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Jelepere - 9. Clase 9. Teorema de Liuville y Teorema de Morera
Jelepere - 9. Clase 9. Teorema de Liuville y Teorema de Morera
Jelepere - 9. Clase 9. Teorema de Liuville y Teorema de Morera
Corolario 2.7.4. Sea U abierto en C, sea p ∈ U , y sea f : U → C una función que es continua en
U y holomorfa en U \{p}. Entonces f ∈ H(U ).
a). f ∈ H(U ).
∞
(k)
b). Para cada k ∈ N, la sucesión fn converge a f (k) uniformemente sobre cada compac-
n=1
to de U .
b). Sea B̄(a, 2r) ⊂ U. Entonces B̄(z, r) ⊂ B̄(a, 2r) para cada z ∈ B̄(a, r). Sigue de las de-
sigualdades de Cauchy que
(k) (k)
fn (z) − f (z)
≤ r−k sup{|fn (ζ) − f (ζ)|; |ζ − z| = r}
k!
1
≤ sup |fn (z) − f (z)| ,
rk |z−a|≤2r
así,
1 1
sup fn(k) (z) − f (k) (z) ≤ k sup |fn (z) − f (z)| ,
k! |z−a|≤r r |z−a|≤2r
∞
(k)
para todo n, k ∈ N. Luego, para cada k, la sucesión fn converge para f (k) uniforme-
n=1
mente para cada bola B(a, r). Como cada compacto K ⊂ U está contenido
en la unión de ∞
(k)
un numero finito de bolas B(a, r) tales que B̄(a, 2r) ⊂ U , sigue que fn converge a
n=1
f (k) uniformemente sobre K.