprendizaje aprendizaje aprendizaje aprendizaje
Al finalizar la Al finalizar la Al finalizar la Al finalizar la
unidad el unidad el unidad el unidad el
estudiante será estudiante será estudiante será estudiante será
capaz de resolver capaz de resolver capaz de resolver capaz de resolver
ecuaciones ecuaciones una ecuación una ecuación
diferenciales diferenciales diferencial lineal diferencial parcial
ordinarias usando lineales de orden de orden superior y lineal y sus
diferentes métodos superior y sus sistemas de aplicaciones
de solución y sus aplicaciones a la ecuaciones utilizando el
aplicaciones en física y química diferenciales método de Fourier
problemas físicos y lineales mediante o separación de
químicos. la transformada de variables.
Laplace.

Tiempo mínimo de estudio

UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4

24 horas 24 horas 24 horas 24 horas

4 Manual
 UNIDAD 1:
Ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden
Diagrama de organización

Ecuaciones
Diferenciales
Ordinarias de primer
orden

Métodos de solución Modelado con

de Ecuaciones Ecuaciones
Conceptos básicos
Diferenciales de Diferenciales de
Primer Orden Primer orden

EDO de variables
separables. EDO exactas y EDO EDO Lineal y EDO de
EDO Homogéneas
EDO reducibles a con factor itegrante Bernoulli
variables separables

Tema n.° 1: Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales: Definición y

terminología, Clasificación.

1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES

Definición.- Es aquella ecuación que contiene las derivadas o

diferenciales de una o más variables dependientes con
respecto a una o más variables independientes.

Ejemplos:

Universidad Continental | Manual 5

 

Clasificación.- Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo a su

tipo, orden y linealidad.

Según el tipo:

 Si la ecuación diferencial tiene una sola variable

independiente se le llama ecuación diferencial
ordinaria (EDO).

 Si la ecuación diferencial tiene más de una variable

independiente se le llama ecuaciones diferenciales
parciales (EDP).

Según el orden:

 El orden de una ecuación diferencial.- está

determinada por la derivada del mayor orden (o más
alta) que aparece en ella.

Ejemplos:

……..E.D de primer orden.

 Entonces una ecuación diferencial de orden “n” en

su forma general es:

6 Manual
 Según su linealidad:

 Grado de una ecuación diferencial.- Es el exponente

de la derivada más alta.

Ejemplo:

 Ecuación diferencial lineal.- Son aquellas ecuaciones

donde “y” y sus derivadas su grado es uno (1).

Ejemplos:

1. + 3xy = 0 lineal

2. no lineal

3. no lineal

En forma general toda ecuación diferencial lineal es:

1.2: TIPOS DE SOLUCIONES

SOLUCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS.

Una solución de una ecuación diferencial es explícita cuando la variable

dependiente es resuelta explícitamente en términos de las variables
independientes, es decir y = f(x).
Por otra parte, se dice que una relación G(x,y)= 0 define implícitamente

Universidad Continental | Manual 7

una solución de F = (x, y, dy/dx, …) = 0
Ejemplos.

 es una solución explicita de la E.D. .

SOLUCIONES GENERALES Y PARTICULARES

Solución general.

Una solución general de una ecuación diferencial es una solución que

contiene el máximo número de constantes arbitrarias.

Solución Particular

Una solución particular de una ecuación diferencial es una solución

que se obtiene de la solución general por asignación de valores
específicos a una o más constantes arbitrarias.

Tema n.° 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Tienen la forma:

Siendo M y N coeficientes

de las diferenciales

En forma general:

cuya solución es:

Ejemplo:

Resolver:

8 Manual
Solución:

Esta solución general corresponde a una familia de curvas, dependientes

del valor que pueda asumir la constante “c”. Si nos dan las condiciones
iniciales, estamos frente a un problema de valor inicial, es decir y
(x0) = y0.

Cuando x = x0 entonces y = y0 encontramos el valor de la constante “c”

y luego reemplazando en la solución general se obtiene la solución
particular.
y



C=6 sol. Particular



C=4 sol. Particular



C=2 sol. Particular



x
C=0 sol. Particular
                           



C=-2 sol. Particular






C=-4 sol. Particular




C=-6 sol. Particular







Universidad Continental | Manual 9

2.1: MÉTODOS CLASICOS DE SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
DE PRIMER ORDEN

1. ECUACION DIFERENCIAL DE VARIABLES SEPARABLES

Se dice que una ecuación diferencial de la forma:

𝑴(𝒙,𝒚) 𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙,𝒚) 𝒅𝒚 = 𝟎

es de variables separables si M y N se pueden factorizar

Entonces se separan las variables y luego se integra:

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial con problema de

valor inicial.

Solución:

10 Manual
 Resolviendo la E. D. con problema con valor inicial (P.V.I.)

Reemplazando:

1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES

Cuando se tiene:
y'  ax  by  c …………. (1)
dónde: a, b, y c  son constantes

Se hace la siguiente sustitución:

z  ax  by  c ……… (2)
Esta sustitución convierte la ecuación diferencial en una ecuación
diferencial de variables separables.

Ejemplo:
Resolver: y'  x  y 
2

Haciendo: z  x  y
dz dy
 1
dx dx
dy dz
 1 
dx dx
Sustituyendo la ecuación diferencial: y'  x  y 
2

dz
 z2 1
dx
dz
 dx
z 1
2

dz
 dx   z 2  1   0
x  arctz  c
arctz  x  c

Universidad Continental | Manual 11

 z  tgx  c 
x  y  tg x  c 
y  tg x  c   x Solución explicita y general

2. ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA

La ED de la forma:
M x, y dx  N x, y dy  0.......... (1)
Se dice que es una ecuación diferencial homogénea si:

M x, y 
 Sean homogéneas del mismo grado
N x, y  

Las funciones M y N son homogéneas si cumplen lo siguiente:

M tx; ty   t n  M  x, y 
N tx; ty   t n N x, y 

Entonces se hace la siguiente sustitución:

 si M x, y  es la más sencilla se hace: y    x …… (2)
dy    dx  d
 si N x, y  es la más sencilla se hace: x  v  y …… (3)
dx  vdy  ydv
Esta sustitución convierte en ecuación diferencial en una de variables
separables.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial

 y
 y
 x  ye x dx  x  e x dy  0;
  con y1  0
 
Solución:
Comprobando que M y N sean funciones homogéneas del mismo grado
ty
 y

M tx : ty   tx  ty  e tx  t  x  ye x  Ambos son funciones
  homogéneas cuyo grado
ty
 y
 es la unidad
N tx : ty   tx  e tx  t   xe x 
 

haciendo la sustitución: y x

dy    dx  x  d
x x
   
 x    xe x dx   x  e x   dx  x  d   0
   
   
x    xe dx  x  e   dx  x  d   0
 

x    xe  dx  x  e    dx  x 2e d  0

12 Manual
 x    xe 

 x    e  dx  x 2e  d  0
x  dx  x 2e  d  0 E.D.V.S
x
x 2
dx   e  d   0

dx
 x
  e  d   0

Ln x   e   c
y
Ln x  e  c x
Solución general
y0
Hallando la constante: y 1  0
x 1
0
Ln1  e  c 1

c  1
y
Ln x  e x  1 Solución particular

2.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL REDUCIBLE A HOMOGÉNEA

La ecuación diferencial reducible a homogénea son de la forma:

a1x  b1 y  c1 dx  a2 x  b2 y  c2 dy  0 (1)

que contienen dos coeficientes lineales:

a1x  b1 y  c1  0
Ecuación general de dos rectas L1
a2 x  b2 y  c2  0
y L2

SE PRESENTAN DOS CASOS

CASO I: Cuando las rectas son paralelas: L1 L2

L1

a
a1 a
L2 mL1  mL2    2
b1 b2

b

Se hace la siguiente sustitución: a1x + b1y = n (a2x + b2y); con la cual la

ecuación se convierte en una E.D. V. S

Universidad Continental | Manual 13

CASO II: Cuando las rectas se intersecan: L1  L2
( m1  m2 ) y
1

y' y2

x'



Por transformación de coordenadas: P  P0  x'   y' 

Traslación pura
x, y   x0 ; y0   x' 1,0  y ' 0;1
x, y   h; k   x' 1,0  y' 0;1
y  k  y'
x  h  x'
Esta sustitución lo convierte a una ecuación diferencial homogénea.

Ejemplo 1: Resolver:
2 x3  2 y 2 x  7 x dx  3x 2 y  2 y 3  8 y dy  0 (1)
Sugerencia x 2  z y2  m

Solución:
x2  z y2  m
dz  2 xdx dm  2 ydy

Reemplazando en la ecuación (1)

2 z  3m  7dz  2z  2m  8dm  0 ……. (2)
2 3
Comprobando:  ; es el caso de rectas que se cortan
3 2
Entonces haciendo la PRIMERA SUSTITUCIÓN
z  z 'h  dz  dz' ……… (3)
m  m'k  dm  dm' …… (4)
Reemplazando en (2):
2z'3m'2h  3k  7dz'3z'2m'3h  2k  8dm'  0
2h  3k  7  0 

 3h  2k  8  0
h2 ; k 1
z  z '2 y m  m'1

Nuestra ecuación diferencial es:

14 Manual
 2 z'3m'dz'3z'2m'dm'  0 ……… (5) E.D.H
haciendo la SEGUNDA SUSTITUCIÓN
z '    m'
dz'    dm'md
Reemplazando en la ecuación (3):
2m'3m'dm'm' d   3m'2m'dm'  0
2 2m'3m'dm'2m2  3'2 3m'2m'dm'  0
2 2m'3m'3 , m'2m'dm'2m'2 3m'2 d  0
2 2  2m' dm'2  3m'2 d  0 … E.D.V.S
dm' 2  3
 m'   2  2  1 d   0
 
1 A b 
Ln m'    d   d   C
2   1  1 
Por fracciones parciales:
2  3 A B
 
  1  1   1   1
Para:   1 Para:   1
2  3 5 2  3 1
A  B 
 1 2  1 2
1 5 1 
Ln m'   Ln   1  Ln   1   LnC
2 2 2 
4Ln m'  5Ln   1  Ln   1  Lnc
m'4    15  Ln   1  Lnc
m'4    15    1c
5

m'4  z '  1

 z'
   1 c

 m'   m' 
z  2,15  z  2  m  1c
x 2
 
5

 y 2  1  x 2  y 2  3 .c

Ejemplo 2: Resolver la ecuación diferencial

x  2 y  3dx  2x  4 y  1dy  0
Solución:
1 1
Analizando la pendiente m1  m2  
2 2
Estamos en el caso I, cuando las rectas son paralelas.
Se hace la siguiente sustitución
z  x  2y
dz  dx  2dy
dx  dx
dy 
2
Reemplazando en la educación diferencial original

Universidad Continental | Manual 15

 z  3dx  2 z  1 dz  dx   0
 2 
2z  3dx  2 z  1dz  dx  0
2z  3dx  2 z  1dz  2 z  1dx  0
2 z  6  2z  1dx  2 z  1dz  0 ………E.D.V.S
 7dx   2 z  1dz   0
7x  z2  z  c
7 x  x  2 y   x  2 y   c
2

7 x  x 2  4 xy  4 y 2  x  2 y  c
xx  7  4 y  1  2 y2 y  1  c

3. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0................(1)

Se dice que (1) es una ecuación diferencial exacta si:

du  0................(2)

Donde:

u u
du  * dx  * dy................(3)
x y

De (1) y (3) comparando:

u u
M ( x, y )  ................(4) N ( x, y )  ................(5)
x y

   u     u 
M ( x, y )   ................(a ) N ( x, y )   ................(b)
y y  x  x x  y 

Comparando (a) y (b):

 
M ( x, y )  N ( x, y )................(6)
y x

La ecuación (6); es la condición suficiente y necesaria para que una

ecuación diferencial sea exacta.

SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL EXACTA

Para hallar la solución: u ( x, y )  c

16 Manual
partimos de la ecuación (4):

u
 M ( x, y )
x

Integrando parcialmente con respecto a “x”:

 u   M ( x, y)x  K ( y)
u   M ( x, y )x  K ( y)..........................(7)

Para hallar K(y) se deriva la ecuación (7) con respecto a “y”, y se iguala
a N(x,y) con la ecuación (5)

u 

y y
 M ( x, y)x y K ( y)  N ( x, y)
reemplazando en la ecuación (7) se obtiene la solución de la ED exacta.

EJEMPLO 1: Resolver

(3 x  4 xy)dx  (2 x  2 y)dy  0
2 2

Solución:

 
M ( x, y )  (3 x  4 xy)  4 x
2

y y
La ecuación diferencial es exacta.

 
N ( x, y )  (2 x  2 y )  4 x
2

x x

u u
 M ( x, y )  (3 x  4 xy )
2

x x

Integrando con respecto a “x”:

u   (3 x  4 xy )x  K ( y )
2

u  2 x y  K ( y)..................(1)
3 2
x
Calculo de K(y):

Universidad Continental | Manual 17

u  3 
 ( x  2 x y)  K ( y)  2 x  2 y
2 2

y y y

 
2x  K ( y)  2 x  2 y K ( y)  2 y
2 2

y y

Integrando con respecto a “y”:

2
K ( y)  y C 0

Reemplazando en la ecuación (1):

2
u 2x y y C
3 2
x 0

Finalmente en: u (x, y) = c

2
2x y y C C
3 2
x 0

2
2x y  C.............Solución general.
3 2
x y

EJEMPLO 2: Resolver:

2 2
( x  5 x y )dx  (5 x y  2 y y)dy  0
3 2

Solución:

  3 2
M ( x, y )  ( x  5 x y )  10 xy
y y
La ecuación diferencial es
exacta.

  2
N ( x, y )  (5 x y  2 y y )  10 xy
2

x x

u u 2
 ( x  5x
3
 M ( x, y ) y)
x x

Integrando con respecto a “x”:

2
u   ( x  5 x y )x  K ( y)
3

18 Manual
 4

u x
5 2 2
 y  K ( y)..................(1)
4 2x

Calculo de K(y):

4
u  x 5 2 2  2
 (  x y )  K ( y)  5 x y  2 y y
2

y y 4 2 y

 2  3
5x y  K ( y)  5 x y  2 y K ( y)  2 y
2 2

y y

Integrando con respecto a “y”:

4

K ( y) 
y  C0
2

Reemplazando en la ecuación (1):

4
5 2 2 y
4

u x  x y  
4 2 2 C0

Finalmente en; u(x, y) = c

4
5 2 2 y
4
x  x y   C
4 2 2 C0

x  5 2 y 2  y  C.............Solución general.
4

4 2x 2

3.1 ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A EXACTAS

M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0................(1)

Si se tiene que:

 
M ( x, y )  N ( x, y )
y x La ecuación diferencial no es exacta.

Pero multiplicando por un factor integrante: f

Universidad Continental | Manual 19

f  M ( x, y)dx  f  N ( x, y)dy  0................(2)
La ecuación diferencial se
hace exacta; y se procede a su solución como ya hemos visto
anteriormente.

 
f  M ( x, y )  f  N ( x , y )
y x

   
f M ( x, y )  M ( x, y ) f  f  N ( x, y)  N ( x, y ) f
y y x x

   
f M ( x, y )  f  N ( x, y )  N ( x, y ) f  M ( x, y ) f............(3)
y x x y

  N ( x, y )  M ( x, y ) 
M ( x, y )  N ( x, y )   f  f
y x f x f y

  lnf lnf
M ( x, y )  N ( x, y )  N ( x, y )   M ( x, y )  .....................(4)
y x x y

CASOS:

CASO I: Cuando f = f(x).

  lnf
M ( x, y )  N ( x , y )  N ( x , y )
y x x

lnf 1   
  M ( x, y )  N ( x, y )  h( x)
x N ( x, y )  y x 

1   
 lnf   N ( x, y)  y M ( x, y)  x N ( x, y)x

f  e
h ( x ) dx
.............factor integrante .

CASO II: Cuando f = f(y):

  lnf
M ( x, y )  N ( x, y)   M ( x, y)
y x y

20 Manual
lnf 1   
  N ( x, y )  M ( x, y )  h( y )
y M ( x, y )  x y 

1   
 lnf   M ( x, y)  x N ( x, y)  y M ( x, y)y

f  e
h ( y ) dy
.............factor integrante .

EJEMPLO: Resolver:

2
(3xy  y )dx  ( x  xy)dy  0........................(1)
2

Solución:

  2
M ( x, y )  (3xy  y )  3x  2 y
y y
La ecuación diferencial no es
exacta.

 
N ( x, y )  ( x  xy )  2 x  y
2

x x

Cálculo del factor integrante: Para f = f(x).

h( x ) 
1
3x  2 y  (2 x  y )
( x  xy )
2

h( x ) 
1
x  y 
( x  xy )
2

1
h( x) 
x

1
f  e  x 
dx

f  x.................(2)

Multiplicando la ecuación (1); por el factor integrante:

Universidad Continental | Manual 21

 2
x  (3xy  y )dx  x  ( x  xy)dy  0....(3)
2

La ecuación diferencial se
hace exacta.

  2
M ( x, y )  (3 x y  xy )  3 x  2 xy
2 2

y y
La ecuación diferencial es
exacta.

 
N ( x, y )  ( x  x y )  3 x  2 xy
3 2 2

x x

u u 2
 M ( x, y )  (3 x y  xy )
2

x x

Integrando con respecto a “x”:

2
u   (3 x y  xy )x  K ( y)
2

1 2 2
u y y  K ( y )..................(1)
3
x 2x

Cálculo de K(y):

u  3 1 2 2 
 ( x y  x y )  K ( y)  x x
3 2
y
y y 2 y

 
x x y K ( y)  x x K ( y)  0
3 2 3 2
y
y y

Integrando con respecto a “y”:

K ( y)  C

Reemplazando en la ecuación (1):

1 2 2
u y y  Co
3
x 2x

Finalmente en; u(x,y)=c

1 2 2
y y  Co  C
3
x 2x

22 Manual
 1 2 2
y y  C1 .............Solución general.
3
x 2x

4. ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN

Tienen la forma siguiente:

Solución:
 Llevando a la forma estándar la ecuación (1)

Como N(x) = 1, y

Para hallar el Factor Integrante (ƒ) reemplazamos en:

Entonces:

Multiplicamos el factor integrante ƒ a la ecuación (1)

Integrando tenemos:

Despejando y:

Universidad Continental | Manual 23

Por lo tanto:

……………(3)

Esta ecuación es la solución de todas las ecuaciones lineales de primer

orden.

Ejemplo:

Dividiendo entre (x2+1) a la ecuación resulta:

Por lo tanto ya tenemos una ecuación lineal de 1º Orden:

Aplicando la fórmula:

24 Manual
En las condiciones para hallar C: y (2) = 1

Reemplazando

4.1 ECUACION DE BERNOULLI

Esta ecuación tiene la forma:

………… (1)
Para n ≠ 1 y n ≠ 0

…………(2)
Para su solución se hace la sustitución siguiente:
……… (3)
Derivando con respecto a “x”:

reemplazando en (2) la ecuación se convierte en una E.D. Lineal

Ejemplo 1: Resolver

Solución:

Se hace la sustitución siguiente

Sustituyendo en la ecuación diferencial

Observamos que es una E.D. Lineal

Universidad Continental | Manual 25

Reemplazando las variables originales:

Ejemplo 2: Resolver

Solución:
Llevando a la forma estándar de la ecuación de Bernoulli

donde:
n=2 y x : variable dependiente y: variable independiente

Haciendo:

Reemplazando en la ecuación tenemos:

obteniéndose una E.D. Lineal con respecto a z, cuya solución es:

26 Manual
Reemplazando:

Para y(1) = 0

Entonces:

Universidad Continental | Manual 27

Tema n.° 3: Modelado con Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden.

3.1. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICIÓN

Existen en el mundo físico, en biología, medicina, demografía, economía,
etc. Cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposición varía en
dx
forma proporcional a la cantidad presente, es decir,  kx con x(t 0 )  x0
dt
, o sea que:
dx
 kx  0
dt

3.1.1. Desintegración radioactiva

Si Q es la cantidad del material radioactivo presente en el instante t,
dQ
entonces la E.D. es:  kQ
dt
Donde: k es la constante de desintegración.

Se llama tiempo de vida media de un material radioactivo al tiempo

Q
necesario para que una cantidad Q0 se transforme en o .
2
3.1.2. Crecimiento de Cultivos de bacterias o crecimientos poblacionales
La razón de crecimiento depende de la población presente en período
de procrear, considerando las tasas de natalidad y de muerte, el modelo
que representa dicha situación es:
dQ
 kQ
dt
Donde Q(t): población en el instante t.

PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si en un análisis de una botella de leche se encuentran 500 organismos
(bacterias), un día después de haber sido embotelladas y al segundo día
se encuentran 8000 organismos. ¿Cuál es el número de organismos en el
momento de embotellar la leche?
2. Una persona de un pueblo de 1000 habitantes regresó con gripa. Si se
supone que la gripa se propaga con una rapidez directamente
proporcional al número de agripados como también al número de no
agripados; determinar el número de agripado cinco días después, si se
observa que el número de agripados en un día es 100.

Observación: un modelo más preciso para el crecimiento poblacional es

1 dP
suponer que la tasa per cápita de crecimiento, es decir es igual a
P dt
la tasa promedio de nacimientos, la cual supondremos constante, menos
la tasa promedio de defunciones, la cual supondremos proporcional a la
población, por lo tanto la E.D. Sería:

28 Manual
 1 dP
 b  aP
P dt
Donde a y b son constantes positivas, esta E.D. se le llama ecuación
logística.

EJEMPLO:
Una bola de naftalina disminuye de tamaño con el tiempo ya que la
sustancia que la forma se volatiliza al contacto con el aire. Si la
disminución del volumen de la bola de la naftalina en un tiempo t es
proporcional a la superficie de la bola. Establezca la ecuación
diferencial que relacione el volumen de la bola en función del tiempo.

Solución:
Sea “V” el volumen de la bola de naftalina presente en cualquier instante
t. Mediante la observación física se establece que la disminución del
volumen de la bola en un tiempo “t” es proporcional a la superficie de la
bola, por lo que se establece la ecuación diferencial:

Donde S es la superficie de la bola.

Forma de la naftalina: (asumiremos que es una esfera)

Reemplazando en (1):

Resolviendo esta ecuación diferencial de variables separables tenemos:

……..Solución general
Hallando la constante C:
Condiciones iniciales t = 0 y

Hallando la solución particular:

Universidad Continental | Manual 29

 3

PROBLEMAS PROPUESTOS
t
1
1. Si T es el tiempo de vida media, mostrar que Q  Q0 ( ) T .
2
1
2. Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene de la
1000
cantidad original de C14 . Determinar la edad del fósil, sabiendo que el
tiempo de vida media del C14 es 5600 años.

3.2. Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton

Si se tiene un cuerpo a una temperatura T, sumergido en un medio de
tamaño infinito de temperatura Tm (Tm no varía apreciablemente con el
tiempo). El enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la
siguiente ED:

d
  k ; donde   T  Tm
dt

PROBLEMA PROPUESTO
1. Un cuerpo se calienta a 110° C y se expone al aire libre a una
temperatura de 10° C. Si al cabo de una hora su temperatura es de
60° C. ¿Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfríe a
30° C?

3.3 PROBLEMAS DE DILUCIÓN

Una solución es una mezcla de un soluto (que puede ser líquido, sólido o
gaseoso), en un solvente que puede ser líquido o gaseoso.
Tipos de mezclas o soluciones
a) Soluciones líquidas: cuando disolvemos un sólido o un líquido en un
líquido
b) Soluciones gaseosas: cuando se disuelve un gas en un gas.

ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD
Ley de la conservación de la materia:

TASA DE ACUMULACIÓN = TASA DE ENTRADA – TASA DE SALIDA.

…… (1)

Ejemplo:
Dos recipientes están conectados mediante una cañería, tal como se
muestra en la figura adjunta. Cada uno contiene 50 litros de solución con

30 Manual
 10 gramos de sal en el tanque I y 5 gramos en el tanque II. Se abren las
tres cañerías A, B y C haciéndose entrar agua a través de A, por A, B y C
circula líquido a razón de 2 litros/min. Encontrar la cantidad de sal, en
ambos recipientes después de 30 minutos. La solución se mantiene
perfectamente homogénea mediante el uso de agitadores.
Solución:
Sean: “x” e “y” las cantidades de sal en el tanque I y II respectivamente
en cualquier instante “t”.
Condiciones iniciales:
Para t = 0 V1 = V2 = 50 litros
x(0) =10 gramos ; y(0) = 5 gramos

agua pura

I
II

EN EL TANQUE I:

……..(1)

Entrada:

Salida:

Reemplazando en (1):

Cálculo de la constante C para x(0) = 10:

Universidad Continental | Manual 31

Reemplazando en la solución general
……… (2)

EN EL TANQUE (II):

…….(3)
Entrada:

Salida:

Reemplazando:

Hallando la constante C para y(0) = 5:

5 = 1 ( 0 + C)
C=5
Reemplazando se tiene:

………..(4)
Cálculo de la cantidad de sal en ambos recipientes para t = 30 minutos

en el tanque I.

en el tanque II.

32 Manual
 PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En un tiempo t = 0 un tanque A contiene 300 galones de salmuera en

el cual hay 50 libras de sal y un tanque B con 200 galones de agua pura.
Al tanque A le entran 5 galones de agua/min. y la salmuera sale a la
misma velocidad para entrar al tanque B y de este pasa nuevamente al
tanque A, a una velocidad de 3 gal/min. Calcular las cantidades de sal
en ambos tanques en un tiempo t = 60 min.

2. Los resultados de los exámenes médicos indican que el paciente posee

un 0.3 % de toxinas del tipo A en sus cinco litros de sangre. Entonces se le
conecta a una máquina que le inyecta sangre más limpia a razón de
1500 cm3 / min y que contiene sólo un 0.05 % de dichas toxinas. La sangre,
bien mezclada, sale a la misma razón por otro conducto conectado a su
cuerpo.

a) Determine la cantidad de miligramos de toxinas en la sangre del

paciente en cualquier minuto posterior a ser conectado a la máquina.

b) Encuentre el porcentaje de toxinas después de 10 minutos de

conectarse a la máquina.

3.4 VACIADO DE TANQUES

Si no hubiera pérdidas de energía, la velocidad de salida del líquido por

un orificio, a la profundidad “h” por debajo de la superficie, sería la
adquirida por un cuerpo que cae desde la altura “h”, esto es:

Pero a medida que la altura del líquido disminuye el chorro disminuye

esto se debe a que el agua es impulsado por su propio peso para salir
por un pequeño orificio situado a h unidades por debajo de la superficie
del agua entonces la velocidad es proporcional a: , entonces la
variación de volumen en un determinado tiempo es:

…….(1)

Universidad Continental | Manual 33

Además:

a : área del orificio de salida

R: radio del cilindro.
H : altura total del cilindro

Reemplazando en la ecuación (1):

Relacionando el volumen en función a la altura:

El tiempo de vaciado (tv) se hallará cuando h = o

PROBLEMA. Un tanque cilíndrico de 1.22 m de altura descansa sobre una

base circular de 0.915 m de radio, al mediodía el tanque está lleno de
agua, se destapa un orificio de 1,27 cm de radio en el fondo y se vacía
el tanque. Halle el tiempo en que el agua se encontrará a la mitad del
tanque

R = 0.915 m

H = 1.22m

h = 0.61m
r=1.27cm

Condiciones iniciales:
Para: t = 0 ; h =H

34 Manual
 Hallando la constante C con las condiciones iniciales: para t = 0 h =1.22

Hallando el tiempo en que el agua se encontrará a la mitad del tanque:

segundos

De la teoría a la práctica

Problema 1. Un tanque contiene inicialmente 70 litros de agua pura. A

partir de un instante to = 0 ingresa mezcla salina por dos entradas
diferentes. Por la primera lo hace a 2 litros por segundo y con
concentración igual a 10 gramos por litro. Por la segunda lo hace a 1 litro
por segundo y con concentración igual a 20 gramos por litro. A su vez, a
partir del instante t1 = 10 segundos empieza a salir del tanque mezcla a
4 litros por segundo. Determine la concentración de sal en el tanque para
t = 60 segundos.

Problema 2. Suponga que en el instante t = 0 un tercio de una

población de 180.000 personas ha oído cierto rumor y que el número de
las que lo han oído crece en ese momento a razón de 1 200 personas por
día. Suponga además que la rapidez con que crece el rumor es
proporcional al número de individuos que conocen la noticia por el
número de individuos que no la conocen. ¿Cuánto tiempo pasará para
que el rumor se extienda a los 5/6 de la población?

Problema 3. Se tiene la reacción siguiente:

Na 2 S 2 O3  CH 3 I 
K
productos
cuyo estudio lleva a la tabla:

TIEMPO 0 4,75 10 20 35 55 ∞
Conc.Na2S2O3 35,35 30,5 27 23,2 20,3 18,6 17,1

Conc. CH3I 18,25 13,4 9,9 6,1 3,2 1,5 0

Encontrar un modelo en forma de ecuación diferencial, que concuerde

con los experimentos, y de paso calcular el valor de K.

Problema 4. Un profesor redacta las notas del curso con una rapidez
proporcional al número de hojas ya escritas. Por otra parte sus alumnos
son capaces de leer los apuntes con una velocidad constante. Al

Universidad Continental | Manual 35

comenzar el curso, el profesor entrega 10 hojas a sus alumnos y
posteriormente se las va proporcionando a medida que las escribe.
Determine el atraso de uno de sus alumnos en la lectura de las notas al
finalizar el trimestre si al cabo del primero llevaba un atraso de 20
páginas y al término de 6 meses un atraso de 70 páginas. Considere cada
trimestre de tres meses sin receso entre cada uno de ellos.

Problema 5. Se ha determinado experimentalmente que un pez crece

según la ley:

Donde p = p(t) representa el peso y  ,  son constantes positivas que

caracterizan la especie.
a) Resuelva la ecuación.
b) ¿Para qué valor del tiempo t le parece razonable autorizar la
captura de peces de esta especie?

Problema 6. Un paracaidista que junto con su equipo pesa 160 libras se

deja caer desde un avión. Antes que el paracaídas se abra la magnitud
de la fuerza de resistencia del aire es directamente proporcional a la
velocidad con constante de proporcionalidad 1/2. El paracaídas se abre
5 segundos después que la caída comienza y ahora, con el paracaídas
abierto, la magnitud de la fuerza de resistencia del aire es directamente
proporcional al cuadrado de la velocidad con constante de
proporcionalidad 5/8. Encontrar la velocidad del paracaidista antes de
que el paracaídas se abra y después de que se abra.

Problema 7. Dos recipientes están conectados de tal manera que el

primero puede pasar al segundo, una salmuera a razón de 2
decalitros/minuto, y del segundo al primero, simultáneamente, 1
decalitro/minuto. En el momento de iniciarse el proceso de intercambio
de salmueras; t = 0 minutos, el primer recipiente contiene 1 hectolitro de
salmuera que contiene 20 kg de sal, y en el segundo recipiente, 1
hectolitro de agua pura. Determinar cuánta sal contendrá el primer
recipiente al cabo de 5 minutos, sabiendo que iniciado el proceso de
intercambio, la mezcla, en ambos recipientes se mantiene homogénea
en todo instante.

36 Manual
 Bibliografía de la Unidad 1
Cengel, Y. y Palma, W. (2014). Ecuaciones diferenciales para ingeniería y
ciencias. 1ª ed. México: Mc Graw Hill.

Espinoza, E. (2014). Análisis matemático IV. Perú: Editorial Servicios

Gráficos J.J.

Larson, R. y Edward, B. (2012). Cálculo de una variable. 9ª ed. México: Mc

Graw Hill. Código Biblioteca UC. 515.L26.

Zill, D. (2009). Ecuaciones diferenciales. 9ª ed. México: Cengage Learning

Editores.

Zill, D. y Wright, W. (2012). Matemáticas avanzadas para ingeniería (4ª ed.)

México.: Mc Graw Hill.

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38 Manual