Este documento presenta 14 ejercicios sobre el uso de matrices. Los ejercicios incluyen escribir matrices explícitamente, determinar si matrices pertenecen a conjuntos dados, calcular sumas, diferencias y productos de matrices, resolver sistemas de ecuaciones usando matrices, y modelar diferentes situaciones como encuestas electorales usando matrices.
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Este documento presenta 14 ejercicios sobre el uso de matrices. Los ejercicios incluyen escribir matrices explícitamente, determinar si matrices pertenecen a conjuntos dados, calcular sumas, diferencias y productos de matrices, resolver sistemas de ecuaciones usando matrices, y modelar diferentes situaciones como encuestas electorales usando matrices.
Este documento presenta 14 ejercicios sobre el uso de matrices. Los ejercicios incluyen escribir matrices explícitamente, determinar si matrices pertenecen a conjuntos dados, calcular sumas, diferencias y productos de matrices, resolver sistemas de ecuaciones usando matrices, y modelar diferentes situaciones como encuestas electorales usando matrices.
Este documento presenta 14 ejercicios sobre el uso de matrices. Los ejercicios incluyen escribir matrices explícitamente, determinar si matrices pertenecen a conjuntos dados, calcular sumas, diferencias y productos de matrices, resolver sistemas de ecuaciones usando matrices, y modelar diferentes situaciones como encuestas electorales usando matrices.
Ejercicio 3. Usando las matrices A , B , C y D del ejercicio anterior:
1 a) Calcular A + B , A + B + C , A , 2C + B , −3( A + 2B) , At y C t + C . 2 b) Encontrar una matriz X ∈ R3×3 tal que X + A = C .
! ! ! 1 −2 −5 z 2 0 1 2 −5 Ejercicio 4. Dadas A = , B = y C = , x y 8 w 3 1 w+1 5 10 hallar en cada caso, si es posible, los valores de x , y , z y w ∈ R tales que
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a) A + 2B = C b) 2A + B = C
Ejercicio 5. Calcular los siguientes productos de matrices:
calcular, si es posible, B.A , A.B , B.C , C.B , A.D + B , D.A + B y C2 .
Ejercicio 7. De las matrices A y B se conocen sólo algunos coeficientes, de forma tal que ∗ −1 3 ∗ −1 ∗ A = ∗ −2 ∗ y B= 1 ∗ . 0 1 0 −2 2 2 −2
Si C = (cij ) = (2A − B).A calcular, si es posible, c32 .
Ejercicio 8. ! ! ! 0 a 1 −1 3 −6 a) Si A = , B= y C= , hallar a y b en R tales que 2 b 0 2 7 −10 A.Bt = C . ! 1 a b) Si A = , determinar todos los valores de a ∈ R para los cuales A2 = 17.I2 . a −1 ! ! 1 2 1 −2x c) Si A = y B = , hallar todos los valores de x ∈ R tales que −1 3 x 3 A.B = B.A .
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Ejercicio 9. x1 + x2 + 2x4 = 2 a) Escribir el sistema 2x1 − x3 = 2 en la forma matricial A.x = b . x2 + x3 − x4 = 1
b) Elegir dos soluciones particulares v1 y v2 del sistema anterior y calcular A.(v1 + v2 ) y
A.(v1 − v2 ) . ¿El resultado depende de las soluciones v1 y v2 elegidas?
1 3 2 1 Ejercicio 10. Si A = 0 k 3 y b = 0 , determinar para qué valores de k ∈ R 0 0 k−1 2k el sistema A.x = b es compatible.
Ejercicio 11. Las familias Pérez, Hirsch, Ferraro y Smith colaboran con la cooperadora de un hospital. Hace dos años donaron respectivamente $25000, $10000, $3000 y $8000; el año pasado, la donación fue de $10000, $3000, $1000 y $700 respectivamente y, este año, cada una donó un 20 % más que el año pasado.
a) Presentar estos datos en una matriz A ∈ R4×3 .
b) Dar una matriz B tal que, si se multiplican convenientemente A y B , se obtenga el
total donado por cada una de las cuatro familias.
c) Dar una matriz C tal que, si se multiplican convenientemente A y C , se obtenga el
total donado en cada uno de los tres últimos años.
d) Multiplicar convenientemente la matriz A por dos matrices de modo que el producto
de las tres matrices sea el total de las donaciones recibidas por el hospital durante los 3 años, de las 4 familias.
Ejercicio 12. En las primeras 15 fechas del campeonato de fútbol, los equipos A , B , C y D tuvieron las siguientes actuaciones: el equipo A ganó 4 partidos, empató 8 y perdió 3; el equipo B ganó 3, empató 4 y perdió 8; el equipo C ganó 4, empató 4 y perdió 7 y el equipo D ganó 7 y perdió 8. Los equipos obtienen 3 puntos por cada partido ganado, 1 punto por cada partido empatado y 0 punto por cada partido perdido. Escribir la información de las 15 fechas en forma de matriz y utilizar el producto de matrices para obtener el puntaje obtenido por cada uno de los equipos.
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Ejercicio 13. Para las próximas elecciones hay 3 candidatos: X , Y y Z .
En una encuesta se recogieron las siguientes opiniones: entre las mujeres menores de 50 años, el 30 % votará al candidato X , el 25 % a Y y el resto a Z ; entre las mayores de 50 años, el 50 % votará al candidato X , el 30 % a Z y el resto a Y ; entre los varones menores de 50 años, el 25 % votará al candidato X , el 50 % a Y y el resto a Z ; entre los mayores de 50 años, el 30 % votará al candidato X , el 40 % a Y y el resto a Z . Se espera que concurran a votar 18000 mujeres, 7000 de ellas menores de 50 años y 16000 varones, 9000 de ellos menores de 50 años. Mostrar la información de la intención de voto según la encuesta en una matriz convenien- te y utilizar el producto de matrices para estimar la cantidad de votos que obtendría cada candidato de conservarse las tendencias de la encuesta.
Ejercicio 14.
a) Dadas las ciudades A1 , A2 , A3 , A4 y A5 , la matriz
0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 M= 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 tiene un 1 en el coeficiente mij si hay un vuelo directo de Ai a A j y un 0 si no.
i) Dibujar en un diagrama las cinco ciudades uniendo con una flecha las que están conectadas por vuelos directos. ii) Calcular M2 . Comprobar que los coeficientes de M2 cuentan los vuelos con exac- tamente una escala que hay entre esas cinco ciudades. iii) Calcular M + M2 . ¿Qué representa cada coeficiente de esta matriz?
b) i) Construir la matriz M correspondiente a los vuelos sin escala para la situación
siguiente:
B1 B2
B3 B4
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ii) Determinar, analizando el diagrama, cuántos vuelos con exactamente una escala hay entre cada par de ciudades. A partir de este anĺisis, calcular M2 . iii) Calcular M3 . ¿Qué representa cada coeficiente de M3 ?
Ejercicio 15. Determinar si cada una de las siguientes matrices es inversible y, en caso afirma- tivo, calcular la inversa: ! ! ! −2 3 1 −1 −1 −1 a) A = b) B = √ c) C = 6 −9 5 0 2 3 1 2 2 1 2 2 0 1 2 d) D = −1 −2 −3 e) E = − 1 2 0 f) F = 2 3 − 1 0 1 3 0 4 2 2 1 −4
Ejercicio 16. Para las matrices C y D del ejercicio anterior, usar lo calculado para resolver los siguientes sistemas: ! 2 1 a) C.x = b) D.x = − 1 . 2 3
Ejercicio 17. Determinar en cada caso las condiciones sobre a , b y c que hacen que la matriz dada sea inversible: ! ! a 0 0 a b a b a) b) c) 0 b 0 0 c a b 0 0 c
Ejercicio 18. Calcular el determinante de cada una de las siguientes matrices para decidir si son inversibles o no: 2 ! ! 2 1 6 0 −1 a) b) 5 c) 3 2 15 1 0 8 3 0 1 −2 1 1 1 2 2 d) 4 1 0 e) 0 7 8 f) 3 3 2 0 1 2 4 5 6 1 −1 −2
−1 1 1 Ejercicio 19. Si A = , determinar k ∈ R para que det( A) = 2 . 0 1 2 −1 0 k
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Ejercicio 20. Determinar los valores de x ∈ R para los cuales la matriz dada
a) no es inversible: ! 4 1−x 2 3 −4 i) x −3 ii) − 3 1 2 1 x − 1 −1
b) es inversible: ! 4 x 1 1 1 i) x 4 ii) 1 x 2 0 1 x−1
calcular det( A) , det( B) , det( A.B) , det(2A) y det( A + B) .
Verificar que det( A.B) = det( A).det( B) y que det(2.A) = 23 .det( A) . Notar que det( A + B) 6= det( A) + det( B) . ! ! 1 a 0 1 Ejercicio 22. Si A = y B = , determinar todos los a ∈ R para los 0 −1 3 1 cuales
a) det( A + B) = 3 ;
b) det( A + At ) = −29 .
Ejercicio 23. ! ! 1 0 2 k+1 a) Si A = y B= hallar los k ∈ R para los que det( A.B) = 0 . 2 2 k−2 −1 1 2 0 1 −3 0 b) Si A = hallar los k ∈ R para los que A.B no es − 1 0 1 y B= 1 5 k 0 0 1 0 k 2 inversible.
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1 2 −1 1 1 1 Ejercicio 24. Dadas A = x 0 y B = 0 0 1 , hallar los dos valores de 3 1 4 1 x 1 5 x ∈ R tales que det( A.B) = det( A) .
Ejercicio 25. Determinar en cada caso todos los valores de k ∈ R para los cuales el sistema tiene solución única: 2x1 + x2 = 1 a) − x1 + kx2 + kx3 = −2 3x2 + 2x3 = 3 x1 + 2x2 + x3 = 1 b) kx1 − kx3 = −2 3x + kx = k 1 2
x1 + 2x2 + x3 = 2 Ejercicio 26. Dado el sistema x1 + 3x2 = 1 determinar si existe k ∈ R 3x + 7x + kx = k + 3 1 2 3 para que tenga infinitas soluciones.
Ejercicio 27. Determinar, en cada caso, los valores de k ∈ R para los cuales el sistema no tiene solución, tiene solución única o tiene infinitas soluciones:
