Ejercicios 1,2y3

ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD UNO
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
Presentado a:
Marco Antonio Ramirez porras
Tutor(a)
Entregado por:
Lorena paola zamudio Vargas

Código: 1022980045
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
FECHA
septiembre
2021
EJERCICIOS 1. VARIABLES SEPARABLES
Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de
variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del
paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Lorena Paola Zamudio
a. 𝑦 ′ = 6𝑥 − 3, 𝑦 (0) = 4
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

EXPRESIÓN MATEMÁTICA
Se utilizan las ecuaciones diferenciales para

variables separables
𝑦 ′ = 6𝑥 − 3, 𝑦 (0) = 4
dy Se debe mira la condición de la ecuación para

=6 x−3
dx separar las variables.
dy =( 6 x−3 ) dx
∫ dy=∫ ( 6 x−3 ) dx Se integra en ambos lados,
∫ dy=∫ 6 x dx−∫ 3 dx
x2
y=6. −3 x
2
x2 Se haya la solución general

y=6. −3 x +C
2
y=3 x 2−3 x +C
2
4=3 ( 0 ) 3 ( 0 ) +C Se aplica la condición indicada.
C=4 y ( 0 )=4
y=3 x 2−3 x +4
EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES
HOMOGÉNEAS
Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de
Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso,
debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Lorena paola zamudio
dy 2 x− y
a. =
dx x+ 4 y
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN RAZÓN O EXPLICACIÓN
MATEMÁTICA
dy 2 x− y Se debe despejar dy
=
dx x +4 y
2 x− y
dy = dx
x+ 4 y
2 x− y Se hace y=ux dy=udx + xdu
dy = dx
x+ 4 y
Y reemplazamos en la ecuación.
2 x−ux
dy = dx
x+ 4 ux
x (2−u)
udx + xdu= dx
x (1+4 u)
( 2−u ) Se factoriza la ecuación y se simplifica. Y se
udu= dx −udx
( 1+ 4 u ) realiza la operación entre las valores de u
( 2−u )
xdu=
[ (1+ 4 u ) ]
−u dx
( 2−u ) u
xdu=
[ ]
− dx
(1+ 4 u ) 1
( 2−u )−u (1+4 u)

xdu=
[ (1+ 4 u ) ]
dx
( 2−u )−u (1+4 u 2)
xdu=
[ ( 1+4 u )
dx
]
xdu=[ 2−2 u−4 u2 ¿ ¿ ¿ ( 1+4 u ) ] dx
( 1+4 u ) dx
du=
2−2 u−4 u 2
x
( 1+ 4 u )
∫ 2−2 u−4 u 2 du=∫ dxx
( 1+ 4 u )
∫ 2−2 u−4 u 2 du
z=2−2u−4 u2 dz =(−8 u−2 ) du
z=2−2u−4 u2 dz =−2 ( 4 u+1 ) du
dz
du=
−2(4 u+ 1)
( 1+ 4 u )
∫ 2−2 u−4 u 2 du
( 1+4 u ) dz
∫ z −2(4 u+ 1) se aplica la siguiente propiedad de logaritmo
natural
−1
∈ ( z )=¿ ( x )+ c
2
¿( z )−1 /2=¿ ( x ) +c ¿( a)b=bln (a)
¿
( z1 )=¿ ( x ) +c
1/ 2
e ¿/ x ¿ ¿=x
1
e
( z )
¿ 1 /2
=e¿ (x )+c
1
e
( )=e
¿ 1
z2 ¿( x )
. e c ; e c =c
1
=xC
1
z2
Se eleva al cuadrado
1 2 2
=x C
z
Se reemplaza el valor de z
2−2u−4 u 2
1
2
=x 2 C 2
2−2 u−4 u
Se reemplaza el valor de u=y/x

1
2
=x 2 C 2
2−2 u−4 u
1
2
=x 2 C2
2−2 ( xy )−4 ( yx )
1
2
=x 2 C 2
2y 4 y
2− − 2
x x
1
2
=x 2 C2
2 x−2 y 4 y
− 2
x x
1
3 2 2 2
=x 2 C 2
2 x−2 y+ 2 x −2 y x −4 y x
x3
1
2
=x 2 ¿ ¿
C
1
=¿ ¿
C2
EJERCICIOS 3 - ED EXACTAS.
a . ( cosx senx −x y 2 ) dx + y ( 1−x 2 ) dy=0 y ( 0 )=2

∂M ∂ N Se realiza la prueba para comprobar que la ED

=
∂ y ∂x sea exacta
∂M ∂N
=−2 xy =−2 xy
∂y ∂x
∫ M ( x , y ) dx=∫( cosx senx−x y 2) dx Integramos una parte de la funcion
se n2 ( x ) y 2 x 2
f= − +φ ( y)
2 2
∂f Ahora lo que se hace es derivar con respecto a
=− y x 2 +φ ' ( y )
∂y y,
y ( 1−x 2 )=− y x 2+ φ ' ( y ) Igualamos con N para obtener la función

faltante
y2
φ ' ( y )= yφ ( x )= +C
2
y 2 y 2 x 2 se n 2 ( x ) Quedando que la función es,

F= − + +C
2 2 2
y 2 y 2 x 2 se n 2 ( x ) Y reemplazando las condiciones nos queda.

F= − + −2
2 2 2
EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA

A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el
foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y
buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden
seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas
Problema
a .La posición de un cuerpo es un vector que nos permite conocer, respecto a un sistema de referencia
inercial, sus coordenadas. Cuando cambia la posición, a medida que transcurre el tiempo, surge el
concepto de movimiento, y con él, el concepto de velocidad; en ese sentido, la velocidad es la variación
de la posición con respecto al tiempo, Si la velocidad de una partícula en función del tiempo viene dada
por la expresión 𝑣(𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣0, determine a 𝑥(𝑡) sabiendo que 𝑣(𝑡) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , además calcule 𝑣(𝑡 = 2𝑠)
cuando 𝑣(𝑡 = 0) = 5 𝑚 𝑠 :
A. x ( t )=−g+ x 0 , v (t=2 s)=15 m s
2
B. . x ( t )= −¿ + v 0 t+ x 0 ; v ¿
2
2
C. x ( t )= ¿ + v 0 t+ x 0 ; v ( t=2 s )=25 m s
2
D. x (t)=−g + x 0 ; v (t=2 s)=−15 m/ s

v ( t )=−¿+ v 0 , v (t=0 )=5 m/s Ecuación diferencial original
dx Es una ED lineal de variables separables.

v ( t )=
dt
dx=v ( t ) dt Se separan las variables
∫ dx=∫ v ( t ) dt Se integra a ambos lados de la ED
∫ dx=∫ (−¿+ v 0 )dt Se escribe la función v(t)
−g t 2 Se obtiene la integral de ambas partes y se agrega

x= + v 0 t+ x 0
2 la constante de integración. Esta es la función x(t)
solicitada.
v ( t )=−¿+ v 0 , v (t=0 )=5 m/s Se ide calcular v(t=2) considerando a g=10 m/ s2
la función queda:
v ( t )=−10 t+ 5 m/ s Se procede a remplaza a t por 2
v ( t=2 )= (−10 ( 2 )+5 ) m/ s Se remplaza a t y se realizan las operaciones
v ( t=2 )=−15 m/ s Se obtiene el resultado de la velocidad a los 2

segundos de iniciar el movimiento.
2
Se concluye que esta es la respuesta correcta.
x ( t )= −¿ +v 0 t+ x 0 ; v ¿
2
PASO 5
EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA

SITUACIÓN PLANTEADA.
Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar
toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra
de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas
utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el
proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error
o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.
Situación y solución planteada:
Situación problema:
Ejercicio y solución planteada Observaciones, anexos, Modificaciones a
la solución planteada
Con los datos iniciales Con los datos iniciales
s0=5.000.000 s0=5.000.000
4 4
r =5 % r =5 %
3 3
Se emplea la formula general de la Se emplea la formula general de la

Ecuación diferencial Ecuación diferencial
ds ds
=rs =rs
dt dt
∫ s ds=r ∫ dt ∫ s ds=r ∫ dt
ln |s|=r +t +c ln |s|=rt +c
s=c+ er −t s=c+ ert
Por lo tanto Por lo tanto

Cuando s0=5000.000 y t 0=0 Cuando s0=5000.000 y t 0=0
Al remplazar c=5000.000 Al remplazar c=5000.000
3 3
r =5 %=3.75 %=0.00375 r =5 %=3.75 %=0.0375
4 4
s=5000.000∗e 0.00375∗5 s=5000.000∗e 0.0375∗5

s=5000.000∗e 0.0375 s=5000.000∗e 0.1875
s=5.191.059 .98 s=6031.1512
PASO 8
TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS
Nombre Estudiante Ejercicios Link video explicativo
sustentados
Ejemplo: a de todos los https://youtu.be/l8Mfcl_VLYM
Adriana González tipos de
ejercicios.
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Lorena paola zamudio Vargas

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Lorena Paola Zamudio

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

Se utilizan las ecuaciones diferenciales para

dy Se debe mira la condición de la ecuación para

∫ dy=∫ ( 6 x−3 ) dx Se integra en ambos lados,

x2 Se haya la solución general

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de

debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Lorena paola zamudio

( 2−u )−u (1+4 u)

z=2−2u−4 u2 dz =−2 ( 4 u+1 ) du

¿( z )−1 /2=¿ ( x ) +c ¿( a)b=bln (a)

Se reemplaza el valor de u=y/x

a . ( cosx senx −x y 2 ) dx + y ( 1−x 2 ) dy=0 y ( 0 )=2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

∂M ∂ N Se realiza la prueba para comprobar que la ED

∫ M ( x , y ) dx=∫( cosx senx−x y 2) dx Integramos una parte de la funcion

y ( 1−x 2 )=− y x 2+ φ ' ( y ) Igualamos con N para obtener la función

y 2 y 2 x 2 se n 2 ( x ) Quedando que la función es,

y 2 y 2 x 2 se n 2 ( x ) Y reemplazando las condiciones nos queda.

EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Lorena paola zamudio

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN

v ( t )=−¿+ v 0 , v (t=0 )=5 m/s Ecuación diferencial original

dx Es una ED lineal de variables separables.

∫ dx=∫ v ( t ) dt Se integra a ambos lados de la ED

∫ dx=∫ (−¿+ v 0 )dt Se escribe la función v(t)

−g t 2 Se obtiene la integral de ambas partes y se agrega

v ( t=2 )= (−10 ( 2 )+5 ) m/ s Se remplaza a t y se realizan las operaciones

v ( t=2 )=−15 m/ s Se obtiene el resultado de la velocidad a los 2

EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA

Con los datos iniciales Con los datos iniciales

Se emplea la formula general de la Se emplea la formula general de la

s=c+ er −t s=c+ ert

Por lo tanto Por lo tanto

Al remplazar c=5000.000 Al remplazar c=5000.000

s=5000.000∗e 0.00375∗5 s=5000.000∗e 0.0375∗5

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