r1 Trabajo Final Part. 1
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Desde hace mucho tiempo los círculos de Mohr han sido una forma de solución gráfica
de determinar los esfuerzos principales para el caso de esfuerzos planos. Muchos libros
de texto sobre diseño de máquinas presentan el método del círculo de Mohr como una
técnica primordial de solución para la determinación de esfuerzos principales. Antes de
la llegada de las calculadoras y de las computadoras programables, el método gráfico de
Mohr era una forma razonable y práctica de resolución. El plano de Mohr en el cual se
trazan los círculos de Mohr se organiza con sus ejes mutuamente perpendiculares,
aunque en el espacio real el ángulo entre ellos representa 180. Todos los ángulos
dibujados en el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio real. La abscisa
es el eje para todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales aplicados se trazan a
lo largo de este eje y los esfuerzos principales σ 1, σ 2 y σ3, también se determinan
sobre este eje. La ordenada es el eje para todos los esfuerzos cortantes. Se utiliza para
trazar los esfuerzos cortantes aplicados y determinar el esfuerzo cortante máximo. Mohr
utilizó una regla convencional de signos para esfuerzos cortantes, que hace que los pares
de corte en sentido del movimiento de las manecillas del reloj sean positivos, lo que no
es consistente con la regla de la mano derecha, ahora estándar. Aun así, esta regla
convencional de la mano izquierda se sigue empleando para el círculo de Mohr.
TRIDIMENSIONAL
En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier
plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro
de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso
bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre un único círculo. Cada uno
de los 3 círculos que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre
de círculo de Mohr.
Para el caso de esfuerzo triaxial se tiene algo similar, pero no necesariamente dos
circunferencias pasan por el origen del diagrama. La figura 4.7 muestra un ejemplo de
los círculos de Mohr para este caso de esfuerzo, donde el área sombreada también
representa todos los posibles estados de esfuerzo del punto de análisis. Al igual que para
el caso de esfuerzo plano, el máximo esfuerzo cortante se calcula con la ecuación 4.3.
Figura 4.7 Círculos de Mohr para un estado triaxial de esfuerzo.
COMPONENTES 3D DEL ESFUERZO
Para determinar los puntos en los que podría comenzar la falla de un miembro de
máquina o estructura sometida a esfuerzos combinados, se deben conocer, o por lo
menos estimar, los mecanismos de falla de los materiales. Con respecto a la falla, los
materiales dúctiles se comportan de una manera diferente a los materiales frágiles; por
ejemplo, se estima que para el caso de tracción los esfuerzos cortantes son los que
generan la falla en los materiales dúctiles, mientras que en los frágiles, los esfuerzos
normales son los causantes de la falla.
Al igual que para carga simple, la determinación de los puntos críticos de elementos
sometidos a esfuerzos combinados se basa en la ecuación de diseño, en la cual
intervienen variables como los esfuerzos principales, esfuerzo cortante máximo,
esfuerzo cortante octaédrico y coeficientes de concentración de esfuerzos. En la sección
4.4 se estudian las teorías de falla y las ecuaciones de diseño basadas en éstas.
Podría pensarse que cuando se presentan esfuerzos combinados, se deben buscar puntos
en los cuales se maximizan los esfuerzos debidos a las diferentes cargas; sin embargo,
no necesariamente el punto más crítico es aquel en que se presentan algunos esfuerzos
máximos, pero tal vez aquel en él se tiene una combinación crítica de esfuerzos no tan
críticos. Hay que ser cauteloso en la selección de los puntos críticos.
ESTADO GENERAL DE ESFUERZO
x , y , z
Tres componentes de esfuerzo cortante:
xy , xz , yz
Considerando que:
xy yx , xz zx , yz zy
Si se rota el cubo, y en vez de los ejes x, y y z se tienen ejes x’, y’ y z’, los esfuerzos en
estos ejes rotados serán diferentes.
ESFUERZO PLANO
Cuando dos caras opuestas del cubo están libres de esfuerzos, se tiene estado de
esfuerzo plano o biaxial
x , y , xy yx z xz yz 0
and
x ,xy, , yxy, xy and z z zx zx zy zy0. 0.
ESFUERZOS PRINCIPALES
Para la solución de este sistema nótese que la solución trivial m=n=l=0 es inaceptable
pues se sabe que:
Para que el sistema presentado en las ecuaciones sea homogéneo y tenga soluciones
diferentes de cero, el determinante del mismo debe ser cero.
Sean 1, 2, 3, los ejes principales de un plano dado, en modo tal que los esfuerzos x, y, z,
se convierten en esfuerzos principales. Entonces:
El cuadrado del esfuerzo cortante que actúa sobre el plano principal es:
Nótese que "l" o "m" deben ser cero ya que las expresiones entre paréntesis son
diferentes de cero.
Observaciones
Se considerará el caso tensional espacial cuando en las caras del prisma elemental
actúan las tres tensiones principales σ 1, σ 2 y σ3 de modo que:
σ 1 > , σ 2 > σ3
Se pueden dibujar las tres circunferencias de Mohr en una misma representación, los
puntos de cada una de dichas circunferencias representan las tensiones que se producen
en cada uno de los infinitos planos paralelos a cada uno de los ejes coordenados.
Se puede demostrar que el estado tensional que se produce en planos no paralelos a
ningún eje coordenado, se encuentra representado por los puntos contenidos en la zona
sombrerada limitada por las tres circunferencias
RESISTENCIA DE MATERIALES ESTADOS TENSIONALES
Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica del círculo de Mohr
que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario
calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, el círculo
de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los
momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de
inercia medio y el radio del círculo de Mohr para momentos de inercia son análogas a
las del cálculo de esfuerzos:
*Centro de la circunferencia:
*Radio de la circunferencia:
EL CIRCULO DE MOHR OTRA FORMA DE REPRESENTAR LOS
ESFUERZOS
Podemos definirla además como una técnica usada en ingeniería y geofísica para
representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella
momentos de inercia, deformaciones y tensiones adaptando los mismos a las
características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo
del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
Procedimiento para dibujar el círculo de Mohr
2. En un sistema cartesiano ortogonal y con los datos de las tensiones, se ubican los
puntos A y B que constituyen un diámetro.
6.- En el gráfico se observa que la máxima tensión normal σ1 = Tmáx está representada
por el segmento OF y la mínima σ2 por el segmento OE. La máxima tensión de corte
Tmáx está representada por CG.
8.- Uniendo el polo P con los puntos F y E se obtienen las direcciones de las tensiones
principales σ1 y σ2 respectivamente, señaladas con los números 1 y 2 en la figura.