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Plano Cartesiano
Plano Cartesiano
Plano Cartesiano
1. 1 Conjuntos.
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números
enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o
negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de
los números racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente
(quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con
infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que:
2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz
cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número ) que poseen infinitos decimales
pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama
"números irracionales".
Segmento de una recta, [a, b], son todos los números reales comprendidos
entre a y b, es decir, los números x tales que son mayores (o iguales) a "a" y
menores (o iguales) a "b".
Para un número real, x, llamamos valor absoluto de este número, expresado |x|, al
número real que queda cuando se le considera positivo . Por ejemplo
|| = 7,
|| = 5, 31
(para los números positivos se les deja como están, para los negativos se les
cambia de signo).
Para un número real, sea x, llamamos parte entera de este número, expresado [x], al
número entero que queda cuando se le suprimen todos sus decimales. Por
ejemplo:
[3,1416] = 3,
[-2,189] = -2
1. 3 Subconjuntos de un conjunto.
x = [x]
La propiedad de que un número coincida con su parte entera, dicha propiedad
sólo la cumplen los números enteros, por eso podemos expresar:
* Los cuantificadores :
Estos dos símbolos sirven para aludir a la cantidad de los elementos del
conjunto, el primero hace referencia a "al menos uno", el segundo se refiere a
"todos sin excepción". Por ejemplo:
Algunas propiedades:
Unión:
Intersección:
Unión e intersección:
* Cardinal de un conjunto.
Algunas propiedades:
Sea un conjunto A, se llama relación binaria entre los elementos del conjunto
A a una parte del producto cartesiano A×A
(también llamado A²).
C = {(}
C = {RRRRRR }
Además, en Matemáticas una relación suele venir definida mediante una
propiedad, por ejemplo, en el conjunto N de los números enteros se encuentra
definida la relación siguiente:
Dado un conjunto A con una relación binaria R definida entre sus elementos,
hay cuatro posibles propiedades para R:
Sea A un conjunto y R una relación binaria definida en A, se dice que R es una
relación de equivalencia en A si para R se verifican las tres propiedades:
1. Reflexiva.
2. Simétrica.
3. Transitiva.
Así tenemos: ( 1R1, 1R3, 3R5, 5R7, 5R5, ...., 2R2, 2R4, 4R2, 20R100,... )
* Clase de equivalencia.
1. Reflexiva.
2. Antisimétrica.
3. Transitiva
x R y {x y }
f(x) =
{(a, (a, (b, (b, (b, (c,
(c, (c, (d, (d, (d, }
A los elementos de B donde una flecha finaliza se les llama "imágenes", y a los
elementos de A de los que parte una flecha se les llama "anti-imágenes".
* Aplicación Suprayectiva
y = f(x)
ALGUNOS EJERCICIOS.
1. En una reunión hay más hombres que mujeres, hay más mujeres que beben
que hombres que fuman, y más mujeres que fuman y no beben que hombres que
no beben ni fuman. Demostrar que hay menos mujeres que ni beben ni fuman
que hombres que beben y no fuman.
Solución : Podemos considerar los ocho conjuntos disjuntos de la gráfica de la
figura , evidentemente el conjunto de los
hombres que fuman y no beben (F) es
disjunto de las mujeres que fuman y no
beben (G), o los hombres que beben y
no fuman (A) es disjunto de las mujeres
que beben y no fuman (D), etc.
Que haya más mujeres que beben que hombres que fuman significa:
Y que haya más mujeres que fuman y no beben que hombres que ni beben ni
fuman significa:
Si sumamos {1},{2} y {3} obtenemos:
n(A) + n(B) + n(C) + n(D) + n(E) + n(F) + n(G) > n(B) + n(C) + n(D) + n(E) +
n(F) + n(G) + n(H)
Lo cual significa que el número de mujeres que ni beben ni fuman es inferior al
de hombres que beben y no fuman (que es lo que había que demostrar).
* * *
a) Reflexiva:
b) Simétrica:
Si x R y y R x
también obvio, pues si tan x = tan y , también se da que tan y = tan x.
c) Transitiva:
* * *
3. Se sabe que entre los tripulantes de un barco a los que les gusta la cerveza o
el vermut o ambas bebidas, les gusta también la cerveza o el vino o las dos. Y a
los que les gusta la cerveza y el vermut les gusta también la cerveza y el vino.
Demostrar que a todos los que les gusta el vermut les gusta también el vino.
x R y y - x =
siendo m un número entero dado (por nos referimos a "cualquier múltiplo
de m").
Segmento de recta. Ahora bien un segmento de recta se define como aquel tramo
comprendido entre dos puntos cualesquiera. Normalmente se denota por el
símbolo , y se lee segmento, por ejemplo un segmento de recta comprendido por
los puntos
A) (2)
B) (7)
Es importante que identifiques que los segmentos de recta tienen una cierta
magnitud, en el ejemplo anterior el segmento anterior mide 5 unidades, para saber
esto basta contar los espacios que hay del punto A al B, como puedes apreciar
son 5. La siguiente figura ilustra este ejemplo.
Ejemplo:
¿Cuál es la magnitud del segmento que pasa por el punto B (-8) al punto D (7)?
Se cuentan las unidades que hay de -8 a 7 y el resultado es 15.
Es posible calcular la magnitud de un segmento en una recta real mediante la
siguiente expresión:
d = ∣ (X1-X2) ∣ Donde:
A= Punto ubicado en una recta en “X”
B= Punto ubicado en una recta en “X”
∣∣ = Barras de valor absoluto
X1= Componente en “X” del punto “A”
X2= Componente en “X” del punto “B”
d = ∣ (X1-X2) ∣ Escribir La fórmula
d = ∣ (-9-3) ∣ Escribir las componentes de los puntos “A” y
“B”
d = ∣ (-12) ∣ Restar
d = 12 Aplicar el valor absoluto.
Puedes comprobar gráficamente que la distancia del punto “A” al punto “B” es de
12 unidades.
Plano cartesiano. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La
recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las "x", y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes, "y"; el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
Se utiliza para puntos en el espacio por medio de conjuntos de pares ordenados
denominados coordenadas. Las coordenadas se forman asociando un valor del
eje de las "x" a uno de las "y", respectivamente, esto indica que un punto (P) se
puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual
se representa como:
P (x, y)
Para ubicar coordenadas en el plano cartesiano basta contar las unidades en "x",
las unidades en "y" y posteriormente hacer una interpolacion, por ejemplo:
Ubica en un plano cartesiano la coordenada:
A (3,-2)
Ahora ubicamos a -2 en el eje de las "y" esto sería debajo del 0 (no a la izquierda
del cero pues ahora se ubicará en "y" no en "x")
Prolongamos las líneas y el punto donde se intersectan se ubicará la
coordenada.
3. CONVERSIÓN DE UN NUMERO DECIMAL A BINARIO
Para esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente
ejemplo: Transformemos el numero 42 a numero binario
Para transformar un número decimal fraccionario a un numero binario debemos seguir los pasos que
mostramos en el siguiente ejemplo: transformemos el numero 42,375.
Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que ira formando el numero
binario correspondiente
Tomamos nuevamente la parte entera , y como la parte fraccionaria es 0, indica que se ha terminado el
proceso. El numero binario correspondiente a la parte decimal será la unión de todas las partes enteras,
tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso del proceso , en donde el
primer dígito binario corresponde a la primera parte entera , el segundo dígito a la segunda parte
entera , y así sucesivamente hasta llegar al ultimo .Luego tomamos el numero binario , correspondiente
a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la parte fraccionaria y lo unimos en un solo
numero binario correspondiente a el numero decimal.
Para esta transformación es necesario tener en cuenta los pasos que mostraremos en el siguiente
ejemplo: Transformemos el numero 42 a numero binario
Para transformar un número decimal fraccionario a un numero binario debemos seguir los pasos que
mostramos en el siguiente ejemplo: transformemos el numero 42,375.
Multiplicamos por el numero 2 y tomamos la parte entera del producto que ira formando el numero
binario correspondiente
Tomamos nuevamente la parte entera del producto, y la parte fraccionaria la multiplicamos
sucesivamente por 2 hasta llegar a 0
Tomamos nuevamente la parte entera , y como la parte fraccionaria es 0, indica que se ha terminado el
proceso. El numero binario correspondiente a la parte decimal será la unión de todas las partes enteras,
tomadas de las multiplicaciones sucesivas realizadas durante el transcurso del proceso , en donde el
primer dígito binario corresponde a la primera parte entera , el segundo dígito a la segunda parte
entera , y así sucesivamente hasta llegar al ultimo .Luego tomamos el numero binario , correspondiente
a la parte entera , y el numero binario , correspondiente a la parte fraccionaria y lo unimos en un solo
numero binario correspondiente a el numero decimal.
1. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamente unos
2. Sumamos los valores de posición para identificar el numero decimal equivalente
Para convertir un numero en el sistema decimal al sistema de numeración Octal, debemos seguir los
pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo Convertir el numero decimal 323.625 a el sistema de
numeración Octal
1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta que el dividendo sea menor que el
divisor, para colocar entonces el numero 0 y pasar el dividendo a formar el primer dígito del numero
equivalente en decimal
2. Se toma la parte fraccionaria del numero decimal y la multiplicamos por 8 sucesivamente hasta que el
producto no tenga números fraccionarios
3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dígito correspondiente
4. Al igual que los demás sistemas , el numero equivalente en el sistema decimal , esta formado por la
unión del numero entero equivalente y el numero fraccionario equivalente.
La ventaja principal del sistema de numeración Octal es la facilidad conque pueden realizarse la
conversión entre un numero binario y octal. A continuación mostraremos un ejercicio que ilustrará la
teoría. Por medio de este tipo de conversiones, cualquier numero Octal se convierte a binario de manera
individual. En este ejemplo, mostramos claramente el equivalente 100 111 010 en binario de cada
numero octal de forma individual.
1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el numero decimal 16 (base) hasta que el
cociente sea 0
2. Los números enteros resultantes de los cocientes, pasarán a conformar el numero hexadecimal
correspondiente, teniendo en cuenta que el sistema de numeración hexadecimal posee solo 16 símbolos,
donde los números del 10 hasta el 15 tienen símbolos alfabéticos que ya hemos explicado
3. La parte fraccionaria del numero a convertir se multiplica por 16 (Base) sucesivamente hasta que el
producto resultante no tenga parte fraccionaria
4. Al igual que en los sistemas anteriores, el numero equivalente se forma, de la unión de los dos
números equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que establece la
diferencia entre ellos.
Como en los ejemplos anteriores este también nos ayudará a entender mejor este procedimiento:
Convertir el numero hexadecimal 2B6 a su equivalente decimal.
1. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamente unos
2. Sumamos los valores de posición para identificar el numero decimal equivalente
Figura 9: Conversión de binario a decimal
Para convertir un numero en el sistema decimal al sistema de numeración Octal, debemos seguir los
pasos que mostraremos en el siguiente ejemplo Convertir el numero decimal 323.625 a el sistema de
numeración Octal
1. Se toma el numero entero y se divide entre 8 repetidamente hasta que el dividendo sea menor que el
divisor, para colocar entonces el numero 0 y pasar el dividendo a formar el primer dígito del numero
equivalente en decimal
2. Se toma la parte fraccionaria del numero decimal y la multiplicamos por 8 sucesivamente hasta que el
producto no tenga números fraccionarios
3. Pasamos la parte entera del producto a formar el dígito correspondiente
4. Al igual que los demás sistemas , el numero equivalente en el sistema decimal , esta formado por la
unión del numero entero equivalente y el numero fraccionario equivalente.
1. Se toma la parte entera y se divide sucesivamente por el numero decimal 16 (base) hasta que el
cociente sea 0
2. Los números enteros resultantes de los cocientes, pasarán a conformar el numero hexadecimal
correspondiente, teniendo en cuenta que el sistema de numeración hexadecimal posee solo 16 símbolos,
donde los números del 10 hasta el 15 tienen símbolos alfabéticos que ya hemos explicado
3. La parte fraccionaria del numero a convertir se multiplica por 16 (Base) sucesivamente hasta que el
producto resultante no tenga parte fraccionaria
4. Al igual que en los sistemas anteriores, el numero equivalente se forma, de la unión de los dos
números equivalentes, tanto entero como fraccionario, separados por un punto que establece la
diferencia entre ellos.