DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL

OBJETIVOS
Entender la normal como la principal distribución de
probabilidad de la estadística.

Aplicar la distribución normal a problemas prácticos.

Calcular probabilidades usando la estandarización de normal

en la tabla.
 DISTRIBUCION NORMAL

RECORDEMOS: los rectángulos del histograma de

frecuencia relativa, representan porcentajes, que por lo
tanto suman la unidad (100%) .

El polígono de frecuencias resulta de unir los puntos f(X)

medios de las bases superiores de estos rectángulos. Al
suavizar este polígono resulta una curva de frecuencias.

X
Se ha encontrado que muchos fenómenos siguen una
curva de frecuencia en forma de campana, denominada
distribución normal. Esta es la distribución continua de
uso más generalizado. Por ser una f d p el área bajo
esta curva es igual a uno.
 DISTRIBUCION NORMAL
También se llama distribución de Gauss o distribución de Laplace-Gauss. Ello se debe a que el matemático francés
Pierre Simon de Laplace (v.), fue el primero que demostró la siguiente relación, muy importante en el estudio de la
distribución normal: Sin embargo, muchos autores consideran como auténtico descubridor de la distribución
normal a Abraham De Moivre (v.), quien publicó en 1733 un folleto con el título de Approximatio ad summan
terminorum binomii (a + b)n, en el que aparece por primera vez la curva de la distribución de errores, que pasando el
tiempo, y con no cierta injusticia, se conoce como distribución de Gauss.

El modelo matemático más importante en estadística es la distribución normal, ya que provee una descripción
adecuada para la distribución de una gran cantidad de variables continuas.

La distribución normal es en forma de campana, habitualmente llamada distribución de Gauss. Es simétrica en torno
a su media (); la media, mediana y moda son iguales; el área total de la curva por encima del eje basal x es la unidad
del área = 1, por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 0,5. Si se trazan líneas
perpendiculares a un desvío estándar ( ) de distancia de la media, se obtiene un 68% del área de la curva. Dos
desvíos estándar encierran un 95% y tres un 99,7% de la curva. La mayoría de las variables aleatorias que se
presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, Administración, físicas y biológicas, por ejemplo, el
peso de niños recién nacidos, talla de jóvenes de 18 años en una determinada región, son continuas y se distribuyen
 DISTRIBUCION NORMAL
GRAFICA DE LA DISTRIBUCION NORMAL
Donde:
e es la constante 2,7182…(base de los
logaritmos neperianos).
π es 3,1415… (Relación entre la longitud
de la circunferencia y su diámetro).
x es la abscisa, cualquier punto del
intervalo.
µ es la media de la variable aleatoria.
σ es la desviación tipo de la variable
aleatoria,
σ2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva.

Dicha curva y tal como vemos en la gráfica,

presenta un apiñamiento de frecuencias
altas en torno a la media, que se alejan de
la misma a medida que ganan en
singularidad. La medida de la distancia al
valor central es indicado por la desviación
tipo o estándar

X  N (  , 2 )
X se distribuye N (normal)(µ,σ2)
 DISTRIBUCION NORMAL
Propiedades de la distribución normal

1.- Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana, queriendo decir que es simétrica

2.- La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre -infinito y +infinito es teóricamente posible.
El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

3.- Es simétrica con respecto a su media . Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de
observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

4.- La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica (σ).
Cuanto mayor sea la desviación típica, sigma σ , más aplanada será la curva de la densidad.

5.- El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es
igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo .(µ-2σ , µ+2σ)

6.- La variable tiene un alcance infinito, pero la mayor parte del área bajo la curva se encuentra a tres desviaciones estándar de
la media.
 DISTRIBUCION NORMAL
DISTRIBUCION NORMAL
ESTANDAR
Por lo tanto X que se distribuye
como normal con media µ y
Para evitar el uso de integrales varianza σ2 se convierte en una
complicadas en el momento de normal con media cero (µ=0) y
calcular probabilidades, se deviacion estandar 1 (σ=1) asi:
traslada la curva sobre el eje
horizontal (standardización) de
modo que la µ sea igual a cero
y la σ sea igual a 1.
X  N (  , 2 )
Se pasa de la variable X a la
variable Z con la siguiente
formula de standarización Z  N ( 0,1 )
xu
Z

 DISTRIBUCION NORMAL
GRAFICA DE LA NORMAL ESTANDAR
50%
50%

F ( Z )  P( Z  z )

Como la curva es simétrica respecto a la media, a cada lado de esta se tiene un área del 50%.

La tabla normal entrega el área a la izquierda de cualquier valor de z . Los valores de z vienen expresados con dos
cifras decimales; la primera cifra se encuentra en la primera columna que va desde - 3.4 a 3.4 . Y la segunda
cifra se busca en la primera fila. Donde se cruzan estos dos valores, se encuentra la probabilidad buscada.
 DISTRIBUCION NORMAL
EJEMPLO
X  N ( 31,3 2 )
Para una distribución normal
con media µ=31 y desviación Estandarizamos a X así:

standard σ = 3 calcular xu

Z

P (X  26) ?
 X   26  31   5
P    P Z     P( Z  1.67 )
Solución   3   3

Sea X la v.a que se distribuye P( X  26 )  P( Z  1.67 )

normal. Para calcular la Buscando en la tabla normal se tiene
probabilidad debemos
P( Z  1.67 )  0.0475
estandarizar.
 DISTRIBUCION NORMAL
Como se trata de una variable continua se puede considerar que todas las propiedades de las
v.a continuas se cumplen también con la normal veamos algunas de ellas

1...P( X  k )  P( X  k )
2...P( a  X  b )  P( a  X  b )  P( X  b )  P( X  a )  F ( b )  F ( a )
3...P( X  k )  1  P( X  k )

La tabla de la distribución normal estándar

solo calcula probabilidades para: P( Z  k )
 DISTRIBUCION NORMAL

EJEMPLO SOLUCION
Sea X = Vida útil en horas.
Un fabricante de transformadores de
corriente, asegura que los aparatos que P( X  95000)  1  P( X  95000) 
vende tienen una vida útil media de
80.000 horas y desviación estándar de  x   95000  80000 
1  P  
8000 horas, suponiendo que la vida útil se   8000 
distribuye normalmente. 1  PZ  1.87  por tabla
1 - 0.9693  0.0307
Cuál es la probabilidad de que un
transformador dure más de 95000 horas?
 DISTRIBUCION NORMAL
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Un almacén ha encontrado que sólo 3 de cada 10 clientes que entran compran algún articulo. Si en un momento
determinado entran 15 personas, hallar la probabilidad de que:
a) al menos dos compren ( R . 0.9647)
b) ninguno compre (R. 0.0047)
c) todos compren (R. 0)
d) 8 compren( R. 0.0348)

2. En un periódico aparecen en promedio 0.5 errores tipográficos por página. Hallar la probabilidad de que si se leen
cinco páginas de dicho periódico, se encuentren:
a) más de dos errores. (R. 0.4562)
b) tres errores (R. 0.2138)
c) ningún error.
d) a la suma 3 errores
e) más de dos pero menos de cinco errores
 DISTRIBUCION NORMAL

El tiempo necesario para fabricar una unidad del producto A está distribuido
normalmente con media de 50 minutos y desviación Standard de 5
minutos. Se deben fabricar 10000 unidades. Cuántas unidades requieren:

a)más de 55 minutos (R. 1587)

b) menos de 46 minutos (R. 2119)
c) más de 48 minutos, pero menos de 58 ( R. 6006)