UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA

INGENIERÍA DE MINAS, PETRÓLEOS Y GEOTECNIA

Semestre I/2019

Ing. Osmar Condori Fulguera

osmarcondori@gmail.com
 Martes y Viernes de 14:30 a 16:00 hrs.

 TEMA 1 – Propiedades Mecánicas de las Rocas y

Teorías Sobre su Resistencia.
 TEMA 2 – Sostenimiento en Labores Subterráneas.
 TEMA 3 – Clasificaciones Geomecánicas.
 TEMA 4 – Diseño de Excavaciones en Roca Competente.
 TEMA 5 – Diseño de Excavaciones en Roca Laminada.
 TEMA 6 – Diseño de Pilares.
 - Exámenes Parciales 45 %.
- Examen Final 25 %.
- Laboratorios 15 %.
- Auxiliatura 15 %.

 Apuntes de Mecánica de Rocas, Ing. RUBÉN MEDINACELI ORTIZ.

 Excavaciones Subterráneas en Roca, E. HOEK & E. T. BROWN.
 Manual de Geomecánica Aplicada a la Prevención de Accidentes
por Caída de Rocas en Minería Subterránea, SOCIEDAD
NACIONAL DE MINERÍA, PETRÓLEO Y ENERGÍA.
 Manual Básico de Clasificaciones Geomecánicas Índice de Q y
RocK Mass Rating RMR, Dr. LUIS JORDA BORDEHORE.
◦ Esfuerzos en Planos Inclinados.
Campo de Esfuerzos Uniaxial.

𝜎𝑥 𝜃
◦ Esfuerzos en Planos Inclinados.
Campo de Esfuerzos Uniaxial.
𝜎𝜃 = 𝜎𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)
𝜎𝜃 = 𝜎𝑥
2
𝜎𝑥 𝜎𝑥
𝜎𝜃 = + 𝑐𝑜𝑠(2𝜃)
2 2

𝜏𝜃 = 𝜎𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜎𝑥
𝜏𝜃 = 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
2
𝜎𝑥
𝜏𝜃 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
2

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑥 ; 𝜃 = 0
𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑥 /2 ; 𝜃 = 45
◦ Esfuerzos en Planos Inclinados.
Campo de Esfuerzos Biaxial.

𝜎𝑦

𝜎𝑥 𝜃
◦ Esfuerzos en Planos Inclinados.
Campo de Esfuerzos Biaxial.
1
𝑆 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
1
𝐷 = 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2

𝜎𝜃 = 𝑆 + 𝐷 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝜏𝜃 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜎𝜃 = 𝜎𝑥 ; 𝜃 = 0
𝜎𝜃 = 𝜎𝑦 ; 𝜃 = 90

𝜎1,2 = 𝑆 ± 𝐷

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐷 ; 𝜃 = 45
◦ Esfuerzos en Planos Inclinados.
Campo de Esfuerzos Plano.
𝜎𝑦

𝜎𝑥 𝜃
◦ Esfuerzos en Planos Inclinados.
Campo de Esfuerzos Plano.

𝜎𝜃 = 𝑆 + 𝐷 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜏𝜃 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝜎𝜃 = 𝜎𝑥 ; 𝜃 = 0 ; 𝜏𝜃 = −𝜏
𝜎𝜃 = 𝜎𝑦 ; 𝜃 = 90 ; 𝜏𝜃 = 𝜏

𝜏
𝑡𝑎𝑛2𝜃𝑝 =
𝐷

𝜎1,2 = 𝑆 ± 𝐷 2 + 𝜏 2

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐷 2 + 𝜏 2 = 𝜎1 − 𝜎2 /2
 ◦ Esfuerzos en Planos Inclinados.
Ejemplo 1:

“El acero mostrado tiene una sección transversal rectangular de 50 mm por 10 mm. Los esfuerzos normales y cortantes permisibles en la superficie
inclinada a-a deben limitarse a 40 Mpa y 25 Mpa, respectivamente. Determine la magnitud de la fuerza axial máxima P que se puede aplicar a la barra”.
◦ Esfuerzos en Planos Inclinados.
Ejemplo 2.

“La barra tiene una sección transversal rectangular de 100 mm por 20 mm. Los esfuerzos normales y cortantes permisibles en la
superficie inclinada a-a deben limitarse a 45 Mpa y 25 Mpa, respectivamente. Determine la magnitud de la fuerza axial máxima P que
se puede aplicar a la barra y determine los esfuerzos normales y de corte que actúan sobre el plano inclinado a-a”
◦ Esfuerzos en Planos Inclinados.

Ejemplo 3.
Calcular los esfuerzos normal y tangencial.
𝜎𝑥 = 20 𝑀𝑝𝑎
𝜎𝑦 = −15 𝑀𝑝𝑎
𝜃 = −300 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙)

Ejemplo 4.
Calcular los esfuerzos normal y tangencial.
𝜎𝑥 = −25 𝑀𝑝𝑎
𝜎𝑦 = 30 𝑀𝑝𝑎
𝜏𝑥𝑦 = −25 𝑀𝑝𝑎
𝜃 = 700 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙)
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Uniaxial.
𝜎𝑥 𝜎𝑥
𝜎𝜃 = + cos(2𝜃)
2 2
𝜎𝑥
𝜏𝜃 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
2

𝜎𝑥 2 𝜎𝑥 2
𝜎𝜃 − = cos(2𝜃)
2 2
𝜎 𝑥
2
+ 𝜏𝜃 2 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
2
𝜎𝑥 2 𝜎𝑥 2 𝜎𝑥 2
𝜎𝜃 − + 𝜏𝜃 =2 cos(2𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
2 2 2

𝜎𝑥 2 𝜎𝑥 2 1
𝜎𝜃 − + 𝜏𝜃 2 = (𝑠𝑒𝑛2 (2𝜃) + 𝑐𝑜𝑠 2 (2𝜃))
2 2

𝜎𝑥 2
2
𝜎𝑥 2
𝜎𝜃 − + 𝜏𝜃 =
2 2
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Uniaxial.
𝜏
𝜎𝜃

𝜎𝑥
2 𝜏𝜃
2𝜃
𝜎

𝜎𝑥
2
𝜎𝑥
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Uniaxial.
Ejemplo 1: Dibujar el circulo de Mohr y determinar los valores de
𝜎𝜃 y 𝜏𝜃

400 600
10 Mpa

15 Mpa
Ejemplo 2: Dibujar el circulo de Mohr y determinar los valores de
𝜎𝑥 y 𝜎𝑦
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Biaxial.

𝜎𝜃 = 𝑆 + 𝐷 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝜏𝜃 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜎𝜃 − 𝑆 = 𝐷 𝑐𝑜𝑠2𝜃
𝜏𝜃 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜎𝜃 − 𝑆 2 = 𝐷 𝑐𝑜𝑠2𝜃 2
+ 𝜏𝜃 2 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2
𝜎𝜃 − 𝑆 2 + 𝜏𝜃 2 = 𝐷 𝑐𝑜𝑠2𝜃 2 + 𝐷 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2

2 2
1
𝜎𝜃 − 𝑆 + 𝜏𝜃 = 𝐷 2 (𝑠𝑒𝑛2 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝜃)

𝜎𝜃 − 𝑆 2 + 𝜏𝜃 2 = 𝐷2
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Biaxial.
𝜏
𝜎𝜃

𝐷
𝜎𝑦 𝜏𝜃
2𝜃
𝜎

𝜎𝑥
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Biaxial.

Ejemplo 3:
Dibujar el circulo de Mohr para el caso de un campo de esfuerzos
biaxial donde 𝜎𝑥 = −600 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 y 𝜎𝑦 = 200 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 . Además
cuantificar e identificar los esfuerzos 𝜎𝜃 y 𝜏𝜃 sobre un plano
inclinado que forma 22.5° con la vertical.
𝜎𝑦

𝜎𝑥 𝜃
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Biaxial.

Ejemplo 4: Dibujar el circulo de Mohr y determinar los valores de

𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 y 𝜏𝑥𝑦
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Plano.
𝜎𝜃 = 𝑆 + 𝐷 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜏𝜃 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝜎𝜃 − 𝑆 = 𝐷 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜏𝜃 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝜎𝜃 − 𝑆 2 = 𝐷 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑠𝑒𝑛2𝜃 2
+ 𝜏𝜃 2 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜏𝑐𝑜𝑠2𝜃 2
𝜎𝜃 − 𝑆 2 + 𝜏𝜃 2 = 𝐷 2 𝑐𝑜𝑠 2 2𝜃 + 2𝐷𝑐𝑜𝑠2𝜃𝜏𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏 2 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃
𝐷 2 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃 − 2𝐷𝑠𝑒𝑛2𝜃𝜏𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏 2 𝑐𝑜𝑠 2 2𝜃

2 2 1 1
𝜎𝜃 − 𝑆 + 𝜏𝜃 = 𝐷 2 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝜃 + 𝜏 2 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝜃

2 2
𝜎𝜃 − 𝑆 + 𝜏𝜃 = 𝐷2 + 𝜏 2
𝜏 𝜎𝜃

𝜏𝜃
2𝜃 𝜎2
𝜎
2𝜃𝑝

−𝜏
𝜎1

𝜎𝑥
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Plano.
Ejemplo 5: Un cuerpo esta sometido a un campo de esfuerzos
plano en el que 𝜎𝑥 = 600 kg/𝑐𝑚2 , 𝜎𝑦 = 100 kg/𝑐𝑚2 y τ = 300 kg/𝑐𝑚2 .
Utilizando el circulo de Mohr determinar:
a) Los esfuerzos principales.
b) Los esfuerzos normal y tangencial, sobre el plano que forma
45𝑜 con la vertical.
c) El valor máximo para el esfuerzo cortante.
100 kg/𝑐𝑚2

300 kg/𝑐𝑚2
600 kg/𝑐𝑚2
𝜃
 𝜏 𝜎𝜃

𝜏𝜃

𝜎1 2𝜃 𝜎2
𝜎
2𝜃𝑝

−𝜏

𝜎𝑥
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Bidimensional).
Campo de Esfuerzos Plano.

Ejemplo 6: Dibujar el circulo de Mohr y determinar los valores de

𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 y 𝜏𝑥𝑦
◦ Circulo de Mohr (Estado de Tensión Tridimensional).
◦ Obtención de la Muestra.
La muestra de roca debe ser cilíndrica. Los diámetros
estandarizados son: AQ (27 mm), BQ (36.4 mm), NQ (47.6 mm),
HQ (63.5 mm), PQ (85 mm), SQ (102 mm) y NX (54 mm).
◦ Obtención de la Muestra.

Dando Terrier 2002 (Perforación Diamantina DDH)

◦ Compresión Uniaxial.
Martillo de Geólogo (Cateador).
◦ Compresión Uniaxial.
Martillo Schmidt (Esclerómetro).

Determina la resistencia a la
compresión simple a través de un
estudio de la dureza superficial de la
roca.

Esclerómetro Tipo L.
Energía de impacto: 0,735 N-m.

Esclerómetro Tipo N.
Energía de impacto: 2,207 N-m.
◦ Ensayo de Compresión Uniaxial.
◦ Ensayo de Compresión Uniaxial.
La relación l/d debe ser de 2.0 a 2.5 y un diámetro no inferior a
47 mm.

𝑃𝑐 𝑃𝑐
𝜎𝑐 = = 𝜋
𝐴 𝑑2
4 𝑃𝑐
𝑙: Longitud de la muestra. 𝜃
𝑑: Diámetro de la muestra.
𝜎𝑐 : Resistencia a la compresión uniaxial.
𝑃𝑐 : Carga compresiva aplicada a la muestra.
𝐴: Área transversal de la muestra.
◦ Ensayo de Carga Puntual.
◦ Ensayo de Carga Puntual.
Para el ensayo de carga
puntual diametral, la relación
l/d ser mayor a 1.
Para el ensayo de carga
puntual axial, la relación l/d
debe estar entre 0,3 y 1.
l: Longitud de la muestra.
d: Diámetro de la muestra.
Para el ensayo de carga
puntual de bloques, la relación
l/D debe ser mayor a 1 y D/W
debe estar entre 0,3 y 1.
D: Distancia entre punzones .
W: Ancho de la muestra.
◦ Ensayo de Carga Puntual.
𝑃𝑐 4𝑊𝐷
𝐼𝑠 = 𝐷𝑒 2 =
𝐷𝑒 2 𝜋

𝐼𝑠 : Índice de carga puntual.

𝑃𝑐 : Carga compresiva aplicada a la muestra.
𝐷𝑒 2 : Diámetro equivalente.
𝑊: Ancho de la muestra.
𝐷: Distancia entre punzones.
𝜎𝑐 = 24 ∗ 𝐼𝑠(50)
𝜎𝑐 : Resistencia a la compresión uniaxial.
𝐼𝑠(50) : Índice de carga puntual con diámetro equivalente de 50 mm.
𝐼𝑠(50) = 𝐹 ∗ 𝐼𝑠
𝐹: Factor de corrección.
𝐷𝑒 0,45
𝐹=
50
◦ Ensayo de Carga Puntual.
◦ Ensayo de Tracción Directa.

𝑃𝑡 𝑃𝑡
𝜎𝑡 = = 𝜋
𝐴 𝑑2
4
𝑃𝑡
𝑙: Longitud de la muestra. 𝜃
𝑑: Diámetro de la muestra.
𝜎𝑡 : Resistencia a la tracción.
𝑃𝑡 : Carga de tracción aplicada a la muestra.
𝐴: Área transversal de la muestra.
◦ Ensayo de Tracción Indirecta (Brazilian).
◦ Ensayo de Tracción Indirecta (Brazilian).
El ensayo indirecto de resistencia a la tracción consiste en someter
a compresión la muestra. La relación l/d debe ser igual a 0.5 y un
diámetro no inferior a 47 mm.
2𝑃𝑐
𝜎𝑡 =
𝜋𝑑𝑙

𝜎𝑡 : Resistencia a la tracción.
𝑃𝑐 : Carga compresiva aplicada a la muestra.
 𝜎1
◦ Ensayo de Compresión Triaxial.

𝜎3
◦ Ensayo de Compresión Triaxial.

La máxima carga axial y la presión de

confinamiento servirán para graficar
los correspondientes círculos de Mohr,
a partir de los cuales se podrá trazar la
curva envolvente, determinándose el
ángulo de fricción interna y la cohesión
de la roca intacta.
◦ Modulo de Elasticidad.

Deformación Axial:
𝜀𝑦 = ∆𝐿/𝐿
Deformación Lateral:
𝜀𝑥 = ∆𝑊/𝑊
Coeficiente de Poisson:

𝜀𝑥 ∆𝑊/𝑊
𝜐= =
𝜀𝑦 ∆𝐿/𝐿
Modulo de Elasticidad:
𝐸 = ∆𝜎/∆𝜀𝑦
◦ Modulo de Elasticidad.
◦ Ensayo de Corte Directo.
◦ Ensayo de Corte Directo.

En una excavación subterránea o en

taludes de roca, por lo general existe
derrumbes debido a la presencia de
discontinuidades. Cuando la roca se
encuentra confinada o sujeta a
tensiones en varias direcciones,
dichas tensiones pueden
descomponerse en dos direcciones
principales; una normal a la
superficie y la otra tangencial a la
superficie. Este ensayo tiene por
finalidad reproducir en el laboratorio
aproximadamente lo que ocurre en el
macizo rocoso.
◦ Teoría Mohr - Coulomb.
𝜏

𝑐
𝜑

𝜏 = 𝑐 + 𝑡𝑔𝜑 𝜎
◦ Teoría Mohr - Coulomb.
◦ Teoría Mohr - Coulomb.
𝜏

𝐸𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒 𝜑 900

𝑐
2𝜃

𝜑
𝜃 = + 450
2
◦ Teoría Mohr - Coulomb.
𝜏
𝐸𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒

𝜑 𝑐 𝜎3 𝜎1
𝜎
◦ Teoría Mohr - Coulomb.
𝜏
𝐸𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐
𝜑 𝜎3 𝜎1
𝜎

𝜏 = 𝑐 + 𝑡𝑔𝜑 𝜎
◦ Teoría Mohr - Coulomb.

Ejemplo 1:
Una probeta de roca sometida a compresión simple falla a 4000
psi. El plano de falla forma un ángulo de 60𝑜 con el plano principal
mayor. Asumiendo una relación lineal entre el esfuerzo normal y
el esfuerzo de corte, estimar:
a) La cohesión de la roca.
b) La resistencia de la roca al corte en un plano que forma 30𝑜
con el plano principal mayor.
c) El ángulo de fricción interna.
d) Los esfuerzos normal y tangencial sobre el plano de falla.
e) La resistencia de la roca a la tracción uniaxial.
f) La ecuación de la envolvente.
𝜏

120𝑜
60𝑜 𝜎
◦ Teoría Mohr - Coulomb.

Ejemplo 2:

El valor promedio de una serie de pruebas a la compresión simple

de un determinado suelo fue de 40 psi. El valor promedio del
esfuerzo principal mayor en una serie de pruebas a la compresión
triaxial del mismo suelo fue de 300 psi para una presión de
confinamiento igual a 60 psi.

¿Cual es la cohesión y el ángulo de fricción interna?

𝜏

𝜎
◦ Teoría Mohr - Coulomb.
Ejemplo 3:
A partir de la tabla determinar:
ENSAYO DE LABORATORIO
COMPRESIÓN SIMPLE COMPRESIÓN TRIAXIAL
ENSAYO 𝜎1 [MPa] ENSAYO 𝜎3 [MPa] 𝜎1 [MPa]
1 368 1 125 625
2 379 2 265 905
3 365 3 265 925
4 356 4 265 915
5 382

a) La ecuación de la envolvente.
b) La resistencia a la tracción uniaxial.
c) El ángulo de fricción interna.
d) La cohesión de la roca.
◦ Teoría Mohr - Coulomb.
Ajuste lineal.
250

200
Esfuerzo Cortante [Mpa]

150

100

50

0
0 100 200 300 400 500 600
Esfuerzo Normal [Mpa]
◦ Teoría Mohr - Coulomb.
Ajuste lineal.
250

𝐷 = 34.786 + 0.615 𝑆
200 𝑅2 = 0.993
Semidiferencia [Mpa]

150

100
𝜑 = 𝑠𝑒𝑛−1 b = 𝑠𝑒𝑛−1 0.615 = 37.932𝑜
50 𝑎 34.786
𝑐= = = 44.10 [𝑀𝑝𝑎]
cos(𝜑) cos(37.932)
0
50 100 150 200 250 300
Semisuma [Mpa]
 ◦ Teoría Mohr - Coulomb.
Ajuste lineal.
250
𝜑 = 37.93𝑜
𝑐 = 44.10 [𝑀𝑝𝑎]
200

𝜎𝑡 = −43.09 [𝑀𝑝𝑎]
Esfuerzo Cortante [Mpa]

150

100

50

0
-100 0 100 200 300 400 500 600
Esfuerzo Normal [Mpa]
 ◦ Teoría Mohr - Coulomb.
Ajuste lineal.
600

500
Esfuerzo Principal Mayor [Mpa]

400

300

𝜎1 = 184.250 + 4.106 𝜎3
200
𝑅2 = 0.975
100

0
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Esfuerzo Principal Menor [Mpa]
◦ Teoría Hoek - Brown.
Criterio de Hoek-Brown1980:
𝜎3 ′
𝜎1 ′ = 𝜎3 ′ + 𝜎𝑐𝑖 𝑚𝑏 +𝑠
𝜎𝑐𝑖
𝜎1 ′ 𝑦 𝜎3 ′ : Esfuerzos principales.
𝜎𝑐𝑖 : Resistencia a la compresión simple
(roca intacta).

Roca perturbada.
𝑅𝑀𝑅−100
𝑚𝑏 = 𝑚𝑖 𝑒 14
𝑅𝑀𝑅−100
𝑠 =𝑒 6

𝑅𝑀𝑅: Rock Mass Rating.

◦ Teoría Hoek - Brown.
Roca no perturbada.
𝑅𝑀𝑅−100
𝑚 𝑏 = 𝑚𝑖 𝑒 28
𝑅𝑀𝑅−100
𝑠 =𝑒 9

𝑅𝑀𝑅: Rock Mass Rating.

Resistencia a la compresión (macizo rocoso).

𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑖 𝑠

Resistencia a la tracción (macizo rocoso).

1
𝜎𝑡 = 𝜎𝑐𝑖 𝑚𝑏 − 𝑚𝑏 2 + 4𝑠
2
 ◦ Teoría Hoek - Brown.
Criterio de Hoek-Brown 2002:
′ 𝑎
𝜎3
𝜎1 ′ = 𝜎3 ′ + 𝜎𝑐𝑖 𝑚𝑏 +𝑠
𝜎𝑐𝑖

𝜎1 ′ 𝑦 𝜎3 ′ : Esfuerzos principales.
𝜎𝑐𝑖 : Resistencia a la compresión simple
(roca intacta).

𝐺𝑆𝐼−100
𝑚𝑏 = 𝑚𝑖 𝑒 28−14 𝐷

𝐺𝑆𝐼: Geological Strength Index.

𝐷: Grado de alteración por efecto de la
voladura o por la relajación de esfuerzos.
𝑠 𝑦 𝑎: Constantes de del macizo rocoso.

𝐺𝑆𝐼−100
𝑠=𝑒 9−3 𝐷

1 1 −𝐺𝑆𝐼 −
20
𝑎 = + 𝑒 15 − 𝑒 3
2 6
◦ Teoría Hoek - Brown.
Resistencia a la compresión (macizo rocoso).
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑖 𝑠 𝑎

Resistencia a la tracción (macizo rocoso).

𝑠 𝜎𝑐𝑖
𝜎𝑡 = −
𝑚𝑏
Modulo de Deformación.
Cuando 𝜎𝑐𝑖 ≤ 100 entonces:
𝐷 𝜎𝑐𝑖 𝐺𝑆𝐼−10
𝐸𝑚 = 1 − 10 40 𝐺𝑃𝑎
2 100

Cuando 𝜎𝑐𝑖 > 100 entonces:

𝐷 𝐺𝑆𝐼−10
𝐸𝑚 = 1 − 10 40 𝐺𝑃𝑎
2
◦ Teoría Hoek – Brown.
Conversión a Mohr – Coulomb.

6𝑎 𝑚𝑏 𝑠 + 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑎−1
𝜑′ = 𝑠𝑒𝑛−1
2 1 + 𝑎 2 + 𝑎 + 6𝑎 𝑚𝑏 𝑠 + 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑎−1

𝜎𝑐𝑖 1 + 2𝑎 𝑠 + 1 − 𝑎 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑠 + 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑎−1

𝑐′ =
1+𝑎 2+𝑎 1 + 6𝑎 𝑚𝑏 𝑠 + 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑎−1 / 1+𝑎 2+𝑎

𝑚𝑏 𝑎−1
𝜎3 𝑚𝑎𝑥 ′ 𝑚𝑏 + 4𝑠 − 𝑎(𝑚𝑏 − 8𝑠) +𝑠
𝜎3𝑛 ′
= ; 𝜎𝑐𝑚 ′ = 𝜎𝑐𝑖 4
𝜎𝑐𝑖 2(1 + 𝑎)(2 + 𝑎)
◦ Teoría Hoek – Brown.
Conversión a Mohr - Coulomb.

Túneles:
−0,94
𝜎3 𝑚𝑎𝑥 ′ 𝜎𝑐𝑚 ′
= 0,47
𝜎𝑐𝑚 ′ 𝛾𝐻

Taludes:

−0,91
𝜎3 𝑚𝑎𝑥 ′ 𝜎𝑐𝑚 ′
′
= 0,72
𝜎𝑐𝑚 𝛾𝐻
◦ Teoría Hoek - Brown.
◦ Teoría Hoek - Brown.
Criterio de Hoek-Brown (Roca Intacta):
0.5
𝜎3 ′
𝜎1 ′ = 𝜎3 ′ + 𝜎𝑐𝑖 𝑚𝑖 +1
𝜎𝑐𝑖

𝐺𝑆𝐼−100
𝑠=𝑒 9−3 𝐷 =1

1 1 −𝐺𝑆𝐼 −
20
𝑎 = + 𝑒 15 − 𝑒 3 = 0.5
2 6
Resistencia a la compresión (roca intacta).
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑖

Resistencia a la tracción (roca intacta).

𝜎𝑐𝑖
𝜎𝑡 = −
𝑚𝑖
◦ Teoría Hoek - Brown.

Ejemplo 1:
A partir del criterio de rotura de Hoek & Brown determinar:
a) La resistencia a la compresión.
b) La resistencia a la tracción.
c) Cohesión.
d) Angulo de fricción interna.
e) Graficar el criterio de Hoek & Brown.
𝑀𝑁
Datos: 𝜎𝑐𝑖 =120 MPa, GSI=60, mi=11, D=0.8, γ=0.029 y
𝑚3
H=11 m (altura del talud).
◦ Teoría Hoek - Brown.
𝐺𝑆𝐼−100
𝑚𝑏 = 𝑚𝑖 𝑒 28−14 𝐷 = 1,017
𝐺𝑆𝐼−100
𝑠=𝑒 9−3 𝐷 = 0,002

1 1 −𝐺𝑆𝐼 −
20
𝑎 = + 𝑒 15 − 𝑒 3 = 0,503
2 6
a) Resistencia a la compresión simple.
𝜎𝑐 = 𝜎𝑐𝑖 𝑠 𝑎 = 5,697 𝑀𝑃𝑎
b) Resistencia a la tracción uniaxial.

𝑠 𝜎𝑐𝑖
𝜎𝑡 = − = −0,275 𝑀𝑃𝑎
𝑚𝑏
◦ Teoría Hoek - Brown.

𝑚𝑏 𝑎−1
𝑚𝑏 +4𝑠−𝑎(𝑚𝑏 −8𝑠) +𝑠
𝜎𝑐𝑚 ′ = 𝜎𝑐𝑖 4
= 16,449 𝑀𝑝𝑎
2(1+𝑎)(2+𝑎)

−0,91
𝜎3 𝑚𝑎𝑥 ′ 𝜎𝑐𝑚 ′
= 0,72
𝜎𝑐𝑚 ′ 𝛾𝐻

−0,91
𝜎𝑐𝑚 ′
𝜎3 𝑚𝑎𝑥 ′ = 0,72 𝜎𝑐𝑚 ′ = 0,328 𝑀𝑃𝑎
𝛾𝐻

𝜎3 𝑚𝑎𝑥 ′
𝜎3𝑛 ′ = = 0,003 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝑐𝑖
◦ Teoría Hoek - Brown.
c) Cohesión.

𝜎𝑐𝑖 1 + 2𝑎 𝑠 + 1 − 𝑎 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑠 + 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑎−1

𝑐′ =
1+𝑎 2+𝑎 1 + 6𝑎 𝑚𝑏 𝑠 + 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑎−1 / 1+𝑎 2+𝑎

𝑐 ′ = 0,761 𝑀𝑃𝑎
d) Angulo de fricción interna.

6𝑎 𝑚𝑏 𝑠 + 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑎−1
𝜑 ′ = 𝑠𝑒𝑛−1 = 58,1020
2 1 + 𝑎 2 + 𝑎 + 6𝑎 𝑚𝑏 𝑠 + 𝑚𝑏 𝜎3𝑛 ′ 𝑎−1
◦ Teoría Hoek - Brown.
e) Graficar el criterio de Hoek & Brown juntamente a la de Mohr
& Coulomb.
10

8
Major principal stress (MPa)

0
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Minor principal stress (MPa)
◦ Teoría Hoek - Brown.
Ejemplo 2:
35

30

25
Esfuerzo Principal Mayor [Mpa]

20

15

10

0
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-5
Esfuerzo Principal Menor [Mpa]
◦ Teoría Hoek - Brown.

Datos:
𝜎𝑐𝑖 = 150 𝑀𝑝𝑎 ; 𝑚𝑖 = 10

A partir del grafico, datos y empleando el criterio de Hook &

Brown determinar:

a) Resistencia a la compresión y tracción uniaxial de la roca

intacta.
b) Cohesión y ángulo de fricción interna de la roca intacta.
c) Resistencia a la compresión y tracción uniaxial del macizo
rocoso.
d) Cohesión y ángulo de fricción interna del macizo rocoso.