RELACIONES Y FUNCIONES

Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática.

Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel
fundamental en las relaciones y funciones.

Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es
equivalente a decir “corresponde a”.

Ejemplos:

En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.

En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un
número.

Definición matemática de Relación y de Función

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto,
llamadoRecorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido
o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno
y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son
funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

Ver: Plano Cartesiano

Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen
verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B

Ejemplo 1.

Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.

Solución

El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:

A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}

Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:

R1 = {(2, 1), (3, 1)}

R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

R3 = {(2, 4), (3, 5)}

La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y) / y = 1}.

La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {(x, y)
/ x < y}

Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor
que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x + 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación
se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio
conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.

Ejemplo 2.

Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación

R = {(x, y) / x + y = 3}

Solución

El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados

C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}

Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:

R = {(1, 2), (–3, 6)}

Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian
los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el
conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de
partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están
relacionados, se le denomina recorrido o rango.

Ejemplo 3

Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y =

2x”, encontrar dominio y rango de la relación.

Solución

El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:

A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(4, 7), (4, 8)}

Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:

R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}

En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen
de 4”.

Así, el dominio y rango son:

D = {2, 3, 4}

Rg = {4, 6, 8}

Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?

En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.

Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?

La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS RELACIONES

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en
el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4

Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.

Solución

Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son:

R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

RELACIÓN MATEMÁTICA

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas

ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente

matemática) Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con

UNO o MÁS del segundo conjunto.

 Una relación , de los conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano

Una relación binaria es una relación entre dos conjuntos.

El concepto de relación implica la idea de enumeración, de algunos de los elementos, de los conjuntos que
forman tuplas.

Un caso particular es cuando todos los conjuntos de la relación son

iguales: en este caso se

representa como , pudiéndose decir que la relación pertenece a A a la n.

TIPOS DE RELACIONES

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de
términos de la relación:

 Relación unaria: un solo conjunto

 Relación binaria: con dos conjuntos

 Relación ternaria: con tres conjuntos

 Relación cuaternaria: con cuatro

conjuntos

 Relación n-aria: caso general

con n conjuntos

PRODUCTO CARTESIANO

Para entender la idea de producto cartesiano debemos saber que se trata de una operación entre dos conjuntos, de tal
modo que se forma otro conjunto con todos los pares ordenados posibles.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto
B, en ese orden, recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.

Entonces:

El poducto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B, será un nuevo conjunto, identificado como A x B, y consistirá de
un conjunto de parejas ordenadas, (x, y), donde x pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto B.

Como ejemplo:

También podríamos decir que un par ordenado es una colección de dos

objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b),
donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento".

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya

formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.
Representación gráfica de un producto cartesiano

Los pares ordenados representarán puntos coordenado en el plano cartesiano, tomando como primera coordenada un
elemento del primer conjunto, y como segunda coordenada a un elemento del segundo conjunto, independientemente
que sean números u otras entidades.

PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Y SU GRÁFICA

Uno de los principios básicos para hacer un análisis matemático es el concepto de parejas ordenadas: dos objetos, personas,
símbolos o cosas mencionados en un orden definido por su posición, es decir, primero uno y luego el otro. Si este orden
cambiara, es decir, primero el otro y luego el uno, se tendrá como resultado una nueva pareja ordenada y diferente a la
inicialmente considerada.

La simbología matemática que se utiliza para representar una pareja ordenada es escribir dentro de un paréntesis, la

primera componente separada por una coma de la segunda componente, por ejemplo: es la pareja ordenada, en
donde es la primera componente y es la segunda componente.

El producto cartesiano de dos conjuntos y es el conjunto de todos los posibles pares ordenados que se forman
eligiendo como primera componente a un elemento que pertenezca a , y como segunda componente a un elemento que

pertenezca a .

El producto cartesiano se denota de la siguiente forma: x y se lee “ cruz ”.

La definición anterior expresa que el producto cartesiano de los conjuntos y , son la parejas ordenadas tal

que pertenece al conjunto y pertenece al conjunto .

Ejemplo

Obtener el producto cartesiano x de los siguientes conjuntos:

Solución

El número de parejas ordenadas que resultan de un producto cartesiano se obtiene multiplicando sus cardinalidades. En el

ejemplo anterior, , el número de parejas ordenadas es: . .

El producto cartesiano no es conmutativo. Esto significa que a menos que = .

Ejemplo

Obtener el producto cartesiano x dados los mismos conjuntos anteriores:

Solución

Ejemplo

Dados los siguientes conjuntos:

obtener los productos cartesianos

Solución

. PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Y SU GRÁFICA

Un sistema de dos ejes coordenados o plano cartesiano, se define como el conjunto de todas las parejas ordenadas de
números reales, que corresponden en sí al producto cartesiano R x R.
Un sistema de ejes coordenados se construye haciendo que dos líneas rectas se corten perpendicularmente en un punto
llamado origen, quedando el plano dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Al eje horizontal se le conoce
como eje y al eje vertical como eje .

Esto se representa de la siguiente forma:

Dado que el conjunto R x R son todas las parejas ordenadas de un plano cartesiano, se tiene que:

En una pareja ordenada ,a se le da el nombre de abscisa y a , el nombre de ordenada. Estos valores sirven

para localizar un punto en el plano cartesiano, y se les llama coordenadas de un punto, que se escribe como

A cada pareja ordenada de este producto cartesiano le corresponde uno y sólo un punto sobre el plano cartesiano, y a
cada punto del plano cartesiano le corresponde una y sólo una pareja ordenada. A esto se le llama
correspondencia biunívoca.

Ejemplo

Ubicar en el plano cartesiano los siguientes puntos:

Ejemplo

Dados los conjuntos obtener la gráfica del producto cartesiano x .

Solución

El conjunto solución a este producto cartesiano son nueve puntos discretos formado por las parejas

ordenadas: .

Gráficamente esto es: