Transformaciones lineales

Andrés Abella

2 de junio de 2023
Capı́tulo 1

Transformaciones lineales

En este capı́tulo estudiaremos las funciones entre espacios vectoriales que preservan la estructura lineal. Dado
que los resultados más interesantes se obtienen en espacios de dimensión finita, en este capı́tulo asumiremos
siempre que estamos en esa situación, aunque las definiciones y algunos de los resultados valen en general.

1.1. Definiciones y propiedades básicas

Sean V y W dos espacios vectoriales. Una función T : V → W es una transformación lineal si verifica:

T (u + v) = T (u) + T (v), para todo u, v ∈ V ,

T (av) = aT (v), para todo a ∈ k y v ∈ V .

La siguiente proposición da una forma más rápida para chequear si una función es una transformación lineal.

Proposición 1.1.1. Sean V y W dos espacios vectoriales. Una función T : V → W es una transformación
lineal si y solo si verifica:
T (au + v) = aT (u) + T (v), ∀u, v ∈ V, a ∈ k. (1.1)

Dem. Si T es una transformación lineal, entonces

T (au + v) = T (au) + T (v) = aT (u) + T (v), ∀u, v ∈ V, a ∈ k.

Recı́procamente, si T verifica (1.1), entonces tomando a = 1 en (1.1), obtenemos

T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V.

Tomando u = v = 0 en esta última igualdad, obtenemos T (0) = T (0) + T (0), lo cual implica T (0) = 0.
Ahora tomando v = 0 en (1.1), obtenemos

T (au) = aT (u) + T (0) = aT (u) ⇒ T (au) = aT (u), ∀u ∈ V, a ∈ k.

Ejemplos 1.1.2. Ejemplos de transformaciones lineales.

1. La función nula T : V → W definida por T (v) = 0, para todo v ∈ V (V y W espacios arbitrarios).

2. La función identidad Id : V → V definida por Id(v) = v, para todo v ∈ V (V espacio arbitrario).

3. La función T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x, −y), para todo (x, y) ∈ R2 . Notar que T es la
simetrı́a axial respecto al eje Ox.

1
 4. La función T : Mm×n → Mn×m definida por T (A) = At (la traspuesta), para todo A ∈ Mm×n .

Proposición 1.1.3. Sea T : V → W una transformación lineal.

1. Si a1 , . . . , an ∈ k y v1 , . . . , vn ∈ V (n = 1, 2, . . . ), entonces

T (a1 v1 + · · · + an vn ) = a1 T (v1 ) + · · · + an T (vn ).

2. T (0) = 0 (la imagen por T del vector nulo de V es el vector nulo de W ).

3. T (−v) = −T (v), para todo v ∈ V .

4. T (u − v) = T (u) − T (v), para todo u, v ∈ V .

Dem. Ejercicio (la segunda afimación ya fue probada en la demostración de la proposición 1.1.1).
En lo que sigue veremos cómo son las transformaciones lineales de kn en km .

Proposición 1.1.4. Si T : kn → km es una transformación lineal, entonces existen únicos escalares aij ∈ k
tales que

T (x1 , . . . , xn ) = (a11 x1 + · · · + a1n xn , . . . , am1 x1 + · · · + amn xn ), (1.2)

para todo (x1 , . . . , xn ) ∈ kn .

Dem. Si existen aij ∈ k que verifican (1.2), entonces calculando las imágenes por T de los vectores de la
base canónica B = {e1 , . . . , en }, obtenemos

T (e1 ) = (a11 , . . . , am1 ), . . . , T (en ) = (a1n , . . . , amn ). (1.3)

Esto prueba la unicidad de los aij . Recı́procamente, si definimos los aij por las fórmulas (1.3), entonces

T (x1 , . . . , xn ) = T (x1 e1 + · · · + xn en )
= x1 T (e1 ) + · · · + xn T (en )
= x1 (a11 , . . . , am1 ) + · · · + xn (a1n , . . . , amn )
= (a11 x1 + · · · + a1n xn , . . . , am1 x1 + · · · + amn xn ).

Observación 1.1.5. Si escribimos los vectores en forma vertical, entonces la fórmula (1.2) queda
        
x1 a11 x1 + · · · + a1n xn x1 a11 · · · a1n x1
 ..   .
.  ..   .. .
.   .. 
T . =  ⇒ T . = . .  . .

.
xn am1 x1 + · · · + amn xn xn am1 · · · amn xn

En general, dada una matriz A ∈ Mm×n , definimos una función LA : kn → km mediante LA (v) = Av para
todo v ∈ kn . Notar que LA : kn → km es una transformación lineal:

LA (au + v) = A(au + v) = aAu + Av = aLA (u) + LA (v), ∀a ∈ k, uv ∈ V.

Notar que la proposición 1.1.4 implica que si T : kn → km es una transformación lineal, entonces existe una
única matriz A ∈ Mm×n tal que T = LA . Además, las columnas de A son los vectores T (e1 ), . . . , T (en ),
escritos en forma vertical, siendo {e1 , . . . , en } la base canónica de kn .

2
Ejemplo 1.1.6. Sea T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x + 2y + 3z, x − y) para todo (x, y, z) ∈ R3 .
Aplicando la proposición anterior sabemos que T es una transformación lineal. Entonces es T = LA para
cierta matriz A ∈ M2×3 . Para hallar A podemosusar las fórmulas
 (1.3) obteniendo T (1, 0, 0) = (1, 1),
1 2 3
T (0, 1, 0) = (2, −1) y T (0, 0, 1) = (3, 0), luego A = .
1 −1 0
A continuación veremos que toda transformación lineal queda determinada por sus valores en una base.
Proposición 1.1.7. Sean V y W dos espacios vectoriales. Si B = {v1 , . . . , vn } es una base de V y w1 , . . . , wn
son vectores arbitrarios en W , entonces existe una única transformación lineal T : V → W tal que T (vi ) =
wi , para todo i = 1, . . . , n. La misma está definida por
T (x1 v1 + · · · + xn vn ) = x1 w1 + · · · + xn wn , (1.4)
para todo x1 , . . . , xn ∈ k.
Dem. Si existe una transformación lineal T : V → W que verifique T (vi ) = wi , para todo i, entonces para
todo x1 , . . . , xn ∈ k es
T (x1 v1 + · · · + xn vn ) = x1 T (v1 ) + · · · + xn T (vn ) = x1 w1 + · · · + xn wn .
Esto prueba que T queda definida por la fórmula (1.4) y por lo tanto es única. Para probar la existencia,
como B es base de V , entonces todo vector de V se escribe en forma única como combinación lineal de
v1 , . . . , vn . Luego tiene sentido definir una función T : V → W mediante la fórmula (1.4). Probaremos que T
definida de esa manera es una transformación lineal. Sean P v, w ∈ V y a ∈ Pk. Como B es base de V , entonces
existen escalares xi , yi ∈ k, i = 1, . . . , n, tales que v = ni=1 xi vi y w = ni=1 yi vi . Entonces
n n n n
! !
X X X X
T (av + w) = T a xi vi + yi v i = T (axi + yi )vi = (axi + yi )wi
i=1 i=1 i=1 i=1
n
X n
X
=a x i wi + yi wi = aT (v) + T (w).
i=1 i=1

Ejemplo 1.1.8.
Buscamos encontrar una transformación lineal T : R2 → M2 (R) tal que T (1, 1) = ( 23 30 ) y
T (1, −1) = 01 −1 2
2 . Como B = {(1, 1), (1, −1)} es una base de R , entonces podemos aplicar la proposición
1.1.7. Para encontrar T tenemos que ver cómo escribir un vector arbitrario (x, y) de R2 como combinación
lineal de la base B. En este caso es (x, y) = x+y x−y
2 (1, 1) + 2 (1, −1), luego
 
x+y x−y x+y x−y
T (x, y) = T (1, 1) + (1, −1) = T (1, 1) + T (1, −1)
2 2 2 2
     
x+y 2 3 x − y 0 −1 x + y x + 2y
= + = .
2 3 0 2 1 2 2x + y x − y
 
x+y x+2y
Entonces T : R2 → M2 (R) está definida por T (x, y) = 2x+y x−y , para todo (x, y) ∈ R .
2

Observación 1.1.9. Dados v1 , . . . , vn ∈ V y w1 , . . . , wn ∈ W , no siempre existe una transformación lineal

T : V → W que verifique T (vi ) = wi , para todo i = 1, . . . , n. Por ejemplo, si existiese una transformación
lineal T : R2 → M2 (R) tal que T (1, 0) = (2, 3, 3) y T (2, 0) = (0, −1, 1), entonces valdrı́a
(0, −1, 1) = T (2, 0) = 2T (1, 0) = 2(2, 3, 3) = (4, 6, 6) ⇒ (0, −1, 1) = (4, 6, 6) E.
Por otro lado, si buscamos una transformación lineal T : R2 → M2 (R) tal que T (1, 1) = ( 23 30 ), entonces
existen infinitas transformaciones lineales que lo verifican. Alcanza con completar el vector (1, 1) a una base
de R2 y aplicar la proposición 1.1.7 (el ejemplo 1.1.8 es un caso particular de esta construcción).

3
Operaciones con transformaciones lineales.
Proposición 1.1.10. Si T : V → W y S : W → U son transformaciones lineales, entonces la función
compuesta S ◦ T : V → U es una transformación lineal.
Dem. Sean u, v ∈ V y a ∈ k. Entonces





(S ◦ T )(au + v) = S T (au + v) = S aT (u) + T (v) = aS T (u) + S T (v) = a(S ◦ T )(u) + (S ◦ T )(v).
Recordar que si V es un espacio vectorial y D es un conjunto, entonces el conjunto F(D, V ) formado por
las funciones de D en V , es un espacio vectorial con las operaciones punto a punto.
Sean V y W espacios vectoriales y L(V, W ) el conjunto de transformaciones lineales de V en W . El conjunto
L(V, W ) está contenido en F(V, W ), el cual por lo que vimos recién es un espacio vectorial. Luego dadas
S, T : V → W transformaciones lineales y c ∈ k, entonces tenemos definida su suma S + T : V → W y el
producto por escalar cT : V → W mediante
(S + T )(v) := S(v) + T (v); (cT )(v) := cT (v), ∀v ∈ V. (1.5)
Proposición 1.1.11. Si V y W son espacios vectoriales, entonces L(V, W ) con las operaciones definidas
en (1.5) es un subespacio de F(V, W ) y por lo tanto L(V, W ) es un espacio vectorial.
Dem. Empezamos recordando que la función nula 0 : V → W es una transformación lineal y por lo tanto
está en L(V, W ). Probaremos ahora que si S, T : V → W son transformaciones lineales y c ∈ k, entonces
S + T : V → W y cT : V → W son también transformaciones lineales. Sean u, v ∈ V y a ∈ k. Entonces
(S + T )(au + v) = S(au + v) + T (au + v) = aS(u) + S(v) + aT (u) + T (v)



= a S(u) + T (u) + S(v) + T (v) = a(S + T )(u) + (S + T )(v).


(cT )(au + v) = cT (au + v) = c aT (u) + T (v) = caT (u) + cT (v) = a(cT )(u) + (cT )(v).
Luego S + T ∈ L(V, W ) y cT ∈ L(V, W ).
La siguiente proposición describe cómo se relaciona la composición con la suma y el producto por escalares.
Proposición 1.1.12. Si S, S1 , S2 : U → V y T, T1 , T2 : V → W son transformaciones lineales y a ∈ k,
entonces
T ◦ (S1 + S2 ) = T ◦ S1 + T ◦ S2 y (T1 + T2 ) ◦ S = T1 ◦ S + T2 ◦ S,
T ◦ (aS) = (aT ) ◦ S = a(T ◦ S).
Dem. Sea v ∈ V . Entonces






T ◦ (S1 + S2 ) (v) = T (S1 + S2 )(v) = T S1 (v) + S2 (v) = T S1 (v) + T S2 (v)
= (T ◦ S1 )(v) + (T ◦ S2 )(v) = (T ◦ S1 + T ◦ S2 )(v).





(T1 + T2 ) ◦ S (v) = (T1 + T2 ) S(v) = T1 S(v) + T2 S(v) = (T1 ◦ S)(v) + (T2 ◦ S)(v)
= (T1 ◦ S + T2 ◦ S)(v)






T ◦ (a · S) (v) = T (a · S)(v) = T a · S(v) = a · T S(v) = a · (T ◦ S)(v) = a · (T ◦ S) (v).





(a · T ) ◦ S (v) = (a · T ) S(v) = a · T S(v) = a · (T ◦ S)(v) = a · (T ◦ S) (v).
Proposición 1.1.13. 1. Si A, B ∈ Mm×n y c ∈ k, entonces LA+B = LA + LB y LcA = cLA .
2. Si A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p , entonces LA ◦ LB = LAB .
Dem. Sea v ∈ kn . Entonces
LA+B (v) = (A + B)v = Av + Bv = LA (v) + LB (v) = (LA + LA )(v),


LcA (v) = (cA)v = c(Av) = c LA (v) = (cLA )(v),


(LA ◦ LB )(v) = LA LB (v) = A(Bv) = (AB)v = LAB (v).

4
1.2. Inyectividad y sobreyectividad.
Sea T : V → W una transformación lineal. Definimos

Ker(T ) := {v ∈ V : T (v) = 0}, Im(T ) := {w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = T (v)}.

El conjunto Ker(T ) es el núcleo 1 de T y el conjunto Im(T ) es la imagen o recorrido de T .

Proposición 1.2.1. Si T : V → W es una transformación lineal, entonces Ker(T ) es un subespacio de V

y Im(T ) es un subespacio de W .

Dem. Ejercicio.
La siguiente proposición relaciona el núcleo de una transformación lineal con su inyectividad.

Proposición 1.2.2. Si T : V → W es una transformación lineal, entonces T es inyectiva si y solo si

Ker(T ) = {0}.

Dem. Si T es inyectiva y v ∈ V es tal que v ̸= 0, entonces T (v) ̸= T (0) = 0; luego Ker(T ) = {0}.
Recı́procamente, si Ker(T ) = {0} y u, v ∈ V son tales que T (u) = T (v), entonces T (u−v) = T (u)−T (v) = 0.
Luego u − v ∈ Ker(T ) = {0} y por lo tanto u − v = 0, es decir u = v.
Observación 1.2.3. Dado que una transformación lineal T : V → W es sobreyectiva si y solo si Im(T ) = W ,
entonces conociendo su núcleo e imagen, podemos saber si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
Observación 1.2.4. Sea T : V → W una transformación lineal. Si v1 , . . . , vn ∈ V y a1 , . . . , an ∈ k, entonces

a1 v1 + · · · + an vn = 0 ⇒ a1 T (v1 ) + · · · + an T (vn ) = 0.

Esto implica que si A es un subconjunto LD de V , entonces T (A) es un subconjunto LD de W . Por otro lado,
si consideramos T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x − y, y − x) y la base canónica B = {(1, 0), (0, 1)},
entonces T (B) = {(1, −1), (−1, 1)}. Notar que T (B) no es un conjunto LI ni es un generador de R2 .
Luego las transformaciones lineales llevan conjuntos LD en conjuntos LD, pero en general no llevan conjuntos
LI en conjuntos LI, ni generadores en generadores. Por esa razón es que tiene interés la siguiente proposición.

Proposición 1.2.5. Sea T : V → W una transformación lineal.

1. Si T es inyectiva y A es un subconjunto LI de V , entonces T (A) es un subconjunto LI de W .

2. Si A es un generador de V , entonces T (A) es un generador de Im(T ). Luego si T es sobreyectiva y A

es un generador de V , entonces T (A) es un generador de W .

3. Si T es biyectiva y A es una base de V , entonces T (A) es una base de W .

Dem. La tercera afirmación se deduce de las otras, ası́ que solo hay que probar las dos primeras. Por
simplicidad haremos la prueba cuando el conjunto A es finito, pero el resultado vale en general.
Supongamos que T es inyectiva y A = {v1 , . . . , vn } es un subconjunto LI de V . Queremos probar que
T (A) = {T (v1 ), . . . , T (vn )} es un subconjunto LI de W . Sean a1 , . . . , an ∈ k tales que
a1 T (v1 ) + · · · + an T (vn ) = 0. Entonces

T (a1 v1 + · · · + an vn ) = 0 ⇒ a1 v1 + · · · + an vn ∈ Ker(T ) = {0} ⇒ a1 v1 + · · · + an vn = 0.

Como A es LI, se concluye que es a1 = · · · = an = 0. Luego T (A) es LI.

1
La abreviación Ker viene de kernel, que es un término que se suele usar para denominar el núcleo.

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Veamos ahora la segunda afirmación. Sea A = {v1 , . . . , vn } un generador de V . Si w ∈ Im(T ), entonces
existe v ∈ V tal que w = T (v). Como A es un generador de V , entonces existen a1 , . . . , an ∈ k tales que
v = a1 v1 + · · · + an vn . Luego

w = T (v) = T (a1 v1 + · · · + an vn ) = a1 T (v1 ) + · · · + an T (vn ).

Esto muestra que todo elemento de Im(T ) es combinación lineal de T (A) = {T (v1 ), . . . , T (vn )}.
Observación 1.2.6. Si T : V → W es una transformación lineal arbitraria y B es una base de V , entonces
T (B) es un generador de Im(T ), pero no es necesariamente una base (ver el ejemplo siguiente).
Ejemplo 1.2.7. Consideremos la transformación lineal T : R3 → R4 definida por

T (x, y, z) = (x + y + z, x + y − z, 2x + 2y + 2z, −x − y + z). (1.6)

Para determinar el núcleo de T tenemos que resolver el sistema homogéneo

  

 x + y + z = 0 
 x + y + z = 0 
 x+y+z = 0
x+y−z = 0 x+y−z = 0 2z = 0
  
∼ ∼ ⇒ z = 0, y = −x.

 2x + 2y + 2z = 0 
 0 = 0 
 0 = 0
−x − y + z = 0 0 = 0 0 = 0
  

Luego Ker(T ) = {(x, −x, 0) : x ∈ R} = [(1, −1, 0)] y es claro que {(1, −1, 0)} es base de Ker(T ).
Para saber si un vector (a, b, c, d) ∈ R4 está en la imagen de T , tenemos que averiguar si existe un vector
(x, y, z) ∈ R3 tal que (a, b, c, d) = T (x, y, z), es decir si el sistema


 x+y+z = a
x+y−z = b

(1.7)

 2x + 2y + 2z = c
−x − y + z = d


es compatible. Si a la tercera ecuación le sumamos la primera multiplicada por −2 y a la cuarta le sumamos

la segunda, obtenemos que el sistema anterior es equivalente al siguiente


 x+y+z = a
x+y−z = b

.

 0 = c − 2a
0 = d+b


Luego para que el sistema tenga solución, necesariamente debe ser c = 2a y d = −b, y es claro que si esto
sucede, entonces de las dos primeras ecuaciones siempre podemos despejar x, y, z (no en forma única). Luego
el sistema (1.7) es compatible si y solo si c = 2a y d = −b, por lo tanto la imagen de T es

Im(T ) = (a, b, c, d) ∈ R4 : c = 2a, d = −b .


(1.8)

Notar que determinar Im(T ) fue bastante más complicado que determinar Ker(T ). Una alternativa es aplicar
la proposición 1.2.5. Si consideramos B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} la base canónica de R3 , entonces

T (1, 0, 0) = T (0, 1, 0) = (1, 1, 2, −1), T (0, 0, 1) = (1, −1, 2, 1).

Luego T (B) = {(1, 1, 2, −1), (1, −1, 2, 1)} es un generador de Im(T ) y claramente es LI. Ası́ que T (B) es
una base de Im(T ) y por lo tanto

Im(T ) = [(1, 1, 2, −1), (1, −1, 2, 1)]. (1.9)

Es un ejercicio el verificar que las dos formas de describir Im(T ) dadas por (1.8) y (1.9), coinciden.

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El siguiente resultado muestra que el núcleo y la imagen de una transformación lineal están relacionados.

Teorema 1.2.8. Si T : V → W es una transformación lineal, entonces

dim Ker(T ) + dim Im(T ) = dim V.

Dem. Sea B1 = {v1 , . . . , vn } una base de Ker(T ). Como {v1 , . . . , vn } ⊂ V es LI, entonces existen w1 , . . . , wm
en V tales que B2 = {v1 , . . . , vn , w1 , . . . , wm } es una base de V . Luego

T (B2 ) = {T (v1 ), . . . , T (vn ), T (w1 ), . . . , T (wm )}

es un generador de Im(T ). Pero T (v1 ) = · · · = T (vn ) = 0, ası́ que B3 = {T (w1 ), . . . , T (wm )} también es un
generador de Im(T ). Veamos que B3 es LI. Sean a1 . . . , am ∈ k tales que a1 T (w1 ) + · · · + am T (wm ) = 0.
Luego
T (a1 w1 + · · · + am wm ) = 0 ⇒ a1 w1 + · · · + am wm ∈ Ker(T ) = [v1 , . . . , vn ].
Entonces existen b1 . . . , bn ∈ k tales que

a1 w1 + · · · + am wm = b1 v1 + · · · + bn vn ⇒ b1 v1 + · · · + bn vn + (−a1 )w1 + · · · + (−am )wm = 0.

Como B2 es base de V , deducimos que es b1 = · · · = bn = a1 = · · · = am = 0. Luego B3 es LI y por lo tanto

es base de Im(T ). Entonces

dim Ker(T ) + dim Im(T ) = #B1 + #B3 = n + m = #B2 = dim V.

Ejemplo 1.2.9. Sea T : R3 → R3 definida por

T (x, y, z) = (x + y + 2z, x + z, y + z).

Razonando como en el ejemplo 1.2.7 se obtiene que {(−1, −1, 1)} es una base de Ker(T ) y que el conjunto
G = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 1)} es un generador de Im(T ). Luego dim Ker(T ) = 1 y como dim R3 = 3,
entonces el teorema anterior implica dim Im(T ) = 2. Como el generador G de Im(T ) tiene tres elementos,
para obtener una base de Im(T ) alcanza con tomar dos elementos de G que sean LI; en este caso cualquier
par de esos elementos lo verifica, luego

{(1, 1, 0), (1, 0, 1)}, {(1, 1, 0), (2, 1, 1)}, {(2, 1, 1), (1, 0, 1)}

son bases de Im(T ).

Isomorfismos. A las transformaciones lineales biyectivas se les llama isomorfismos. Si existe un isomor-
fismo entre dos espacios vectoriales, entonces se dice que los espacios son isomorfos. Si dos espacios son
isomorfos, entonces existe una correspondencia uno a uno entre sus vectores y esta correspondencia respeta
las operaciones. Luego los espacios isomorfos tienen las mismas propiedades como espacios vectoriales.

Proposición 1.2.10. Si T : V → W es un isomorfismo, entonces su función inversa T −1 : W → V es

también una transformación lineal y por lo tanto es un isomorfismo.

Dem. La función inversa T −1 : W → V está definida por T −1 (w) = v si y solo si w = T (v), para todo
v ∈ V, w ∈ W . Sean w1 , w2 ∈ W y a ∈ k. Consideremos v1 = T −1 (w1 ) y v2 = T −1 (w2 ). Como T es lineal, es

T (av1 + v2 ) = aT (v1 ) + T (v2 ) = aw1 + w2 ⇒ T −1 (aw1 + w2 ) = av1 + v2 = aT −1 (w1 ) + T −1 (w2 ).

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Observación 1.2.11. Dados dos espacios V y W , escribiremos V ≃ W para indicar que V y W son isomorfos.
Notar que la relación entre espacios de “ser isomorfos” es de equivalencia, es decir, verifica

V ≃V; V ≃W ⇒ W ≃V; V ≃ W y W ≃ U ⇒ V ≃ U.

La primera propiedad se debe a que la función identidad es un isomorfismo, la segunda a la proposición

anterior y la tercera a que claramente la composición de isomorfismos da un isomorfismo.

Proposición 1.2.12. Dos espacios son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión.

Dem. Sean V y W dos espacios. El directo se deduce de la proposición 1.2.5. Para el recı́proco, supongamos
dim V = dim W = n. Sean B = {v1 , . . . , vn } una base de V y C = {w1 , . . . , wn } una base de W . Aplicando
la proposición 1.1.7 sabemos que existen transformaciones lineales T : V → W y S : W → V tales que

T (vi ) = wi y S(wi ) = vi , ∀i = 1, . . . , n.

Luego

(T ◦ S)(wi ) = T S(wi ) = T (vi ) = wi , ∀i ⇒ (T ◦ S)(wi ) = wi , ∀i.
Entonces la unicidad en la proposición 1.1.7 implica T ◦ S = IdW . En forma análoga se prueba S ◦ T = IdV .
Luego S y T son inversas una de la otra y por lo tanto son somorfismos.

Corolario 1.2.13. Si V es un espacio de dimensión n, entonces V ≃ kn .

El siguiente resultado es interesante, porque la inyectividad y la sobreyectividad no suelen estar relacionadas.

Teorema 1.2.14. Si T : V → W es una transformación lineal entre dos espacios que tienen la misma
dimensión, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. T es inyectiva,

2. T es sobreyectiva,

3. T es un isomorfismo.

Dem. Es claro que la tercera afirmación implica las dos primeras. Ası́ que solo hay que probar que T es
inyectiva si y solo si es sobreyectiva.
Recordar que en el teorema 1.2.8 probamos que vale la siguiente fórmula

dim Ker(T ) + dim Im(T ) = dim V. (1.10)

Si T es inyectiva, entonces Ker(T ) = {0} y usando (1.10) deducimos dim Im(T ) = dim V . Como por hipótesis
es dim V = dim W , entonces dim Im(T ) = dim W y por lo tanto T es sobreyectiva.
Si T es sobreyectiva, es Im(T ) = W y por lo tanto dim Im(T ) = dim W = dim V . Entonces usando de nuevo
(1.10) deducimos dim Ker(T ) = 0; luego Ker(T ) = {0} y por lo tanto T es inyectiva.

Proposición 1.2.15. Sean T : V → W y S : W → V transformaciones lineales entre espacios de la misma

dimensión. Si S ◦ T = IdV , entonces T y S son isomorfismos y T = S −1 .

Dem. Es fácil de probar que S ◦ T = IdV implica que T es inyectivo y S es sobreyectivo (esto vale para
funciones, no requiere linealidad). Luego el teorema anterior implica que T y S son isomorfismos. Entonces

S ◦ T = IdV ⇒ S −1 ◦ S ◦ T = S −1 ◦ IdV ⇒ IdW ◦ T = S −1 ⇒ T = S −1 .

8
1.3. Matriz asociada
Coordenadas. Sea V un espacio un espacio de dimensión n y B = {v1 , . . . , vn } una base ordenada de
V , es decir una base para la cual fijamos un orden en sus elementos. Si v ∈ V , entonces existen únicos
x1 , . . . , xn ∈ k tales que v = x1 v1 + · · · + xn vn . La n-upla (x1 , . . . , xn ) ∈ kn son las coordenadas del vector
v en la base B y escribimos coordB (v) = (x1 , . . . , xn ). En lo que sigue vamos a considerar la función
coordB : V → kn , que asocia a cada vector v ∈ V su vector de coordenadas coordB (v) ∈ kn . Notar que si
coordB (v) = (0, . . . , 0), entonces v = 0. Luego coordB : V → kn es una transformación lineal inyectiva entre
dos espacios de la misma dimensión y por lo tanto es un isomorfismo.

Ejemplos 1.3.1. 1. Si consideramos la base canónica B = {1, x, . . . , xn } de kn [x], entonces

coordB (a0 + a1 x + · · · + an xn ) = (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ kn+1 .

2. Si B = {e1 , . . . , en } es la base canónica de kn , entonces coordB (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn ). Luego

coordB = Id : kn → kn .

3. Si B = {e11 , e12 , e21 , e22 } es la base canónica de M2×2 (k), entonces coordB : M2×2 (k) → k4 ,
 
a b
coordB = (a, b, c, d) ∈ k4 .
c d

Lo mismo sucede en Mm×n (k).

4. El conjunto B1 = {(1, 1), (1, −1)} es una base de R2 . Para hallar las coordenadas de un vector genérico
(x, y) ∈ R2 , tenemos que resolver

a+b = x x+y x−y
(x, y) = a(1, 1) + b(1, −1) ⇒ ⇒ a= , b= .
a−b = y 2 2

Luego  
x+y x−y x+y x−y
(x, y) = (1, 1) + (1, −1) ⇒ coordB1 (x, y) = , .
2 2 2 2

5. Consideramos ahora la base B2 = {(1, −1), (1, 1)} de R2 . Si (x, y) ∈ R2 , entonces

 
x−y x+y x−y x+y
(x, y) = (1, −1) + (1, 1) ⇒ coordB2 (x, y) = , .
2 2 2 2

Notar que B1 y B2 coinciden como bases, pero no como bases ordenadas. Por eso es que las coordenadas
en la base B1 son distintas que en la base B2 .

De ahora en adelante vamos a asumir siempre que las bases están ordenadas. Además, usaremos la siguiente
notación: si v1 , . . . , vn ∈ km , entonces [v1 | · · · |vn ] ∈ Mm×n (k) es la matriz cuyas columnas son los vectores
v1 , . . . , vn escritos en forma vertical. Por ejemplo, si v1 = (1, 2), v2 = (3, 4) y v3 = (5, 6), entonces
 
1 3 5
[v1 |v2 |v3 ] = .
2 4 6

9
Matriz asociada. Sea T : V → W una transformación lineal. Si B = {v1 , . . . , vn } y C = {w1 , . . . , wm }
son bases de V y W respectivamente, entonces la matriz asociada a T en las bases B y C, es la matriz
C [T ]B ∈ Mm×n definida por



C [T ]B := coordC T (v1 ) | · · · |coordC T (vn ) .

Más explı́citamente, si escribimos

T (v1 ) = a11 w1 + a21 w2 + · · · + am1 wm
..
.
T (vn ) = a1n w1 + a2n w2 + · · · + amn wm ,
entonces  
a11 ··· a1n
 a21 ··· a2n 
C [T ]B =  .. ..  . (1.11)
 
 . . 
am1 · · · amn
El interés en la matriz asociada viene dado por la siguiente propiedad.
Proposición 1.3.2. Si T : V → W es una transformación lineal y B y C son bases de V y W respectiva-
mente, entonces


coordC T (v) = C [T ]B · coordB (v), ∀v ∈ V. (1.12)


En la fórmula anterior, coordB (v) y coordC T (v) están pensados como vectores columna.
Dem. Sean B = {v1 , . . . , vn } y C = {w1 , . . . , wm }. Definimos C [T ]B = (aij ) ∈ Mm×n como en (1.11). Si
v ∈ V , entonces existen x1 , . . . , xn ∈ k tales que v = x1 v1 + · · · + xn vn . Luego

T (v) = T (x1 v1 + · · · + xn vn )
= x1 T (v1 ) + · · · + xn T (vn )
= x1 (a11 w1 + · · · + am1 wm ) + · · · + xn (a1n w1 + · · · + amn wm )
= (x1 a11 + · · · + xn a1n )w1 + · · · + (x1 am1 + · · · + xn amn )wn

Lo anterior prueba que si coordB (v) = (x1 , . . . , xn ), entonces

coordC T (v) = (x1 a11 + · · · + xn a1n , . . . , x1 am1 + · · · + xn amn ).

Esta última fórmula equivale a (1.12).

Observación 1.3.3. Si T : kn → km es una transformación lineal, entonces sabemos que existe A ∈ Mm×n
tal que T = LA . Es fácil de probar (recordar las fórmulas (1.3)) que si B ⊂ kn y C ⊂ km son las bases
canónicas, entonces A = C [T ]B .
Ejemplos 1.3.4.
1. Sea T : R1 [x] → R3 definida por T (a+bx) = (a+b, a+2b, 2a+b), para todo (x, y) ∈ R2 . Consideremos
la base B = {1 + x, 1 − x} y la base canónica C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Luego
 
2 0
T (1 + x) = (2, 3, 3), T (1 − x) = (0, −1, 1) ⇒ C [T ]B = 3 −1 .
3 1

Observar que en este caso fue fácil obtener C [T ]B , porque C es la base canónica de R3 .

10
 2. Consideremos la transformación lineal T : R1 [x] → R3 del ejercicio anterior, pero ahora con las bases
B = {1+x, 1−x} y C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Calculando las coordenadas de un vector genérico
(x, y, z) en la base C, obtenemos coordC (x, y, z) = (z, y − z, x − y). Luego

coordC T (1 + x)) = coordC (2, 3, 3) = (3, 0, −1), coordC T (1 − x)) = coordC (0, −1, 1) = (1, −2, 1).


3 1
Entonces la matriz asociada es C [T ]B =  0 −2 .
−1 1

3. Consideremos las bases B = {(1, 0), (1, 1)} de R2 y C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} de R3 . Suponga-
mos que T : R2 → R3 es una transformación lineal de la cual su matriz asociada es
 
1 2
0 1 .
C [T ]B =
1 0

Veamos cómo obtener T . Hallando las coordenadas de un vector genérico (x, y) en la base B obtenemos
coordB (x, y) = (x − y, y). Luego
   
1 2   x+y

x−y
coordC T (x, y) = 0 1 = y 
y
1 0 x−y

y por lo tanto

T (x, y) = (x + y)(1, 1, 1) + y(1, 1, 0) + (x − y)(1, 0, 0) = (2x + y, x + 2y, x + y).

Entonces T está definida por T (x, y) = (2x + y, x + 2y, x + y), para todo (x, y) ∈ R2 .

El siguiente resultado muestra que la fórmula (1.12) caracteriza a la matriz asociada.

Proposición 1.3.5. Sea T : V → W una transformación lineal, B una base de V y C una base de V . Si
una matriz A verifica


coordC T (v) = A · coordB (v), (1.13)

para todo v ∈ V , entonces A = C [T ]B .

Dem. Sea B = {v1 , . . . , vn }. Entonces coordB (vi ) = ei , para todo i, siendo {e1 , . . . , en } la base canónica de
kn . Notar que el producto Aei nos da la columna i-ésima de A. Por otro lado (1.13) implica


coordC T (vi ) = Aei , ∀i = 1, . . . , n.

Entonces 


A = [Ae1 | · · · |Aen ] = coordC T (v1 ) | · · · |coordC T (vn ) = C [T ]B .
A continuación veremos cómo se relaciona la matriz aociada con las operaciones en transformacines lineales.

Proposición 1.3.6. Sean V , W y U espacios vectoriales. Consideremos bases respectivas B, C y D.

1. Sean T1 , T2 : V → W dos transformaciones lineales y a ∈ k, entonces

C [T1 + aT2 ]B = C [T1 ]B + a C [T2 ]B . (1.14)

11
 2. Sean T : V → W y S : W → U dos transformaciones lineales, entonces

D [S ◦ T ]B = D [S]C · C [T ]B (1.15)

Dem. Sabemos que para todo v ∈ V , valen

coordC T1 (v) = C [T1 ]B · coordB (v), coordC T2 (v) = C [T2 ]B · coordB (v).
Entonces usando la linealidad de coordC , obtenemos





coordC (T1 + aT2 )(v) = coordC T1 (v) + aT2 (v) = coordC T1 (v) + a coordC T2 (v)
= C [T1 ]B · coordB (v) + a C [T2 ]B · coordB (v) = (C [T1 ]B + a C [T2 ]B ) · coordB (v).
Como esto vale para todo v ∈ V , aplicando la proposición 1.3.5 obtenemos (1.14). Veamos ahora la segunda
afirmación. Para todo v ∈ V y w ∈ W , valen



coordC T (v) = C [T ]B · coordB (v), coordD S(w) = D [S]C · coordC (w).
Entonces






coordD (S ◦ T )(v) = coordD S T (v) = D [S]C · coordC T (v) = D [S]C · C [T ]B · coordB (v)
= (D [S]C · C [T ]B ) · coordB (v), ∀v ∈ V.
Luego aplicando de nuevo la proposición 1.3.5, obtenemos (1.15).
Observación 1.3.7. Sea T : V → W una transformación lineal. Si B ⊂ V y C ⊂ W son bases y A = C [T ]B ,
entonces la fórmula (1.12) se puede escribir de la forma


coordC T (v) = LA (coordB (v)) , ∀v ∈ V,
lo cual equivale a coordC ◦ T = LA ◦ coordB . Esa relación se suele escribir diciendo que el siguiente

V
T /W (1.16)
coordB coordC
 
kn / km
LA

es un diagrama conmutativo. La conmutatividad de (1.16) nos dice que si identificamos un vector con sus
coordenadas en la base correspondiente (v ∈ V con coordB (v) ∈ kn y w ∈ W con coordC (w) ∈ km ), entonces
T : V → W se identifica con la transformación lineal LA : kn → km , siendo A = C [T ]B .
Recordar que L(V, W ) es el espacio de las transformaciones lineales de V en W .
Proposición 1.3.8. Sean V y W espacios vectoriales tales que dim V = n y dim W = m. Sean B una base
de V y C una base de W . Definimos una función Φ : L(V, W ) → Mm×n (k) mediante Φ(T ) = C [T ]B , para
todo T ∈ L(V, W ). Entonces Φ : L(V, W ) → Mm×n (k) es un isomorfismo.
Dem. La primera parte de la proposición anterior implica que Φ : L(V, W ) → Mm×n (k) es una transforma-
ción lineal. Además es claro por la fórmula (1.12) que si T ∈ L(V, W ) verifica C [T ]B = 0, entonces T = 0.
Luego Ker(Φ) = {0} y por lo tanto Φ es inyectiva.
Probaremos ahora que Φ es sobreyectiva. Dada A ∈ Mm×n (k), consideremos LA ∈ L(kn , km ) y definamos
T ∈ L(V, W ) mediante la composición T := (coordC )−1 ◦ LA ◦ coordB . Luego


coordC ◦ T = LA ◦ coordB ⇒ coordC T (v) = A · coordB (v), ∀v ∈ V.
Entonces la proposición 1.3.5 implica C [T ]B = A, es decir, Φ(T ) = A. Esto prueba la sobreyectividad.
Corolario 1.3.9. Si V y W son dos espacios vectoriales, entonces dim L(V, W ) = (dim V )(dim W ).

12
Matriz de cambio de base. Si B y C son dos bases de un mismo espacio V , entonces a la matriz C [Id]B
se le llama la matriz de cambio de base de B a C. En este caso la fórmula (1.12) queda en

coordC (v) = C [Id]B · coordB (v), ∀v ∈ V. (1.17)

Esto nos permite conocer las coordenadas de un vector en la base C sabiendo sus coordenadas en B.

Ejemplo 1.3.10. Consideremos en el espacio R1 [x] las bases B = {2 + 3x, 1 + 2x} y C = {1 + x, 1}.
Si calculamos las coordenadas en la base B de los vectores de C obtenemos coordB (1 + x) = (1, −1) y
coordB (1) = (2, −3). Luego la matriz de cambio de base de C a B es
 
1 2
B [Id]C = −1 −3 .

Las coordenadas de un polinomio genérico a + bx en la base C son coordC (a + bx) = (b, a − b). Luego
aplicando la fórmula (1.17) obtenemos
    
1 2 b 2a − b
coordB (a + bx) = B [Id]C · coordC (a + bx) = = .
−1 −3 a−b 2b − 3a

Entonces

coordB (a + bx) = (2a − b, 2b − 3a) ⇒ a + bx = (2a − b)(2 + 3x) + (2b − 3a)(1 + 2x).

El siguiente resultado tiene varias aplicaciones, por ejemplo para probar que un conjunto es una base.

Proposición 1.3.11. Sea Pn B = {v1 , . . . , vn } una base de un espacio V y consideremos w1 , . . . , wn ∈ V . Sean

aij ∈ k tales que wj = i=1 aij vi , para todo j = 1 . . . , n. Consideremos A = (aij ) ∈ Mn (k) y ∆ = det(A).
Entonces C = {w1 , . . . , wn } es base de V si y solo si ∆ ̸= 0. Además, en caso afirmativo es B [Id]C = A.

Dem. Si x1 . . . , xn ∈ k, entonces
 
n
X n
X n
X n X
X n n
X n
X
x j wj = xj aij vi = xj aij vi =  aij xj  vi .
j=1 j=1 i=1 j=1 i=1 i=1 j=1

Como B = {v1 , . . . , vn } es LI, entonces vale nj=1 xj wj = 0 si y solo si nj=1 aij xj = 0, para todo i = 1 . . . , n.
P P
Esto último puede escribirse 
 a11 x1 + · · · + a1n xn = 0

.. . (1.18)
 .
an1 x1 + · · · + ann xn = 0


Como C tiene la misma cantidad de elementos que la dimensión de V , entonces C es una base de V si y
solo si es LI, y esto ocurre si y solo si el sistema (1.18) es compatible determinado, lo cual equivale a ∆ ̸= 0.
La última afirmación es consecuencia de cómo están definidos los vectores w1 , . . . , wn .
El siguiente resultado describe cómo se relacionan las matrices asociadas a una misma transformación lineal
en bases distintas.

Proposición 1.3.12. Sea T : V → W una transformación lineal. Sean B1 , B2 bases de V y C1 , C2 bases de

W . Entonces
C2 [T ]B2 = C2 [Id]C1 · C1 [T ]B1 · B1 [Id]B2 ,

siendo C2 [Id]C1 y B1 [Id]B2 las matrices de cambio de base.

13
Dem. La prueba consiste en aplicar reiteradamente la fórmula (1.15):

C2 [T ]B2 = C2 [Id ◦ T ◦ Id]B2 = C2 [Id ◦ T ]B1 · B1 [Id]B2 = C2 [Id]C1 · C1 [T ]B1 · B1 [Id]B2 .

A continuación veremos cómo se refleja en la matriz asociada el que una transformación lineal sea un
isomorfismo. Recordar que si existe un isomorfismo T : V → W , entonces V y W tienen la misma dimensión.

Proposición 1.3.13. Sea T : V → W una transformación lineal entre dos espacios de la misma dimensión
y sean B y C bases de V y W respectivamente. Entonces T es un isomorfismo si y solo si C [T ]B es invertible.
En ese caso vale
= (B [T ]C )−1 .
 −1 
B
T C
(1.19)

Dem. Si T es un isomorfismo, entonces existe su inversa T −1 que verifica T −1 ◦ T = IdV . Luego

 −1
T ◦ T B = B [Id]B ⇒ B T −1 C · C [T ]B = I
  
B

Como ambas matrices son cuadradas, esto implica que son invertibles y que vale (1.19).
Recı́procamente, supongamos ahora que C [T ]B es invertible. Si v ∈ Ker(T ), entonces


T (v) = 0 ⇒ coordC T (v) = 0 ⇒ C [T ]B · coordB (v) = 0 ⇒ coordB (v) = 0 ⇒ v = 0.

Luego T : V → W es inyectiva y como es dim V = dim W , concluimos que T es un isomorfismo.

Corolario 1.3.14. Si A ∈ Mn , entonces LA : kn → kn es un isomorfismo si y solo si A es invertible. En

caso afirmativo es (LA )−1 = LA−1 .

Corolario 1.3.15. Sean B y C dos bases de un mismo espacio V . Entonces la matriz de cambio de base
B [Id]C es invertible y su inversa es la matriz de cambio de base C [Id]B .

Ejemplo 1.3.16. Queremos saber cómo cambian las coordenadas de un vector en el plano R2 cuando
rotamos nuestro sistema de coordenadas un ángulo θ en sentido positivo (antihorario). Sea B = {i, j} la
base canónica. El nuevo sistema de coordenadas va a tener una base C = {iθ , jθ }, en que iθ y jθ están
definidos por
iθ = cos θ i + sen θ j, jθ = − sen θ i + cos θ j.

Figura 1.1: Rotación de ejes

14
Si consideramos un vector v ∈ R2 , entonces v va a tener ciertas coordenadas (x, y) en la base B y otras
coordenadas (X, Y ) en la base C, por lo cual

v = xi + yj y v = Xiθ + Y jθ .

Queremos saber cómo se relacionan (x, y) y (X, Y ). La matriz de cambio de base de B a C es

 
cos θ − sen θ
B [Id]C = sen θ cos θ
.

Luego (x, y) se obtiene de (X, Y ) usando la fórmula de cambio de base

     (
x cos θ − sen θ X x = X cos θ − Y sen θ
coordB (v) = B [Id]C coordC (v) ⇒ = ⇒ .
y sen θ cos θ Y y = X sen θ + Y cos θ

Si ahora queremos saber cómo obtener las coordenadas (X, Y ) a partir de las coordenadas (x, y), tenemos
dos caminos: o las despejamos de la fórmula anterior, o si no usamos el corolario 1.3.15:
   −1  
cos θ − sen θ cos θ − sen θ cos θ sen θ
B [Id]C = ⇒ C [Id]B = = .
sen θ cos θ sen θ cos θ − sen θ cos θ

Luego usando de nuevo la fórmula de cambio de base, obtenemos

     (
X cos θ sen θ x X = x cos θ + y sen θ
coordC (v) = C [Id]B coordB (v) ⇒ = ⇒ .
Y − sen θ cos θ y Y = −x sen θ + y cos θ

Resumiendo, las fórmulas para pasar de un sistema de coordenadas al otro son las siguientes.

v = Xiθ + Y jθ ⇒ v = (X cos θ − Y sen θ)i + (X sen θ + Y cos θ)j,

v = xi + yj ⇒ v = (x cos θ + y sen θ ) iθ +(−x sen θ + y cos θ ) jθ .

Terminamos esta sección con una aplicación a los determinantes.

Proposición 1.3.17. Sea A una matriz cuadrada. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. La matriz A es invertible (lo cual equivale a que su determinante sea no nulo).

2. Las columnas de A forman un conjunto linealmente independiente.

3. Las filas de A forman un conjunto linealmente independiente.

Dem. Supongamos A ∈ Mn (k) y sean A1 , . . . , An ∈ kn las columnas de A. Recordar que si {e1 , . . . , en } es la

base canónica de kn , entonces es Ai = Aei = LA (ei ), para todo i = 1, . . . , n; luego Im(LA ) = [A1 , . . . , An ].
La equivalencia entre las dos primeras afirmaciones se debe a lo siguiente.

A es invertible ⇔ LA : kn → kn es un isomorfismo ⇔ LA : kn → kn es sobreyectiva

⇔ Im(LA ) = kn ⇔ [A1 , . . . , An ] = kn ⇔ {A1 , . . . , An } es un generador de kn
⇔ {A1 , . . . , An } es una base de kn ⇔ {A1 , . . . , An } es LI.

La tercera afirmación es equivalente a las otras dos, dado que las filas de A son las columnas de At , y A es
invertible si y solo si lo es At .

15
1.4. Rango

Hay dos conceptos a los cuales se les suele llamar “rango”, que definiremos a continuación.

Si T ∈ L(V, W ), entonces llamamos rango de T a la dimensión de la imagen de T .

Si A ∈ Mm×n , entonces llamamos rango o rango por columnas de A, a la cantidad máxima de columnas
linealmente independientes que tiene A.

Ejemplo 1.4.1. Consideremos las matrices

       
1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 3 0 0 0 0
A= 0 1 0 1 , B = 0 1 1 1 , C = 1 2 0 3 , D = 0 0 0 0 .
0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 3 0 0 0 0

Entonces rango(A) = 3, rango(B) = 2, rango(C) = 1 y rango(D) = 0.

Proposición 1.4.2. Si A ∈ Mn , entonces A es invertible si y solo si rango(A) = n.

Dem. En la proposición 1.3.17 vimos que A es invertible si y solo si las columnas de A forman un conjunto
LI. De acuerdo a la definición anterior, esto último ocurre si y solo si rango(A) = n.
Observación 1.4.3. A lo largo de estas notas hemos visto distintas formas de caracterizar la invertibilidad de
una matriz. A continuación las resumimos. Si A ∈ Mn , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

La matriz A es invertible.

El determinante de A es distinto de cero.

Las columnas de A forman un conjunto LI.

Las filas de A forman un conjunto LI.

El rango de A es n.

A continuación veremos otra forma de pensar el rango.

Proposición 1.4.4. El rango de A ∈ Mm×n (k) coincide con la dimensión del subespacio de km generado
por las columnas de A.

Dem. Sean A1 , . . . , An ∈ km las columnas de A. Consideremos W = [A1 , . . . , An ] el subespacio de km

generado por A1 , . . . , An . Si rango(A) = r, entonces existe B = {Ai1 , . . . , Air } conjunto LI de columnas de
A. Si existiese otra columna Ak de A que no es combinación lineal de Ai1 , . . . , Air , entonces {Ai1 , . . . , Air , Ak }
serı́a un conjunto LI de columnas de A, contradiciendo la maximalidad de r. Luego todas las otras columnas
de A son combinación lineal de Ai1 , . . . , Air y por lo tanto B es un generador de W . Como además B es LI,
concluimos que B es una base de W . Luego dim W = #B = r.
El siguiente resultado muestra cómo se relaciona el rango de una matriz con el de una transformación lineal.

Proposición 1.4.5.

1. Sea T ∈ L(V, W ). Si B y C son bases de V y W respectivamente, entonces rango(T ) = rango(C [T ]B ).

2. Sea A ∈ Mm×n y consideremos LA : kn → km . Entonces rango(A) = rango(LA ).

16
Dem. Consideremos la primera afirmación. Si B = {v1 , . . . , vn }, entonces T (B) = {T (v1 ), . . . , T (vn )} es un
generador de Im(T ) y por lo tanto el rango de T es la cantidad máxima de vectores LI que hay en T (B).
Por otro lado es 


C [T ]B = coordC T (v1 ) | · · · |coordC T (vn ) .

Como el mapa coordC : W → km (m = dim W ) es un isomorfismo, deducimos que la cantidad máxima de

vectores LI que hay en T (B) coincide con la cantidad máxima de columnas LI que hay en C [T ]B . Luego
rango(T ) = rango(C [T ]B ). La segunda afirmación se deduce de la primera, dado que A es la matriz asociada
a LA en las bases canónicas correspondientes.
A continuación veremos cómo se relaciona el rango con la equivalencia de matrices. Para eso necesitamos el
siguiente resultado.
S T R
Proposición 1.4.6. Sean V1 → V → W → W1 transformaciones lineales.

1. Si S es sobreyectiva, entonces Im(T ◦ S) = Im(T ).

2. Si R es inyectiva, entonces dim Im(R ◦ T ) = dim Im(T ).

3. Si S y R son isomorfismos, entonces dim Im(R ◦ T ◦ S) = dim Im(T ).

Dem. La primera afirmación es válida aun cuando S y T son solo funciones. Para probarlo, notar que
siempre vale Im(T ◦ S) ⊂ Im(T ). Por otro lado, si w ∈ Im(T ), entonces existe v ∈ V tal que w

= T (v). Como
S es sobreyectiva, entonces existe v1 ∈ V1 tal que v = S(v1 ). Luego w = T (v) = T S(v1 ) = (T ◦ S)(v1 ).
Esto implica Im(T ) ⊂ Im(T ◦ S) y por lo tanto Im(T ◦ S) = Im(T ).
Consideremos la segunda afirmación. Sea dim Im(T ) = n y B = {w1 , . . . , wn } una base de Im(T ). Probaremos
que C = {R(w1 ), . . . , R(wn )} es una base de Im(R ◦ T ), lo cual implica la segunda afirmación.
Como R es inyectiva y B es LI, se deduce que C = R(B) es LI. Luego
solo resta probar que C genera a
Im(R◦T ). Sea w ∈ Im(R◦T ). Consideremos v ∈ V tal que w = R T (v) . Como T (v) ∈ Im(T

)P
y B es base de
Im(T ), entonces existen a1 , . . . , an ∈ k tales que T (v) = i=1 ai wi . Entonces w = R T (v) = ni=1 ai R(wi ).
Pn
Esto prueba que C es un generador de Im(R ◦ T ).
La tercera afirmación se deduce de las dos anteriores.

Corolario 1.4.7. Si A, B ∈ Mm×n son matrices equivalentes, entonces rango(A) = rango(B).

Dem. Como es A ∼ B, entonces existen matrices invertibles P ∈ Mm y Q ∈ Mn tales que A = P BQ. Luego
LA = LP BQ = LP ◦ LB ◦ LQ . Como P y Q son invertibles, entonces LP y LQ son isomorfismos y por lo
tanto rango(A) = dim Im(LA ) = dim Im(LB ) = rango(B).
Recordar que
para cada terna de números enteros m, n, r, con n, n ≥ 1 y 1 ≤ r ≤ mı́n{m, n}, definimos
Φm,n
r = I0r 00 ∈ Mm×n , siendo Ir ∈ Mr la matriz identidad.

Proposición 1.4.8. Si A ∈ Mm×n y A ̸= 0, entonces existe un único r, con 1 ≤ r ≤ mı́n{m, n}, tal que
A ∼ Φm,n
r . Este número r es el rango de A.

Dem. En el teorema ?? probamos que existe 1 ≤ r ≤ mı́n{m, n} tal que A ∼ Φm,n r . Como claramente el
rango de Φm,n
r es r (sus primeras r columnas son parte de la base canónica de km y las otras columnas son
nulas), entonces el corolario anterior implica rango(A) = rango(Φm,n
r ) = r. Luego r = rango(A), lo cual
implica la unicidad de r.
El siguiente teorema resume la relación que hay entre la equivalencia de matrices y el rango.

Teorema 1.4.9. Sean A, B ∈ Mm×n . Entonces A ∼ B si y solo si rango(A) = rango(B).

17
Dem. El directo es el corolario de arriba. Supongamos ahora rango(A) = rango(B) = r. Si r = 0, entonces
A = B = 0 y por lo tanto A ∼ B. Si r > 0, entonces A ∼ Φm,n
r y B ∼ Φm,n
r , luego A ∼ B.
Observación 1.4.10. La equivalencia de matrices parte al conjunto Mm×n en clases de equivalencia. El
teorema anterior nos dice que si k = mı́n{m, n}, entonces en Mm×n hay exactamente k + 1 clases de
equivalencia, que son las correspondientes a la matriz nula y a las matrices Φm,n m,n
1 , . . . , Φk .
Ahora veremos que la trasposición no afecta el rango.
Proposición 1.4.11. Si A ∈ Mm×n entonces rango(A) = rango At .

Dem. Sea r = rango(A). Entonces A ∼ Φm,n

r y por lo tanto existen matrices invertibles P ∈ Mm y Q ∈ Mn
m,n
tales que A = P Φr Q. Luego
t m,n t t
At = (P Φm,n t t n,m t
r Q) = Q (Φr ) P = Q Φr P .

Como P t y Qt son matrices invertibles, deducimos At ∼ Φn,m

r y por lo tanto rango(At ) = r = rango(A).
Si A ∈ Mm×n , entonces llamamos rango por filas de A a la cantidad máxima de filas linealmente indepen-
dientes que hay en A. Como la trasposición de matrices intercambia las filas con las columnas, entonces la
proposición anterior prueba que el rango por filas coincide con el rango por columnas.
Observación 1.4.12. Como matrices equivalentes tiene el mismo rango, para calcular el rango de una matriz
siempre podemos realizar operaciones elementales en sus filas y columnas, con el objetivo de transformarla
en una matriz en la cual sea más simple calcular el rango.
 
−7 4 1
Ejemplo 1.4.13. Sea A =  4 −2 −2 ∈ M3 (R). Para calcular el rango de A, observar que si primero
1 −2 7
le sumamos a la primera columna la segunda multiplicada por 2 y luego a la tercera fila le sumamos la
primera multiplicada por 3, obtenemos:
     
−7 4 1 1 4 1 1 4 1
 4 −2 −2 ∼  0 −2 −2 ∼ 0 −2 −2 .
1 −2 7 −3 −2 7 0 10 10
Luego el rango de A coincide con el rango de la última matriz, que claramente es 2 (rango por filas).

Ahora veremos otra forma de calcular el rango, usando determinantes.

Sea A ∈ Mm×n (k). Los menores de orden h de A (1 ≤ h ≤ mı́n{m, n}) son los determinantes de las
submatrices cuadradas de A de orden h, obtenidas suprimiendo m − h filas y n − h columnas de A.
 
1 2 5 0
Ejemplo 1.4.14. Si A =  3 6 7 0  ∈ M3×4 (R), entonces A tiene menores de orden 1, 2 y 3. Los
4 8 12 0
menores de orden 1 son simplemente las entradas de A. Los menores de orden 3 se obtienen suprimiendo
una columna de A:
2 5 0 1 5 0 1 2 0 1 2 5
6 7 0 = 0, 3 7 0 = 0, 3 6 0 = 0, 3 6 7 = 0.
8 12 0 4 12 0 4 8 0 4 8 12
Los menores de orden 2 se obtienen suprimiendo una fila y dos columnas de A; por ejemplo los menores de
orden 2 que se obtienen eliminando la última fila son:
1 2 1 5 2 5 5 0 2 0 1 0
= 0, = −8, = −16, = 0, = 0, = 0.
3 6 3 7 6 7 7 0 6 0 3 0

18
Los menores de orden 2 que se obtienen eliminando la fila del medio son:

1 2 1 5 2 5 5 0 2 0 1 0
= 0, = −8, = −16, = 0, = 0, = 0.
4 8 4 12 8 12 12 0 8 0 4 0

Los menores de orden 2 que se obtienen eliminando la primera fila son:

3 6 3 7 6 7 7 0 6 0 3 0
= 0, = 8, = 16, = 0, = 0, = 0.
4 8 4 12 8 12 12 0 8 0 4 0

Teorema 1.4.15. Si A ∈ Mm×n (k), entonces rango(A) = máx{orden de M : M menor no nulo de A}.
Dem. Sean r = rango(A) y l = máx{orden de M : M menor no nulo de A}. Queremos probar r = l.
Sea B una submatriz cuadrada de A de orden q. Si q > r, entonces como todo conjunto de q columnas de
A es LD, deducimos que las columnas de B son LD y por lo tanto el determinante de B es cero. Luego si
q > r, entonces todos los menores de orden q de A son nulos. Esto implica l ≤ r.
Para probar l = r alcanza con mostrar que existe un menor no nulo de orden r de A. Como el rango de
A es r, entonces existen r columnas de A que son LI. Si C es la matriz m × r formada por esas columnas,
entonces el rango de C es r y por lo tanto existen r filas de C que son LI. Sea D la submatriz de C formada
por esas filas. Entonces D es una matriz r × r que tiene r filas LI y por lo tanto su determinante es distinto
de cero (proposición 1.3.17). Ası́ que D es un menor de A que es no nulo y tiene orden r.
Ejemplo 1.4.16. En el ejemplo 1.4.14 obtuvimos que todos los menores de orden 3 son nulos y existe algún
menor de orden 2 no nulo, luego el rango de A es 2.
Si A ∈ Mm×n (k), entonces al número máx{orden de M : M menor no nulo de A} se le llama el rango por
determinantes de A. Lo que hemos probado en esta sección es que, para una matriz dada, es lo mismo el
rango por columnas, el rango por filas y el rango por determinantes. Esto nos da tres alternativas para
calcular el rango de una matriz.

1.5. Espacio dual

En la proposición 1.1.11 vimos que si V y W son espacios vectoriales, entonces L(V, W ) es también un
espacio vectorial. Como el cuerpo k es un espacio vectorial, entonces a todo espacio V le podemos asociar el
espacio V ∗ := L(V, k) llamado el espacio dual de V . A los elementos de V ∗ se les suele llamar funcionales.
Ejemplos 1.5.1. 1. Aplicando la proposición 1.1.4 obtenemos que α : kn → k es una transformación
lineal si y solo si existen a1 , . . . , an ∈ k tales que

α(x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + · · · + an xn , ∀(x1 , . . . , xn ) ∈ kn .

2. Recordar que la traza de A = (aij ) ∈ Mn (k) está definida por tr(A) = ni=1 aii . Haciendo variar A en
P
Mn (k) obtenemos la función traza tr : Mn (k) → k. Sabemos que vale tr(A + cB) = tr(A) + c tr(B),
para todo A, B ∈ Mn y c ∈ k, luego tr ∈ Mn (k)∗ .
R1
3. Sea C[0, 1] = {f : [0, 1] → R : f es continua}. Si definimos α : C[0, 1] → R por α(f ) = 0 f (x) dx,
entonces es claro que α ∈ C[0, 1]∗ .

En lo que sigue asumiremos que los espacios son de dimensión finita.

Proposición 1.5.2. Sea α ∈ V ∗ . Si α no es la función nula, entonces α : V → k es sobreyectiva y
dim Ker(α) = dim V − 1.

19
Dem. Si α ∈ V ∗ no es la funcional nula, entonces Im(α) ̸= {0}. Como Im(α) ⊂ k es un subespacio y
dim k = 1, esto implica Im(α) = k y por lo tanto α es sobreyectiva. Luego

dim V = dim Ker(α) + dim Im(α) = dim Ker(α) + 1 ⇒ dim Ker(α) = dim V − 1.

Sea V un espacio vectorial. Si B = {e1 , . . . , en } es una base de V , entonces para cada i = 1, . . . , n existe
una transformación lineal e∗i : V → k tal que
(
∗ 1 si i = j
ei (ej ) = δij = , ∀j = 1, . . . , n. (1.20)
0 si i ̸= j

Explı́citamente, e∗i : V → k está definida por

e∗i (x1 e1 + · · · + xn en ) = xi , ∀x1 , . . . , xn ∈ k. (1.21)

Ejemplo 1.5.3. Si B = {e1 , . . . , en } es la base canónica de kn , entonces e∗1 , . . . , e∗n ∈ (kn )∗ son las funciones
definidas por e∗i (x1 , . . . , xn ) = xi , para todo (x1 , . . . , xn ) ∈ kn .

Proposición 1.5.4. Sea B = {e1 , . . . , en } una base de V . Si definimos e∗1 , . . . , e∗n ∈ V ∗ por (1.20), entonces.

1. Para todo v ∈ V , vale v = ni=1 e∗i (v)ei .

P

2. Para todo α ∈ V ∗ , vale α = ni=1 α(ei )e∗i .

P

Pn ∗
Dem. Si v ∈ V , entonces
Pn ∗existen escalares xi ∈ k tales que v = i=1 xi ei . Luego es ei (v) = xi , para todo i
y por lo tanto v = i=1 ei (v)ei .
Sea ahora α ∈ V ∗ . Si v ∈ V , entonces usando la primera parte obtenemos
n n n n n
! !
X X X X X
e∗i (v)ei = α e∗i (v)ei = e∗i (v)α(ei ) = α(ei )e∗i (v) = α(ei )e∗i (v).


α(v) = α
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
Pn ∗
Como esto vale para todo v ∈ V , deducimos α = i=1 α(ei )ei .

Proposición 1.5.5. Si B = {e1 , . . . , en } es una base de V , entonces B ∗ := {e∗1 , . . . , e∗n } es una base de V ∗ .

Dem. El corolario 1.3.9 implica dim V ∗ = dim V y la segunda parte de la proposición anterior implica que
B ∗ es un generador de V ∗ . Entonces B ∗ es un generador de V ∗ con la misma cantidad de elementos que la
dimensión de V ∗ y por lo tanto es una base de V ∗ .
Si B = {e1 , . . . , en } es una base de V , entonces B ∗ = {e∗1 , . . . , e∗n } es la base dual de B en V ∗ .

Proposición 1.5.6. Si v ∈ V y v ̸= 0, entonces existe α ∈ V ∗ tal que α(v) ̸= 0. Equivalentemente, si v ∈ V

verifica α(v) = 0, para todo α ∈ V ∗ , entonces v = 0.

Dem. Si v ∈ V es un vector no nulo, entonces el conjunto {v} es LI y por lo tanto lo podemos completar a
una base B = {e1 , . . . , en } de V con e1 = v. Si ahora consideramos su base dual B ∗ = {e∗1 , . . . , e∗n }, entonces
e∗1 (v) = e∗1 (e1 ) = 1; luego e∗1 ∈ V ∗ y e∗1 (v) ̸= 0.

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