Mali1 U3 A2 Yaco

ALGEBRA LINEAL I
Estudiante: Yazmin Guadalupe Castillo Ortiz

MATRICULA: ES1821000588
Unidad 3. Métodos de solución y la relación
entre ellos
Actividad 2. Subespacios, independencia y
dependencia lineal, bases y dimensión
Ejercicio 1. Demuestra que: Si x, y están en N x + y está en N

Si x, y ϵ N ⊂ Rn, x + y ϵ N
Sean x = (a1, a2,…, an) y y = (b1, b2,…, bn) dos vectores en N que son solución de un sistema
de ecuación homogéneo.
Entonces x + y = (a 1+ b1, a2+ b2, …., an+ bn) ϵ N pues de otro modo el sistema será
inconsistente. Pero esto es una contradicción ya que un sistema homogéneo siempre
tiene solución trivial o infinitas soluciones.
Ejercicio 2. En la demostración que sigue justifique cada paso con la propiedad usada.
(S + T)(a∙x + b∙y) = S(a∙x + b∙y) + T(a∙x + b∙y) Por definición de suma de funciones
= a∙S(x) + b∙S(y) + a∙T(x) + b∙T(y) Por definición de transformación lineal
=a∙S(x) + a∙T(x) + b∙S(y) + b∙T(y) Conmutativa de la suma
= a∙(S(x) + T(x)) + b∙(S(x) + T(x)) Distributividad de la suma
= a∙(S + T)(x) + b∙(S + T)(x) Por definición de suma de funciones
Ejercicio 3. Demuestra que: La suma de dos combinaciones lineales es una combinación

lineal y que multiplicar una combinación lineal por un escalar resulta en una
combinación lineal.
Sean x1, x2,… xn vectores con n componentes que forman las siguientes combinaciones
lineales
v=a1x1+ a2x2+…+ anxn y w= b1x1+ b2x2+…+ bnxn con aibi escalares, i=1,2,…,n
Entonces v+w=v= (a1x1+ a2x2+…+ anxn)+ (b1x1+ b2x2+…+ bnxn)=
(a1x1+b1x1) + (a2x2+b2x2)+…. + (anxn+bnxn)= x1 (a1+b1) + x2 (a2+b2) +… + xn (an+bn)
es una combinación lineal pues (ai+bi) con i=1,2,…,n son escalares dado que la suma de
escalaras es cerrada.
Por otro lado sea r un escalar,
Entonces r.v=r(a1x1+ a2x2+…+ anxn)=r(a1x1) +r (a2x2)+…+r(anxn) = (ra1) x1 + (ra2) x2 +… + (ran) xn
Es una combinación lineal pues rai con i= 1,2,…,n son escalares ya que la multiplicación de escalares
es cerrada.
Ejercicio 4. Combinaciones lineales

Si A = c1∙A1 + c2∙A2 +… + cn∙An, y B = b ∙ A + b1∙A1 + b2∙A2 +… + bn∙An entonces B se reduce a
una combinación lineal de las Ai. Sustituyendo la A como combinación de las Ai en la B
computa a la B como combinación lineal con solo las Ai.
B=bA+b1A1+ b2A2+…+bnAn
= b (c1A1+ c2A2 +…+ cnAn) + b1A1+b2A2+…+bnAn
= bc1A1 + bc2A2 +... + bcnAn + b1A1+b2A2+…+bnAn
= (bc1A1 + b1A1) + (bc2A2+ b2A2)+…+ (bcnAn+bnAn)
= (bc1 + b1) A1 + (bc2 + b2) A2 +…+ (bcn+bn) An
Ejercicio 5. Demuestra que T es realmente una transformación lineal.

Puesto que dim (V)=n, podemos tomar una base A= {A 1,…, An}. Todo vector A ϵ V se puede
describir en forma única como una combinación lineal de las Ai
A= a1 . A1+a2 . A2+…+ an . An
La transformación lineal asocia al vector A sus coordenadas: T(A)= (a 1, a2,…an)
Para demostrar que T es una transformación lineal debe cumplir con dos propiedades:
1. T(x+y)=t(x)+T (y) 2. T(ax)= aT(x)
Propiedades de la suma: T(A) + T (B) = T(A+B)
Sean:
T(A)= (a1, a2,…, an)
T (B)= (b1, b2,…, bn)
T(A+B)= (a1+ b1, a2+ b2,.., an+ bn)
T(A) + T (B)= (a1, a2,…, an) + (b1, b2,…, bn)
T(A) + T (B)= (a1 + b1, a2 + b2 +…+ an + bn)
Por lo tanto: T(A)+ T (B)= T(A+B)
Propiedad de la multiplicación escalar

T (r . A) = r . T(A)
Sean:
T(A)= (a1, a2,… an)
rϵR
T(r . A)= (r.a1, r.a2,…, r.an)
r . T(A)= r (a1,a2,…an)
r . T(A)= (r. a1, r. a2,…, r . an)
Por lo tanto: T (r . A)= r . T(A)
Ejercicio 6. Demuestra que T es biyectiva, i.e.,
a. Primero, hay que ver que T es inyectiva: Si T(A) = T (A’) entonces A = A’
b. Segundo, hay que ver que T es suprayectiva: para todo vector (a 1, a2,…, an), existe
AϵV tal que T(A) = (a1, a2,…, an).
a. Primero, hay que ver que T es inyectiva: si T(A)= T (A’) entonces A=A
Sean las transformaciones lineales:
T(A)= (a1, a2,…, an)
T (A’)= (a’1, a’2,…, a’n)
Tal que: T(A)=T (A’)

(a1, a2,…, an)= (a’1, a’2,…, a’n)
Por lo tanto:
a1= a’1 a2= a’2 … an= a’n
Sean los vectores A y A’, combinaciones lineales de los vectores A i, tales que:
A= a1 . A1 + a2. A2 +...+ an. An
A’= a’1 . A1 + a’2. A2 +...+ a’n. An
Por las igualdades anteriores A=A’ La función es inyectiva
b. Segundo, hay que ver que T es suprayectiva: para todo vector (a 1, a2,..,an), existe A ϵ V
ya que T(A)= (a1, a2,..,an)
Para comprobar esto es necesario comprobar que la imagen de V es el espacio W tal que
(a1, a2,..,an) ϵ W.
W es el espacio generado por la transformación lineal de todos los vectores de V (Se
utilizará ℒ para describir a un espacio generado por los elementos que lo continúan)
ℒ [T (A1); T (A2);…; T (An)] =w
Sea V= {A1, A2,…, An}
El espacio generado por V, sería el espacio generado por los vectores: w= Im (T)
ℒ [T (A1); T (A2);…; T (An)] = Im (T)
Comprobando esto:
Por definición: T (A1) ϵ Im (T) T (A2) ϵ Im (T) T (An) ϵ Im (T)
Por lo tanto: T (A1) + T (A2) +…+ T (An) ϵ Im (T)
Lo que implica que el espacio ℒ [T (A1); T (A2);…; T (An)] = Im (T)
Por lo tanto el espacio generado por la transformación lineal de todos los vectores de v, es
un subespacio de la imagen T o el espacio w
Se procede a comprobar Im (T) ϵ ℒ [T (A1); T (A2);…; T (An)]
Sea w ϵ Im (T) lo que implica ƎA ϵ V| T(A)=w
Sea A una combinación lineal del espacio generado de V: A= a1. A1 + a2. A2 +...+ an. An
Por lo tanto T(A)= T (a1. A1) + T (a2. A2) +… + T (an. An)
Por las propiedades de las transformaciones lineales T(A)= a 1.T (A1) + a2.T (A2) +…+ an.T
(An)
Por los coeficientes que se manejan se ha comprobado que la imagen de T es un
subespacio del espacio generado por: [T (A1); T (A2);….; T (An) ]
Por lo tanto hemos probado:
ℒ [T (A1); T (A2);…; T (An)] ⊂ Im (T)
Im (T) ⊂ ℒ [T (A1); T (A2);…; T (An)]
Por la ley de doble contención ℒ [T (A1); T (A2);…; T (An)] = Im (T)
Que es lo mismo que ℒ [T (A1); T (A2);…; T (An)] = w
Por lo que para todo vector A ϵ V, existe una T(A) ϵ W
Por lo tanto T es suprayectiva
Al ser T inyectiva y suprayectiva; T es biyectiva
Bibliografía
 Campos, N. (-- de -- de --). Algebra Lineal. Obtenido de
https://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf
 Cruz, P. E. (-- de -- de --). Algebra Lineal I. Obtenido de

http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/algebra_lineal_20181/matrices_3.pdf
 Lopez, I. (29 de Octubre de 2013). Algebra lineal (SlideShare). Obtenido de

https://es.slideshare.net/ivanlopez16906/algebra-lineal-27710352
 Lopez., J. G.-M. (-- de -- de 2008). ALGEBRA LINEAL. Obtenido de

http://matematicas.unex.es/~navarro/algebralineal/meneses.pdf
 UNADM. (-- de -- de --). Unidad 3. Métodos de solución y su relación entre ellos (Texto de Apoyo). Obtenido de
https://ceit.unadmexico.mx/contenidos/DCEIT/BLOQUE1/MT/03/MALI1/U3/descargables/Unidad
%203.%20Metodos%20de%20solucion%20y%20su%20relacion%20entre%20ellos.pdf

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Estudiante: Yazmin Guadalupe Castillo Ortiz

Ejercicio 1. Demuestra que: Si x, y están en N x + y está en N

Ejercicio 3. Demuestra que: La suma de dos combinaciones lineales es una combinación

Ejercicio 4. Combinaciones lineales

= b (c1A1+ c2A2 +…+ cnAn) + b1A1+b2A2+…+bnAn

= bc1A1 + bc2A2 +... + bcnAn + b1A1+b2A2+…+bnAn

= (bc1A1 + b1A1) + (bc2A2+ b2A2)+…+ (bcnAn+bnAn)

= (bc1 + b1) A1 + (bc2 + b2) A2 +…+ (bcn+bn) An

Ejercicio 5. Demuestra que T es realmente una transformación lineal.

Propiedad de la multiplicación escalar

Tal que: T(A)=T (A’)

Por lo tanto T es suprayectiva

Al ser T inyectiva y suprayectiva; T es biyectiva

 Cruz, P. E. (-- de -- de --). Algebra Lineal I. Obtenido de

 Lopez, I. (29 de Octubre de 2013). Algebra lineal (SlideShare). Obtenido de

 Lopez., J. G.-M. (-- de -- de 2008). ALGEBRA LINEAL. Obtenido de

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