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Ecuación de Onda
Ecuación de Onda
Ecuación de Onda
m 2 ), E es el campo
I.
INTRODUCCIN
x ( x E )=
( x B ) (5)
t
B=0 H (6)
D= 0 E (7)
La permeabilidad magntica del vaco es 0= 4x10-7
[Hy/m] y la permitividad elctrica del vaco es 0=10-9/36
[Fd/m].
Introducimos la siguiente identidad vectorial:
x ( x E )= ( E )2 E(8)
E=0(1)
B=0 (2)
x E=
B
(3)
t
x B=0 0
E
( 4)
t
x ( x E )= 2 E( 9)
Conocemos el valor de la rotacional del campo
magntico en un medio isotrpico y homogneo
resolviendo la parte de la derecha de la ecuacin (5)
2
tenemos:
2 E
2
E=0 0 2 (10)
t
2 H ( z , t )=
2
1 H (z , t)
(17)
c2
t2
c=
1
[ m/s ] (11)
0 0
Y nos queda:
2 E=
1 2 E
(12)
c2 t 2
2 E ( z ,t )=
1 E ( z ,t )
(13)
c 2 t 2
x ( x B ) =0 0
( x E ) (14)
t
x ( x B ) = B (15)
Sabiendo que la ecuacin (3) de Maxwell es idntica a la
parte de la derecha de la ecuacin (14) la sustituimos y
aplicando la formula (11) nos queda:
2 B=
1 2 B
(16)
c2 t 2
2 E=
2 E 2 E 2 E
+
+
(18)
x2 y 2 z 2
x
2 E ( z ,t ) 1 2 E ( z , t )
= 2
(19)
z2
c
t2
El valor del campo elctrico depende de dos variables el
tiempo y el espacio, para dar solucin a la ecuacin usamos
la tcnica de variables separables donde:
E (z, t) = A (z) B (t)
(20)
1 A (z) 1 1 B (t )
= 2
(22)
A ( z ) z2
c B ( t ) t 2
Ahora la igualamos con una constante de propagacin
(23) y (24) y con ello se obtiene para
B (t )
A (z )
(25) y
lineales constantes:
2=
1 A (z)
(23)
A ( z ) z2
Suponiendo
A 2 B2
1 1 B (t)
2= 2
(24)
c B ( t ) t2
B (t ) 2 c 2 B ( t ) =0(26)
2
t
Para obtener una solucin general de las ecuaciones
diferenciales se ocupa el mtodo de Euler, de esta manera
queda una expresin algebraica que se muestra como:
z
E2= A 1 B2 = A 2 B1
y factorizando la
E 1= A 1 B 1 =
las
2 A ( z ) 2
B ( z ) =0(25)
z2
A ( z )=A 1 e + A 2 e
constantes
que
[ ](
V
35 )
m
(27)
Bsqueda del Campo Magntico mediante la expresin
de Campo Elctrico
= (+i) (29)
Donde es la constante de propagacin y es la
constante de fase.
Dado que el medio es homogneo e isotrpico la
constante de atenuacin vale cero, por ello las soluciones
A (z) y B (t) queda de la siguiente forma:
A ( z) y B (t )
x E=
x
E0 cos [ ( zct ) ]
y
0
(36)
z
0
E (z,t )
H (z ,t)
dt(38)
t
E0
cos [ ( zct ) ] j=0 H ( z ,t ) (39)
c
H (z , t )=
E0
cos [ ( zct ) ] j( 40)
0 c
expresin:
( H x E )H ( x E )=E ( x H ) (47)
0 |E|2
( H x E )+ H ( x E )=| E| +
(48)
2 t
2
0 c=
= 0 =0 [ ] (41)
0 0 0
2
H
2 0 |E|
( H x E )0 H
= |E| +
(49)
t
2 t
[ ] por lo
H (z , t )=
E0
cos [ ( zct ) ] j [ A/m ] (42)
120
2
0
2
2 0 | E|
( H x E )
|H| = |E| +
(50)
2 t
2 t
E ( x H )=E J c + E 0
( E x H )= |E| +
E
( 43)
t
H=
E
(52)
( E x H )= |E| +
1
[ |E|2 + 0|H|2 ] (51)
2 t 0
1
2
0|E| + 02 |E|
2 t
0
(53)
[ ]
A
(44)
m2
Si tenemos que:
E ( x H )= ( E E ) + 0 E
E
(45)
t
0 |E|2
E ( x H )= |E| +
( 46)
2 t
2
0 =
0
(54)
0
|E|
W
( E x H ) + |E| +
=0 3 (55)
t
m
2
[ ]
5
su magnitud de manera que dependiendo del signo puede
ser fuente o sumidero, todo esto es igual a las perdidas por
efecto Joule ms la variacin temporal de las potencias
electromagnticas que atraviesan o nacen dentro de un
volumen donde el resultado es un escalar
III. CONCLUSIN
Las ecuaciones de onda nos permiten como se propaga
las ondas en un espacio y tiempo, se puede ver que el
campo elctrico y magntico son ortogonales entre s y que
estas puede contener frecuencia, direccin de propagacin,
dependencia temporal, dependencia espacial, peridica,
armnica y constante de fase. El balance de energa nos
permite identificar la prdida de calor por el efecto Joule y
nos proporciona la radiacin o la absorcin de la seal as