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    s13.s1 - Material Tecnica de Integracion Por Sustitución

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    El documento explica la técnica de integración por sustitución, también conocida como regla de sustitución. Presenta la fórmula general para realizar sustituciones y resuelve 8 ejemplos aplicando esta técnica.

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    LA INTEGRAL

    INDEFINIDA
    TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
    LOGRO DE SESIÓN
    Al finalizar la sesión de aprendizaje el alumno
    entiende el concepto de técnica de integración y
    ha aprendido a usar la técnica de Integración por
    Sustitución.
    REGLA DE SUSTITUCIÓN
    Sea una función 𝑢 = 𝑔(𝑥), función derivable 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 , entonces:
    න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑢 𝑑𝑢

    EJEMPLO 1: Calcular la integral ‫ ׬‬3𝑥 2 𝑥 3 − 5𝑑𝑥


    2𝑢3/2
    𝑢 = 𝑥3 − 5 න 𝑢𝑑𝑢 = +𝐶
    3
    𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑥
    Remplazando el valor de 𝑢 se tiene
    2(𝑥 3 − 5)3/2
    = +𝐶
    3

    REGLA DE SUSTITUCIÓN
    3𝑥 2 +2
    EJEMPLO 2: Calcular la integral ‫𝑒𝑥 ׬‬ 𝑑𝑥
    SOLUCIÓN:

    3𝑥 2 +2
    1 3𝑥 2 +2
    𝑢 = 3𝑥 2 + 2 න 𝑥𝑒 𝑑𝑥 = න 𝑒 . 6𝑥𝑑𝑥
    6
    𝑑𝑢 = 6𝑥𝑑𝑥
    Realizamos el cambio de variable
    1
    𝑢
    1 𝑢
    1 3𝑥 2 +2
    = න 𝑒 𝑑𝑢 = 𝑒 + 𝐶 = 𝑒 +𝐶
    6 6 6

    REGLA DE SUSTITUCIÓN
    1
    EJEMPLO 3: Calcular la integral ‫𝑥𝑑 )𝑥(𝑛𝑙𝑥 ׬‬
    SOLUCIÓN:

    𝑢 = ln(𝑥) 1 1
    1 න 𝑑𝑥 = න 𝑑𝑢
    𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥𝑙𝑛(𝑥) 𝑢
    𝑥
    Integrando se tiene

    = ln 𝑢 + 𝑐 = ln ln 𝑥 +𝐶

    REGLA DE SUSTITUCIÓN
    6𝑥+3
    EJEMPLO 4: Calcular la integral ‫ 𝑥 ׬‬2 +𝑥−6 𝑑𝑥
    SOLUCIÓN:

    𝑢 = 𝑥2 + 𝑥 − 6
    𝑑𝑢 = (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 6𝑥 + 3 3(2𝑥 + 1)
    න 2 𝑑𝑥 = න 2 𝑑𝑥
    𝑥 +𝑥−6 𝑥 +𝑥−6
    Realizamos el cambio de variable
    3
    = න 𝑢 𝑑𝑢 = 3 ln 𝑢 + 𝐶

    = 3 ln 𝑥 2 + 𝑥 − 6 + 𝐶

    REGLA DE SUSTITUCIÓN
    𝑥−2
    EJEMPLO 5: Calcular la integral ‫׬‬ 𝑑𝑥
    𝑥 2 −4𝑥+11
    SOLUCIÓN:

    𝑢 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 11
    𝑥−2 1 2(𝑥−2)
    𝑑𝑢 = (2𝑥 − 4)𝑑𝑥 ‫׬‬ 𝑑𝑥= ‫ ׬‬2 𝑑𝑥
    𝑥 2 −4𝑥+11 2 𝑥 −4𝑥+11
    𝑑𝑢 = 2(𝑥 − 2)𝑑𝑥
    Realizamos el cambio de variable
    1 1 1
    = න 𝑑𝑢 = න 𝑢−1/2 𝑑𝑢
    2 𝑢 2
    1
    = (2)𝑢1/2 +𝐶
    2
    = 𝑢1/2+𝐶
    = (𝑥 2 − 4𝑥 + 11)1/2 +𝐶

    REGLA DE SUSTITUCIÓN
    4𝑥 2
    EJEMPLO 6: Calcular la integral ‫( ׬‬2𝑥 2 +3)3 𝑑𝑥
    SOLUCIÓN:

    𝑢 = 2𝑥 2 + 3 → 2𝑥 2 = 𝑢 − 3 4𝑥 2 2.2𝑥 2
    𝑑𝑢 = 4𝑥𝑑𝑥 න 2 3
    𝑑𝑥 = න 2 3
    𝑑𝑥
    (2𝑥 + 3) (2𝑥 + 3)

    Realizamos el cambio de variable


    2(𝑢 − 3) 1 3
    =න 3
    𝑑𝑢 = 2 න 2 − 3 𝑑𝑢
    𝑢 𝑢 𝑢
    1 3
    =2 − + +C
    𝑢 2𝑢2
    2 3
    =− + +𝐶
    2𝑥 2 +3 2𝑥 2 +3 2

    CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA


    1
    EJEMPLO 7: Calcular la integral ‫׬‬ 𝑑𝑥
    𝑥( 𝑥−2)3
    SOLUCIÓN:

    𝑢 = 𝑥−2 1 1
    1 න 3
    𝑑𝑥 = 2 න 3
    𝑑𝑥
    𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥( 𝑥 − 2) ( 𝑥 − 2) . 2 𝑥
    2 𝑥
    Realizamos el cambio de variable
    1
    = 2 න 3 𝑑𝑢 = 2 න 𝑢−3 𝑑𝑢
    𝑢
    2𝑢−2
    = +C
    −2
    1
    = − +𝐶
    ( 𝑥−2)2

    REGLA DE SUSTITUCIÓN
    𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
    EJEMPLO 8: Calcular la integral ‫𝑥 𝑒 ׬‬−𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
    SOLUCIÓN:

    𝑢 = 𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 1
    𝑑𝑢 = (𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 )𝑑𝑥 න 𝑥 −𝑥
    𝑑𝑥 = න 𝑑𝑢
    𝑒 −𝑒 𝑢
    = ln 𝑢 + 𝐶

    = ln(𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) + 𝐶

    REGLA DE SUSTITUCIÓN
    FINALMENTE

    Gracias por tu PARA TI


    IMPORTANTE participación 1. Revisa los
    ejercicios indicados
    1. Cambio de variable Ésta sesión y realiza la Tarea
    2. Recordar las regla Hemos visto la quedará grabada de ésta sesión.
    básicas de importancia de los 2. Consulta en el
    integrales valores extremos de FORO tus dudas.
    una función.

    Datos/Observaciones
    LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
    EJERCICIO RETO

    𝑡4
    Calcular la integral ‫ ׬‬7 𝑑𝑡
    𝑡 5 +1
    Método de
    sustitución

    Datos/Observaciones

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