Dr.

Gustavo Herrera Sánchez

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PUEBLA

CARRERA DE MANTENIMIENTO INDUSTRIAL

INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL

ANTOLOGÍA DE
OPTATIVA I
ESTADÍSTICA INDUSTRIAL

DR. GUSTAVO HERRERA SÁNCHEZ

Enero 2019

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 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

Objetivo de la asignatura
El alumno planteará diseños de experimentos estadísticos mediante el procesamiento
de datos, así como su análisis de los factores que intervienen para la toma de
decisiones.

Competencias a desarrollar
Plantear y solucionar problemas con base en los principios y teorías de física, química y
matemáticas, a través del método científico para sustentar la toma de decisiones en los
ámbitos científico y tecnológico.

CONTENIDO
Horas
Unidades Temáticas
Prácticas Teóricas Totales
I. Regresión 10 5 15
II. ANOVA 15 5 20
III. Diseño de Experimentos (DOE) 15 5 20
IV. Confiabilidad 15 5 20
Totales 55 20 75

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Unidad 4 Confiabilidad

Objetivo. El alumno aplicará modelos de confiabilidad a sistemas y equipos de

producción para optimizar los requerimientos de mantenimiento, mediante el cálculo de
indicadores de confiabilidad.

5.1 Mantenibilidad

La mantenibilidad es la característica inherente de un elemento o sistema, asociada a

su capacidad de ser recuperado para el servicio cuando se realiza la tarea de
mantenimiento necesaria bajo condiciones prescritas, con procedimientos y medios
adecuados, la cual restablece su función original nuevamente.

Para que un sistema o equipo sea susceptible de ser mantenido deben cumplirse una
serie de condiciones ver siguiente figura. Condiciones para que un equipo o sistema
sea mantenido.

Si las condiciones necesarias para que un equipo o sistema sea susceptible de ser
mantenido se cumplen en su totalidad entonces es posible estimar la mantenibilidad.

Las medidas mediante las cuales se puede describir la mantenibilidad están

relacionadas con el tiempo en el cual el sistema se encuentra en reparación (TTR) y
debido a que este tiempo no es constante se utilizan medidas tales como: Tiempo
medio entre fallas (MTBF), Tiempo de recuperación o reparación (TTR), Tiempo medio
de recuperación MTTR, la función de mantenibilidad, la realización de la recuperación

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RS (t1, t2) y el tiempo porcentual de recuperación TTR%. Estas son consideradas

variables aleatorias y sólo pueden ser descritas de forma probabilística, para esto se
utilizan herramientas estadísticas, tales como: función de densidad, función de
distribución, tasa de fallos, etc.

Las distribuciones de probabilidad que se utilizan para la determinación de la

mantenibilidad son:

Normal: Cuando el tiempo total de reparación es ocupado mayormente en tareas de

desarme – armado.

Exponencial: Para aquellas situaciones en que el diagnóstico y el tiempo medio de

reparación (MTTR) son bajos.

Logonormal: Para casos en los que el tiempo total de reparación está constituido por
varios tiempos diferentes, diagnóstico, desarme y armado, disponibilidad de los
repuestos y herramientas, etc.; y, además, cuando la relación entre ellos no sigue un
patrón definido.

Weibull: En particular esta distribución es la más flexible para adaptarse a los datos,
por contar tres parámetros (forma, escala & posición)

En la tabla siguiente se muestran las distribuciones de probabilidad utilizadas.

Tabla resumen que relaciona el tipo de distribución con el rango de posibles valores
disponibles en función de K
Período Ratio de fallas Mecanismo de falla Distribución
Arranque o Paradas administrativas
Descendente Weibull
inicio Esfuerzo
Operación Fatiga Exponencial y
Constante
normal Corrosión Weibull
Desgaste Normal.
Reparación Ascendente Desgaste Weibull y
general Lognormal

La mantenibilidad es la probabilidad de que un elemento, máquina o dispositivo,

pueda regresar nuevamente a su estado de funcionamiento normal después de una
avería, falla o interrupción productiva (funcional o de servicio), mediante una reparación
que implica la realización de unas tareas de mantenimiento, para eliminar las causas
inmediatas que generan interrupción.

Distribución Exponencial 𝑀(𝑡) = 1 − 𝑒 −𝜇𝑡

Donde:

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𝜇 = Tasa de reparaciones o número de reparaciones efectuadas con relación al total de

horas de reparación del equipo.
1
𝜇=
𝑇𝑀𝑃𝑅

𝑡 = tiempo previsto de reparación.

𝑡 𝛼
−( )
Distribución de Weibull 𝑀(𝑡) = 1 − 𝑒 𝛽

Donde:

𝛼 es el parámetro de forma para la distribución Weibull, se tiene que determinar

𝛽 es el parámetro de escala para la distribución Weibull, se tiene que determinar

Ejemplo 45. Un ingeniero en mantenimiento industrial ha analizado los datos de tiempo

para reparar una máquina inyectora durante el año pasado. Ha investigado los datos se
comportan como una distribución de probabilidad exponencial. Si TMPR = 2.5 horas,
calcular:

A) La probabilidad de que la máquina inyectora sea reparada en 1.5 horas

B) La probabilidad de que la máquina sea reparada en 4.25 horas
C) La probabilidad de que la máquina sea reparada entre 1.0 a 3 horas.

Nota: en Excel utilizar la fórmula =distr.exp.n(x, lambda, acumulativo)

En minitab

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Gráfica de distribución
Exponencial, Escala=2.5, Valor umbral=0

0.4

0.3 0.4512

Densidad
0.2

0.1

0.0
0 1.5
X

Ejemplo 46. Un ingeniero en mantenimiento industrial tiene datos de fallas de un

compresor y sabe que los datos son de una distribución de probabilidad de Weibull con
parámetros  = 2.0 y  = 1.2. Determine lo siguiente:

A) La probabilidad de que el compresor sea reparado en 2.5 horas

B) La probabilidad de que el compresor sea reparado en 1.5 hora
C) La probabilidad de que el compresor sea reparado en menos de 2 horas

Nota: en Excel utilizar la fórmula =distr.weibull(x, alfa, beta, acumulativo)

En minitab: Gráfica + gráfica de distribución de probabilidad + ver probabilidad +

seleccionar la distribución de probabilidad (normal, lognormal, exponencial, Weibull) y
llenar parámetros correspondientes + área sombreada, llenar parámetros
correspondientes.

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Gráfica de distribución
Weibull, Forma=2, Escala=1.2, Valor umbral=0
0.8

0.7

0.6 0.9870

0.5
Densidad

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0
0 2.5
X

Ejemplo 47. Un técnico en mantenimiento tiene que reparar una línea de pintura
industrial. Los datos históricos muestran que provienen de una distribución normal con
una media de 2.75 horas y una desviación estándar de 0.95 horas. Encuentre las
siguientes probabilidades:

A) La reparación se realice en menos de 1.5 horas

B) La reparación se realice en más de 1.5 horas
C) La reparación sea entre 2.0 y 2.7 horas

Ejemplo 48. En una empresa anodizadora de aluminio sus líneas de producción

presentan los siguientes tiempos de falla (días) y el tiempo sin que fallen. Calcule la
disponibilidad de las líneas de anodizado. ¿Cuál será la mantenibilidad de las líneas si t
= 12 días?

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Operación 250 Comentarios

Falla 9 Falla eléctrica
Operación 360
Falla 6 Falla en elevadores
Operación 200
Falla 2 Falla en bombas
Operación 120

En minitab: Para la mantenibilidad, primero se seleccionan los datos de la falla y en

forma de columna se escriben en minitab:

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Se selecciona la distribución con el menor valor de Anderson – Darling (ajust). En este

caso, es la distribución normal. Se calcula la probabilidad

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Análisis de distribución: Fallas

Variable: Fallas

Información de censura Conteo

Valor no censurado 3

Método de cálculo: Máxima verosimilitud

Distribución: Normal

Cálculos del parámetro

Error IC normal de 95.0%

Parámetro Estimación estándar Inferior Superior
Media 5.66667 1.65552 2.42191 8.91142
Desv.Est. 2.86744 1.17063 1.28823 6.38258

Log-verosimilitud = -7.417

Bondad de ajuste
Anderson-Darling (ajustado) = 3.659

Características de distribución

Error IC normal de 95.0%

Estimaciones estándar Inferior Superior
Media(MTTF) 5.66667 1.65552 2.42191 8.91142
Desviación estándar 2.86744 1.17063 1.28823 6.38258
Mediana 5.66667 1.65552 2.42191 8.91142
Primer cuartil(Q1) 3.73261 1.83417 0.137703 7.32751
Tercer cuartil(Q3) 7.60073 1.83417 4.00582 11.1956
Rango intercuartil(IQR) 3.86812 1.57915 1.73779 8.60997

Tabla de percentiles

Error IC normal de 95.0%

Porcentaje Percentil estándar Inferior Superior
1 -1.00400 3.18701 -7.25043 5.24243
2 -0.222339 2.91904 -5.94356 5.49888
3 0.273601 2.75468 -5.12548 5.67268
4 0.646676 2.63454 -4.51692 5.81028
5 0.950145 2.53936 -4.02690 5.92719
6 1.20844 2.46036 -3.61377 6.03066
7 1.43492 2.39277 -3.25482 6.12467
8 1.63771 2.33370 -2.93626 6.21168
9 1.82213 2.28126 -2.64906 6.29332
10 1.99189 2.23414 -2.38695 6.37074
20 3.25337 1.92650 -0.522508 7.02924
30 4.16298 1.76567 0.702331 7.62363
40 4.94021 1.68187 1.64380 8.23662
50 5.66667 1.65552 2.42191 8.91142
60 6.39312 1.68187 3.09671 9.68954
70 7.17035 1.76567 3.70971 10.6310
80 8.07997 1.92650 4.30409 11.8558
90 9.34144 2.23414 4.96260 13.7203
91 9.51120 2.28126 5.04001 13.9824
92 9.69563 2.33370 5.12166 14.2696
93 9.89841 2.39277 5.20867 14.5882

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94 10.1249 2.46036 5.30267 14.9471

95 10.3832 2.53936 5.40614 15.3602
96 10.6867 2.63454 5.52306 15.8503
97 11.0597 2.75468 5.66066 16.4588
98 11.5557 2.91904 5.83446 17.2769
99 12.3373 3.18701 6.09091 18.5838

Tabla de probabilidades de falla acumuladas

IC normal de 95.0%
Tiempo Probabilidad Inferior Superior
12 0.986402 0.543864 0.99999

Ejemplo 49. El jefe de mantenimiento de una empresa del sector automotriz, está
analizando los indicadores de CDM de los últimos años para un laminador de barras de
fierro. Para recolectó la siguiente información:

Evento Tiempo en horas

Operación 110
Reparación 2
Operación 330
Reparación 3
Operación 120
Reparación 34
Operación 290
Reparación 3
Operación 220
Reparación 9
Operación 220

Determinar lo siguiente:

A) TMEF
B) TMPR
C) La disponibilidad
D) De acuerdo a los datos de operación establezca que tipo de distribución de
probabilidad para la confiabilidad.
E) Establezca los parámetros pertinentes de la distribución de probabilidad
F) Cuál es la probabilidad de que el laminador cumpla una misión de 250 horas
G) De acuerdo a los datos de reparación establezca que tipo de distribución de
probabilidad para la mantenibilidad
H) Establezca los parámetros pertinentes de la distribución de probabilidad
I) Cuál es la probabilidad de que el laminador sea reparado en 5 horas.

Ejemplo 50. La tabla a continuación muestra las intervenciones de mantenimiento a un

equipo alimentador de fluido a la tolva de un proceso productivo químico. Con base en
los datos de la tabla construya y calcule:

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falla Tiempo (días) Causa raíz Costo reparación

Operación 234
Reparación Pérdida de eficiencia térmica (limpieza) 2 Fluido sucío 1200

Operación 143
Reparación Contaminación de fluido (fuga por los tubos) 5 Corrosividad 3500

Operación 272
Reparación Contaminación de fluido (remandrilaje) 3 Limpieza de los “groves” 2000

Operación 186
Reparación Pérdida de eficiencia térmica (limpieza) 2 Fluido sucio 1200

Operación 256

Reparación Pérdida de eficiencia térmica (limpieza) 3 Fluido sucío 1200

Operación 142

Reparación Contaminación de fluido (fuga por los tubos) 4 Corrosividad 2900

Operación 244

Reparación Pérdida de eficiencia térmica (limpieza) 2 Fluído sucio 1000

Operación 146

Reparación Contaminación de fluido (remandrilaje) 4 Limpieza de los “groves” 1800

Operación 312

Reparación Contaminación de fluido (fuga por los tubos) 6 Corrosividad 3200

A) TMEF
B) TMPR
C) La disponibilidad
D) De acuerdo a los datos de operación establezca que tipo de distribución de
probabilidad para la confiabilidad.
E) Establezca los parámetros pertinentes de la distribución de probabilidad
F) Cuál es la probabilidad de que el laminador cumpla una misión de 300 días
G) De acuerdo a los datos de reparación establezca que tipo de distribución de
probabilidad para la mantenibilidad
H) Establezca los parámetros pertinentes de la distribución de probabilidad
I) Cuál es la probabilidad de que el laminador sea reparado en 1 día

Ejemplo 51. Un ingeniero en mantenimiento industrial quiere determinar la vida útil de

una batería utilizada en un proceso industrial. Se tiene la siguiente muestra de los
tiempos de falla de 40 baterías de un mismo tipo:
Tiempos para falla (años)
1.0132 0.9602 0.8494 0.9938 0.9309
0.9047 0.8218 0.8579 0.8307 0.9606
0.9161 0.6697 0.9438 0.7976 0.8180
1.0665 1.148 0.8221 0.9608 0.8021
0.8575 0.9222 0.8416 1.143 1.1397
1.1172 1.0491 1.2209 1.0193 1.0017
1.0853 1.0351 1.0084 1.0985 0.9032
0.8767 1.0032 0.8174 0.8248 1.1209

Determinar el tipo de distribución de probabilidad del tiempo de falla de la batería.

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5.2 Curva de la bañera, MTBF, MTTF, mantenibilidad, confiabilidad y

disponibilidad

La curva de la bañera es un gráfica que representa los fallos durante el período de

vida útil de un sistema o máquina. Se llama así porque tiene la forma una bañera
cortada a lo largo.

Figura de curva de la bañera o curva de Davies (Bath curve)

En ella se pueden apreciar tres etapas:

• Fallas iníciales o mortalidad infantil: esta etapa se caracteriza por tener una
elevada tasa de fallas que desciende rápidamente con el tiempo. Estas fallas
pueden deberse a diferentes razones como equipos defectuosos, instalaciones
incorrectas, errores de diseño del equipo, desconocimiento del equipo por parte
de los operarios o desconocimiento del procedimiento adecuado, ajuste difícil,
que es preciso revisar en las condiciones reales de funcionamiento hasta dar con
la puesta deseada.
• Fallas normales o madurez o vida útil: etapa con una tasa de errores menor y
constante. Las fallas no se producen debido a causas inherentes al equipo, sino
por causas aleatorias externas. Estas causas pueden ser accidentes fortuitos,
mala operación, condiciones inadecuadas u otros.
• Fallas de desgaste o envejecimiento: etapa caracterizada por una tasa de
errores rápidamente creciente. Las fallas se producen por desgaste natural del
equipo debido al transcurso del tiempo.

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Relación entre los indicadores de mantenimiento y la curva de bañera o Davies.

En la siguiente figura se muestran los tiempos importantes, sus siglas y demás

convenciones que se utilizan para la medición y predicción de los indicadores
Confiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad de una máquina o equipo.

Estado de
funcionamiento

TTF TBF
parta
Disponibilidad
Genérica
UT
SoFu SoFu SoFu SoFu SoFu
UT1 f1 UT2 f2 UT3 f3 UT4 f4 UTn fi
Ready Ready
TBF Time 1 Time 2
parta se le suma se le suma
Disponibilidad al UT más al UT más
Inherente o cercano en cercano en
Intrínseca. tiempo tiempo

t
SoFa SoFa SoFa SoFa SoFa

ADT LDT’ iempo

TTR MP o PM
LDT
o MP puede llegar
DT a tener LDT
también

Donde

TTF = Time To Failure = Tiempo hasta Fallar (se usa en equipos que solo fallan una vez, no reparables)
fi = Falla i-ésima
n = número de fallas ocurridas en el tiempo que se revisa, desde f1 hasta fi.
TTR = Time To Repair = Tiempo que demora la reparación neta, sin incluir demoras ni tiempos logísticos, ni tiempos invertidos en
suministros de repuestos o recursos humanos
MTTR = Mean Time To Repair = Tiempo Medio para Reparar =  TTR / n
TBF = Time Between Failures = Tiempo entre Fallas
m = número de eventos de tiempos útiles que ocurren durante el tiempo que se evalúa
MTBF = Mean Time Between Failures = Tiempo Medio entre Fallas =  TBF / m
UT = Up Time = Tiempo Útil en el que equipo funciona correctamente.
MUT = Mean Up Time = Tiempo Medio de Funcionamiento entre Fallas =  UT / m
DT = Down Time = Tiempo no operativo
MDT = Mean Down Time = Tiempo Medio de Indisponibilidad o no funcionamiento entre Fallas =  DT / n
ADT = Administrative Delay Time = retrasos administrativos exógenos a la actividad propia de reparación, diferentes al tiempo activo
neto de la reparación; ejemplos de estos son: suministro de personal especializado, entrenamiento de recursos humanos
requeridos para esa reparación, revisión de manuales de mantenimiento u operación, localización de herramientas,
cumplimiento de procesos y/o procedimientos internos, etc.
LDT’ = Logistics Delay Time = retrasos logísticos la obtención de insumos para la reparación, en los procesos de
mantenimiento o de producción, en los tiempos de suministros, etc. como por ejemplo el tiempo requerido para transporte de
repuestos, o el tiempo que hay que esperar a que se construya un repuesto especial por parte de los fabricantes, etc.
LDT = ADT + LDT’ = Logistic Down Time = Tiempo total logístico que demora la acción propia de reparación o mantenimiento. Son
todos los tiempos exógenos al equipo que retrasan el tiempo activo
MLDT = Mean Logistics Down Time = Tiempo Medio de Tiempos Logísticos de demora
SoFa = State of Failure = Estado de Falla, el equipo no funciona correctamente
SoFu = State of Functioning = Estado de Funcionamiento correcto
MP = PM = Planned Maintenances = Mantenimientos Planeados, pueden ser preventivos o predictivos.
Ready Time = Tiempo de Alistamiento = el equipo o sistema está disponible, opera pero no produce, no está en carga operativa;
funciona mas no produce

Figura que muestra la relación entre tiempos y los eventos en una máquina

Tiempo promedio entre fallas TMEF (MTBF, mean time between failures). En la
práctica, la fiabilidad o confiabilidad se mide como el tiempo promedio entre ciclos de
mantenimiento o el tiempo promedio entre dos fallas consecutivas. Por ejemplo, si
disponemos de un producto de N componentes operando durante un periodo de tiempo
T, y suponemos que en este periodo han fallado varios componentes, algunos en varias
ocasiones, para este caso el componente i-ésimo habrá tenido 𝑛𝑖 fallas, luego el
número promedio de fallas para el producto será:

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𝑁
𝑛𝑖
𝑇𝑀𝐸𝐹 = 𝑀𝑇𝐵𝐹 = ∑
𝑁
𝑖=0

Tiempo promedio hasta la falla TMHF (MTTF, mean time to failure). Es otro
parámetro utilizado junto con la tasa de fallas 𝜆(𝑡) para especificar la calidad de un
componente o de un sistema. Por ejemplo, si se ensayan N elementos idénticos desde
el instante 𝑡 = 0, y se miden los tiempos de funcionamiento de cada uno hasta que se
produzca alguna falla. Entonces el MTTF será el promedio de los tiempos 𝑡𝑖 medidos,
es decir:
∑𝑁
𝑖=1 𝑡𝑖
𝑇𝑀𝐻𝐹 = 𝑀𝑇𝑇𝐹 =
𝑁
Tiempo promedio de reparación o restauración de la falla TMPR (MTTR, mean
time to repair). La tasa promedio de reparación r-ésimo 𝑟𝑖 , es el tiempo en que un
componente, equipo o máquina son reparados.

𝑟𝑖
𝑇𝑀𝑃𝑅 = 𝑀𝑇𝑇𝑅 =
𝑁
Ejemplo 52. Un ingeniero en mantenimiento industrial ha recolectado el tiempo entre
fallas y el tiempo de reparación de la falla de cierta línea de producción. Se desea
determinar los valores MTBF y MTTR.

TBF

tiempo en horas

110 2 110 110 110 26 120 34 110 110 3 110 110 9 110 110

TTR

Solución.

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𝟏𝟏𝟎 + 𝟑𝟑𝟎 + 𝟏𝟐𝟎 + 𝟐𝟐𝟎 + 𝟐𝟐𝟎 + 𝟐𝟐𝟎

𝑴𝑻𝑩𝑭 = 𝑻𝑴𝑬𝑭 = = 𝟐𝟎𝟑. 𝟑𝟑
𝟔
𝟐 + 𝟐𝟔 + 𝟑𝟒 + 𝟑 + 𝟗
𝑴𝑻𝑻𝑹 = 𝑻𝑴𝑷𝑹 = = 𝟏𝟒. 𝟖
𝟓

Disponibilidad. Es la probabilidad de un sistema funcione satisfactoriamente en el

momento en que sea requerido después del comienzo de su operación, cuando se usa
bajo condiciones estables. Está formula sólo toma en cuenta factores que corresponden
a la máquina, ningún factor exógeno es examinado.

𝑇𝑀𝐸𝐹
𝐷𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 =
𝑇𝑀𝐸𝐹 + 𝑇𝑀𝑃𝑅

Ejemplo 53. Con los datos del ejemplo 52, determine la disponibilidad de la línea de
producción.

203.33
𝐷𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = = 93.21%
203.33 + 14.8

Confiabilidad o fiabilidad se define como la probabilidad de que un bien funcione

adecuadamente durante un periodo determinado bajo condiciones operativas
específicas, por ejemplo condiciones de presión, temperatura, velocidad, tensión o
forma de una onda eléctrica, nivel de vibraciones, etc.

Si la confiabilidad la definimos como 𝐶(𝑡), también indica por la notación 𝑅(𝑡) o 𝐹(𝑡),
sea 𝑃(𝑡) la probabilidad de falla entre 0 y t; entonces:

𝐶(𝑡) = 1 − 𝑃(𝑡)

𝑅(𝑡) = 1 − 𝐹(𝑡) = 1 − 𝜆(𝑡)

Para el cálculo de la fiabilidad de los equipos se tiene que conocer qué tipo de
distribución de probabilidad. Esto se realiza mediante la observación estadística de los
datos obtenidos de TMEF y TMPR.

De acuerdo a Mora (2009), los criterios para el uso de las distribuciones de probabilidad
para estimar CMD (Confiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad) son las siguientes:

Distribución Criterios
Normal - Describe fenómenos de envejecimiento de equipos

16
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- Describe fenómenos de modelos de fatiga

- Describe fenómenos naturales
- Los componentes son afectados desde un comienzo por el desgaste
- Las reparaciones constituyen un intercambio de piezas estándar
- Las fallas aleatorias y que no dependan del tiempo que lleve en
funcionamiento
- Describe situaciones de función de tasa de fallas constante
Exponencial - El componente usado que aún no ha fallado, es estadísticamente tan
bueno como un componente nuevo
- Modelar componentes electrónicos. Es un caso particular de la Gamma
cuando 𝛽 = 1
- Es la única función de probabilidad que puede utilizarse para representar
cualquier tipo de distribución
Weibull - Representar la vida de los componentes
- Vida de servicio de tubos y equipos electrónicos
- Conveniente para caracterizar los tiempos de falla de equipos durante
periodos de mortalidad infantil.
Gamma - Adecuada para representar sistemas con componentes stand by
(redundancia)
- Describe bien cuando la mayor parte de las intervenciones son de corta
duración
Lognormal - Aplicada para equipos electrónicos y electromecánicos
- Se aproxima a la distribución exponencial, y siendo ésta mucho más
sencilla de manejar, es esta última la que más se utiliza.
Binomial - Se aplica en eventos mutuamente excluyentes, falla o no falla
- Frecuentemente usada en gestión de inventarios
Poisson - Se usa también en lugar de la distribución binomial cuando se manejan
probabilidades de fallas bajas
Beta - Usada principalmente en procesos acotados en dos extremos
Erlang - Es un caso especial de la distribución Gamma, K entero
Rayleigh - Es un caso especial de la distribución Weibull, 𝛽 = 2
Chi - Es un caso especial de la distribución Gamma,  = 0 0.5 y  =2a
cuadrada
Valores - Es usada en modelos que limitan los valores máximos y mínimos
extremos

Como aumentar los indicadores CMD del equipo:

Aumentando TMEF
• Reduciendo el mantenimiento preventivo al mínimo necesario
• Adoptando técnicas predictivas donde sea posible
• Practicando desarrollo de ingeniería de mantenimiento

Minimizando TMPR
• Practicando desarrollo de ingeniería de mantenimiento
• Mejorando la capacitación de personal (propio y contratado)
• Practicando una buena planificación y coordinación de servicios

17
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

La siguiente figura muestra la relación que existe entre los conceptos mencionados en
este apartado.

5.3 Confiabilidad de sistemas en serie y con redundancia activa o de reserva.

El problema básico de la confiabilidad de sistemas consiste en el cálculo de la

confiabilidad 𝑅(𝑡), a partir de las confiabilidades 𝑅1 (𝑡), 𝑅2 (𝑡), … , 𝑅𝑛 (𝑡).

Tasa de fallas (𝝀)

Una tasa de fallas (𝜆, letra griega llamada lambda) es definida como el inverso del
TMEF

1
=
𝑇𝑀𝐸𝐹

Sistemas en serie
Se denomina sistema en serie a aquél por el cual la falla del sistema equivale al de un
sólo componente, es decir, el sistema funciona sí, todos los componentes funcionan
correctamente.

1 2 3

En estas condiciones, la probabilidad de que el sistema funcione depende de la regla

especial para probabilidades, y tenemos que donde 𝑅𝑡 es la confiabilidad del i-ésimo
componente y 𝑅𝑖 es la confiabilidad del sistema en serie. Esta es la ley simple del
producto de confiabilidades

18
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

𝑅(𝑡) = ∏𝑛𝑖=1 𝑅𝑖 = 𝑅(𝑡) = 𝑅1 (𝑡), 𝑅2 (𝑡), … , 𝑅𝑛 (𝑡)

En una configuración en serie, la confiabilidad se puede aumentar mediante:

– la reducción del número de componentes,

– la elección de componentes con una tasa de fallas baja o una confiabilidad alta.

Ejemplo 54. Sean 𝑃1 = 5%, 𝑃2 = 10% y 𝑃3 = 15% las probabilidades de falla de cada
componente del sistema. ¿Cuál es la confiabilidad del sistema en serie?

Este sistema opera mientras todos operen. Por tanto, sus confiabilidades se multiplican.

𝑅1 = 1 – 𝑃1 = 1 – 0.05 = 0.95
𝑅2 = 1 – 𝑃2 = 1 – 0.10 = 0.90
𝑅3 = 1 – 𝑃3 = 1 – 0.15 = 0.85
𝑅𝑡 = 𝑅1 x 𝑅2 x 𝑅3 = 0.95 x 0.90 x 0.85 = 0.72675 = 72.675%

Probabilidad de falla del sistema → 27.325%

La probabilidad de falla del sistema es mayor que de cada componente. La confiabilidad

del sistema es menor que de cada componente.

Sistemas en paralelo
Un sistema en paralelo se caracteriza porque el sistema falla si todos los componentes
fallan en su operación. Siendo la probabilidad de que se presente este evento el
producto de probabilidades de los eventos componentes. Así, en el caso de sistemas
en paralelo tenemos una ley del producto de inestabilidades:
𝑛

𝑅(𝑡) = 1 − ∏(1 − 𝑅𝑖 (𝑡))

𝑖=1

Ejemplo 55. Sean 𝑃1 = 5%, 𝑃2 = 10% y 𝑃3 = 15% las probabilidades de falla de cada
componente del sistema. ¿Cuál es la probabilidad del sistema en paralelo?

19
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

Este sistema opera hasta que todos los componentes fallen. Por lo tanto, las
probabilidades de falla se multiplican.

𝑃 = 𝑃1 x 𝑃2 x 𝑃3 = 0.05 x 0.10 x 0.15 = 0.00075

𝑅𝑇 = 1 − 𝑃 = 0.99925 = 99.925%

Probabilidad de falla del sistema → 0.00075%

La probabilidad de falla del sistema es menor que de cada componente. La

confiabilidad del sistema es mayor que de cada componente.

Una característica inherente al sistema en paralelo se llama redundancia, es decir,

existe más de un componente para desempeñar una función dada. La redundancia
puede ser de dos clases:

• Redundancia activa. Todos los elementos redundantes están activos

simultáneamente durante la misión u operación.
• Redundancia secuencial (llamada también stand by o pasiva). El elemento
redundante sólo entra en acción cuando se le da la orden como consecuencia de
falla del elemento primario. Hasta que llega ese momento el elemento
redundante ha permanecido inactivo, en reserva, pero ha podido estar:

o Totalmente inactivo.
o Energizado total o parcialmente.

Ejemplo 56. Las bombas A, B, C y D son bombas de carga de una unidad. Para operar
en plena capacidad, es necesario que dos de ellas estén en operación. La probabilidad
de falla de cada componente es de 10%. ¿Cuál es la confiabilidad de la planta con
plena capacidad?

La probabilidad de falla es 𝑃 = 0.1 (10%) y la confiabilidad es 𝑅 = 1 − 0.1 = 0.9 (90%).

Como son cuatro bombas en paralelo, tenemos:

43 + P4= 0.94 + 4(0.93)(0.1) + 6(0.92)(0.12) +

(R + P)4 = R4 + 4R3P + 6R2P2 + 4RP
3
4(0.90)(0.1 ) + 0.1 4

20
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

(R + P)4 = 0.6561 + 0.2916 + 0.0486 + 0.0036 + 0.0001

Las cuatro operando: 0.6561

Tres operando y una parada: 0.2916
Dos operando y dos paradas: 0.0486
Una operando y tres paradas: 0.0036
Ninguna operando: 0.0001

Confiabilidad = 0.6561 + 0.22916 + 0.0486 = 0.9963 = 99.63 %

Planta sin plena carga = 0.0036 + 0.0001 = 0.0037 = 0.37 %

Sistemas mixtos

Ejemplo 57. Siendo P1 = 10%, P2 = 5%, P3 = 15%, P4 = 2% y P5 = 20%, calcule la

confiabilidad del sistema.

1 2 3

4 5

R1 = 1 – 0.10 = 0.90
R2 = 1 – 0.05 = 0.95
R3 = 1 – 0.15 = 0.85
R4 = 1 – 0.02 = 0.98
R5 = 1 – 0.20 = 0.80

R123 = (0.9) (0.95) (0.85) = 0.72675

P123 = 1 – 0.72675 = 0.27325

R45 = (0.98) (0.80) = 0.784

P45 = 1 – 0.784 = 0.216

P123 = 0.27325
P45 = 0.216

Psistema = (0.27325) (0.216) = 0.059022

Rsistema = 1 – 0.0590 = 0.940978 = 94.1%

Ejemplo 58. Un sistema eléctrico cuenta con tres transformadores de distribución

conectados en paralelo para atender una carga. En la figura se muestra el diagrama

21
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

eléctrico y los diagramas de red de confiabilidad para diferentes requerimientos

operativos.

Si la probabilidad de fallar para los transformadores son P1 = 0.01, P2 = 0.05 y P3 =

0.06. Calcule la confiabilidad total de los tres sistemas propuestos.

5.4 Distribuciones Exponencial, Weibull, Lognormal

5.4.1 Análisis de confiabilidad

La teoría de confiabilidad está enfocada a medir, modelar y evaluar aspectos

relacionados con el desempeño de un producto ya después de fabricado. De aquí, que
sea un elemento importante relacionado con la calidad del producto al salir de la fábrica
y ser operado o manejado por el usuario.

Los elementos que intervienen en la confiabilidad son los siguientes: función de

confiabilidad, función de riesgo, tasa de falla instantánea, curva de la bañera,
distribuciones de probabilidad entre otros. A continuación se describen cada uno de
ellos.

Función de confiabilidad. Sea 𝑇 la variable aleatoria que indica el tiempo en que un

producto funciona correctamente hasta que falla. Sea 𝑓(𝑡) la función de densidad de 𝑇.
Entonces:

𝐹(𝑡) = 𝑃(𝑇 ≤ 𝑡) = Probabilidad de que el producto funcione correctamente a lo mucho t

𝑡
unidades de tiempo). Donde 𝐹(𝑡) = ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, pero una función más importante es la
función de confiabilidad definida como;

22
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

𝑡
𝑅(𝑡) = 1 − 𝐹(𝑡) = 1 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0

Entonces, la función de confiabilidad es la probabilidad de que un producto funcione

correctamente por lo menos t unidades de tiempo.

Función de riesgo. Otro concepto importante de la teoría de confiabilidad es la función

riesgo [h(t)] o tasa de falla instantánea (hazard rate), la cual se puede interpretar como
la probabilidad de que un producto falle en el instante 𝑡 dado que está funcionando bien
hasta dicho tiempo 𝑡. La función ℎ(𝑡) se define como;

𝑓(𝑡) 𝑓(𝑡)
ℎ(𝑡) = =
𝑅(𝑡) 1 − 𝐹(𝑡)

La tasa de fallas es de especial interés en la fiabilidad. A través de la observación de la

ℎ(𝑡) se puede aprender acerca de las causas de la falla y sobre la fiabilidad del
elemento.

El comportamiento del patrón de fallas puede presentarse en tres formas básicas:

- Tasa de fallas creciente (IFR, Increasing Failure Rate)

- Tasa de fallas decreciente (DFR, Decreasing Failure Rate)
- Tasa de fallas constante (CFR, Constant Failure Rate)

𝑡
La tasa de fallas acumulada se define como 𝐻(𝑡) = ∫0 ℎ(𝑡)𝑑𝑡

Con esta función se decide si un componente tiene IFR, DFR o CFR, es decir, esta
función se caracteriza por ser una línea recta en caso de CFR, crece más rápido que
una recta si el modelo es IFR y más despacio si es DFR.

Modelos estadísticos utilizados en Fiabilidad

El criterio de elección de un modelo se basará en técnicas descriptivas que se
estudiaron y especialmente en el conocimiento teórico que tengamos del proceso. Este
conocimiento nos permitirá saber en muchas ocasiones que el proceso tiene tasa de
fallas creciente, decreciente o en forma de bañera.

5.4.2 Distribución exponencial

Una variable aleatoria 𝑇 tiene distribución exponencial si su función de densidad es,

𝑒 −𝑡/𝜃
𝑓(𝑡) = , para t > 0,
𝜃

23
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

Donde:
La media es E (T) = θ,
La varianza es V (T) = θ2,
La función de confiabilidad es R (t) = e−t /θ,
La función de riesgo es h (t) = 1/θ

Con θ > 0. Observe que la función de riesgo es constante [h (t) = 1/θ] lo cual significa
que la tasa de falla instantánea es la misma en todo tiempo. Por tal razón se dice que
esta distribución de probabilidad es tal que el producto “no se hace viejo” o no tiene
memoria ya que siempre está igual que nuevo. La figura muestra la gráfica de la función
de densidad de la distribución exponencial.

𝜃=1

𝜃=2

Figura que representa la distribución exponencial con diferentes valores de la escala

Ejemplo 59. Suponer que un aparato electrónico, es tal que el tiempo para fallar (en
horas) se modela con una distribución exponencial. Se sabe que el tiempo medio para
fallar es 1000 horas.

a) Calcular la probabilidad de que el aparato cumpla con una misión de 700 horas.
b) Qué garantía debe dar el fabricante, para que se aplique en el 10% de los
compradores.

Datos:
t = 700 horas
 = 1000 horas
10% es la probabilidad de fallar

a) R (t) = e−t /θ= e-700/1000 = 0.4966

b) Sea r el tiempo de garantía que se va a ofrecer, luego la probabilidad de que falle

antes de r horas, entonces:

F(r) = 1- R (r) = 1 – e –r/1000, como F (r) = 0.10, se despeja r de

0.10 = 1 – e –r/1000
y el resultado es 105.36 horas
24
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

Ejemplo 60. Un sistema usa un componente cuya duración en años es una variable
aleatoria con distribución exponencial con media de 4 años. Si se instalan 3 de estos
componentes y trabajan independientemente, determine la probabilidad que al cabo de
6 años, sigan funcionando y la probabilidad de falla.

Datos:
t = 6 años
 = 4 años

R (t) = e−t /θ= e-6/4 = 0.2231

Ejemplo 61. Se ha realizado un ensayo para estudiar la duración de vida de unos

componentes electrónicos. Para ello se han puesto 20 elementos a prueba y se han
observado hasta el fallo. Los tiempos de vida recogidos han sido los siguientes: 58.91,
158.8, 25.16, 80.26, 77.85, 105.4, 95.97, 87.29, 81.49, 16.39, 79.10, 36.89, 68.05,
21.31, 209.41, 519.26, 34.24, 44.33, 283.2 y 8.33. Determine si es posible utilizar la
distribución exponencial.

Solución. Se elabora un histograma para ver la forma de la distribución.

Histogram of E 80
Exponential
12
Mean 1 04.6
N 20

10

8
Frequency

0
0 1 20 240 360 480
E 80

El histograma muestra que la distribución exponencial es adecuada y con el  = 104.6

se puede estimar otros valores de fiabilidad. Por ejemplo, cuál es probabilidad de que
un componente electrónico dure 200 horas.

R (t) = e−t /θ= e-200/104.6 = 0.1478

25
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

Otra forma es encontrando que distribución mejor se ajusta, por el momento,

utilizaremos minitab. Introducir los datos en forma de columna ir a
estadística+confiabilidad/superviviencia+análisis de distribución (censura por la
derecha)+Gráfica ID de distribución. Seleccionar la columna de los datos y marcar las
cuatro distribuciones.

El resultado es la siguiente gráfica:

Observando la gráfica, la distribución que mejor ajusta los datos es la lognormal, porque
la mayoría de los puntos están sobre la línea recta. También, mediante el coeficiente
Anderson – Darling tiene el menor valor de 0.887.
Ejemplo 62. Un transistor tiene una distribuci6n de tiempo de falla exponencial con
tiempo medio de falla de 20,000 horas. El transistor ha durado 20,000 horas en una

26
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

aplicaci6n particular. ¿Cuál es la probabilidad de que el transistor falle a las 30,000

horas?

5.4.3 Distribución Weibull

Esta distribución se utiliza en muchos fenómenos aleatorios. La principal utilidad de la

distribución de Weibull es que proporciona una aproximación excelente a la ley de
probabilidades de muchas variables aleatorias. Una importante área de aplicación ha
sido como un modelo para el tiempo de falla en componentes y sistemas eléctricos y
mecánicos. La función de densidad es

𝛼 𝑡 𝛼−1 𝑡 𝛼
𝑓(𝑡) = ( ) 𝑒𝑥𝑝 [− ( ) ], para t > 0
𝛽 𝛽 𝛽

Donde  > 0, el parámetro de escala, y  > 0, el parámetro de forma. Si  = 1, este

modelo se reduce al modelo de distribución exponencial. Si  > 1, el modelo tiene forma
acampanada con sesgo positivo.

Para la media y la varianza, si X es una variable aleatoria continua con distribución de

Weibull, entonces

1
 = E(T) =   [1 + ∝]

  2  1 
2 = V [X] = V (T) = 2 1 +  −  2 1 + 
     

La función de confiabilidad y función de riesgo son:

27
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

𝛼 𝑡 𝛼−1
R (t) = exp [-(t/)] = e[-(t/)] y h (t) = 𝛽 (𝛽)

Ejemplo 63. Suponga que la vida útil en horas de un componente electrónico tiene
distribución de Weibull con  = 0.1,  = 0.5. Calcule la probabilidad que dure más de
300 horas.

Datos:
t = 300 horas
= 0.5
= 0.1

R (t) = exp[-(t/)] = exp[-(300/0.5)0.1] = e[-(300/0.5)0.1)] = 0.1501

Distribution Plot
Weibull, Shape=0.1 , Scale=0.5, Thresh=0
0.04

0.03
Density

0.02

0.01

0.1502
0.00
0 300
X

Ejemplo 64. Si un componente tiene la distribución del tiempo de falla de Weibull con
los parámetros α = 0.005 por hora y β = 0.80, encuentre la probabilidad de que
operarán exitosamente durante al menos 5,000 horas.

Ejemplo 65. El tiempo (en horas) de falla de un instrumento electrónico se ajusta a una
distribución Weibull, con  = 0.7 y  = 1000.

(a) Calcular la probabilidad de que cumpla una misión de 800 horas.

(b) Determinar la garantía que debe dar el fabricante para que se aplique en el 10% de
los compradores.
(c) Obtener la media y la desviación estándar del tiempo de vida del instrumento.

Datos:

28
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

t = 800 horas
 = 0.7
 = 1000

(a) R(t) = exp[-(t/)] = exp[-(800/1000)0.7] = 0.425

(b) Sea r el tiempo de garantía, entonces P(T < r) = 1 – exp[-(r/1000)0.7] = 0.1,

despejando r de 0.9 = exp[-r/1000)0.7]
r = [-10000.7ln(0.9)]10/7 = 40.163 horas

1
(c) = E (T) =   [1 + ∝]= 1000 [1+1/0.7] = 1265.824 horas, para calcular la
distribución gamma (), utilizar la función en excel =gamma.ln(1+1/) y el
resultado es el exponente del número e.

1000*e0.2357229 = 1000 * 1.265824 = 1265.824 horas

Para la desviación
  2  1 
2 = V[X] = V (T) = b2 1 +  −  2 1 +  = 10002{exp(gamma.ln(1+2/.07)) –
     
(exp(gamma.ln(1+1/0.7))2} = 3426835.553

 = 1851.17 horas

Para calcular los valores de  y , se pueden estimar fácilmente mediante un método

gráfico o regresión lineal simple, que a continuación se explica. Tenemos que,
R (t) = exp[-(t/)], luego que ln R(t) = -(t/), -ln R(t) = (t/), lnln (1/R(t) = ln(t) –ln().
Entonces, la idea es hacer una regresión lineal simple donde: Y = lnln(1/R), X = ln(t) y
los estimadores son 𝛼̂ = m (la pendiente de la regresión lineal) y −𝛼̂ ln(𝛽̂ ) = 𝑏 (la
ordenada al origen), finalmente 𝛽̂ = 𝑒 −𝑏/𝛼̂ .

Ahora se debe definir como estimar R. Se supone que se tienen n tiempos de vida. Sea
ti los tiempos, donde el subíndice i es el orden en que queda cada tiempo después de
ordenarlos de menor a mayor, luego Ri = 1 – Fi se estima con la formula

𝑖
𝑎. 𝐹𝑖 =
𝑛+1
𝑖 − 0.3
𝑏. 𝐹𝑖 =
𝑛 + 0.4
Para hacerlo se procede de la siguiente manera:

1. Ordenación de los datos de menor a mayor

2. Estimación de la función de distribución mediante la expresión (b) que es más exacta.

29
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

3. Elección del modelo teórico (esto implica utilizar uno u otro tipo de papel probabilístico)
4. Representación de los datos en el papel del modelo teórico hasta que formen una línea
recta
5. Estimación de los parámetros del modelo a partir del gráfico

Ejemplo 66. Se tienen 10 observaciones del tiempo (medido en días) de vida de 10

aparatos: 4.16, 1.06, 6.80, 4.34, 11.19, 7.66, 14.70, 2.91, 6.90, 18.35. Calcular los
parámetros de  y .

Realizando los cálculos en la siguiente tabla.

ln(t) lnln(1/R)
i t F R
x y
1 1.06 0.0673077 0.9326923 0.0582689 -2.663843
2 2.91 0.1634615 0.8365385 1.0681531 -1.723263
3 4.16 0.2596154 0.7403846 1.4255151 -1.202023
4 4.34 0.3557692 0.6442308 1.4678744 -0.821667
5 6.8 0.4519231 0.5480769 1.9169226 -0.508595
6 6.9 0.5480769 0.4519231 1.9315214 -0.230365
7 7.66 0.6442308 0.3557692 2.036012 0.032925
8 11.19 0.7403846 0.2596154 2.4150205 0.2990329
9 14.7 0.8365385 0.1634615 2.6878475 0.5939772
10 18.35 0.9326923 0.0673077 2.9096296 0.9926889

Resolviendo para encontrar la ecuación, tenemos que Y = 1.3185x – 2.8854 y con

R2 = 0.9793 que indica un buen ajuste y que estos son razonables para la distribución
de Weibull.

Finalmente, m = 1.3185, b = -2.8854 y 𝛼̂ = 1.3185 y 𝛽̂ = 𝑒 −𝑏/𝛼̂ . = e –(-2.8854/1.3185) =

8.9181

30
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

lnln(1/R) y y = 1.3185x - 2.8854

1.5 R² = 0.9793
1
0.5
lnln(1/R) 0
-0.5 0 1 2 3 4
lnln(1/R) y
-1
Lineal (lnln(1/R) y)
-1.5
-2
-2.5
-3
ln(t)

Mediante minitab, observamos que la mejor distribución es la de Weibull

Ejemplo 77
LSXY Estimates-Complete Data
C orrelation C oefficient
Weibull Lognormal
Weibull
99
0.990
90
Lognormal
90
0.973
50
E xponential
P er cent

P er cent

50 *
10 N ormal
0.964
10

1 1
0.1 1 10 1 10 100
C5 C5

E xponential N ormal
99
90
90
50
P er cent

P er cent

50
10

10

1 1
0.1 1 10 100 0 10 20
C5 C5

Con minitab, se obtienen los valores correctos de  = 1.34635 y  = 8.84824. Con estos
valores ya se puede calcular la probabilidad de la vida del componente.

31
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

Distribution Overview Plot for C5

LSXY Estimates-Complete Data
Table of S tatistics
P robability Density F unction Weibull
S hape 1.34635
90 S cale 8.84824
0.075
M ean 8.11768
50 S tDev 6.09335

P er cent
P DF
0.050 M edian 6.73954
IQ R 7.77046
10 F ailure 10
0.025 C ensor 0
A D* 1.334
C orrelation 0.990
0.000 1
0 10 20 30 0.1 1 10
C5 C5

S urv iv al F unction H azard F unction

100
0.20
P er cent

0.15

Rate
50

0.10

0 0.05
0 10 20 30 0 10 20 30
C5 C5

5.4.4 Distribución Lognormal

Una variable T tiene una distribución lognormal si su función de densidad es,

1 −(ln 𝑡−𝜇)2
𝑓(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 [ ] para t > 0
𝑡𝜎√2𝜋 2𝜎2

𝜎2
𝐸(𝑇) = 𝑒𝑥𝑝 [𝜇 + ]
2

𝜎2
𝑉(𝑇) = 𝑒𝑥𝑝2 [𝜇 + ] [exp(𝜎 2 ) − 1]
2

𝑙𝑛𝑡 − 𝜇
𝑅(𝑡) = 𝑃𝑟𝑜𝑏 [𝑧 > ]
𝜎

∅[(𝑙𝑛𝑡 − 𝜇)/𝜎]
ℎ(𝑡) =
𝑡𝜎𝑅(𝑡)

Donde z es una variable aleatoria con distribución normal estándar, y  es la función de

densidad de la distribución normal estándar. Si t sigue una distribución lognormal,
entonces ln t sigue una distribución normal con media  y desviación estándar .

Ejemplo 67. El tiempo en días que funciona un foco sigue una distribución lognormal
con  = 2.8 y  = 1.85.

32
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

a) obtener la probabilidad de que cumpla con una misión de 60 días.

b) determinar la garantía que debe ofrecerse para que se aplique en el 10% de los
compradores.
c) obtener la media y desviación estándar.

Datos:
 = 2.8
 = 1.85
P = 10%
t = 60 días

Solución

𝑙𝑛𝑡− 𝜇 ln(60)−2.8
a) 𝑅(𝑡) = 𝑃𝑟𝑜𝑏 [𝑧 > ] = [𝑧 > ] = [𝑧 > 0.6996], buscando en tablas el valor
𝜎 1.85
de z, obtenemos que P = 1- P (0.6996) = 0.2421.

b) Se debe encontrar un r tal que P (T < r) = 1 – R(r) = 0.10, entonces F(r) = 0.10,
luego tenemos que buscar una zr tal que su probabilidad acumulada sea 0.10.
entonces

zr = -1.2816.

ln 𝑟−2.8
−1.2816 = 1.85

(−1.2816)(1.85) = ln 𝑟 − 2.8

(−0.42904 = ln 𝑟 ) 𝑒

r = e -0.42904 = 1.536 días

𝜎2
c) Para la media 𝐸(𝑇) = 𝑒𝑥𝑝 [𝜇 + ]= exp [2.8 + (1.85)2 / 2] = 91.036 días
2
𝜎2
𝑉(𝑇) = 𝑒𝑥𝑝2 [𝜇 + ] [exp(𝜎 2 ) − 1] = exp2 [91.036][exp(1.85)2 – 1 ] = 245689.787
2
 = 495.67 días.

Los parámetros  y  se estiman directamente mediante el promedio muestral y la

desviación estándar muestral de ln t, es decir, sea t1, t2, t3,…, tn los tiempos de vida de
la muestra. Luego, los datos originales se transforman en ln (t1), ln(t2), …, ln (tn).
Finalmente,  se estima mediante el promedio de los ln(ti) y  mediante la desviación
estándar muestral de los ln (ti).

Ejemplo 68. Tres componentes deben funcionar para que un sistema simple funcione,
conectado en serie. Las variables aleatorias T1, T2 y T3 que representan el tiempo de
falla para los componentes son independientes. El primer componente tiene como datos
m = 2000 horas y s = 200 horas (distribución normal), segundo componente g = 0, b = 1

33
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

y a = 1/7 (distribución de Weibull) y tercer componente m = 10 horas s 2 = 4 horas

(distribución lognormal). Si se requiere saber después de 2187 horas, ¿cuál es la
fiabilidad del sistema?

34
 Dr. Gustavo Herrera Sánchez

Bibliografía

Título del
Autor Año Ciudad País Editorial
Documento
Montgomery, Douglas Diseño y Análisis LIMUSA
(2004) México México
C. de Experimentos WILEY
Probabilidad y
Hines W.W.,
(2002) Estadística para México México CECSA
Montgomery D.C.
Ingeniería
Probabilidad y
Pearson
Miller I., Freud J. E. (2012) Estadística para México México
Educación
Ingenieros
Probabilidad y
Walpole R. E., Myers
estadística para Pearson
R. H., S. L. Myers, Ye (2007) México México
ingeniería y Educación
K.
ciencias
Probabilidad y
estadística para Pearson
Devore, Jay L. (2011) México México
ingeniería en Educación
ciencias

Mendenhall W., Introducción a la

Cengage
Beaver R. J., Beaver (2006) probabilidad y México México
Learning
B. M. estadística

Probabilidad y
Murray Spiegel (2010) México México McGraw-Hill
estadística
Wackerly, Dennis
Estadística
D./Mendenhall, Pearson
(2010) Matemática con México México
Wililiam/Scheaffer Educación
Aplicaciones
Richard L.

35