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Clase 3 Demostración Deflexión en Viga Carga Uniformemente Repartida
Clase 3 Demostración Deflexión en Viga Carga Uniformemente Repartida
Clase 3 Demostración Deflexión en Viga Carga Uniformemente Repartida
𝛿 2𝑦
1) 𝐸𝐼 =𝑀
𝑑𝑥 2
→ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎.
𝛿𝑦
2) 𝐸𝐼 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝐶1
𝑑𝑥
→ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 1𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑜 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
3) 𝐸𝐼𝑦 = 𝑀𝑑𝑥 2 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2
∑𝑴𝑨+↺ = 𝟎 ;
𝐿
𝑅𝑉𝐴 (0) − 𝑊𝐿 ( ) + 𝑅𝑉𝐵(𝐿) = 0 ;
2
𝐿
𝑅𝑉𝐵(𝐿) = 𝑊𝐿 ( )
2
𝐿 1 𝑊𝐿
𝑅𝑉𝐵 = 𝑊𝐿 ( ) ( ) =
2 𝐿 2
∑𝑭𝒚+↑ = 𝟎 ;
𝑊𝐿
𝑅𝑉𝐴 − 𝑊𝐿 + =0;
2
𝑊𝐿
𝑅𝑉𝐴 =
2
∑𝑭𝒙+→ ≠ 𝟎 , 𝒏𝒐 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂.
𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑖𝑠 𝑑𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
∑𝑴𝑨+↺ = 𝟎 ;
𝑤𝑙 𝑥
𝑀𝐴 − (𝑥) + 𝑤𝑥 ( ) = 0
2 2
𝒘𝒍 𝒘𝒙𝟐
𝑴𝑨 = (𝒙) −
𝟐 𝟐
𝑤𝑙 𝑤02
𝑀𝐴 = (0) − = 0 → 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0
2 2
𝑤𝑙 𝑤𝑙 2
𝑀𝐴 = (𝑙) − = 0 → 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝑙
2 2
Derivamos la ecuación de momento para obtener la ecuación de cortante.
𝛿𝑀𝐴 𝑤𝑙 𝑤𝑥 2
=𝑉= (𝑥) −
𝑑𝑥 2 2
𝒘𝒍
𝑽= − 𝒘𝒙
𝟐
Evaluamos en los límites la ecuación de cortante.
𝑤𝑙 𝑤𝑙
𝑉= − 𝑤0 = → 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0
2 2
𝑤𝑙 𝑤𝑙
𝑉= − 𝑤𝑙 = − → 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝑙
2 2
𝑤𝑙
0= − 𝑤𝑥
2
𝑤𝑙 1
𝑥= ( )
2 𝑤
𝑙
𝑥=
2
Una vez obtenido el valor anterior, sustituimos en la ecuación de momento para
obtener el valor máximo.
𝑙 2
𝑤𝑙 𝑙 𝑤 (2)
𝑀𝑚á𝑥 = ( )−
2 2 2
𝑤𝑙 2 𝑤𝑙 2
𝑀𝑚á𝑥 = −
4 8
𝒘𝒍𝟐
𝑴𝒎á𝒙 =
𝟖
𝛿 2 𝑦 𝑤𝑙 𝑤𝑥 2
1) 𝐸𝐼 = (𝑥) −
𝑑𝑥 2 2 2
𝛿𝑦 𝑤𝑙 2
𝑤𝑥 3
2) 𝐸𝐼 = (𝑥) − + 𝐶1
𝑑𝑥 4 6
𝑤𝑙 𝑤𝑥 4
3) 𝐸𝐼𝑦 = (𝑥)3 − + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2
12 24
𝑤𝑙 3
𝑤(0)4
𝐸𝐼(0) = (0) − + 𝐶1 (0) + 𝐶2
12 24
𝐶2 = 0
𝑤𝑙 𝑤𝑙 4
𝐸𝐼(0) = (𝑙)3 − + 𝐶1 (𝑙) + 0
12 24
𝑤𝑙 4 𝑤𝑙 4
𝐶1 (𝑙) = − +
12 24
𝑤𝑙 4 1 𝑤𝑙 3
𝐶1 = − ( )=−
24 𝑙 24
Finalmente:
𝑤𝑙 3
𝑤𝑥 4 𝑤𝑙 3
𝐸𝐼𝑦 = (𝑥) − − (𝑥) + 0
12 24 24
𝑤𝑙 𝑙 3 𝑤 𝑙 4 𝑤𝑙 3 𝑙
𝐸𝐼𝑦 = ( ) − ( ) − ( )+ 0
12 2 24 2 24 2
5𝑤𝑙 4
𝐸𝐼𝑦 = −
384
𝟓𝒘𝒍𝟒
𝒚 = ∆= −
𝟑𝟖𝟒𝑬𝑰
𝛿𝑦 𝑤𝑙 2
𝑤𝑥 3 𝑤𝑙 3
𝐸𝐼 = (𝑥) − −
𝑑𝑥 4 6 24
Evaluamos la ecuación del giro en toda la longitud.
𝛿𝑦 𝑤𝑙 𝑤𝑙 3 𝑤𝑙 3
𝐸𝐼 = (𝑙)2 − −
𝑑𝑥 4 6 24
𝜹𝒚 𝒘𝒍𝟑
=𝜽=
𝒅𝒙 𝟐𝟒𝑬𝑰
Fig.01.-Ecuaciones para cálculo de la deflexión y giro en una viga isostática con carga
uniformemente distribuida, Fuente: James M. Gere. 7º Ed.- S. Mecánica de materiales.
Referencias.
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