Tipeado por: LUPACA VILCHES SANTOS JULIÁN.

Cálculos electricos.
Análisis de alternativas.
Soporte doble terna.

Se han hecho transposiciones en cada circuito a la tercera parte y a las

dos terceras partes de la longitud de la línea.
El radio medio geométrico del conjunto de dos conductores
correspondientes a la fase A es:
4 2
𝑅𝑀𝐺𝐴 = √𝑟𝑎 𝑟𝑎′ 𝑑𝑎𝑎 ′

Donde:
𝑟𝑎 : Radio medio geométrico del conductor 𝑎.
𝑟𝑎 ′ : Radio medio geométrico del conductor 𝑟𝑎′ .
𝑑𝑎𝑎′ : Distancia entre los conductores 𝑎 𝑦 𝑎′.
Si los conductores de los dos circuitos son iguales, como ocurre generalmente,
𝑟𝑎 = 𝑟𝑎′ = 𝑟1 .

𝑅𝑀𝐺𝐴 = √𝑟1 𝑑𝑎𝑎′

Análogamente, los radios medios geométricos del conjunto de dos conductores

correspondientes a las fases B y C, son:

𝑅𝑀𝐺𝐵 = √𝑟1 𝑑𝑏𝑏′

 𝑅𝑀𝐺𝐶 = √𝑟1 𝑑𝑐𝑐 ′

La distancia media geométrica entre los conductores de la fase A y los de la fase

B, es:

𝐷𝑀𝐺𝐴𝐵 = 4√𝑑𝑎𝑏 ∗ 𝑑𝑎𝑏′ ∗ 𝑑𝑎′ 𝑏 ∗ 𝑑𝑎′𝑏′

La distancia media geométrica entre los conductores de la fase A y los de la fase

C, es:

𝐷𝑀𝐺𝐴𝐶 = 4√𝑑𝑎𝑐 ∗ 𝑑𝑎𝑐 ′ ∗ 𝑑𝑎′ 𝑐 ∗ 𝑑𝑎′𝑐′

La distancia media geométrica entre los conductores de la fase B y los de la fase

C, es:

𝐷𝑀𝐺𝐵𝐶 = 4√𝑑𝑏𝑐 ∗ 𝑑𝑏𝑐 ′ ∗ 𝑑𝑏′ 𝑐 ∗ 𝑑𝑏′𝑐′

La inductancia de los dos circuitos trifásicos en paralelo, por fase, es:

3
√𝐷𝑀𝐺𝐴𝐵 ∗ 𝐷𝑀𝐺𝐴𝐶 ∗ 𝐷𝑀𝐺𝐵𝐶 10−7 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦𝑠
𝐿 = 2𝐿𝑛 ×
3
√𝑅𝑀𝐺𝐴 ∗ 𝑅𝑀𝐺𝐵 ∗ 𝑅𝑀𝐺𝐶 𝑚

Y la reactancia inductiva, es:

3
√𝐷𝑀𝐺𝐴𝐵 ∗ 𝐷𝑀𝐺𝐴𝐶 ∗ 𝐷𝑀𝐺𝐵𝐶 𝑜ℎ𝑚𝑠
𝑋𝐿 = 0,00289𝑓 𝑙𝑜𝑔10
√𝑅𝑀𝐺𝐴 ∗ 𝑅𝑀𝐺𝐵 ∗ 𝑅𝑀𝐺𝐶 𝑘𝑚
3

Estructura preparada para doble terna. ¿La inductancia

de esta terma es la misma cuando opere en doble terna?

Estructura en doble terna y un conductor por fase.

¿Cuál es la secuencia abc?
¿Cómo se calcula la inductancia de la línea?

SOPORTES CON CONDUCTORES MÚLTIPLES POR

FASE
Sea una línea formada por un circuito trifásico con dos conductores por fase
como se indica.
La distancia entre dos conductores de cada fase es:
𝑑𝑎𝑎′ = 𝑑𝑏𝑏′ = 𝑑𝑐𝑐′ = 2𝑅
El radio medio geométrico del conjunto de los dos conductores de cada fase es:
4
𝑅𝑀𝐺𝐴 = 𝑅𝑀𝐺𝐵 = 𝑅𝑀𝐺𝐶 = √𝑟12 4𝑅 2 = √2𝑟1 𝑅

Donde 𝑟1 es el radio medio geométrico de cada conductor y 2R es la distancia

entre los dos conductores de la misma fase.
La distancia media geométrica entre las fases A y B es:
4
𝐷𝑀𝐺𝐴𝐵 = 4√𝑑𝑎𝑏 ∗ 𝑑𝑎𝑏′ ∗ 𝑑𝑎′ 𝑏 ∗ 𝑑𝑎′ 𝑏′ = √𝑑𝐴𝐵
2 (𝑑
𝐴𝐵 + 𝑅)(𝑑𝐴𝐵 + 2𝑅) =

4
2 (𝑑 2 2
= √𝑑𝐴𝐵 𝐴𝐵 − 4𝑅 )

2𝑅 es generalmente del orden de 0.4m y 𝑑𝐴𝐵 mayor de 10m.

Por lo tanto puede despreciarse el término 4𝑅 2y resulta:
𝐷𝑀𝐺𝐴𝐵 = 𝑑𝐴𝐵
𝐷𝑀𝐺𝐴𝐶 = 𝑑𝐴𝐶
𝐷𝑀𝐺𝐵𝐶 = 𝑑𝐵𝐶

ESTRUCTURA EN DOBLE TERNA Y 04 CONDUCTORES

POR FASE
¿CUAL ES LA SECUENCIA DE ABC?
¿Cómo SE CALCULA LA INDUCTANCIA DE LA LINEA?
LOS PARAMETROS DE TRANSMISION.
Como ha sido analizado, las ecuaciones de la línea de transmisión, cualquiera
que sea el procedimiento para plantearlas tiene la forma siguiente:
𝑉̃𝐺 = 𝐴𝑉̃𝑅 + 𝐵𝐼̃𝑅 𝐼̃𝐺 = 𝐶𝑉̃𝑅 + 𝐷𝐼̃𝑅
En donde A, B, C y D son los parámetros (constantes generalizadas) de
transmisión de línea. Estos valores son conocidos para cada uno de los tipos de
línea, teniendo en cuenta 𝑙 es la longitud de la línea y z es la impedancia en serie
por unidad de longitud así como Y es la admitancia en paralelo por unidad de
longitud, tenemos:
𝑍 = 𝑧𝑙 𝑦 = 𝑧𝑙
LÍNEAS DE CORTA LONGITUD.

Con la representación del circuito de la figura podemos plantear:

𝐸𝐺 = 𝑍𝐼𝑅 + 𝐸𝑅 ∧ 𝐼𝐺 = 𝐼𝑅
Que al re escribir las ecuaciones:
𝐸𝐺 = (1)𝐸𝑅 + (𝑍)𝐼𝑅
𝐼𝐺 = (0)𝐸𝑅 + (1)𝐼𝑅
𝐸𝐺 1 𝑍 𝐸𝑅 𝐴 𝐵 1 𝑍
[ ]=[ ][ ] → [ ]=[ ]
𝐼𝐺 0 1 𝐼𝑅 𝐶 𝐷 0 1
LINEAS DE LONGITUD MEDIA CIRCUITO 𝜋.
Representadas por el circuito de la figura, en donde los parámetros podemos
calcularlos en la forma:
𝐸𝐺 = 𝐴𝐸𝑅 + 𝐵𝐼𝑅
𝐼𝐺 = 𝐶𝐸𝑅 + 𝐷𝐼𝑅
 𝑉 𝑉𝐺 𝑌𝑍
Si 𝐼𝑅 = 0 (circuito abierto) → 𝐴 = 𝑉𝐺 = 2 = +1
𝑅 2
( 𝑌 2 )𝑉𝐺
𝑍+
𝑌

2
𝐼𝐺 𝐼𝐺 𝑍+ 𝐼
Si 𝐼𝑅 = 0 (circuito abierto) → 𝐶 = 𝑉 = 2 =( 2
𝑌
) 𝑉𝐺
𝑅 𝐺
( 𝑌 2 )𝑉𝐺 𝑌
𝑍+
𝑌

2 2 2
𝑍+𝑌 (𝑍 + 𝑌) 𝑌𝑍
𝐶=( )𝑥 𝑌 = 𝑌 ( + 1)
2 2 2 4
+ (𝑍 +
𝑌 𝑌 𝑌)
𝑉𝐺 𝐼
Si 𝑉𝑅 = 0 (corto circuito) → 𝐵 = ∧ 𝐷 = 𝐼𝐺
𝐼𝑅 𝑅

2 2 2
𝑉𝐺 𝑉𝐺 𝑍 + 𝑌 𝑉𝐺 𝑍+𝑌 𝑍𝑌
𝐵= = =( )( ) = ( )( )=𝑍
𝐼𝑅 2 2 𝐼𝑅 2 2
𝑍 +
( 𝑌 2 ) 𝐼𝐺 𝑌 𝑌 𝑌
𝑍+𝑌

𝐼𝐺 𝐼𝐺 𝑌𝑍
𝐷= = = +1
𝐼𝑅 2 2
( 𝑌 2 ) 𝐼𝐺
𝑍+𝑌

Por tanto para la línea de longitud media tenemos los parámetros de transmisión:
𝑌𝑍
+1 𝑧
𝐴 𝐵
[ ]=[ 2 ]
𝐶 𝐷 𝑌𝑍 𝑌𝑍
𝑌 ( + 1) +1
4 2
ANALISIS DE LINEA LARGAS.
Tomemos como modelo una longitud diferencial de un tramo de línea con
longitud dx, por lo que el diagrama lo representa:

Podemos entonces plantear las ecuaciones del circuito:

𝑑𝐸 𝑑2𝐸 𝑑𝐼 𝑑2 𝐸
𝑑𝐸 = 𝐼𝑧𝑑𝑥 → = 𝐼𝑥 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 2 = 𝑧 = 𝑦𝑧𝐸 → 2 = 𝑦𝑧𝐸
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝐼 𝑑2 𝐼 𝑑𝐸 𝑑2 𝐼
𝑑𝐼 = 𝐸𝑦𝑑𝑥 → = 𝐸𝑦 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 2 = 𝑦 = 𝑦𝑧𝐼 → 2 = 𝑦𝑧𝐼
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
Resolviendo los sistemas de ecuaciones diferenciales, obtenemos:

𝑧
𝑐𝑜𝑠ℎ(√𝑌𝑍) √ 𝑠𝑒𝑛ℎ(√𝑌𝑍)
𝑦
𝐸 𝐸𝑅
[ 𝐺] = [ ]
𝐼𝐺 𝐼𝑅
𝑧
√ 𝑠𝑒𝑛ℎ(√𝑌𝑍) 𝑐𝑜𝑠ℎ(√𝑌𝑍)
𝑦
[ ]
Entonces para una longitud de línea dada y conductor seleccionado se tiene los
constantes.

𝑍 1
𝑍0 = √ = → 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑌 𝑌0

𝛾 = √𝑌𝑍 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

Por tanto las ecuaciones de línea larga en función de estas constantes son:
𝐸𝐺 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾 𝑍0 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾 𝐸𝑅
[ ]=[ ][ ]
𝐼𝐺 𝑌0 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾 𝐼𝑅
𝐴 𝐵 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾 𝑍0 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾
[ ]=[ ]
𝐶 𝐷 𝑌0 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾
INTERPRETACIÓN DE LA CONSTANTE DE PROPAGACION
Conocemos que:
 𝑒 𝛾 + 𝑒 −𝛾 𝑒 𝛾 + 𝑒 −𝛾
𝐸 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾 𝑍0 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾 𝐸𝑅 𝑍0 ( ) 𝐸
[ 𝐺] = [ ][ ] = [ 2 2 ] [ 𝑅]
𝐼𝐺 𝑌0 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝛾 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝛾 𝐼𝑅 𝑒 𝛾 + 𝑒 −𝛾 𝑒 𝛾 + 𝑒 −𝛾 𝐼𝑅
𝑌0 ( )
2 2
La consecuencia, la tensión de envió 𝐸𝐺 será:
𝑒 𝛾 + 𝑒 −𝛾 𝑒 𝛾 + 𝑒 −𝛾 𝐸𝑅 + 𝑍0 𝐼𝑅 𝛾 𝐸𝑅 + 𝑍0 𝐼𝑅 −𝛾
𝐸𝐺 = ( ) 𝐸𝑅 + 𝑍0 ( ) 𝐼𝑅 = ( )𝑒 + ( )𝑒
2 2 2 2
El termino:
𝐸𝑅 + 𝑍0 𝐼𝑅 𝛾
( )𝑒
2
Representa la cantidad de incremento de 𝐸𝐺 al ir de la recepción a la Generación
o más pequeño si es al revés. Es decir es una onda de Voltaje que se propaga
de la Generación a la Recepción, Esta componente se denomina ONDA
DIRECTA y es análoga a una Onda de Agua que a partir de la fuente se hace
cada vez más pequeña.
El termino:
𝐸𝑅 + 𝑍0 𝐼𝑅 −𝛾
( )𝑒
2
Representa una cantidad cada vez más pequeña al ir de la recepción a la
generación por la que esta Onda se origina en el Receptor y por ello se denomina
ONDA REFLEJADA y es análoga cuando una Onda de Agua la orilla y
disminuye gradualmente.
Por otro parte, como 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 para una distancia dada, entonces 𝛼 determina
la magnitud de la Onda 𝐸𝐺 , 𝛼 es la medida de cuanto 𝐸𝐺 es aumentada o
disminuida en su magnitud, esto es, atenuada. Por ello es que 𝛼 es la constante
de atenuación.
Si se conocen las constantes de transmisión [ABCD] y la Tensión y Corriente en
un par de terminales, entonces es posible conocer la Tensión y Corriente en el
otro par.

𝑉̃𝐺 = 𝐴𝑉̃𝑅 + 𝐵𝐼̃𝑅

 𝐼̃𝐺 = 𝐶𝑉̃𝑅 + 𝐷𝐼̃𝑅
Lo parámetros [ABCD] son en general números complejos, de los cuales A y D
son abstractos (sin unidades), B tiene disminuciones de o ohms y C tiene
dimensiones ohms. Por otro parte al ser pasivo el cuadrípolo deberá cumplirse
necesariamente: AD – BC = 1 siendo el cuadripolo de línea en general simétrico
se cumple también que A=D.
LINEAS DE TRANSMISION EN CASCADA.
Es posible que por tramos por ejemplo una línea de transmisión tenga diferente
conductor, por lo que este caso es posible tratarlo como cuadripolos equivalente.

En consecuencia en cada uno de los cuadripolos podemos plantear las

ecuaciones:
𝑉̃𝐺 = 𝐴1 𝑉̃ + 𝐵1 𝐼̃ 𝐼̃𝐺 = 𝐶1 𝑉̃ + 𝐷1 𝐼̃
𝑉̃ = 𝐴2 𝑉̃𝑅 + 𝐵2 𝐼̃𝑅 𝐼̃ = 𝐶2 𝑉̃𝑅 + 𝐷2 𝐼̃𝑅
Estas dos últimas las sustituimos en las dos primeras y obtenemos:

𝑉̃𝐺 = 𝐴1 (𝐴2 𝑉̃𝑅 + 𝐵2 𝐼̃𝑅 ) + 𝐵1(𝐶2 𝑉̃𝑅 + 𝐷2 𝐼̃𝑅 )

𝐼̃𝐺 = 𝐶1 (𝐴2 𝑉̃𝑅 + 𝐵2 𝐼̃𝑅 ) + 𝐷1 (𝐶2 𝑉̃𝑅 + 𝐷2 𝐼̃𝑅 )

Que reagrupado:
𝑉̃𝐺 = (𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐶2 )𝑉̃𝑅 + (𝐴1 𝐵2 + 𝐵1 𝐷2 )𝐼̃𝑅
𝐼̃𝐺 = (𝐶1 𝐴2 + 𝐷1 𝐶2 )𝑉̃𝑅 + (𝐶1 𝐵2 + 𝐷1 𝐷2 )𝐼̃𝑅
En consecuencia, los parámetros [ABCD] del cuadripolo equivalente son:
𝐴 𝐵 𝐴 𝐴 + 𝐵1 𝐶2 𝐴1 𝐵2 + 𝐵1 𝐷2
[ ]=[ 1 2 ]
𝐶 𝐷 𝐶1 𝐴2 + 𝐷1 𝐶2 𝐶1 𝐵2 + 𝐷1 𝐷2
𝐴1 𝐵1 𝐴 𝐵2
[ ]𝑥[ 2 ]
𝐶1 𝐷1 𝐶2 𝐷2
LAS LINEAS DE TRANSMISION COMO CUADRIPOLOS.
Determinaremos la Potencia Real y Reactiva de Transmisión en la Recepción de
la línea, es decir la potencia entregada a la carga. Representemos a la Línea de
transmisión como un cuadripolo pasivo con constantes de transmisión [ABCD].

𝐴̅ = 𝐴∟𝛼 𝐵̅ = 𝐵∟𝛽 𝐶̅ = 𝐶∟𝛾 ̅ = 𝐷∟𝛿

𝐷
TENSION NECESARIA DE GENERACION.
Sabemos que:
̃ ∗
𝑉̃𝐺 = 𝐴𝑉̃𝑅 + 𝐵̅ 𝐼̃𝑅 Además: ̃𝑅 = 𝑉̃𝑅 𝐼̃𝑅 ∗
𝑁 →
𝑁
𝐼̃𝑅 = (𝑉̃ 𝑅)
𝑅

Reemplazando:

𝑁̃𝑅 ∗
̃ ̃ ̅
𝑉𝐺 = 𝐴𝑉𝑅 + 𝐵 ( )
𝑉̃𝑅
Teniendo en cuenta los módulos y los ángulos:
𝑉̃𝑅 = 𝑉𝑅 ∟0 (𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) 𝑉̃2 = 𝑉2 ∟𝜑
Observar que 𝜑 corresponde al ángulo de fase de la carga por lo que el factor
de potencia de ella es 𝑐𝑜𝑠𝜑.
𝐵𝑁𝑅 𝛽−𝜑
𝑉̃𝐺 = 𝐴𝑉𝑅 ∟𝛼 + ∟
𝑉𝑅
Esta última ecuación es la Tensión respecto al Neutro, por lo que la Tensión
trifásica se deduce multiplicando por √3 la ecuación anterior:
𝐵3𝑁𝑅
√3𝑉̃𝐺 = 𝐴√3𝑉𝑅 ∟𝛼 + ∟𝛽−𝜑
√3𝑉𝑅
En consecuencia:
𝐵𝑁𝑅 𝛽−𝜑
̃𝐺 = 𝐴𝑈𝑅 ∟𝛼 +
𝑈 ∟
𝑈𝑅
En esta última ecuación U es la Tensión (kV) entre fases y N es la potencia
trifásica (MVA).
POTENCIA DE GENERACION.
En razón que:
 ̅ 𝑉̃𝐺 − 𝑉̃𝑅
𝐷
𝑉̃𝑅 = 𝐷
̅ 𝑉̃𝐺 − 𝐵̅ 𝐼̃𝐺 → 𝐼̃𝐺 =
𝐵̅
Por tanto la potencia en la generación es:

∗ ̅ 𝑉̃𝐺 − 𝑉̃𝑅 ∗
𝐷
̃𝐺 = 𝑉̃𝐺 𝐼̃𝑅
𝑁 = 𝑉̃𝐺 ( )
𝐵̅
Y reemplazando los fusores correspondientes obtenemos:
𝐷𝑉𝐺2 𝛽−𝛿 𝑉𝐺 𝑉𝑅 Δ+𝛽
̃𝐺 =
𝑁 ∟ − ∟
𝐵 𝐵
Esta fórmula de Potencia correspondiente a una fase, por lo que si multiplicamos
por 3 obtenemos:

𝐷√3𝑉𝐺2 𝛽−𝛿 √3𝑉𝐺 √3𝑉𝑅 Δ+𝛽

̃𝐺 =
3𝑁 ∟ − ∟
𝐵 𝐵
Entonces:
𝐷𝑈𝐺2 𝛽−𝛿 𝑈𝐺 𝑈𝑅 Δ+𝛽
̃𝐺 =
𝑁 ∟ − ∟
𝐵 𝐵
𝐷𝑈𝐺2 𝑈𝐺 𝑈𝑅
𝑃𝐺 = 𝐶𝑂𝑆(𝛽 − 𝛿) − 𝐶𝑂𝑆(Δ + 𝛽)
𝐵 𝐵
𝐷𝑈𝐺2 𝑈𝐺 𝑈𝑅
𝑄𝐺 = 𝑠𝑒𝑛(𝛽 − 𝛿) − 𝑠𝑒𝑛(Δ + 𝛽)
𝐵 𝐵
EFICIENCIA DE LA LÍNEA.
Definida respecto a la potencia activa generada:
𝑃1 − 𝑃2 𝑃 𝑃
𝜂 =1− =1− → 𝜂% = 100 (1 − )
𝑃1 𝑃1 𝑃1
P representa las perdidas en la línea, y puede ser obtenida por diferencia entre
la Potencia activa generada y la potencia activa entregada a la carga es decir.
𝐷𝑈𝐺2 𝑈𝐺 𝑈𝑅 𝑈𝐺 𝑈𝑅
𝑃 = 𝑃𝐺 − 𝑃𝑅 = 𝐶𝑂𝑆(𝛽 − 𝛿) − 𝐶𝑂𝑆(Δ + 𝛽) − 𝐶𝑂𝑆(β − Δ)
𝐵 𝐵 𝐵
𝐴𝑈𝑅2
+ 𝐶𝑂𝑆(𝛽 − 𝛼)
𝐵
Que luego de efectuar adecuadamente:
𝐷𝑈𝐺2 𝐴𝑈𝑅2 𝑈𝐺 𝑈𝑅
𝑃 = 𝑃𝐺 − 𝑃𝑅 = + 𝐶𝑂𝑆(𝛽 − 𝛼) − cos(Δ)cos(𝛽)
𝐵 𝐵 𝐵
REGULACIÓN DE LINEA.
Que es referido a la Tensión y es definida como el porcentaje de incremento de
la Tensión en la recepción cuando es desconectada la plena carga,
permaneciendo constante la Tensión de Generacion.
 𝑉𝑅0 − 𝑉𝑅 𝑉𝑅0 − 𝑉𝑅
𝑟= → 𝑟% = 100 ( )
𝑉𝑅 𝑉𝑅
En la razón que:
𝑉̃𝐺 = 𝐴̅𝑉̃𝑅 + 𝐵𝐼̃𝑅
Cuando se desconecta la plena carga en la recepción: 𝐼̃𝑅 = 0 y por tanto en la
recepción aparece la Tensión en vacío 𝑉𝑅0 , entonces, en la ecuación anterior:
𝑉̃𝐺 𝑉𝐺
𝑉̃𝐺 = 𝐴̅𝑉̃𝑅 → 𝑉̃𝑅0 = → 𝑉𝑅0 =
𝐴̅ 𝐴
Reemplazando en la fórmula de definición.
𝑉𝐺
𝑉𝑅0 − 𝑉𝑅 ̅ − 𝑉𝑅 1𝑉𝐺 1𝑉𝐺
𝑟= = 𝐴 = −1 → 𝑟% = 100 ( − 1)
𝑉𝑅 𝑉𝑅 𝐴𝑉𝑅 𝐴𝑉𝑅
En general, para líneas cortas: A=1
𝑉𝐺
𝑟% = 100 ( − 1)
𝑉𝑅
EJEMPLO DE CALCULO ELECTRICO DE LINEAS DE TRANSMISION.
 Se requiere alimentara una futura carga de 80 MW, con una línea de
transmisión en 138KV con una longitud de 90Km.
Primera alternativa: Conductores en disposición triangular, simple terna con
conductores ACSR DRAKE.

Segunda: conductores en disposición horizontal (flat), simple terna con

conductor ACSR FINCH.
Tercera: disposicion horizontal (flat), con conductores multiples por fase (dos)
con sub condurtor ACSR PARTRIGE.

Cuarta: conductores en doble terna, con disposición vertical de conductores con

conductor ACSR WAXWING.

Sin tener en cuenta aun, los aspectos económicos, se requiere realizar los
cálculos eléctricos para todas las alternativas y determinar cuál de ellas tiene
mejor “performance” para la carga dada.
Al mismo tiempo de ser necesario se deberán hacer los ajustes que se requieran
con la finalidad que desde el punto de vista eléctrico, las cuatro (04) alternativas
sean técnicamente viables.
La demanda estará dada por un diagrama de carga cuyo gráfico y valores se
adjuntan.
De otra parte, si la línea será alimentada desde una central de 120MW, cuál será
la potencia máxima necesaria para alimentar la carga incluyendo la línea.
CALCULOS: PRIMERA ALTERNATIVA.
La resistencia eléctrica es: 𝑅 = 0.0869Ω/𝑘𝑚, para los 90km de longitud de
0.0869Ω
conductor 𝑅 = 𝑥(90𝑘𝑚) = 7.821Ω.
𝑘𝑚

𝐷𝑀𝐺 = 3√𝑑𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑏𝑐 = 3√(1128)(730)(860) = 891.34𝑐𝑚

El radio medio geométrico está dado por el fabricante:

 𝐷𝑀𝐺 = 1.137𝑐𝑚
La inductancia será:
𝐷𝑀𝐺 8981.34
𝐿 = 2𝑙𝑛 ( ) 𝑥10−7 = 2𝑙𝑛 ( ) 𝑥10−7 = 0.000001333𝐻/𝑚
𝑅𝑀𝐺 1.137
La reactancia tiene el valor:
𝑋 = 2𝜋𝑓𝐿 = 2𝜋(60)(0.000001333)(103 )=0,5025 Ω/𝑘𝑚
Para los 90km de línea tendremos entonces:
𝑋 = 45.22Ω
𝑋 45.22
La línea tiene una relación: = = 5.781
𝑅 7.821

Calculo de la capacitancia con efecto de tierra:

Por lo tanto la altura media de las fases será:

𝐻𝑀𝐺 = 3√ℎ𝑎 ℎ𝑏 ℎ𝑐 = √(1300)(2030)(1300) = 1508.2068𝑐𝑚

El factor de corrección por efecto de tierra en la capacitancia será:

2𝐻𝑀𝐺 2(1508.2068)
𝑓𝑡 = = = 0.96
√4𝐻𝑀𝐺 2 + 𝐷𝑀𝐺 2 √4 ∗ 1508.20682 + 891.342
El radio medio geométrico, para el cálculo de la capacitancia está dado por el
radio efectivo:
𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 2.814
𝑅𝑀𝐺 = = = 1.41𝑐𝑚
2 2
Altura media del conductor sobre el terreno.
La capacitancia será:
0.02412
𝐶𝑛 =
𝐷𝑀𝐺
𝑙𝑜𝑔10 ( 𝑅𝑀𝐺 )

La susceptancia kilométrica estará dado por:

𝐵 = 2𝜋𝑓𝐶𝑛 = 2𝜋(60)(0.008665128) = 3.266684033𝜇𝑆𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠/𝑘𝑚/𝑓𝑎𝑠𝑒
La susceptancia total de la línea:
𝐵 = 3.266684033𝜇𝑆𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠/𝑘𝑚/𝑓𝑎𝑠𝑒(90𝑘𝑚)(10−6 ) = 0.000294002𝑆𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛/𝑓𝑎𝑠𝑒
Ω
La resistencia eléctrica es 𝑅75°𝑐 = 0.0633 𝑘𝑚

Para los 90km de longitud de conductor tendremos:

Ω
𝑅75°𝑐 = 0.0633 (90𝑘𝑚) = 5.697Ω
𝑘𝑚
3√𝑑𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑏𝑐 = 3√(830)(830)(1660) = 1045.73𝑐𝑚

El radio medio 𝐷𝑀𝐺 =geométrico está dado por los fabricantes:

𝐷𝑀𝐺 = 1.329𝑐𝑚
La inductancia será:
𝐷𝑀𝐺 1045.73
𝐿 = 2𝐿𝑛 ( ) 10 = 2𝐿𝑛 ( ) 10 = 0.000001334𝐻/𝑚
𝑅𝑀𝐺 1.329
La reactancia tiene valor:
𝑋 = 2𝜋𝑓𝐿(103 ) = 2𝜋(60)(0.000001334)(103 ) = 0.5028Ω/𝐾𝑚
Para los 90 km de línea tendremos entonces:
𝑋 = 45.248Ω
𝑋 45.248
La línea tiene una relación: 𝑅 = = 7.94
5.697

Calculo de la capacitancia con efecto con tierra:

Los conductores tienen la misma altura sobre el terreno, entonces, la altura
media de las fases son:
2
(2100 ( )) = 1300𝑐𝑚
3

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 = ℎ𝑎 = ℎ𝑏 = ℎ𝑐 = 1300𝑐𝑚

Por tanto la altura media geométrica de las fases será:

𝐻𝑀𝐺 = 3√ℎ𝑎 ℎ𝑏 ℎ𝑐 = 1300𝑐𝑚

El factor de corrección por efecto de tierra en la capacidad será:
 2𝐻𝑀𝐺 2(1300)
𝑓𝑡 = = = 0.93
√4𝐻𝑀𝐺 2 + 𝐷𝑀𝐺 2 √4(1300)2 + (1045.73)2
El radio geométrico, para el cálculo de la capacitancia está dado por el radio
efectivo:
𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 3.264
𝑅𝑀𝐺𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = = = 1.632𝑐𝑚
2 2
La capacitancia será:
𝑂. 02412 𝑂. 02412
𝐶𝑛 = = = 0.008694582 𝐹/𝑘𝑚/𝐹𝑎𝑠𝑒𝜇
𝐷𝑀𝐺 1045.73
𝑙𝑜𝑔10 (𝑅𝑀𝐺 ) 𝑓 𝑙𝑜𝑔10 ( ) (1.632)
0.93
La susceptancia kilométrica estará dado por:
𝐵 = 2𝜋𝑓𝐶𝑛 = 2𝜋(60)(0.008694582) = 3.2777879𝜇𝑆𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠/𝑘𝑚/𝐹𝑎𝑠𝑒
La susceptancia total de la línea:

𝐵 = 3.2777879𝜇𝑆𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠/𝑘𝑚/𝐹𝑎𝑠𝑒(90𝑘𝑚)(10−5 ) = 0,000295001𝑆𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛𝑠/𝐹𝑎𝑠𝑒
Ω
La resistencia eléctrica del sub conductor es 𝑅 = 09.2568 𝑘𝑚

Para los 90km de la longitud de conductor, y para dos conductores por fase,
tendremos:
Ω 1
𝑅 = 09.2568 (90𝑘𝑚) ( ) = 11.556Ω
𝑘𝑚 2
𝐷𝑀𝐺 = 3√𝑑𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑏𝑐 = 3√(860)(860)(1720) = 1083.53𝑐𝑚

El radio medio geométrico para un sub conductor, está dado por el fabricante:
𝑅𝑀𝐺𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 = 𝑟1 = 0.65𝑐𝑚

Teniendo encuenta que la separación entre sub conductores es de 40cm,

entonces, el RMG de una de la fase, para el circuito dúplex está dado por:

𝑅𝑀𝐺 = √𝑛𝑟1 𝑅 𝑛−1 = 5.103𝑐𝑚

Las tres fases tendrán el mismo RMG, y por tanto; el RMG de la línea es el valor
obtenido RMG=5.103cm.
La inductancia será entonces:
𝐷𝑀𝐺 1083.53
𝐿 = 2𝑙𝑛 ( ) 𝑥10−7 = 2𝑙𝑛 ( ) 𝑥10−7 = 0.000001072𝐻/𝑚
𝑅𝑀𝐺 5.103
Y la reactancia tiene el valor:
𝑋 = 2𝜋𝑓𝐿(103 ) = 2𝜋(60)(0.000001072)(103 ) = 0.4040Ω/𝐾𝑚
Para los 90km de línea tendremos entonces:
𝑋 = 36.360Ω
𝑋 36.360
La línea tiene una relación: = 11.556 = 3.15
𝑅

Calculamos ahora, la capacitancia con efecto de tierra:

Calculamos la distancia media de los conductores respecto al terreno, a fin de
determinar el factor de tierra:

Las otras dos fases tienen la misma altura media sobre el terreno.
Por tanto,

𝐻𝑀𝐺 = 3√ℎ𝑎 ℎ𝑏 ℎ𝑐 = 1300𝑐𝑚

El factor de corrección por el efecto de tierra en la capacitancia será:

2𝐻𝑀𝐺 2(1300)
𝑓𝑡 = = = 0.9231
√4𝐻𝑀𝐺 2 + 𝐷𝑀𝐺 2 √4(1300)2 + (1083.53)2
Para el cálculo de la capacitancia, no utilizaremos el RMG sino el radio efectivo
del sub conductor:
𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 1.631
𝑟= = = 0.8155𝑐𝑚
2 2
Por tanto, el RMG de la fase, para el circuito dúplex, para el cálculo de la
capacitancia, está dada por:

La capacitancia será:
𝑂. 02412 𝑂. 02412
𝐶𝑛 = = = 0.007809252 𝐹/𝑘𝑚/𝐹𝑎𝑠𝑒𝜇
𝐷𝑀𝐺 1083.53
𝑙𝑜𝑔10 ( 𝑅𝑀𝐺 ) 𝑓 𝑙𝑜𝑔10 ( ) (0.9231)
5.711392
La susceptancia kilométrica estará dado por:
𝐵 = 2𝜋𝑓𝐶𝑛 = 2𝜋(60)(0.007809252 ) = 2.944025685 𝜇𝑆𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠/𝑘𝑚/𝐹𝑎𝑠𝑒
La susceptancia total de la línea:

𝐵 = 2.944025685𝜇𝑆𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠/𝑘𝑚/𝐹𝑎𝑠𝑒(90𝑘𝑚)(10−5 )
= 0.000264962𝑆𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛𝑠/𝐹𝑎𝑠𝑒
Ω
La resistencia eléctrica del sub conductor es 𝑅 = 0.2594 𝑘𝑚
Para los 90km de la longitud de conductor, y para dos conductores por fase,
tendremos:
Ω 1
𝑅 = 0.2594 (90𝑘𝑚) ( ) = 11.673Ω
𝑘𝑚 2
Calculo de la distancia media geométrica de las dos termas:
Las distancias entre fases y sub conductores esta mostrado en el cuadro
siguiente
4
𝐷𝑀𝐺𝐴𝐵 = 4√𝑑𝑎𝑏 𝑑𝑎𝑏′ 𝑑𝑎´𝑏 𝑑𝑎´𝑏´ = √(730)(1105.35)(1105.35)(730) = 898.2794𝑐𝑚
4
𝐷𝑀𝐺𝐴𝐶 = 4√𝑑𝑎𝑐 𝑑𝑎𝑐′ 𝑑𝑎´𝑐 𝑑𝑎´𝑐´ = √(1460)(830)(830)(1460) = 1100.8178𝑐𝑚
4
𝐷𝑀𝐺𝐵𝐶 = 4√𝑑𝑏𝑐 𝑑𝑏𝑐′ 𝑑𝑏´𝑐 𝑑𝑏´𝑐´ = √(730)(1105.35)(1105.35)(730) = 898.2794𝑐𝑚

𝐷𝑀𝐺 = 3√𝐷𝑀𝐺𝐴𝐵 𝐷𝑀𝐺𝐴𝐶 𝐷𝑀𝐺𝐵𝐶

3
= √(898.2794)(1100.8178)(898.2794)(898.2794) = 961.27𝑐𝑚
Calculo de radio medio geométrico de las dos ternas:
El radio medio geométrico para un sub conductor, está dado por el fabricante:
𝑅𝑀𝐺𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 = 𝑟1 = 𝑜. 604𝑐𝑚

Por tanto, el RMG de la fase, para el circuito doble terna, está dado por:

𝑅𝑀𝐺𝐴 = √𝑟𝑑𝑎𝑎′ = √(0.604)(1679.43) = 31.8493𝑐𝑚

𝑅𝑀𝐺𝐵 = √𝑟𝑑𝑏𝑏′ = √(0.604)(830) = 22.3901𝐶𝑀𝑐𝑚

𝑅𝑀𝐺𝐶 = √𝑟𝑑𝑐𝑐′ = √(0.604)(1679.43) = 31.8493𝑐𝑚

Por tanto el RMG de la línea será:

3
𝑅𝑀𝐺 = 3√𝑅𝑀𝐺𝐴 𝑅𝑀𝐺𝐵 𝑀𝐺𝐶 = √(31.8493)(22.390)(31.8493) = 28.320𝑐𝑚

Por tanto, la inductancia será:

𝐷𝑀𝐺 961.27
𝐿 = 2𝑙𝑛 ( ) 𝑥10−7 = 2𝑙𝑛 ( ) 𝑥10−7 = 0.000000705𝐻/𝑚
𝑅𝑀𝐺 28.320
La reactancia tiene el valor:
𝑋 = 2𝜋𝑓𝐿(103 ) = 2𝜋(60)(0.000000705)(103 ) = 0.2658Ω/𝐾𝑚
Para los 90km de línea tendremos entonces la reactancia total:
𝑋 = 23.918Ω
𝑋 23.918
La línea tiene una relación: = 11.673 = 2.049
𝑅

Calculo de la altura media geométrica HMG de las fases, para el cálculo del
factor de tierra, y que tiene efecto en la capacitancia.
Por tanto, el factor de corrección por efecto de tierra en la capacitancia será:
2𝐻𝑀𝐺 2(1300)
𝑓𝑡 = = = 0.9648
√4𝐻𝑀𝐺 2 + 𝐷𝑀𝐺 2 √4(1300)2 + (961.27)2
Para el cálculo de la capacitancia, utilizaremos el radio (r)efectivo del sub
conductor y no el RMG dado por el fabricante:
1.547
𝑟= = 0.7735𝑐𝑚
2
Por tanto, el RMG de la fase, para el circuito doble terna, está dado por:

𝑅𝑀𝐺𝐴 = √𝑟𝑑𝑎𝑎′ = √(0.7735)(1679.43) = 36.04𝑐𝑚

𝑅𝑀𝐺𝐵 = √𝑟𝑑𝑏𝑏′ = √(0.7735)(830) = 25.34𝑐𝑚

𝑅𝑀𝐺𝐶 = √𝑟𝑑𝑐𝑐′ = √(0.7735)(1679.43) = 36.04𝑐𝑚

Por tanto el RMG de la línea será:

3
𝑅𝑀𝐺 = 3√𝑅𝑀𝐺𝐴 𝑅𝑀𝐺𝐵 𝑀𝐺𝐶 = √(36.04)(35.34)(36.04) = 32.05𝑐𝑚

La capacitancia será:
𝑂. 02412 𝑂. 02412
𝐶𝑛 = = = 0.016503872 𝐹/𝑘𝑚/𝐹𝑎𝑠𝑒𝜇
𝐷𝑀𝐺 661.27
𝑙𝑜𝑔10 (𝑅𝑀𝐺 ) 𝑓 𝑙𝑜𝑔10 ( ) (0.9648)
32.05
La susceptancia kilométrica estará dado por:
𝐵 = 2𝜋𝑓𝐶𝑛 = 2𝜋(60)(0.016503872 ) = 6.221827629 𝜇𝑆𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠/𝑘𝑚/𝐹𝑎𝑠𝑒
La susceptancia total de la línea:

𝐵 = 6.221827629𝜇𝑆𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠/𝑘𝑚/𝐹𝑎𝑠𝑒(90𝑘𝑚)(10−6 )
= 0.000559964𝑆𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛𝑠/𝐹𝑎𝑠𝑒
Resultados de los cálculos:

En todo los casos, la perditancia es G=0, lo que significa que hemos despreciado
el efecto corona y las perdidas debido a figuras de corriente en la superficie de
los aisladores.
Para la determinación de los parámetros de transmisión, utilizaremos las
formulas exactas, sin distinción de línea corta, media ni larga, con lo cual el
cálculo se hace general.