GEODESIA I

LAUTARO RIVAS REVECO

 Introducción a la geodesia.
1. Descripción de los contenidos de la
introducción a la geodesia.
2. Definición, historia y ramas de la geodesia.
3. Conceptos fundamentales:
TEMARIO 4. Elipsoide, geoide, ondulación geoidal,
deflexión de la vertical, altura ortométrica
y elipsoidal. Relación entre ellos.
5. Sistemas de referencia.
6. Definición de dátum.
7. Establecimiento de un dátum.
8. Definición de los sistemas de coordenadas.
9. Relación entre los sistemas de coordenadas
10. Coordenadas cartesianas del plano
meridiano versus latitud y longitud.
11. Coordenadas cartesianas ortogonales
versus latitud y longitud.
12. Sistema geocéntrico reducido versus latitud
geocéntrica.
13. Otras relaciones.
14. Aplicaciones.
 Radios de curvatura y reducciones a las
observaciones
1. Definición. Secciones del elipsoide y radios de
TEMARIO curvatura.
2. Radios de curvaturas: gran normal, meridiano, para un
acimut dado y medio.
3. Arcos de meridiano y paralelo.
4. Áreas elipsoidales
5. Línea geodésica.
6. Definición.
7. Característica
8. Construcción.
9. Reducciones a las observaciones de terreno para
llevarlas al elipsoide.
10. Corrección meteorológica.
11. Reducción a la cuerda.
12. Reducción al arco elíptico.
TEMARIO

Determinación de coordenadas
geodésicas
1. problema geodésico directo.
2. Problema geodésico inverso.
3. Aplicaciones en calculadora.
 Proyección transversal de Mercator UNIVERSAL
(UTM)
1. Corrección (t-T)
2. Factor de escala.
TEMARIO 3. Convergencia cuadricular.
4. Proyección universal transversal de Mercator.(UTM)
5. Parámetros de la proyección.(UTM)
6. Proyección transversal de Mercator LOCAL (LTM)
7. Proyección transversa de Mercator local(LTM)
8. Parámetros de la proyección.(LTM)
9. Modelo matemático genérico de los sistemas
transversales de Mercator.
10. Otras aplicaciones de la proyección Mercator.
11. Relación entre los factores de escala para las distintas
proyecciones.
12. Aspectos normativos.
13. Proyección PTL
14. Parámetros de la proyección.(PTL)
15. Modelo matemático genérico de los sistemas PTL.
16. Otras aplicaciones de la proyección PTL.
 Introducción

La Geodesia es una de las Ciencias más antiguas cultivada por el

hombre.

El objeto de la Geodesia es el estudio y determinación de la forma y

dimensiones de la Tierra, de su campo de gravedad, y sus variaciones
temporales; constituye un apartado especialmente importante la
determinación de posiciones de puntos de su superficie. Esta definición
incluye la orientación de la Tierra en el espacio.

“Geodesia es la ciencia que determina la figura y el tamaño de la tierra y

su campo gravitacional” (Helmert 1887)
Etimológicamente la palabra Geodesia, del griego (divido la tierra),
significa la medida de las dimensiones de la Tierra, en su acepción
moderna también engloba el estudio del campo de gravedad.
La Geodesia es una ciencia básica, con unos fundamentos
fisicomatemáticos y con unas aplicaciones prácticas en amplías ramas
del saber, como en topografía, cartografía, fotogrametría, navegación
e ingenierías de todo tipo sin olvidar su interés para fines militares.
Está íntimamente relacionada con la astronomía y la geofísica,
apoyándose alternativamente unas Ciencias en otras en su
desarrollo, en sus métodos y en la consecución de sus fines.

Todo el proceso de determinación de posiciones geodésicas

está intrínsecamente ligado con la forma y dimensiones de la Tierra.
 Historia

Época remotísima: El ser humano siempre ha estado preocupado

del entorno en el que se desarrolla. En los primeros inicios de la
civilización ese entorno se circunscribía al la vecindad inmediata de su
hábitat. Con el desarrollo de la humanidad ese hábitat fue creciendo a
las ciudades vecinas y así hasta alcanzar el mundo entero.
Grecia:
Las primeras referencias griegas sobre la forma de la Tierra son
más poéticas que científicas, no hay más que leer los poemas de
Homero (900 a.C.). En sus poemas heroicos resume todos los
conocimientos cosmográficos y geográficos de la época y del
pueblo heleno, en gran desarrollo, con una gran imaginación.
Supone la Tierra plana y limitada en todos sus sentidos por las
aguas del océano, coloca en medio a Grecia y en particular al
monte Olimpo correspondiente a la Tessalia. En los confines del
horizonte supone misteriosas columnas que sirven de
sustentáculo a los cielos; bajo el suelo a gran profundidad sitúa a
Tártaro morada de los enemigos de los dioses y fuera de los
confines misteriosos de la Tierra el caos o la inmensidad. Esto no
es ni más ni menos que la interpretación de la naturaleza por un
espíritu de imaginación brillante.
Tales de Mileto (639-546 a.C.) decía que la Tierra era un barco redondo
flotando en un océano sin límites. Anaximandro de Mileto (610-547
a.C.), discípulo de Tales, dice que es un cilindro que ocupa el centro de todo
lo creado, pero construye la primera carta geográfica conocida. Para su
discípulo Anaxímenes (550-480 a.C.) y para Anaxágoras de
Clazomene (500- 428), el Sol es un disco muy delgado y la Tierra es otro
disco o trapecio suspendido en el aire. Jenofantes de Colofón (540 a.C.)
suponía la Tierra plana e ilimitada.
Platón (429-338 a.C.), que admite que la Tierra es redonda, la supone aislada
e inmóvil. Eudoxio de Gnido (409-356 a.C.), discípulo de Platón, da la teoría
de las esferas de cristal para explicar el movimiento de los planetas y estrellas
(supone veintiséis) con ejes en distintas direcciones y movimientos diversos,
Calipo llega a treinta y tres esferas y Aristóteles (384-322 a.C.), a cincuenta
y cinco. La teoría aristotélica sostiene: 1) La Tierra es esférica porque tal es la
forma aparente de los demás astros, tal es también la forma que toma un
cuerpo, como una gota de agua, sometido a la sola presencia de sus partes y tal
es la forma que nos revela la sombra terrestre en los eclipses de Luna. 2) Las
dimensiones de la Tierra no deben ser desmesuradas puesto que con el cambio
de lugar varían el aspecto y número de las estrellas visibles. 3) La Tierra no debe
moverse en el espacio, ya que su movilidad hipotética no se refleja en la
posición constante de los demás astros, la altura de un astro variaba de igual
forma a la misma hora en cualquier parte de la Tierra.
Admitiendo la esfericidad de la Tierra,
Eratóstenes de Cyrene, (276-195 a.C.),
bibliotecario de la Biblioteca de Alejandría fue
el primero en determinar 240 años a.C. el
radio terrestre. Midió la longitud del
meridiano entre Siena (actual Asuan) y Circunferencia terrestre ecuatorial
Alejandría, obteniendo un valor de unos 39.841 km.
39000 Km. para la longitud de la
circunferencia terrestre (unos 6207 Km. de
radio). Eratóstenes se dio cuenta de que en el
solsticio de verano, el Sol iluminaba en Siena
los pozos hasta el fondo, por lo que en ese
momento se encontraba en el cenit en su
culminación. En ese mismo instante midió la
altura del Sol en Alejandría, que suponía
estaba en el mismo meridiano que Siena. La
distancia cenital determinada no era otra cosa
que el ángulo que en el centro de la Tierra
esférica sustendía el arco de meridiano Siena-
Alejandría
Edad media
Las ideas aristotélicas impregnaron la Edad
Media en Europa, se admitía la esfericidad de la
Tierra, pero se explicaba muy mal. Se suponía
la Tierra cubierta de agua excepto la parte
habitada La historia de esos siglos está
moteada por los avances y descubrimientos de
matemáticos y astrónomos que no dejan de
considerar los problemas geodésicos en sus
trabajos. No obstante es un periodo sin
muchos avances reales.

Un caso digno de mención es el de Roger

Bacon (1214-1294), creador de la óptica,
estudia la refracción, gran problema de las
observaciones, trata la astronomía y la
geografía y considera las mareas terrestres
como el resultado de la atracción lunar.
Siglos XV y XVI
Pasado este tiempo, surge la época de las grandes exploraciones. En
primer lugar fue, posiblemente, el viaje de Marco Polo (1254-1324)
de 1271 a 1295 el que sirvió a Toscanelli (1397-1482) para la
confección de un mapa (Fig. 7) que quizá influyó en la decisión de
Cristóbal Colón (1492) de cruzar el Atlántico navegando hacia el
oeste. Después de Colón, Vasco de Gama (1469-1524) llega al sur
de África y Magallanes (1480-1521) y Elcano (1519-1522) dan la
vuelta al mundo.
Las necesidades de navegación, principalmente, hicieron que se
organizasen verdaderas escuelas de cartógrafos, quienes con los
conocimientos, muchas veces imprecisos, aportados por la Geodesia
confeccionaron gran cantidad de mapas, algunos de los cuales
adquieren gran renombre, como los del italiano Américo Vespucio
(1415-1512) quien obtuvo los primeros mapas de la costa oeste de
América del norte y dio nombre al continente. Sin embargo el
cartógrafo por excelencia de esta época, cuyos mapas satisfacían las
necesidades de la navegación, fue el flamenco Gerhard Kaufmann
(1512- 594) más conocido por Mercator.
El gran astrónomo de esta época es Nicolás Copérnico (1473-
1543) quien en su obra "De Revolutionibus Orbium Coelestium" de
1543 da la teoría heliocéntrica del sistema solar, que vino a
revolucionar el pensamiento de la época anclado en las ideas
aristotélicas; se entablaron duras polémicas y se logró
indirectamente que la atención de los astrónomos y geodestas se
dirigiese por este camino.
Siglo XVII
Las investigaciones y los trabajos geodésicos
continúan, pero con unas bases mucho más
científicas que antes. Stevin (1548-1620)
intuye la gravedad. Galileo Galilei (1564-
1642) aplica el anteojo a las observaciones
astronómicas y enuncia las primeras leyes de la
mecánica con los importantes conceptos de
velocidad y aceleración, también establece las
leyes de la caída de los graves. La refracción es
estudiada por los matemáticos Fermat
(1601- 1665) y Descartes (1596-1650)
quien en 1637 publica las leyes por las que se
rige. También Descartes presenta su teoría de
los torbellinos para explicar el Universo.
Newton (1642-1727) suponía que la fuerza de
atracción que mantiene la Luna en su órbita
alrededor de la Tierra es la misma que la fuerza que
actúa sobre los cuerpos de la superficie terrestre,
Entonces sólo tenía que comparar la fuerza de
atracción con la gravedad obtenida por Galileo.

La aplicación de la Ley de Newton a la teoría de

figuras de equilibrio permitió concluir que la Tierra
no era una esfera sino que debía ser un elipsoide de
revolución achatado por los polos del eje de
rotación.
Siglo XVII-XX

El siglo XVIII está dedicado en primer lugar a la

medida de la longitud del grado para
determinar el aplanamiento de la Tierra y en
segundo lugar al desarrollo teórico de la
Geodesia Dinámica.

Es en el siglo XIX cuando la mayor parte de los científicos de elite

establecen y desarrollan las bases de la Geodesia matemática y experimental.
Carlos Federico Gauss (1777-1855), astrónomo, geodesta y matemático,
director del observatorio de Gottinga, inventó el heliógrafo y diseñó, calculó
y compensó, utilizando por primera vez el método de mínimos cuadrados, la
red geodésica del reino de Hannover en 1821 y dio las bases de la
geometría diferencial de superficies de uso obligado en Geodesia geométrica
y dinámica; también estableció el fundamento teórico de la Geodesia con la
definición de la superficie matemática de la Tierra, superficie equipotencial
que posteriormente, en 1872, Listing llamaría geoide. Los fundamentos del
método de mínimos cuadrados habían sido establecidos por Mayer en
1748, Laplace en 1787 y Legendre en 1805.
Durante el periodo se determinan los siguientes elipsoides
Situación Ideal
 Tecnología Satelital

+Z

H b
Z
Y
X
-Y
+X
Sistema de referencia WGS 84
 Principios de los Sistemas Clásicos y
Modernos de Referencia

Superficie Terrestre Elipsoide Local

Elipsoide Global
 Superficie física. GEOIDE

El Geoide es la superficie equipotencial del campo

gravitatorio coincidente, de forma aproximada, con el
nivel medio de los océanos. Dicha coincidencia no es
exacta debido a factores como: corrientes marinas,
vientos dominantes y variaciones de salinidad y de la
temperatura del agua del mar.
Conclusión: Tierra dinamica
 Ramas de La Geodesia

Astronomía Geodésica.- Es aquella parte de la Geodesia que con

métodos y observaciones astronómicas trata fundamentalmente de
obtener la dirección de la vertical; determina, pues, coordenadas
astronómicas, latitud F, longitud L (o el tiempo t) y acimutes
astronómicos a. Con los datos obtenidos trata de determinar el geoide
como figura de la Tierra por el método de nivelación astrogeodésica, y
efectuar la reorientación de redes geodésicas en la compensación con
puntos Laplace. Las determinaciones astronómicas, tanto su teoría como
sus métodos son a veces incluidas dentro de la astronomía de posición.
Los métodos de pasos meridianos y de alturas iguales son los más
comúnmente empleados.
 Ramas de La Geodesia
Geodesia Geométrica.- Es aquella rama de la Geodesia en la que los
datos de observación están constituidos por las medidas de ángulos y
distancias en la superficie terrestre. Estos datos son referidos a un
elipsoide de referencia para construir las triangulaciones en el caso de
la Geodesia clásica bidimensional o bien estudiados en coordenadas
cartesianas en el caso de la Geodesia tridimensional. También son
necesarias las determinaciones de altitudes de puntos sobre una
superficie de cota cero. El conocimiento de la geometría del elipsoide
de revolución es fundamental.
 Ramas de La Geodesia

Geodesia Dinámica.- Es aquella rama de la Geodesia que basada en la

teoría del potencial, trata de las medidas de la gravedad, del estudio del
campo exterior y de la obtención de la forma de la Tierra; sus datos
fundamentales son las medidas de la gravedad efectuadas generalmente
en superficie, y las perturbaciones observadas en el movimiento de un
satélite artificial. Está relacionada con la Geodesia geométrica, con la
geofísica, con la astronomía y con la mecánica celeste. Suele subdividirse
en gravimetría, teoría del campo y consecuencias.
No obstante esta división, hoy día los métodos globales de la Geodesia
actúan en conjunto con datos geométricos y dinámicos a fin de
alcanzar sus objetivos de forma conjunta en la llamada geodesia
integrada. Desde el punto de vista temático, la Geodesia puede
dividirse en diversas secciones o capítulos que, aunque relacionados
unos con otros, algunos de ellos han adquirido entidad propia. Así,
entre otros, tenemos.

Teoría de la figura de la Tierra.- Constituida por los principios de

la teoría del potencial y teoría de figuras de equilibrio aplicados al
campo de gravedad terrestre.
Teoría de redes geodésicas.- Incluye el estudio de las
triangulaciones y trilateraciones, el cálculo y compensación de redes
geodésicas y el cálculo de coordenadas, con el análisis estadístico de
los resultados.
Nivelación.- Trata de todo lo referente a la medida de altitudes y
establecimiento de redes altimétricas.
Teoría de la rotación de la Tierra.- Estudia el movimiento de
rotación de la Tierra, en un sistema de referencia fijo en el espacio
(precesión y nutación) y en un sistema de referencia fijo al cuerpo
(velocidad de rotación y movimiento del polo) y está íntimamente
ligada a la astronomía en lo referente a los sistemas de tiempo y
nutación y a la geofísica con los modelos del interior de la Tierra. Sus
principales datos son las determinaciones astronómicas clásicas, los
resultados de la Geodesia Doppler, GPS, laser y VLBI.
Gravimetría.- Trata de las determinaciones de la gravedad, sus
reducciones, cálculo de anomalías y establecimiento de redes
gravimétricas; sirve de base para aplicaciones geodésicas y geofísicas.
Geodesia Física.- Está constituida por aquellas teorías y métodos
encaminados a la determinación del geoide, con datos dinámicos o
gravimétricos, mediante un análisis del problema de contorno de la
teoría del potencial. Describe los modelos terrestres de comparación
para el establecimiento de la figura de la Tierra, calcula y utiliza
fundamentalmente las anomalías gravimétricas.
También estudia el campo exterior de la gravedad.
Mareas terrestres.- Estudia las desviaciones periódicas de la vertical
debidas a las acciones gravitatorias del Sol y la Luna y sus efectos sobre
el geoide y deformaciones de la Tierra, tanto desde un punto de vista
teórico como numérico y experimental.
Geodesia tridimensional.- Trata el problema de la forma y dimensiones de
la Tierra en un sistema de referencia tridimensional, aquí el elipsoide sólo será
una superficie auxiliar de la que puede prescindirse. Su evolución actual se
dirige al estudio de cuestiones de holonomía con sistemas de referencia
móviles.
Geodesia espacial.- Esta nueva rama de la Geodesia trata principalmente
con satélites artificiales cuya observación resulta más cómoda y precisa que la
tradicional. Aplica técnicas tridimensionales y resuelve todos los problemas de
la Geodesia tanto geométricos como dinámicos. En los cálculos emplea
frecuentemente técnicas de colocación por mínimos cuadrados. Incluiremos
también en la Geodesia espacial los métodos propios de la VLBI.
Ya con entidad independiente, tenemos:
Cartografía.- Trata del establecimiento de cartas de todo
tipo y engloba todas las fases de trabajo, desde los
primeros levantamientos hasta la impresión final de los
mapas. Se incluyen los Sistemas de Información
Geográfica.
Topografía.- Trata del estudio y aplicación de los
métodos necesarios para llegar a representar el terreno
con todos sus detalles, naturales o no, en él existentes, así
como de los instrumentos utilizados.
Fotogrametría.- Técnica que trata de estudiar y definir
con precisión las formas, dimensiones y posiciones en el
espacio, de un objeto cualquiera, utilizando esencialmente
una o varias fotografías del mismo, en nuestro caso del
terreno.
Introducción a la geodesia.
1. Descripción de los contenidos de la
introducción a la geodesia.
2. Definición, historia y ramas de la geodesia.
3. Conceptos fundamentales:
4. Elipsoide, geoide, ondulación geoidal,
deflexión de la vertical, altura ortométrica
y elipsoidal. Relación entre ellos.
5. Sistemas de referencia.
6. Definición de dátum.
7. Establecimiento de un dátum.
8. Definición de los sistemas de coordenadas.
9. Relación entre los sistemas de coordenadas
10. Coordenadas cartesianas del plano
meridiano versus latitud y longitud.
11. Coordenadas cartesianas ortogonales
versus latitud y longitud.
12. Sistema geocéntrico reducido versus latitud
geocéntrica.
13. Otras relaciones.
14. Aplicaciones.
 Elipsoide

Superficie que aproxima la forma de la Tierra.

Se define como superficie geométrica de
referencia para la representación de los
elementos sobre la tierra, un elipsoide de
revolución.

La forma y dimensión del elipsoide de

revolución terrestre queda determinada por
dos parámetros (por ejemplo, a: semieje mayor
y b: semieje menor), además es necesario
definir su ubicación y orientación.
De esta manera cada sistema de referencia
geodésico tendrá asociado un elipsoide de
revolución.
Geoide

Si bien la superficie física de la Tierra puede ser

representada punto a punto por medio de
coordenadas, existen una gran cantidad de
requerimientos prácticos (la mayoría
vinculados a la determinación de la dirección
de escurrimiento del agua) que imponen la
determinación de alturas respecto de una
superficie de nivel (superficie horizontal).

Cabe señalar que las coordenadas espaciales de

un punto constituyen una referencia
puramente geométrica mientras que las alturas
referidas en último término dependen del
campo de gravedad terrestre, el que a su vez
depende de la distribución de masas en el
interior del planeta, adquiriendo así un
significado físico.
Geoide

Se define como superficie horizontal, o

superficie de nivel o superficie
equipotencial del campo de gravedad a
aquella que en todos sus puntos es normal a la
dirección de la vertical del lugar, la cual
coincide con la dirección de la gravedad en
cada punto y es la dirección de la resultante de
la fuerza de atracción de la masa terrestre y la
fuerza centrífuga producida por la rotación
terrestre
Geoide

La Tierra aparecerá entonces, laminada por

superficies equipotenciales o de nivel de las
cuales se destaca una, la que mejor se ajusta al
nivel medio del mar; es el geoide.

Superficie equipotencial gravimétrica

que corresponde al nivel medio del mar
Ondulación Geoidal
Deflexión de la Vertical
Altura Ortométrica y elipsoidal
 SISTEMAS DE REFERENCIA

Se denomina SISTEMAS DE REFERENCIAa un conjunto de parámetros cuyos

valores, una vez definidos, permiten la referenciación precisa de localizaciones en el
espacio.
A este conjunto de parámetros también se le suele llamar DATUM GEODESICOS; el
término aislado DATUM se refiere a un punto concreto, localizado sobre la superficie
terrestre y que, determinado mediante observaciones astronómicas, sirve de origen al
sistema de coordenadas que se utilice; este punto se denomina punto fundamenal.
Los sistemas de referencia geodésicos definen la forma y dimensión de la tierra, así
como el origen y orientación de los sistemas de coordenadas.
 SISTEMAS DE REFERENCIA

Sistema de Referencia: Definición de modelos, parámetros, constantes, etc., que

sirven de base para la descripción del estado geométrico o de los procesos físicos de
la Tierra o de la superficie terrestre (p.eje., sistema cartesiano tridimensional
ortogonal, con el eje Z paralelo al eje de rotación terrestre, el eje X pasand por el
meridiano de Greenwich, la escala dada por la constante gravitacional gecéntrica,
GM, y la velocidad de la luz, Vo…).

Marco de Referencia: Realización (materialización) de un sistema de referencia o un

juego de entidades físicas y matemáticas (por eje., un número de puntos
monumentados sobre la superficie terrestre con sus coordenadas geocéntricas
tridimensionales X, Y, Z ó elipsoidales φ, λ, h dadas convensionalmente.

Datum geodésico: Parámetros que conectan las mediciones con el sistema de

referencia (por eje., tamaño y orientación de un elipsoide de referencia (GRS-80 o
WGS-84 con semieje mayor = 6378137 m., achatamiento dinámico J = 108263 * 10
(corresponde al achatamiento geométrico f = 1: 298,257), y su orientación con -8
respecto al sistema geocéntrico dada por las desviaciones de la vertical y las 2
ondulaciones del geoide en puntos fundamentales (estaciones Laplace)).
 SISTEMAS DE REFERENCIA

Sistema de Referencia

IERS Terrestrail Reference System (ITRS): Sistema de referencia del Servicio

Internacional de Rotación Terrestre (IERS), establecido para la determinación de la
rotación de la tierra en el sistema de referencia celeste (ICRS) por combinación de
diferentes técnicas espaciales.

Marcos de Referencia
IERS Terrestrial Reference Frame (ITRF): Materialización del ITRS por un número de
estaciones en la superficie terrestre (aprox. 300) con coordenadas dadas para una
época fija y sus variaciones en el tiempo (velocidades). Sirve para la determinación de
las órbitas precisas de os satéites GPS por el Servicio GPS Internacional (IGS).
Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas (SIRGAS): Densificación del
ITRF, inicialmente establecido para América del Sur con 58 estaciones en 1995 y
extendido al Caribe, Norte y Centro América en el 2000 (formalmente adoptado en
febrero del 2001).
 SISTEMAS DE REFERENCIA

Datum Geodésicos
Preliminary South American Datum 1956 (PSAD56): Establecido por coordenadas
astronómicas y desviaciones de la vertical observadas en La Canoa, Venezuela,
referidas al elipsoide internacional (Hayford).
Desviación del geocentro X = -288 m. Y = 175 m. Z = -376 m.

South American Datum 1969 (SAD69): Establecido por coordenadas astronómicas y

desviaciones de la vertical observadas en Chua, Brasil, referidas al elipsoide SAD69.

Desviación del geocentro X = -57 m. Y = 1 m. Z = -41 m.

North American Datum 1983 (NAD83): Establecido por ajuste común de

observaciones clásicas (azimutes, direcciones, distancias), Doppler y líneas de base
VLBI referidas al elipsoide del sistema geodésico 1980 (GRS80).

Desviación del geocentro ± 2 m.

 Sistemas de Referencia

En la Geodesia Moderna se destacan dos tipos de Sistemas:

• Uno fijo en el espacio, SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL

(CIS), para la descripción del movimiento de los satelites.

• Uno fijo a la tierra, SISTEMA DE REFERENCIA TERRESTRE o

CONVENCIONAL (CTS), para la posición de la estación de
observación.
 Sistemas de Coordenadas

Geometría Básica
 SISTEMAS DE COORDENADAS

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o

más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de
un punto o de otro objeto geométrico
Coordenadas Rectangulares en el Plano.

¡ Recuerde !
-Origen
-Orientación
-Escala
 Coordenadas Polares
En el plano de ejes XY con centro de coordenadas en el punto 0 se puede definir un
sistema de coordenadas polares de un punto P del plano, definidas por la distancia r al
centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.
Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y),

se tiene que las coordenadas polares son:

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje

x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
 Coordenadas Rectangulares en el espacio

Tres planos mutuamente perpendiculares

 Coordenadas Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente

perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia
entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar
para alcanzar la posición del punto.
Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto M en el espacio por sus coordenadas rectangulares

(x,y,z), se tiene que:

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en el espacio por sus ángulos directores y la distancia

al centro de coordenadas r, se tiene:
 Coordenadas Cartesianas.

El sistema de coordenadas cartesianas es aquel

formado por tres ejes en el espacio, mutuamente
perpendiculares y que se cortan en el origen. Z
P`( xP ,` yP`, zP) `
 Origen O,

 El eje-Z
P (xP, yP,zP)
 El eje-X
 El eje-Y

Plano Ecuatorial O zP Y
xP
Mano derecha: sentido anti-horario yP
Mano izquierda: sentido horario

X
 Coordenadas Cartesianas (Geocéntricas).

Se les llama geocéntricas cuando su origen es el

centro de masa de la tierra.
Z
 Origen O, es el centro de masas de la Tierra.
 El eje-Z, es el eje Polar (medio) fijo.
 El eje-X, es el Meridiano (medio) de Greenwich.
 El eje-Y, es perpendicular al plano XOZ. P ( x P, y P,zP)

zP
Plano Ecuatorial O Y
xP
yP

X
 Coordenadas Geodésicas
(φ, λ, h)

LATITUD
-Es el ángulo formado entre la Normal al elipsoide y que contiene al
punto “P”

- Sus valores son de 0° a 90° y de 0° a -90°, siendo 0° el Ecuador.

- 0° es el Ecuador, valores (+) hemiferio Norte, y (-) hemiferio Sur

LONGITUD

-Es el ángulo diedro formado entre entr e el meridiano Zero y

meridiano que pasa por el punto “P”

-Sus valores son entre 0 y +/- 180

- Hacia el este del Meridiano Zero o Greenwich (+), y al oeste (-)

 Coordenadas Geodésicas
(φ, λ, h)

Estas son coordenadas referidas a un elipsoide en particular,

cuyo radio ecuatorial (semi-eje mayor, a) y achatamiento, f, deben
ser especificados. Superficie P Normal
Z terrestre
h - Altura elipsoidal h
al
elipsoide
φ - Latitud geodésica
λ - Longitud geodésica
b N
φ
a Y
λ
φ

X
Geometría Básica y Parámetros Sobre el
Elipsoide

a- Semi-eje mayor (o ecuatorial)

b- Semi-eje menor (o polar)

F 1,F2 - Puntos focales

E- Excentricidad lineal del
elipsoide.
Por geometría: PF 1 +PF2 = 2a
Trasladando el punto P hacia el eje-z y considerando que
la distancia desde el origen a cualquier punto focal (F1 o
F2) sea igual a E, entonces:
 ab
 Achatamiento del elipsoide, f : f =
a
a2 b2
 1a. Excentricidad del elipsoide, e: e=
a

 2a. Excentricidad del elipsoide,e’ : e' =

a2 b2
b
 Excentricidad angular, a: a = tan
E 1

b
Coord. Cartesianas Coord. Geodésicas
 Transformación Entre Coordenadas Geodésicas y
Cartesianas ECEF (Hofmann-Wellenhof 2001).
P
Normal al Elipsoide

h X =(N +h) coscos

(N +h) sin

N Y =(N +h) cossin

b2 
φ Z =  2 N +h sin
Y a 

λ N=
a2
φ a2 cos2 +b2 sin2
p =(N +h) cos N - Radio de Curvatura
de la Primera Vertical

X  La transformación de coordenadas geodésicas (φ, λ, h) a

cartesianas (X, Y, Z) requiere de cuando menos 2-parámetros del
elipsoide en cuestión (ejemplo: a, f).
 Se asume que el origen del Sistema Cartesiano (ECEF)
coincide con el origen del elipsoide, y cuyos ejes son ortogonales.
 Transformación Entre Coordenadas Geodésicas y
Cartesianas ECEF (Hofmann-Wellenhof 2001 pág. 283).
4. Cálculo de la altura elipsoidal: P Normal
Z al Elipsoide
p h
h=  N0 (N +h)sin

cos0 N
φ Y
5. Cálculo de un nuevo valor λφ
para la latitud: p =(N +h)cos

1
z N0 
tan =  1e2  X
p N0 + h
6. Continuar con las iteraciones hasta que el valor de  0 ,
de otra forma proseguir con el paso 3.
 Transformación de coordenadas

La transformación entre dos marcos coordenados se define por

medio de 7-parámetros de transformación.
Di - Traslaciones o ∆x, ∆y, ∆z
Ri - Rotaciones
D - Escala

          
 y = y +Dy+ D y + R3 0 R1 y
z
 A  z
 de  Dz
  z de R
 2 R 1 0 z de
 Datum Clasicos

1.Calcule los parámetros utilizados para transformar coordenadas de PSAD56 a SIRGAS de acuerdo a los
siguientes resultados:
Parámetros de PSAD56 a SIRGAS
DX=
DY=
DZ=

PuntoN1 X Y Z
PSAD56 -2059956 5692378 -2006096

SIRGAS -2059736 5692106 -2006456

2.- Calcule

DX=
DY=
DZ=

PuntoN2 X Y Z
PSAD56 -2047365 5751902 -2022287

SIRGAS -2047643 5752005 -2022189

Transformar coordenadas de SIRGAS a PSAD56 de acuerdo a los siguientes parámetros:

Parámetros de PSAD56 a SIRGAS

DX= 280
DY= -315
DZ= -150

PuntoN2 X Y Z
PSAD56

SIRGAS -2037606 5697802 -2009949

 Rotaciones Sobre los Ejes Coordenados

1 0 0 
 
R1(a) =0 cosa sina  Alrededor del eje-x por el ángulo α
0
 sina cosa 

cos 0 sin

R2() = 0 1 0  Alrededor del eje-y por el ángulo β
  0 cos 
sin

 cos sin 0
  Alrededor del eje-z por el ángulo γ
R3() =sin cos 0
 0
 0 1 
Otros sistemas de referencia

latitud
Introducción a la geodesia.
1.Descripción de los contenidos de la
introducción a la geodesia.
2.Definición, historia y ramas de la geodesia.
3.Conceptos fundamentales:
4.Elipsoide, geoide, ondulación geoidal,
deflexión de la vertical, altura ortométrica y
elipsoidal. Relación entre ellos.
5.Sistemas de referencia.
6.Definición de dátum.
7.Establecimiento de un dátum.
8.Definición de los sistemas de coordenadas.
9.Relación entre los sistemas de coordenadas
10.Coordenadas cartesianas del plano
meridiano versus latitud y longitud.
11.Coordenadas cartesianas ortogonales
versus latitud y longitud.
12.Sistema geocéntrico reducido versus latitud
geocéntrica.