Seccion 5.1 Ecuaciones Diferenciales
Seccion 5.1 Ecuaciones Diferenciales
Seccion 5.1 Ecuaciones Diferenciales
[ a1 a2 a p ]
b = [ b1 b2 b p ]
ab =
a k bk
k=1
a1 b1 +a2 b2 + + a p b p
ai
bj
de B. As
C=AB=[ ai b j ]
En trminos de las entradas individuales de
ecuacin
C=AB=[ ai b j ]
A= [ aij ]
B=[ b ij ]
c ij = aik bkj
k=1
Matrices inversas:
Una matriz cuadrada de n n se dice que tiene orden n. La matriz
identidad de orden n es la matriz cuadrada
la
[ ]
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
I 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
BA=I
como
A1
as:
A A1=I = A1 A
A1
Dada la existencia de
existe, entonces
( A1 )
existe y
( A1 ) = A .
En lgebra lineal se demuestra que
determinante
det ( A )
existe si y slo si el
Determinantes:
det ( A )=0 ,
si
A= [ aij ]
det ( A )=| A|
| |
| A| a lo largo de su i-simo
i+ j
| A|= (1 ) aij [ A ij ]
j=1
i+ j
| A|= (1 ) aij [ A ij ]
i=1
i+ j
(1 ) aij [ A ij ] , as como de la
rengln que se utilice en la ecuacin | A|=
j=1
a
i+ j
Matriz de funciones:
Una funcin con valores matriciales, o simplemente una funcin
matricial, es una matriz tal como
[]
x1 ( t )
x ( t )= x 2 ( t )
xn ( t )
a11 ( t ) a12 ( t ) a 1n ( t )
A ( t ) = a21 (t ) a22 ( t ) a1 n ( t )
am1 ( t ) a m 2 ( t ) a mn ( t )
[ ]
dA d aij
=
dt
dt
x 3= p31 ( t ) x 1 + p32 ( t ) x 2 ++ p 3 n ( t ) x n + f 3 ( t ) .
x n= pn 1 ( t ) x 1 + pn 2 (t ) x2 ++ pnn ( t ) x n+ f n ( t ) .
Si se introduce la matriz de coeficientes
P (t )= [ pij ( t ) ]
Y los vectores columna
x=[ x i ]
f ( t )=[ f i ( t ) ]
Supngase que
,
x =P ( t ) x
homognea
P (t )
x2
,...
xn
es continua en L sea
W =W ( x1 , x2 , .. . x n )
Entonces:
Si
x1
x2
,...
xn
= 0 en cada punto de I.
x1
x2
,...
xn
dx
=P ( t ) x
, si
dt
C1
C2
,. . . .,
Cn
x (t )
x =P ( t ) x
x1
x2
,...
c1
c2
,...
cn
x ,=P ( t ) x
tales que
Soluciones no homogneas
Finalmente, se enfocar la atencin en los sistemas lineales no
homogneos de la forma
dx
=P ( t ) x
dt
+ f (t )
+ f (t )
X ( t )=X c ( t ) + X p ( t )
tiene la forma
de la
xn
P (t )
en f
X p (t )
Donde
+ f (t )
y la funcin complementaria
dx
=P ( t ) x
dt
x =P ( t ) x
X ( t )=X c ( t ) + X p ( t )
homogneo.
El sistema lineal no homogneo
,
x 2=x 1 +3 x 22 x 3 +7 t15
dx
=P ( t ) x
dt
+ f (t )
x1
x2
,...
P (t )
xn
x(t )
c1
c2
,...
cn
dx
=P ( t ) x
dt
tales que
+ f (t )
en I,
dx
=P ( t ) x
dt
es de la forma dada en
[ ]
32 0
P (t )= 1 32
01 3
dx
=
dt
+ f (t )
con
[ ]
9 t+13
F ( t )= 7 t 15
6 t +7
2 c1 e t +2 c 2 e 3 t +2 c 3 e5 t
2c 1 et 2 c 3 e5 t
c 1 et c 2 e3 t + c3 e 5 t
3t
5
2t
x p ( t )=
Encontrada por medio de un sistema de lgebra por computadora En
consecuencia, el teorema 4 implica que la solucin general del sistema
no homogneo est dada por
X ( t )=X c ( t ) + X p ( t ) ;
Esto es por
x 1 ( t )=2 c 1 e t +2 c 2 e3 t +2 c 3 e5 t + 3t .
x 2 ( t )=2 c 1 e t 2 c3 e 5 t +5
x 3 ( t )=c 1 et c 2 e3 t + c 3 e 5 t +2 t