Taller 1

Taller 1
Calculo Multivariado
Profesor John Jairo Forero Gonzalez
1) EL Área en coordenadas polares se determinan por las regiones que encierra los círculos que se entrelazan por las
ecuaciones, debido a sus coordenadas de radio y ángulo con respecto al polo. Y podemos convertir esas ecuaciones a
expresiones cartesianas para mirar cómo se comporta en el plano con las ecuaciones que convierten los ejes X y Y a polares.
El área que queda dentro de una o más circunferencias entrelazadas es

𝑟 = 2 acos 𝜑
𝑟 = 2 asin 𝜑 𝑦 𝑟 = 𝑎
estas se dividen en siete regiones. Graficar la figura y encontrar el área de cada región
Se colocan cuatro insectos en cuatro esquinas de un cuadrado con longitud a. Los insectos avanzan en sentido contrario a
las manecillas del reloj a la misma rapidez, y cada uno avanza directamente hacia el siguiente insecto todo el tiempo. Se
aproximan al centro del cuadrado a lo largo de trayectorias espirales.
(a) Obtenga la ecuación polar de la trayectoria de un insecto al suponer que el polo está en el centro del cuadrado. (Use el
hecho de que la recta que une a un insecto con el siguiente es tangente a la trayectoria del insecto.)
(b) Encuentre la distancia recorrida por un insecto hasta el momento que se encuentra con los otros insectos en el centro.
Desde la Antigüedad clásica los filósofos, matemáticos y astrónomos griegos trataron de explicar el movimiento de los
planetas y las estrellas tal y como los vemos desde la Tierra. Existían dos modelos para describir dicho movimiento:
• Sistema geocéntrico: La Tierra se encontraba en el centro del Universo y, alrededor, el resto de astros. La mayoría
de los filósofos griegos como Platón, Aristóteles o Ptolomeo defendían este modelo
• Sistema heliocéntrico: El Sol se encontraba en el centro del Universo y, alrededor, la Tierra y el resto de astros.
Galileo fue, en el S. XVII, el principal difusor de esta teoría, basándose en trabajos realizados por Nicolás Copérnico
En el año 1600 un joven Johannes Kepler (1571 - 1630) fue a trabajar como ayudante matemático de Tycho Brahe (1546 -
1601), quién había estado recopilando exhaustivamente datos astronómicos sobre la posición de los planetas en el cielo. A
la muerte de Brahe, y a partir de los datos recopilados, Kepler intentó obtener la órbita circular de Marte. Sin embargo,
ningún círculo se ajustaba a las medidas de Tycho. En lugar de círculos, Kepler encontró que utilizando elipses el ajuste con
las observaciones era perfecto. Así surgieron las leyes de Kepler.
• La primera ley, conocida como ley de las órbitas, acaba con la idea, mantenida también por Copérnico, de que las
órbitas debían ser circulares.
• La segunda ley, conocida como ley de las áreas, nos da información sobre la velocidad a la que se desplaza el
planeta.
• La tercera ley, también conocida como armónica o de los periodos, relaciona los periodos de los planetas, es decir,
lo que tardan en completar una vuelta alrededor del Sol, con sus radios medios.
2) los planetas describen órbitas elípticas con el sol en uno de los

focos. Supongamos que el foco está situado en el polo y el eje mayor
en el eje polar, y que la longitud del eje mayor es 2a.
(a) Probar que la ecuación en polares de la órbita viene dada por

(1 − 𝑒 2 )𝑎
𝑟=
1 − 𝑒 cos 𝜃
donde e es la excentricidad
(b) Usar este resultado para calcular la distancia mínima (distancia
del perihelio) del sol al planeta y la distancia máxima (distancia del
afelio).
(c) teniendo en cuenta que para Plutón a = 5,900 x 10-9 km y e=0,2481. Hallar la ecuación
en polares del planeta. Así como las distancias del perihelio y del afelio.
(d) estimar el área barrida por un rayo del sol a Plutón cuando Ɵ crece de 0 a π/9. Utilizar
este resultado para calcular cuántos años tarda el planeta en recorrer este arco si el
periodo de una revolución alrededor del sol es de 248 años.
(e) Mediante ensayo y error estimar el ángulo alfa tal que el área barrida por un rayo del
sol al planeta cuando Ɵ crece de π a α sea igual al área encontrada en e punto anterior.
¿Barre el rayo un ángulo mayor o menor para generar la misma área? ¿por qué?
Las curvas de Bézier se emplean en el diseño auxiliado por computadora y se nombran así en honor del matemático francés
Pierre Bézier (1910-1999), quien trabajó en la industria automotriz. Una curva cúbica de Bézier está determinada mediante
cuatro puntos de control, 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ), 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 ), 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑃3 (𝑥3 , 𝑦3 ), y se define mediante las ecuaciones paramétricas
𝑥 = 𝑥0 (1 − 𝑡)3 + 3𝑥1 𝑡(1 − 𝑡)2 + 3𝑥2 𝑡 2 (1 − 𝑡) + 𝑥3 𝑡 3

𝑦 = 𝑦0 (1 − 𝑡)3 + 3𝑦1 𝑡(1 − 𝑡)2 + 3𝑦2 𝑡 2 (1 − 𝑡) + 𝑦3 𝑡 3
Donde 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. Obsérvese que cuando 𝑡 = 0, se tiene (𝑥, 𝑦) = (𝑥0 , 𝑦0 ) y cuando 𝑡 = 1 se tiene (𝑥, 𝑦) = (𝑥3 , 𝑦3 ), así que
la curva empieza en 𝑃0 y termina en 𝑃3 .
(a) Trace la gráfica de la curva de Bézier con puntos de control P0(4, 1), P1(28, 48), P2(50, 42) y P3(40, 5). Enseguida, en la
misma pantalla, trace la gráfica de segmentos de recta P0P1, P1P2 y P2P3. (El ejercicio 10.1.31 muestra cómo hacer esto.)
Observe que los puntos de control medios P1 y P2 no están sobre la curva; la curva empieza en P0, se dirige hacia P1 y P2 sin
alcanzarlos y termina en P3.
(b) En la gráfica del problema 1 parece que la recta tangente en P0 pasa por P1 y la recta tangente en P3 pasa por P2.
Demuéstrelo.
(c) Intente producir una curva de Bézier con un lazo cambiando el segundo punto de control en el problema 1.
(d) Algunas impresoras láser usan las curvas de Bézier para representar letras y otros símbolos. Experimente con puntos de
control hasta que encuentre una curva de Bézier que dé una representación razonable de la letra C.
e. Se pueden representar formas más complicadas juntando dos o más curvas de Bézier. Suponga que la primera curva de
Bézier tiene puntos de control P0, P1, P2, P3 y la segunda tiene puntos de control P3, P4, P5, P6. Si se desea unir estos dos
trozos de manera suave, entonces las rectas tangentes en P3 deben corresponderse y, por tanto, los puntos P2, P3 y P4 tienen
que estar sobre esta recta tangente común. Con este principio, determine los puntos de control para un par de curvas de
Bézier que representen la letra S.
Una circunferencia C de radio 2r tiene su centro en el origen. Un círculo de radio r rueda sin resbalar en dirección contraria
al sentido de las manecillas del reloj alrededor de C. Un punto P está situado en un radio fijo del círculo giratorio a una
distancia b de su centro, 0, b, r. Sea L la recta desde el centro de C al centro del círculo que rueda y sea u el ángulo que L
forma con el eje x positivo.
(a) Usando u como un parámetro, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria trazada que pasa por P son
𝑥 = 𝑏 cos 3𝜃 + 3𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑏 sin 3𝜃 + 3𝑟 sin 𝜃
Nota: si b = 0, la trayectoria es una circunferencia de radio 3r; si b = r, la trayectoria es una epicicloide. La trayectoria trazada
por P para 0, b, r se llama.
(b) Trace la gráfica de la curva para varios valores de b entre 0 y r.
(c) Demuestre que un triángulo equilátero puede inscribirse en el epitrocoide y que su centroide está sobre la circunferencia
de radio b con centro en el origen.
Nota: este es el principio del motor rotatorio Wankel. Cuando el triángulo equilátero gira con sus vértices en el epitrocoide,
su centroide recorre una circunferencia cuyo centro está en el centro de la curva.
(d) En casi todos los motores rotatorios, los lados de los triángulos equiláteros son sustituidos por arcos de circunferencia
con centro en los vértices opuestos. (Entonces el diámetro del rotor es constante.) Demuestre que el rotor se ajusta en el
3
epitrocoide si 𝑏 ≤ (2 − √3)𝑟.
2
La curva llamada folium de Descartes está definida por las ecuaciones paramétricas
𝟑𝒕 𝟑𝒕𝟐
𝒙= 𝒚 =
𝟏 + 𝒕𝟑 𝟏 + 𝒕𝟑
(a) Demuestre que si (a, b) está sobre la curva, entonces (b, a) también lo está; es decir, la curva es simétrica respecto a la
recta y = x. ¿En dónde se interseca la curva con esta recta?
(b) Encuentre los puntos sobre la curva donde las rectas tangentes son horizontales o verticales.
(c) Demuestre que la recta y = -x - 1 es una asíntota oblicua.
(d) Trace la curva.
(e) Demuestre que una ecuación cartesiana de esta curva es 𝑥 3 + 𝑦 3 = 3𝑥𝑦.
(f) Demuestre que la ecuación polar puede expresarse en la forma
3 sec 𝜃 tan 𝜃
𝑟=
1 + tan3 𝜃
(g) Encuentre el área encerrada por el lazo de esta curva.

(h) Demuestre que el área del lazo es la misma que el área que está entre la asíntota y las ramas infinitas de la curva.
(Utilice el método de Simpson para evaluar la integral.)
Una partícula de masa m se mueve en un plano vertical a lo largo de una curva de extremos fijos 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ), con
𝑥1 < 𝑥2 e 𝑦1 > 𝑦2 . determinar la trayectoria descendente por la que una partícula se desliza del punto A al punto B en el
menor tiempo.

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El área que queda dentro de una o más circunferencias entrelazadas es

2) los planetas describen órbitas elípticas con el sol en uno de los

(a) Probar que la ecuación en polares de la órbita viene dada por

𝑥 = 𝑥0 (1 − 𝑡)3 + 3𝑥1 𝑡(1 − 𝑡)2 + 3𝑥2 𝑡 2 (1 − 𝑡) + 𝑥3 𝑡 3

𝑥 = 𝑏 cos 3𝜃 + 3𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑏 sin 3𝜃 + 3𝑟 sin 𝜃

(g) Encuentre el área encerrada por el lazo de esta curva.

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