Capítulo II

Superposición de
movimientos
44
45
2.1 Vibraciones superpuestas en una dimensión

En muchos fenómenos físicos intervienen la aplicación simultánea de dos o más vibraciones armónicas
sobre el mismo sistema. En acústica se presentan ejemplos de este tipo con gran frecuencia. La aguja
de un fonógrafo, el diafragma de un microscopio o el tímpano se ven en general sometidos a una
combinación complicada de estas vibraciones, dando como resultado cierto desplazamiento resultante
en función del tiempo. Consideremos algunos casos específicos de este proceso de combinación,
sometidos siempre a la siguiente hipótesis fundamental:

La resultante de dos o más vibraciones armónicas es simplemente la suma de las vibraciones aisladas.
En el estudio presente trataremos este punto como un problema puramente matemático. Sin embargo,
al final se traduce en una cuestión física: ¿Es igual el desplazamiento producido por dos perturbaciones,
actuando conjuntamente a la superposición directa de los desplazamientos que se observan cuando
ambas actúan separadamente? La respuesta a esta cuestión puede ser afirmativa o negativa,
dependiendo si el desplazamiento es o no estrictamente proporcional a la fuerza que lo produce. Si es
válida la adición simple, el sistema se dice que es lineal, y la mayoría de nuestras discusiones se
limitarán a estos sistemas. Sin embargo, como acabamos de decir, por el momento nos limitaremos al
problema puramente matemático de sumar dos (o más) desplazamientos, que son funciones
sinusoidales del tiempo; la aplicación física de los resultados no se considera ahora.

2.1.1 SUPERPOSICIÓN DE DOS VIBRACIONES DE IGUAL FRECUENCIA

Supóngase que tenemos dos MAS descritos por las ecuaciones siguientes:

x1  A1cos(t 1 )

x2  A2 cos(t  2 )

Su combinación tiene entonces la forma siguiente:

x x1  x2  A1 cos (t  1 )  A2 cos(t   2 ) (2.1)

Es posible expresar este desplazamiento como una vibración armónica simple:

x  A cos t   

La descripción del MAS mediante el vector rotatorio proporciona un modo muy elegante de obtener
este resultado geométricamente. En la figura 2-1(a) sea 0P1 el vector rotatorio de longitud A1, que
forma el ángulo t  1  con el eje x en el instante t. Sea 0P2 el vector rotatorio de longitud A2 con el
ángulo t   2  . Su suma es, por tanto, el vector OP definido por la ley del paralelogramo. Como
0P1 y 0P2 giran con la misma velocidad angular , puede considerarse que el paralelogramo OP1PP2 es
una figura rígida que gira en bloque con esta misma velocidad. El vector OP puede obtenerse como el
vector suma de 0P1 y P1P (este último igual a 0P2). Como  N 1 OP1  t   1 y  KP1 P   t   2
el ángulo formado por OP1 y P1P es precisamente  2  1 . Por tanto resulta:

46
 A 2  A12  A22  2 A1 A2 cos   2   1 
El vector OP forma un ángulo β [véase fig. 2-1 (b)] con el vector OP1 tal que

A sen  A2 sen 2  1 

y la fase constante de la vibración viene dada directamente por

  1  

El empleo del formalismo del exponente complejo nos llevará muy directamente a estos mismos
resultados. Los vectores rotatorios 0P1 y 0P2 se describen mediante las ecuaciones siguientes:

z1  A1e j t   1

z 2  A2 e j t  2 

De aquí que la resultante venga dada por

z  z1  z 2  A1e j  t    A2 e j  t 
1 2 

Figura 2.1. (a) Superposición de dos vectores rotatorios del mismo período. (b) Triángulo vectorial para la construcción
del vector rotatorio. (Modificado del texto de “Vibraciones y ondas” de A. P. French)

Obsérvese la ventaja de utilizar la forma exponencial que nos permite separar el factor común exp
j t  1 :

z  e j  t   1 
A
1  A2 e j   2  1 
 (2.2)

Recordando que e j es precisamente la instrucción necesaria para aplicar una rotación positiva θ,

47
vemos que la combinación de los términos entre corchetes especifica que ha de sumarse un vector de
longitud A2 a otro de longitud A1, existiendo entre ambos el ángulo  2  1  y el primer factor es
 jt   1  nos dice que el diagrama entero ha de girarse hasta la orientación indicada en la figura 2.1
(b). Si no nos aprovechásemos de estas técnicas geométricas, la tarea de combinar los dos términos
separados de la ecuación (2.1) sería fatigosa y mucho menos informativa.

En general no pueden simplificarse los valores de A y α correspondientes a la perturbación resultante,

pero conviene señalar el caso especial en que son iguales las amplitudes que se combinan. Si llamamos
δ a la diferencia de fase  2  1  entre ambas vibraciones, a partir de la geometría del triángulo
vectorial de la figura 2.1(b) se puede obtener, por simple inspección, los resultados siguientes



2


A  2 A1 cos   2 A1 cos
2
Se obtiene una combinación muy parecida a este tipo si se hacen funcionar dos altavoces idénticos por
el mismo generador de señales sinusoidales y las vibraciones sonoras se recogen con un micrófono en
un punto bastante alejado, como se indica en la figura 2.2. Si el micrófono se mueve sobre la recta OB,
la diferencia de fase δ aumenta constantemente desde un valor inicial cero en el punto O. Si la longitud
de onda del sonido es mucho más corta que la distancia que separa los altavoces, puede observarse que
la amplitud resultante se hace cero en varios puntos entre O y B y se eleva hasta su valor máximo
posible de 2A1 en otros puntos intermedios entre los ceros.

Figura 2.2. Montaje para detectar la diferencia de fase en función de la posición del micrófono en la superposición de
señales procedentes de dos altavoces. (Modificado del texto de “Vibraciones y ondas” de A. P. French)

2.1.2 Superposición de vibraciones de frecuencias diferentes. pulsaciones

Imaginemos que tenemos dos vibraciones de amplitudes diferentes A1, A2, y de frecuencias también
diferentes 1 , 2 . Evidentemente, en contraste con el ejemplo precedente, la diferencia de fase entre

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las vibraciones está cambiando continuamente. La especificación de alguna diferencia de fase inicial no
nula carece de significado apreciable en este caso. Para simplificar el aspecto matemático supongamos,
por tanto, que ambas vibraciones tienen una fase inicial cero, y, por ello, pueden escribirse del modo
siguiente:

x1  A1 cos1t

x2  A2 cos2 t

Figura 2.3 Superposición de vectores rotatorios de períodos diferentes. (Modificado del texto de “Vibraciones y ondas” de
A. P. French)

En un instante arbitrario cualquiera el desplazamiento combinado será entonces como el indicado en la

figura 2.3 (OX). Evidentemente la longitud OP del vector combinado debe estar comprendida siempre
entre la suma y la diferencia de A1 y A2; el valor del propio desplazamiento OX puede estar
comprendido entre cero y A1+A2.

A menos que exista alguna relación simple entre 1 y 2 el desplazamiento resultante será una
función complicada del tiempo, quizá sin que llegue a repetirse nunca. La condición precisa para
obtener una periodicidad en el movimiento combinado es que sean conmensurables, es decir, que
existan dos números enteros n1 y n2 tales que

T  n1T1  n2 T2 (2.4)

El periodo del movimiento combinado es entonces el valor de T obtenido como decíamos

anteriormente pero utilizando los valores enteros más pequeños de n1 y n2 que satisfagan dicha relación.

Aunque los períodos o frecuencias sean expresables como un cociente de dos enteros bastante
pequeños, el aspecto general del movimiento no suele ser sencillo. La figura 2.4 muestra la
composición de dos vibraciones sinusoidales de 450 y 100 Hz, respectivamente. El período de
repetición es 0,02 seg, como puede deducirse de la condición

49
 n1 n
T  2
450 100
que exige que n1 = 9 y n2 = 2, de acuerdo con la ecuación (2.4).

En aquellos casos en que se forma una vibración a partir de otras dos de períodos conmensurables, el
aspecto de la resultante puede depender marcadamente de la fase inicial relativa de las vibraciones que
se combinan.

T1

T2

Figura 2.4 Superposición de dos vibraciones sinusoidales de periodos conmensurables (T 1=1/450 s y T2=1/100 s).
(Modificado del texto de “Vibraciones y ondas” de A. P. French)

Este efecto se ilustra en las figuras 2.5 (a) y (b), en las que se han combinado de la manera indicada dos
vibraciones con valores dados de la amplitud y frecuencia. Ambos casos difieren sólo en la relación de
fases. Es interesante indicar que si las dos fuesen vibraciones de aire incidiendo sobre el tímpano, los
efectos auditivos de ambas combinaciones serían casi indistinguibles.

Parece ser que el oído humano es casi insensible a la fase en la mezcla de vibraciones armónicas; las
amplitudes y frecuencias dominan la situación, aunque pueden producirse efectos auditivos
notablemente diferentes si la diferencia de fase conduce a unas formas de onda drásticamente
diferentes, como puede ocurrir si se combinan con una relación de fase determinada muchas
vibraciones en lugar de dos solamente.

Si dos MAS tienen frecuencias muy parecidas, la perturbación combinada presenta lo que se denomina
pulsación o batido. Este fenómeno puede describirse como aquel en que la vibración combinada es
básicamente una perturbación con una frecuencia igual a la media de las dos frecuencias que se
combinan, pero con una amplitud que varía periódicamente con el tiempo, pero de modo que un ciclo
de esta variación incluye muchos ciclos de la vibración básica.

El efecto de la pulsación se analiza más fácilmente si consideramos la suma de dos MAS de igual
50
amplitud:

x1  A cos1t

x2  A cos2 t

Entonces por adición se tiene

   2   1  2 
x  2 A cos 1 t  cos t (2.5)
 2   2 

(a) (b)

Figura 2.5. (a) Superposición de dos sinusoides conmensurables de frecuencias 400 s -1 y 600 s-1, cuyos máximos coinciden
para t=0. (b) Superposición de las mismas sinusoides si sus ceros coinciden cuando t=0. (Modificado del texto de
“Vibraciones y ondas” de A. P. French)

Evidentemente, esta suma, como resultado puramente matemático, puede realizarse para cualquier
valor de 1 y  2 , pero su descripción como una pulsación sólo tiene significado físico si
1   2  1   2 es decir, si en un número apreciable de ciclos, la vibración se aproxima a la
sinusoidal con amplitud constante y con frecuencia angular 1  2  / 2 .

La figura 2.6 desarrolla gráficamente el resultado de combinar dos vibraciones con una relación de
frecuencia de 7:6. Esta es quizá la mayor relación que puede tenerse si aún queremos referirnos a la
combinación como un batido. Puede verse que el desplazamiento combinado puede ajustarse dentro de
una envolvente definida por el par de ecuaciones

51
    2 
x   2 A cos  1 t (2.6)
 2 

 1   2 
porque el factor rápidamente oscilante de la ecuación (2.5) , es decir, cos  t  , siempre está
 2 
comprendido entre los límites ± 1 y la ecuación (2.6) describe una modulación relativamente lenta de la
amplitud de esta oscilación. Si nos referimos a la figura 2.6, se ve que el tiempo transcurrido entre
ceros sucesivos de la perturbación moduladora es un semiperiodo del factor modulador como describe
la ecuación (2.6), es decir, un tiempo igual a 2 / 1  2 . . Esto tiene como consecuencia que la
frecuencia de la pulsación, según se percibe con el oído, por ejemplo, con dos diapasones, es
simplemente la diferencia de sus frecuencias individuales y no su mitad, como podría sugerir una
primera impresión de la ecuación (2.5). Así pues, considerando un caso específico, si están vibrando
juntos dos diapasones a 255 y 257 vibraciones por segundo, su efecto combinado será el de la mitad del
total de vibraciones (256 vibraciones por segundo) pasando por un máximo de intensidad dos veces
cada segundo.

Tpulsacion

Figura 2.6. Superposición de sinusoides de frecuencias semejantes (600 s-1 y 700 s-1) con objeto de obtener pulsaciones.
(Modificado del texto de “Vibraciones y ondas” de A. P. French)

2.1.3 Superposición de muchas vibraciones de la misma frecuencia

Los métodos que acabamos de describir pueden ampliarse fácilmente a un número arbitrariamente
grande de vibraciones que se combinan. El caso general no tiene gran importancia, pero existe un caso
particular que es de gran interés y tiene mucha aplicación. Es el caso en que se tiene una superposición
de varios MAS, todos con la misma frecuencia y amplitud y con una diferencia de fase constante entre
cada dos de ellos. Este problema tiene particular importancia para el análisis de los efectos de
52
interferencias con focos múltiples en óptica y en otros procesos ondulatorios. Este fenómeno está
representado en la figura 2.7. Supongamos que existen N vibraciones combinándose con amplitud Ao y
una diferencia de fase entre dos sucesivas dada por el ángulo δ. Consideremos que la primera vibración
está descrita por la ecuación

x  A0 cos t

La perturbación resultante vendrá dada por la ecuación

x  A cost  

Figura 2.7 Superposición de varios vectores rotatorios del mismo período y diferencias de fase con incremento constante

Como indica geométricamente la figura 2.7, los vectores forman los lados sucesivos de un polígono
regular (incompleto). Un polígono como éste puede considerarse inscrito en una circunferencia de radio
R y con centro C. Todos los vértices (como, por ejemplo, los puntos K y L) caen sobre la circunferencia
y el ángulo subtendido en C por cada amplitud aislada Ao (por ejemplo, KL) es igual al ángulo δ entre
vectores adyacentes. De aquí que el ángulo total OCP, subtendido en C por el vector resultante A, sea
igual a Nδ. Por tanto, se pueden escribir las siguientes ecuaciones geométricas:

A = 2R sen (Nδ/2)

A0= 2R sen (δ/2)

Y en consecuencia,

sen N  / 2
A  A0 (2.7)
sen  / 2

Además, para el ángulo α formado por la resultante A y el primer vector componente, se tiene

53
   COB  COP

con


COB  90 o 
2
 N 
COP  90 o   
 2 
Por consiguiente,


N  1
2
De aquí que la vibración resultante a lo largo del eje x venga descrita por la ecuación siguiente:

senN  / 2  N  1  
X  Ao cos t 
2 
(2.9)
sen  / 2 

Esta ecuación es básica para el análisis del comportamiento de una red de difracción, que actúa
precisamente como un dispositivo que obtiene de un solo haz de luz un número muy grande de
perturbaciones iguales con iguales diferencias de fase.

2.2 Combinación de dos vibraciones perpendiculares

Todo lo que hemos visto hasta ahora se refería a movimientos armónicos sobre una sola dimensión,
aunque para su análisis hayamos introducido el útil concepto de vector rotatorio en un plano, de modo
que la proyección del vector sobre una determinada dirección representaría el movimiento real.
Estudiaremos ahora el problema esencialmente diferente de combinar dos vibraciones armónicas reales
que tienen lugar sobre direcciones perpendiculares, de modo que el movimiento real resultante es un
movimiento verdaderamente bidimensional. Este problema tiene un considerable interés físico y su
estudio aquí es adecuado porque su análisis se apoya en las mismas técnicas utilizadas anteriormente en
este capítulo. El tipo de movimiento que vamos a considerar puede ampliarse fácilmente a oscilaciones
tridimensionales, cuya posibilidad debemos, en general, admitir, como, por ejemplo, en el caso de un
átomo ligado elásticamente dentro de la estructura esencialmente tridimensional de una red cristalina.

Supongamos ahora, por tanto, que un punto sufre simultáneamente los siguientes desplazamientos:

x  A1 cos 1t   1 

y  A2 cos  2 t   2  (2.10)

Este movimiento puede conseguirse mediante una doble aplicación de la técnica del vector rotatorio,
según se explica en la figura 2.8. Empecemos dibujando dos circunferencias de radios A1 y A2,
respectivamente.
54
La primera se utiliza para definir el desplazamiento x del punto P1, C1X. La segunda se emplea para
definir el desplazamiento y del punto P2, C2Y. Ambos desplazamientos describen conjuntamente la
posición instantánea del punto P respecto a un origen O que está situado en el centro de un rectángulo
de lados 2A1 y 2A2.

Una propiedad resalta inmediatamente. Cualquiera que sea la relación entre las frecuencias y las fases
de los movimientos que se combinan, el movimiento del punto P está siempre confinado dentro del
rectángulo, y además los lados de este rectángulo son tangentes a la trayectoria en todos los puntos de
contacto con la misma. Apenas puede decirse algo más que esto, sin especificar algo más concreto
sobre las frecuencias y las fases, excepto un comentario general sobre lo que ocurre si no son
conmensurables 1 y 2. En tal caso, la posición de P nunca volverá a repetirse y la trayectoria, si
continuase durante tiempo suficiente, tendería, desde un punto de vista físico aunque no estrictamente
matemático, a llenar la totalidad del interior del rectángulo límite.

Los ejemplos más interesantes de estos movimientos combinados son aquellos en los que las
frecuencias están en cierta relación numérica sencilla y la diferencia de fases iniciales es alguna
fracción simple de 2. Se tiene entonces un movimiento que forma una curva cerrada de dos
dimensiones, con un período que es el mínimo común múltiplo de los períodos aislados. El problema se
estudia más fácilmente sobre ejemplos específicos, como veremos en seguida.

Figura 2.8. Representación geométrica de la superposición de vibraciones armónicas simples y perpendiculares.

(Modificado del texto de “Vibraciones y ondas” de A. P. French)

2.2.1 Movimientos perpendiculares de frecuencias iguales

Mediante una selección adecuada de lo que consideraremos t

55
=0, podemos escribir las vibraciones combinadas de la forma sencilla siguiente:

x  A1 cos  t

y  A2 cos  t  

siendo  la diferencia de fase inicial (y en este caso, la diferencia de fase en cualquier momento) entre
ambos movimientos. Particularizando aún más los valores de  podemos obtener rápidamente un
cuadro cualitativo de todos los movimientos posibles en el caso de que sean iguales las frecuencias que
se combinan:

a.  = 0. En este caso,

x  A1 cos  t

y  A2 cos  t

Por lo tanto,

A2
y x
A1

El movimiento es rectilíneo y tiene lugar sobre una diagonal del rectángulo de modo que x e y tienen
siempre el mismo signo, bien positivo o negativo. Este movimiento puede representar lo que en óptica
se denomina vibración polarizada linealmente.

b.  = /2. Tenemos ahora

x  A1 cos  t

 
y  A2 cos   t     A2 sen  t
 2

Se obtiene fácilmente la forma de la trayectoria haciendo uso de la expresión sen 2  t  cos 2  t  1 .

Esto quiere decir que

x2 y2
 1
A12 A22

que es la ecuación de una elipse cuyos ejes principales coinciden con los ejes x e y.

Obsérvese, sin embargo, que las ecuaciones nos expresan algo más. Estamos estudiando cinemática, no
geometría, y la elipse se describe en un sentido definido. Cuando t empieza a crecer desde cero, x
empieza a disminuir desde su máximo valor positivo e y empieza inmediatamente a ser negativo
partiendo desde cero. Esto significa que la trayectoria elíptica tiene lugar en sentido de las agujas del
reloj.
56
c.  = . Se tiene ahora

x  A1 cos  t

y  A2 cos  t     A2 cos  t

Por lo tanto

A2
y x
A1

Este movimiento es como el del caso a, pero se produce sobre la otra diagonal del rectángulo.

Figura 2.9. Superposición de vibraciones armónicas simples perpendiculares con diferencia de fase inicial de /4.
(Modificado del texto de “Vibraciones y ondas” de A. P. French)

d.  = 3/2. Entonces resulta

x  A1 cos  t

 3
y  A2 cos   t     A2 sen  t
 2 

Tenemos una elipse como en el caso b, pero el movimiento es ahora en sentido contrario al de las
57
agujas del reloj.

e.  = /4. Obsérvese que hemos vuelto aquí al caso de una diferencia de fase entre O y /2, es decir,
intermedia entre los casos a y b. Es un caso menos evidente que los acabados de ver, y nos lleva a la
construcción gráfica de la figura 2.8. En la figura 2.9 se muestra la aplicación del método a este
particular. Las posiciones de los puntos P1 y P2 sobre las dos circunferencias de referencia se han
indicado en cierto número de instantes separados por un octavo período (es decir, /4). Los puntos se
numeran consecutivamente, empezando con t = 0, cuando C1P1 (figura 2.8) es paralelo al eje x y C2P2
forma el ángulo , es decir, 45o, medido desde el eje y positivo en sentido antihorario. Las proyecciones
de estas dos posiciones correspondientes de P1 y P2 nos da una serie de puntos de intersección, como se
ven en la figura 2.9, que representan las posiciones instantáneas del punto P cuando se mueve dentro
del rectángulo. El lugar geométrico definido por estos puntos es una elipse con ejes inclinados, descrita
en sentido horario. La ecuación analítica de esta elipse puede hallarse, si se quiere, eliminando t de las
ecuaciones que definen x e y:

x  A1 cos  t

  A A
y  A2 cos   t    2 cos  t  2 sen  t
 4 2 2

Con ayuda de este último ejemplo, podemos ver cómo se desarrolla el diagrama de este movimiento
combinado cuando imaginamos que la diferencia de fase  aumenta de cero a 2. Partiendo del
movimiento diagonal lineal para = 0, el movimiento se transforma en elíptico en sentido horario,
llegando a tener una anchura máxima cuando =/2, y luego se va cerrando hasta que para =
pasamos por una secuencia semejante de movimiento elíptico (de sentido contrario ahora), hasta que
para =2 volvamos a una situación que no se diferencia en nada de la correspondiente a =0. Esta
secuencia de movimientos se ilustra en la figura 2.10.

En todos estos problemas se puede construir el movimiento resultante muy fácilmente mediante el
método gráfico. Como en el último ejemplo, el procedimiento consiste en señalar sobre la
circunferencia de referencia una serie de puntos correspondientes a sucesivos incrementos de tiempo
iguales, y en particular a submúltiplos convenientes del período, como octavos, doceavos o
dieciseisavos. Una vez familiarizados con el proceso en cuestión, se puede hacer un diagrama más
compacto tomando el rectángulo límite y construyendo solamente una semicircunferencia sobre dos
lados consecutivos.

58
 Figura 2.10. Superposición de dos movimientos armónicos simples perpendiculares de la misma frecuencia para diversas
diferencias de fase iniciales. (Tomado de “The physics of vibrations and waves” de H. J. Pain)

2.3 Movimientos perpendiculares con frecuencias diferentes; figuras de Lissajous

Es un ejercicio sencillo y bastante entretenido ampliar el análisis anterior a movimientos con

frecuencias diferentes; daremos algunos ejemplos para ilustrar la clase de resultados obtenidos. En la
figura 2.12 se ve la construcción que puede hacerse si  2  21 y    / 4 .

Figura 2.12 Construcción de una figura de Lissajous

Esta curva se conoce con el nombre de figura de Lissajous, en honor de J. A. Lissajous (1822-1880),
que hizo un amplio estudio de estos movimientos. Si se introduce una ligera disminución de la
amplitud con el tiempo el diagrama resulta aún más sorprendente. En la figura 2.13 se muestra un
conjunto de figuras de Lissajous con diferentes relaciones de frecuencias, las curvas resultantes son
cada vez más variables. Estas figuras se generan fácilmente si se tiene un control flexible sobre las
frecuencias, amplitudes y fases si se aplican tensiones sinusoidales diferentes en las entradas x e y de
un osciloscopio de rayos catódicos. Excepto en aquellos casos en que la figura de Lissajous pasa por el
vértice exacto del rectángulo límite, puede hallarse la relación de las frecuencias que se combinan
mediante inspección de la misma; viene dada por el cociente entre el número de puntos de tangencia
que la figura tiene con dos lados adyacentes de la figura.
59
 Figura 2.13 Figuras de Lissajous: diversas razones de frecuencia con distintas diferencias de fase (Tomado de
http://www.physics.brocku.ca/PPLATO/h-flap/phys5_1.html)

2.4 Comparación entre la superposición de movimientos paralelos y perpendiculares

Resulta quizás instructivo hacer una comparación directa entre la superposición de dos vibraciones
armónicas sobre la misma recta y la superposición ortogonal de las mismas que origina las figuras de
Lissajous. Hemos procurado representar esta relación en la figura 2.14 para el caso sencillo de dos
vibraciones de frecuencias y amplitudes iguales. La figura muestra dos vibraciones sinusoidales
combinadas para diversas diferencias de fase entre cero y π. Las dos curvas inferiores de cada grupo
muestran el desplazamiento original individual en forma de desviaciones en sentido y en un
osciloscopio de doble haz con una base de tiempo lineal. Encima de este par de curvas se obtiene la
sinusoide que resulta de la suma directa de estas dos desviaciones y.

Finalmente, se muestran las figuras de Lissajous obtenidas suprimiendo la base del osciloscopio y
aplicando las dos señales sinusoidales primarias a las placas x e y. Si las dos señales primarias vienen
dadas por A cos ωt y A cos (ωt + δ) se tienen los resultados siguientes:

Superposición paralela

y1  A cos  t

y2  A cos  t   

   
y  y1  y2   2 A cos  cos   t  
 2  2

60
[Obsérvese la suave disminución de amplitud proporcional a cos (δ/2) cuando

y1 (a) y1

y2 y2

y1+ y2 y1+ y2

(b) y1+ y2 y1+ y2

Figura 2.14 Comparación de los resultados de sumar dos vibraciones armónicas (a) sobre la misma recta; (b)
perpendiculares formando figuras de Lissajous; cuando =/4 (izquierda) y cuando =/2 (derecha)

Si las dos señales primarias vienen dadas por A cos ωt y A cos (ωt + δ) se tienen los resultados
siguientes:

Superposición paralela

y1  A cos  t

y2  A cos  t   

   
y  y1  y2   2 A cos  cos   t  
 2  2

[Obsérvese la suave disminución de amplitud proporcional a cos (δ/2) cuando δ aumenta de cero a π.)

Superposición perpendicular

61
 x  A cos t
y  A cos t  

Eliminando la dependencia explícita con el tiempo, se tiene

x 2  2 xy cos   y 2  A 2 sen 2 

que define una elipse que degenera en una recta para δ = π/2, como se ve en las fotografías.

Problemas

2.1 Escribir las expresiones siguientes en la forma z  Re Ae j t    

 z= sen t + cos t
 z= cos (t - /3) - cos t
 z= 2sen t + 3 cos t
 z= sen t - 2 cos(t - /4) + cos t

2.2 Una partícula está sometida simultáneamente a tres movimientos armónicos simples de la misma
frecuencia y en dirección x. Si las amplitudes son 0,25, 0,20 y 0,15 mm, respectivamente, y la
diferencia de fase entre el primero y segundo es 45º, y entre el segundo y tercero es 30º, hallar la
amplitud del desplazamiento resultante y su fase relativa respecto al primer componente (de amplitud
0,25 mm).

2.3 Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descritas por las ecuaciones y1=A cos 10t, y2=A cos
12t. Hallar el período de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturbación resultante durante
un período de la pulsación.

2.4 Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguientes vibraciones:
 sen (2t - 2 ) + cos (2t).
 sen (l2t) + cos(13t-/4).
 sen (3t) - cos (t).

2.5 Dos vibraciones perpendiculares vienen descritas por las ecuaciones

x =10 cos 5t

y =10 cos (10t + /3)
Construir la figura de Lissajous del movimiento combinado

2.6 Dos vibraciones perpendiculares vienen descritas por las ecuaciones

x = 5 cos 5t
y = 5 cos (10t + /4)
Hallar la ecuación de la figura geométrica resultante de la superposición de los movimientos anteriores

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