TAREA 2 - Calculo - Multivariado

CALCULO MULTIVARIADO
TAREA 2 -
DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Presentado a tutor:
Entregado por el estudiante:
GRUPO: 20
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
2019
VILLAVICENCIO
Tabla de elección de ejercicios:
Selección de ejercicios.
Nombre
Grupo de Grupo de
del ejercicios
Grupo de
ejercicios 3 –
Grupo de Grupo de
ejercicios 2 ejercicios 4 ejercicios 5 –
estudiante 1– Linealización
– Derivadas – Máximos Multiplicadore
Derivadas y
direccionales y mínimos s de Lagrange
parciales diferenciales
JOSE
LIBARDO B B B B B
GUEVARA
PARRADO
Grupo de ejercicios 1 – Derivadas Parciales.

La ecuación de onda
Si nos paramos en la orilla del mar y tomamos una foto de las ondas,
el rango muestra un patrón regular de picos y valles en un instante
de tiempo. Vemos el movimiento vertical periódico en el espacio, con
respecto a la distancia. Si nos paramos en el agua, podemos sentir
como sube y baja el agua con las olas. Vemos el movimiento vertical
periódico en el tiempo. En física, esta bella simetría se expresa
mediante la ecuación de onda en una dimensión (espacial)
∂2 w 2 ∂2 w
=c
∂ t2 ∂ x2
Donde w es la altura de la onda, x es la variable de distancia, t es la
variable de tiempo y c es la velocidad de propagación de las ondas.
Muestre que todas las funciones de los ítems a – e son soluciones de
la ecuación de onda:
B: w=cos ⁡(3 x +3 ct )
DESARROLLO
w=cos ⁡(3 x +3 ct )
∂w
=cos ⁡(3 x +3 ct)
∂t
∂w
=−sen ( 3 x+ 3 ct ) ×2 c
∂t
Para darle solución a este ejercicio hallo la primera y segunda derivada

parcial de la función ecuación de onda respecto a t
∂w ∂w
= ( cos ( 3 x+ 3 ct ) ) =−2 csin(3 x+3 ct )
∂t ∂t
∂2 w ∂ w
2
= [− 2c (sin ( 3 x +3 ct ) 2 c) ]=−4 c 2 cos (3 x+3 ct )
∂t ∂t
Como segunda medida debo realizar el mismo paso anterior pero esta
vez con respecto a x
∂w ∂w
= ( cos ( 3 x+ 3 ct ) ) =−2 csin(3 x+3 ct )
∂ x ∂x
∂2 w ∂ w
2
= [− 2c (sin ( 3 x +3 ct ) 2 c) ]=−4 c 2 cos (3 x+3 ct )
∂x ∂x
Luego de haber calculado las derivadas anteriores tengo que:

Reemplazo valores a la ecuación de onda
∂2 w 2 ∂2 w
=c
∂ t2 ∂ x2
∂2 w 2
2
=−4 c cos(3 x +3 ct)
∂x
2 ∂2 w 2
c 2
=−4 c cos (3 x +3 ct )
∂x
−4 c 2 cos (3 x +3 ct )=−4 c 2 cos(3 x +3 ct)
Respuesta: Se evidencia que los dos valores resultantes en cada

igualdad son iguales y que la derivada es una solución a la ecuación de
la onda
Grupo de ejercicios 2 – Derivadas Direccionales.
En los siguientes ejercicios encuentre la derivada direccional de la
función dada en el punto indicado en la dirección señalada:
x 2− y 2
B: f ( x , y , z ) = en P ( 1, 4 ,−1 ) , en la dirección de 2 i− j+3 k
z2
DESARROLLO
Cálculo para este ejercicio como primera medida las derivadas parciales
x 2− y 2
f ( x , y , z )=
z2
∂ f 2x
=
∂ x z2
∂ f −2 y
= 2
∂y z
2 2
∂ f −2(x − y )
=
∂z z3
realizo el cálculo para hallar el valor del vector gradiente
2x −2 y 2(x 2− y 2 )
∇ f ( x , y , z )=
( ) ( ) (
z2
i−
z2
j−
z3
k )
2x −2(4) 2((1)2−(4 )2 )
∇ f ( 1,4 ,−1 )=
( (−1)2 ) (
i−
(−1)2
j−
(−1)3) ( k
)
∇ f ( 1,4 ,−1 )=4 i+8 j+ 30 k
Realizo el calculo para hallar el valor del vector unitario

Primero hallo la magnitud del vector
v=2i− j+3 k
‖v‖= √22 +(−1)2 +32

‖v‖= √12
Ya con el valor anterior calculo el vector unitario
1 2 1 3
u= v= i− j+ k
|v| √12 √ 12 √ 12
Realizo el calculo con el fin de hallar la derivada direccional
Du f ( x , y , z )×u
Reemplazo valores obtenidos anteriormente en la formula
D u f ( 1,4 ,−1 )=(4 i+8 j+30 k ) ( √212 i− √112 j+ √312 k )

Simplifico
D u f ( 1,4 ,−1 )=(4 i+8 j+30 k ) ( √212 i− √112 j+ √312 k )

Simplifico
4 8 90
(
D u f ( 1,4 ,−1 )= + +
√ 12 √ 12 √ 12 )
102
D f ( 1,4 ,−1 )=(
√ 12 )
u
Grupo de ejercicios 3 – Linealización y Diferenciación.
Determine la linealización de L(x , y ) de la función f (x , y ) en p0. Luego

determine una cota superior M , para la magnitud |E| del error de la
aproximación f ( x , y ) ≈ L(x , y ) en el rectángulo R .
1 2 1 2 en P0 ( 2,2 ) ,
B: f ( x , y )= x +3 xy+ y + 4 x−4 y +2
2 4
R :|x−2|≤ 0.1 ,| y−2|≤ 0.1
Grupo de ejercicios 4 – Máximos y Mínimos.

Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o
su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados
empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y
probar si son extremos relativos.
B: f ( x , y )=4 x−( x−2)2 −2 y +¿
Grupo de ejercicios 5 – Multiplicadores de Lagrange.

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar
los extremos con restricciones de la función dada.
B: f ( x , y )=2 x 2−4 y 2+1 , sujeta x +2 y =−3

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CALCULO MULTIVARIADO

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Grupo de ejercicios 1 – Derivadas Parciales.

Para darle solución a este ejercicio hallo la primera y segunda derivada

Luego de haber calculado las derivadas anteriores tengo que:

−4 c 2 cos (3 x +3 ct )=−4 c 2 cos(3 x +3 ct)

Respuesta: Se evidencia que los dos valores resultantes en cada

Realizo el calculo para hallar el valor del vector unitario

‖v‖= √22 +(−1)2 +32

Reemplazo valores obtenidos anteriormente en la formula

D u f ( 1,4 ,−1 )=(4 i+8 j+30 k ) ( √212 i− √112 j+ √312 k )

D u f ( 1,4 ,−1 )=(4 i+8 j+30 k ) ( √212 i− √112 j+ √312 k )

Grupo de ejercicios 3 – Linealización y Diferenciación.

Determine la linealización de L(x , y ) de la función f (x , y ) en p0. Luego

Grupo de ejercicios 4 – Máximos y Mínimos.

B: f ( x , y )=4 x−( x−2)2 −2 y +¿

Grupo de ejercicios 5 – Multiplicadores de Lagrange.

B: f ( x , y )=2 x 2−4 y 2+1 , sujeta x +2 y =−3

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