Matematica Tercero

Tercero - Matemática
CUADRILÁTEROS I
DEFINICIÓN 2. Suma de ángulos exteriores

Es aquella figura geométrica cerrada que tiene 4
lados.
z
FORMA
 Convexo : y x + y + z + w = 360º
Cuando sus ángulos interiores son menores

de 180º. w
x
C
3. CASO ESPECIAL
B 
 
C

B aº
aº

  x x =
A   D
bº

180º bº
D
A
 No Convexo :
RECORDANDO
Cuando uno de los ángulos interiores mide
más de 180º.
 Boumerang
B

x = 


 x
D
A  > 180
C  Pescadito
NOTACIÓN : ABCD

PROPIEDADES

1. Suma de Ángulos Internos  
 = 360º
 

 Especial
 
 
x + y = 
x y
I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

PROF. LUIS ALVAREZ
6. Calcular “x”
x
a) 80
1. Calcular “x”. b) 100 130º
150º
x c) 120
a) 120
120 d) 160
b) 110
e) 150 x
c) 112
d) 118 80 7. Calcular “x”
40
e) 115 

a) 50 
2. Calcular “x”. b) 60  x
c) 40
a) 30 120
153 d) 35
b) 54 60º 40º
e) 45
c) 42
d) 12 8. Calcular “x”
x12 45
e) 24

a) 96  
3. Calcular “x”. b) 52 x 
c) 62
a) 18 5x
8x d) 42
b) 36
e) 56 112º
c) 20 124º
d) 54 4x 9. Calcular “x”
3x
e) 9
b
a) 80 c
b
x
4. Calcular “x”. b) 100 c

x
c) 40
2x
80º
a) 50
d) 50 a d
b) 30
e) 90 a d
c) 45
d) 60 10. Calcular “x”
x
e) 80
x
a) 36
5. Calcular “x” 80º b) 72 2x
c) 45 x
a) 40 x
d) 60  
b) 80  
e) 30
c) 160
d) 140 120º x
e) 20

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CUADRILÁTERO II
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
Ejemplo:
TRAPEZOIDE
 Si ABCD es un trapecios. AB // CD
.....................................................
C
.....................................................
B x Sol.:
130
..................................................... 
B A
CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS
A D
 Trapecio Escaleno:
* CASO ESPECIAL
B C
AB  CD
A D
 Trapecio Isósceles
Trapecio Simétrico B C
TRAPECIO
AB = CD
.....................................................
.....................................................
A D
B C
 Trapecio Rectángulo
B C
N
BC // AD
M
BC
A D AB
Elementos: A D
 BC : Base Menor
 AD : Base Mayor
 MN : Base Media ó Mediana 1. Calcular “x” ; BC // AD.
B C
a) 110
Si: BC // AD b) 55 2x
B C c) 50
 d) 80
 e) 120 70º
= 180º A D

A  D

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2. Calcular “x”; si ABCD es un trapecio

B 8. Calcular “x”; BC // AD
A
a) 127 B C
x
b) 143 a) 90 

c) 53 b) 120
d) 37 c) 45 x
e) 120 37º d) 60 
C
D
e) 150 
A D
3. Calcular “x”; BC // AD.
B C
9. Calcular “x”; si AB // CD
a) 130 x B
4 C
b) 50 a) 28
c) 65 b) 32
20
d) 25 130 c) 30
e) 100 D d) 34 37º
A 45º
e) 26 A D
x
4. Si ABCD es un trapecio isósceles (BC//AD).
Calcular “x”. 10. Calcular “x” ; BC // AD
B C
8 C
B
a) 30 a) 26
b) 20 b) 18
15
c) 15 c) 20
d) 40 x + 50 d) 22 53º
80
e) 50 A D e) 30 D
A
x
5. Calcular “x” ; BC // AD.
11. Calcular “x”; BC // AD
B C
a) 36
3x 120 a) 4 B C
b) 72
b) 5
c) 40
c) 6
d) 60
e) 18 A
2x
D d) 4 √3 A
30º 45º
e) 4 √2 x 4
6. Calcular “x”
6
12. Calcular “x” ; BC // AD
a) 12
b) 14 B C
10 a) 18
c) 10 8a
b) 9
d) 11
c) 27
e) 13 37º
d) 36
x e) 45 2a a
7. Calcular “x”. A D
5
a) 5
b) 6
c) 7 x
d) 8
e) 4 45
12

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TRAPECIO  PROPIEDADES
Ejemplos:
PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA  Calcular “x”

En todo trapecio la base media o mediana es igual a la
semisuma de las bases. 5
B a C
x=
a+b
x x
2
b
9
A D
 Calcular “x”
Ejemplos: 2
 Calcular la mediana del trapecio.

6
x
3
16
NOTA
 Calcular “x” En todo trapecio se cumple:

x
m=n
10 m n
16
Ejemplo:
PROPIEDAD DEL SEGMENTO QUE UNE Calcular “x”

LOS PUNTOS MEDIOS DE LAS
DIAGONALES
En todo trapecio dicho segmento es igual a la
x+3 7
semidiferencia de las bases.
x=
M N b−a
2

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1. Calcular “x”
16
6. Las bases de un trapecio miden x + 1 y 2x + 7; si la
a) 36
mediana es 7. Calcular “x”
b) 18
x
c) 9
d) 4 a) 1 b) 2 c) 3
e) 2
20
d) 4 e) 5
7. Calcular “x”
2. Calcular “x”
6
a) 11
a) 16
b) 5,5 x 2
b) 14 5 7
c) 6,5
c) 18 4
d) 5
d) 20
e) 9
e) 15 x
8. Calcular “x”
3. Calcular “x” 6

a) 5 
a) 8 x
b) 4 8
b) 16
X+3 c) 3
c) 4 x
5 d) 2
d) 2
e) 1
e) 1 12
9. Calcular la mediana del trapecio AMNC

4. Calcular “x”
a+5 B
a) 8
a) 22
b) 9
b) 11 x c) 6 M N
c) 11 + 2a
d) 10
d) 12
17  a
e) 7
e) 6 A C
12
5. Calcular “x”
b 10. Calcular la mediana del trapecio.

a) 12
a) 11
b) 6
b) 22
c) 3 x 3
c) 5,5
d) 24 
d) 10
e) 18 b + 12
e) 5
1
6

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2. Rombo: Es aquel romboide que tiene los

cuatro lados iguales, y las diagonales son
perpendiculares.
CUADRILÁTEROS  PARALELOGRAMOS
DEFINICIÓN B
Es aquel cuadrilátero que tiene sus lados opuestos
paralelos e iguales.
A C AB BD
B C
Ejemplo:
A D Calcular : a + b
¿ ¿ ¿ ¿ a 5
Si: AB // CD A =C ∧ B =D 4
b
¿ ¿
BC // AD A +B= 180
3. Rectángulo: Es aquel romboide que tiene sus

CLASIFICACIÓN ángulos igual a 90º y las diagonales son
1. Romboide: Es aquel paralelogramo cuyas iguales.
diagonales se cortan en su punto medio.
B C
B c
M
M
D
A
A D AM = MC
AM = BM = CM DM
AC = BD
Ejemplo
Calcular: y  x, si es romboide. Ejemplo:

Calcular “x”
y x+2
x
4
6
20
40 x
x= x=

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4. Cuadrado: Es aquel romboide que tiene sus

lados y ángulos de igual medida.
B C
3. Calcular “x”; si ABCD es un rombo
B
O a) 24
24
b) 48
x
c) 76 A C
45º
A D d) 66
e) 12
Ejemplo: D
Calcular “x”, si BD = 6 4. Calcular el perímetro del rombo ABCD.

B
B C
a) 68
b) 92 15
c) 34 A C
8
d) 46
A D e) 17
x
D
5. Calcular “x”
a) 100
b) 50
1. Calcular “x”; si ABCD es romboide. c) 25 100
x
B C d) 40
2x e) 80
a) 18
b) 72
6. Calcular OC.
c) 36 C
B
36
d)9 A D a) 15
e) 108
b) 16 9
c) 75 O
2. Calcular “x”; si ABCD es romboide. d) 8

A D
B C
e) 4 12
a) 11
7. Calcular m∢PDB, si ABCD es un cuadrado.
b) 12 17
c) 22
a) 45
2x5 B C
d) 6 P
b) 60 53º
e) 24 A D c) 75
d) 82
A D
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e) 90 E
 Diagonales: AC ,CE,...
POLIGONOS (1ra. Parte)
¿QUÉ ES UN POLÍGONO? CLASIFICACIÓN

Es una figura geométrica cerrada, que se forma al
 Por la región que limitan
unir consecutivamente tres o más puntos no
colineales.
 Polígono Convexo: cuyos ángulos interiores
B C son menores de 180º.
D
C
E
A D
B
F
F E A
G
ELEMENTOS
 Polígono No convexo: cuando uno o más
 Vértices: A, B, C, D, E, F ángulos son mayores de 180º.
 Lados : AB, BC,CD,.....,FA D

B
NOTACIÓN F
Polígono ABCDEF
C
E
A
ÁNGULOS DETERMINADOS
 Por la medida de sus elementos
B Z
C
y    Polígono Equiángulo: Cuando los ángulos
  interiores y exteriores son de la misma
medida.
W
A   x
 

x x

 V


x
 Ángulos interiores: , , , , 
 Ángulos exteriores: x, y, z, w, v x 
LÍNEA ASOCIADA
 Polígono Equilátero: Cuando los lados tienen
B igual longitud.
C
B
D A C
Q S
A
R

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D P T
Convexo Concavo Si = 180 (n - 2)
n = numero de lados
 Polígono Regular: Cuando los ángulos y lados

tienen la misma medida.
Ejemplo:
C
Calcular la suma de ángulos internos de un octógono.

B   D Sol:
O
Octógeno tiene 8 lados  n = 8.

 
Luego:
A E
Si = 180 (n - 2)
Donde: “O” es el centro del polígono. = 180 (8 - 2)
= 180 x 6
NOTA: Si = 1080º
Solo los polígonos que son regulares tienen

ángulo central.  Suma de medidas de los ángulos exteriores
(Se)
Ángulo central: ∡ AOB
Se = 360º Para Convexo
OA = OB
 Medida de un ángulo interior en polígonos

NOMENCLATURA POR LA CANTIDAD
DE LADOS equiángulos (∡i)
 Polígono de 3 lados: ___________________
 Polígono de 4 lados: ___________________ ∡i = 180 (n - 2)

n
n = numero de lados
 Polígono de 6 lados: ___________________ Ejemplo:
Si el polígono es equiángulo, calcular “”
 Polígono de 9 lados: ___________________ Sol:

180 (n−2)
= n
 Polígono de 12 lados: ___________________ 


 Medida de un ángulo exterior en polígonos
equiángulos (∡e)
PROPIEDADES
∡e = 360
 Relación de lados, vértices, ángulo n
NOTA:
Nº vértices = Nº lados = Nº ángulos = n

Solo en polígono regular
Ángulo central = ángulo exterior
 Suma de medidas de los ángulos interiores
(Si)
Para Convexo
y Concavo
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∡c =∡e
d) Heptágono
e) Nanágono
Ejemplo: 5. Si tiene un hexágono equiángulo, el ángulo exterior

Si el polígono es regular, calcular “” mide:
Sol.: a) 120 b) 60 c) 90
d) 45 e) 75
6. Calcular el ángulo externo de un polígono regular:
a) 90 b) 120 c) 132
d) 108 e) 135
 Suma de un ángulo interior y un ángulo

exterior 7. Calcular la suma de ángulos interiores de un polígono
de 8 vértices:
∡e
a) 1080 b) 900 c) 1260
∡i d) 1440 e) 720
∡i + ∡e =
8. Si el ángulo interior es el quíntuple del ángulo
180º exterior de un polígono regular. ¿Cuánto mide la
diferencia de los ángulos?
a) 120 b) 30 c) 60
d) 150 e) 90
9. En un polígono regular de 9 vértices. ¿Cuánto mide

uno de sus ángulos externos?
a) 50 b) 60 c) 20
d) 40 e) 30
1. La suma de los ángulos interiores de un
dodecágono es:
10. Calcular “”; si el polígono es equiángulo:
a) 1900 b) 1800 c) 1950
a) 135
d) 1960 e) 2000
b) 45
2. La suma de los ángulos exteriores de un dodecágono c) 120 
es: d) 90
e) 108
a) 270 b) 360 c) 230
d) 200 e) 300
3. Si un ángulo interior es 108º ¿Cuánto mide el ángulo

exterior del polígono?
a) 72 b) 108 c) 180
d) 36 e) 18
4. ¿Cómo se llama el polígono cuya suma de ángulos

interiores es 720?
a) Pentágono
b) Hexágono
c) Octógono

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 Punto de tangencia : “R”
INTRODUCCIÓN
MEDIA ANGULAR DE UNA
El hombre en su interacción con la naturaleza,
CIRCUNFERENCIA
descubrió la rueda.
Los egipcios apoyados en sus terrenos eran
Circunferenci Semi
llanos, desplazaban las rocas para sus construcciones Cuadrante
a Circunferencia
usando tronco de árboles mediante la rodadura. La
rueda en la actualidad sabemos que es un objeto muy
importante para el transporte terrestre. De ahí la
importancia del estudio de la circunferencia cuyas
propiedades servirá para estudiar otras figuras.
DEFINICIÓN
360º 180º 90º
Es una figura curva cerrada que tiene un centro
que equidista de cada extremo de ella (igual distancia).
LONGITUD DE UNA
R CIRCUNFERENCIA
R
R O
R LC = 2R
R
Elementos :  = 3.1416
O
 Centro : “O”
  22/7
 Radio : “r”
Ejemplo :
LINEAS ASOCIADAS A LA
Si la radio mide 14 cm. Calcular la longitud de la
CIRCUNFERENCIA
circunferencia ( = 22/7)
M Q
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
A L1
P N
TEOREMA 1
Todo radio que llega al punto de tangencia es
perpendicular con la recta tangente.
O R
L1
B
L2 P Si : L1 es tangente
O
 Cuerda : MN
o
 Diámetro : AB
 Arco : MN OP L1
 Flecha ó sagita : PQ
Ejemplo : Calcular “X”
 Recta tangente : L1
 Recta secante : L2
x

PROF. LUIS ALVAREZ 70
x =
TEOREMA 2 Ejemplos : Calcular “x”

Si se trazan dos rectas tangentes de un punto
exterior a la misma circunferencia, los segmentos
A
que se determinan tienen la misma medida.
4 4
x 0
x
A O O
B
P
TEOREMA 4
Dos cuerdas paralelas determinan arcos de igual
B medida angular.
Si : A y B son puntos de tangencia AP = BP A B

También se cumple : Si : AB//MN
AM  BN
A
M N
P
O
Ejemplos : Calcular “x” ; AB//CD
B A
60 A B
º B 4
Ejemplos : Calcular “x” C
C0 D
2x O
2x D
x
20
CASOS ESPECIALES
24
A
TEOREMA 3 B
Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca a

dicha cuerda.
D C
M AB = CD
Si : AB MN
B
PM = PN A
P C
BM = BN
N
A
D B

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AB = CD Si “P” punto de tangencia :
d2 = R2 + r2
POSICIÓN RELATIVA DE DOS

CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES EXTERIORES
1. Calcular : “x”
R r r
O1 O2
x 3
d O 1
d = R + r
TANGENTES INTERIORES 2. Calcular : “x” 7
R
r
x
O1 O2
d 3
3. Calcular “x”, AB // CD
d = R – r 6
0
A B
CONCÉNTRICAS
7
0
r C D
O x
R
x
ORTOGONALES
O
4
P 0
5. Calcular “OP”, si AB = 8 y r = 5
O2
O1
A
r
d O P
I.E.P. PIONEER’ COLLEGE B

PROF. LUIS ALVAREZ
En todo triángulo rectángulo se cumple que la

suma de los catetos es igual a la hipotenusa más dos
veces el inradio.
Veamos ahora las aportaciones de Poncelet,

Pitot y Steiner a este capítulo.
CONCEPTOS PREVIOS
FIGURA INSCRITA A UNA B

CIRCUNFERENCIA
Es cuando los vértices de la figura coinciden con la

circunferencia. c a
r
a + c = b + 2r
A C
Ejemplo : Calcular “x”b
Triángulo Cuadrilátero
Inscrito Inscrito
8 15
x O
TEOREMA DE PITOT
17
En todo cuadrilátero circunscrito a una
Polígono circunferencia, se cumple que la suma de los lados
Inscrito opuestos son iguales.
b
FIGURA CIRCUNSCRITA A UNA B C
CIRCUNFERENCIA
a c
Es cuando todos los lados son tangentes a la
circunferencia.
r : inradio
A D
d
r a + c = b + d
r
Ejemplo : Calcular “x”
B C
Triángulo Cuadrilátero
Circunscrito Circunscrito
7 9
TEOREMA DE PONCELET
A D
x

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TEOREMA DE STEINER 3. Calcular AD, si AB = CD + 6 y BC = 5
a) 11
b) 12 B
c) 13
B C
b d) 14
a e) 15 A
C D
c
A 4. Calcular : “AB + BC”
D d
A
a - c = d - b
a) 20
Ejemplo : Calcular “x” b) 18 1
c) 21 5
O 3
d) 12
e) 9
B C
5 9 5. Calcular : “r”
4 7
x
a) 9
b) 4,5 8
r
c) 4
d) 5
e) 5,5 1
0
6. Calcular el perímetro del  ABC

B
a) 14 a) 24
b) 10 b) 26
c) 2 c) 28
d) 4 d) 30 2
e) 3 e) 32
6 C
8 A 1
2. x
Calcular el perímetro de ABCD
7. Calcular : “x” 2
a) 22 3x - 2
b) 24 a) 6
c) 26 5x - 3 b) 5
d) 28 2x + c) 4
e) 30 1 d) 3 9
e) 2
3x + 2
15
PROF. LUIS ALVAREZ
ÁNGULO SEMI INSCRITO

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Es el ángulo formado por una cuerda y una
recta tangente.
ÁNGULO CENTRAL
A
 : ∡ semi inscrito
Es el ángulo formado por 2 radios.
AC
A  = 2
 : ∡ central
O B L1
 = AB
B
Ejemplos : Calcular “x”
20
0º
x
x
x x 70
40º 50
ÁNGULO INTERIOR
Es el ángulo formado por la intersección de

ÁNGULO INSCRITO dos cuerdas por la intersección de dos cuerdas
en un punto interior de la circunferencia.
Es el ángulo formado por dos cuerdas cuyo
vértice es un punto de la circunferencia. x : ∡ interior
x
α+β
A x = 2
 : ∡ inscrito
B
AC
 = 2 x
C
x 40
80
10
0
ÁNGULO EXTERIOR
80º
50
x
PROF. LUISxALVAREZ
En el ángulo formado por dos rectas secantes,

intersectadas fuera de la circunferencia.
ARCO CAPAZ
x
AB : arco capaz
==
x : ∡ exterior A B
Ejemplo : Calcular “x + y”
α− β
x = 2 x y
A B x+y=
x O
Ejemplos : Calcular “x” CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
Es cuando una circunferencia pasa por sus cuatro

x 80 vértices.
40
x Para que sea inscriptible se tiene que cumplir algunas
16 20 de las siguientes condiciones:
0
CONDICIÓN 1
CASOS ESPECIALES
B
Si :
PARA ÁNGULOS EXTERIORES C
 +  = 180
A D
ABCD es inscriptible
 +  = 180º
CONDICIÓN 2
C
B Si :
 +  = 90º
 = 
A D
O
11 xCOLLEGE
I.E.P. PIONEER’ x
0
e) 35/2
CONDICIÓN 3
x
B
3
C Si : a) 132 2
b) 122 O
 =  c) 112
A D d) 58
e) 29
Ejemplo : Marca los cuadriláteros inscriptibles x 80
a) 56
b) 62
c) 63
d) 64 32
e) 58
5. Calcular “x”; AB = BC
x B
a) 50 25
A C
b) 25
c) 100
d) 75
e) 60
x
a) 35 35
O
b) 70 x
c) 105 a) 48
d) 80 b) 58
66
e) 50 c) 38
º
d) 66
e) 114
70º 7. Calcular : “x”

a) 70
b) 35
c) 140 a) 32
d) 105 x b) 26
c) 36
32 x
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d) 13  n : Proyección de “a”
e) 16  h : Altura
INTRODUCCIÓN
Nos damos cuenta que en nuestro entorno
ciertos fenómenos están relacionados de alguna TEOREMA 1
manera; la temperatura influye el cambio de estados
del agua, en la sociedad todo cambio en lo político y El cuadrado de la longitud de un cateto es igual a su
económico está relacionado con los cambios sociales. proyección por la hipotenusa.
Es así, como en las figuras geométricas c2 = m . b a2 = n . b

estudiaremos las principales relaciones entre las
longitudes de las líneas que lo asocian a ellas.
PROYECCIÓN ORTOGONAL
P B N x
x
A 2 6
5 4
P A’ B’ M N TEOREMA 2
’ ’
El cuadrado de la altura es igual al producto de
 La proyección de P en P’
las proyecciones de los catetos.
 La proyección de AB es A 'B'
 La proyección de MN es MN ' h2 = m . n
RELACIONES MÉTRICAS EN Ejemplo : Calcular “x”

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Sol. :
x
B
2 8
a
c h TEOREMA 3
m n El producto de los catetos es igual al producto

A C
Elementos : H b de la hipotenusa y la altura.
 a y c : Catetos
a.c = b.h
 b : Hipotenusa
 m : Proyección de “c”

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Sol. :
a) 12
6 x 8 b) 15
c) 9
1 d) 6
0 e) 18
TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la 7
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados a) 12
de los catetos. 9
b) 3 √7
b 2 = a2 + c 2 c) √ 21
x
d) 9 √7
4 √7
e)
Sol. :
x 3. Calcular : “x”
9
1 a) 9 4
2 b) 5 x
c) 12
6
CASO PARTICULAR d) 8
e) 7
A x B
x=2 √R.r
r
R a) 36
b) 18
c) 12
Ejemplo : Calcular “x” x
d) 72
e) 24
Sol. : 2
8 1
7
5. Calcular : “x” 2
2
a) 24/25
x b) 84/25
x
c) 168/25
5
2
d) 24/175
4
2
e) 84/75
6. Calcular : “x” x
1. Calcular : “x” O
x
9

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2 8
a) 8 Al trazar desde un punto exterior a la

b) 6 circunferencia una recta tangente y una secante, se
c) 4 cumple que el cuadrado de la longitud del
d) 5 segmento de tangente es igual al producto de las
e) 7 longitudes del segmento secante y su parte
exterior.
TEOREMA DE LAS CUERDAS

Si dos cuerdas se cortan en un punto interior de b
una circunferencia se cumple que el producto de
a
los segmentos determinados son iguales.
P
d x
M
A a b B
x2 = a . b
c
Q a.b = c.d

x
x 4
9 4 Sol. :
5
1
2 Sol. :
CASO ESPECIAL
TEOREMA DE LA SECANTE
P Al trazar dos rectas secantes, desde un punto
exterior a una circunferencia, se cumple que el
x producto de las longitudes de los segmentos
A B secantes y su parte externa son iguales.
H
m n
x2 = m . n
n

a
b
x Sol. :
O
4 9 m.n = a.b
TEOREMA DE LA TANGENTE Ejemplo : Calcular “x”
3
I.E.P. PIONEER’ COLLEGE 5
Sol. : e) 4
6
1. Calcular : “x” a) 9 4
b) 5
2x c) 4
a) 4 x
1 d) 6
b) 16 6
6 e) 8
c) 8 3x
d) 2
e) 12 6. Calcular : “AB”
8
A B
2. Calcular : “x” a) 12
b) 6
O
c) 18 1
a) 15 1 8
d) 24
b) 12 6
e) 16
c) 9 9
d) 16
e) 20 x 7. Calcular “x”; MB = 8 , PM = 4 , OM = 5
P
3. Calcular : “x” a) 7 A x M B
x
b) √7
c) 8 O
a) 12 x
d) 14
b) 6 √2 8
e) 4
c) 12 √ 2 1
0
d) 8 √2 8. Calcular “r”; AP = 6 , PB = 4 , OP = 5
e) 10
a) 7 P
A B
b) 8
O
c) 9
4. Calcular : “x” r
d) 10
e) 6
a) 9
b) 8
1 9. Calcular : “x + y”
c) 6
2 O
d) 12
x 1
5
6
PROF. LUIS ALVAREZ 4 y
x
a) 6
b) 12 <> 12m2
c) 16 12m2
d) 8
e) 18
A = A
INTRODUCCIÓN OPERACIONES CON ÁREAS
El problema de la determinación de áreas de Si AT = Área del  ABC

regiones se remota a la antigüedad y surgió como
producto de la actividad práctica del hombre, como AT = A1 + A2 + A3
medir los terrenos de cultivo, de vivienda, etc.
B
REGIÓN POLIGONAL
Es la porción limitado por un polígono. A1 A2 A3
Cuadriláter A C
Triángul o Si AT = Área del ABCD
o
AT = A1 + A2 + A3
Región B C
Región
triangular A2
cuadrangular
A1 A3
ÁREA
A D
Medida de una región poligonal expresados en

unidades cuadradas.
ÁREA DEL CUADRADO
Es igual a su lado elevado al cuadrado.

45cm2
40m2
A = 40m2 A = 45 cm2
a A = a2
 Área de una región triangular es 40 m2.
 Área de una región cuadrangular es 45
cm2.
ÁREA DEL RECTÁNGULO
NOTA :
Es igual al producto del largo por su ancho.
Para abreviar el área de una región poligonal, se
dirá el área del polígono.
a A = a.b
ÁREAS EQUIVALENTES ( )
Dos regiones poligonales son equivalentes si la b

medida de sus áreas son iguales.

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ÁREA DEL ROMBOIDE TRIÁNGULO EQUILÁTERO
Es igual al producto de su base por la altura.

2
a a a √3
A = 4
h a
b Ejemplo : Calcular el área del triángulo.
A = b.h 42 √ 3
60 A = 4
4 4
ÁREA DEL TRIÁNGULO A =
FÓRMULA GENERAL
HERÓN
h h h A= √ P(P−a)(P−b)(P−c)
a b
Donde :
b b b
c
b. h a+b+c
2 P = 2
A =
Ejemplo : Calcular el área del triángulo

Ejemplos : Calcular el área del  ABC
B A B
Sol. :
5 5 6
6 2
4
A C 7
9 B 3 C A C
7
3
2
ÁREA DEL ROMBO
A = A = A =
a
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A ΔABC
A1 = 4
a. b
A = 2
Ejemplo : Calcular el área del rombo
CUADRILÁTEROS
5
4 A B
A = B
ÁREA DEL TRAPECIO
B
Es igual a la mediana por su altura. A A
C A2 = B . C
a
h B
A
a+b A=B
b
A=
( ) 2 .h
B
A
RELACIÓN DE ÁREAS
TRIÁNGULOS A=B
C
A B
C=A+B
A1 A2
A1 = A 2
1. Si las regiones poligonales son equivalentes.

Calcular “x”.
A1 A2
A1
a b a
A2 = b x 1
2
B 24
1
2
A1
I.E.P.
A PIONEER’ COLLEGE C
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2. Calcular el área del trapecio ABCD, si PBCD es MCM(A, B) = (x + 3)3(x - 2)5(x + 4)2(x + 1)2
un romboide de área 24 m2.
B C Ahora
A = (x - 2)3 (x + 3)5 (x - 5)
B = (x - 5) (x + 3)2 (x - 2)
A D
P
5 6
MCM(A, B) =
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

A = (x - 2)3 (x + 3)4 (x - 7)5
B = (x + 3)2 (x - 2) (x + 1)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) C = (x + 1)2 (x + 3) (x - 2)4
El Máximo Común Divisor de dos o mas expresiones

MCM(A, B, C) =
algebraicas es otra expresión algebraica conformada
por los factores primos comunes elevadas a los
PROPIEDADES
menores exponentes.
1. Dada dos expresiones algebraicas A y B el producto
Ejemplo de su MCD por su MCM es igual al producto de A x
A = (x + 3)3 (x - 2)2 (x + 4)5 B.
B = (x - 5)2 (x + 3)2 (x + 4)6
MCD x MCM = A x B
MCD(A, B) = (x + 3)2 (x + 4)5
Ahora EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A = (x - 2)3 (x + 3)2 (x - 1)
B = (x + 3)3 (x - 2)2
EN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES INDICAR EL
MCM Y MCD.
MCD(A, B) =
1.
a) P(x, y) = (x - 2)2(x - 1)4(x - y)
3 4 3
A = (x - y) (x + 2) (x - 1)
B = (x - y)2 (x - 1)2 (x + 3)5 Q(x, y) = (x + y)2(x - y)3(x - 1)3
C = (x - 1)3 (x + 2)3 (x + 5)2 b) M(x, y) = 4x3y4(x - 2)(x - 1)5
P(x, y) = 5x2y5(x - 2)3(x - 1)

MCD(A, B, C) =
2.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) a) M(x, y, z) = 4x2y5z6
El Mínimo Común Múltiplo de dos o más N(x, y, z) = 5x3y2z7

expresiones algebraicas es otra expresión algebraica
b) P(x, y, ) = 4x5y712
conformada por todos los factores primos y los
comunes se toman los mayores exponentes. Q(x, y, ) = 12x3y82
Ejemplo 3.
A = (x + 3)2 (x - 2)5 (x + 1)2 a) P(x, y) = (x - 1)4(x – 2)5(x - 3)2
B = (x + 3)3 (x + 4)2 (x - 2)2 Q(x, y) = (x + 1)2(x + 2)4(x + 3)5

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b) (a, b) = 14(a - b)2(a - 2)(a - 3) x +1

A= x +2
(a, b) = 7(a + b)2(a - 3)3(a - 2)
FRACCIONES ALGEBRAICAS
3. División.- Para dividir fracciones se multiplica los
A. FRACCIÓN ALGEBRAICA extremos y los medios.
Es aquella cuyo numerador y/o denominador esta

Así:
conformado por una Expresión Algebraica.
a
Ejemplo b ad
=
2 c bc
( x≠0)
x d
x+2
( x≠1) Ejemplo
x−1
x +2
3 x +2 x+ 4 (x +2 )( x+1 )
( x≠−3 ) A= =
x +3 x +3 ( x+ 3)( x +4 )
x +1
5 x +1 1
(x ≠ )
3 x−1 3
x 2 +3 x +2
A=
x 2 +7 x +12
B. OPERACIONES CON FRACCIONES
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Suma o Resta.- Para sumar o restar fracciones
algebraicas primero se saca el MCM de los
denominadores y se divide el MCM entre cada uno EFECTUAR:
de los denominadores y se obtiene los
numeradores, que se operan y se obtiene. 1.
1 1
+ =
Ejemplo a) x +1 x +2
1 1 x +2+x +3
+ 1 1
x +3 x +2 = ( x+2 )( x+3 ) − =
b) x−1 x +2
2 x+5
( x+2 )( x+3 ) 3 5
= + =
c) x + 4 x +2
2 x+ 5
2 2.
= x + 5 x +6
7 5
− =
2. Multiplicación.- Para multiplicar fracciones a) x−2 x +4
algebraicas se multiplican los denominadores y los
numeradores. 1 1
+ =
b) 4 x−5 2 x +3
Ejemplo
2
x +4 x+3 1 1
x +2 −
c) 7 x +2 3 x +5
A= x +3 • x 2 +4 x +4
( x+3 )( x+1) 3.
x +2
A= x +3 • ( x+2)( x+2)

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7 3 √3
+ = =5.3.
a) 2 x +1 3 x+1
√ 675=15 √ 3
5 7
− =
b) 2 x−3 3 x−1 Extrae un factor:
1. CONCEPTO  √ 80 =
Operación que consiste en obtener la base de la 3 3

operación de potenciación; teniendo como resto la  √x . 54 =
potencia y el exponente, por ejemplo:
 √ 150 =
exponent
e
b =P e  √8 =
base potencia d) Introducción de un Factor.- Es la operación

contraria a la extracción y se realiza elevando
índice
el factor al índice del radical:
e
√ P=b Ejemplo 1
radicando raíz
 2 √6=√ 22 . 6=√ 24
2. OBSERVACIONES
 2 √6=√ 24
a) Radicales.- Son aquellos que presentan parte
radical y un coeficiente. 3
3 3
coeficiente  3 √ 2= √33 2= √ 27 . 2
3 3
3 √5 3 √ 2= √54
parte radical
Introduce el factor en cada caso:
Se trata como términos algebraicos.
b) Radicales Semejantes.- Son aquellos que  5 √ 3=
presentan la misma parte radical.
3
 x √2=
Ejemplo:
3
 3 √2 ; 4 √2 ; −3 √ 2 ; −√ 2 ;  3 √ 3=
son semejantes.
3. OPERACIÓN CON RADICALES
a. Adición o Sustracción.- Se suman o restan los
c) Extracción de un Factor de un Radical .-
coeficientes de los radicales si y solo si son
Consiste en extraer un factor del radicando semejantes y se coloca el mismo radical si no
que aparece elevado al índice del radical. son semejantes se escribe tal como están.
Ejemplo 1 Ejemplo 1
 √ 12=√ 22 . 3= √22 . √ 3=2 √ 3  2 √27−5 √ 3+2 √12−√ 48

son semejantes.
entonces: √ 12=2 √3
Se extrae los factores:
Ejemplo 2
 2 √ 27=2 √ =2 √ √ = =
 √ 675=√ 52 . 3 2 . 3=√ 52 . √32 . √ 3
 2 √12=2 √ 22 .3=2 √ 22 . √3=2 . 2 √3=4 √3

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 √ 48=√ = √ . √ = √

( 14 √ 10) ( 4 √ 4)
3 3
Quedaría:
 6 √ 3−5 √ 3+4 √3−4 √3 ( 14 ) (4 ) √(10 )(4 )

3
3
√3 = √ 40
3 3
Operar:
= √2 .5
3
3 3 3 3 2 √5
1) 5 √16+ √ 54− √128+ 3 √ 2 =
Observa que sino tienen los mismos
índices se homogeniza.
Nota:
HOMOGENIZACIÓN
2) 15 √ 8−2 √ 50+√ 72−4 √2 n

Un radical √b p se puede escribir así:
nk
√b kp
O sea que se puede multiplicar por un
número al índice y al exponente y no se
3) 3 √ 80−√ 5+ √ 720−4 √ 320 altera.
Ejemplo 3
b. Multiplicación.- Para el caso de la multiplicación

solo se debe verificar que los índices sean 3
iguales. Si fuese así se multiplican los  (3 √ 5) (2 √ 2) =
coeficientes y luego las partes internas de los 3
radicales. (3)(2)( √ 5)( √ 2)
6 6
Ejemplo 1 = ( 6 ( √ 25) ( √ 8)
 (2 √8) (−3 √ 3) = 3 3. 2
se homogeniza: √5 = √ 52 =
(2)(−3) √(3) (8) 6
√25
−6 √ 24 3.2
=
√2 = √ 23 =
2
= −6 √ 2 . 6 6
√8
= −6 . 2 √ 6
6
(2 √8)(−3 √3) −12 √6 = 6 √(25) (8)
=
6
= 6 √ 200
Ejemplo 2
Multiplicar:

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3 3 3 Calcular:
 (4 √3) (−3 √5) (2 √ 9) = 4
1 1 1  √ √ √64 . √ 2√32=

(−18 √54 ) (
3
2 √
3
)(
2 3
3
√ 3)
=
3
(2 √3) (−3 √2) (5 √ 5)

3 6  √ √a m = 24 18
 =
4

3 4
(5 √3) ( √ 2) (3 √2)
12
=  √ √64 a16=
c. Potenciación.- La potencia afecta a la parte Ojo:
interna del radical.
x + x + x
n m n m m
( √ ab ) = √ a b
m n
Ejemplo
3 3
( √ 9)2= √ 92 = √ 81= √ 33 . 3=3 √3
3 3 3
√ √ √xa xb xc √ xa
mnpq
p q

= √ x exp onentes
Calcula:
3
 ( √ 18)2 =
Ejemplo
4 2
 ( √60 ) =
x + x + [(2 x 3) + 3]4 + 5
3
 ( √ 8a6 b3 )2=
2 3
√x √x 3 4
√ x5 =
2 .3.4
d. Radicación.- Cuando extraemos raíz a un = √ x 41
radical ocurre que los índices se multiplican 24
en una sola raíz. √ x 41
m n
√( √ a)=m . n√ a Completa:
Ejemplo 1
 √ x √ x √ x √ x=
3 14 3
2 2 3 3 4
 √ √2 =
6
√214 =  √x √x √x =
6 6
√2 . 2 6 . 22
6 6 6 6 4. RADICALES DOBLES
= √ 2 . √ 2 6 . √ 22 Cuando tenemos radicales de la forma
6
2 . 2 √ 22
=
√ A ± 2√B se puede reducir a dos radicales
3
= 4 √2 √x ± √ y
simples:
Como:
n nk
√b p= √ b pk √ A±2 √ B=√ x ±√ y
3 6 2
√ 2= √2 A=x+y
B=x.y

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Ejemplo
Ejemplo
x+y=6
 √ 6+2 √5=
3 √2 3 √2
. 3 √2
xxy
= 5= ;5y = 1 3 √2 √2
⏟ ⏟2
 √2 = F. R. = √ 22 = E.R
5+1=6
5
 √ 6+2 √5=√ 5+1 Observa que solo se tiene
 2 3√ x 3
que racionalizar a √x .
 √ 7−2 √ 12 = x+y=7
3
√ x2 3
x . yx==12
3 5 3 2 5 √ x2
√x
⏟ 3
y=4 2 3√ x . F.R. = 2 √ x3 =
= √ 4 − √3 (mayor - menor)
3
= 2−√ 3 5 √ x2
RACIONALIZACIÓN 2⏟x
E.R.
1. CONCEPTO 3
5 5 √ x2
3
=
2 √x 2x
Racionalizar es transformar el denominador
5
irracional de una fracción en un denominador 4 √ xyz Observa que solo se
racional, para esto se utiliza un factor 5 2 3 4
 3 √x y z racionaliza a
racionalizante. 5
√ x2 y3 z4 .
Numerador Factor Numerador
5 5 3 2
Racionalizant 4 √ xyz √
. 5
x y z
Denominador Denominador 5
e 3 √ x2 y3 z4 √ x3 y2 z
⏟
Irracional Irracional F .R. =
2. CASOS
5
4 √ x4 y3 z2
5
a) Racionalización de Monomio.- El factor 3 √ x 5 y 5 z5
racionalizante será aquel que trate de
sacar o eliminar la raíz. 5
4 √ x4 y3 z2
= 3 xyz
n n
N
. √ a n−1 = N √ an−1
n n n−1 a
√a √a Observación:
Factor Expresión Observa que el exponente de
2x
3
Racionalizante Racionalizada 
3
√ x7 √ x7 es mayor que el índice.
Por lo que vamos a buscar un F.R.
para que el exponente sea múltiplo
I.E.P. PIONEER’ COLLEGE del índice.
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3 3
24 √ x2 24 √ x 2 Ejemplo 2
3
. 3 2 3
√ x7 √x = √ x9
3
3  √7+ 2 Su F.R. de √7 + 2 es
24 √ x 2
x3
⏟ 3 ( √7−2 )
= E.R. .
= √7+2 ( √7−2 ) =
b) Racionalización de Binomio
1 Caso
3 ( √7−2 )
Cuando el binomio es de la forma ( √ 7)2 −22
a±√ b ó √ a±b .
3 ( √ 7−2 ) ( √ 7−2 )
Se utiliza diferencia de cuadrados. 3
= 7−4 = 3
(a + b) (a - b) = a2 – b2
3 √ 7−2
⏟
N a∓√ b N (a∓ √b ) √7+ 2 = E. R .
. = 2
a±√ b a∓√ b a −b
2 Caso
Factor Expresión
Racionalizante Racionalizada Cuando el denominador es √ a± √b
F.R. E.R. se utiliza diferencia de cuadrados.
Ejemplo 1
3
 2−√ 3 El F.R. de 2−√ 3 es
3 (2+ √ 3)
.
(2−√ 3 ) (2+
⏟ √ 3)
= F . R. =
Ejemplo:
3 (2+ √ 3) √3
22 −( √3 )2 √5−√ 2 El F.R. de √ 5−√ 2 es

√ 3 . ( √ 5+ √ 2)
3 (2+ √3 )
4−3 = √5−√ 2 ( √ 5+ √ 2) =
=
3 (2+ √3 ) √ 3 ( √ 5+ √ 2)
1
= ( √5)2 −( √ 2)2
3 6+3
⏟ √3 √3 ( √5+ √2 )
2−√ 3 = E. R.
5−2
=

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√15+ √6 x=2
√3 ⏟3
 √5−√ 2 = E. R. 2. MÉTODOS
El único método de solución es “despejar” la

incógnita y se debe utilizar los procedimientos
contrarios a los vistos. Así.
a)
Incógn Alg Tot
ita o al
Pasa a restar o
sumar
Incógn Tot Alg
ita al o
b)
Alg Incógn Tot
o ita al
Incógn Tot
ita al
Alg
o
ECUACIÓN DE 1ER GRADO

1. DEFINICIÓN 1. Resolver:
x+1 a+b+1
Es una igualdad relativa entre dos expresiones =
x−1 a+b−1
matemáticas donde se calcula el valor de la
incógnita en función de los demás y a este valor se Calcular: x2 – 2ab
le denomino solución (raíz) de la ecuación la cual
conforma el conjunción solución. Es de 1er grado
2. Resolver:
así se reduce a la forma ax + b = 0.
10 x+3 3 x −1
− =x−2
3 5
Ejemplo
x + 3 + 2(x - 1) = x + 5

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13 (-1)2 + 3(-1) + 2 = 0
Calcular: √
3
3
x
Se cumple
* Para x = -2
(-2)2 + 3(-2) + 2 = 0
3. Si la ecuación:
Se cumple
(m - 2)x + (2m + 1)x = m2 + 5m + 1
2
2. x2 + 4x – 5 = 0
Es de primer grado para la incógnita “x” * Para x = ________
calcular el valor de “x”.
Se cumple
4. Resolver: * Para x = ________
1 5 1 x
(8−x )+ x− = ( x +6 )−
6 3 2 3
Se cumple
2
Hallar: “x ”
Observación:
Si: a.b=0
5. Hallar “x” en:
a=0  b=0
x−a x−b x−c
+ + =3
b+ c a+ c a+ b
B. MÉTODO DE HALLAR LAS RAÍCES
1. Factorización.- Es el más recomendable y

adecuado, para poder resolver de esta manera se
debe tener el polinomio en su forma general ().
Tendremos los siguientes casos:
a) Forma: ax2 + c = 0
Para esta forma utilizaremos factorización por
diferencia de cuadrados y aplicamos la
observación.
Ejemplo
 x2 – 25 = 0
A. DEFINICIÓN (x2 - 52) = 0
(x - 5)(x + 5) = 0
Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la Por
forma general: Obs:
x–5=0  x+5=0
x=5  x = -5
ax2 + bx + c = 0…()  a  0
La ecuación de 2do Grado posee dos “raíces” que  2x2 – 8 = 0

cumplen con la ecuación. 2(x2 - 4) = 0
2(x2 – 22) = 0
Ejemplo (x + 2)(x - 2) = 0
1. x2 + 3x + 2 = 0 Por
Obs:
* Para x = -1 x+2=0  x-2=0

PROF. LUIS ALVAREZ
x = -2  x=2
b) Forma: ax2 + bx = 0 2. Despejando.- Es el menos recomendable “solo

Para esta forma utilizaremos factorización por se utiliza si no se puede factorizar”.
monomio común y aplicamos la observación.
Si: ax2 + bx + c = 0
Ejemplo
 x2 + 3x = 0  Llamaremos discriminante a:
x(x + 3) = 0
Por
Obs:  = b2 – 4ac
x=0  x+3=0
x=0  x = -3
Luego las raíces son:
 2x2 – 5x = 0
−b+ √ Δ
x 1=
x(2x - 5) = 0 2a
x = 0  2x - 5 = 0
−b−√ Δ
x = 0  2x = 5 x 2=
2a
x = 0  x = 5/2
c) Forma: ax2 + bx + c = 0
Para esta forma se factoriza por aspa simple.
RESOLVER:
Aplicamos la observación:
Ejemplo
1. Dar el conjunto solución de:
2
 x – 6x + 5 = 0 3x2 – 2x(x - 4) = x – 12
x -5
x -1 a) {3; 4} b) {3; -2} c) {2; 6}
(x - 5)(x - 1) = 0 d) {-3; -4} e) N.A.

Por
Obs: 2. Resolver:
x–5=0  x-1=0
(x + 4)2 = 2x(5x - 1) – 7(x - 2)
x=5  x=1
a) {2; 1/9} b) {1/9; -2} c) {-2;
-1/9}
d) {2; -1/9} e) N.A.
3. Si: a  b son raíces de la ecuación.

x +2 74
+ x=
x x
Además a < b. Calcular: a/b
a) -9/8 b) 8/9 c) -8/9
d) -1 e) N.A.

PROF. LUIS ALVAREZ
do
4. Si (-6) es una de las raíces de la ecuación: ECUACIÓN DE 2 GRADO
“NATURALEZA DE RAÍCES”
x2 + (n + 3)x + n + 2 = 0
Calcular la otra raíz aumentada en “n”.
a) 1 b) -1 c) 3 Si tenemos una ecuación de segundo grado:
d) 4 e) 5 ax2 + bx + c = 0
5. Una raíz de la ecuación:
y el discriminante:
2x2 + (4a - b)x – 2ab = 0
a) 2b b) 2a c) b/2  = b2 – 4ac
d) a/2 e) a + b Observemos que si:

 > 0 : Las raíces son reales y diferentes.
6. Si una raíz de la ecuación:
 = 0 : Las raíces son reales e iguales.
2x2 – 4x + c2 – 2c – 3 = 0
 < 0 : Las raíces son complejas y conjugadas.
es cero. Hallar: “c” (c < 0)
Esta es una forma de analizar las raíces de la
a) -2 b) -3 c) -1
ecuación.
d) -4 e) -10
Ejemplo
7. Hallar el valor de “k” en la ecuación:
(k - 1)x2 – 5x + 3k – 7 = 0  x2 + 4x – 5 = 0
x1 = 5 Raíces
= reales y
Para que una de sus raíces sea el recíproco de
= x2 = -1 diferentes.
la otra.
a) 1 b) 2 c) 3
 x2 + 6x + 9 = 0
d) 4 e) N.A. x1 = -3
 = 62 – 4(9)(1)
8. Si la ecuación: x2 – x – 6 = 0, tiene por raíces a =0 x2 = -3
x1 y x2 donde x1 > x2.
Indicar el valor de:

5 x1+ x32 .  x2 + 10x + 29 = 0
x1 = 5 + 2i
=
a) 15 b) 8 c) -7
= x2 = 5 – 2i
d) 7 e) 21
9. La suma de las edades de A y B es 23 años y TEOREMA DE CARDANO – F. VIETA

su producto 102. Hallar la edad de A si es el
Sean: x1; x2 las raíces de:
mayor:
ax2 + bx + c = 0 a0
a) 6 b) 17 c) 12
−b
d) 13 e) N.A. I. Suma de Raíces  S = x1 + x2 = a
c
II. Producto de Raíces  P = x1 . x2 = a

PROF. LUIS ALVAREZ
Ejemplo
 x2 + 4x – 5 = 0  {x1, x2}
S = x1 + x2 = -4
P = x1 . x2 = -5
 2x2 + 3x + 7 = 0  {x1, x2}

−3
S = x1 + x2 = 2
7
P = x1 . x2 = 2
 3x2 - 2x - 8 = 0  {x1, x2}

2
S = x1 + x2 = 3
−8
P = x1 . x2 = 3
1. Hallar la menor raíz de la ecuación:

(k - 2)x2 – (2k – 1)x + (k – 1) = 0
Siendo el discriminante igual a 25.
2. Hallar “a” si la ecuación:

(a + 4)x2 – 1 = (2a + 2)x - a
Presenta única solución.
3. Hallar el valor de “p” para que la ecuación:

(p + 1)x2 + (5p - 3)x + 2p + 3 = 0
tenga sus dos raíces iguales:
4. Calcular “m” en la ecuación:

(m + 1)x2 - (m + 8)x + 10 = 0
Para que la suma de raíces sea 9/2.

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Tercero - Matemática

DEFINICIÓN 2. Suma de ángulos exteriores

Cuando sus ángulos interiores son menores

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

4. Calcular “x”. b) 100 c

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

2. Calcular “x”; si ABCD es un trapecio

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA  Calcular “x”

 Calcular la mediana del trapecio.

 Calcular “x” En todo trapecio se cumple:

PROPIEDAD DEL SEGMENTO QUE UNE Calcular “x”

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

9. Calcular la mediana del trapecio AMNC

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

2. Rombo: Es aquel romboide que tiene los

3. Rectángulo: Es aquel romboide que tiene sus

Calcular: y  x, si es romboide. Ejemplo:

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

4. Cuadrado: Es aquel romboide que tiene sus

Calcular “x”, si BD = 6 4. Calcular el perímetro del rombo ABCD.

2. Calcular “x”; si ABCD es romboide. d) 8

¿QUÉ ES UN POLÍGONO? CLASIFICACIÓN

 Lados : AB, BC,CD,.....,FA D

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

 Polígono Regular: Cuando los ángulos y lados

Solo los polígonos que son regulares tienen

 Medida de un ángulo interior en polígonos

 Polígono de 4 lados: ___________________ ∡i = 180 (n - 2)

 Polígono de 9 lados: ___________________ Sol:

 Polígono de 12 lados: ___________________ 

 Polígono de 20 lados: ___________________

Nº vértices = Nº lados = Nº ángulos = n

Ejemplo: 5. Si tiene un hexágono equiángulo, el ángulo exterior

6. Calcular el ángulo externo de un polígono regular:

 Suma de un ángulo interior y un ángulo

9. En un polígono regular de 9 vértices. ¿Cuánto mide

3. Si un ángulo interior es 108º ¿Cuánto mide el ángulo

4. ¿Cómo se llama el polígono cuya suma de ángulos

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

 Punto de tangencia : “R”

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

TEOREMA 2 Ejemplos : Calcular “x”

Si : A y B son puntos de tangencia AP = BP A B

Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca a

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

AB = CD Si “P” punto de tangencia :

POSICIÓN RELATIVA DE DOS

TANGENTES INTERIORES 2. Calcular : “x” 7

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE B

En todo triángulo rectángulo se cumple que la

Veamos ahora las aportaciones de Poncelet,

FIGURA INSCRITA A UNA B

Es cuando los vértices de la figura coinciden con la

I.E.P. PIONEER’ COLLEGE

TEOREMA DE STEINER 3. Calcular AD, si AB = CD + 6 y BC = 5

6. Calcular el perímetro del  ABC

ÁNGULO SEMI INSCRITO