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    Jelepere - 9. Clase 9. Teorema de Liuville y Teorema de Morera

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    El documento presenta varios teoremas fundamentales sobre funciones analíticas. El Teorema de Liouville establece que si una función es holomorfa y acotada en todo el plano complejo, entonces es constante. El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio no constante tiene al menos una raíz. El Teorema de Morera caracteriza las funciones holomorfas mediante la integral de línea. Finalmente, el Teorema de Weierstrass trata sobre la convergencia uniforme de sucesiones de funciones analíticas.

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    El documento presenta varios teoremas fundamentales sobre funciones analíticas. El Teorema de Liouville establece que si una función es holomorfa y acotada en todo el plano complejo, entonces es constante. El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio no constante tiene al menos una raíz. El Teorema de Morera caracteriza las funciones holomorfas mediante la integral de línea. Finalmente, el Teorema de Weierstrass trata sobre la convergencia uniforme de sucesiones de funciones analíticas.

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    El documento presenta varios teoremas fundamentales sobre funciones analíticas. El Teorema de Liouville establece que si una función es holomorfa y acotada en todo el plano complejo, entonces es constante. El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio no constante tiene al menos una raíz. El Teorema de Morera caracteriza las funciones holomorfas mediante la integral de línea. Finalmente, el Teorema de Weierstrass trata sobre la convergencia uniforme de sucesiones de funciones analíticas.

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    2.7.

    TEOREMA DE LIOUVILLE Y TEOREMA DE MORERA 39

    2.7. Teorema de Liouville y Teorema de Morera


    Teorema 2.7.1 (Teorema de Liouville). Si f ∈ H(C) es acotada, entonces f es constante.
    Demostración. Por el Teorema 2.6.7, f es representable por series de potencias. De hecho, sigue
    de la demostración del Teorema 2.6.7 que
    
    ∞
    f (z) = cn z n para todo z ∈ C.
    n=0

    Por hipótesis, existe C > 0 tal que


    |f (z)| ≤ C para todo z ∈ C.
    Por las desigualdades de Cauchy, para cada n ∈ N y cada r > 0 se tiene que
     (n) 
    f (0) C
    |cn | = ≤ n.
    n! r
    Haciendo r → ∞ vemos que cn = 0 para cada n > 0. Luego f (z) = c0 para cada z ∈ C.

    Teorema 2.7.2 (Teorema Fundamental del Álgebra). Si P : C → C es un polinomio no cons-


    tante, entonces existe z ∈ C tal que P (z) = 0.
    Demostración. Supongamos que P (z) = 0 para cada z ∈ C. Entonces la función f (z) = 1/P (z)
    es holomorfa en C. Si
    P (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + . . . + an z n ,
    con n > 0 y an = 0. Entonces
    a 
     0 a1 
    lı́m |P (z)| = lı́m |z|n  n + n−1 + . . . + an  = ∞,
    |z|→∞ |z|→∞ z z
    por lo tanto lı́m|z|→∞ |f (z)| = 0. Sigue que f es acotada en C. Por el Teorema de Liouville f es
    constante, lo que implica que P es constante. Absurdo.

    Teorema 2.7.3 (Teorema de Morera). Sea U un abierto en C, y sea f : U → C una función


    continua tal que ˆ
    f (z)dz = 0,
    ∂Δ
    para cada triangulo cerrado  ⊂ U. Entonces f ∈ H(U ).
    Demostración. Sea V un subconjunto abierto y convexo de U . Fijemos p ∈ V, y definamos F :
    V → C por ˆ
    F (z) = f (ζ)dζ.
    [p,z]
    
    Entonces se tiene que F (z) = f (z) para cada z ∈ V, y en particular F ∈ H(V ). Sigue del
    Corolario 2.6.8 que f = F  ∈ H(V ). Como U es unión de abiertos convexos, concluimos que
    f ∈ H(U ).
    40 CAPÍTULO 2. FUNCIONES ANALÍTICAS

    Corolario 2.7.4. Sea U abierto en C, sea p ∈ U , y sea f : U → C una función que es continua en
    U y holomorfa en U \{p}. Entonces f ∈ H(U ).

    Demostración. Por el Teorema 2.6.4 se tiene que


    ˆ
    f (z)dz = 0,
    ∂

    para cada triángulo cerrado  ⊂ U. Por el Teorema de Morera f ∈ H(U ).

    Teorema 2.7.5 (Teorema de Weierstrass). Sea U abierto en C, y sea (fn )∞


    n=1 una sucesión en
    H(U ) que converge a una función f : U → C uniformemente sobre cada compacto de U . Enton-
    ces:

    a). f ∈ H(U ).
     ∞
    (k)
    b). Para cada k ∈ N, la sucesión fn converge a f (k) uniformemente sobre cada compac-
    n=1
    to de U .

    Demostración. a). Sea  un triangulo cerrado contenido en U . Sigue de la Proposición 2.5.16


    y del Teorema 2.6.4 que
    ˆ ˆ
    f (z)dz = lı́m fn (z)dz = 0.
    ∂Δ n→∞ ∂Δ

    Por el Teorema de Morera f ∈ H(U ).

    b). Sea B̄(a, 2r) ⊂ U. Entonces B̄(z, r) ⊂ B̄(a, 2r) para cada z ∈ B̄(a, r). Sigue de las de-
    sigualdades de Cauchy que

     
     (k) (k) 
    fn (z) − f (z)
    ≤ r−k sup{|fn (ζ) − f (ζ)|; |ζ − z| = r}
    k!
    1
    ≤ sup |fn (z) − f (z)| ,
    rk |z−a|≤2r

    así,
    1   1
    sup fn(k) (z) − f (k) (z) ≤ k sup |fn (z) − f (z)| ,
    k! |z−a|≤r r |z−a|≤2r
     ∞
    (k)
    para todo n, k ∈ N. Luego, para cada k, la sucesión fn converge para f (k) uniforme-
    n=1
    mente para cada bola B(a, r). Como cada compacto K ⊂ U está contenido
      en la unión de ∞
    (k)
    un numero finito de bolas B(a, r) tales que B̄(a, 2r) ⊂ U , sigue que fn converge a
    n=1
    f (k) uniformemente sobre K.

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