MATEMATICA

TEMA 1 4. Cuatro obreros han recibido S/ 10 000 por sus trabajos en la construcción
de una casa. El primero recibió S/. 2380, el segundo S/ 460 más que el
primero, el tercero S/. 700 menos que el segundo y el cuarto recibió lo que
SISTEMA DE NUMERACION quedaba. ¿Cuánto le queda al cuarto obrero si tuvo que pagar una deuda
de S/. 320?
1.1. Los números naturales y los números enteros
A) 2640 B) 2960 C) 3540 D) 2320 E) 4300
a) Los Números Naturales (N): Es un conjunto de números que se utilizan para
contar cantidades, provisto de una relación de igualdad, operaciones de 5. La diferencia de dos números es 305, si al menor le quitamos 20 y al
adición y multiplicación y una relación de orden. mayor le aumentamos 85. ¿Cuál es la nueva diferencia?

La adición y la multiplicación en N: cumplen con las Propiedades A) 400 B) 410 C) 466 D) 263 E) 430
conmutativa, Asociativa, Del elemento neutro, Cancelación y Distributiva.
6. La diferencia de dos números es 157, si al menor le aumentamos 48 y al
Sustracción en N: Es una operación inversa a la adición, donde el minuendo mayor le quitamos 31. ¿Cuál es la nueva diferencia?
menos el sustraendo es igual a la diferencia.
A) 65 B) 64 C) 78 D) 68 E) 87
División en N: Es una operación inversa a la multiplicación.
Donde: D = c . d + r (algoritmo de la división) 7. El cociente de una división inexacta es 61, se suman 800 unidades al
dividendo y se repite la división, siendo el cociente 50 más que el anterior
Complemento aritmético: Sea N un número natural y de “n” cifras, entonces, y sin alterar el residuo. ¿Cuál es el divisor de la división?
n
su complemento aritmético se define así: C.A.(N) = 10 – N
A) 40 B) 10 C) 16 D) 20 E) 30
Número capicúa: Se refiere a cualquier número simétrico que, por ello, se lee
8. El cociente de una división inexacta es 63, se suman 750 unidades al
igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. ( ) Ejemplos:
dividendo y se repite la división, siendo el cociente 6 más que el anterior y
323, 716 617.
el residuo disminuye en 42. Hallar la suma de las cifras del divisor.
A) 6 B) 4 C) 10 D) 8 E) 7
b) Los Números enteros (Z): Es el conjunto que agrupa a los números enteros
negativos, al cero y a los números enteros positivos. Es un conjunto ordenado
9. Halla el menor número capicúa mayor que 2008. Dar como respuesta la
porque es posible estable una relación de orden.
suma de los cuadrados de las cifras de dicho número.
A) 6 B) 4 C) 10 D) 8 E) 7

10. Cuántos capicúas de 7 cifras cuya suma de sus cifras sea impar existen
PROBLEMAS
en base 10?
A) 4640 B) 4960 C) 5400 D) 3200 E) 4500
1. ¿Cuántos números de 3 cifras no tienen ninguna cifra dos?
A) 729 B) 648 C) 660 D) 263 E) 430
11. Escribiendo un cero a la derecha de un número entero, se ha aumentado
este número en 15552. ¿Cuál es este número?
2. Cuántos números de 4 cifras que terminan en 5 tienen sus demás cifras
A) 1728 B) 2000 C) 1354 D) 1220 E) 1430
pares?
A) 400 B) 140 C) 405 D) 200 E) 100
12. Se suman todas las permutaciones cíclicas de un número de 4 cifras
pares distintas. ¿Cuál es la suma de las cifras de la suma total?
3. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen algún 5?
A) 6 B) 10 C) 8 D) 12 E) 30
A) 648 B) 900 C) 460 D) 252 E) 230

1
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13. Hallar la suma de las 4 últimas cifras del resultado de sumar: 19. La semana pasada, la temperatura en una ciudad sufrió los siguientes
cambios: el lunes subió 5ºC, el martes bajó 8ºC, el miércoles bajó 1ºC, el
25 cifras jueves subió 2º C y el viernes bajó 4º C ¿cuál fue la variación final de la
temperatura de la semana?
3535…………….53
28…………….82 A) +6ºC B) -3ºC C) - 6ºC D) 56ºC E) -4ºC
……………
…………. 20. La suma del mayor número par de 3 cifras diferentes y el menor número de 3
282 cifras impares diferentes es:
3
A)1 121 B) 1 122 C) 999 D) 1 113 E) 1 120
A) 26 B) 20 C) 15 D) 10 E) 40
21. Hallar un número de dos cifras que sea igual a 8 veces la suma de sus cifras.
14. En 1977 la edad de Juan será el inverso de las dos últimas cifras del año de Da como respuesta el producto de dichas cifras.
su nacimiento; lo mismos sucede con su abuelo. Si la diferencia de sus
edades es 45, y la edad del abuelo en 1977 será la inversa de la edad de A) 14 B) 18 C) 15 D) 16 E) 17
Juan. Hallar la edad actual del abuelo (en 1972)
22. Si a un número de tres cifras que empieza en 2 se le suprime esta cifra, el
A) 56 B) 60 C) 35 D) 20 E) 40 número resultante es 1/9 del número original. Halla la suma de las cifras de
dicho número.
15. Se tiene un número de 2 cifras. El duplo de la cifra de las decenas, restado de
la cifra de las unidades es mayor que 5 y la diferencia entre 14 veces la cifra A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7
de las unidades y la cifra de las decenas es menor que 112. ¿Cuál es el
número? 23. Calcular la suma de los elementos de “A”, si:

A) 40 B) 16 C) 13 D) 18 E) 10 A= { (

16. Dos personas tienen respectivamente S/. 368 000 y S/. 256 000; ambas A) 1 600 B) 1 224 C) 1 824 D)1 200 E) 1 300
2
gastan la misma suma de dinero en la compra de terrenos cuyo precio por m
son S/. 400 y S/. 320 respectivamente, quedándole al final de esta operación 24. Si: a < b y la diferencia de los complementos aritméticos de ab y ba es 54.
al primero de ellos, el triple de lo que le quedaba al segundo. Hallar el área de Calcule el valor de b – a
los terrenos.
2 2 2 A) 6 B) 9 C) 8 D) 2 E) 3
A) 504 y 625 m B) 500 y 600 m C) 500 y 625 m
2 2
D) 250 y 620 m E) 550 y 655 m 25. Las tres últimas cifras de la suma de 40 sumandos: S= 7 + 77+777+ …+
777…7 es abc, el valor de a + b + c es:
17. A un número de 3 cifras se le resta el doble de su CºA y se obtiene el mayor
cuadrado perfecto de 2 cifras y de raíz par. Hallar dicho número de 3 cifras. A) 12 B) 10 C) 9 D) 15 E) 7
A) 648 B) 688 C) 460 D) 256 E) 343
26. Si a un número se le agrega 3 ceros a la derecha, dicho número queda
18. En un almacén de telas, cada hora se despachan 300 cortes de tela y se aumentado en 522477 unidades. ¿Cuál es el número?
reciben 100 cortes, desde su inicio de jornada. Si al cabo de tres horas había
en el almacén 200 cortes de tela ¿Cuántos cortes de tela habían al principio? A) 530 B) 520 C) 521 D) 523 E) 525
A) 600 B) 900 C) 800 D) 200 E) 300

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1.2. Divisibilidad 3. En un barco habían 180 personas y ocurre un naufragio y de los

sobrevivientes, 2/5 fuman; 3/7 son casados; y los 2/3 son ingenieros.
Sean A, B, 𝟄 N, con B .Se dice que “B” divide a “A”, o que “A” es divisible por “B”, Determinar cuántas personas murieron en dicho accidente.
si existe un número q 𝟄 N tal que A/B = q, es decir, el cociente A/B es un número
natural. A) 70 B) 60 C) 65 D) 75 E) 80

De este modo, el número natural “B”, no nulo, se llama divisor o factor de un 4. La diferencia de y siempre será divisible por:
número natural “A” cuando la división de “A” entre “B” es exacta.
A) 11 B) 9 C) 13 D) 6 E) 8
a) Restos Potenciales
Son cada uno de los residuos que se obtienen al dividir las sucesivas potencias 5. Si es múltiplo de 4, ¿Cuál es el mínimo valor de “a” diferente de cero?
naturales de un número natural mayor que uno, llamado base, entre un segundo
número natural, no nulo llamado módulo. A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 2 E) 8
b) Criterio general de Divisibilidad 6. Al verificar que 342 732 es divisible por 13 ¿Cuál es el último residuo?
Este criterio permite determinar las características que debe poseer un número
para ser divisible entre otro. Permite determinar cualquier criterio de divisibilidad. A) 13 B) 4 C) 8 D) 5 E) 3
Sea N = N tal que =m+k Λ = m + L Λ Ld = m
7. ¿Cuál es la suma de los valores máximos de “a”, si es divisible por 25
Entonces N es divisible (o múltiplo de) entre m.
y para que sea divisible por 3
Ejm.
A) 7 B) 10 C) 5 D) 12 E) 9
Sea N = 470 596 ¿es divisible por 7?.
Empecemos por 47= ̇ + 5 ; 50= ̇ + 1; 15 = ̇ + 1 ; 19 = ̇ + 5 ; 56 = ̇ . 8. El número de alumnos en un aula es menor que 50 entre hombres y mujeres.
Si el número de hombres es mayor que el doble del número de mujeres y
c) Aplicaciones del Binomio de Newton: además ambos son múltiplos de 10, determine el número de hombres.
n n
(å + r) = å + r , si a, r, n A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 80
n
å + r , si “n” es par
n n
(å - r) å - r , si “n” es impar 9. En una reunión de profesionales hay 131 personas, la mayor parte son
varones. Si la octava parte de los varones son ingenieros y la séptima parte
Ejm: ( ̇ +3) = +3 = ̇ + 21+6 = ̇ + 6
3 3
de las mujeres son economistas, ¿cuántos varones no son ingenieros?
Ejm. ̇ – 2)3 = ̇ + 23 = ̇ – 5 – 3 = ̇ – 3
A) 12 B) 21 C) 30 D) 84 E) 96

PROBLEMAS 10. Sea N= un número de tres cifras tal que: = ̇ ̇ ʌ ̇

1. Si el número de cínco dígitos ab1ba, donde a>b, es divisible por 11, clacular A) 26 B) 28 C) 30 D) 24 E) 32 .
el valor de ( a- b)
A) 6 B) 5 C) 8 D) 2 E) 3 11. Calcule todos los restos posibles de la división de un cuadrado por 7:
2. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 4 y entre 7 dan como A)1,2,4 B) 0,1,2,4 C) 0,1,3, 4 D) 0, 1,3 E) 1,2,3,4,5
residuos 2 en ambos casos?
A) 31 B) 30 C) 34 D) 32 E) 35

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12. Determine el producto de las cifras a, b, y c no nulas, sabiendo que el número 1.3. Números primos
es divisible por 9, el número es múltiplo de 5 y el número es
divisible por 8. Un número natural mayor que uno es primo, primo absoluto o simple, cuando
admite sólo dos divisores 1 y él mismo. Sea a N, tal que a ∉ { . Según esta
A) 360 B) 675 C) 300 D) 240 E) 210 definición ni el 0 ni el 1 son primos.

13. ¿Cuál es la condición que deben satisfacer los números “a” y “d”, para que el Número compuesto: Si a N, se dice que “a” es un número compuesto si “a”
número sea múltiplo de 17? tiene más de dos divisores.

A) 3a + d = ̇ - 8 B) 3a + 2d = ̇ - 8 C) 3a - d = ̇ - 8 D) d - 3a = Teorema fundamental de la Aritmética:Todo número natural, mayor que la

̇ +8 unidad, se descompone en un producto de factores primos por lo que se puede
E) d - 3a = ̇ - 8
expresar como el producto de sus divisores primos diferentes elevados a
3 exponentes enteros positivos.(Descomposición canónica)..
14. Si n es un número entero, la expresión n + 11n es siempre divisible por:
Descomposición de un número en factores primos: Todo número compuesto
A) 6 B) 5 C) 9 D) 10 E) 7
N, puede ser expresado de la forma:
A B
15. Si A = 3k +1; B = 3k +2. Halle el residuo que deja la expresión: E = [2 + 2 + α Ϫ ß
3 N=A x B x C
2 ] entre 7.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A, B, C son números primos absolutos diferentes

α,Ϫ, ß son enteros positivos
16. Un número “n “ es múltiplo de 3, entonces podemos afirmar que el residuo de
3n
dividir: 2 + 5 + 2
5n +4 5
+ 2 entre 7 es: Cantidad de divisores de un número: El número total de divisores es igual al
producto de los exponentes de los factores primos aumentados en 1:
A) 6 B) 5 C) 4 D) 13 E) 2 ND (N) = (a + 1) x (b + 1) (z+1), donde a, b, z son exponentes, naturales no nulos.

Suma y producto de divisores:

17. Si es múltiplo de 3 y de 4, además es múltiplo de 11, calcule a + b

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 7 S.D. (N) = ( )( )( )

18. Hallar a + b si: es igual a múltiplo de 99 P.D.(N) = √

A) 0 B) 6 C) 5 D) 6 E) 9 Máximo común divisor: O Prodivisor, de dos números naturales A y B, no nulos a

la vez, denotado como MCD (A,B), es el mayor de los divisores comunes de tales
19. Si la suma del número N y su Complemento Aritmético es ̇ + 4 ¿Cuántas números
cifras podrá tener el número N como mínimo?
Algoritmo de Euclides: Consiste en efectuar sucesivas divisiones euclidianas.
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 7 a = b. q1 +r1
Los números a y b, donde a>b, se procede a dividir.
20. Del 2 000 al 3 000. ¿Cuántos números son ̇ ̇ pero no ̇
q1 q2 qn q(n+1)
a b r1 r2 … r(n – 1) rn
r1 r2 rn 0

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Entonces MCD (a,b) = rn 7. Sia, b, y c son números primos tal que al sumarlos se obtiene 14, ¿Cuántos
2 2 2
divisores posee a + b +c
Mínimo común múltiplo: o Comúltiplo, de dos o más números naturales no nulos
es el menor de los múltiplos comunes de tales números. A) 8 B) 7 C) 5 D) 10 E) 9
k
8. Si el número de divisosres positivos de 3(21) es igual a 2/3 del número de
k
divisores que tiene (50) , el valor de “k” es:
PROBLEMAS
A) 6 B) 4 C) 8 D) 10 E) 12

1. ¿Hallar la suma de las cifras después de determinar el número primo entre:; 9. Calcular la suma de los divisores múltiplos de 2 y 7 de 2520
247; 211 ;391
A) 7622 B) 76 33 C) 7655 D) 7577 E) 7644
A) 13 B) 2 C) 13 D) 8 E) 4
10. ¿Cuántos números de 3 cifras tienene 15 divisores?
2. Indicar verdadero (V) o (F) según corresponda:
a) Todos los números primos son impares. A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
b) Si un número no es primo entonces es compuesto.
c) La suma de dos números primos, siempre da como resultado un núm. par. 11. El producto de los divisores de 1530 que son PESI con 51, es
d) El único número primo par es 2.
e) El menor número primo de 2 cifras es el 11. A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

A) FFVVV B) VVVVV C) VV FVF D) FFVVF E) VFVFV 12. A un número se le suma su C.A y se obtuvo otro que tiene 5 625 divisores.
¿Cuántas cifras tiene dicho número?
5 3
3. ¿Cuántos divisores primos tiene el número N, si N = (12) . 42
A) 72 B) 73 C) 75 D) 74 E) 79
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
2 3
13. Si se sabe que:ND(N ) = yN= , calcular ND (N )
4. Las edades de Pedro y Gianmarco están dada por la cantidad de divisores de
los números 720 y 2520 respectivamente. ¿dentro de cuántos años la relación A) 54 B) 60 C) 64 D) 75 E) 96
de sus edades será 2/3?
14. Determine la suma de todos los valores posibles de “a”, sabiendo que la
A) 2 B) 6 C) 1 D) 4 E) 5 descomposición canónica (en sus factores primos) de N es; N= ( y
m m tiene 32 divisores.
5. Determinar el valor de m; si K = 2 x (32) x 7 tiene 86 divisores.
A) 4 B) 5 C) 10 D) 7 E) 14
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
15. Halle la cantidad de pares de números de modo que su MCD sea 36 y estén
6. Hallar el producto del resultado de agregar el mayor número primo al número
comprendidos entre 750 y 950
de divisores de 180 y el número de ceros que debe tener 5000…0 para que
admita 72 divisores.
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
A) 172 B) 173 C) 175 D) 177 E) 179
16. Si desea construir un cubo compacto, con ladrillos de dimensiones de 24; 15 y
30 centímetros. Si la medida de la arista de este cubo está comprendida entre

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1 y 2 metros y cada ladrillo cuesta S/. 2 ¿Cuál serí el costo total de dicha 1.4. Números racionales e irracionales
construcción?
Un número racional es un clase de equivalencia de dos números enteros
A) 32 0 B) 360 C) 160 D) 240 E) 200 ordenados en la forma a/b con la restricción de que “b” nunca es cero.
+
Q = ⌊ ⌋ / a 𝟄 Z ʌ b 𝟄 Z ; tiene una relación de orden, ycumple con las
17. De las 178 clases de matemática al año, un alumno asistió a un número de
operaciones.
ellas que es múltiplo de 4;12;13. ¿A cuántas clases a cuántas clases faltó?
A) 220 B) 17 C) 25 D) 22 E) 160
Fracciones decimales: Son aquellas cuyo denominador es una potencia de
10
18. La edad en años que tiene un individuo es múltiplo de dos, más uno; múltiplo
de siete, más séis y múltiplo de diez, menos 1. ¿Qué edad tiene?
Los números decimales racionales es toda expresión decimal obtenida de dividir
A) 99 B) 39 C) 1195 D) 96 E) 69
los términos de una fracción racional a/b . Se clasifican en:
19. El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Se se
cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6.  Número decimal exacto: Es aquel cuya parte decimal tiene un número
¿Cuántas páginas tiene el libro? finito de cifras. ;
A) 512 B) 534 C) 524 D) 54 7 E) 564  Número decimal periódico puro : es aquel que en su parte decimal, tiene
infinitas cifras tal que un grupao de ellas, llamada periodo, se repite de
manera regular e indefinida: es periódico puro, si y solo si b { ̇ ̇ }
2
20. ¿Cuántos triángulos rectángulos que tengan 50 m de área existen, sabiendo
que los lados son números enteros?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9  Decimal periódico mixto: Son aquellos números decimales no finitos en
cuya parte decimal figuran dos grupos de cifras: las que no se repiten y
21. Hallar un número entero, sabiendo que admite solamente dos divisores las que se repiten de manera regular e idefinida.
primos, que su número de divisores es 6 y que la suma de todos ellos es 124.
A) 25 B) 30 C) 70 D) 75 E) 90 Generatriz de una expresión decimal: Es la fracción irreductible equivalente a un
número decimal.
2
22. ¿Cuántos divisores no divisibles por 6 tiene el número N= 120 x 45 ? Números irracionales (I): Son números con una cantidad infinita de
A) 26 B) 36 C) 56 D) 76 E) 96 cifrasdecimales que no son periódicas. No se representa mediante una razón de
2
dos enteros, por eso se les denomina irracionales. I ∩ Q =
23. El área de un rectángulo es 588 m ¿Cuántos valores puede tener su
perímetro sabiendo que sus lados miden un número entero de metros y su
perímetro es menor que 150 metros?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

24. Hallar a + b, sabiendo que el número tiene 30 divisores. PROBLEMAS

A) 7 B) 3 C) 5 D) 8 E) 6
1. ¿Cuál es la fracción que disminuida en sus da ¿. Dar como respuesta la
25. Hallar dos números enteros, sabiendo que su suma es 341 y su MCM es 28
veces su MCD suma de los términos de dicha fracción.
A) 125 y 117 B) 124 y 217 C) 126 y 217 D) 124 y 227 E) 114 y 117 A) 0 B) 6 C) 7 D) 8 E) 5

26. El número de páginas de un libro está comprendido entre 850 y 950. Si se 2. Si la fracción es equivalente a , determine “b”, sabiendo que a x b x c ≠
cuentan sus páginas de 12 en 12 sobran 5, de 15 en 15 sobran 8 y de 18 en
0
18 sobran 11. Hallar el número de páginas del libro.
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 6
A) 812 B) 893 C) 8524 D) 48 7 E) 954

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3. Clasifique como (V) o falso (F) cada una de las siguientes afirmaciones:
I. ∀ a, b números enteros; es un número racional. 13. Considere las fracciones ordinarias equivalentes 1,041 ̂ , encuentre el
numerador de la de menor término tal que la suma de los mismos, sea
II. ∀ a, b, números enteros, es un número racional
2
múltiplo de 42 comprendido entre 500 y 1000
III. Si k 𝟄 Z y k es par, entonces k es par.
A) FVV B) FFV C) FFV D) VFF E) FFF A) 700 B) 300 C) 500 D) 170 E) 600

4. ¿Cuánto hay que restarle a 14. Hallar una fracción equivalente a 4/11, sabiendo que al sumarle 11 a cada
A) B) C) 5 D) 5 E) término se obtiene 0,52 ̂ . Dar como respuesta la suma de los términos de
dicha fracción.
5. Si un niño pesa 9/10 de Kg más 9/10 de su peso ¿Cuántos Kg pesa el niño?
A) 7kg B) 3kg C) 5kg D) 6 kg E) 9 Kg A) 47 B) 43 C) 45 D) 75 E) 46

15. Hallar el cociente entre el MCD y el MCM de 21/27 y 28/30.

6. El número de fracciones equivalentes a , cuyo producto de sus términos
sea de cuatro cifras es: A) 1/7008 B) 1/ 3000 C) 1/5005 D) 1/7005 E) 1/1080
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
16. Efectuando 12,12666... – 11,666…; obtenemos la fracción irreductible a/b
7. El numerador de dos fracciones es 2 y los denominadores son números ¿Cuánto suman a y b?
consecutivso. Si 7/41 está entre las dos fracciones, entonces la suma de los
denominadores es: A) 7 1 B) 73 C) 50 D) 82 E) 46
A) un número primo. B) múltiplo de 3. C) múltiplo de 6 D) múltiplo de 7
E) menor que 20 17. Si 0, ̂ + 0,̂ + 0, ̂ = 4, ̂ . El máximo valor de es:
0, ̂
8. La capacidad de una botella es ¾ de litro. Calcular los litros que contiene
cuando se llenan los 5/8.
A) 243 B) 999 C) 729 D) 979 E) 486
A) 7 /32 B) 5/ 32 C) 15/32 D) 15/8 E) 6/32

9. De un grupo de alumnos la tercera parte no contestó ninguna pregunta y de 18. Calcular a +f, si se sabe que : =0, ̂
los que contestaron, 3/5 respondieron mal. ¿Qué parte del total de A) 11 B) 9 C) 10 D) 8 E) 12
alumnosrespondió correctamente?
A) 7/15 B) 3/15 C) 5/15 D) 4/15 E) 6/15 19. Calcular: 2a – b, si + = 0, ̂ ,donde “a” y “b” son enteros positivos.
10. De una pieza de tela se ha cortado la mitad y luego la cuarta parte del resto.
Sabiendo que al final quedaron 24 metros. ¿Cuál es la longitud total que se ha
A) 2 B) 14 C) 11 D) 4 E) 13
cortado?
A) 7 0 m B) 30 m C) 50 m D) 40 m E) 60 m
20. La fracción a/b cumple las siguientes condiciones:
11. Si una vela se consume en 9 minutos los 3/7 de lo que no se consume ¿en
cuántos minutos se consumirá la mitad? = 0, ̂ ; 20 < a < 45 ; 30 < b < 60 .
A) 27 B) 3 0 C) 25 D) 20 E) 15
Calcular la suma de todos los términos de las fracciones a/b
12. Un caminante recorre los tres cuartos del total de su camino,luego un cuarto
del recorrido anterior y finalmente un décimo del camino que falta. ¿Cuántos A) 85 B) 143 C) 204 D) 306 E) 425
kilómetros ha caminado si en total debe recorrer 640 km?
A) 480 km B) 604 km C) 520 km D) 639 km E) 636 km

7
 MATEMATICA

1.5. Potenciación y radicación

PROBLEMAS
La potenciación es la operación matemática mediante la cual multiplicamos un
número por sí mismo las veces que nos indique el exponente. 1. Resolver: {[ √ √ ] √√ }
Propiedades de los exponentes A) 6 B) 0 C) 9 D) 3 E) 12
2. Al cuadrado de un número entero se le suma su cubo y se obtiene 16 250.
Hallar el número.
am A) 22 B) 23 C) 24 D) 26 E) 25
 a mn
n m n+m
a .a =a
an
n 3. ¿Cuál es el número que sumado con su cuadrado da 2970?
n n n a an
(a.b) =a .b    n A) 55 B) 54 C) 50 D) 56 E) 58
b b
n 10 16 22
1 a b
n
4. Simplificar: W = 75 . 24 . 18
a n      24 20 11
an b a 36 . 10 . 9

 
 A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5
n m
(a ) =a
nm  am n    a mn
 
5. Simplificar: E = b. √ + a. √
√
A) ab + 1 B) 1 C) a + b D) a E) a+1
Cuadrado perfecto:Si en su descomposición canónica los factores primos están
2 2α 2ß 2Ϫ
elevados a exponentes múltiplos de 2. K = a x b x c x... √
√
6. Simplificar: P = √
Cubo perfecto: Si en su descomposición canónica los facatores primos están
2 3α 3ß 3Ϫ
elevados a exponentes múltiplos de 3. K = a x b x c x….
7. Simplificar: W = √
Radicación
La raíz n-ésima de una expresión a, llamada radicando; es otra expresión talque A) abc B) 3a C) 2b D) 4abc E) 5bc
esta raíz elevada a n, nos da el radicando a, es decir:
8. Simplificar: P = √ √ √
n
a ba b n A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5

También se tiene que:

m
√√
n
am  a n √√
Simplificar: W=
  n n 
a  a

[ ]
A) √ B) √ C) √ D) √ E) √

9. Simplificar W = 2. √ √
A) 15 B) 14 C) 10 D) 16 E) 18

8
 MATEMATICA

A) 2 B) 4 C) 1 D) 32 E) 8
x–y
10. Sabiendo que: b = a. Hallar el valor de: S=√ 19. La suma del cuadrado y el cubo de un mismo número es 4352. Determinar la
A) 5 B) 4 C) 0 D) 2 E) 8 suma de las cifras de dicho número.
A) 2 5 B) 24 C) 20 D) 22 E) 2 8

20. ¿Cuántos números primos hay entre 10 y 500 que al restarle 2 resulta
11. Simplificar: L= √ potencia de 3.
A) 5 B) 4 C) 0 D) 2 E) 8
A) B) C) D) E)
21. Si el número es un cuadrado perfecto, entonces la suma de los dígitos
de dicho número es:
12. Simplificar M= ( √ √ ) ( √√ ) ( √ √ ) ( √ √ ) ….
A) 25 B) 24 C) 20 D) 22 E) 28
A) B) ) C) D) E)
22. Se da un número positivo que no tiene raíz cúbica exacta. Si a este número
13. Al simplificar hallar el valor de x en: = √ se le disminuye en 721, entonces su raíz cúbica disminuye en una unidad,
A) 5 B) -5 C) 10 D) - 2 E) 8 pero el residuo no se altera. Determinar la suma de las cifras de la diferencia
entre el número y el residuo.
14. Daar el equivalente de: P= ( √ √ ) ( √ √ ) ) ( √ √ ) …. A) 15 B) 19 C) 20 D) 18 E) 25

23. Determine la suma de todos aquellos números naturales tales que su raíz
A) √ B) ) √ C) √ D) √ E) √
cuadrada, con una aproximación menor de es 4,8
n–1 2n n+1 2n +1
15. Si: 3 =2 . Calcular W = 3 +2 A) 230 B) 259 C) 282 D) 289 E) 312
n 2n + 3
3 +2
A) 3 B) 4 C) 1 D) 2 E) 8 24. ¿Cuántos números de 3 cifras tiene tres cifras tienen la raíz cuadrada y la raíz
cúbica con el mismo residuo no nulo.
√ el exponente final de “x” es A) 55 B) 53 C) 52 D) 56 E) 54
16. Si al reducir la expresión: W = √ √
8. Hallar “m”
A) 15 B) 14 C) 10 D) 12 E) 1 8 25. ¿Cuántos números de tres cifras existen de modo que su cuadrado sea
múltiplo de 31, más 16?
A) 55 B) 54 C) 59 D) 45 E) 58
17. Calcular S= √
A) 3 B) 4 C) 1 D) 2 E) 8

√ √ √ √ √

18. El valor numérico de la expresión: para

√ √ √ √ √
[ ]
x= 32

9
 MATEMATICA

1.6 Razones y Proporciones I. 20 – 12 =8

Interpretación
Razón  La velocidad del maratonista A excede e 8m/s a la velocidad del
maratonista B; es decir, en un segundo A recorre 8m más que B
Es la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética
(sustracción - división) II. Razón geométrica:
Interpretación
Clases de Razón
 La razón geométrica de los maratonistas A y B es 5/3
1. Razón Aritmética  Las velocidades de A y B están en relación de 5 a 3 respectivamente
 Las velocidades de A y B son proporcionales a 5 y 3
Es el resultado de comparar 2 cantidades mediante la sustracción
Sean las cantidades a y b, su razón aritmética será:  Las velocidades de A y B son como 5 es a 3
Donde: a: antecedente
b: consecuente b. Hallar la razón armónica de 2 y 3
r: valor de la razón aritmética
Resolución
2. Razón Geométrica
Es el resultado de comparar dos cantidades mediante la división, y consiste en
determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene a cierta unidad
de referencia Proporción
Sean las cantidades de a y b, su razón geométrica será:
Es la igualdad de dos razones del mismo tipo (aritmética y geométrica)
Donde: a: antecedente
b: consecuente Clases de Proporción
k: valor de la razón geométrica
1. Proporción Aritmética
3. Razón Armónica Es la igualdad entre dos razones aritméticas, pueden ser:
a. Discretas, cuando los cuatro términos son diferentes
Es el resultado de comparar las inversas de 2 cantidades mediante la
operación de sustracción a y d : extremos
Sean las cantidades de a y b, su razón armónica será: b y c: medios
Donde: a: antecedente d: cuarta diferencial de a, b y c
b: consecuente b. Continua, cuando los términos medios son iguales
h: valor de la razón armónica
c: tercera diferencial de a y b
Ejemplos: b: media diferencial o aritmética de a y c; donde:
a. Dos maratonistas A y B se desplazan con velocidades de 20m/s y 12m/s, Propiedad: la suma de los extremos es igual a la suma de los medios
respectivamente,
2. Proporción Geométrica
I. La razón aritmética de dichas velocidades
Es la igualdad entre dos razones geométricas, pueden ser:
II. La razón geométrica de las velocidades A y B
a. Discreta: los cuatro términos son diferentes
Resolución

10
 MATEMATICA

Donde:
a y d son los términos extremos
b y c son los términos medios Propiedad II
d: cuarta proporcional de a, b y c
Propiedad: el producto de los términos medios es igual al producto de los
medios

b. Continua, los términos medios son iguales

Propiedad III

c: tercera proporcional de a y b
b media proporcional o geométrica de a y c; donde: √
b. Continua:
Propiedades de la proporción geométrica
Si la proporción se tendrán las siguientes propiedades:
a. Propiedad I
Si

3. Proporción Armónica
b. Propiedad II Es la igualdad de dos razones armónicas, pueden ser:
c. Discreta: los cuatro términos son diferentes

c. Propiedad III Donde:

a y d son los términos extremos
b y c son los términos medios
Razones Geométricas Iguales o equivalentes d: cuarta parte armónica de a, b y c

Es un conjunto de razones geométricas que tienen igual razón, pueden ser:

d. Continua, los términos medios son iguales

a. Discreta:
c: tercera armónica de a y b
b media armónica de a y c; donde:
Propiedad I
Ejemplos:

1. Las edades de 4 personas forman una proporción aritmética en la que los

términos extremos están en la relación de 3 a 5 y los términos medios están en

11
 MATEMATICA

la relación de 2 a 4, respectivamente. Halle la media diferencial de los términos

extremos de dicha proporción, si las personas son menores de 20 años ( )

Resolución
; a, b, c y d son las edades de las personas Ejemplos:

Por propiedad: la suma de los extremos es igual a la suma de los medios Si ; hallar H = b + c + e + 4
; los valores de n y k sólo pueden ser 3 y 4 respectivamente porque las
personas son menores de 20 años
Resolución
Reemplazando Por propiedad: k=2

e=2;
c=8
Si x es la media diferencial de 9 y 15, entonces b = 16
Entonces H = b + c + e + 4 = 16 + 8 + 2 + 4 = 30

2. Hallar la media proporcional de una proporción geométrica si la relación de los

dos primeros términos es como 12 es a 30; además la diferencia de los PROBLEMAS
consecuentes es 45
1. En un determinado momento de una fiesta, el número de hombres que están
Resolución bailando es al número de mujeres que no bailan como 7 es a 4. Además, el
Según el enunciado se trata de una proporción geométrica continua: número de mujeres que bailan es al número de hombres que no bailan como 7
; por dato es a 5. Si en ese momento había 414 personas en la fiesta. ¿Cuántas mujeres
no bailan?
Luego: a. 18 b. 36 c. 72 d. 90 e. 126

2. El radio del planeta Marte es ½ del radio terrestre y el diámetro del planeta
Júpiter es igual a 10 diámetros terrestres. ¿Cuál es la razón geométrica entre
los radios de Marte y Júpiter?
a. 3/20 b. 7/20 c. 1/20 d. 3/15 e. 1/10

3. La cantidad de dinero de A es a la de B como 2 es a 3 y el de B es al de C,

como 3 es a 4. Sabiendo que A y C tienen juntos 60 soles. ¿cuántos soles
tiene B?
a. 30 b. 40 c. 50 d. 60 e. 70
3. La tercera proporcional de a y b es 20, a.b = 50, hallar a + b
4. Dos números son entre sí como 2 es a 5. Si su razón aritmética es 72, hallar el
Resolución
número mayor
Si entonces c = 20; a. 60 b. 82 c. 120 d. 96 e. 86
Por dato a.b = 50

12
 MATEMATICA

5. En una reunión se observó que por cada 5 hombres hay 3 mujeres. Si llegaron
10 hombres y 8 mujeres la nueva relación será de 3 hombres por cada 2 14. Los números A, B, y C son entre sí como los números 18, 9 y 12 sabiendo
mujeres. ¿Cuántas personas habían inicialmente en la reunión? que la cuarta diferencial de A, B y C es igual a 15. Hallar la cuarta proporcional
a. 48 b. 42 c. 32 d. 38 e. 24 de A, B y C
a.25 b. 32 c. 48 d. 30 e. 35
6. En una proporción geométrica continua el producto de sus 4 términos es
20736. Hallar su media proporcional 15. Si ; halla:
a. 12 b. 15 c. 6 d. 18 e. 24
2 2
a. p b. p + 1 c. p d. p + p e. d.p
7. Las edades de Julián, Milagros y Pedro se encuentran en relación a los
números 2, 3 y 4. Si dentro de 9 años sus edades serán entre si como 7, 9 y 16. En una proporción aritmética discreta los términos extremos están en la
11, respectivamente. ¿Cuántos años excede la edad de Pedro a la edad de relación de 7 a 5. Si la suma de los términos es 180, calcular la uarta
Julián dentro de 13 años? diferencial
a. 8 años b. 10 años c. 12 años d. 14 años e. 18 años a. 72 b. 60 c. 65 d. 75 e. 90

8. Sabiendo que ; ; 17. La media aritmética de 3 números es 7, la media geométrica es par e igual a
uno de ellos y la media armónica es 36/7, halla el menor de los números
Calcular el valor de a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

a. 2/5 b. 3/4 c. 4/3 d. 2/3 e. 3/2 18. Se tiene 55 números positivos , “A” es la media aritmética de los 35 primeros
números y “B” es la media aritmética de los números restantes, si la media
9. Si ; además c.b = 8. Calcular a + b + c geométrica y la media armónica de A y B son √ respectivamente,
hallar el menor valor posible de la media aritmética de los 55 números enteros
a. 8 b. 16 c. 12 d. 120 e. 24 positivos
a. 142/11 b. 140/11 c. 124/11 d. 241/11 e. 421/11
10. En una proporción geométrica continua. Los términos extremos están en la
relación de 9 a 25 y la suma de los términos es 192. Hallar la media 19. En una serie de razones iguales, los antecedentes son los cuatro primeros
proporcional números primos. Siendo la suma del cuadrado de los consecuentes 783, hallar
a. 40 b. 45 c. 50 d. 55 e. 60 el consecuente mayor.
a. 20 b. 22 c. 18 d. 74 e.21
11. Se tienen 3 recipientes de vino cuyos contenidos están en relación 9, 6 y 10.
Se pasa “a” litros del primer al segundo recipiente y luego “b” litros del tercero 20. En una proporción aritmética continua, el primer antecedente es mayor en 12
al segundo, siendo la nueva relación de 4, 6 y 5 respectivamente. Calcular el unidades que el segundo consecuente. Sabiendo que el producto de sus
volumen final del tercer recipiente, si a – b = 14. términos diferentes es 224 y los términos son números enteros, halla el término
a. 120 b. 135 c. 175 d. 138 e. 177 medio
a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 10
12. Si además a.b + c.f = 168 y c + d.e + f = 90.
2 2
Hallar c + f
a. 120 b. 144 c. 225 d. 320 e. 180

13. Las edades de Margot y Carolina están en la relación de 9 a 8, dentro de 12

años estarán en la relación de 13 a 12. Calcular la suma de las edades que
tenían hace 6 años
a. 37 b. 29 c. 39 d. 41 e. 51

13
 MATEMATICA

1.7 Magnitudes Proporcionales Nota: Función de proporción inversa:

1.7.1. Magnitudes directamente proporcionales (DP)
Ejemplo:
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar el valor de
Sebastián de 180 cm de altura, proyecta una sombra de 120cm ¿Qué altura
una de ellas por un número, entonces la otra también queda multiplicada por el
tendrá un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 400 cm?
mismo número
Las alturas son directamente proporcionales a las sombras
Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales, se debe cumplir que
el cociente de sus valores correspondientes resulte constante.

Respuesta. la longitud del árbol es de 600cm

Si:
1.7.3 Reparto proporcional

Procedimiento que consiste en repartir una determinada cantidad de manera

DP y/o IP a ciertos números denominados índices o números repartidores.
Entonces: Ejemplos:
a. Repartir 13340 DP a 6; 8; y 9
Resolución
(parte) DP (índice)
Nota: Función de proporción directa:

1.7.2 Magnitudes inversamente proporcionales (IP) A, B y C son cada una de las partes

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar el valor de

una de ellas por un número, entonces la otra queda dividida por dicho número
A + B + C = 13340
Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales, se debe cumplir que
el producto de sus valores es constante. 6k + 8k + 9k = 13340
K = 580
Luego: A = 6k 6(580) = 3480
Si: B = 8k 8(580) = 4640
C = 9k 9(580)= 5220
Otra forma:

Entonces: A = 3480
B = 4640
C = 5220

14
 MATEMATICA

b. Repartir 3335 IP a 6; 8 y 9 IP
Resolución Magnitud A Magnitud B
1 1
(parte) IP (índice) 2 x
(parte) . (índice) = constante
Se cumple:
A, B y C son cada una de las partes
6A = 8B = 9C Ejemplos:

a. Pedro regala a Cecilia un cubo de madera que cuesta S/.1200. Si le regala

un cubo de la misma madera, pero el doble de arista. ¿Cuánto costará
A = 12(115) = 1380 dicho cubo?
Resolución
B = 9 (115) = 1035 Costo S/. Volumen del cubo
3
C = 8 (115) = 920 1200 a
3
X 8a

Regla de tres

La regla de tres es una aplicación de la proporcionalidad que consiste en calcular

el valor desconocido correspondiente a una magnitud relacionada con dos o más
magnitudes. b. Una guarnición de 2250 hombres tiene provisiones para 70 días, al término
del día 29, salen 200 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán durar Las
1. Regla de tres simple: es cuando intervienen dos magnitudes proporcionales provisiones que quedan al resto de la guarnición?
de las cuales se conocen 3 valores; dos de una magnitud y la tercera de otra
magnitud, debiéndose calcular el cuarto valor. Resolución

Regla de tres simple directa: las magnitudes que intervienen son Después de los 29 días, tendría provisiones para 41 días, entonces:
directamente proporcionales
Sean las magnitudes A y B, además las cantidades y x Hombres días
2250 41
2050 x
DP
Magnitud A Magnitud B
1 1
2 x
2. Regla de tres compuesta: es cuando intervienen más de dos magnitudes, se
toma como referencia la magnitud en la cual se ubica la incógnita, esta se
Se cumple:
compara con cada una de las demás para indicar si son DP o IP. Así:

Regla de tres simple inversa: las magnitudes que intervienen son

inversamente proporcionales
Sean las magnitudes A y B, además las cantidades y x

15
 MATEMATICA

Magnitudes A B C D Ejemplo: el siete por ciento <> 7% <> 7/100

1. Aplicación del tanto por ciento

x
(DP) (IP) (DP) El n% de una cantidad C se calcula así:

Ejemplos:
a. Un grupo de obreros prometen hacer una obra en 18 días, pero cuando Ejemplo: El 28% de 550 es:
ya habían trabajado 6 días contratan 5 obreros más, con los que
terminaron la obra dos días antes del plazo. Hallar el número de obreros 2. Relación parte – todo
que había en el grupo inicialmente

Resolución
Ejemplos:
Si en 18 días se realiza una obra, cada día se avanzará 1/18 del total de la
obra, entonces el 6 días se avanzará 6(1/18) = 1/3, luego, lo que falta para a. ¿Qué tanto por ciento de 150 es 21?
culminar la obra es 2/3 Respuesta: es el 14%
Obreros días Obra
x 18 1
x+5 10 2/3 b. Respecto de 14, ¿Qué tanto por ciento es 35?
Respuesta: es el 250%

c. ¿Qué porcentaje más representa 60 de 40?

Respuesta: es el 50% más

Tanto por ciento d. ¿Qué porcentaje menos es 32 de 40?

Consiste en dividir una cantidad en 180partes iguales y tomar un cierto número en Respuesta: es el 20% menos
dichas partes, es decir:
100 partes iguales
e. ¿Qué tanto por 20 es 8 de 40?

1 1 1 1 1 1 1 1
… …
100 100 100 100 100 100 100 100

“n” partes
Entonces:

16
 MATEMATICA

PROBLEMAS 10. Una rueda A de 50 dientes engrana con otra rueda B de 45 dientes la cual
está unida mediante un eje con otra rueda C, si la rueda A da 135 vueltas, el
1. Repartir 240 DP a los números 2 y 10. Hallar la mayor parte repartida número de vueltas dado por la rueda C sería:
a. 40 b. 200 c. 100 d. 160 e. 80
a. 150 b. 120 c. 90 d. 75 e. 180
2. Repartir 400 IP a los números 3 y 5. Hallar la menos parte repartida
a. 175 b. 250 c. 150 d. 100 e. 300 11. Pablo es el doble de eficiente que Pedro. Si juntos pueden hacer un trabajo
en 12 días, ¿cuánto tiempo le tomaría a Pablo hacerlo solo?
3. Repartir 5085 en partes IP a ·3/4; 5/6; 6/7 y 7/8. Hallar la mayor parte
a. 1400 b. 1450 c. 1260 d. 1200 e. 1225 a. 10 b. 18 c. 20 d. 17 e. 21

4. Los rendimientos de 3 operarios son proporcionales a los primeros números 12. Diez obreros pueden hacer una obra en 12 días, trabajando 6h/d. Luego de
pares positivos. Si se reparte una bonificación de S/. 2400, hallar la cantidad iniciados los trabajos se quiere terminar en solo 8 días disminuyendo 1/6 de la
que corresponde al menor eficiente obra y aumentando a 8h/d el trabajo. ¿Cuántos días trabajaron 8h/d?
a. 720 b. 420 c. 1200 d. 800 e. 400
a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 4
5. María reparte 201 caramelos entre 4 de sus estudiantes en forma IP al número
de faltas que tan tenido en el bimestre y que son: 2; 5; 4 u 6 faltas. Hallar la 13. Una guarnición de 2100 hombres tiene víveres para 50 días, al terminar el
cantidad de caramelos repartido entre la menor y mayor parte que entregó día 24 se da de baja a 280 hombres. ¿Cuánto tiempo más podrán durar los
María víveres que quedan al resto de la guarnición?
a. 75 b. 116 c. 100 d. 120 e. 126
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 8
6. La magnitud de A es DP a la magnitud de B cuando A = 51; B = 3. Hallar el
valor que toma B cuando A =34. 14. Con 18 obreros se puede hacer una obra en 42 días. ¿En cuántos días 15
a. 1 b. 2 c. 4 d. 17 e. 27 obreros 6veces más rápidos que los anteriores harán una obra que ofrece una
dificultad igual al quíntuple de la anterior?
7. La magnitud de A es IP a √ , además cuando A es igual a 6 entonces B es
igual a 16. Hallar B cuando A es igual a 4. a. 24 b. 30 c. 32 d. 36 e. 12
a.16 b. 36 c. 24 d. 12 e. 18
15. Un edificio puede ser construido por 12 obreros en 15 días; 9 días después
8. En una caja hay 400 tizas entre blancas y amarillas y se observa que por cada de iniciada la obra, 4 de ellos aumentan su rendimiento en 40% y el resto baja
3 tizas blancas hay 2 amarillas. Al venderse cierta cantidad por parejas (una de en n%. si la obra se culminó en 21 días, hallar “n”
cada color), quedan por cada 2 blancas 1 amarilla. ¿Cuántas tizas se
vendieron? a. 70 b. 75 c. 95 d. 90 e. 60
a. 80 b. 190 c. 72 d. 140 e. 36
16. 8 hombres pueden hacer una obra en 3 días ¿cuántos hombres más harían
9. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fijo al eje falta para hacer la obra en 2 días?
de B hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40
dientes. Si A da 120 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas por minuto dará la a. 3 b. 8 c. 6 d. 2 e. 4
rueda D?
17. Un cubo de madera cuesta S/.1755. ¿Cuánto costará un cubo de madera
a. 192 b. 190 c. 72 d. 140 e. 36 cuya arista sea los 2/3 de la arista anterior?

a. S/560 b. S/520 c. S/540 d. S/600 e. S/480

17
 MATEMATICA

18. Se ha disuelto 480g de azúcar en 10 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua

hay que agregar para que por cada litro de mezcla haya 20g de azúcar? 27. Se compra 2 artefactos de igual precio, al venderlos en uno se gana el 15%
y en el otro se pierde el 5%. Si en total se ganó S/850, determinar el precio de
a. 18L b. 12L c. 15L d. 14L e. 13L compra de cada artefacto.

19. Una guarnición de 1500 hombres, tiene víveres para 125 días. Si se desea a. S/ 8000 b. S/8500 c. S/9500 d. S/10000 e. S/4250
que los víveres duren 25 días más, ¿Cuántos hombres se tienen que retirar de
la guarnición? 28. El 30% del área de un círculo es el 75% de la longitud de su circunferencia.
Hallar diámetro
a. 150 b. 350 c. 100 d. 200 e. 250
a. 6u b. 3u c. 4u d. 8u e. 10u
20. Si Luis gasta el 15% de del dinero que tiene y gana el 10% de lo que le
queda, perderá S/195. Hallar la cantidad de dinero que tienen Luis 29. El 40% del 50% de “x” es el 30% de “y”. ¿Qué porcentaje de (2x + 7y) es
(x + y)?
a. 1500 b. 3000 c. 1950 d. 2000 e. 4000
a. 25% b. 12.5% c. 20% d. 10% e. 22.5%
21. Compré un televisor a S/.850 y lo vendí a S/680, entonces el porcentaje de
pérdida es: 30. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%. ¿A qué único descuento
equivalen?
a. 15% b. 30% c. 20% d. 12% e. 25%
a. 48% b. 52% c. 44% d. 58% e. 54%
22. En un salón de clase, cierto día asisten 20 varones y 25 mujeres, entonces
el tanto por ciento que representan los varones y 7 mujeres, es: 31. Dos aumentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a uno del:

a. 55% b. 60% c. 20% d. 12% e. 25% a. 32% b. 132% c. 68% d. 168% e. 60%

23. En un salón de clases, el 45% del total son varones, si las mujeres son 33, 32. Tres aumentos sucesivos del 10%, 60% y 80% equivalen a un único
hallar el total de estudiantes del salón. incremento de:

a. 60 b. 65 c. 70 d. 45 e. 55 a. 200% b. 116% c. 216.8% d. 126.8% e. 261.8%

24. En un salón de clases, el 30% del total son varones, si las mujeres son 126, 33. Si la base de un triángulo se incrementa en 30% y la altura disminuye en un
hallar el total de varones 20%. ¿cómo varía el área?

a. 50 b. 180 c. 54 d. 120 e. 162 a. -10% b. +4% c. -4% d. -2% e. +2%

25. En un corral hay 50 aves, el 56% son pavos y el resto patos. Si se aumentan 34. Si x aumenta en 44%. ¿Qué ocurre con ?
18 patos y se retira 18 pavos. ¿Qué porcentaje representan los patos? a. Aumenta en 20%
b. Aumenta en 120%
a. 18% b. 10% c. 40% d. 20% e. 80%
c. Aumenta en 44%
26. En una reunión el 30% del número de hombres es igual al 80% del número d. Aumenta en 144%
de mujeres. ¿Qué tanto por ciento es el número de mujeres respecto al 60% e. Aumenta en 12%
del número de hombres?
a. 60% b. 62.5% c. 68.5% d. 75% e. 80%

18
 MATEMATICA

1.8 Interes Simple y Compuesto

1.8.1 Regla de Interés ( )

Se denomina regla de interés a la ganancia que produce un capital o una suma
de dinero al ser prestado durante un cierto tiempo y a una tasa de interés
Donde:
Elementos de la regla de interés C= Capital o suma de dinero
r= tasa de interés anual
a. Interés (I): es el beneficio que se obtiene al prestar un cierto capital. k= Nº de veces que el capital se capitaliza con un año.
n= Nº de días
b. Capital (C): cantidad de dinero o suma de dinero que se presta M= Monto acumulable
c. Tiempo (t): dado en años, meses o días durante los cuales se invierte un Ic = Interés compuesto
capital Frecuencia de conversión: es el Nº de veces (k) que el interés se
d. Tasa de interés o rédito (r): es el % de ganancia del capital tomado capitaliza durante un año, es decir:
Si es capitalizable mensualmente entonces k = 12
generalmente de forma anual Si es capitalizable trimestralmente entonces k = 12/3 = 4
Si es capitalizable semestralmente entonces k = 12/6 = 2
1.8.2 Clases de Interés
c. Interés continuo: si se invierten C soles a interés continuo durante “t” años
a. Interés simple: en este caso, el capital permanece constante, es decir, el a la tasa anual “r”, el valor del capital al final del periodo es:
interés que produce dicho capital no se acumula.

Ejemplos:

Nota: 1. Un capital se coloca al 80% semestral. Hallar el tiempo para que el

monto sea diecisiete veces el capital
Resolución
En t años: t=?
r = 80% semestral = 160% anual
En t meses: M = 17C

En t días (año comercial): Si ;

En t días (año normal):

En t días (año bisiesto):

Monto: es la suma del capital más los intereses que se obtienen hasta
determinado momento
2. Se deposita un capital de S/.4400 a un interés compuesto del 5%,
durante 2 años. Calcular el capital final (M) si el periodo de
b. Interés compuesto: en este caso el interés se origina el capital en cada capitalización es anual.
unidad de tiempo (periodo) se incrementa a dicho capital Resolución

19
 MATEMATICA

4. Calcular el rédito al que hay que colocar un capital de 29500 euros durante 8
meses para que produzca un interés de 1710 euros
( )
a. 8.96% b. 7.69% c. 7.69% d. 8.69% e. 8.09%
( )
5. ¿Cuántos días hay que tener un capital de 40950 euros a un rédito del 2%
3. Si Omar depositó $3200 al 80% anual capitalizable continuamente, para que produzca un interés de 182 euros?
determine el monto y el interés total ganado al cabo de 2años. a. 90días b. 100días c. 80días d. 70días e. 180días
Resolución:

6. Hallar el tiempo en que habrá que colocar un capital al 30% cuatrimestral

para que el monto sea 10 veces el capital
a. 11 años b. 9 años c. 8 años d. 20 años e. 10 años

7. Un capital prestado a una cierta tasa de interés produce un determinado

interés anual. Si el capital fuese S/5000 mayor, el interés aumentaría en
Para hallar el interés usamos:
S/150, halla la tasa de interés.
a. 4% b. 6% c. 8%c. d. 3% e. 5%

8. Si al x%; un capital “x”, produce en x/10 años u nuevo sol, halle el monto
a. 11 b. 11.5 c. 12 d. 12.5 e. 13

9. Después de prestar por 3 años un capital se obtiene un monto igual al triple

PROBLEMAS
del capital prestado. Al prestar S/. 3000 a la misma tasa de interés por un año
1. Calcular el capital que hay que colocar durante tres años a un rédito del 4% y 3 meses. ¿Cuál será el interés a recibir?
para que produzca un interés de 5640 dólares a. 3000 b. 2850 c. 2750 d. 2500 e. 2250
a. 7400 b. 74000 c. 470 d. 47000 e. 4700
10. Se prestó S/. 40000 durante 6 años, 4 meses y 10 días de tal manera que por
2. ¿Cuántos años hay que tener un capital de 8500 euros a un rédito del 3.75% los años completos se recibe el 25% semestral , por los meses completos
para que produzca un interés de 2868.75 nuevos soles? excedentes el 15% trimestral y por los días excedentes el 14% semanal.
¿Cuál fue el monto final?
a. 9años b. 7años c. 5años d. 10años e. 8años a. S/120000 b. S/176000 c. S/136000 d. S/130000 e. S/210000

3. Calcular el capital que hay que colocar durante 10 meses a un rédito del 5% 11. Si Carlos impone su capital por 1 año y 9 meses al 5%, los intereses
para que produzca un interés de 2956 nuevos soles producidos los reparte entre sus tres sobrinas: a una le da los 3/7 a la
segunda los 4/11 y a la tercera 64000 soles. ¿Cuánto es su capital?
a. S/: 70944 b. S/:70044 c. S/:70000 d. S/:7094 e. S/:70900 a. 2100000 b. 1500000 c.2875000 d. 3520000 e.3500000

20
 MATEMATICA

12. Un capital es impuesto al 3% anual y otro capital al 5%. Y la suma de los 19. Una persona tiene S/. 16000 que presta al 5% trimestral y otra tiene S/.
capitales es S/.28000. Si el interés anual que produce el primero es al interés 20000 que presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuánto tiempo los montos
cuatrianual que produce el segundo como 5 es a 4. Halle la suma de cifras serán iguales?
del menor capital a. 10 años b. 11 años c. 14 años d. 18 años e. 20 años
a.3 b.5 c. 7 d. 9 e. 11
20. El interés compuesto que genera S/. 8000 al 30% anual capitalizable
13. Un capital C, al r% anual produce en t años 800 nuevos soles. ¿Cuánto anualmente durante 3 años, es:
producirá otro capital que es 5 veces más que al anterior, en el quíntuplo del
tiempo, impuesto a una tasa que es 1/8 menos? a. S/.10300 b. S/.8700 c. S/.8630 d. S/.12450 e. S/.9576
a. 18000 b. 17500 c. 11000 d. 20100 e. 21000

14. Se tiene un capital cuyo monto alcanzado en 10 meses es los 5/6 del monto
obtenido en 15 meses. En tres meses. ¿Qué tanto por ciento del capital
gana?
a. 10% b. 15% c. 20% d. 25% e. 30%

15. Se depositó un capital al 4% y el monto fue de S/4200, pero si hubiera sido

depositado al 9% el monto hubiera sido S/4450. Halle el monto si se hubiera
depositado al 10%
a. 3000 b. 5000 c. 4500 d. 4000 e. 3500

16. Si deseamos colocar un capital en una financiera al 20% capitalizable

semestralmente, observamos que gana en un año y medio S/.580 menos que
si lo colocamos al 4% bimestral de interés simple en el mismo tiempo.
¿Cuánto fue el capital?
a. 26000 b. 58000 c. 24000 d. 20000 e. 16000

17. Halla el capital que produce S/. 1200 de interés al 4% trimestral en 8 meses
a. S/.11250 b. S/.11220 c. S/.11520 d. S/.10250 e. S/.11100

18. Un capital de S/. 1000 se deposita al 10% durante 3 años. ¿Cuál es la

diferencia de montos al usar interés simple y compuesto con capitalización
anual?
a. S/.28 b. S/.29 c. S/.30 d. S/.31 e. S/.32

21
 MATEMATICA

1.9 Mezcla y Aleación Grado o pureza de una Mezcla Alcohólica (G): es el tanto por ciento de alcohol
puro que contiene una mezcla alcohólica, también lo denominan concentración.
1. MEZCLA
Es la agregación de dos o más sustancias (ingredientes) en cantidades
arbitrarias, conservando cada una de ellas su propia naturaleza (mezcla
homogénea)
a. Mezcla alcohólica directa
CLASES DE MEZCLAS

a. Regla de mezcla directa Alcohol puro A1 A2 A3 … An

Su objetivo es de calcular el precio promedio o medio, conociendo la cantidad
de los ingredientes que intervienen y sus respectivos precios unitarios Volumen total V1 V2 V3 … VN

Grado de la mezcla resultante Gm

Cantidad C1 C2 C3 … Cn

Precios unitarios P1 P2 P3 … CN

Pero

b. Mezcla Alcohólica inversa

Datos:
b. Regla de mezcla inversa
Tiene como objetivo calcular las proporciones en que intervienen los
ingredientes, conocidos sus precios unitarios y el precio medio de la
mezcla.
Datos:
Donde: ; incógnitas: volúmenes

Entonces:
Donde: ; “x” i “y” son cantidades de los dos ingredientes
CONCEPTOS ADICIONALES
Entonces:
a. Concentración: se refiere a la presencia que tiene uno de los elementos
MEZCLAS ALCOHÓLICAS sobre el total de la mezcla

22
 MATEMATICA

b. Concentración Promedia, al combinar una mezcla de cierto grado de

pureza con otra de diferente grado obtenemos otra mezcla final con otro
grado de pureza

Donde: Vm = volumen o cantidad de mezcla

2. A un vendedor le solicitan 21kg de maní por un valor de S/. 378, pero solo
= grado de la mezcla, i = 1; 2
tienen maní de S/.14 y S/.20 el kg. Hallar la cantidad de kilogramos de maní de
= grado de la mezcla final o concentración
cada precio que deberá mezclar para atender el pedido
Resolución
c. Precio promedio,
Si: Sean:
: cantidad total de mezcla
Ahora:

Precios Precio Medio Diferencia

d. Variación de la Concentración
Cuando se tenga una mezcla con cierto grado de concentración, debe
14 20 – 18 = 2
recordarse de:
 Si le agregamos agua, la concentración disminuye 18
 Si le agregamos alcohol, la concentración aumenta 20 18 – 14 = 4
 Se considera la concentración del agua o grado del agua igual a cero
 Lo mismo sucede para el precio promedio, se considera el precio del
Pero:
agua igual a cero.
Si:
Luego:

Por lo tanto se mezclaran 7kg de S/.14 con 14kg de S/ 20

Ejemplos: 3. Se han mezclado 50 litros de alcohol de 80º con 140 litros de alcohol puro y
110 litros de agua. Hallar el grado de la mezcla resultante.
1. Se han mezclado 60 litros de aceite de S/.6,2 el litro con 100 litros de S/. 8,4 el
litro y 40 litros del S/. 10,8 el litro. Hallar el precio medio de la mezcla. Resolución:
Resolución

23
 MATEMATICA

1. Si un lingote de oro pesa 500 gramos y de ellos 450 gramos son de oro puro, la
ley de la aleación será

Aplicando la fórmula tenemos:

2. Se tienen lingotes de 60 kg, 40 kg y 30kg que contienen 36kg., 20kg., y 10kg.
de plata respectivamente. Hallar la ley de aleación
Resolución
Sean:

2. ALEACIÓN

Consiste en mesclar dos o más metales, mediante la fusión o fundición de los ( ) ( ) ( )

mismos, donde los metales como el oro, plata, platino se consideran como
metales finos y el cobre, plomo, estaño, zing, etc. Como metales ordinarios,
llamados también metales de liga

a. Ley del metal fino,

PROBLEMAS
b. Ley media de aleación; consideremos los metales con Leyes
con sus respectivos pesos ; entonces la 1. En un depósito hay 360 litros de alcohol y 40 litros de agua. Hallar la cantidad
Ley media está dada por: de alcohol que se debe agregar a la mezcla para que tenga 98% de pureza
a. 1600 b. 1000 c.1001 d.1660 e.1060

2. Se tienen lingotes de 36; 30 y 50 kg , que contienen 30, 20 y 40 kg de plata

respectivamente, hallar la ley de aleación
c. Ley de los metales finos en kilates (aleaciones de oro)
a. 0.876 b. 0.776 c.0.447 d. 0.978 e. 0.87

3. Una medalla de oro de 14 kilates pesa 36g. ¿Cuál será su peso en gramos de
oro puro?
La aleación del oro puro es de 24 kilates a.22g b. 21g c. 18g d. 20g e. 32g

Ejemplos

24
 MATEMATICA

4. ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que deberá añadirse a 80 litros de 13. Se funden 4 monedas de plata de ley 0.750. Sabiendo que cada una pesa
alcohol de 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol al 90% de 300gramos, hallar la cantidad de plata pura que es necesario agregar para
pureza? obtener una aleación de ley 0.900
a. 50% b. 45% c.55% d. 60% e.65% a. 180 b. 1000 c.1800 d. 1008 e. 1080

5. Se mezclan 45 litros de vino de 40 soles el litro con vino de 24 soles y otro de 14. Un anillo de oro de 18 kilates pesa 9gramos. Hallar la cantidad de oro puro
36 soles el litro, resultando un precio medio de 34 soles. Si por cada 5 litros del que tiene el anillo
segundo hay 7 litros del tercero, hallar la cantidad total de mezcla. a. 6.75g b. 7.65g c.5.65g d. 6g e. 7.15g
a. 130 L b.150 L c.90 L d. 125 L e. 135 L 15. Una pulsera de oro de 16 kilates pesa 24g. Calcule el precio de la pulsera, si
6. Se tiene dos soluciones de agua oxigenada una al 30% y la otra al 3% de el gramo de oro puro, cuesta S/. 62 y el de metal ordinario S/. 4 el gramo.
pureza. ¿En qué proporción deben mezclarse para obtener una solución del a. S/. 1024 b. S/. 1020 c. S/. 1042 d. S/. 1000 e. S/. 992
12%?
a. 1:3 b. 2:3 c.1:4 d. 1:2 e. 16. Un comerciante mezcla 3 clases de café cuyas cantidades están en relación
de 1; 3 y a, y sus precios son S/.15, S/. 11 y S/. 18 respectivamente (por kg).
7. Un anillo de 33g de peso está hecho de oro de 17 kilates, ¿Cuántos gramos de Calcule “a” si el Kg de mezcla se vende a S/. 20 ganando el 20% del P v
oro puro se deberán agregar al fundirlo para obtener oro de 21 kilates? a.1 b.2 c. 3 d. 4 e. 7
a. 40g b. 42g c.44g d. 45g e. 43g
17. Se mezclan alcoholes de 40º; 30º y 20º para obtener alcohol de 35º. Si se
8. A un lingote de plata de 0,850 de Ley, se le agrega 2,6g de plata pura y se quiere que el alcohol de 20º sea la quinta parte que el de 40º, ¿cuántos litros
obtiene otro lingote de 0,915 de Ley. ¿Cuál es el peso en kg en el primer de alcohol de 30º entraran en la mezcla, si esta posee un volumen total de
lingote? 80L?
a. 3.4 b. 2.6 c. 2.8 d. 3.9 e. 4.2 a.10 b. 20 c. 35 d. 30 e. 40
9. En una aleación el 35% es plata pura ¿Cuántas onzas de plata pura debe
agregarse a 56 onzas de esta aleación para que la resulte una aleación de 18. Se tienen 50 litros de alcohol de 60º, ¿Cuántos litros se deben extraer para
60% de plata? que al agregar 30litros de agua, el grado de la nueva mezcla sea 30º?
a. 30 b. 40 c.45 d. 25 e. 35 a. 12 b. 18 c. 20 d. 26 e. 32

10. Un collar de 96 g de peso de 18 kilates es fundido para hace anillos. Hallar la 19. En una aleación el 30% es cobre, ¿cuántas libras de cobre deben añadirse a
cantidad de oro puro que se debe agregar para que los anillos sean de 20 40 libras de esta aleación para que resulte una aleación con 50% de cobre?
kilates a. 12 b. 15 c. 16 d. 20 e. 25
a. 40g b. 45g c.48g d. 58g e. 68g
11. Una barra de oro y cobre tiene una ley de 0.850 y pesa 2868g. Hallar la 20. ¿Cuántos kilogramos de un lingote de oro de ley 0.650 serán necesarios
cantidad de oro que se debe agregar a dicha barra para elevar su ley a 0.920 fundir con otro lingote de oro de 4kg y 18 kilates para obtener una liga de 310
a. 2509,5g b. 2000,5g c. 2905.5g d. 2509.9g e. 2509.3g milésimos?
a. 4 b. 5 c. 6 d. 8 e. 10
12. Un joyero tiene 250g de oro de 0.800 de ley y desea convertirlo en oro de
0.625 de ley. Hallar la cantidad de metal ordinario que debe agregar
a. 65g b. 55g c.50g d. 70g e. 60g

25
 MATEMATICA

TEMA 2 GA = 3 +5 = 8 (el Grado Absoluto es 8)

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier
suma de monomios no semejantes.
ALGEBRA
2.1.4 Grado de un polinomio: Es el grado del término de mayor grado.
 El término de primer grado se llama término lineal.
2.1 POLINOMIOS  El término de grado cero se denomina término independiente.

2.1.5. Grado Relativo de un polinomio:

Una función polinómica tiene la forma:
El grado relativo de un polinomio es el exponente que afecta a cada letra teniendo
en cuenta que tendremos tantos grados relativos como letras tenga la expresión
f ( x)  an x n  an x n  an 1 x n 1    a2 x 2  a1 x  a0 ; an  0 algebraica.
El grado relativo de un polinomio esta representado por el mayor exponente de
dicha letra o variable.
y diremos que tiene grado “n”, o sea el mayor exponente al cual se halle elevada x. Ejemplo: - 9 x4 y3 + 14 x6 y5
 GR(x) = 6 (Grado relativo con respecto a la letra “x” es 6)
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números  GR(y) = 5 (Grado relativo con respecto a la letra “y” es 5)
reales. Son funciones continuas, tienen tantas raíces como indica su grado. En  Los grados relativos no son necesariamente del mismo término.
ocasiones una misma raíz se repite (orden de multiplicidad).
2.1.6 Grado Absoluto de un polinomio:
La función será llamada incompleta si alguno de los ai es igual a cero. El grado absoluto de un polinomio es la suma de los exponentes de todas y cada
2.1.1 Componentes de un polinomio: una de las letras pero teniendo en cuenta que sólo se tomara el valor mayor de los
Se llama término a cada uno de los distintos grupos que componen un polinomio y resultados que obtengas. (Se trabaja independientemente cada uno de los
que vienen precedidos por un signo + ó -. términos y se suma los exponentes).
Se llama grado de un término al exponente con el que figura la indeterminada en 9 x4 y3 + 14 x6 y5
ese término (Factor numérico del mismo). Primer término= 4+3 sumados dan 7.
Se llama término constante al coeficiente numérico que no contiene variable, Segundo término= 6+5 sumados dan 11.
solamente posee coeficiente. GA = 6 (el Grado Absoluto es 6)
En toda expresión algebraica encontraremos grados relativos (están en relación a
cada una de las letras de la expresión algebraica) y un grado absoluto (referido a 2.1.7 Grado de las operaciones algebraicas:
toda la expresión). El grado de una operación algebraica se determina después de realizar
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que operaciones indicadas:
aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.  Grado de un producto: Se suman los grados de los factores.
 Grado de un cociente: Se resta el grado del dividendo menos el grado
2.1.2 Grado Relativo de un monomio:
del divisor.
El grado relativo de un monomio no es otra cosa que el exponente que afecta a
cada letra. (La parte numérica no tiene ninguna importancia).  Grado de una potencia: Está dada por el grado de la base multiplicado
8x3 y5 por la potencia.
GR(x) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra “x” es 3)  Grado de una raíz: Está dado por la división del grado del radicando
GR(y) = 5 (el Grado Relativo con respecto a la letra “y” es 5) entre el índice de la raíz.

2.1.3 Grado Absoluto de un monomio: 2.1.8 Polinomios especiales:

El grado absoluto de monomio es la suma de los exponentes de todas y cada una A.- Polinomios homogéneos: Son aquellos cuyos términos monomios tienen
de las letras. igual grado. (Al restarlos obtenemos un polinomio nulo).
8x3 y5 Grado absoluto = Grado de homogeneidad

26
 MATEMATICA

OPERACIONES CON POLINOMIOS

B.- Polinomio Heterogéneo: Son aquellos cuyos términos monomios tiene
diferente grado.(Al sumarlos obtenemos un polinomio nulo). 1) Efectuar la siguiente multiplicación: (3x3 – 5x2 + 6x – 8) (4x2 – 5)
C.- Polinomios Completos: Un polinomio completo con respecto a una letra es Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
cuando contiene todos los exponentes consecutivos desde el más alto, al más segundo polinomio.
bajo. = 12x5 – 15x3 – 20x4 + 25x2 + 24x3 – 30x – 32x2 + 40
Un polinomio es completo si aparecen en todas potencias menores de la Se suman los monomios del mismo grado: 12x5 - 20x4 + 9x3 – 7x2 – 30x + 40
variable, a partir de la mayor de ellas. (En caso de ser necesario se completa Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los
agregándole con coeficiente nulo los términos faltantes. polinomios que se multiplican.
D.- Polinomios Ordenados: Cuando los monomios que lo componen están
escritos en forma creciente o decreciente según sus grados. 2) Resolver la división de polinomios:
Es aquel que con respecto a la letra llamada ordenatriz, los exponentes van P(x) = x5 + 2x3 − x - 8 Q(x) = x2 −2 x + 1
de menor a mayor o viceversa. P(x) : Q(x)
E.- Polinomio Mónico: Si su coeficiente principal es 1. (El coeficiente de su
mayor término es 1)
F.- Polinomios Idénticos: Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo grado A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo
y los términos de igual exponente en x tienen los mismos coeficientes. colocamos ceros en los lugares que correspondan.
G.- Polinomio idénticamente nulo: Cuando todos sus coeficientes son nulos.
P(x) es equivalente a "0"
x5  0 x 4  2 x3  0 x 2  x  8 x2  2x  1
2.1.9 FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE 2.
La gráfica de una función polinómica de primer grado es una línea recta y la de A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
una función polinómica de segundo grado es una parábola vertical. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Indudablemente, un elemento clave en el dibujo de la gráfica de una función x5 : x2 = x3
polinómica lo constituye la obtención de los interceptos con los ejes; en particular,
los interceptos con el eje X. Para obtener éstos últimos debemos resolver la Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
ecuación polinómica correspondiente, recurriendo a los métodos: teorema del restamos del polinomio dividendo:
factor y la división sintética. Por ejemplo: x5  0 x 4  2 x3  0 x 2  x  8 x 2  2 x  1
 La función f(x) = x3 + 6x2 + 10x + 8 = (x + 4)(x2 + 2x + 2) tiene un intercepto
 x5  2 x 4  x3 x3
con el eje X en x = - 4 y un intercepto con el eje Y en (0, 8)
 La función f(x) = 2x4 – x3 – 19x2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3) 2x 4
 x 3
 0x 2
 x  8
f(x) = 2x4 – x3 – 19x2 + 9x + 9 = (x + 3)(2x + 1)(x – 1)(x – 3)
tiene cuatro interceptos con el eje X: en x = -3, x = - ½, x = 1 y x = 3, y un Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
intercepto con el eje Y: (0; 9) divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
 La función f(x) = 4x6 – 24x5 + 45x4 – 13x3 – 42x2 + 36x – 8 2x4 : x2 = 2 x2
f(x) = (x + 1)(2x – 1)2 (x – 2)3 tiene tres interceptos con el eje X en x = -1, x5  0x 4  2x3  0x 2  x  8 x2  2x  1
x = ½ y x = 2, y un intercepto con el eje Y en (0; -8)
x 5
 2x 4
 x 3
x 3
 2x 2
 La función f(x) = 3x5 – 19x4 + 16x3 + 70x2 – 100x + 48
f(x) = (x + 2)(x – 3)(x – 4)(3x2 – 4x + 2) tiene tres interceptos con el eje X en 2x 4  x3  0x 2  x  8
x = -2, x = 3 y x = 4, y tiene un intercepto con el eje Y en (0; 48)  2x 4  4x3  2x 2
5x 3
 2x 2  x  8

27
 MATEMATICA

Luego: a + 2 = 5 b–5=3
Procedemos igual que antes. a=3 b=8
5x3 : x2 = 5 x Entonces: a.b = (3)(8) = 24

x5  0x 4  2x3  0x 2  x  8 x2  2x  1  x  1  2001
2. Si: P = x – 4x1999 + 3x – 1
x 5
 2x 4
 x 3
x3  2x 2  5x  x 1 
2x 4  x3  0x 2  x  8
Calcular: P(3)
 2x 4
 4x 3
 2x 2

5x 3  2x 2  x  8 x 1
Resolución:  3 de donde: x = 2
 5x 3
 10 x 2
 5x x 1
8x 2  6x  8 Luego: P(3) = 22001 – 22.21999 + 3(2) – 1
=5
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
x5  0x 4  2x3  0x 2  x  8 x2  2x  1 3. Si: f(x) = 3x + 2  P(x) = 2 f(x) + x + 1
x 5
 2x 4
 x 3
x 3
 2x 2
 5x  8
Calcular: H = f(4) + P(1)
2x 4  x3  0x 2  x  8 Resolución: f(4) = 3(4) + 2 = 14
 2x 4  4x3  2x 2 P(1) = 2 f(1) + 1 + 1
= 2[3(1) + 2] + 2
5x 3  2x 2  x  8 = 12
 5x 3
 10x 2
 5x Entonces: H = 14 + 12 = 26
8x 2
 6x  8
 8x 2  16x  8 4. Dado el polinomio:
10x  16
P(x) = 4x5 – 6x4 + 12x2 – 18. Determinar el coeficiente de x5 de otro polinomio
que al restar de P(x) resulte – 2x5.
Así, 10x− 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto
no se puede continuar dividiendo. El cociente de la división es x3+2x2 +5x+8. Resolución: El polinomio sustraendo será de la forma:
S(x) = ax5 – 6x4 + 12x2 – 18
De donde: P(x) – S(x) = (4 – a)x5
4–a=-2
-a=-6
Ejercicios resueltos:
a=6

1. Sea el binomio: E(x,y) = axa+2 y3 + 2x5y3 – 3xb-5 y2 + bx3y2

Calcular: a . b
PRODUCTOS NOTABLES:
Resolución: Por ser un binomio:
axa+2 y3 ; 2x5 y3 son semejantes Producto algebraico que responden a una regla cuya aplicación simplifica la
- 3xb-5 y2 ; bx3 y2 son semejantes obtención del resultado.

28
 MATEMATICA

Los productos notables más importantes son:

32 x 5  243 y 5
Binomio de Suma al Cuadrado Diferencia de Cubos  (2 x) 4 (3 y ) 0  (2 x) 3 (3 y )1  (2 x) 2 (3 y ) 2  (2 x)1 (3 y ) 3  (2 x) 0 (3 y ) 4
2. x y
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

Binomio Diferencia al Cuadrado Trinomio Suma al Cuadrado ó 32 x 5  243 y 5

2 2 2  16 x 4  24 x 3 y  36 x 2 y 2  54 xy 3  81y 4
( a - b ) = a - 2ab + b Cuadrado de un Trinomio x y
(a+b +c)2= a2 + b2 + c2+2ab+2bc+ 2ac
Diferencia de Cuadrados = a2+ b2+c2 +2 ( ab+bc+ ac)
3. x  y  x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy 3  y 4
5 5
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
Trinomio Suma al Cubo x y
Binomio Suma al Cubo (a+b+c)3=a3+b3 +c3+3(a+b)(b+c)(a+c)
( a+b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 128 x 7  m 5
 ( 2 x ) 6 ( m) 0  ( 2 x ) 5 ( m ) 1  ( 2 x ) 4 ( m ) 2  ( 2 x ) 3 ( m) 3  ( 2 x ) 2 ( m) 4
= a3 + b3 + 3 ab (a +b) Identidades de Legendre 4. 2 x  m
( a+b)2+(a – b)2= 2a2+2b2 = 2(a2 + b2)  ( 2 x ) 1 ( m) 5  ( 2 x ) 0 ( m) 6
Binomio Diferencia al Cubo ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
128 x 7  m 5
( a - b )3 = a3-b3-3ab(a-b)  64 x 6  32 x 5 m  16 x 4 m 2  8 x 3 m 3  4 x 2 m 4  2 xm 5  m 6
Producto de dos binomios que 2x  m
tienen un término común
Suma de dos Cubos
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
a3 + b3 = (a + b )( a2 – ab + b2)
PROPIEDADES DE LOS COCIENTES NOTABLES
*Para hallar los términos de un cociente notable: x  y
n n

x y
COCIENTES NOTABLES
1° El exponente del 1° término irá disminuyendo de uno en uno a partir de (n-1)
Caso I : hasta cero inclusive, mientras que el exponente del 2° término irá aumentando
de uno en uno a partir de cero hasta (n-1) inclusive.
an  bn
 a n1  a n2b  a n3b 2  ........  b n1 para todo “n” par o impar.
a b 2° El desarrollo tiene “n” términos.
Caso II: 3° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma
an  bn “x-y” los signos de los términos del desarrollo serán positivos.
 a n1  a n2b  a n3b 2  ........  b n1 únicamente si “n “ es impar
ab
4° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma
Caso III: “x+y” los signos del desarrollo serán alternadamente positivos y negativos.
an  bn únicamente si “n” es par
 a n1  a n 2 b  a n3b 2  ........  b n1 5° Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar
ab
usando la fórmula:
Tk =  xn-k yk-1
-En donde: “k” es el lugar del término que se pide, “x”, representa el 1°
Ejemplos: término del denominador del cociente notable, “y” representa el 2° término del
denominador del cociente notable y “n” es el exponente común al cual están
elevados cada uno de los términos del denominador del cociente y que
1. x  y  x 6  x 5 y  x 4 y 2  x 3 y 3  x 2 y 4  x1 y 5  y 6
7 7
aparece en el numerador.
x y

29
 MATEMATICA

6° Para que una expresión de la forma: x  y

m p (3x)3 – 3(3x)2 (4y) + 3(3x)(4y)2 – (4y)3
(3x – 4y)3
x y
n q

Sea desarrollado como cociente notable debe cumplirse que : m/n = p/q IV. Por agrupación de términos:
Descomponer:
FACTORIZACIÓN 1) x3 – 2x2 – x + 2
CASOS: (x3 – 2x2) – (x – 2)
x2 (x – 2) – ( x – 2)
I. Factor común monomio: (x – 2) (x2 – 1)
(x – 2) (x + 1)( x – 1)
Factorizar: 8x2 y3 - 10ax3 y4 + 6bx4 y5
FCM : 2x2 y3 2) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 4
(x2 + 2xy + y2) – (3x + 3y) – 4
Entonces: 2x2y3 (4 – 5axy + 3bx2 y2 ) (x + y)2 – 3 (x + y) – 4
II. Factor común polinomio: (x + y – 4) ( x + 1)
Descomponer: 3x(x – y + 2z) – x + y – 2z
Agrupando convenientemente: 3x(x – y + 2z) – (x – y + 2z) V. Por evaluación( Rufini):
FCP: (x – y + 2z) x3 – x2 – 41x + 105
→ (x – y + 2z) (3x – 1) 1  1  41 105
3 3 6  105
III. Por identidades:
1 2  35 0
Descomponer en factores:
4 6
16x y – 81a z 6 4 5 5 35
(4x2 y3)2 – (9a3 z2)2 1 7 0
Rp.: (x – 3)(x – 5)(x + 7)
(4x2 y3 + 9a3 z2 )( 4x2 y3 - 9a3 z2 )
VI. Doble aspa:
1) 4x2 – 12xy + 9y2 4x2 + 4 xy - 15 y2 - 8 x + 76 y - 96
(2x)2 – 2(2x)(3y) + (3y)2
(2x – 3y)2 2x - 3y 8

2) x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)
2x 5y - 12
3) x2 – 8x – 345 = (x – 23)(x + 15)
Rpta.: (2x – 3y + 8)(2x + 5y – 12)
4) 2x3 - x2y2 + 2 xy - y3 = ( x2 + y )( 2x - y2 )
VII. Doble aspa especial:
4 2
5) 15x – 2x y – 77 y 2 3x4 - 8x3 + 3x2 + 22x - 24

3x2 - 7y x2 4 = 12 x2

5x2 11y 3x2 -6 = - 6x2

6x2
(3x2 – 7y)(5x2 + 11y) Falta: 3x2 – 6x2 = - 3x2 = - 3x ( x)
6) 27x3 – 108x3 y + 144 xy2 – 64y3 Entonces:

30
 MATEMATICA

x2 - 3x 4
Sea la división: P ( x) ; el resto es: R(x) = P(– a)
xa

Ejemplo: Hallar el resto de:

3x2 x -6 (3x4 – 2x3 – 9x2 + 8x – 12) : (x – 2)
- 8x3 22x Resto: P(2) = 3(2)4 – 2(2)3 – 9(2)2 + 8(2) – 12
Rp.: (x2 – 3x + 4)(3x2 + x – 6)
R(x) = 0

Cuando el resto es cero, entonces (x + a) es un factor de P(x). En este caso (x – 2)

RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA: es factor del polinomio P(x)
Dado P(x) un polinomio real de grado “n”, se denomina ecuación polinómica de
RAÍCES REALES
grado “n” con coeficientes reales de la forma: P(x) = 0 Aplicando la regla de Ruffini se determina un número real “a”.
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0; an≠0 Ejemplo: Resolver: x4 + x3 – 8x2 – 2x + 12 = 0
Divisores de 12 : {  1;  2;  3;  4;  6;  12} posibles raíces racionales
Ejemplo: 3x5 – 8x4 + 6x2 – x + 1 = 0
De los cuales 2, –3 son raíces racionales y  2 son raíces irracionales
Si para x = a, P(a) = 0 → “a” es una raíz del polinomio P(x).
RAÍCES RACIONALES
Ejemplo: Si la ecuación P(x) = 0, posee coeficientes racionales, eliminando denominadores
2x3 – 5x2 – 28x + 15 = 0 se puede obtener coeficientes enteros.
Para : x = - 3
2(-3)3 – 5(-3)2 – 28(-3) + 15 = 0 Resolver: 12x5 – 26x4 + 6x3 + 13x2 – 3x – 2 = 0
Entonces – 3 es una raíz (solución de la ecuación pilnómica. P(1) = 0 entonces una raíz de la ecuación es : 1
De igual manera: P(-1/2) = 0; P(2/3) = 0
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Por lo tanto: (x – 1)(x + ½) (x – 2/3)(12x2 – 12x – 6) = 0
Resolviendo: 12x2 – 12x – 6 = 0
2x2 – 2x – 1 = 0
Toda ecuación polinómica de grado n  1, con coeficientes reales, tiene “n” raíces
2  13
reales o complejas. x
4
 1 2 2  13 2  13 
Cojunto Solucion  1; ; ; ; 
Ejemplo: Resolver: x3 – 2x2 + 4x – 8 = 0  2 3 4 4 

(x – 2)(x2 + 4) = 0 NÚMEROS COMPLEJOS

x – 2 = 0  x2 + 4 = 0
z = {(a;b)/ a  R  b  R}
x=2  x=  4
Donde: a = parte real de z
x =  2i b = parte imaginaria de z
Conjunto Solución = {2; 2i; – 2i} Re(z) = a Im(z) = b

TEOREMA DEL RESIDUO FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO

31
 MATEMATICA

- Forma binómico: z = a + bi 1. Hallar el coeficiente de:

- Forma polar o trigonométrica: z = r(cos + i sen) = r cis  a
 1
- Forma exponencial: z = re  r  a  b tan  b
i 2 2 M(x,y) =   .2b x 3a  2b y 5a b
a 5
Cuyo grado absoluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14.
En estas formas: i = 1 A) 4/625 B) 2/25 C) 16/25 D) 16/125 E) 8/625

Potencias de i : i1 = i i2 = - 1 i3 = - i i4 = 1 2. Si la expresión:
n m
En general: i4m = 1 i4m+k = ik x n 1 . y 26  x 3 . y m 1 , se reduce a un monomio.
halle el grado absoluto de la expresión:
Ejemplos: i279 = i4m+3 = i3 = - i
i1862 = i4m+2 = i2 = - 1 m n 2
12 3
Mx;y;z   x y 2m . zm
2 3 4m
También: i + i + i + . . . . + i =0
A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 1
OPERACIONES EN C
3. Hallar el valor que debe darse a “m” para que la expresión:
Dados los complejos: z1 = a + bi y z2 = c + di 4
x m 1. xm
R3
Suma: (a + c) + (b + d)i 6
Resta: (a – c) + (b – d)i x 5m  4
Multiplicación: (ac – bd) + (ad + bc)i sea de 6to. grado
División:  ac  bd    bc  ad i A) 20 B) 18 C) 44 D) 52 E) 60
c d  c d 
2 2 2 2

Potenciación: (a + bi)n se multiplica a + bi “n” veces

Raíz cuadrada: a  bi   r cos  / 2  isen / 2 4. El grado absoluto de M es 6, hallar “b” si:
a3
a  2 x  
xa  3 
TEOREMA DE MOIVRE 
 
M= . y2b
Si: z = r (cos + i sen ) a  3 x 
a2 a2 
x 
Entonces: zn = rn (cos n + i sen n), donde n  N 
 
INVERSO DE UN NÚMERO COMPLEJO z
-1 A) 2 B) 6 C) 4 D) 3 E) 5

Si z = a + bi, (z  0), entonces: 5. Hallar el grado de:

3
 1 
 
 a b    1 a1 
z 1   2 2  i 2 2 
 a b a b   1 a 3 a 1 
P(x;y;z;w)= x a z 
 y3 w 
 
PROBLEMAS A) a B) a
2
C) a – 1 D) a + 1 E) 1

32
 MATEMATICA

A) 1 B) 2 C) 7 D) 4 E) 3
6. Dado el polinomio P tal que:
x  x   x
P  1  P  2   P
  x
 3   P

 4    P  f ( x)  g ( x)   4 x  3
2  6   12   20  Calcular: P(P(ax+1) – P(ax–1 )) 12. Si P( x)  2 x  3 y además:
 x  40n
P  f ( x)  g ( x)   7

   f  g 1 

 P 
 n  x  20n(n  1)  5n
 n2  n  n 1 Calcular T f g f g
A) 80 B) 40x – 5 C) 40x + 5 D) 195 E) 3195
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. Dado el polinomio.

P  2xa
b4
 3ya
2(b4)
 4(xy)a
b4
 5y4 a
b4 P  F ( x)  G ( x)   5 x  4
13. Si P( x )  x y además:
Si la suma de los grados absolutos de todos los términos del polinomio es P  F ( x)  G ( x)   x  2
a 6  2 2
.Calcular el valor de “b”. Calcular F G  0,5
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 5
8. Calcular a + b + c sí el polinomio 14. Si se cumple que   f  x   2  3x  1, además   x  1  x  3,
P(x) 3x 2  ax - 5  bx 2 - 11x  c hallar   f  2 .
Es idénticamente nulo. A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 5
A) 11 B) 12 C) 15 D) 13 E) 14

9. EL polinomio P(x) es completo y ordenado ascendentemente, calcular el

15. Sabiendo que: P( x )  a x  b x  c x , x   x  3 Hallar el valor de

valor de: abc

, teniendo en cuenta que: P(1)  5; P(2)  8; P(3)  9
pn5
(2m – 3n + 4p). Sí : P(x) = 3x  4x nm3  7x m6 ab  bc  ac
A) 1 B) 23/48 C) 3/23 D) 23/51 E) 51/23
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

16. Sea: f ( x )  x 2  2 ; g ( x)  x  p . Hallar “ p” si se cumple:

10. Siendo: Px, y, z   ax a y b  by b z c  cx a z c
f  g  p  3   g  f  p  3 
( a  b  c) n A) 0 B) -17/3 C) –Z D) 0 Ó -17/3 E) N.A.
Un polinomio homogéneo. Hallar: n 1
a n  bn  cn
17. Siendo: F ( xm  1)  x  1 , hallar “ m ” si F (3)  0,875 .
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
A) -1 B) 3 C) -3 D) 1/2 E) -1/3

11. Si la suma de coeficientes del polinomio: P( x)  (n  2) xn  5x  (2n  5) 18. Si se cumple la relación: F ( x)  F ( x 1)  F ( x  2) además;

F (1)  3  F (0)  5 , hallar “ n ” en F   F  1   n  F  3

es el doble de su término independiente, calcule el coeficiente principal de
P( x) . n  0 .
A) 1 B) 2 C) 3 D) 9 E) 5

33
 MATEMATICA

E  P(1)  P(2)  P(2)  P(3)  P(3)

19. Si:
A) 2n B) 2n+1 C) n D) n/2 E) (2n+1)/2
x2
 1  2
  2x 24. En el siguiente esquema de Horner:
 x2  6 x  9 2   1 2 x 1 
P ( x  3)   
x  . 3 2 x . x  3 2 x  1 5 b
   x3   
    k p
  -b q 8
Calcular: P(4) . k m n r

A) 12 B) 28 C) 36 D) 48 E) 56
Calcular: k + m + n + p + q + r
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) NA
25. Hallar el valor de “a”si al dividir
20. Si se cumple que:

 1    x a17  x a16  x a15  ...  x 3  x 2  x  1

 1

 x 2 
 Calcular: P  n 1  x 1
P xx 2 2 3 3
  nx  n x  n x  ...  n   Se obtiene que la suma de coeficientes del Cociente Entero es igual 100
  n-términos n  veces su residuo.
  A) 163 B) 183 C) 160 D) 173 E)0
 
2
A) n B) 1 C) 1/2 D) n/2 E) n
x  360  1 .
21. Si R( x) 
x 1 ;
x 1
S ( x) 
x  1 y además:
x 1   
1
S   R S  R   x      ,
5
 26. Calcule el término independiente del cociente:
x6
59 59 48 -48
calcular “ x ” A)-3 B)3 C)3 D)3 E)0
A) 2 B)3 C) 5 D) 7 E) 11
27. Si el tercer término del máximo residuo completo y ordenado en forma
22. Cuál es la variación que experimenta P( x) , cuando “ x ” varia de -2 a -4, si: decreciente es de segundo grado y el dividendo es de grado 14. ¿Qué grado
tiene el cociente?.
x
P( x)  A) 10 B)9 C)8 D)11 E)7
1
1
x 28. Hallar “k” si la división es exacta:
A) aumenta en 15/28 B) disminuye en 15/28 C) aumenta en 28/15
D) disminuye en 28/15 E) no varía ni disminuye 3k x  y  z xy  yz  zx   x 3  y 3  z 3 
 
23. Si P( x)  x 2 n  x 4 n  x 6 n  ; hallar:  x  y  z 3  xyz 
2 n 1 sumandos A) 1 B) 1/3 C) 3 D) 9 E) 0

34
 MATEMATICA

29. Hallar el resto en la división:

–1 –1 –1 a2  b2  c 2
35. Si: (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0, Calcular: P =
ab  bc  ac
2n  1x16n  5n  3x 8n  n  5x 4n 5  A) 1 B) 2 C) –2 D) 1/2 E) –1
 
 3n  15x 39  n  2  x  1  36. Calcular el V. N. de:
3 2 2 2 3 3 3
A) 15 B) -15 C) 16 D) -16 E) 12 E = (x+y+z) – 3(x+y+z)(x +y +z ) + 2(x +y +z )
Si: x = 6 , y= 10 , z = 15
30. Hallar el resto en: A) 30 B) 60 C) 90 D) 180 E) 240
x  y 2  x  y 2 z  1  zz  1  10
37. Calcular: xyz, si x, y, z   se sabe que: xy + xz + yz = 3 ,
+
x  y  z 5 2 2 2 3 3 3
x + y + z = 30 , x + y + z = 132
A) 10 B) 0 C) 20 D) 30 E) 25 A) –10 B) 10 C) –12 D) 12 E) N.A.

31. Hallar el resto de la división: 38. Si: x + y + z = 0

x 6
 6x  6 
2002

 x6  6x  6 2003
 2( x 6  6 x)  14 yz zx xy
  9

x6  6x  5  Además:
x y z
A) -4 B) 4 C) -6 D) -24 E) -2
x z y
Hallar el valor de: S=  
32. Al dividir P( x) por ( x  2) se obtiene un cociente q ( x) y un residuo igual z y x
A) 1 B) 1/2 C) 3 D) 5 E) –1
a 4; si dividimos q( x) por ( x  3) se obtiene como resto 3. Encuentre el
3 3 3
producto de los coeficientes del residuo que se obtiene de 39. Si: a + b + c = 3abc
a+b+c0
P( x)  ( x2  5x  6) .
an  bn  c n
A) 30 B) 25 C) 42 D) 85 E) 125 hallar: E = n 1
(a  b  c )n
33. En la siguiente división indicada A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 1/3
n  3
nx n3  (n  1) x n2  3nx 2  (5n  2) x  40. Si a – b = b – c = 2, hallar el valor de:
3 2 2 2
a + b + c – ab – bc – ac
3x  3 A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
la suma de coeficientes del cociente con el resto es 6470. Hallar n.
A) 12 B) 45 C) 97 D) 0 E) 66 41. Si: x = 2
y= 3 – 2
2bx 4  3ax3  5 x2  8x  6 z=2– 3
34. Si la siguiente división tiene como resto
2 x 3
2 x 32
( x  z  2) ( x 2  x (z  2)  (z  2)2 )
Calcular:
5 x  4 ; según ellos calcular: 6ab . 3xy(z  2)  y 3
A) 2 B) 5 C) 1 D) –1 E) 3
A) 2 B) 4 C) 8 D) 0 E) 6
42. Hallar el valor de: (a + b) (b + c) (a + c)

35
 MATEMATICA

A partir de estas condiciones: A) 20 B)40 C) 60 D) 80 E) 90

a+b+c=6
3 3 3
a + b + c = 24 50. Simplificar:
A) 64 B) 32 C) 16 D) 8 E) 4
ax  by2  ay  bx 2
43. Si a + b + c = 0, hallar el valor de: x 2  y2
2 2 2 2 2 2 2
a b c A) a B) a +b C) ab D) abxy E) a b
 
bc ac ab 2
A) 3 B) –3 C) 1 D) 0 E) 6 51. Sabiendo que: (a + b + c + d) = 4(a + b)(c + d). Calcular el valor de:
a c bc

db da
A) 2 B) 4 C) 0 D)1 E) ½
x -x 4x -4x
52. Encontrar el valor de: “R” = a – a si: a + a = 34
44. Sí a + b + c = 0; Calcular:
A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E)N.A.
2 abc 8 8
  b  c 
H ab 5 a b
a 2  ac  bc  ab 53. Si:  Que valor se obtiene para: E =    
a b
2 2
5 b a
A) 2 B) 3 C) –2 D) –3 E) 4 A) 23 B) 25 C) 47 D)39 E)95
a 2  b2  5
45. Calcular M  1 X  1 X Sí x = 0,75 54. Si a + b = ab = 5 ; cacular:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 a 3  b3  10
A) 1/2 B) 1 C) 1/3 D)2/3 E)1/5
46. Calcular el valor de: 1  x1  x  1  x  x2 

2 

6 12 
1  x  x 1  x  x 
,
Sabiendo
55. El término 22 del siguiente desarrollo es:
6 x 722  a 93
que: x  2
A) -5 B) –6 C) –4 D) -7 E) -8
x 5 a3
15 20 25 45 63 45 73 45
A) x a B) x C) – x a D) x a E) x a
47. Hallar el valor numérico de:
a  b 2   b  c 2  a  c 2
56. Encontrar el T(5) del siguiente desarrollo :
M sí se sabe que: a b  bc  3
12 a   m 
3 17 5 17

A) 0 B) 1/15 C) 3/2 D) 3/5 E) 4/3 a 3  m 5

52 52 51 36 –20 36 20
A) a m B) m C) m D) a m E) a m
48. Reducir:  2a  b 2a  b 
    2a  b 2  4ab 
S 2a  b 2a  b 57. Si la siguiente división:
2a  b 2a  b . 
   4  x 3 n1  y 5 n8
 2a  b 2a  b  x2 y4 es un C.N., determinar el valor de “n”.
ab 2 2 2 A) 5 B) 4 C) 2 D) 6 E) N.A.
A) B)ab C) 2ab D) a b E) (a+b)
2
3 3
49. Si se cumple que: x + y = 6 xy = 7. Hallar el valor de: x + y

36
 MATEMATICA

x 5 n 3  y 5 ( n 6 ) 66. Reducir la expresión:

( x  y)31  ( x  y)30  ( x  y)29 , , ,1
58. Si la expresión x n1  y n2 , indicar cuántos términos tiene su desarrollo ( x  y)30  ( x  y)28  ( x  y)26  ...  1
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
2 1
x m an A) x +y +1 B) 1 C) D) E) NA
59. Encontrar la relación que deben cumplir m, n, p y q para que x p  a q es un x  y 1 x y
C.N. 67. Hallar el número de términos del desarrollo de un C.N. que tiene los
A) mn = pq B) mq = np C) mp = nq D) m/q = n/p E) N.A. siguientes términos consecutivos:
60. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?.
8 6 4 2 ...  x70 y12  x63 y65  ...
x +x +x +x +1
A)12 B)15 C)18 D)21 E)24
x 10 1 x 8 1 x 10 1 x 10 1
A) B) x 1 C) 2 D) 2 E) N.A.
x 2 1 x 1 x 1
61. ¿Cuál es el cociente que dio origen al desarrollo?.
E  3 26  675  3 26  675
80 78 70 4 2 68. Calcular:
x +x +x + ..... + x + x + 1
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
x 180
x 40 1 x 80 1 x 22 1
A) B) x 1 C) x 1 D) x 2 1 E) N.A.
x 2 1 69. Calcular: T  8  2 12  11 2 30  7  2 10
2a  a 2
A) 2 6 B) C) 2 5 D) E) 0
62. Hallar el T(2) en el C.N. 6 5
1 20 a 1

A) N.A: B) a C) a + 1 D) a + 2 E) a – 1 70. Transformar: 7  48

A) 6 3 B) 7 1 C) 7 2 D) 5 2 E) 2 3
x98  x96  x94  ...  x 2  1
63. Simplifique: ; Dar como respuesta el Grado del
x x 48 46
x 44
 ...  x  1
2

polinomio . 71. Hallar “x”: 4  3 14  x  3 14  x

A) 9 B) 12 C) 18 D) 6 E) NA
A) 169 B) 144 C) 196 D) 81 E) 100
x 96  x 93  x 90  ...  x 3  1
64. Dar el valor simplificado de:
x 30  x 27  x 24  ...  x 3  1 72. Si: x 
3 1
Calcular: P  4x 3  2x 2  8x  7
2 .
22 11 66 33 33 11 44 22
A) x +x +x+1 B) x +x +1 C) x +x +1 D) x +x +1 E NA A) 8 B) 10 C) 12 D) 20 E) 22
169 36
65. Suponiendo que a b , se encuentra contenido en el desarrollo del CN:
    
73. Efectuar:  3  1 2  1 3  1 2  1 .2 2
    
a 21n13  b 20m
; Calcular : n - m A) 4 B) 3 C) 2 D) 4 2 E) 8
an  bm 74. Simplificar:
A) 7 B) 13 C) 19 D) 6 E) NA

37
 MATEMATICA

 
 x  x2  4 x  x2  4  x x2  4
4
8x 2  24x  9  4(2x  3) x 2  3x  x  a  b x
  
 x  x2  4 x  x2  4  4 A) 10 B) 8 C) 12 D) 14 E) 16
 

A) 4 B) 2 C) 1 D) x2  4 E) x2  1
83. Si: x  2  2  2 , indicar el valor de S , siendo: S  x 2  2 2 x  2
A) 1 B) 2 C) 0 D) 2 E) 1 2
75. Transformar: P  2 3  5  13  2 12  6
84. Obtener una expresión equivalente a:
A) 2 B) 1 C) 3 D) 2 E) 0
2 3  2 2 3  2 2 2 3
1
 
4
x  x2  1 
4
x  x2  1  2 2 2 3 
 
x 1  2
76. Reducir: A) 2  3 B) 2  3 C) 3 2 D) 2 3 E) 1
A) 1 B) 2 C) 4 2 D) 2 E) x 85. Racionalizar: 3
17 9
x5 y 2
77. Transformar a radicales simples: E  4  18
4 9
A) 3 xy
2 3 2 4 7
B) 6 x y C) 39 x y D) 63 x 4 y E) 3 xy
3

dando uno de los términos: xy xy xy xy xy

A) 
2 B) 3 C) 3
D) 2 E) 3 86. Racionalizar: 5 2 3
2 2
5 2 3
78. Calcular: A) 17  5 B) 14  2 C) 13  3 D) 14  2 E) 15  6
10 2 10  18 4 3 2 5 3
T  3 2 3
18  3  5 8  3 5
87. La siguiente expresión: 4
3 2 2
A) Es un número entre 3 y 4 B) Es un número entre 4 y 5
A) 1 B) 0 C) 3 2 D) 3  5 E) 5 1
C) Es igual a 5 D) Es un número entre 2 y 3
20 21 20 1   E) Es igual a 4
79. Si: n  21 . Calcular:
21
21
n n
21 
11  
 
88. Descomponer 30  704 en suma de radicales simples.
1
A) 1 B) 2 C) D) 21 E) 20 A) 22  8 B) 14  5 C) 8  21 D) 10  20 E) 11  19
2

80. Hallar: 2  2 2  .... 2 2  2 4  2 3

89. Al reducir: 7  4 5  2 9  2 7  2 6 ; se obtiene una expresión de
C) 3  1 D) 3  1
A) 2 B) 2 2 E) 3 2
la forma a  b , a  b , entonces a  b es igual a:
 
81. Efectuar: 2  1 112  80 2  88  52 2  A) 12 B) 14 C) 9 D) 11 E) 15
 
  3 3 2
A) 1 B) 4 C) 0 D) 3 E) 2 90. La suma de los factores de primer grado de: P  x  2y  3xy es:
A) 3x B) 3y C) x + 4 D) 3(x + y) E) y
82. Calcular: a2  b3 , si :

38
 MATEMATICA

2 2 1112 1516 1920

91. Indicar un factor de: 2a  7ab  3b  13b  a  10
A) (a  3b  2) B) (a  3b  2) C) (2a  b  5)
100. La expresión más simple de: i 910
i 1314
i 1718
, es:
A) i B) -i C) 3i D) –3i E) 3
D) (2a  b  5) E) (a  b)
101. Siendoi la unidad imaginaria, calcular el valor de la expresión:
92. Factorizar: (a2  b)2  a2  2b  b2
i  i 2  i 3  i 3    i1003
2 2 2 2 2 2 S
A) (a  2b)(a  1) B) (a  2b)(a  1) C) (a  b)(a  2) 2  i  i 2  i3
2 2 2 2
D) (a  b)(a  2) E) (a  b)(a  1)
A) -1 B) 1 C) 1/2 D) -1/2 E) (1/2)i
x y
(a  b)(a  c )  (b  d)(c  d)
102. El equivalente de:  es “w”. Si la raíz cuadrada del número complejo:
93. Efectuar: y x
abc d
A) a + d B) a – b C) a + b D) 1 E) a – d 1 i es: x  yi ¿Cuál es ese valor de w?
94. Indicar el producto de los términos independientes de los factores primos: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
( x  2)(x  3)(x  6)(x  1)  20 103. Sean los números complejos: m  1  yi  n  u  vi , donde

i   1 , tal que y; u; v   , cumpliéndose además: m  n  a  7i

A) 10 B) –10 C) –16 D) 8 E) -8 

4
95. Los factores primos de: x  5x  6 suman: 2 ,y, mn  7  11i , siendo "a" un número entero comprendido entre 2 y 8.
Calcule: a  y  u  v
2 2 2 2
A) 2x 2  5 B) 2x 2  1 C) 3x 2  1 D) 3x 2  1 E) 2x 2  4
A) 48 B) 50 C) 52 D) 54 E) 56
(5x 6n1  10b 4n1  5x 2n1),n  Z 1 
96. Indicar un factor de:
104. Si:  es un número complejo y satisface  1 , entonces:
A) x 2n
1
n
B) x  1 C) x  2
n
D) x  1 E) x 2n
4 1 
A) Re(Z)>0 B) Im(Z)  0 C) Z es un número real
423679
97. ¿Cuál es el equivalente de: i ? D) Z es un número imaginario puro E) Re(Z)<0
A) 1 B) -1 C) i D -i E) N.A.
105. En “C” los valores de x  y al resolver la siguiente ecuación:
xi 3x  4i
 , son:
1  yi x  3 y
  i 77    i 49 
  A) x=  1, y=  3/4 B) x=  2, y=  3/2
  i 25     i 321  C) x=  3, y=  4/3 D) x=  3, y=  2/3
98. Determinar el equivalente de:  33    457  .
E) x=  2, y=  5/4
   i     i 
  i 47    i 911 
A) i B) 1 C) -i D) -1 E) 2i 1  2i 3  4i 5  6i
106. Reducir: A    ... 2005 términos
99. Hallar la suma de los siguientes números complejos: 2  i 4  3i 6  5i
(1  i)  (2  i 2 )  (3  i 3 )  ...  (4n  i 4n )
A) 2005 B) 2006i C) -2005i D) -2005 E) 2005i
A) n(2n  1) B) 2n(4n  1) C) 0 D) n(4n  1) E) 2n(4n  1)

39
 MATEMATICA

Por convenio, las matrices se representan así:

107. ¿Para qué valor de “n” se cumple la siguiente igualdad:
 a11 a12 a13  a1n 
n
(1  i) n  2i  64i ? a a22 a23  a2 n 
A   21
      
A) 10 B) 5 C) 1/10 D) 1/5 E) 3  
A = (aij)mn am1 am 2 am 3  amn 

108. Halle el módulo del número complejo , si: El número m nos indica el número de filas que tiene la matriz y el número n
indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.
  (3  4i)(5  12i)(2 2  i)(1  3i) Ejemplo:
1 2 2 1
5 4 7 9 
A) 170 B) 250 C) 390 D) 420 E) 510 Esta matriz es de orden 34  
6 3 2 8

109. El equivalente de:

1  cos   isen  Una matriz formada por “m” filas y “n” columnas se dice que tiene orden o
Z ; 0   es: dimensión m x n.
1  cos   isen 2
2.2.2. Clases de matrices
 
 i i
A) e i B) ei C) e 2
D) e2 E) 1
Si la matriz tiene m filas y n columnas, (m  n) la matriz se llama rectangular.
Cuando el número de filas y el de columnas coinciden, la matriz es cuadrada,
con dimensión n x n y se le considera matriz de orden n; en este caso, los
 e Re( Z )  e Re( Z ) elementos de la matriz de subíndices a11, a22, a33, ..., ann ocupan la llamada
110. Si: Im(Z)= , calcular: T  diagonal principal de la matriz. Esta diagonal adquiere importancia en la
3 eZ  eZ resolución de determinantes. La traza de una matriz es la suma de todos los
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 1/2 elementos de la diagonal principal de la matriz.

Una matriz cuadrada se denomina triangular cuando todos los elementos

situados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz columna: Matriz mx1 (matriz que solo tiene una columna).
 a11 
a 
2.2 MATRICES Y DETERMINANTES A   21 
 a31 
2.2.1. Conceptos generales sobre matrices  
a41 
Una matriz es un conjunto de números o expresiones numéricas que se
Matriz fila: Matriz 1xn (matriz que solo tiene una fila).
A  a11 a14 
ordenan como una tabla de filas y columnas. Cada una de las intersecciones
de filas o columnas se denomina elemento de la matriz. a12 a13

40
 MATEMATICA

Propiedades de la suma de matrices:

A) Matriz nula: Matriz mxn con todos sus elementos iguales a cero . Se denota
por Omxn; en ocasiones se abrevia a O cuando se sobreentiende el tamaño o 1). Propiedad Expresión simbólica y significado
no es necesario especificarlo. 2) Conmutativa A + B =B + A
3) Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C
B) Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se llama diagonal si son cero los 4) Elemento neutro A + O=O+ A=A
elementos que no pertenecen a su diagonal principal. 5) Elemento simétrico A + (- A) = ( - A) + A = O
a11 0 0
A   0 a22 0 
 Siendo: O matriz nula, es la matriz que tiene todos sus elementos iguales a
cero.
 0 0 a33  (- A) es la matriz opuesta de la matriz A.

C) Matriz identidad: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si es 2.4.4. Producto y potencias de matrices
diagonal y los elementos de su diagonal principal valen la unidad. Se usará la
notación In, donde n es el orden de la matriz. A veces se utiliza la notación En el álgebra de matrices, se definen:
abreviada I cuando el orden se sobrentiende o no es necesario especificarlo.
1 0 0  Si kA = k(aij)mn, debes multiplicar cada elemento de la matriz por el escalar

I  0 1 0 que es un número constante.

0 0 1 Ejemplo:
1 5 2 10
2A  2  
D) Matriz transpuesta: Sea A una matriz de orden mxn. Llamaremos matriz 3 4 6 8 
transpuesta o traspuesta de A, At, a la matriz de orden nxm cuyos elementos
son los de A intercambiando filas por columnas: a ijt  a ji . Una matriz A es Propiedades:  , ,1  R , A  M mn se tiene que
simetrica si At=A y es antisimetrica si At= -A. 1)  (A)  ( ) A
2) Distributiva I:  ( A  B)  A  B
4 6
3) Distributiva II: (    ) A  A  B
  4 2  8
9   At  
Pongamos un ejemplo:
A 2  4) Elemento neutro de escalares: 1×A = A
 8  5 6 9  5

2.5.5. El producto de dos matrices sólo es posible cuando tienen los

E) Matrices iguales: Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí y órdenes «encadenados »; es decir, una matriz A = (aij) de orden m x n
solo sí, tienen el mismo orden y en las mismas posiciones, elementos sólo puede multiplicarse por otra B = (bij) si la dimensión de ésta es n x p,
iguales, es decir : de manera que la matriz producto resultante tiene un orden igual a m x p.
m=p, n=q; y aij = bij i, j Esto quiere decir, que sólo pueden multiplicarse dos matrices que tienen
2.3.3. Suma de matrices: el número de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la
segunda matriz. La matriz resultante C = (cij) se calcula de forma que
Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn. cada uno de sus términos cij es igual a la suma ordenada de los
productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B:
La suma de dos matrices de igual orden o dimensión se obtiene una nueva primer elemento de la fija i de A por primer elemento de la columna j de B;
matriz cuyos elementos se calculan como la suma de los elementos de la más el segundo de la fila i por el segundo de la columna j, etc.
misma fila y columna de las dos matrices, que actúan como sumandos.
Ejemplo:

41
 MATEMATICA

6 7 8 2.7.7. Menores complementarios

0 1 2     0  9  24 0  10  26 0  11  28   33 36 39 
3 4 5  9 10 11  18  36  60 21  40  65 24  44  70  114 126 138

Dada una matriz cuadrada de orden n, se denomina menor complementario a
  12 13 14    
  cada una de las matrices de orden (n - 1) que se obtienen al suprimir la fila y la
columna donde se encuentra un elemento (aij) de la matriz original.
Como ampliación del concepto de producto, puede definirse la potencia enésima Por ejemplo, para la matriz cuadrada de orden 3
de una matriz como el producto de ésta por sí misma n veces. Para que una
matriz pueda multiplicarse por sí misma tiene que ser cuadrada. Es decir:
An  
A. A
.
A..........
 .A
n veces
pueden definirse, entre otros, los dos siguientes menores complementarios:
2.6.6. Determinantes y matrices

El determinante de una matriz cuadrada A, es el valor de la suma de

determinados productos que se realizan con los elementos que componen la 2.8.8. Adjunto y matriz adjunta
matriz.
Se denota por el símbolo |A| o det (A). Para una matriz cuadrada A de orden n se llama adjunto Aij del elemento aij al
determinante del menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1)
Determinantes de orden 2 elevado a i más j. Es decir:
Aij = (- 1)i+j . αij
Sea: A   a11 a12  → det(A) = A = a11.a22 – a12 . a21 Dada una matriz cuadrada A, se define su matriz adjunta, que se denota Adj(A),
a 
 21 a22  como aquella en la que los elementos de A están reemplazados por sus adjuntos
Regla de Sarrus respectivos:
 a11 a12 a13  a1n   A11 A12 A13  A1n 
Para calcular el determinante de una matriz de orden 3, se recurre al uso de la a a 
a23  a2 n  A A22 A23  A2 n 
llamada regla de Sarrus. Este determinante se obtiene de la suma de seis A   21 22  Adj ( A)   21
términos:              
Tres positivos, formados por los siguientes productos de tres factores: los tres    
 n1
a a n2 an 3  ann   An1 An 2 An3  Ann 
elementos de la diagonal principal y los elementos de las dos líneas paralelas a
esta diagonal, multiplicados por el vértice opuesto.
Otros tres negativos, también constituidos por productos de tres factores: los tres 2.9.9. Desarrollo de un determinante
elementos de la diagonal secundaria y los de las líneas paralelas a ella,
multiplicados por el vértice opuesto. El valor de un determinante puede obtenerse a partir de los adjuntos de los
Es decir, dada una matriz A: elementos de su matriz correspondiente. Así:
 a11 a12 a13  a11 a12 a13  a11 a12 a13  a1n 
Si   a  a2 n 
A  a21 a22 a23   A  a21 a22 a23 a22 a23
A   21
a31 a32 a33  a31 a32 a33       
 
am1 am 2 am 3  amn 

Entonces el desarrollo de su determinante, según la regla de Sarrus, vendría dado

A  a11 A11  a12 A12  a13 A13  ...  a1n A1n
por:
det(A)= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a21a12a33 - a32a23a11 En este caso, el determinante se ha desarrollado por la primera fila. En general, un
determinante puede desarrollarse por filas o por columnas.

42
 MATEMATICA

En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que 3 5

facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son: A 
1 4

 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los Primero: encuentro el determinante de A: A  34  51  12  5  7
elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es
cero. Segundo: calculo la adj A :
 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales
entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su Cofactores de A
determinante es cero. 3 5
A 
 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su 1 4
determinante cambia de signo.
A11  4 A12  1
 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una
matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al A21  5 A22  3
de la original multiplicado por ese mismo número.
 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es
igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Tercero: con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo B T que es la adjA .
 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una
combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su
 4  1  4  5
determinante no se altera. B  BT     adjA
 5 3   1 3 

Matriz Inversa (A-1) Cuarto: aplico el teorema

Para la matriz cuadrada A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A-1 1  A11  A21 
A 1   A
también cuadrada de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matriz A  12 A22 
identidad: A  A-1 = A-1  A = I.
 4  5
Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o no singular, mientras que 1 1  4  5  7 7 
A   
cuando carece de inversa se denomina matriz singular. 7  1 3   1 3 

Teorema. Sea la matriz: A   a11 a12   7 7 
 a 22  Comprobamos la respuesta:
a 21
AA 1  I 2  A1 A
Si el determinante de A no es cero, entonces la matriz inversa de A es:
Regla de Cramer
1  a 22  a12 
A 1 
A  a 21 a11  Un sistema de ecuaciones lineales se dice de Cramer cuando cumple las
siguientes condiciones:

Ejemplo: Encontrar A 1  Es un sistema cuadrado, con igual número de ecuaciones que de

incógnitas.

43
 MATEMATICA

Luego la solución del sistema es x = 2; y = -2 y z = 1

 El determinante de la matriz de los coeficientes asociada es distinto de
cero. Resolución de un sistema por eliminación gaussiana

En consecuencia, un sistema de Cramer es siempre compatible determinado El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales
(tiene una solución única). mediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que consta
de los siguientes pasos:
Para calcular la incógnita xi del sistema de ecuaciones lineales, se sustituye la
columna i de la matriz de coeficientes por los términos independientes, se - Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes,
obtiene el determinante de la matriz resultante y se divide este valor por el del por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de los
determinante de la matriz de los coeficientes. Por tanto, la solución de un sistema términos independientes.
de Cramer se obtiene hallando cada incógnita xi según la fórmula: - Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada,
Ci hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos los
xi  términos sean nulos.
C
- Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolución
Siendo Ci la matriz resultante de sustituir la columna de la matriz de los inmediata.
coeficientes correspondiente a la incógnita por la de los términos independientes.
Sea el sistema de ecuaciones: Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema.
x  y  z  1  Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produce
 una ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con c  0, el sistema es compatible
x  2 y  2 z  0
2 x  y  z  1 
determinado (tiene una solución única).
Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k, k  0
1 2  1  x   1 el sistema es incompatible (carece de solución).
1 2 2   y    0  Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el sistema
     será compatible indeterminado (con infinitas soluciones).
2 1  1  z   1  Ejemplo: Sea el sistema: 2 x  y  2 z  4 

x yz 2 
Hallamos los determinantes de:
 x  4 y  z  3
Matriz amplificada:
1 2 1
 2  1 2  4
 1 2 2 4  1 1 1  2
2 1 1  
 1 4 1  3
A la fila f3 se le suma la fila f2 y a esta segunda multiplicada por 2, se le resta la
1 2 1 1 1 1 1 2 1 primera:
x  0 2 2  8; y  1 0 2  8; z  1 2 0 4 2  1 2  4
0 3 0  0
1 1 1 2 1 1 2 1 1 
0 5 2  5
Luego, a f3  3 se le resta f2  5:
x y z
x  2; y   2; z   1;
  

44
 MATEMATICA

2  1 2  4 a) 1 0
 
b)  0 1
 
c) 1 0 
 
0 3 0  0  0 1  1 0  0  1
 d)  0 1 e) 1 0 
0 0 6  15 
1 0 
 
 1 0


Finalmente: 6z = 15 → z = 5/2 ; y=0 ; x=-½

7. Se tiene el escalar k  2 , y la matriz A que es triangular inferior, es simétrica
y cuya suma de sus elementos es igual a 12. Hallar:
PROBLEMAS 1
E tra( kA )  13
2


1. En la matriz A  a ij  i  j 2 x 3 , hallar: a 21  a12  a 23 . a) 1
d) -2
b) 2
e) 5
c) -1

a) 0 b) 1 c) 12
d) 3 e) 6
8. Dada la matriz A  a ij  nxn ,donde:  6, i  j
a ij   , además la traza es al
 0, i  j
2. Sean: 2x  y 4  11 x  y 
A
 x
 B
2y x w 
 números de elementos como 3 es a 5. Hallar 0,2TrazaA  .
siendo A  B , hallar la suma de los elementos de la segunda fila. a) 12 b) 20 c) 60
a) 6 b) 8 c) 10 d) 10 e) 8
d) 7 e) 11
9. Dadas las matrices siguientes:
3. En la matriz cuadrada siguiente: t  2 3  t 1 3 
A   B  
 5 2 8 ,  2 5  2  2
  hallar la diferencia entre la traza y la suma de elementos de la
A 0 2  1
A  B t , no se obtiene una matriz:
11
 5 Al resolver:
  9  4 
 3
diagonal secundaria. a) Diagonal b) Unidad
a) 3 b) 10 c) 20 c) Identidad d) Escalar
d) 7 e) 0 e) Simétrica

4. Dada la matriz escalar de orden 4x4, se sabe que la suma de sus elementos es
igual a 28. Hallar la traza de una matriz escalar que posea el mismo elemento
10. Dada la siguiente matriz 
C  c ij  2i  j
3x3
, al realizar la suma C  C
t
se
no nulo, siendo “n”, el número de columnas. obtiene una matriz:
a) 7 b) 7n c) 14n a) Antisimétrica b) Diagonal
d) 7n e) 49n c) Hermitiana d) Simétrica
e) Triangular
5. Al sumar las matrices: A  3 5  2 3  , se obtiene una matriz:
  B  11. Dadas las matrices fila y columna respectivamente:
2 0  2 1   
3 
  ,
a) Diagonal A  1 2 3 1x 3 B  2
b) Identidad  4 
3 x1
c) Triangular superior
d) Escalar Hallar: Traz( A.B )  Traz(B. A )
e) Triangular inferior a) 1 b) 2 c) -1
d) -2 e) 0
6. Si 1 2  , hallar la suma de su opuesta con su transpuesta.
A 
 3  1 12. Hallar la suma de los elementos de la diagonal secundaria de la matriz
resultante de A .B , si:

45
 MATEMATICA

 1 1 e) NA
1  2 0   18. Sean las matrices:
A  B  2 5
3 4 7  2 x 3  x  y 13   17 y  z 
 3 8  A  B 
3x2  14 0 x  z 0 
a) 23 b) 36 c) 41 tal que A = B. Hallar: x  y  z :
d) 17 e) 20 a) 0 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4
13. Hallar la matriz ”X”, tal que:
19. Hallar “m”, tal que: C  A  B sea una matriz nula.
 1 1 0 
   1  3 2 7  2x  3
X.  0 1 0        
0 1 1 A  3  B xy 
 0  1 1  
 x   y  m 
Dar como respuesta la suma de los elementos de X. 3 x1 3 x1

a) 10 b) 12 c) 1 a) 1 b) -2 c) -1 d) 0 e) 2
d) 6 e) 4
20. Sean las matrices cuadradas:
 1 1 1  2 1  0 3  5 1  Hallar: G11  G21  G12  G22 de la matriz
A  B  C 
14. Si         3 0
A0 0 0 7 3 2 5
 0 0 1  G  2 A  B  3C
Calcular B  A 1000 ( A  4I) : a) 9 b) 6 c) 3 d) 8 e) 7
La suma de los elementos de la primera fila es:
1  12 38 
a) -11 b) -12 c) -10 21. Sea un escalar k  y la matriz A    , hallar B  kA y dar como
d) -20 e) -8 2  26 8 
respuesta el valor de b11  b 21  b12 .
15. Dada la siguiente condición:
a) -1 b) 0 c)1 d) 2 e) 3
 2 1  x  1 1 
A  
 1 2  3 2x  4
22. Indicar cuál de las proposiciones es verdadera:
Para que valor de x la matriz A será simétrica. a) AB  BA
a) 1 b) 2 c) -1 b) AB  0  A  0  B  0
d) -2 e) 0
2
c) AB  BC  AC  A
16. Hallar x, siendo la matriz: d) AB  BC  A  C
 2 2 4  e) ( A  B )C  AC  BC
  idempotente.
1 3 x 
 1  2  3 
23. Al multiplicar las matrices A   2 1  y B   1 1  se obtiene una matriz:
a) 6 b) 3 c) 1 4  2 2  2
d) 4 e) 2 a) Diagonal
b) Triangular superior
 1 0 n
17. Si A hallar A , nN. c) Nula

  1 1 d) Triangular inferior
a) 1 1  b)  1 0 e) Identidad
   
 n  1   n 1
c)  0 1 d) 1 n
   
 n 1 n 0 

46
 MATEMATICA

24. La multiplicación de la matriz fila P  senx cosx cosx  con la matriz columna 29. Hallar los valores de x , para que la matriz A sea Antisimétrica, siendo:
 senx  x 2  5x  6 x 2  4x  1 

Q   sec x 
 da como elemento de la matriz resultante: A 2 2 
 cos x   x  4 x  5 x  7 x  12 
a) 2 y 3 b) 3 y 4 c) 2 y 4
a) sen x b) 1 c) 2
d) sólo 3 e) sólo 4
d) 0 e) cos x
30. Una compañía construye casas de 3 estilos diferentes A, B y C. Cada tipo de
 1  t
25. Se tiene la matriz  2
3
2
al multiplicar M.M , se obtiene una: casa usa distinto número de unidades de madera, que son respectivamente 22,
M  
 3 1  18 y 25. Hallar la cantidad de unidades necesarias para 8 casas A, 7 casas B y
 2 2 
12 casas C con notación matricial.
a) Matriz escalar a) 528 b) 602 c) 512
b) Matriz conjugada d) 820 e) 652
c) Matriz identidad
d) Matriz transpuesta
e) Matriz simétrica 31. Hallar el determinante de la matriz:
 9 7 
A 
 2 3   1 3   8  6
26. Al multiplicar las matrices:    , se obtiene una matriz:
5  2  2  2
a) Triangular inferior a) 2 b) 1 c) -4
b) Escalar d) 4 e) -2
c) Columna
d) Triangular superior 32. Hallar el determinante de:
e) Diagonal  sen15 sen15 
B 
  cos15 cos15 
27. Dadas las matrices:
    
a) 1 b) 2 c) 0,5
A  a ij  i  j
20 x 3

B  b ij  i  j 
3x3
encontrar el elemento c 69 de la matriz d) -1 e) -0,5
t
A .B. A  c ij   33. Calcular el determinante de:
c b) 1086 c) 512  log5 log 4 
C 
d) 856 e) 942  1 2 
a) 1 b) 2 c) 10
d) 5 e) 0,1
28. Hallar el elemento m12 de la matriz M  A  A  A  ....A ; nN, n  3
2 3 n
y
 1 1 34. Hallar el valor de “x” en:
A 
0 1  3 1
x x  256
 n( n  1) n( n  1) 2 2
a) b)
2 2 a) 8 b) 2 c) 10
n( n  1)  n( n  1) d) 4 e) 6
c) d)
2 2
n (1  n ) 35. Hallar la suma de raíces de “x”:
e) x x 1
2 3
1 x 1

47
 MATEMATICA

a) 0 b) 2 c) -4
d) -2 e) 4 42. Hallar “x” en la ecuación:
x
36. Hallar el valor de: 5 1 2
 187,5
x
n4 n5 n3 n4
n6 n5

n5 n4
5 2
a) 3 b) -3 c) 4
a) 4 b) 1 c) 2 d) 0,5 e) 2
d) 8 e) 5
43. Hallar el determinante de:
37. Hallar la suma de las raíces de la ecuación:
x
2
x 1
3
2 3  log 24 log2 3 
2 2
 4x  x K 2 
 1 x  1 x  log3 6 log24 48 
a) 2 b) -3 c) -5
d) 1 e) -2 a) 6 b) 0,5 c) 3
d) 1,2 e) -8
38. Hallar el ángulo con el cual:
sec tag 44. Hallar el determinante de:
 0,8
sen 1
 11 12 
a) 300 b) 150 c) 370
C  i i14 
d) 530 e) 450 13
i i 

a) i b) 1 c) –i
39. Hallar una de las raíces, en la siguiente matriz singular: d) -1 e) 0
 log ( x  6 ) 2 
M  a 
 2 logx a  45. Indicar un equivalente del determinante de la matriz:
a) -3 b) 1 c) 2 i  8 i  6 
Z 
d) 4 e) -2 i  4 i  3 
a) i4 b) i5 c) i6
40. Hallar f ( 3 ) si se cumple: d) i9 e) i8
f(x) x
 5 2 a 2b a b
x 1 1 46. Si  64 , entonces hallar el determinante de .
2c 2 d c d
a) 9 b) 7 c) 11
a) 64 b) 32 c) 16
d) 5 e) 2
d) 8 e) 4
41. Se tienen las matrices de segundo orden, tales que:
47. Hallar el determinante de:

A  a ij  2i  3 j  ; 
B  b ij  3i  2 j  1 1 1
 
Hallar Det( A )  Det(B ) A   1  1  1
  1 1  1

a) 6 b) 12 c) 0 a) 0 b) 1 c) 2
d) 10 e) -6 d) 3 e) 4

48
 MATEMATICA

48. Hallar el determinante de:  3 2 4 

J   3 a  2a 

 5 4 6 

B   7 1  2

 2  3 2 
  5 4  6  a) 3 b) 4 c) 2
a) 12 b) 7 c) -13 d) -2 e) -3
d) -23 e) 0
54. Indicar la parte imaginaria del determinante de la siguiente matriz:
49. Factorice el determinante de la siguiente matriz e indique uno de los factores
primos:  i i i 
 
N   i  i i 
a b 1  i  i  i 
 
G  1 a a
a) – 4 b) - 8 c) 6
 a 1 b 
d) 5 e) 3
a) a - 1 b) b + 1 c) a + 1
d) a + b e) b - 1
55. Hallar el valor de “x”, de tal manera que la matriz sea singular:
x
50. Hallar el valor de 10 , si cumple la ecuación siguiente: 1 2 3
 
P  4 x 6
log5 1 1  7 8 9 
1 x log5
1 1 log5 
log5 0 a) 6 b) 0 c) 5
1 log 4 1
d) 1 e) -2
a) 4 b) 5 c) log 5
d) -5 e) log 4 56. Hallar el determinante de la matriz cuya regla de correspondencia es:

51. Si la matriz es singular, hallar “x”: 

A  a ij  i  j 3 x 3
 3  2 3 
  a) 1 b) 0 c) 2
K 2 5 2 3
  d) -1 e) indet.
  1  2  x

a) 6 b) 5 c) 4 57. Hallar la
d) 3 e) 2 resultante de la 9! 8!
siguiente 7! 6!
52. Hallar “x” si se sabe que: operación: E
8! 7!
6! 5!
tagx senx 1 a) 44 b) 36
 ctgx senx 0  1 c) 48 d) 56
cscx 0 1 e) 64
a) 450 b) 600 c) 300
d) 160 e) 530 58. Calcular “n”, si se cumple que:

53. Hallar el valor de “a”, si se sabe que la matriz no posee inversa:

49
 MATEMATICA

bc ab a a1 b1 c1
c  a b  c b  n( abc )  a  b  c
n n n  
a 2 b2 c 2
ab c a c

a) -1 b) 0 c) 3
d) 1 e) -3 Incompatible
L1 L2
Entonces
59. Indicar uno de los factores primos de: a1 b1 c1
 
a 2 b2 c 2
1 1 1
2 2 2
M( a,b,c )  a b c
3 3 3
a b c
a) ab + ac + bc b) a + b
c) a + c d) b + c
e) a + b + c
PROBLEMAS
60. Señale la suma de tres raíces de la ecuación polinomial que se obtiene al
efectuar: 1. Hallar “y” en el siguiente sistema:
1 2
a
2
2 ax x
2
7y 1 ;  7y  5
x
2
a
2
2 ax  0 x x
2 ax x
2
a
2 a) 1/7 b) 1 c) 2 d) 1/2 e) NA

a) 3a b) 2a c) 0 2. Hallar el valor de “x” en:

d) a e) NA
1 1 x y
 5 ;   2 xy
x y 2 3
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) NA

2.3 SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES 3. En el siguiente sistema:

x+y=5; y+z=8; z+u=9; u+v=11; v+x=9 .Dar la suma de la mayor con la menor
Dado el sistema a1 x  b1 y  c1 variable.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) NA
a 2 x  b2 y  c 2
x y z
Compatible Determinado L2 L1
4. Encontrar el valor de “z” en:   ; 3x  5y  z  34
Entonces 6 3 18
a1b2  a2b1  0 a) 7 b) 8 c) 9 d) 12 e) NA

5. Dado el sistema:

Compatible indeterminado
Entonces
L1 =L2

50
 MATEMATICA

 2a 11. Si (a, b, c)0 ; Dar “x” al resolver:

 by  b
 x x xy xz yz abc 2abc
 ; Hallar : W  a ; b ;  c a) b)
 a  by  2b y xy xz yz ab  bc  ca ab  bc  ca
 x 2abc 2abc
a) a/b b) b/a c) 1 c) d)
d) 0 e) NA abc ab  bc  ca
2abc
6. Dado el siguiente sistema: e)
ac  bc-ab
a  b x  a  b y  10
 ; ¿cuáles son los valores de “a” ^ “b” .Para
 ax - by  -1 12. En el siguiente sistema:

que las soluciones sean: x=y=1 tx  2 y  7


3x  6 y  1
a) 6^5 b) 1^6 c) 9^3 d) 8^1 e) 5^6

7. Hallar “x” en el sistema. (ab) ¿Qué debe pasar con “t” para que el sistema sea Determinado?
x y x y a) t = –1 b) tR c) t = 0
  a ;  b d) t  –1 e) NA
a b b a
a) a +b b) a – b c) 9 d) 0 e) NA
2 x  4 y  3
8. Hallar “x” en el siguiente sistema: 13. Dado el sistema: 
1 1
mx  y  5
x 1  ; x- 1  Indicar que valor(es) debe aceptar “m” para que es sistema tenga solución
2y y única.
a) 3 b) –3 c) 1 d) 0 e) NA a) m =1/2 b) mR –{-1/2} c) a ^ b d) m –1/2 e) NA

9. Dado el sistema: 9 x  3 y  1
 x  y  z  12 Indicar cual de los 14. En el sistema: 
 y  z  v  13 siguientes numeros es tx  y  a

 ; Indicar que debe suceder con “t” ^ “a” para que el sistema sea
v  x  y  14 una de las soluciones Imposible.
 x  z  v  15 del sistema. a) t  –3 b) t = 3 c) t = –3
a = –1/3 a = 1/3 a  –1/3
a) 7 b) 8 c) 2
d) t  1 e) NA
d) 3 e) 9
a=1
10. Resolver el siguiente sistema:
15. Señale “ y ” luego de resolver:
5 xy  12x  y 
 xy 2a
5 yz  18 y  z  ; Hallar : A  x  y  z a) 16 b) 18 c) 19 
x  y  1 2b  c
..........(1)
13zx  36z  x 
 xy 2b
 ..........( 2)
d) 22 e) 17 x  y  1 2a  c
a) (a +b)/c b) (b +c)/a

51
 MATEMATICA

c) (c –a)/b d) (a –b)/c
e) (b –c)/a x y z 1
  
yz z x xy xyz
16. En el sistema:
x  2 y  b  2 1 1
 A) 1 B) C)
2x  y  b  1
2 3
2 3
D) E)
3 2
¿Cuál es el valor de b, para tener x = 3y?
21. Encuentre el valor de xy, luego de resolver el sistema:
2 1
A) 8 B) C)
5 2
 8x  4y  3 27x  54y  12
D) 7/3 E) 5/2 

 8x  16y  8x  9y  19
3
17. El sistema lineal:
x  y  a

A) -42 B) -52 C) -56
 2
a x  y  1
 D) 42 E) 56

Es imposible si solo si: 22. Al resolver el sistema:

A) a = 1 y a = -1 B) a = 1 C) a  R
D) a  1 E) a = -1 xy  x  y  19
2 
yz  y  z  34
18. Si el sistema lineal: zx  z  x  27
(a - 3)x  (b - 1) y  12 

2x  5 y  3 un valor de z es::
admite infinitas soluciones, calcula el valor de 2a – b A) 3 B) 4 C) 5
D) -6 E) -8
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2 23. Al resolver en los reales:
19. Si el sistema:
x  y  xy  5

 6
5x  2y  7 xy  x  y
 
3x  ay  12
se obtiene como conjunto solución a:
Admite solución única. Calcular el valor de a
(x 0 ; y0 ) , (x1 ; y1 )
A) 1 B) 1,1 C) 1,2 Si x1 > x0 calcule : y
x 0x1 - y1 0
D) 1,4 E) 1,5
A) 0 B) 1 C) 2
20. Calcular el valor de “z” al resolver: D) 3 E) 4

52
 MATEMATICA

24. Si 0 < 1 – x < 1 donde x es un número real. ¿Cuál de las siguientes

proposiciones es verdadera? 30. Si a y b son números reales tales que: 5  a  7 y 2  b  6,5 entonces:
2 a  2b
A) 0 < 1-x <1 –x <1 3
varía entre :
2 3
B) 0 < x < x < 1
3 2
C) 0 < x < x < 1 Q) -3 y –2
D) 0 < 1 -x < x < 1 R) -15 y 2
E) 0 < x < 1 -x < 1 S) C) -18 y 3
T) -16 y 6
25. El mayor entero M que satisface la desigualdad: U) E) -6 y 1
2
2x –4x + 1 > 2M, para todo valor real de x, es:

A) -1 B) 1 C) 0 31. Un matrimonio dispone de 32 soles para ir al cine con sus hijos. Si compran
D) -2 E) 2 las entradas de 5 soles le faltaría dinero y si adquieren los de 4 soles le sobraría
dinero. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio?
a
26. Si a varía entre 4 y 40 y b varía entre 5 y 12, entonces varía entre:
b A) 5 hijos B) 4 hijos C) 6 hijos
D) 7 hijos E) 8 hijos
1 10
A) y3 B) 2,4 y 10 C) 0,8 y
8 3
1 32. Si x e y son números enteros positivos tal que x > y, entonces el valor de
D) 3 y 8 E) y8
3 verdad de las proposiciones siguientes:
27. Si a y b son mayores que cero, la expresión: xy yx xy
-1 -1
(a + b)(a +b ) es: I. 0 II. 0 III. 0
y y x

E) Mayor o igual que 4 A) FVV B) FVF C) VVF

F) Igual a 2 D) FFV E) VVV
1
C) Igual a
2 33. Los números reales x que satisfacen la ecuación:
D) Menor que 4
E) Igual a 1 2
x 2  1  3 x2  7
28. Hallar el conjunto de números enteros de manera que el duplo de los números
mas 5 no sea menor a su mitad disminuida en 7 y su tercio menos 7 no es menor Se encuentra en el intervalo:
que su cuadruplo mas 15.

G) {7} A)  2; 3
H) {6; 7; 8}
B)  ; 3
I) 
J) {-8; -7; -6} C) ;- 3
K) {-7}
D)  3; 3

 3 

29. Calcule el complemento del conjunto x  R  3 E)  2; 2

 x 

L) [-1 ; 1]
M) [-1 ; 1] –{0}
N) R –[-1 ; 1] 34. Sean x e y dos enteros que verifican el sistema:
O) {0}
P)   ; - 1 

53
 MATEMATICA

7 1  1  xy (x - 3)  0
 Así ya tenemos el volumen: (60-2x)(40-2x)x.

(y  5) x 2  x  1  0
 3 3
Convertimos los litros a cm : 5000 cm .
¿Qué podemos afirmar respecto a (x-y)?
Llegamos así a la inecuación que resuelve el problema: (60-2x)(40-2x)x>5000
A) Su mínimo valor es positivo
B) Su mínimo valor es negativo Por tanto, el problema se resuelve estudiando esta inecuación.
C) No tiene máximo valor
D) Su máximo valor es 6 Problema: Un grupo de alumnos y alumnas del Ceprunsa piensa que igual que el
E) Su máximo valor es 7
fútbol, nació el fútbol sala, podrían inventar un rugby sala e instalarlo en el
35. Halle él (los) valor (es) reales de  para los cuales el sistema mixto: gimnasio. Han logrado que les cedan 32 metros de perfiles metálicos para
construir dos porterías en forma de hache. Desean un área total entre los perfiles

de al menos 20 metros cuadrados. ¿Entre qué límites pueden elegir su altura y
x 2  y 2  2 x  1
 anchura?
x - y    0


La alumna más lista del grupo ha realizado el esquema y el planteo, y ha ofrecido

tenga solución única
esto a los demás:
A) 3
B) –1 Llamó “b” a la altura y “a” a la base. Como disponemos de 16
C) 1 metros de perfil por portería, se cumplirá que: a+2b = 16 de donde:
D) 2 b a = 16-2b y el área del hueco de la hache:
E) AB A = ab = b(16-2b)

a Si llamamos “x” a la variable “b”, podremos escribir la inecuación:

x(16 - 2x)  20; o bien: x(16 – 2x) – 20  0

Importante:

I. Si a > b > 0 → a n  b n  0 ; n
a  n b  0; n  N
II. Si a < b < 0 →
INECUACIÓN 1) a 2 n  b 2 n  0
2) a 2n1  b 2b1  0 ; n  N
A partir de un rectángulo de cartón de 40 cm de ancho y 60 de largo deseamos
formar una caja recortando cuatro cuadrados, uno en cada vértice, para su III. Si a < 0  b > 0, además: a  x  b  0  x 2  Máx{a 2 ; b 2 }
doblado posterior. ¿Qué valores podemos dar al lado de los cuatro cuadrados IV. Propiedad del trinomio positivo:
para que el volumen de la caja sea al menos de 5 litros? Sea P(x) = ax2 + bx + c ; P(x) > 0 ↔ a > 0   < 0

Ejemplos:
Efectuando un análisis algebraico del tema:
1. Cuál es el conjunto solución de: 3x2 + 7x – 6 > 0
Llamamos “x” al lado del cuadrado, con lo que los lados de la base de la caja Primero hallamos su discriminante:  = 72 – 4(3)(-6) = 121
medirán respectivamente 60 – 2x y 40 – 2x. La altura de la caja equivale al lado x.

54
 MATEMATICA

Como  > 0, la inecuación tiene dos raíces (puntos críticos) y además es Para x  ]1 ; +∞[ es ( + ) Solución: x  ]1 ; +∞[
factorizable:

(3x – 2)(x + 3) = 0

De donde los puntos críticos son: 2/3 y – 3

Ubicándolos en la recta real de los números:

+ - + PROBLEMAS
-3 2/3 2
1. La solución de la inecuación: – x + 8x – 7 > 0
Rpta.: ]-∞, 3[  ]2/3; +∞[
A)  C) 0 < x < 7 E) N.A.
2. Resolver: 2x2 – 4x + 13  0 B) –1 < x < 7 D) 1 < x < 7
 = 42 – 4(2)(13) = - 88
Como:  < 0, la curva no corta a la recta numérica, pero como es mayor cero, (2x  12)(3x  15)(7  x )
entonces la solución es todos los reales. 2. Resolver:  0
( x  2)
Rpta.: R
A) [–5,2[  [6, 7] B) ] –, –5]  ]–2, 6]  [7, +[ C)[–5,6]– {2}
3. Resolver: 1  1 D)  E) N.A.
x
Restando a ambos miembros 1: 1  1  0
x
x6
x 1 3. Resolver: 0
0 x( x  4)
x
Puntos críticos: x = 1 x=0 A) ]–6, 0[ B) ]–, –6]  ]–4, 0[ C) [–6, –4[  ]0, +[
D)  E) N.A.
+ - +

0 1 4. Resolver: (x + 4) (x + 2) > 0. Dar como respuesta un intervalo

Rpta.: ]0; 1[ A) –, –4 C) [4, + E) N.A.
4. Resolver: x  3  x  1 B)  D) 
- Determinamos el dominio: x + 3 ≥0, entonces: x ≥ - 3
x 1  x  3 5. Resolver: (x + 2) (x + 2) > 0

( x  1) 2   x3 
2 A) ]–2, + ] C) [2, + [ E) ]2, + [
x2 + x – 2 > 0 B)  D)  – {–2}
- Calculamos los puntos críticos: x1 = - 2 ; x2 = 1
- Verificamos si las raíces verifican la inecuación irracional: 6. Resolver: (x – 1) (x – 1) < 0
Para x = - 2 : - 2 + 1 -  2  3 = - 2 no es raíz de la inecuación. A) ]–1, + ] C) ]1, + [ E) N.A.
Para x = 1 : 1 + 1 - 1 3 = 0 si es raíz de la inecuación B)  D) 

- Determinamos el signo de la inecuación irracional:

Para: x  [-3; 1[ es ( - ) 7. Resolver: (x + 6) (x + 6)  0

55
 MATEMATICA

A) [–6, + [ B)  C) {–6} D)  E) ]–, –6] A) –, –4

B) –4, +
2
8. Resolver: x +1>0 C) –1, +
A) [–1, + [ C) {–1} E) ]–, –1] D) 
B)  D)  E) [–4, –1]

x + 6x + 12  0
2
9. Resolver:
2
A) [–3, + [ C) {–3} E) N.A. 16. ¿Entre qué limites debe estar comprendido “n” para que la inecuación: x +
B)  D)  2n x + n > 3/16, se verifique para todo valor real de “x”?
A) 4 < n < 5
2
10. Resolver: x + 2x + 2 < 0 B) 1/4 < n < 1/2
A) [–2, + [ C) {–2} E) ]–, –2] C) 1/4 < n < 3/4
B)  D)  D) 1/4 < n < 5/4
E) –1/4 < n < ¾
3
11. Resolver: < 2, y dar como respuesta el complemento del conjunto solución 17. Resolver:
3 2 2 5
(x – 3) (x – 1) (x – 1) x > 0
x
C) ]–, 0[  [3/2, + [ 3
A) ]0, 3/2[ B) [0, 3/2] A) x  –, 1  2,
D) ]–, 0[  ]3/2, + [ E) N.A. 5
B) x  –, –1  5, 12
x8 x2 C) x  0, 1  3, +
12. Resolver: 
x3 x 1 D) x  –1, 0  1, 3
A) ]–1, –1/2] D) [–3, –1]  [–1/2, +[ E) N.A.
B) [–1, –1/2] E) ]–3, –1[
C) ]–3, –1[  [–1/2, +[
2
18. Se tiene que: –1 < x – 1 < 1, entonces se cumple que: a < x – 1 < b donde:
13. Si x  –2, 3, además: a < x + 10x – 3 < b hallar b – a
2

A) 55 B) –55 C) 36 D) 19 E) N.A. A) a+b=2

B) a + b = 12
14. Resolver: (x + 3) (x – 5) (x – 1) < 0 C) a + b = –7
A) –, –3  1, 5 D) a+b=8
E) a + b = –9
B) –, –3]  [1, 5
3 5
C) –, 1  3, 5 19. Resolver: x  2  ( x 2  x  1)2  (2  x)  1  x  0
D) –, 1  [3, 5 A) 1 ,  – {2}
E) N.A. B) [1 , 
C) 1 , 
15. Resolver: x (x + 5)  – 4 D) 2 , 

56
 MATEMATICA

E) –2 , 

20. Resolver e indicar el valor que no pertenece al conjunto solución:

x 1 x 1

3 4
A) 0
B) 1
C) –2
D) –5
E) –10

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