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Aproximaciones y Errores de Redondeo
Aproximaciones y Errores de Redondeo
Aproximaciones y Errores de Redondeo
OBJETIVO DIDACTICO: Conocer las diferentes fuentes de errores que suelen aparecer en el proceso de
resolución de problemas científicos.
Aunque con la técnica numérica se puede obtener una aproximación a la solución exacta analítica, existe cierta
discrepancia o error, debido a que los métodos numéricos son sólo una aproximación. Pocas veces, somos afortunados
al disponer de la solución analítica y calcular el error en forma exacta. Pero para muchos problemas de aplicación no se
puede obtener una solución analítica, por lo tanto no podremos calcular con exactitud los errores asociados con
nuestros métodos numéricos. En esos casos debemos resolver por aproximación o estimar los errores. Pero ante este
panorama vale la pena preguntarse ¿qué nivel de error se presenta en los cálculos y qué tan tolerable es? Para
ello es necesario estudiar la información referente a la cuantificación de errores; los errores más comunes: el de
redondeo y el de truncamiento, entre otros.
Definiciones de Error: los errores numéricos son aquellos que se generan con el uso de aproximaciones para
representar las cantidades y operaciones matemáticas. Existen dos causas principales de errores en los cálculos
numéricos. La primera es el error de truncamiento y la segunda es el error de redondeo. El error de truncamiento se
debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo. Los errores de redondeo se asocian con el
número limitado de dígitos con que se representan los números en una computadora.
Cifras significativas: Son aquellas que llevan la información real a cerca del tamaño del número aparte de su
porción exponencial. Aunque, por lo común, determinar las cifras significativas de un número es un procedimiento
sencillo, en algunos casos genera cierta confusión. Por ejemplo, los ceros no siempre son cifras significativas, ya que
pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal.
Ejemplos:
• 8632574 redondeado a (4cs) es 8633000
• 3,1415926 redondeado a (5d) es 3,14159
• 8,5250 redondeado a (2d) es 8,53
• 1,6750 redondeado a (2d) es 1,68
• 4,53 x 104 tiene 3 cifras significativas
• 4,530 x 104 tiene 4 cifras significativas
• 4,5300 x 104 tiene 5 cifras significativas
El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos:
• Como ya se ha mencionado, los métodos numéricos dan resultados aproximados. Por lo tanto, se deben
desarrollar criterios para especificar qué tan confiable son dichos resultados. Una manera de hacerlo es en
términos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar que la aproximación es aceptable siempre
y cuando sea correcta con cuatro cifras significativas.
• Aunque ciertas cantidades como los números irracionales π , e, ó representan cantidades específicas, no
se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos, las computadoras retienen sólo un número
finito de cifras significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la omisión del resto
de cifras significativas es lo que hemos llamado error de redondeo.
Para minimizar el error de redondeo en cifras se utiliza el siguiente proceso: Sea a1, a2, a3, a4, a5, ... an
Para redondear a “n” decimales es decir cortar hasta a n:
a) Si el número an+1 > 5, entonces a n+1 (a n se incrementa en uno)
b) Si el número a n+1 < 5, entonces a n queda igual
c) Si el número a n+1 = 5, estudiar la naturaleza de a n (como se muestra en C1 y C2)
C1) si a n es par, este queda igual : a n
C2) si a n es impar, se le suma uno: a n+1
d) Si a n+1 = 4 y a n+2 >5, entonces a n+1 = a n+1+1, luego se aplica c)
EJEMPLOS:
• 0,283049 redondeado a (4d) es 0,2830 (el cero se toma como un número par)
• 0,283049 redondeado a (4CF) es 0,283
• 0,523149 redondeado a (4d) es 0,5232 (Observa que luego de 0,5231 tenemos 49 lo que pudiera redondearse
a 5 y como antes de él está 1, que es impar, se aplica C2)
• 0,314156739 redondeado a (4d) es 0,3142 redondeado a (5CF) es 0,3142
• 3,216545 redondeado a (4d) es 3,2165
Exactitud y Precisión: los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su
exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el valor verdadero.
La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Para
poder disminuir los errores cometidos en las aproximaciones numéricas, es necesario aumentar tanto la exactitud como
la precisión de manera simultánea para poder llegar a la solución requerida, es decir, se deben ir comparando las
diferentes aproximaciones obtenidas entre sí y a la vez con la solución exacta del problema.
Para los dos tipos de errores antes mencionados, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el
aproximado está dada por:
Reordenando la ecuación (1) se encuentra que el error verdadero o absoluto es igual a la diferencia entre el valor
verdadero y el valor aproximado, esto es:
Ev = Vv – aproximación (2)
Un defecto de esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando.
Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una
manera de medir magnitudes de las cantidades que se están evaluando es normalizar el error respecto al valor
verdadero, como en el error relativo
Ev
Error Re lativo = (3)
Vv
Si este error se multiplica por el 100% se obtiene el porcentaje de Error relativo el cual se expresa como:
Ev
ER = *100% (4) (Aquí ER representa el % de error)
Vv
Para los métodos numéricos, el valor verdadero sólo se conocerá cuando se hable de funciones que pueden resolverse
analíticamente. Por lo general éste no será el caso cuando se estudie el comportamiento teórico de una técnica en
particular. Sin embargo, en muchas aplicaciones no es posible obtener soluciones analíticas; por lo tanto, no se puede
calcular con exactitud los errores en nuestros métodos numéricos.
En estos casos, debemos usar aproximaciones o estimaciones a los errores, siendo una alternativa, normalizar el
error usando la mejor estimación posible del valor verdadero; esto es, para la aproximación misma como en
Error Aproximado
Ea = *100 % (5)
Valor Aproximado
Donde el subíndice “a” significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Uno de los retos a que se
enfrentan los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia del conocimiento de valores
verdaderos. Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular resultados. En tales casos
se hace una aproximación con base en la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces o de forma
iterativa para calcular en forma sucesiva más y mejores aproximaciones. En tales casos el error aproximado se calcula
como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el porcentaje de error está dado por
En numerosos cálculos numéricos, es probable que un procedimiento se detenga cuando cierto valor tiene a cero (por
ejemplo una diferencia en un problema de convergencia). Sin embargo es difícil obtener un valor exactamente nulo por
los problemas de aproximación y de imprecisión en los cálculos. Para remediar esto se suele detener los
procedimientos cuando el valor es sumamente pequeño. Este valor lo denotaremos como ε (epsilon), también
conocido como tolerancia.
Los signos de las ecuaciones (2) – (6) pueden ser positivos o negativos. A menudo cuando se realizan los cálculos
pueden no importar mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que la
tolerancia prefijada e. Por lo tanto, con frecuencia resulta útil emplear un valor absoluto en las ecuaciones (2) – (6). En
tales casos los cálculos se repiten hasta que
Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable
previamente fijado. Es conveniente relacionar también estos errores con el número de cifras significativas en la
aproximación, se puede demostrar que
donde n es el número de cifras significativas. En este caso se tiene que la aproximación que se obtenga con un margen
de error fijado por esta ecuación, será exacta en el número de cifras significativas con las que se ha calculado
previamente dicha tolerancia ( ε ).
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 1
23
e−x = =
x
x− ex x2
x3
e=1x−+ . . 1+ x + + + ...
3. Evalúe e-8.3 usando la siguiente aproximación 2!3 y 2 3! . Compare el valor
verdadero de 2.485160x10-4 y comente los resultados.
Fuentes de Error: los resultados numéricos están influenciados por muchos tipos de errores. Algunas
fuentes de error son difíciles de eliminar; otros se pueden reducir y hasta eliminar mediante, por ejemplo,
rescribiendo las fórmulas o haciendo cambios en la sucesión de cálculos.
a) Errores en los datos iniciales: apreciación de los aparatos de medición, entre otros.
b) Errores de redondeo en los cálculos
c) Error de truncación
d) Simplificación del modelo matemático: posturas asumidas no necesariamente ciertas.
e) Errores “humanos”: equivocaciones en la manipulación de equipos. Estos se pueden erradicar o
disminuir.