Teoremas Fundamentales Del Calculo
Teoremas Fundamentales Del Calculo
Teoremas Fundamentales Del Calculo
INTRODUCCION
En el cálculo diferencial se tiene como objetivo hallar razones de cambio instantáneas lo que es lo
mismo hallar derivadas. Pero con el conocimiento de las sumas de Reimman surge un nuevo
concepto que es el de integral definida que básicamente es el hallar el área bajo una
curva(función) en un intervalo. Para el problema del área solo basta que la función sea continua en
un intervalo salvo un conjunto infinito de puntos todo esto nos asegura que la función área sea
una función continúa puesto que al ser continua la curva no puede haber un cambio brusco en la
cantidad del área.
𝑥
Por lo que tenemos la función área 𝐴(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 con las siguientes funciones
Ahora surge la interrogante de que si esta función es o no derivable lo cual nos lleva al primer
teorema fundamental del cálculo.
Sea una función continua en el intervalo [𝑎, 𝑏], Entonces la función A(x) definida por:
𝑥
𝑥 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑 ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝐴(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 es derivable en [𝑎, 𝑏] y 𝑑𝑥
= 𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥) .
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎)
𝑎
Como f es continua en [a,b] entonces ∃ α,β ∈ [a,b] tal que f(α)=m y f(β)=M son los valores
mínimos y máximos absolutos respectivamente de f en [a,b].
Por lo que podríamos acotar el valor de la integral mediante la siguiente relación
𝑏
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
𝑎
Pero como c ∈ [x,x+h] en el limite cuando h tiende a 0 c tiende a x. Asi tenemos demostrado que la
función área es derivable y que se cumple lo siguiente
𝐴′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
Siendo la función A(x) cualquier antiderivada de f(x) por lo que tendríamos una familia de
funciones y en general se cumpliría A(x)=F(x)+c gracias producto del teorema de la función
constante.
En este punto ahora nos queda hallar el área en función de las antiderivadas y a esto se le conoce
como regla de Barrow o segundo teorema fundamental del cálculo.
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Consideremos una función f continua en [a,b] y sea F una función tal que:
𝑏
F’(x)=f(x) ∀ x ∈ [a,b] entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Del primer teorema fundamental del calculo tenemos que la función de área A(x)=F(x)+C
Así tenemos
𝑥
𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
El uso acá de la variable t dentro de la integral es irrelevante puesto que estamos calculando áreas
Finalmente
𝑏
𝐴(𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎