Trabajo 1 PDF

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
100401 –METODOS NUMERICOS
Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1
TRABAJO COLABORATIVO 1
ESTUDIANTE/S:
DANINSO JOSE GAMEZ

HENRY ARMANDO MACHUCA - 1052217433
JOSE PACHECO SANTOS - 78380327
CARLOS EVELIO CARVAJAL– 1121824657
JORGE DAVID SANTIAGO AHUMADA
GRUPO: 7
TUTOR
MARTIN GÓMEZ ORDUZ
CURSO:
METODOS NUMERICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

I SEM 2015
Docente: Martín Gómez Orduz.

1
Introducción
En el presente trabajo se encuentran los conceptos básicos, exactitud y raíces de

ecuaciones. Durante el desarrollo de este trabajo se tuvieron en cuenta los
diversos tipos de errores y los diferentes métodos para calcular las raíces
Esta actividad nos permitirá afianzar y socializarnos con la asignatura, por lo tanto
le estaremos presentado unos tema muy fundaméntale que nos permita tener una
claridad entendible En el siguiente documento, se tratarán 3 temas
correspondientes a la primera unidad del curso de métodos numéricos.
En cada tema, se hará una explicación breve del caso, seguido de unas
diferenciaciones por medios de mapas conceptúale que nos facilite mejor la
interpretación general del tema
El curso de los METODOS NUMERICOS resalta las técnicas mediante las que es
posible formular problemas matemáticos que puedan resolverse usando
operaciones aritméticas de análisis numérico, a través de métodos de
aproximación eficientes que puedan precisar las soluciones a problemas
expresados matemáticamente.
Por lo anterior el objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones

"muy aproximadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más
simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas
y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
En esta actividad colaborativa se busca crear un consolidado de los aportes

individuales de cada participante del grupo colaborativo, referente a los temas que
nos introducen a los métodos numéricos; teniendo en cuenta los comparativos y
mapas conceptuales de errores, comparativos de métodos para calcular la raíz de
una ecuación y un diagrama de flujo por cada método para calcular la raíces de
una ecuación.

2
Objetivos
Realizar el reconocimiento y comprensión de la unidad 1 del curso de métodos

numéricos a través de una actividad que plantee bases para su desarrollo y
análisis.
Aplicar el aprendizaje basado en problemas a través de ejemplos donde se

aplique la minimización de errores numéricos.
Formar pensamiento ingenieril a través de la aplicación aritmética de métodos

numéricos y su aplicación a las necesidades del plano real.

3
DESARROLLO DE ACTIVIDADES
Fase 1
Leer y revisar los conceptos de error y los diversos tipos de errores para
diferenciar los diversos tipos de errores (ERROR ABSOLUTO, RELATIVO,
ERROR RELATIVO APROXIMADO (E.R.A). ERROR POR TRUNCAMIENTO Y
POR REDONDEO) Teniendo en cuenta la precisión y exactitud del mismo
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado

como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al
valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas
que las de la medida.1
Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto

2
definido como: EA = | P* - P | .
Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto.
Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el
error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto)
porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.3
Y el error relativo comoER = | P* - P| / P , si P =/ 0
El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:
1
https://sites.google.com/site/khriztn/1-3/1-3-1
2
https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores-error-absoluto-error-
relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-truncamiento
3

4
4
ERP = ER x 100.
Ejemplo1:Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un

remache, obteniendo 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y
10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso.
Solución: a) El error de medición del puente es:EA = 10 000 - 9 999 = 1cm
y para el remache es de EA = 10 - 9 = 1cm
b) El error relativo porcentual para el puente es de:ERP = 1/ 10 000 x 100% =

0.01%
y para el remache es de ERP = 1/10 x 100% = 10%
Por lo tanto ambas medidas tiene un error de 1 cm, el error relativo porcentual del
remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen
trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja
mucho que desear.
Ejemplo2: Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el

resultado aproximado de 19,999 cm. mientras que al medir la longitud de un clavo,
se obtiene el resultado de 9 cm. Suponiendo que los valores verdaderos de la
varilla y el clavo son de 20,000 cm. y 10 cm. respectivamente, calcular el error
absoluto en ambos casos.
Solución. Tenemos los siguientes resultados:
Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:
4
https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores-error-absoluto-error-
relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-truncamiento

5
Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:
En ambos casos, el error absoluto es igual, pero obviamente tiene mayor

trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir,
necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero.
Por ejemplo, en el caso de la varilla el error relativo porcentual es:
Mientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es:
Podemos observar, que el error relativo porcentual refleja mejor la gravedad o no

gravedad del error que se está cometiendo. Es claro, que en el caso de la varilla
no es trascendente ya que representa solamente un 0.005% con respecto al valor
verdadero, mientras que en el caso del clavo, el error si es representativo ya que
es del 10% del valor verdadero.5
5

6
Error relativo aproximado:
Error relativo aproximado = ERA
Tolerancia = (0.5x102-n) % Donde n = número de cifras significativas
Término de convergencia permite finalizar los cálculos. Es la desigualdad:

ERA<Tolerancia6
Error Por Truncamiento: En el subcampo matemático del análisis numérico,

truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha
del separador decimal, descartando los menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales:
3,14159265358979...
32,438191288
6,3444444444444
Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos
a la derecha de la coma decimal.El resultado es:
3,1415
32,4381
6,3444
6
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/MODULO_2013-
2/leccin_3_error_relativo_aproximado.html

7
Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el

redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos,
meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser
hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.7
Error Por Redondeo: Es el proceso mediante el cual se eliminan cifras

significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un
valor aproximado.
Reglas de redondeo
Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal,

podemos dar una aproximación de ese número de menos cifras de dos formas:
Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π =

3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π =
3,1415
Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la

última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o
igual que 5. Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas
tenemos π = 3,14, a las milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416.
En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error
menor.
Estimación: Algunas veces con el fin de facilitar los cálculos, se suelen redondear
los números con los que se opera, y los resultados que se obtienen no son
verdaderos, sino que se consideran estimaciones.
7
http://errorredtrun.blogspot.com/

8
Método comúnLas reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la

siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si
tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a 2, se aplicará las
reglas de redondeo:
Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se

modifica.
Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el

tercer decimal: 12,612= 12,61.
Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se

incrementa en una unidad.

tercer decimal: 12,618= 12,62.

tercer decimal: 12,615= 12,62.8
Fase 2
Leer y revisar los conceptos de métodos para calcular las raíces de una ecuación
BISECCIÓN, REGLA FALSA, NEWTON RAPHSON Y PUNTO FIJO Para luego
realizar la comparación de los métodos
Método De La Bisección: Es el método más elemental y antiguo para determinar

las raíces de una ecuación. Está basado directamente en el teorema de Bolzano
8

9
explicado con anterioridad. Consiste en partir de un intervalo [x0,x1]tal que

f(x0)f(x1) < 0, por lo que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de
este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño
como exija la precisión que hayamos decidido emplear.
Es necesario suministrar al programa el número máximo de iteraciones MaxIter, la

tolerancia , que representa las cifras significativas con las que queremos obtener
la solución y dos valores de la variable independiente, x0 yx1, tales que cumplan
la relación f(x0)f(x1) < 0. Una vez que se comprueba que el intervalo de partida es
adecuado, lo dividimos en dos subintervalos tales que y y

determinamos en qué subintervalo se encuentra la raíz (comprobando de nuevo el
producto de las funciones). Repetimos el proceso hasta alcanzar la convergencia
(hasta que ) o bien hasta que se excede el número de iteraciones

permitidas (Iter > MaxIter), en cuyo caso es necesario imprimir un mensaje de
error indicando que el método no converge.
Dos operaciones representadas en el esquema de la figura (3) requieren una

explicación adicional:
 El punto medio del intervalo se calcula como en lugar
de emplear . Se sigue de este modo una estrategia general al

efectuar cálculos numéricos que indica que es mejor calcular una cantidad
añadiendo un pequeño término de corrección a una aproximación obtenida
previamente. Por ejemplo, en un computador de precisión limitada, existen
valores de x0 y x1 para los cuales xm calculado mediante se sale

del intervalo [x0,x1].

10
 La convergencia ( ) se calcula mediante la
expresión . De este modo, el término ,

representa el número de cifras significativas con las que obtenemos el
resultado.9
Ejemplo Bisección:
Aproximar la raíz de hasta que .
Solución
Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz
de se localiza en el intervalo . Así que este intervalo es nuestro

punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos
checar que y tengan signos opuestos.
En efecto, tenemos que
mientras que
Cabe mencionar que la función sí es continua en el intervalo . Así

pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de
bisección. Comenzamos:
9
http://www.uv.es/~diaz/mn/node18.html

11
i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a

la raíz):
ii) Evaluamos
iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la
siguiente tabla:
Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado,
puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así,repetimos el proceso
con el nuevo intervalo .

Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):
Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la
aproximación actual y la aproximación previa:
Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.
Evaluamos , y hacemos la tabla:

12
Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

Calculamos el punto medio,
Y calculamos el nuevo error aproximado:
El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.

Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:
Error aprox.
Aprox. a la raíz
1.25
1.375 9.09%
1.3125 4.76%
1.28125 2.43%
1.296875 1.20%
1.3046875 0.59%
Así, obtenemos como
aproximación a la raíz
Método De La Regla Falsa: Método de regla falsa o falsa posición es un método

iterativo que a diferencia del método de la bisección, este se basa en una

13
visualización grafica que consiste en unir f(a0) y f(b0) con una línea recta, la
intersección de esta recta con el eje de coordenadas x representa una mejor
aproximación de la raíz que por el método de la bisección, aunque no siempre es
así.10
Ejemplo Regla Falsa:
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de ,
comenzando en el intervalo y hasta que .

Solución
Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos
que es continua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los

extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla
falsa.
Calculamos la primera aproximación:
Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el

proceso.
Así pues,
evaluamos
10
http://metodos-numericos-matlab.blogspot.com/2012/01/metodo-de-regula-falsi-regla-falsa-o.html

14
Y hacemos nuestra tabla de signos:
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo .

Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximación:
En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.
Evaluamos , y hacemos la tabla de

signos:
De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo , con el

cual, podemos calcular la nueva aproximación:
Y el error aproximado:

15
Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximación buscada es:
Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz, a

diferencia de la lentitud del método de la bisección.
Método De Newton-Raphson: Este método, el cual es un método iterativo, es

uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el
método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su
fórmula en un proceso iterativo.
El método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que

encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos
aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no
converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en
los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por
lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.11
Ejemplo Newton-Raphson:
Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de ,
comenzando con y hasta que .

Solución
En este caso, tenemos que
11
http://noosfera.indivia.net/metodos/newtonRaphson.html

16
De aquí tenemos que:
Comenzamos con y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es,
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz Error aprox.

1
1.268941421 21.19%
1.309108403 3.06%
1.309799389 0.052%
De lo cual concluimos que , la cual es correcta en todos sus

dígitos!
La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces -
ésimas de números reales positivos.
Observe que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de

17
una forma muy rápida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye
a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo
establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos que
hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con
mayor precisión la rapidez ó lentitud del método en estudio.
Método De Punto Fijo: se aplica para resolver ecuaciones de la forma
Si la ecuación es , entonces puede despejarse ó bien sumar en

12
ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.
El Método de Punto Fijo (también conocido como iteración de punto fijo), es otro
método para hallar los ceros de f(x). Para resolver f(x) = 0, se reordena en una
forma equivalente:
f(x) = 0
x - g(x) = 0
x = g(x)
Observe que si c es un cero de f(x), f(c)=0 y c=g(c). (Siempre que se tenga c=g(c)
se dice que c es un punto fijo de la función g). Para aproximar un cero de f se
utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g(xn) , n = 0, 1, 2, 3, . . . donde x0 es
una aproximación inicial del cero de f.13
Ejemplo Punto Fijo:
12
http://noosfera.indivia.net/metodos/puntoFijo.html
13
http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.4.htm

18
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz
de , comenzando con y hasta que .
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge alaraíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,
Y un error aproximado de .Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo

muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para
lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que
se obtiene es: Con un error aproximado igual al .

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Cuadro comparativo entre los tipos de errores
CUADRO COMPARATIVO TIPOS DE ERRORES

TIPOS DE
ERRORES error absoluto, error relativo, errores de redondeo, errores de truncamiento
NUMERICOS
ORIGEN Se originan por el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.
TIPOS DE ERROR ERROR DE

ERROR
ERROR A ERROR RELATIVO RELATIVO TRUNCAMIE ERROR DE REDONDEO
ABSOLUTO
COMPARAR PORCENT NTO
Es la división entre
Resultan de representar
Es la diferencia el error absoluto y el El error
porcentual aproximadamente
entre el valor de la valor exacto. Si se Resulta al
números que son exactos.
medida y el valor multiplica por 100 se es un poco presentar
irrelevante Su símbolo es ≈
tomado como obtiene el aproximación
pero Dígitos menor que 5
exacto. Puede ser porcentaje% de en un
necesario. 63,421 ≈ 63,42 este es el
positivo o error. Puede ser procedimient
Este error resultado cuando el
negativo, según si positivo o negativo o exacto.
redondeo es a dos
la medida es según lo sea el error se calcula Quiere decir,
de la decimales solo tenemos
superior al valor absoluto ya que reducir el
DEFINICION
siguiente en cuenta el 3ro. Si el

real o inferior, de puede ser por número de
forma, y es redondeo es mayor que 5,
acuerdo a esto la exceso o por dígitos a la
para medir Sí se redondea a 2 dígitos
sustracción puede defecto. No tiene derecha del
o del decimal como en el
resultar positiva o unidades. Su decimal.
determinar anterior solo se tiene en
negativa. Tiene formula se 4,667823643
cuenta el tercer dígito, y su
unidades, las representa ER = |P* el margen 2 quedaría
de error redondeo seria 63,4781 ≈
mismas que las de - P|/ P , si P =/0 4,6678 y
𝜋 − 3.1416 64,14196548 6348 En ambos casos
la medida. Su También se puede
𝜋 mayor o menor solo se
formula se multiplicar por el = 3 quedaría
tiene en cuenta un dígito
representa EA = 100% para 100=0.0002 64,1419
después del número que
|P* - P| expresarlo como: 3% se desee redondear.
ERP = ER x 100.
EJEMPLO DE Problema: Se busca medir la longitud de un edificio y una casa, obtenemos 9.999 y 9 cm. Si los
ERROR
valores reales son 10.000 y 10 cm, se quiere calcular el error y el error relativo porcentual de cada

20
RELATIVO caso.
PORCENTUAL Solución: el error de medición del edificio es: EA = 10000 - 9999 = 1cm y para la casa es EA =
ERP
10 - 9 = 1cm, El error relativo porcentual para el edificio es: ERP = 1/ 10.000 x 100% = 0.01% y
para la casa ERP = 1/10 x 100% = 10%
Mapa conceptual errores

21

22
Fase 2
Leer y revisar los conceptos de métodos para calcular las raíces de una ecuación
BISECCIÓN, REGLA FALSA, NEWTON RAPHSON Y PUNTO FIJO Para luego
realizar la comparación de los métodos
Cuadro comparativo métodos para calcular las raíces de una ecuación
El método de bisección consiste en dividir el intervalo en 2 subintervalos de igual magnitud,

reteniendo el subintervalo en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz o cero, y
repetir el proceso varias veces. Se deben tener en cuenta las siguientes condiciones:
 Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]

 A continuación se verifica que
 Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya
hemos encontrado la raíz buscada
 En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b)
 Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos
intervalos ocurre un cambio de signo
 Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada
vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada
Encontrar la raíz de f(x) = e −x − ln (x) con un error más pequeño que media décima
BISECCIÓN F(x) es continua en (0, +∞). Buscamos x1 y x2 tal que f(x1) · f(x2) < 0.
𝑋1 = 1𝑋2 = 2
𝐹 𝑋1 = 0,3679 𝐹 𝑋2 = −0,5578

23
𝑋1 + 𝑋2
𝑋3 = = 1.5 → 𝜀 < 0,5, 𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 1 − 1,5 = 0,5 𝑦 2 − 1,5 = 0,5
2
𝑓 𝑥3 = −0,1823
𝑋1 = 1 𝑥3 = 1,5
𝐹 𝑋1 = 0,3679 𝐹 𝑋3 = −0,1823
𝑋1 + 𝑋3
𝑋4 = = 1,25 → 𝜀 < 0,5, 𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 1,5 − 1,25 = 0,25 𝑦 1 − 1,25 = 0,25
2
𝑓 𝑥4 = 0,0634 𝑋4 = 1,25 𝑥3 = 1,5
𝑓 𝑥4 = 0,0634 𝑓 𝑥3 = −0,1823
𝑥3 + 𝑥4
𝑥5 = = 1,375 → 𝜀 < 0,125
2
𝑓 𝑥5 = −0,0656
𝑋4 = 1,25 𝑥5 = 1,375
𝑓 𝑥4 = 0,0634 𝑓 𝑥5 = −0,0656
𝑥4 + 𝑥5
𝑥6 = = 1,3125 → 𝜀 < 0,0625
2
𝑓 𝑥6 = −0,0028
𝑋4 = 1,25 𝑥6 = −0,0028
𝑥4 = 0,0634 𝑓 𝑥6 = −0,0028
𝑥4 + 𝑥6
𝑥7 = = 1,28125 → 𝜀 < 0,03125
2
𝑓 𝑥7 = 0,0299
De esta manera obtenemos que 1,28125 ± 0,03125 es una raíz de f(x).

24
El método corta el intervalo en dos partes como en el método de bisección, pero a diferencia de éste,
lo corta por el valor obtenido aplicando el método de la secante a los extremos del intervalo, no
siendo generalmente las partes iguales. El método converge siempre a una raíz de la ecuación,
generalmente de forma más rápida que el método de bisección pero más lenta que el método de la
secante
𝑓 𝑥 𝑖 𝑥 𝑖 −𝑥 𝐷
Formula de la regla falsa: 𝑥𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝐹 𝑋𝐷 −𝐹 𝑋𝐼
Ejemplo: Determinar la raíz real de la función f(x) con los valores iniciales,𝑋𝐷 =1.5 y xi = 2
1 − 0,6𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑓 1,5 = 0,0667 𝑓 2 = −0,1
𝑓 𝑥𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝐷
𝑥𝑟 = 𝑥𝑖 +
REGLA 𝐹 𝑋𝐷 − 𝐹 𝑋𝐼
FALSA
−0,1 1,5 − 2
𝑥𝑟 = 2 + = 1,7
0,0667 − −0,1
𝑓 𝑥𝑟 𝑓 𝑥𝐷 = −0,00078
𝑓 𝑥𝑟 𝑓 𝑥𝑖 = −0,001176
𝑥𝑖 = 1,7 𝑥𝐷 = 1,5
𝑓 1,5 = 0,0667 𝑓 1,7 = 0,01176
𝐹 𝑋𝐷 − 𝐹 𝑋𝐼
0,01176 1,5 − 1,7

𝑥𝑟 = 1,7 + = 1,67
0,0667 − −0,01176
𝑥𝑖 = 1,67 𝑥𝐷 = 1,5
𝑓 1,5 = 0,0667

25
𝑓 1,67 = −0,0012𝑥𝑟 = 𝑥𝑖 +
−0,0012 1,5 − 1,67

𝑥𝑟 = 1,67 + = 1,667
0,0667 − −0,0012
𝑥𝑖 = 1,667 𝑥𝐷 = 1,5
𝑓 1,5 = 0,0667
𝑓 1,67 = −0,000119982
−0,000119982 1,5 − 1,667

𝑥𝑟 = 1,667 + = 1,6667
0,0667 − −0,000119982
Este método es uno de los más utilizados para localizar raíces ya que en general es muy eficiente y
siempre converge para una función polinomial.
Se requiere que las funciones sean diferenciables, y por tanto, continuas, para poder aplicar este
método.
Se debe partir de un valor inicial para la raíz: xi, este puede ser cualquier valor, el método convergirá
𝑓 𝑥𝑖
a la raíz más cercana.𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓′ 𝑥𝑖
𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 7𝑥 − 20
Se sitúa un punto inicial 𝑥1 =1
𝑓 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓 ′ 𝑥𝑖
𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 + 4𝑥 + 7

26
13 +2 1 2 +7 1 −20 1+2+7−20
Iteración 1𝑥2 = 1 − 3 1 +4 1 +7
=1− 3+4+7
= 1— 1014 = 1 + 0,714285 =
𝑥2 = 1,714285
𝑓 1,714285 = 1,7142853 + 1,7142852 + 7 1,714285 − 20
𝑓 1,714285 = 2,9154357
Dado que 2,9154357 > 0,001se continua iterando para mejorar la solución.
NEWTON 1,714285 3 +1,71428 52 +7 1,714285 −20

Iteración 2 x3 = 1,714285 − 3 1714285 2 +4 1714285 +7
RAPHSON
2,9154357
x3 = 1,714285 −
22,67345918
x3 = 1,714285 − 0,1285836303
x3 = 1,585701369
𝑓 1,585701369 = 1,5857013693 + 1,5857013692 + 7 1,585701369 − 20
𝑓 1,585701369 = 01159722009
Dado que 01159722009 > 0,001se continua iterando para mejorar la solución.
1,585701369 3 +1,585701369 2 +7 1,585701369 −20

Iteración 3: x3 = 1,585701369 −
3 1,585701369 2 +4 1,585701369 +7
0,1159722009
x3 = 1,585701369 −
20,88615197
x3 = 1,585701369 − 0,005552588153 x3 = 1,580148781
𝑓 1,580148781 = 1,5801487813 + 1,5801487812 + 7 1,580148781 − 20
𝑓 1,580148781 = 0,0002081627837
Dado que 0,0002081627837 < 0,001se ha encontrado una raíz satisfactoria en

𝐱27= 𝟏, 𝟓𝟖𝟎𝟏𝟒𝟖𝟕𝟖𝟏
El Método de Punto Fijo (también conocido como iteración de punto fijo), es otro método para hallar
los ceros de f(x). Para resolver f(x) = 0, se reordena en una forma equivalente:
Observe que si c es un cero de f(x), f(c)=0 y c=g(c). (Siempre que se tenga c=g(c) se dice que c es un
punto fijo de la función g). Para aproximar un cero de f se utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g
(𝑥𝑛 ), n = 0, 1, 2, 3,. . .
donde x0 es una aproximación inicial del cero de f.
EJEMPLO
F(x) = x2 - 2x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1
Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente:
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0
𝑥 2 = 2𝑥 + 3
𝑥 = 2𝑥 + 3
PUNTO
FIJO
𝑥 = 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 3
Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1), los valores sucesivos de x son:
𝑥0 = 4
𝑥1 = 𝑔 𝑥0 = 2 4 + 3 = 3,31662
𝑥2 = 𝑔 𝑥1 = 2 3,31662 + 3 = 3,10375
𝑥3 = 𝑔 𝑥2 = 2 3,10375 + 3 = 3,03439
𝑥4 = 𝑔 𝑥3 = 2 3,03439 + 3 = 3,01144
𝑥5 = 𝑔 𝑥4 = 2 3,01144 + 3 = 3,00381
Parece que los valores convergen a x = 3.

28
Diagrama de flujo por cada método
Método de Bisección
PASO 1 PASO 2
Escoger los valores iniciales 𝑥1 𝑦 𝑥𝑢 La primera aproximación a la raíz 𝑥𝑟

de la forma tal que la función 𝑥 1 +𝑥 𝑢
se determina como 𝑥𝑟 = 2
cambie de signo sobre el intervalo
Si 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥𝑟 < 0, entonces la raíz se

encuentra dentro del primer subintervalo por
lo tanto se resuelve 𝑥𝑢 = 𝑥𝑟 continuando
hasta el siguiente paso.
PASO 3
Si 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥𝑟 > 0 la raíz se encuentra

Realizar las siguientes
dentro del segundo intervalo por lo tanto se evaluaciones y determinar en
resuelve 𝑥1 = 𝑥𝑟 que subintervalo cae la raíz
PASO 5 PASO 4
Se verifica si la nueva Se calcula una nueva aproximación

𝑥 1 +𝑥 𝑢
aproximación es tan exacta como a la raíz 𝑥𝑟 = 2
se desea, si es así los cálculos
terminan.

29
Método De La Regla Falsa
Aproximamos a la raíz, para ello

usamos:
Primero debemos encontrar
unos valores iniciales xa y xb
tales que: 𝑓 𝑥𝑎 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
𝑥𝑟 = 𝑥𝑎 −
𝑓 𝑥𝑎 𝑓 𝑥𝑏 < 0 𝑓 𝑥𝑏 − 𝑓 𝑥𝑎
Evaluamos 𝑓 𝑥𝑟 se pueden dar hasta tres opciones
𝑥𝑎 𝑓 𝑥𝑏 < 0 𝑥𝑎 𝑓 𝑥𝑏 > 0
𝑥𝑎 𝑓 𝑥𝑏 = 0
𝑓 𝑥𝑎 𝑦 𝑓 𝑥𝑟 Tienen el mismo
Como 𝑓 𝑥𝑎 𝑦 𝑓 𝑥𝑟 tiene signos En este caso, como 𝑓 𝑥𝑟 = 0 ya
signo. Así que 𝑥𝑏 y 𝑥𝑟 han de tenemos localizada la raíz.
opuestos, por la condición
tener signos distintos, pues: Debemos repetir estos tres pasos
mencionada deducimos que, la raíz 𝑥𝑎 𝑓 𝑥𝑏 < 0 señalados hasta que 𝐸𝑎 < 𝐸𝑏
se encuentra en el intervalo 𝑥𝑎 , 𝑥𝑟 Por tanto, la raíz se encuentra en
el intervalo 𝑥𝑎 , 𝑥𝑟

30
Método Newton Raphson
Tomar una primera

aproximación 𝑥1 cercana a la Obtener la primera derivada de la función
raíz 𝑓´ 𝑥 .
Sustituir los valores de

𝑥1 , 𝑓 𝑥1 ,𝑓´ 𝑥1 en la ecuación
de
Newton raphson para encontrar Evaluar 𝑥1 en la función 𝑓 𝑥 𝑦 𝑒𝑛 la primera

una nueva aproximación 𝑥2 derivada 𝑓´ 𝑥
𝑓 𝑥1
𝑥2 = 𝑥1 −
𝑓´ 𝑥1
Si 𝑥2 se aproxima a 𝑥1 en las cifras decimales o tolerancias deseadas, entonces tomamos 𝑥2

como el valor de la raíz o si no seguimos utilizando los pasos 3, 4 y 5 usando ahora el valor de
𝑥2 y encontrar una nueva aproximación, hasta que se llegue a un resultado con la tolerancia
deseada.

31
Método punto Fijo
Asignamos un valor inicial a 𝑥1 Evaluamos 𝑔 𝑥
Repetimos los pasos 2 y 3 hasta Asignamos este resultado a 𝑥1

que la sucesión converja o diverja Sustituyendo al valor anterior

32
Conclusiones
Al finalizar el desarrollo del trabajo se obtienen los conocimientos básicos para

reconocer y diferenciar los errores y se conocen los métodos necesarios para
calcular las raíces de una ecuación
En este proceso se pudo determinar y concluir la diferencia que existe en cada

uno de los métodos de errores, en ellos se determinar cuándo y en donde se
utiliza cada una, de igual manera todas van en compás de una la otra, todo estas
clase errores nos permite determinar la magnitud de error en cualquiera muestra
de investigación, nos facilita dar resultado con mayor precisión y ser más
redundante en las variable numérico
Lo errores numéricos se originan por el uso de aproximaciones para representar

las operaciones y cantidades matemáticas.
Existen varios tipos de errores como error absoluto, error relativo, error de
redondeo, error de truncamiento.
Se tiene en cuenta la aplicación de ejemplos a cada punto de la actividad para su

comprensión dinámica.
Se construye la actividad teniendo en cuenta el ABP

33
Referencias bibliográficas
Guía Integrada de Actividades.Universidad Nacional Abierta y a Distancia –

UNAD.Vicerrectoría Académica y de Investigación – VIACI Curso: Métodos
Numéricos Código: 100401
Rúbrica de evaluación.Universidad Nacional Abierta y a Distancia –

UNAD.Vicerrectoría Académica y de Investigación – VIACI Curso: Métodos
Numéricos Código: 100401
https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores-
error-absoluto-error-relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-
truncamiento
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/MODULO_2013-
2/leccin_3_error_relativo_aproximado.html
http://www.uv.es/~diaz/mn/node18.html
http://metodos-numericos-matlab.blogspot.com/2012/01/metodo-de-regula-falsi-
regla-falsa-o.html
http://noosfera.indivia.net/metodos/newtonRaphson.html
http://noosfera.indivia.net/metodos/puntoFijo.html
http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo5/5.4.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_bisecci%C3%B3n100401-
métodosnuméricos

34

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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

100401 –METODOS NUMERICOS

Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1

DANINSO JOSE GAMEZ

MARTIN GÓMEZ ORDUZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

Docente: Martín Gómez Orduz.

Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1

En el presente trabajo se encuentran los conceptos básicos, exactitud y raíces de

Por lo anterior el objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones

En esta actividad colaborativa se busca crear un consolidado de los aportes

Docente: Martín Gómez Orduz.

Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1

Realizar el reconocimiento y comprensión de la unidad 1 del curso de métodos

Aplicar el aprendizaje basado en problemas a través de ejemplos donde se

Formar pensamiento ingenieril a través de la aplicación aritmética de métodos

Docente: Martín Gómez Orduz.

Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1

Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado

Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto

Y el error relativo comoER = | P* - P| / P , si P =/ 0

Docente: Martín Gómez Orduz.

Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1

Ejemplo1:Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un

Solución: a) El error de medición del puente es:EA = 10 000 - 9 999 = 1cm

y para el remache es de EA = 10 - 9 = 1cm

b) El error relativo porcentual para el puente es de:ERP = 1/ 10 000 x 100% =

y para el remache es de ERP = 1/10 x 100% = 10%

Ejemplo2: Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el

Solución. Tenemos los siguientes resultados:

Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:

Docente: Martín Gómez Orduz.

Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1

Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:

En ambos casos, el error absoluto es igual, pero obviamente tiene mayor

Por ejemplo, en el caso de la varilla el error relativo porcentual es:

Mientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es:

Podemos observar, que el error relativo porcentual refleja mejor la gravedad o no

Docente: Martín Gómez Orduz.

Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1

Error relativo aproximado:

Error relativo aproximado = ERA

Tolerancia = (0.5x102-n) % Donde n = número de cifras significativas

Término de convergencia permite finalizar los cálculos. Es la desigualdad:

Error Por Truncamiento: En el subcampo matemático del análisis numérico,

Por ejemplo dados los números reales:

Docente: Martín Gómez Orduz.

Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1

Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el

Error Por Redondeo: Es el proceso mediante el cual se eliminan cifras

Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal,

Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π =

Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la

Docente: Martín Gómez Orduz.

Trabajo Colaborativo 1 2015 - 1

Método comúnLas reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la

Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se

Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el