01 ClaseAstroEsferica PDF

Astronomı́a Esférica
Diapositivas de la Clase
Jean-Paul Picón Guerrero1
Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ingenierı́a
Ingenierı́a Catastral y Geodesia
26 de marzo de 2020
1
jppicong@udistrital.edu.co
1 Presentación de la Materia
Objetivo General
Calificaciones 2019-II
Bibliografı́a recomendada
2 INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
La Astronomı́a Esférica
3 TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Elementos Geométricos
Triángulo Esférico
Sistema Tierra
Coordenadas Geocéntricas
Triángulos Rectángulos Esféricos
Relaciones Fundamentales de los Triángulos Esféricos
4 LA ESFERA CELESTE Y LOS SISTEMAS DE COORDENADAS

La Bóveda Celeste
Observación del Cielo en Bogotá
Meridiano del Observador, Lı́nea Meridiana y Primer
Vertical
Vertical del Astro y Cı́rculo de Declinación
Coordenadas Horizontales
Coordenadas Ecuatoriales Horarias
La Eclı́ptica
Coordenadas Ecuatoriales Absolutas
Coordenadas Eclı́pticas
La Vı́a Láctea
Coordenadas Galácticas
5 EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
El Calendario
Los Dı́as de la Semana
El Dı́a
Conversión Entre Tiempos
Escalas de Tiempo
Husos Horarios
El Cálculo del Tiempo Sideral Local
La Ecuación del Tiempo
Sistemas de Tiempo
Tiempo Atómico
Tiempos Universales
6 ALGUNOS FENÓMENOS ASTRONÓMICOS

Cálculo de la Hora Oficial

Culminación Superior
Paso por el Cenit
Salida y Puesta
Astros Circumpolares
Máxima Disgresión de un Astro
Paso por el Primer Vertical
Cálculos para el Sol
Cálculo de las Coordenadas Astronómicas
7 CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
Refracción Astronómica
La Paralaje
Aberración Estelar
Movimiento de las Estrellas
Presentación de la Materia
Deflexión Gravitacional de la Luz

Precesión
Nutación
8 GEODESIA ASTRONÓMICA
Representación de la Tierra
Definición de Coordenadas
Transformación de Latitudes
Determinación Astronómica de las Coordenadas
Relación de las Coordenadas con las Unidades de
Medida
Objetivo General
1 Presentación de la Materia
Objetivo General
Objetivo General
Objetivo General
Contenido en el Syllabus
Orientar la formación integral del ingeniero catastral brindándole un marco

conceptual que permita al estudiante comprender los conceptos de sistema de
referencia celeste y terrestre, por medio del estudio y transformación de
distintos sistemas de coordenadas, el cálculo de fenómenos astronómicos, el
concepto del tiempo y algunos métodos de observación y determinación de
coordenadas astronómicas; todo orientado a referenciar puntos sobre la
superficie terrestre y a la construcción de una base cognitiva en el estudio de la
Geodesia.
Objetivo General
Contenidos
Temas a ver en el semestre
1 Trigonometrı́a Esférica
2 El planeta Tierra y la esfera celeste
3 Coordenadas Celestes
4 Bases de datos, software de simulación y catálogos de estrellas.
5 El tiempo en Astronomı́a
6 Cálculo de algunos fenómenos astronómicos
7 Geodesia Astronómica
8 Corrección a las coordenadas
9 Mecánica Celeste
Calificaciones
Segundo semestre del 2019
Primer Parcial 12 % Septiembre 09-14 (V)

Primer Corte Sábado 21 de Septiembre (VI)
Segundo Parcial 12 % Octubre 07-12 (IX)
Segundo Corte Sábado 26 de Octubre (XI)
Tercer Parcial 12 % Noviembre 04-09 (XIII)
Quices 12 % Por Definir
Prácticas 22 % Por Definir
Examen Final 30 % Miércoles 11 de Diciembre
Disponible en formato digital y fı́sico
Elementos de Astronomı́a y Posición, José Gregorio Portilla;

Universidad Nacional de Colombia.
Trigonometrı́a Plana y Esférica, Frank Ayres; Serie Shaum.
Notas y Apuntes de Trigonometrı́a Esférica y Astronomı́a
de Posición, M. Berrecoso, M. Ramı́rez, J Enrı́quez-Salamanca, A.
Pérez-Peña; Universidad de Cádiz.
Spherical Astronomy, Roben Green.
Astronomy: Principles and Practice, A. Roy, D. Clarke.
Problemas y Ejercicios Prácticos de Astronomı́a, B.A.
Vorontsov-Veliaminov.
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
2 INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
Arqueoastronomı́a
Astronomı́a Antigua
Astronomı́a Griega
Astronomı́a Clásica
Astronomı́a Moderna
Leyes de Kepler
Astronomı́a Cientı́fica
Astronomı́a en la Actualidad
Astronomı́a Geodésica
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
La Astronomı́a
(del Gr; astro-nomos : arreglo de estrellas)
Es la rama de la ciencia que estudia los cuerpos celestes, el espacio y el

universo como un todo.
Objetos Celestes: planetas, satélites, asteroides, estrellas, galaxias,

agujeros negros, etc.
Espacio: medio interestelar, sistemas planetarios, constelaciones, etc.
Ramas de la Astronomı́a
Astrogeologı́a: Composición planetaria.
Astrobiologı́a: Formas de vida.
Cosmologı́a: Origen y evolución del universo.
Astrofı́sica: Formación y evolución estelar.
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
Espectro Electromagnético
Magnitudes fı́sicas de las ondas electromagnéticas
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
Transmisión Atmosférica
Franjas de radiación que atraviesan la atmósfera
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
Espectro visible
Longitudes de onda percibidas por el ojo humano
INTRODUCCIÓN
La Astronomı́a
Calidad del cielo

Polución y contaminación lumı́nica, Escala Bortle
INTRODUCCIÓN
El objetivo del curso
Busca determinar la posición del observador en la superficie de la Tierra con

base en observaciones de estrellas.
Se ocupa de las direcciones en las que los cuerpos son observados sobre la
superficie de una esfera: La Bóveda Celeste.
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
3 TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Medida de ángulos
Ángulo Diedro
Ángulo Triedro
Cı́rculos
Ángulo Esférico
Triángulo Esférico Polar
Sistema Tierra
Latitud Geocéntrica φ
Longitud Geocéntrica λ
Declinación Magnética δ
Medición de Eratóstenes
Reglas de Neper
Relaciones Fundamentales de los Triángulos Esféricos
Ley del Seno
Ley del Coseno para los lados
Ley del Coseno para los ángulos
Ley del Seno por el Coseno
Fórmulas para el ángulo mitad
Fórmulas para el semilado
Analogı́as de Gauss-Delambre
Analogı́as de Neper
Trigonometrı́a Esférica
(del Gr; trigonon-metres : medida de triángulos)
(del Gr; sphaira : Bola)
Medida de ángulos
(del Lat; angulus : esquina)
Radianes: Grados: Horas:

0 ≤ θ < 2π 0˚≤ θ < 360˚ 0h ≤ θ < 24h
s = rθ π = P/D
Sistema Sexagesimal
Transformaciones de unidades
2π = 360˚= 24h
1 h
= 60 m
= 3600 s
π = 180˚ 15˚= 1h
1m = 60s π = 12h
0
1˚ = 60 = 3600”
0
1 = 60”
Sistemas decimal y sexagesimal

Transformaciones
Example (Decimal a Sexagesimal Lvl. 1)
9, 5h = 9h + 0, 5h
60m

= 9h + 0, 5h × h
1
= 9h + 30m
9, 5h = 9h 30m 00s
Example (Sexagesimal a Decimal)
15h 36m 45s = 15h + 36m + 45s

1h 1h

h m s
= 15 + 36 × m + 45 ×
60 3600s
= 15h + 0, 6h + 0, 0125h
15h 36m 45s = 15, 6125h
Sistemas decimal y sexagesimal

Transformaciones
Example (Decimal a Sexagesimal Lvl. 2)
3, 254651h = 3h + 0, 254651h
60m

= 3h + 0, 254651h × h
1
= 3h + 15, 27906m
= 3h + 15m + 0, 27906m
60s

= 3h + 15m + 0, 27906m ×
1m

= 3h + 15m + 16, 7436s
h
3, 254651 = 3h 15m 16, 7436s
Ángulo Diedro
(del Gr; Di-hedra : dos caras)
Ángulo Triedro
(del Gr; Tri-hedra : tres caras)
Cı́rculo Máximo
(del Lat; circulus : anillo pequeúo)
(del latin; magnus : grande)
Cı́rculos Menores
(del Lat; minimus : menor)
Ángulo Esférico
Tres formas de medirlo
Ángulo triedro con vértice en el centro de una esfera
Propiedades:
i) c < a + b
ii) A = B ⇔ a = b
A>B⇔a>b
iii) a + b + c < 360˚
iv) 180˚< A + B + C < 540˚
Triángulo Esférico Polar

Suplementario a un triángulo esférico
a = 180˚− A0 a0 = 180˚− A
Sistema Tierra
Sistema Tierra
Geometrı́a aplicada al planeta Tierra
Latitud y Longitud sobre una planeta esférico
Latitud Geocéntrica φ Longitud Geocéntrica λ
−90 ≤φ≤ 90 −180 ≤λ≤ 180

90 S ≤φ≤ 90 N 180 W ≤λ≤ 180 E
Dirección en la que apunta la brújula
Posibles sentidos de la declinación magnética
Figura: Declinación magnética δ al oriente, nula, o al occidente

Medición de Eratóstenes
Cálculo realizado en el siglo II AC
Triángulo Rectángulo Esférico

Es un triángulo esférico... rectángulo!
4BDE ⊥ AO
(
D = 90˚
4OBD
O=a
(
E = 90˚
4ODE
O=b
(
E = 90˚
4OBE
O=c
(
D = 90˚
4BDE
E =A
Relaciones para Triángulos Rectángulos

10 Fórmulas
DB DB EB
sen a = = · = sen A sen c
OB EB OB
DB DB ED
tan a = = · = tan A sen b
OD ED OD
OE OE OD
cos c = = · = cos b cos a
OB OD OB
ED ED EB
tan b = = · = cos A tan c
OE EB OE
tan a = cos B tan c

cos A = sen B cos a
sen b = sen B sen c
tan b = tan B sen a
cos c = cot A cot B
cos B = sen A cos b
Método de Neper
Torta de Neper
co-β = 90˚− β
Se escoge una de las cinco

partes: Parte Media.
Elementos junto a la parte
media: Partes Adyacentes.
Demás elementos: Partes
Opuestas.
Método de Neper
Reglas de Neper
Reglas de Neper
i El seno de la parte media es
el producto de las tangentes
de las partes adyacentes.
ii El seno de la parte media es
el producto de los cosenos
de las partes opuestas.
Funciones Trigonométricas para la diferencia
Seno:
sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β
sen(90 − β) = 1 · cos β −
0 ·
sen
β sen(90 − β) = cos β
Coseno:
cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β
cos(90 − β) =
0 ·
cos
β + 1 · sen β cos(90 − β) = sen β
Tangente:
sen(90 − α) cos α 1
tan(90 − α) = = = cot α =
cos(90 − α) sen α tan α
Ejercicio
Utilizando las memorias de la calculadora
Relaciones Fundamentales de los Triángulos

Esféricos
Aplican en cualquier triángulo esférico
Teorema del Seno:

sen a sen b sen c
= =
sen A sen B sen C
Teorema del Coseno para los lados:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A

cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B
Relaciones Fundamentales de los Triángulos

Esféricos
Aplican en cualquier triángulo esférico
Teorema del Coseno para los ángulos:
cos A = − cos B cos C + sen B sen C cos a

cos B = − cos A cos C + sen A sen C cos b
Teorema del SenoCoseno:
sen a cos B = cos b sen c − sen b cos c cos A

sen a cos C = cos c sen b − sen c cos b cos A
sen b cos A = cos a sen c − sen a cos c cos B
sen c cos B = cos b sen a − sen b cos a cos C
Descomposición en dos Triángulos Rectángulos

Demostración usando las reglas de Neper
sen h = sen a sen B sen h = sen b sen A

h = h
sen h = sen h
sen a sen B = sen b sen A
sen a sen b
=
sen A sen B
sen a sen b sen c
= =
sen A sen B sen C

cos a = cos h cos (c − m)

tan h cos a = cos h cos (m − c)
sen m =
tan A
sen h = sen b sen A
cos b = cos h cos m

cos a = cos h cos (c − m) = cos h cos (m − c)

cos a = cos h (cos c cos m + sen c sen m)

cos b tan h
cos a = cos h cos c + sen c
cos h tan A
cos
h cos c cos b cosh sen c sen h
cos a = +
cosh
tan A cos
h
1
cos a = cos c cos b + sen c sen h
tan A
cos A
cos a = cos c cos b + sen c sen b sen
A
sen
A


cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B

sen c sen a cos B = cos b − cos c cos a
sen c sen a cos B = cos b − cos c (cos b cos c + sen b sen c cos A)
sen c sen a cos B = cos b − cos b cos2 c − sen b sen c cos c cos A

sen c sen a cos B = cos b 1 − cos2 c − sen b sen c cos c cos A
sen
c sen a cos B sen2 c cos b sen b
senc cos c cos A
= −
sen
c sen
c sen
c
sen a cos B = cos b sen c − sen b cos c cos A

Proyección a un plano
Con el plano tangente al vértice A
OA ⊥ AD OA ⊥ AE [
∠BAC = A = DAE
4OAD A = 90˚ 4OAE A = 90˚
[
AOE = [ =b
AOC
[
AOD = [ =c
AOB AE = OA tan b
AD = OA tan c OE = OA sec b
OD = OA sec c
4DAE
DE 2 = AD 2 + AE 2 − 2 · AD · AE cos DAE
[

DE 2 = 2 2 2
OA tan c + tan b − 2 tan b tan c cos A
4DOE
DE 2 = OD 2 + OE 2 − 2 · OD · OE cos DOE
[

DE 2 = 2 2 2
OA sec c + sec b − 2 sec b sec c cos a
sec2 c + sec2 b − 2 sec b sec c cos a = tan2 c + tan2 b − 2 tan b tan c cos A
sec2 α = 1 + tan2 α
sen b sen c cos A = cos a − cos b cos c
sen2 b sen2 c cos2 A = cos2 a − 2 cos a cos b cos c
+ cos2 b cos2 c
sen2 b sen2 c cos2 A = sen2 b sen2 c − sen2 b sen2 c sen2 A
= 1 − cos2 b − cos2 c + cos2 b cos2 c
− sen2 b sen2 c sen2 A
2 2 2
sen b sen c sen A = 1 − cos2 a − cos2 b − cos2 c
+2 cos a cos b cos c
X 2 sen2 a sen2 b sen2 c = 1 − cos2 a − cos2 b − cos2 c
+2 cos a cos b cos c
2 sen2 A
X =
sen2 a
Rotación del Sistema de Coordenadas

Alrededor del eje x
Figura: Representación de un punto en dos sistemas rotados entre si.[?]
x = cos ψ cos θ x 0 = cos ψ 0 cos θ0

y = sen ψ cos θ y 0 = sen ψ 0 cos θ0
z = sen θ z 0 = sen θ0
x0 = x
0
y = y cos χ + z sen χ
z0 = −y sen χ + z cos χ
cos ψ 0 cos θ0 = cos ψ cos θ

0 0
sen ψ cos θ = sen ψ cos θ cos χ + sen θ sen χ
sen θ0 = − sen ψ cos θ sen χ + sen θ cos χ
Figura: Construcción del triángulo cos(90˚− B) cos(90˚− a) = cos(A − 90˚)

Esférico.[?] sen(90˚− B) cos(90˚− a) = sen(A − 90˚)
+ sen(90˚− b
sen(90˚− a) = − sen(A − 90
ψ = A − 90˚ + sen(90˚− b
θ = 90˚− b
ψ0 = 90˚− B sen B sen a = sen A sen b
θ0 = 90˚− a cos B sen a = − cos A sen b cos c + cos b sen
χ = c cos a = cos A sen b sen c + cos c cos c
Rx−1 (χ) = Rx (−χ)
r~0 = Rx (χ)~r
 0   
x 1 0 0 x
y 0  = 0 cos χ − sen χ y 
z0 0 sen χ cos χ z
 
~r = Rx (−χ)~r 0
     0
x 1 0 0 x
y  = 0 cos χ sen χ y 0 
z 0 − sen χ cos χ z0
 
cos β − sen β 0
Rz (β) = sen β cos β 0
0 0 1
1 tan r 1 tan r
tan B = tan C =
2 sin (s − b) 2 sin (s − c)
1 tan r
tan A =
2 sin (s − a)
r
sin (s − a) sin (s − b) sin (s − c)
1 tan r =
s = (a + b + c) sin s
2
1 tan R 1 tan R
cot b = cot c =
1 tan R 2 cos (S − B) 2 cos (S − C )
cot a =
2 cos (S − A)
1 cos (S − A) 1 cos (S − B) 1 cos (S − C )
tan a = tan b = tan c =
2 tan R 2 tan R 2 tan R
r
cos (S − A) cos (S − B) cos (S − C
1 tan R =
S= (A + B + C ) − cos S
2
LA ESFERA CELESTE Y LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
sin 12 (A − B) sin 12 (a − b) sin 12 (A + B) cos 21 (a − b)

= =
cos 12 C sin 12 c cos 12 C cos 12 c
cos 21 (A − B) sin 12 (a + b) cos 12 (A + B) cos 12 (a + b)
= =
sin 12 C sin 12 c sin 21 C cos 12 c
tan 21 (a − b) sin 12 (A − B)
=
tan 12 c sin 12 (A + B)
tan 12 (A − B) sin 21 (a − b)
= tan 12 (a + b) cos 12 (A − B)
cot 12 C sin 21 (a + b) =
tan 12 c cos 12 (A + B)
tan 12 (A + B) cos 12 (a − b)
=
cot 12 C cos 12 (a + b)
4 LA ESFERA CELESTE Y LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
La Bóveda Celeste
Observación del Cielo Según la Latitud φ
Bóveda Celeste Topocéntrica
Meridiano del Observador, Lı́nea Meridiana y Primer

Vertical
Transformación de coordenadas entre Horizontales y Ec.

Horarias
La Eclı́ptica
La Bóveda Celeste
El Punto Vernal à
Constelaciones Zodiacales
La Oblicuidad de la Eclı́ptica
El Tiempo Sideral Local
Transformación de Coordenadas entre E. Horarias y E.
Absolutas
Transformación de Coordenadas entre E. Absolutas y Eclı́pticas
La Vı́a Láctea
Coordenadas Galácticas
Transformación de Coordenadas entre E. Absolutas y
Galácticas
La Bóveda Celeste
La Bóveda Celeste
Polo Norte Terrestre φ = 90˚N Polo Sur Terrestre φ = 90˚S
Ecuador Terrestre φ = 0˚ Otra latitud φ 6= 0

La Bóveda Celeste
hPNC = φ
La Bóveda Celeste
• φ = 65˚N
La Bóveda Celeste
La Bóveda Celeste
• φ = 60˚S
La Bóveda Celeste
• φ = 0˚
Bandera de Papúa Nueva Guinea.

Bandera de Brasil.
Bandera de Australia.
Bandera de Alaska.
Bandera de Tuvalú.
Bandera del Mercosur,
1 Procyon del Canis Carinae. 7 σOctantis.

Minoris. 8 Triangulum
4 Spica de Virginis.
2 El Canis Maior Australe
5 Hydra.
(Sirio). 9 Scorpius
3 Canopus de 6 Crux. (Antares).
Meridiano del Observador, Lı́nea Meridiana y Primer Vertical
Origen Cı́rculo Coordenada Semicı́rculos Coordenada
Máximo Circular Secundarios Vertical Fu
Observador Horizonte Azimut (Acimut) Vertical Altura Car
0˚≤ A < 360˚ del astro −90˚≤ h ≤ 90˚
h + z = 90˚
Máximo Circular Secundarios Vertical F
Observador Horizonte Azimut (Acimut) Vertical Distancia Cenital Ca
0˚≤ A < 360˚ del astro 0˚≤ z ≤ 180˚
Salida Culminación Puesta
Orto Tránsito Ocaso
h = 0˚ h = hmax h = 0˚
0˚< A < 180˚ A = 0˚; A = 180˚ 180˚< A < 360˚
Máximo Circular Secundarios Vertical
Observador Ecuador ángulo Horario Cı́rculo de Declinación M. Obs
Celeste 0h ≤ H < 24h Declinación −90˚≤ δ ≤ 90˚
Salida Culminación Puesta
Orto Tránsito Ocaso
12h < H < 24h H = 0h 0h < H < 12h
cos (90 − h) = cos (90 − φ) cos (90 − δ) +

sen (90 − h) sen (90 − δ) sen h = sen φ sen δ + cos φ cos δ cos
= cos (90 − δ) = cos (90 − φ) cos (90 − h) +
sen H sen (360 − A)
− sen A cos h = sen H cos δ sen δ = sen φ sen h + cos φ cos h cos
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
Figura: Posición del punto vernal en el cielo para el aúo 2012 DC.
La Eclı́ptica
Figura: Posición del punto vernal en el cielo para el aúo 1012 AC.
La Eclı́ptica
Figura: Posición del punto vernal en el cielo para el aúo 2812 DC.
La Eclı́ptica
à Aries Abr 19-May 14 ç Escorpio Nov 24-Nov 29

á Tauro May 15-Jun 21 Ofiuco Nov 30-Dic 18
â Géminis Jun 22-Jul 20 è Sagitario Dic 19-Ene 20
ã Cancer Jul 21-Ago 10 é Capricornio Ene 21-Feb 16
ä Leo Ago 11-Sep 16 ê Acuario Feb 17-Mar 12
å Virgo Sep 17-Oct 31 ë Piscis Mar 13- Abr 18
æ Libra Nov 1-Nov 23
La Eclı́ptica
Figura: Origen de las estaciones

La Eclı́ptica
Figura: Inicio de la primavera y el otoúo

La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
Figura: Inicio del verano del hemisferio norte

La Eclı́ptica
Figura: Inicio del invierno del hemisferio norte

La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
TSL = Hà
La Eclı́ptica
La Eclı́ptica
Origen Cı́rculo Coordenada Semicı́rculos Coordenada P
Máximo Circular Secundarios Vertical Fund
Geocéntrico Ecuador Ascensión Recta Cı́rculo de Declinación Punto
Celeste 0h ≤ α < 24h Declinación −90˚≤ δ ≤ 90˚
δ = δ
TSL = H? + α?
EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA

Máximo Circular Secundarios Vertical Fu
Geocéntrico Eclı́ptica Longitud Eclı́ptica Meridiano Latitud Eclı́ptica Pu
0˚≤ λ ≤ 360˚ Eclı́ptico −90˚≤ β ≤ 90˚

Máximo Circular Secundarios Vertical
Geocéntrico Plano Longitud Galáctica Meridiano Latitud Galáctica
Galáctico 0˚≤ ` ≤ 360˚ Galáctico −90˚≤ b ≤ 90˚
5 EL TIEMPO EN ASTRONOMÍA
El Calendario
El Dı́a
Escalas de Tiempo
Husos Horarios
La Fecha Juliana
La Ecuación del Tiempo
Sistemas de Tiempo
Tiempo Atómico
Tiempos Universales
Los Nombres de la Semana en diferentes idiomas

Hebreo Portugués Francés Italiano
Shenii Segunda Lundi Lunedi
Sheliishii Terúa Mardi Martedi
Rebii’ii Quarta Mercredi Mercoledi
Hamiishii Quinta Jeudi Giovedi
Shishshii Sexta Vendredi Venerdi
Shabbat Sábado Samedi Sabato
Ri’shoon Domingo Dimanche Domenica
Espaúol Inglés Alemán Japonés
Lunes Monday Montag Getsuyúbi (Luna)
Martes Tuesday Dienstag Kayúbi (Fuego)
Miércoles Wednesday Mittwoch Suiyúbi (Agua)
Jueves Thursday Donnerstag Mokuyúbi (Madera)
Viernes Friday Freitag Kin’yúbi (Metal)
Sábado Saturday Samstag Doyúbi (Tierra)
Domingo Sunday Sonntag Nichiyúbi (Sol)
El Dı́a
El Dı́a
Se le llama dı́a al tiempo que tarda la Tierra en dar un giro sobre su propio eje.
Hay diferentes definiciones del dı́a dependiendo del punto utilizado como
referencia para la rotación del planeta.
24h 60m 60s

1d× × h × m = 86 400s
1d 1 1
Definiciones de ”Dı́a”
Dı́a Sideral: dos pasos consecutivos del Punto Vernal à por el
meridiano del observador.
Dı́a Solar Verdadero: dos pasos consecutivos del Centro del Sol por
el meridiano del observador.
¯ por el
Dı́a Solar Medio: dos pasos consecutivos del Sol Medio
meridiano del observador.
i La órbita de la Tierra es perfectamente circular.
ii El Ecuador Celeste coincide con la Eclı́ptica.
El Dı́a
Diferencia entre el Dı́a Sideral y el Dı́a Solar Medio
360˚
= 0, 98561˚/d = 0h 3m 56,55s por dı́a
365,2564 d

Pasar de Tiempo Solar Medio a Tiempo Sideral
24h de tiempo solar medio = 24h 3m 56,5553678s de tiempo sideral
24h 3m 56,5553678s 24h

= h m = 1,002737909350785
24h 23 56 4,090524s
Pasar de Tiempo Sideral a Tiempo Solar Medio

24h de tiempo sideral = 23h 56m 4,090524s de tiempo solar medio
24h 23h 56m 4,090524s 1

h s
= =
24 3m 56,5553678 24h 1,002737909350785
Ejemplos
h m s h m s
Un reloj marca 3 56 34,6 de tiempo solar medio. Un reloj marca 14 5 17,8 de tiempo sideral.
Calcular el tiempo sideral. Calcular el tiempo solar medio.
h m s h m s h m s h m s
3 56 34,6 × 1,00273790935079 = 3 57 13,4 14 5 17,8 × 0,997269566329 = 14 2 56,1
Escalas de Tiempo
Diferentes escalas de tiempo que se necesitan

TSL: Tiempo Sideral Local es el ángulo horario del Punto Vernal:
TSL = Hà
TSOLV: Tiempo Solar Verdadero se mide con el ángulo horario del centro del
Sol Verdadero:
TSOLV = H + 12h
TSOLM: Tiempo Solar Medio medido con el ángulo horario del Sol Medio:
h
TSOLM = H
¯ + 12
TU: Tiempo Universal es el TSOLM en Greenwich:
TU = TSOLMGreenwich
TSOLMλ : Tiempo Solar Medio Local dependerá del TU y la longitud

geocéntrica2 λ como:
λ
TSOLMλ = TU +
15
2
La longitud geocéntrica tiene signo dependiendo si se mide al oriente o al
occidente de Greenwich
Husos Horarios
Husos Horarios
Franjas entre dos meridianos cada 15˚con la misma Hora Oficial
Hora Oficial: TO = TU + HH
HHColombia = −5h
Cálculo del TSL

Requiere conocer la posición de à a las 0h de TU para la fecha
Para calcular el TSL, se supone que se conoce el TSL para un observador

ubicado en el meridiano de Greenwich a las 0h de TU (TSG 0). El ángulo
horario del punto vernal, en un instante t de TU, para un observador en
Greenwich será:
x(t) = x0 + t ·v
TSGt = TSG 0 + [TU × 1,002737909350785]
Ya que las unidades de TU son el dı́a solar medio, y de TSL el dı́a sideral (ver
sec. 5), cuyo factor de conversión está dado en la sección 4.
El TSL para un observador ubicado en λ 6= 0, o sea, que no está en el
meridiano de Greenwich es;

λ
TSL = TSGt +
15
Cálculo completo del TSL

Sistema de ecuaciones
FJ − 2451545, 0
T =
36525
TSG 0 (T ) = 6h 41m 50,54841s + 2400h 3m 4,81286s T
+0h 0m 0,09310s T 2 − 0h 0m 0, 0000062s T 3

TSGt = TSG 0 + TU × 1, 002737909350785

TSGt + λ
Hà = TSL = TU = TO−HH
15
La Fecha Juliana (FJ) busca determinar con exactitud la diferencia de tiempo

entre eventos ocurridos dı́as distintos (incluyendo la fracción de dı́a
correspondiente).
La FJ de un instante dado equivale al número de dı́as transcurridos desde el
medio dı́a del lunes primero de enero del aúo 4713 antes de Cristo, o, aúo
−4712 en el meridiano de Greenwich.
Existen diversos métodos para calcular FJ, uno de ellos es el desarrollado por
Meeus del 2001: Si m = 1, 2 entonces y = y − 1, y m = m + 12
entonces
FJ = [365, 25(y + 4716)] + [30, 6001(m + 1)] − [y /100] + [[y /100] /4] + d − 1522, 5
Cuadro: Fechas Julianas para algunas centurias

aúo FJ aúo FJ aúo FJ aúo FJ
-1900 1027082,5 -900 1392332,5 100 1757582,5 1100 2122832,5
-1800 1063607,5 -800 1428857,5 200 1794107,5 1200 2159357,5
-1700 1100132,5 -700 1465382,5 300 1830632,5 1300 2195882,5
-1600 1136657,5 -600 1501907,5 400 1867157,5 1400 2232407,5
-1500 1173182,5 -500 1538432,5 500 1903682,5 1500J 2268932,5
-1400 1209707,5 -400 1574957,5 600 1940207,5 1500G 2268922,5
-1300 1246232,5 -300 1611482,5 700 1976732,5 1600 2305447,5
-1200 1282757,5 -200 1648007,5 800 2013257,5 1700 2341971,5
-1100 1319282,5 -100 1684532,5 900 2049782,5 1800 2378495,5
-1000 1355807,5 0 1721057,5 1000 2086307,5 1900 2415019,5
Cuadro: Fechas Julianas para aúos adicionales

aúo FJ aúo FJ aúo FJ aúo FJ aúo FJ
0 0 20 7305 40 14610 60 21915 80 29220
1 365 21 7670 41 14975 61 22280 81 29585
2 730 22 8035 42 15340 62 22645 82 29950
3 1095 23 8400 43 15705 63 23010 83 30315
4 1461 24 8766 44 16071 64 23376 84 30681
5 1826 25 9131 45 16436 65 23741 85 31046
6 2191 26 9496 46 16801 66 24106 86 31411
7 2556 27 9861 47 17166 67 24471 87 31776
8 2922 28 10227 48 17532 68 24837 88 32142
9 3287 29 10592 49 17897 69 25202 89 32507
10 3652 30 10957 50 18262 70 25567 90 32872
11 4017 31 11322 51 18627 71 25932 91 33237
12 4383 32 11688 52 18993 72 26298 92 33603
13 4748 33 12053 53 19358 73 26663 93 33968
14 5113 34 12418 54 19723 74 27028 94 34333
15 5478 35 12783 55 20088 75 27393 95 34698
16 5844 36 13149 56 20454 76 27759 96 35064
17 6209 37 13514 57 20819 77 28124 97 35429
18 6574 38 13879 58 21184 78 28489 98 35794
19 6939 39 14244 59 21549 79 28854 99 36159
Cuadro: Mes adicional.(* para aúos bisiestos)
mes FJ mes FJ mes FJ mes FJ mes

Enero 0 (-1)* Marzo 59 Mayo 120 Julio 181 Septiembre
Febrero 31 (30)* Abril 90 Junio 151 Agosto 212 Octubre
El proceso inverso puede hacerse con un poco más de trabajo; si se conoce FJ

al medio dı́a (siendo ası́ un número entero) se deben calcular:
4A
A = FJ + 68 569 B =
146 097
146 097B + 3 4 000(C + 1)
C =A− D =
4 1 461 001
1 461D 80E
E =C− + 31 F =
4 2 447
F
G =
Para conocerse finalmente:

2 447F
El dı́a: d = E−
80
El mes: m = F + 2 − 12G
El aúo: y = 100(B − 49) + D + G
Como los dı́as de la semana se repiten cada 7 dı́as, el residuo de la división

FJ/7 determinará el dı́a de la semana; si el residuo es 0 será dı́a domingo, 1
para dı́a lunes, 2 para martes, 3 para miércoles, 4 jueves, 5 viernes y residuo
iguala 6 para el sábado.
Sistemas de Tiempo
Es la diferencia entre el Tiempo SOLar Verdadero y el Tiempo SOLar

Medio (ver sec. 5):
2π(n − 81)
B=
364
ET = TSOLV − T
ET = H − H¯


 16-Abr

18-Jun
ET = 0 ∼
30-Ago



16-Dic
Figura: Comportamiento de ET a
lo largo del aúo mı́n(ET ) = −0h 14m 16s ∼ 11-Feb
máx(ET ) = +0h 3m 41s ∼ 14-May

mı́n(ET ) = −0h 6m 30s ∼ 26-Jul
s h
ET = 0h 9m 52, 2s sen 2B−0h 7m 31, 8s cosmáx(ET
B−h 1m )30,
= 0+0 Bm 26s
sen16 ∼ 03-Nov
Sugerido desde 1929, es una escala de tiempo teórica (ideal) uniforme,

Sistemas de Tiempo
utilizada desde 1952 hasta 1984. Es la escala de tiempo que representa la

variable independiente de las ecuaciones de Newton.
d 2~
ri
= fi (~
ri )
dt 2
En 1958 se definió el segundo de las efemérides a 1/31 556 925, 9747 de la
duración del aúo trópico en el instante enero 0 de 1900 a las 12h de TE . Se
observan las posiciones de los cuerpos del sistema solar y se comparan con las
posiciones registradas en los almanaques (calculadas en el TE ), para una
posición ~r de un astro se deduce un tiempo t de las efemérides. Para calcular la
diferencia se utiliza la relación: ∆T = TE − TU.
Surgieron como la extensión del concepto de una escala de tiempo ideal, esta
vez, teniendo en cuenta las consecuencias de adoptar el formalismo de la Teorı́a
General de la Relatividad elaborada en 1916 por A. Einstein. Dicha teorı́a
Tiempo Atómico
sostiene que la coordenada temporal depende del sistema de referencia donde

sea medida. El baricentro del sistema solar es el punto más cercano a un
sistema no acelerado, pero está muy cerca al centro del sol, ası́ que se definen:
TDB Tiempo Dinámico Baricéntrico

TDT Tiempo Dinámico Terrestre Es el argumento de tiempo con que se
establecen las posiciones de los cuerpos del sistema solar. Llamado desde
1991 Tiempo Terrestre TT
La diferencia entre el TDB y el TDT es periódica, de amplitud 0, 002 s. En

cálculos que no requieran mucha exactitud TDB = TDT
Es una escala de tiempo estadı́stica que no depende de ningún fenómeno

astronómico, y define la unidad de tiempo del sistema internacional
(SI).
Se define un segundo como la duración de 9 192’631.770 periodos de la
radiación que corresponde a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado
fundamental del Cesio 133.
Diversos relojes atómicos de 133 Cs, 6 primarios (δ ∼ 10−14 ) y 175 comerciales
(δ ∼ 10−12 ), están distribuidos por el planeta.
Tiempos Universales
TDT = TAI + 32,184 s
La diferencia entre ambas escalas de 32,184 s se hizo para darle continuidad al

TDT con respecto al TE
Como el movimiento de rotación de la Tierra no es regular, la medida del dı́a

sideral tampoco lo es. El TU, que se calcula a parir de TSL (invirtiendo el
procedimiento de 7) tampoco resultará ser una medida completamente
confiable.
Se utilizan las siguientes escalas:
TU0 Tiempo Rotacional Terrestre en unidades de dı́a solar medio, se

mide la duración de una revolución con respecto a fuentes de radio fuera
de la galaxia..
TU1 Surge cuando se corrige el TU0 por el movimiento del polo, tampoco es
uniforme, se retrasa debido al frenado de la rotación terrestre.
TUC Tiempo Universal Coordinado es una escala de tiempo uniforme

para relacionar directamente el TU1 con el TAI y el TDT ; el TUC es el
mismo TU.
Tiempos Universales
TAI = TUC + N
|TU1 − TUC | < 0, 9 s
Donde, N son los segundos bisiestos y se agrega uno aproximadamente cada

1, 3 aúos.
i El TAI y el TUC tienen la misma escala de medida, el segundo del SI.

ii Si el TU1 se retrasa por más de un segundo de TUC , es decir,
|TU1 − TUC | ≥ 0, 9 s se debe ajustar N.
Los segundos bisiestos se introducen desde 1972.

Con el establecimiento del TDT a cambio del TE , y la utilización del TUC por
el TU la diferencia ∆T es:
∆T = TDT − TU1
= (TAI + 32,184 s) − (TUC + δt)
= (TUC + N) + 32, 184 s − TUC + δt
∆T = N + 32,184 s + δt
ALGUNOS FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
6 ALGUNOS FENÓMENOS ASTRONÓMICOS
Paso por el Cenit
Salida y Puesta
Máxima Disgresión de un Astro
Cálculos para el Sol
Sol en el Cenit y Sol Circumpolar
Culminación
Salida y Puesta

Depende del ángulo horario H?
TSL = H? + α? FJ

λ
FJ − 2451545, 0
TSGt = TSL − T =
15 36525
TSGt − TSG0
TU = TSG0 ( T )
1, 002737909350785
TO = TU + HH
Paso por el Meridiano del Observador
H m = 0h Am = 0˚ ó Am = 180˚ hm = hmáx
La altura de paso por el meridiano hm :
sen hm = sen φ sen δ + cos φ cos δ cos H m

m m
sen (90˚− z ) = sen h = sen φ sen δ + cos φ cos δ
m
cos z = cos (δ − φ) = cos (φ − δ)
Se define la Distancia Cenital Meridiana z m :

(
m z m < 0 ⇔ A = 0˚
z =φ−δ ⇒ (1)
z m > 0 ⇔ A = 180˚
El Tiempo Sideral Local de la culminación:
TSLm = α?
Paso por el Cenit
Paso por el Cenit

Un caso particular de la Culminación Superior
zm =0= δ−φ
C
TSL = α? δ=φ
Salida y Puesta
Salida y Puesta
Cuando el astro atraviesa el horizonte
hsp = 0˚ 0˚< As < 180˚ 12h < H s < 24h

180˚< Ap < 360˚ 0h < H p < 12h
Puede calcularse el ángulo horario de salida y puesta H sp :

sp
sen
h = sen φ sen δ + cos φ cos δ cos H sp
sen φ sen δ
cos H sp = −
cos φ cos δ
Discriminando en cual hemisferio sucede:

(
H s = 24h − H sp
H sp = cos−1 (− tan φ tan δ) ⇒ (2)
H p = H sp
El Tiempo Sideral Local de Salida: TSLs = H s + α? .

El Tiempo Sideral Local de Puesta: TSLp = H p + α?
Salida y Puesta
Salida y Puesta de un Astro

El punto donde cruza el horizonte
hsp = 0˚ 0˚< As < 180˚ 12h < H s < 24h

180˚< Ap < 360˚ 0h < H p < 12h
Puede calcularse el azimut de salida y puesta Asp :
sen(hsp + cos φ cos hsp cos Asp

sen δ = (
sen(
φ(
(
sen δ = cosφ cos Asp
Discriminando si sucede en el hemisferio oriental o el occidental:

(
As = Asp

sp −1 sen δ
A = cos ⇒
cos φ Ap = 360˚− Asp
Figura: Simetrı́a en los ángulos horarios y azimuts de salida y puesta

Dibujan cı́rculos alrededor del polo visible
δ > 90 − φ
Figura: Trayectoria debida al movimiento diurno de astros con diferentes

hci + hcs
φ=
2
APVE = 90˚ hPVE = hPVW = hPV HPVE = 24h − HPV
APVW = 270˚ HPVW = HPV
sen δ = cos (90˚− hPV ) cos (90 − φ)

sen (Co[HPV ]) = tan (90˚− φ) tan (Co[90˚− sen δ
sen hPV δ])
=
tan δ sen φ
cos HPV =
tan φ
Tanto el Sol como la Luna tienen una caracterı́stica extra a tener en cuenta al
momento de hacer diferentes cálculos. Ninguno de los dos astros tiene aspecto
de cuerpo puntual vistos desde la Tierra, se tratan como discos de radio angular
aparente casi igual, de 0˚160 . Las siguientes fórmulas dan las coordenadas
aparentes del Sol, con una precisión de 0, 01˚entre los aúos 1950 y 2050;
dependientes de n, el número de dı́as transcurridos desde (J2000.0):
n = FJ − 2 451 545, 0 (3)
Con esto se puede calcular la longitud media del Sol L y la anomalı́a media
g:
L = 280, 461˚+ 0, 9856474˚n (4)

g = 357, 528˚+ 0, 9856003˚n (5)
Teniendo en cuenta que L y g deben estar comprendidos en el rango entre 0˚y

360˚. Las coordenadas eclı́pticas del Sol se obtienen de:
λ = L + 1, 915˚sen g + 0, 020˚sen 2g (6)

β = 0˚ (7)
= 23, 439˚− 0, 0000004˚n (8)
Donde se usa el hecho de que el Sol siempre está sobre la eclı́ptica. La

transformación a coordenadas se simplifica a:
tan α = cos tan λ (9)

sen δ = sen sen λ (10)
Debido a la oblicuidad de la eclı́ptica la declinación del Sol cambiará a lo largo

del aúo: − ≤ δ ≤ , por lo tanto, el Sol sólo podrá estar en el cenit de
observadores ubicados entre latitudes φ = 23˚270 S y φ = 23˚270 N. Para
observadores en latitudes mayores a φ ≥ 90 − = 66˚330 el Sol en ciertas
épocas será un astro circumpolar, lo que significa que se podrá observar las 24h
del dı́a, fenómeno llamado Sol de media noche
Figura: Zonas geográficas debidas a la declinación del Sol.
Al igual que en la sección 2, conocidos φ del observador y δ del Sol para la

fecha, se calcula el valor de h en que culmina. Para calcular el instante de
observación se debe recordar que en la culminación del Sol
m
H = 0h
Por lo que (ver sección 5):

TSOLV m = 12h
Luego se calcula el tiempo solar medio local (ver sección 8):
TSOLMλm = 12h − ET
Se determina el TU:

TU m = TSOLMλm ∓ λ˚E /15
W
Finalmente la hora local será:

TLm = TU m + HH
La salida o puesta, tanto del Sol como de la Luna, se toma como el momento
en que el borde del disco toca el horizonte; las coordenadas (α; δ) de estos
cuerpos se refieren al centro de los discos, ası́, la altura a tener en cuenta para
dicho evento será hsp = −0˚160 :
sp sen(−0˚160 ) − sen φ sen δ
cos H =
cos φ cos δ
Calculado el ángulo horario de salida o puesta del astro, el momento de
observación se determinará con el trámite descrito anteriormente para calcular
el TL de observación.
CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
7 CORRECCIÓN A LAS COORDENADAS
Refracción Astronómica
La Paralaje
Paralaje Diurna
Paralaje Anual
Aberración Secular
Aberración Anual
Aberración Diurna
Precesión
La Paralaje
Nutación
La refracción es el fenómeno por el cual un haz de luz se desvı́a de su

trayectoria debido al cambio de medio de dispersión. La luz proveniente de los
astros se propaga por el medio interestelar y cuando entra a la atmósfera
terrestre es refractada. La refracción hace que la altura aparente ha sea mayor
que la altura geométrica hg .
El efecto depende de las condiciones atmosféricas en la lı́nea de visión y de la
altura. La refracción es nula cuando el astro está en el cenit (h = 90˚), y
máxima con el astro en el horizonte (h = 0˚), donde la refracción incrementa su
altura en 0˚340 , efecto mayor al dı́ámetro aparente solar (ver sección 8).
La refracción Re depende tanto de la temperatura T como de la presión P 3 y
de la altura aparente ha :

0, 28 P 0, 0167˚
Re =
T + 273 tan(ha + h 7,31 )
a +4,4
Con lo que la altura geométrica es: hg = ha − Re .

La paralaje es la diferencia en la posición aparente de un objeto observado
desde dos puntos de vista distintos. Efectos tı́picos de paralaje se presentan en
la fotografı́a y en el efecto 3D. La paralaje diurna la variación de la dirección
aparente de un cuero celeste visto desde puntos distintos de la superficie del

planeta Tierra.
La paralaje horizontal se da cuando un observador tiene un astro en su cenit
mientras que otro observador lo tiene en su horizonte.
R
sen PH =
d
En este caso se calculan distancias en unidades de R⊕ = 6 378, 14 Km Es el
cambio de dirección aparente visto desde dos puntos distintos de la órbita de la
Tierra alrededor del Sol. De todas las estrellas, aquella con mayor paralaje
medida se llama Próxima del Centauro (π = 0, 76200 ).
1
sen π =
d
Ası́ se determinan distancias en unidades astronómicas
1 u.a. = 149 597 870 Km. Como las distancias entre estrellas son tan grandes,
se definen unas nuevas unidades de distancia: el aúo-luz:
300 000 Km/s × 31 557 600 s = 9, 46 × 1012 Km = 1 aúo-luz = 63 235 u.a.
y el parsec:
1
= 206 265 u.a. = 3, 26 aúos-luz = 1 pc
sen(100 )
La aberración es la alteración en la posición aparente de un astro por el

movimiento del observador o del astro mismo, debido a la velocidad finita de la
luz.
La velocidad de la luz en el vacı́o: c = 299 792 458 m/s,
La velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol v ' 29 800 m/s Su
contribución se le desprecia generalmente, es producida por el movimiento del
sistema solar como un todo, alrededor del centro galáctico.
Se explica con un tratamiento clásico, es la que resulta del movimiento de

traslación de la Tierra alrededor del Sol.
p~1 = −~
c +~
v
El vector unitario:
v −~
~ c
p̂1 =
|~
v −~
c|
c = c ĉ y ĉ = −p̂
Como ~
~v
+ p̂
p̂1 = ~vc
+ p̂
c
Como |p̂| = 1
~
v
c
+ p̂
p̂1 = q 2
1 + 2 vc + v
c
Haciendo producto cruz a ambos

lados y teniendo en cuenta que
|p̂×p̂1 | = sen ∆θ |p̂×p̂| = 0 |p̂×~

v | = v sen θ
se tiene que:
v
c
sen θ
sen ∆θ = q 2
1 + 2 vc + v
c
Aproximando por serie de Taylor:

v 1 v 2
sen ∆θ = sen θ − sen 2θ + · · ·
c 2 c
v 29 800 m/s
máx [sen ∆θ] = ' = 9, 94 × 10−5 rad = 20, 500
c 299 792 458 m/s
La inclusión del formalismo relativista hace correcciones del orden de la
milésima de segundo. La aberración diurna es la contribución debida del
movimiento de rotación de la Tierra sobre su propio eje. La velocidad de un
observador sobre la Tierra depende de su latitud geográfica
2πRT
ve = = 460 m/s.
86 164 s
vφ = ve cos φ
ve
La contribución a la aberración: = 1, 56 × 10−6 rad = 0, 3200 Las estrellas
c
en la bóveda celeste no son estáticas, su cambio de posición solo es apreciable
en grandes escalas de tiempo. Se descompone en el movimiento propio µ y la
velocidad radial vr .
La estrella de Barnard se desplaza hasta 10, 300 /aúo. El movimiento propio

ocurre transversalmente a la lı́nea de visión, mientras que el movimiento radial
sucede en la misma dirección de la lı́nea de visión.
~
vt = (µα cos δ; µδ )
q
µ = µ2α cos2 δ + µ2δ
La velocidad radial se mide fácilmente gracias al efecto Doppler con
espectrómetro. Con su teorı́a de la Relatividad General, A. Einstein en 1916
predijo que un campo gravitacional desviarı́a la trayectoria de un haz de
luz.
La deflección gravitacional puede calcularse como:
r
2GM 1 + cos Φ
∆Φ =
c 2r 1 − cos Φ
Φ el ángulo entre la estrella y el centro del Sol.
2 6, 67 × 10−11 1, 998 × 1030

2GM
= = 1, 97 × 10−8 rad = 0, 0040800
c 2r (300 000 000)2 (1, 49 × 1011 )
La deflección para una estrella se puede escribir como:
0, 0040800
∆Φ =
tan Φ2

Precesión
El fenómeno de la precesión ocurre por la acción de un torque sobre un objeto

con momento angular. Un ejemplo tı́pico es movimiento de cabeceo de un
trompo. En la precesión se cuentan todos los efectos seculares del movimiento
del eje terrestre.
La razón de la precesión del eje terrestre
es debido al achatamiento de los polos
y los campos gravitacionales de los demás
componentes del sistema solar. El efecto
directo de la precesión es mover el punto
vernal sobre la eclı́ptica, por lo que las
coordenadas de los astros irán cambiando
con el tiempo. Es necesario definir
una época, que es una fecha arbitraria, a la
cual estén fijas las coordenadas. La época
actual (desde 1984) es J2000.0.
Se llamarán (α0 ; δ0 ) las coordenadas
de un astro referidas a la época J2000.0; Figura: Desplazamiento del
se llamarán (α; δ) a las coordenadas PNC.
del astro con referencia al equinoccio
y ecuador medio de la fecha.
Nutación
Para corregir por precesión se requieren calcular:

1˚160 52, 4362800 T + 1, 3964400 T 2 + 0, 03963600 T 3

M =
0˚330 24, 310800 T − 0, 426600 T 2 − 0, 0417600 T 3

N =
Primero las cantidades auxiliares:
1
αm = (M + N sen α0 tan δ0 )
α0 +
2
1
δm = δ0 + N cos αm
2
Finalmente, las coordenadas medias a la fecha:
α = α0 + M + N sen αm tan δm
δ = δ0 + N cos αm
Las cantidades auxiliares:
1
αm = α− (M + N sen α tan δ)
2
1
δm = δ − N cos αm
2
Las coordenadas en J2000.0:
α0 = α − M − N sen αm tan δm
δ0 = δ − N cos αm
Nutación
La nutación tiene fenomenológicamente el mismo origen de la precesión, sólo

que en la precesión se cuentan los fenómenos periódicos del movimiento del
polo.
Se determinan:
Ω Longitud media del nodo ascendente de la órbita lunar.

Ω = 125, 04 − 1934, 13T
D Longitud media de la Luna menos la longitud media del Sol.

D = 297, 85 + 445 267,11T
F Longitud media de la Luna menos la longitud media del nodo lunar.

F = 93,27 + 483 202,0175T
Se calculan las contriubuciones por longitud ∆ψ y oblicuidad ∆:

∆ψ = −17, 200 sen Ω + 0, 200 sen 2Ω − 1, 3 sen (2Ω + 2F − 2D) − 0, 200 sen (2Ω + 2F
∆ = 9, 200 cos Ω − 0, 100 cos 2Ω + 0,600 cos (2Ω + 2F − 2D) + 0, 100 cos (2Ω + 2F
Nutación
La oblicuidad media de la eclı́ptica:
= 23˚260 21, 400 − 46,8100 T
Las correcciones en ascensión recta y declinación:
∆α = (cos + sen sen α tan δ) ∆ψ − cos α tan δ∆

∆δ = sen cos α∆ψ + sen α∆
Junto al valor verdadero de la oblicuidad se calculan las coordenadas

verdaderas de la fecha, que se obtienen de las coordenadas medias de la fecha,
es decir, las corregidas por precesión:
v = + ∆
αv = α + ∆α
δv = δ + ∆δ
GEODESIA ASTRONÓMICA
8 GEODESIA ASTRONÓMICA
Representación de la Tierra
Coordenada Geocéntrica
Coordenada Geodésica
Coordenada Geográfica
Relación de las Coordenadas con las Unidades de
Medida
Masa 5, 9736 × 1024 Kg

Masa de la atmósfera 5, 1 × 1018 Kg
Masa de los oceános 1, 4 × 1021 Kg
Radio ecuatorial 6 378 140 m
Figura: Estructura interna de la

Tierra.
I- Simetrı́a Esférica.
II- Abultamiento en el Ecuador = Achatamiento de los polos.
III- Superficie equipotencial = Geoide.
IV- Elipsoide de revolución o esferoide.
Aúo Nombre Radio Ecuatorial A

2 2 a (m)
x y
+ 2 = 1 1979 UAI 6 378 140
a2 b
r 1980 GRS 80 6 378 137 1
a2 − b 2 1983 MERIT 6 378 137
Excentricidad: e =
a2 1984 WSG 84 6 378 137 1/
a−b
Achatamiento: f =
a
p
e = f (2 − f )
Su origen es el centro de masas del planeta.
φ0 = latitud geocéntrica
λ0 = longitud geocéntrica
ρ = distancia radial
−90˚≤ φ0 ≤ 90˚ Se determina a partir de las

90˚S ≤ φ0 ≤ 90˚N observaciones astronómicas, cuyo
cenit se determina con la vertical
local.
Depende de la lı́nea perpendicular al
esferoide. φ00 = latitud geográfica
φ = latitud geodésica λ00 = longitud geográfica
λ = longitud geodésica
h = altura sobre el elipsoide
y y a2
tan φ0 = tan φ =
x x b2
a2
tan φ = tan φ0
b2
1
tan φ = tan φ0
(1 − f )2
(
cenit astronómico \0
desviación de la vertical = = QPC
cenit geodésico
(
cenit geodésico [
ángulo de la vertical = = QPO
cenit céntrico
a2
x 2 = a2 − 2 y 2
b
x 2 b 2 tan φ
y2 =
a4
2
a
x2 = b2
1+ a2
tan2 φ
a2 cos2 φ
x2 =
1 − e 2 sen2 φ
a2 (1 − e 2 )2 sen2 φ
y2 =
1 − e 2 sen2 φ
ρ2 = x2 + y2 Figura: Relación entre φ0 y φ.
s
1 − e 2 (2 − e 2 ) sen2 φ
ρ = a
1 − e 2 sen2 φ ángulo de la vertical: ν = φ − φ0
tan φ − tan φ0
tan ν =
1 + tan φ tan φ0
tan φ − (1 − f )
tan ν =
1 + (1 − f )2 t
2f − f 2 q sen
q= tan ν =
1 + (1 − f )2 1+qc
ρ cos φ0 = x + h cos φ
ρ sen φ0 = y + h sen φ
y = x(1 − f )2 tan φ
2 2 4 2
x x (1 − f ) tan φ
+ = 1
a2 a2 (1 − f )2
a cos φ
x= p = aC cos φ
cos2 φ + (1 − f )2 sen2 φ
h i−1/2
C = cos2 φ + (1 − f )2 sen2 φ
y = aS sen φ
2
S = (1 − f ) C

0 h
ρ cos φ = a cos φ C +
a

h
ρ sen φ0 = a sen φ S +
a
Para el elipsoide de la IAU 1979

ν = 692, 726000 sen 2φ − 1, 1232 sen 4φ + 0, 0026 sen 6φ + · · ·

ρ0 = 6367, 470098 + 10, 692737 cos 2φ − 0, 022445 cos 4φ − 4, 9 × 10−5 cos 6φ +
A partir de la culminación de un astro
hm − φ + δ = 90˚
φ = hm + δ − 90˚
λE = (α − TSLt ) × 15
λW = (TSGt − α) × 15
Relación de las Coordenadas con las Unidades de Medida
Considerando que la circunferencia de la Tierra es de 40 000 m.
1
El metro: En 1795 se definió como de la cuarta parte del
10 000
meridiano terrestre.
La milla nautica: La distancia de un minuto de arco sobre la superficie
terrestre. 1 milla naútica = 1 852 m

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Example (Decimal a Sexagesimal Lvl. 2)

Triángulo Esférico Polar

Latitud Geocéntrica φ Longitud Geocéntrica λ

−90 ≤φ≤ 90 −180 ≤λ≤ 180

Figura: Declinación magnética δ al oriente, nula, o al occidente

Triángulo Rectángulo Esférico

Relaciones para Triángulos Rectángulos

tan a = cos B tan c

Se escoge una de las cinco

Funciones Trigonométricas para la diferencia

Relaciones Fundamentales de los Triángulos

Teorema del Seno:

Teorema del Coseno para los lados:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A

Relaciones Fundamentales de los Triángulos

Teorema del Coseno para los ángulos:

cos A = − cos B cos C + sen B sen C cos a

Teorema del SenoCoseno:

sen a cos B = cos b sen c − sen b cos c cos A

Descomposición en dos Triángulos Rectángulos

sen h = sen a sen B sen h = sen b sen A

Descomposición en dos Triángulos Rectángulos

cos a = cos h cos (c − m)

Descomposición en dos Triángulos Rectángulos

cos a = cos h cos (c − m) = cos h cos (m − c)

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A

Descomposición en dos Triángulos Rectángulos

cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B

sen a cos B = cos b sen c − sen b cos c cos A

Rotación del Sistema de Coordenadas

Figura: Representación de un punto en dos sistemas rotados entre si.[?]

x = cos ψ cos θ x 0 = cos ψ 0 cos θ0

cos ψ 0 cos θ0 = cos ψ cos θ

Figura: Construcción del triángulo cos(90˚− B) cos(90˚− a) = cos(A − 90˚)

Rx−1 (χ) = Rx (−χ)

sin 12 (A − B) sin 12 (a − b) sin 12 (A + B) cos 21 (a − b)

4 LA ESFERA CELESTE Y LOS SISTEMAS DE COORDENADAS