INSTITUCIÓN EDUCATIVA NACIONAL LOPERENA

ALGEBRA II – GRADOS 9
Números complejos.
Solución al taller de trabajo.

1. Desarrolla las potencias de la unidad imaginaria expresada acorde con la simplificación establecida.
Para este contexto se tiene en cuenta lo establecido como elementos base de los números complejos.
𝑖 2 = −1
𝑖 = √−1
Se debe expresar cualquier potencia inicialmente en potencias de potencias donde la potencia base
SIEMPRE debe estar elevada a la 2, o en una potencia de base 2 por otra potencia en base 1.
Por tanto:
a. 𝑖 14 b. 𝑖 23 c. 𝑖 46
14 2 7 23 22
𝑖 = (𝑖 ) 𝑖 =𝑖 𝑖 𝑖 46 = (𝑖 2)23
7 2 11
= (−1) = (𝑖 ) 𝑖 = (−1)23
= −1 = (−1)11 𝑖 = −1
= −1 ∙ 𝑖
= −𝑖
d. 𝑖 81 e. 𝑖 104 f. 𝑖 66
81 80 104 2 52
𝑖 =𝑖 ∙𝑖 𝑖 = (𝑖 ) 𝑖 66 = (𝑖 2)33
2 40 52
= (𝑖 ) 𝑖 = (−1) = (−1)33
= (−1) 𝑖 40 =1 = −1
=1∙𝑖
=𝑖
2. Desarrollo el producto entre los siguientes numerales complejos puros. Recuerde que:
A continuación, se muestran los ejemplos presentados y a continuación los ejercicios del taller.
Ejemplo 1: Ejemplo 2:
3𝑖 ∙ 5𝑖 = 15𝑖 2 √−4 ∙ √−9 = √4(−1) ∙ √9(−1)
= 15(−1) = √4√−1 ∙ √9√−1
= −15 = 2𝑖 ∙ 3𝑖
= 6𝑖 2
= 6(−1)
= −6
Ejercicios del taller.
a. √−25 ∙ 3𝑖 b. −5𝑖 ∙ √−36
√−25 ∙ 3𝑖 = √25√−1 ∙ 3𝑖 −5𝑖 ∙ √−36 = −5𝑖 ∙ √36√−1
= 5𝑖 ∙ 3𝑖 = −5𝑖 ∙ 6𝑖
= 15𝑖 2 = −30 ∙ 𝑖 2
= 15(−1) = −30(−1)
= −15 = 30
c. −3𝑖 ∙ 7𝑖 d. √−50 ∙ √−98
−3𝑖 ∙ 7𝑖 = −21𝑖 2 √−50 ∙ √−98 = √2 ∙ 52√−1 ∙ √2 ∙ 72 √−1
= −21(−1)
= 5√2𝑖 ∙ 7√2𝑖
= 21 2
= 35 ∙ (√2) 𝑖 2
= 35 ∙ (2) ∙ (−1)
= −70
 e. √−2592 ∙ √−4050 f. √−32 ∙ −22𝑖
= √2 ∙ 24 ∙ 34 √−1 ∙ √2 ∙ 52 ∙ 34 √−1 √−32 ∙ −22𝑖 = √2 ∙ 24 √−1 ∙ (−22)𝑖
= 22 32 √2𝑖 ∙ 5 ∙ 32 √2𝑖 = 22√2𝑖 ∙ (−22)𝑖
2
= 4 ∙ 9 ∙ 5 ∙ 9 ∙ (√2) 𝑖 2 = −4 ∙ 22√2 ∙ 𝑖 2
= 1620 ∙ (2) ∙ (−1) = −88√2(−1)
= −3240 = 88√2
3. Escribe la conjugada de cada numeral complejo y multiplica entre ellos.
Nota: la conjugada de una expresión dada es la misma, pero cambiando el signo operativo.
Ejemplo 1: la conjugada de 𝑧1 = 4 − 4𝑖 es, 𝑧2 = 4 + 4𝑖
Ejemplo 2: la conjugada de 𝑧1 = −5 + 2𝑖 es 𝑧2 = −5 − 2𝑖
Por tanto:
a. 𝑧1 = 3 − 4𝑖 su conjugada es 𝑧2 = 3 + 4𝑖 b. 𝑧2 = −4 − 5𝑖 su conjugada es 𝑧1 = −4 + 5𝑖
(3
𝑧1 ∙ 𝑧2 = − 4𝑖)(3 + 4𝑖) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (−4 − 5𝑖)(−4 + 5𝑖)
2 2
= (3) − (4𝑖) = (−4)2 − (5𝑖)2
2
= 9 − 16𝑖 = 16 − 25𝑖 2
= 9 − 16(−1) = 16 − 25(−1)
= 9 + 16 = 16 + 25
= 25 = 41
c. 𝑧1 = 3 + 6𝑖 su conjugada es 𝑧2 = 3 − 6𝑖 d. 𝑧1 = 1 − 3𝑖 su conjugada es 𝑧2 = 1 + 3𝑖
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (3 + 6𝑖)(3 − 6𝑖) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (1 − 3𝑖)(1 + 3𝑖)
2 2
= (3) − (6𝑖) = (1)2 − (3𝑖)2
2
= 9 − 36𝑖 = 1 − 9𝑖 2
= 9 − 36(−1) = 1 − 9(−1)
= 9 + 36 = 1+9
= 45 = 10
e. 𝑧1 = −3 + 2𝑖 su conjugada es 𝑧2 = −3 − 4𝑖 f. 𝑧1 = 3 + 𝑖 su conjugada es 𝑧2 = 3 − 𝑖
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (−3 + 2𝑖)(−3 − 2𝑖) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (3 + 𝑖)(3 − 𝑖)
= (−3)2 − (2𝑖)2 = (3)2 − (𝑖)2
= 9 − 4𝑖 2 = 9 − 𝑖2
= 9 − 4(−1) = 9 − (−1)
= 9+4 =9+1
= 13 = 10
4. Escribe cada numeral de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖
Ejemplo:
√−2 + √−4 = √2(−1) + √4(−1)
= √2√−1 + √4√−1
= √2𝑖 + 2𝑖
= 0 + (√2 + 2)𝑖.
Ejercicios del taller.
a. √−3 + 6 = √3√−1 + 6 b. −5 + √−121 = −5 + √121√−1
= √3𝑖 + 6 = −5 + 11𝑖
= 6 + √3𝑖
c. −3 − √−5 = −3 − √5√−1 d. −2√−81 + 9 = −2√81√−1 + 9
= −3 − √5𝑖 = −2 ∙ 9𝑖 + 9
= 9 − 18𝑖
e. 30 + √−144 = 30 + √144√−1 f. −8 − √−81 = −8 − √81√−1
= 30 + 12𝑖 = −8 − 9𝑖
5. Ubicar sobre el plano de Argand los siguientes numerales complejos (uno en cada plano respectivo):
a. 𝑧1 = −5 − 2𝑖 b. 𝑧1 = −2 + 4𝑖 c. 𝑧1 = 7 − 5𝑖

d. 𝑧1 = −3 − 3𝑖 e. 𝑧1 = 5 − 4𝑖 f. 𝑧1 = −2 + 3𝑖

6. Escribe en forma binomial el numeral complejo representado sobre cada uno d ellos planos.

Para este caso, el numeral indicado es:

a. 𝑧1 = −3 + 4𝑖 c. 𝑧1 = −5 + 4𝑖
b. 𝑧1 = 2 − 4𝑖 d. 𝑧1 = 5 + 3𝑖
7. Realiza la suma o resta con los siguientes numerales complejos.
Ejemplo de aplicación.
Dado 𝑧1 = 3 − 5𝑖; 𝑧2 = 4 + 3𝑖 hallar: 𝑧1 + 𝑧2 ; 𝑧1 − 𝑧2 Por tanto:
Ejemplo 1: 𝑧1 + 𝑧2 = 3 − 5𝑖 + 4 + 3𝑖
= (3 + 4) + (−5 + 3)𝑖
= 7 − 2𝑖
Ejemplo 2: 𝑧1 − 𝑧2 = 3 − 5𝑖 − (4 + 3𝑖)
= 3 − 5𝑖 − 4 − 3𝑖
= (3 − 4) + (−5 − 3)𝑖
= −1 − 8𝑖
Para los ejercicios:
a. (3 − 4𝑖) + (5 − 5𝑖) = (3 + 5) + (−4 − 5)𝑖 b. 2 + 3𝑖 − (4 − 3𝑖) = 2 + 3𝑖 − 4 + 3𝑖
= 8 − 9𝑖 = (2 − 4) + (3 + 3)𝑖
= −2 + 6𝑖.
 c. (5 − 3𝑖) − (−3𝑖 + 4) = 5 − 3𝑖 + 3𝑖 − 4 d. (5 − 2𝑖) + (2𝑖 − 5) = 5 − 2𝑖 + 2𝑖 − 5
= (5 − 4) + (−3 + 3)𝑖 = (5 − 5) + (−2 + 2)𝑖
= 1 + 0𝑖 = 0 + 0𝑖
= 1. = 0.
e. (2 − 4𝑖) + (4 − 3𝑖) = 2 − 4𝑖 + 4 − 3𝑖 f. (5 − 3𝑖) + (2 − 5𝑖) = 5 − 3𝑖 + 2 − 5𝑖
= (2 + 4) + (−4 − 3)𝑖 = (5 + 2) + (−3 − 5)𝑖
= 6 − 7𝑖 = 7 − 8𝑖
8. Realiza la suma o resta de los siguientes numerales complejos.
a. −3(3 − 4𝑖) + 4(5 − 5𝑖) = b. 2(2 + 3𝑖) − 3(4 − 3𝑖) =
= −9 + 12𝑖 + 20 − 20𝑖 = 4 + 6𝑖 − 12 + 9𝑖
= (−9 + 20) + (12 − 20)𝑖 = (4 − 12) + (6 + 9)𝑖
= 11 − 8𝑖 = −8 + 15𝑖
c. 4(5 − 3𝑖) − 5(−3𝑖 + 4) d. −2(5 − 2𝑖) − 3(2𝑖 − 5) =
= 20 − 12𝑖 + 15𝑖 − 20 = −10 + 4𝑖 − 6𝑖 + 15
= (20 − 20) + (−12 + 15)𝑖 = (−10 + 15) + (4 − 6)𝑖
= 0 + 3𝑖 = 5 − 2𝑖.
= 3𝑖.
e. 4(2 − 4𝑖) + 3(4 − 3𝑖) = f. −3(5 − 3𝑖) − 5(2 − 5𝑖) =
= 8 − 16𝑖 + 12 − 9𝑖 = −15 + 9𝑖 − 10 + 25𝑖
= (8 + 12) + (−16 − 9)𝑖 = (−15 − 10) + (9 + 25)𝑖
= 20 − 25𝑖. = −25 + 34𝑖
9. Desarrolla los siguientes productos 𝑧1 ∙ 𝑧2 entre números complejos.
Ejemplo: 𝑧1 = −3 + 2𝑖; 𝑧2 = 4 + 3𝑖, hallar 𝑧1 ∙ 𝑧2
Por tanto:
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (−3 + 2𝑖) ∙ (4 + 3𝑖)
= −3(4) − 3(3𝑖) + 2𝑖(4) + 2𝑖(3𝑖)
= −12 − 9𝑖 + 8𝑖 + 6𝑖 2
= −12 − 9𝑖 + 8𝑖 + 6(−1)
= (−12 − 6) + (−9 + 8)𝑖
= −18 − 𝑖.
En referencia a los ejercicios del taller:
a. 𝑧1 = −3 + 5𝑖; 𝑧2 = −4 + 6𝑖 b. 𝑧1 = 5 + 4𝑖; 𝑧2 = 5 − 4𝑖
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (−3 + 5𝑖)(−4 + 6𝑖) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (5 + 4𝑖)(5 − 4𝑖)
= −3(−4) − 3(6𝑖) + 5𝑖(−4) + 5𝑖(6𝑖) = 5(5) + 5(−4𝑖) + 4𝑖(5) + 4𝑖(−4𝑖)
= 12 − 18𝑖 − 20𝑖 + 30𝑖 2 = 25 − 20𝑖 + 20𝑖 − 16𝑖 2
= 12 − 18𝑖 − 20𝑖 + 30(−1) = 25 − 20𝑖 + 20𝑖 − 16(−1)
= (12 − 30) + (−18 − 20)𝑖 = (25 + 16) + (−20 + 20)𝑖
= −18 − 38𝑖 = 41 + 0𝑖
c. 𝑧1 = −3 + 7𝑖; 𝑧2 = −4 − 3𝑖 d. 𝑧1 = 7 + 3𝑖; 𝑧2 = −4 − 3𝑖
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (−3 + 7𝑖)(−4 − 3𝑖)
= −3(−4) − 3(−3𝑖) + 7𝑖(−4) + 7𝑖(−3𝑖)
= 12 + 9𝑖 − 28𝑖 − 21𝑖 2
= 12 + 9𝑖 − 28𝑖 − 21(−1)
= (12 + 21) + (9 − 28)𝑖
= 22 − 19𝑖
e. 𝑧1 = −5 + 5𝑖; 𝑧2 = −4 − 6𝑖 f. 𝑧1 = −6 + 7𝑖; 𝑧2 = −5 + 3𝑖
𝑧1 ∙ 𝑧2 = (−5 + 5𝑖)(−4 − 6𝑖) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = (−6 + 7𝑖)(−5 + 3𝑖)
= −5(−4) − 5(−6𝑖) + 5𝑖(−4) + 5𝑖(−6𝑖) = −6(−5) − 6(3𝑖) + 7𝑖(−5) + 7𝑖(3𝑖)
2
= 20 + 30𝑖 − 20𝑖 − 30𝑖 = 30 − 18𝑖 − 35𝑖 + 21𝑖 2
= 20 + 30𝑖 − 20𝑖 − 30(−1) = 30 − 18𝑖 − 35𝑖 + 21(−1)
 = (20 + 30) + (30 − 20)𝑖 = (30 − 21) + (−18 − 35)𝑖
= 50 + 10𝑖. = 9 − 53𝑖.
𝑧
10. Dividir los siguientes numerales complejos 1
𝑧2
𝑧1
Ejemplo: 𝑧1 = −3 + 2𝑖; 𝑧2 = 4 + 3𝑖, hallar . Se hace necesario multiplicar numerador y denominador
𝑧2
por la conjugada del denominador.
Por tanto:
−3 + 2𝑖
𝑧1 ÷ 𝑧2 =
4 + 3𝑖
−3+2𝑖 4−3𝑖
= ∙
4+3𝑖 4−3𝑖
−3(4)−3(−3𝑖)+2𝑖(4)+2𝑖(3𝑖)
= (4)2 −(3𝑖)2
−12−9𝑖+8𝑖+6𝑖 2
= 16−9𝑖 2
−12−9𝑖+8𝑖−6
= 16+9
−18−𝑖
=
25
18 1
= − 25 − 25 𝑖.
Desarrollo de las divisiones.
a. 𝑧1 = −3 − 5𝑖; 𝑧2 = −4 − 6𝑖 b. 𝑧1 = −4 + 2𝑖; 𝑧2 = −4 + 5𝑖
𝑧1 −3 − 5𝑖 𝑧1 −4 + 2𝑖
= =
𝑧2 −4 − 6𝑖 𝑧2 −4 + 5𝑖
−3 − 5𝑖 −4 + 6𝑖 −4 + 2𝑖 −4 − 5𝑖
= ∙ = ∙
−4 − 6𝑖 −4 + 6𝑖 −4 + 5𝑖 −4 − 5𝑖
−3(−4) − 3(6𝑖) − 5𝑖(−4) − 5𝑖(6𝑖) −4(−4) − 4(−5𝑖) + 2𝑖(−4) + 2𝑖(−5𝑖)
= =
(−4)2 − (6𝑖)2 (−4)2 − (5𝑖)2
12 − 18𝑖 + 20𝑖 − 30𝑖 2 16 + 20𝑖 − 8𝑖 − 10𝑖 2
= =
16 − 36𝑖 2 16 − 25𝑖 2
12 − 18𝑖 + 20𝑖 − 30(−1) 16 + 20𝑖 − 8𝑖 − 10(−1)
= =
16 − 36(−1) 16 − 25(−1)
(12 + 30) + (−18 + 20)𝑖 (16 + 10) + (20 − 8)𝑖
= =
16 + 36 16 + 25
42 + 2𝑖 26 + 12𝑖
= =
52 41
42 2 26 12
= + 𝑖 = + 𝑖
52 52 41 41
21 1
= + 𝑖.
26 26

c. 𝑧1 = −2 + 5𝑖; 𝑧2 = 3 + 7𝑖 d. 𝑧1 = −3 − 3𝑖; 𝑧2 = 2 + 3𝑖
𝑧1 −2 + 5𝑖 𝑧1 −3 − 3𝑖
= =
𝑧2 3 + 7𝑖 𝑧2 2 + 3𝑖
−2 + 5𝑖 3 − 7𝑖 −3 − 3𝑖 2 − 3𝑖
= ∙ = ∙
3 + 7𝑖 3 − 7𝑖 2 + 3𝑖 2 − 3𝑖
−2(3) − 2(−7𝑖) + 5𝑖(3) + 5𝑖(−7𝑖) −3(2) − 3(−3𝑖) − 3𝑖(2) − 3𝑖(−3𝑖)
= =
(3)2 − (7𝑖)2 (2)2 − (3𝑖)2
−6 + 14𝑖 + 15𝑖 − 35𝑖 2 −6 + 9𝑖 − 6𝑖 + 9𝑖 2
= =
9 − 49𝑖 2 4 − 9𝑖 2
 −6 + 14𝑖 + 15𝑖 − 35(−1) −6 + 9𝑖 − 6𝑖 + 9(−1)
= =
16 − 49(−1) 4 − 9(−1)
(−6 + 35) + (+14 + 15)𝑖 (−6 − 9) + (9 − 6)𝑖
= =
9 + 49 4+9
29 + 29𝑖 −15 + 3𝑖
= =
58 13
29 29 15 3
= + 𝑖 =− + 𝑖
58 58 13 13
1 1
= + 𝑖
2 2

e. 𝑧1 = −4 + 6𝑖; 𝑧2 = 5 − 6𝑖 f. 𝑧1 = −1 + 𝑖; 𝑧2 = −5 + 3𝑖
𝑧1 −4 + 6𝑖 𝑧1 −1 + 𝑖
= =
𝑧2 5 − 6𝑖 𝑧2 −5 + 3𝑖
−4 + 6𝑖 5 + 6𝑖 −1 + 𝑖 −5 − 3𝑖
= ∙ = ∙
5 − 6𝑖 5 + 6𝑖 −5 + 3𝑖 −5 − 3𝑖
−4(5) − 4(6𝑖) + 6𝑖(5) + 6𝑖(6𝑖) −1(−5) − 1(−3𝑖) + 𝑖(−5) + 𝑖(−3𝑖)
= =
(5)2 − (6𝑖)2 (−5)2 − (3𝑖)2
−20 − 24𝑖 + 30𝑖 + 36𝑖 2 5 + 3𝑖 − 5𝑖 − 3𝑖 2
= =
25 − 36𝑖 2 25 − 9𝑖 2
−20 − 24𝑖 + 30𝑖 + 36(−1) 5 + 3𝑖 − 5𝑖 − 3(−1)
= =
25 − 36(−1) 25 − 9(−1)
(−20 − 36) + (−24 + 30)𝑖 (5 + 3) + (3 − 5)𝑖
= =
25 + 36 25 + 9
−56 + 6𝑖 8 − 2𝑖
= =
61 34
56 6 8 2
=− + 𝑖 = − 𝑖
61 61 34 34
4 1
= + 𝑖.
17 17
11. Desarrolla las siguientes operaciones con complejos:
a. Multiplica 5 − √−9 con −3 + √−36 b. Divide −2 + √−64 𝑐𝑜𝑛 4 + √−9
(5 − √−9)(−3 + √−36) −2 + √−64 −2 + 8𝑖
=
= (5 − 3𝑖)(−3 + 6𝑖) 4 + √−9 4 + 3𝑖
= 5(−3) + 5(6𝑖) − 3𝑖(−3) −2 + 8𝑖 4 − 3𝑖
− 3𝑖(6𝑖) = ∙
4 + 3𝑖 4 − 3𝑖
= −15 + 30𝑖 + 9𝑖 − 18𝑖 2 −2(4) − 2(−3𝑖) + 8𝑖(4) + 8𝑖(−3𝑖)
= −15 + 30𝑖 + 9𝑖 − 18(−1) =
(4)2 − (3𝑖)2
= −15 + 30𝑖 + 9𝑖 + 18 −8 + 6𝑖 + 32𝑖 − 24𝑖 2
= (−15 + 18) + (30 + 9)𝑖 =
16 − 9𝑖 2
= 3 + 39𝑖 −8 + 6𝑖 + 32𝑖 − 24(−1)
=
16 − 9(−1)
(−8 + 24) + (6 + 32)𝑖
=
25
16 − 38𝑖
=
25
16 38
= − 𝑖
25 25
 c. Suma 7 − 3√−5 𝑐𝑜𝑛 8 + 4√−5 d. Reste 6 − √−8 𝑑𝑒 3 + 2√−72
(7 − 3√−5) + ( 8 + 4√−5) = (3 + 2√−72) − (6 − √−8) =
= (7 − 3√5𝑖) = (3 + 2√2 ∙ 22 ∙ 32 𝑖) − (6 − √2 ∙ 22 𝑖)
+ (8 + 4√5𝑖) = (3 + 2 ∙ 2 ∙ 3√2𝑖) − (6 − 2√2𝑖)
= (7 + 8) = 3 + 12√2𝑖 − 6 + 2√2𝑖
+ (−3 + 4)√5𝑖 = (3 − 6) + (12 + 2)√2𝑖
= 15 + 1√5𝑖 = −3 + 14√2𝑖
= 15 + √5𝑖.

e. Multiplique 5 − √−242 𝑐𝑜𝑛 − 3 + f. Divida −3 + √−50 𝑐𝑜𝑛 − 5 + 4√−288.

5√−98 −3 + √−50 −3 + 5√2𝑖 −3 + 5√2𝑖
= =
(5 − √−242)(−3 + 5√−98) = −5 + 4√−288 −5 + 4(12)√2𝑖 −5 + 48√2𝑖
= (5 − √2 ∙ 112𝑖) (−3 + 5√2 ∙ 72 𝑖) −3 + 5√2𝑖 −5 − 48√2𝑖
= ∙
= (5 − 11√2𝑖)(−3 + 35√2𝑖). −5 + 48√2𝑖 −5 − 48√2𝑖
= 5(−3) + 5(35√2𝑖) − 11√2𝑖(−3) −3(−5) − 3(−48√2𝑖) + 5√2𝑖(−5) + 5√2𝑖(−48√2𝑖)
= 2
− 11√2𝑖(35√2𝑖) (−5)2 − (48√2𝑖)
2 2
= −15 + 175√2𝑖 + 33√2𝑖 − 385(√2𝑖) 15 + 144√2𝑖 − 25√2𝑖 − 240(√2𝑖)
= 2
= −15 + 175√2𝑖 + 33√2𝑖 − 385(2)𝑖 2 25 − 2304(√2𝑖)
= −15 + 175√2𝑖 + 33√2𝑖 − 770𝑖 2 15 + 144√2𝑖 − 25√2𝑖 − 240(2)(−1)
= −15 + 175√2𝑖 + 33√2𝑖 − 770(−1) =
25 − 2304(2)(−1)
= (−15 + 770) + (175 + 33)√2𝑖 (15 + 480) + (144 − 25)√2𝑖
= 755 + 208√2𝑖 =
25 + 4608
495 + 119𝑖
=
4633
495 119
= + 𝑖
4633 4633

“El éxito tiene una simple fórmula: da lo mejor de ti y puede que

a la gente le guste” Sam Ewing.

Germán Isaac Sosa Montenegro

Abril 01 de 2020.