Untitled

TALLER 2.
CÁLCULO MULTIVARIADO Y VECTORIAL

Universidad Libre
Profesor: Arley Gómez
1. Graficar en R2 el dominio de las siguientes funciones

2
a) F (x, y) = x2 y 2 − ex−y
p
b) f (x, y) = 18 − 2x2 − 2y 2
c) g(x, y) = ln(y − x2 + 3x)
√
100−25x2 −4y 2
d ) h(x, y) = y−x
2. Graficar las siguientes funciones
a) f (x, y) = 12 − x + 3y b) g(x, y) = 4 − x2
p
c) h(x, y) = x2 + y 2 − 3 d) F (x, y) = 36 − 9x2 − 4y 2
p p
e) G(x, y) = 3 y − (x2 /4) f ) H(x, y) = 2x2 + 2y 2 + 4
p
h) I(x, y) = −(x − 3)2 − (y − 3)2 + 3 i) J(x, y) = x2 + y 2 − 2x − 8y + 17
3. Una plancha delgada de metal, situada en el plano xy, está a una temperatura T (x, y)
en el punto (x, y). Las curvas de nivel de T se llaman isotermas por que la temperatura
es igual en todos los puntos sobre una isoterma. Trace algunas isotermas si la función
de temperatura está definida por:
10
T (x, y) =
1 + x2 + 2y 2
Trate de realizar la gráfica de la función utilizando las curvas de nivel.
4. Utilice curvas de nivel para graficar la función:
−4x
z=
1 + x2 + y 2
Puede utilizar Geogebra.
5. Halle las primeras y segundas derivadas parciales de las siguientes funciones

3 +2y 2
a) f (x, y) = −3x3 y 2 − 8xy 3 b) f (x, y) = 2e−3x
c) f (x, y) = sen(5x2 + 4y 2 )
6. Verificar que la función z = ln(ex + ey ) es solución de las ecuaciones diferenciales:

2
∂2z ∂2z ∂2z

∂z ∂z
+ =1 y − =0
∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y
7. Determine una ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto especı́fico
1
a) z = 4x2 − y 2 + 2y, en (−1, 2, 4)
b) z = y cos(x − y), en (2, 2, 2)
c) z = x2 y − 2x3 , en el punto en que (x, y) = (1, 2)
8. Utilice la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales indicadas
a) z = x ln(x + 2y), x = sin t, y = cos t: dz/dt

∂w ∂w
b) w = x2 + y 2 + z 2 , x = rt, y = r sin t, z = cos t : ∂t , ∂r , cuando r = 1, t = 0.
c) w = x2 + y 2 , x = t2 + 2t, y = t5 et , t = sr2 + es : ∂w ∂w
∂r , ∂s
d) w = 3x2 yz 3 , x = 2 sen 2t + t, y = 2 cos 2t − t, z = t2 , dwdt cuanto t = 0
9. La longitud l , ancho w y altura h de una caja cambian con el tiempo. En el instante

de tiempo t = 3 segundos, las dimensiones son l = 1m y w =h = 2 m. l y w se
incrementan a razón de 3t m/s, mientras que h decrece a una razón de 4 m/s. En
este instante encontrar las razones a las cuales está cambiando el volumen y el área
superficial de la caja.
10. Halle la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v
a) f (x, y) = ye−x + 3y P (1, 1) v = (1, 0)

2 2
b) g(x, y) = ln(x + y ) P (1, 1) v = (1, 2)
3 2 4
c) f (x, y, z) = x y z P (1, 0, 1) v = (1, 1, 1)
d) f (x, y) = sen(xy) P (2, π/2) v = (1, 0)
11. Suponga que en cierta región el potencial eléctrico V está dado por V (x, y, z) =
5x2 − 3xy + xyz
a) Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P = (3, 4, 5) en dirección

del vector U = i + j − k
b) ¿En qué dirección cambia V más rápidamente en P ?
c) ¿Cuál es la mayor razón de cambio en P ?
12. Suponga que una montaña tiene forma de un paraboloide elı́ptico z = c − ax2 − by 2 ,
donde a, b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur,
y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y y z están medidas en metros). En el punto
de la montaña que está directamente arriba del punto (1, 1), ¿en qué dirección está
aumentando más rápidamente la altitud? Si se suelta una canica en (1, 1), ¿En qué
dirección comenzará a rodar?
13. Un ingeniero desea construir un ferrocarril que suba la montaña del ejercicio anterior
estimando que a = 0,03, b = 0,01 y c = 95. Subir directamente la montaña es demasiado
empinado para la fuerza de las máquinas. En el punto que está directamente arriba de
(1, 1), ¿en qué direcciones se puede colocar la vı́a de modo que suba un 3 %; esto es, un
ángulo cuya tangente sea 0, 03? (Hay dos posibilidades) Hacer un esbozo de la situación
indicando las dos direcciones posibles para una inclinación de 3 % en (1, 1).
2
14. Para las siguientes funciones halle sus puntos crı́ticos y clasifı́quelos según sean máximos
relativos, mı́nimos relativos o puntos de silla.
a) 9 − 2x + 4y − x2 − 4y 2 b) x2 + 3xy − 10x + y 2 − 5y + 7
c) 2x2 + 5xy − 2x + 3y 2 − 3y + 5 d) x3 y + 12x2 − 8y
e) x4 − y 2 − x2 + 5y − 2 f ) 2xye2x+y + 2

Untitled

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Untitled

Cargado por

Información del documento

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Untitled

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

TALLER 2.

CÁLCULO MULTIVARIADO Y VECTORIAL

1. Graficar en R2 el dominio de las siguientes funciones

2. Graficar las siguientes funciones

Trate de realizar la gráfica de la función utilizando las curvas de nivel.

4. Utilice curvas de nivel para graficar la función:

5. Halle las primeras y segundas derivadas parciales de las siguientes funciones

6. Verificar que la función z = ln(ex + ey ) es solución de las ecuaciones diferenciales:

8. Utilice la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales indicadas

a) z = x ln(x + 2y), x = sin t, y = cos t: dz/dt

9. La longitud l , ancho w y altura h de una caja cambian con el tiempo. En el instante

a) f (x, y) = ye−x + 3y P (1, 1) v = (1, 0)

a) Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P = (3, 4, 5) en dirección

También podría gustarte