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    Cálculo de La Trasformada Inversa de Laplace Mediante Fracciones Parciales

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    CRISTHIAN NUÑEZ LIMACHE
    Este documento describe cinco casos para calcular la transformada inversa de Laplace mediante fracciones parciales. En el primer caso se utiliza la sustitución de variables para convertir la función racional en una suma de fracciones más simples. Los casos siguientes involucran descomponer el denominador polinómico en factores lineales y cuadráticos para expresar la función racional como una suma de fracciones parciales simples. Se proveen ejemplos para ilustrar cada caso.

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    Cálculo de La Trasformada Inversa de Laplace Mediante Fracciones Parciales

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    CRISTHIAN NUÑEZ LIMACHE
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    Este documento describe cinco casos para calcular la transformada inversa de Laplace mediante fracciones parciales. En el primer caso se utiliza la sustitución de variables para convertir la función racional en una suma de fracciones más simples. Los casos siguientes involucran descomponer el denominador polinómico en factores lineales y cuadráticos para expresar la función racional como una suma de fracciones parciales simples. Se proveen ejemplos para ilustrar cada caso.

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    Título original

    CÁLCULO DE LA TRASFORMADA INVERSA DE LAPLACE MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES.docx

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    Cálculo de La Trasformada Inversa de Laplace Mediante Fracciones Parciales

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    CRISTHIAN NUÑEZ LIMACHE
    Este documento describe cinco casos para calcular la transformada inversa de Laplace mediante fracciones parciales. En el primer caso se utiliza la sustitución de variables para convertir la función racional en una suma de fracciones más simples. Los casos siguientes involucran descomponer el denominador polinómico en factores lineales y cuadráticos para expresar la función racional como una suma de fracciones parciales simples. Se proveen ejemplos para ilustrar cada caso.

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    CÁLCULO DE LA TRASFORMADA

    INVERSA DE LAPLACE MEDIANTE


    FRACCIONES PARCIALES
    ELABORADO POR:

    MORALES VICUÑA YACK LUIS

    SOLUCIÓN DE LAS TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE POR


    FRACCIONES PARCIALES
    El método de las fracciones parciales para la transformada inversa de laplace
    se utiliza al igual que en cálculo integral para llevar una función racional
    impropia en otros términos de funciones racionales propias mas sencillos y
    además trasforma las funciones racionales propias en fracciones mas
    simples, así facilitando para su resolución.

    CASOS:

    PRIMER CASO: cuando se tiene trasformadas inversas de la forma:

    𝐴𝑆+𝐵
    L-1{ }
    𝑎𝑆 2 +𝑏𝑆+𝑐
    Donde a, b, c son constantes. Para calcular la transformada inversa de laplace
    presente se procede de la siguiente modo:

    a) Se completa cuadrados en el denominador:


    2 2
    𝑏 𝑏2
    𝑎𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑐 = 𝑎 (𝑆 + ) +(𝑐 − )
    2𝑎 4𝑎

    𝑏
    b) se hace la sustitución 𝑍= 𝑆 + , con el cual la transformada inversa se
    𝑎
    convierte en:

    𝐴𝑆+𝐵 𝑚𝑍+𝑛 𝑚 𝑍 𝑛 1
    L-1{𝑎𝑆 2 +𝑏𝑆+𝑐} = L-1{𝑎(𝑍2 +𝑛)} = 𝑎 L-1{𝑍2 +𝑛} + 𝑎L-1{𝑍2 +𝑛}

    𝑃(𝑠)
    SEGUNDO CASO: cuando en la trasformada inversa L-1{𝑄(𝑠)}
    El denominador se descompone en factores todas lineales y distintas es decir:

    𝑄(𝑠) = 𝑎𝑛(𝑆 + 𝑎1)(𝑆 + 𝑎2)(𝑆 + 𝑎3) … (𝑆 + 𝑎𝑛)


    𝑃(𝑠)
    A la función racional se expresa como un a suma de fracciones parciales
    𝑄(𝑠)
    simples:

    𝑃(𝑠) = -1 𝐴1 + -1 𝐴2 + 𝐴3 𝐴𝑛
    L-1{ } L { } L { } L-1{ } +….+ L-1{ }
    𝑄(𝑠) 𝑆−𝑎1 𝑆−𝑎2 𝑆−𝑎3 𝑆−𝑎𝑛

    Donde: A1, A2, A3,…, An son constantes que se van ha determinar

    𝑃(𝑠)
    TERCER CASO: cuando en la transformada inversa L-1{ } 𝑄(𝑠)

    La función polinómica 𝑄(𝑠) se descompone en factores lineales algunas


    repetidas, suponiendo que (S-a), es el factor lineal que se repite p veces, es
    decir:

    𝑄(𝑠) = 𝑎𝑛(𝑆 + 𝑎)(𝑆 + 𝑎)(𝑆 + 𝑎) … (𝑆 + 𝑎)(𝑆 + 𝑎) … (𝑆 + 𝑎𝑛)

    P veces
    𝑃(𝑠)
    A la función racional se expresa como una suma de funciones simples.
    𝑄(𝑠)

    𝑃(𝑠) = -1 𝐴1 + -1 𝐴2 𝐴3 𝐴(𝑝−1)
    L-1{ } L { } L {(𝑆−𝑎)2 } + L-1{(𝑆−𝑎)3 } +…+ L-1{(𝑆−𝑎)(𝑝−1) } +
    𝑄(𝑠) 𝑆−𝑎

    𝐴𝑝 𝐴𝑛
    L-1{(𝑆−𝑎)𝑝 } +…+ L-1{ }
    𝑆−𝑎𝑛

    Donde: A1, A2, A3,…, Ap,…, An son constantes que se van ha determinar

    𝑃(𝑠)
    CUARTO CASO: cuando en la transformada inversa L-1{ } 𝑄(𝑠)

    La función polinómica 𝑄(𝑠) se descompone en factores lineales y cuadráticos


    irreductible y ninguno se repite. Es decir:

    𝑄(𝑠) = 𝑎𝑛(𝑆 2 + 𝑏1𝑆 + 𝑐1)(𝑆 2 + 𝑏2𝑆 + 𝑐2)(𝑆 2 + 𝑏3𝑆 + 𝑐3)(𝑆 + 𝑎4) … (𝑆 + 𝑎𝑛)
    𝑃(𝑠)
    A la función racional se expresa como una suma de funciones simples.
    𝑄(𝑠)

    𝑃(𝑠) = -1 𝐴1𝑆+𝐵1 𝐴2𝑆+𝐵2 𝐴3𝑆+𝐵3


    L-1{ } L { 2 } + L-1{ 2 }+ L-1{ }+
    𝑄(𝑠) 𝑆 +𝑏1𝑆+𝑐1 𝑆 +𝑏2𝑆+𝑐2 𝑆 2 +𝑏2𝑆+𝑐2
    𝐴4 𝐴𝑛
    L-1{ } +…+ L-1{ }
    𝑆−𝑎4 𝑆−𝑎𝑛

    Donde: A1, A2, A3,…, An, B1, B2, B3 son constantes que se van ha
    determinar

    𝑃(𝑠)
    QUINTO CASO: cuando en la transformada inversa L-1{ }
    𝑄(𝑠)

    La función polinómica 𝑄(𝑠) se descompone en factores lineales y cuadráticos


    repetidos en donde los factores cuadráticos irreductibles se repite, es decir:

    𝑄(𝑠) = 𝑎𝑛(𝑆 2 + 𝑏𝑆 + 𝑐)2 (𝑆 + 𝑎3) … (𝑆 + 𝑎𝑛) a la función racional se


    expresa como una suma de fracciones simples.

    𝑃(𝑠) = -1 𝐴1𝑆+𝐵1 + -1 𝐴2𝑆+𝐵2 𝐴3 +…+ 𝐴𝑛


    L-1{ } L { 2 } L { 2 } + L-1{ } L-1{ }
    𝑄(𝑠) 𝑆 +𝑏𝑆+𝑐 (𝑆 +𝑏𝑆+𝑐)2 𝑆−𝑎3 𝑆−𝑎𝑛

    Donde: A1, A2, A3,…, An, B1, B2 son constantes que se van ha determinar

    EJEMPLOS DE APLICACIÓN

    (4𝑆 2 −15𝑆+8)
    01. L-1{ (𝑆 3 −3𝑆 2 +4)
    }

    Solución:

    (4𝑆 2 −15𝑆+8)
    L-1{𝑓(𝑡)} = L-1{ (𝑆 3 −3𝑆 2 +4)
    }
    (4𝑆 2 −15𝑆+8)𝑑𝑥
    L-1{𝑓(𝑡)}= ∫ (𝑆+1)(𝑆−2)2

    (4𝑆 2 −15𝑆+8)𝑑𝑥 𝐴 𝐵 𝐶
    (𝑆+1)(𝑆−2)2
    = + + (𝑆−2)2
    𝑆+1 𝑆−2

    4𝑆 2 − 15𝑆 + 8 = (𝑆 − 2)2 𝐴 + (𝑆 + 1)(𝑆 − 2)𝐵 + (𝑆 + 1)𝐶


    Determinado los valores de A, B, C
    S = -1 S= 2 S=0
    A=3 C = -2 B=1
    Entonces tenemos
    𝐴 𝐵 C
    L-1{𝑓(𝑡)}= L-1{ } + L-1{ } + L-1{(𝑆−2)2 }
    𝑆+1 𝑆−2

    1 1 1
    L-1{𝑓(𝑡)} = 3 L-1{ } + L-1{ } - 2L-1{(𝑆−2)2 }
    𝑆+1 𝑆−2

    Aplicando la transformada inversa de laplace

    L-1{𝑓(𝑡)} = 3𝑒 −𝑡 + 𝑒 2𝑡 - 2𝑡𝑒 2𝑡

    Respuesta: L-1{𝑓(𝑡)}= 3𝑒 −𝑡 + 𝑒 2𝑡 - 2𝑡𝑒 2𝑡

    (1+𝑆+𝑆 2 +𝑆 3 +𝑆 4 )
    02. L-1{ (𝑆 3 )(1+𝑆 2 )
    }

    Solución:

    (1+𝑆+𝑆 2 +𝑆 3 +𝑆 4 )
    L-1{𝑓(𝑡)} = L-1{ (𝑆 3 )(1+𝑆 2 )
    }

    2 3 4 𝑆 4+1 −1
    1+𝑆+𝑆 +𝑆 +𝑆 =
    𝑆−1

    (𝑆 5 −1)
    L-1{𝑓(𝑡)}= L-1{ }
    (𝑆−1)(𝑆 3 )(1+𝑆 2 )

    (𝑆 5 −1) 𝐴 𝐵𝑆+𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
    3 )(1+𝑆 2 ) = + + + 2 +
    (𝑆−1)(𝑆 𝑆−1 1+𝑆 2 𝑆 𝑆 𝑆3

    (𝑆 5 −1) 𝐴 𝐵𝑥+𝐶 𝐷𝑥 2 +𝐸𝑥+𝐹


    = + +
    (𝑆−1)(𝑆 3 )(1+𝑆 2 ) 𝑥−1 1+𝑥 2 𝑋3

    (𝑆 5 − 1) = (𝑆 3 )(1 + 𝑆 2 )𝐴 + (𝑆 − 1)(𝑆)𝐵 + (𝑆 − 1)(1 + 𝑆 2 )(𝐷𝑆 2 + 𝐸𝑆 + 𝐹)

    Operando y ordenando:

    (𝑆 5 − 1) = 𝑆 5 (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)+𝑆 4 (𝐶 + 𝐸 − 𝐵 − 𝐷)+𝑆 3 (𝐴 − 𝐶 + 𝐸 + 𝐷)
    − 𝑆 2 (𝐹 + 𝐷)+𝑆(𝐹 − 𝐸) – F

    De donde:

     𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 1………………a
     𝐶 + 𝐸 − 𝐵 − 𝐷 = 0………….b
     𝐴 − 𝐶 + 𝐸 + 𝐷 = 0………….c
     𝐹 + 𝐷 = 0……………..d
     𝐹 − 𝐸 = 0…………….e
     F = 1…………………f

    Resolviendo:

    A = 0, B = 2, C = 0, D = -1, E = 1, F = 1
    𝐴 (𝐵𝑆+𝐶) 𝐷 𝐸 𝐹
    L-1{𝑓(𝑡)} = L-1{ } + L-1{ } + L-1{ } + L-1{ 2 } + L-1{ 3 }
    𝑆−1 1+𝑆 2 𝑆 𝑆 𝑆

    0 (2𝑆+0) 1 1 1
    L-1{𝑓(𝑡)} = L-1{ } + L-1{ } - L-1{ } + L-1{ 2 } + L-1{ 3 }
    𝑆−1 1+𝑆 2 𝑆 𝑆 𝑆

    𝑆 1 1 1 2
    L-1{𝑓(𝑡)} = 2L-1{ } - L-1{ } + L-1{ 2 } + L-1{ 3 }
    𝑆2+ 1 𝑆 𝑆 2 𝑆

    Aplicando la transformada inversa de laplace

    L-1{𝑓(𝑡)} = 2cos 𝑡 - 1 + t + t2

    Respuesta: L-1{𝑓(𝑡)} = 2cos 𝑡 t2 + t - 1

    (𝑆 2 +1)
    03. L-1{ }
    𝑆(𝑆−1)(𝑆+1)(𝑆−2)

    (𝑆 2 +1)
    L-1{𝑓(𝑡)} = L-1{ }
    𝑆(𝑆−1)(𝑆+1)(𝑆−2)

    (𝑆 2 +1) (𝑆 2 +1) 𝐴 𝐵𝑆+𝐶


    = =L-1{ } + L-1{( }
    𝑆(𝑆−1)(𝑆+1)(𝑆−2) 𝑆(𝑆 2 −1)(𝑆−2) 𝑆 𝑆 2 −1)
    𝐷
    L {
    + -1 }
    𝑆−2
    (𝑆 2 + 1) = (𝑆 2 − 1)(𝑆 − 2)𝐴 +𝑆(𝑆 − 2)(𝐵𝑆 + 𝐶)+ 𝑆(𝑆 2 − 1)𝐷

    Determinado los valores de A, B, C y D


    S=0 S= 2 S=1 ^S=-1
    A = 1/2 D = 5/6 C=-2/3 ;
    B=-4/3
    Entonces tenemos
    𝐴 𝐵𝑆+𝐶 + -1 𝐷
    L-1{𝑓(𝑡)} = L-1{ } + L-1{( } L { }
    𝑆 𝑆 2 −1) 𝑆−2

    1 2 2𝑆+1 + 5 -1 𝐷
    L-1{𝑓(𝑡)} =
    1
    L-1{ } + L-1{ } L { }
    2 𝑆 ( 3 𝑆 2 −1) 6 𝑆−2
    Aplicando la propiedad de linealidad

    1 4 𝑆 2 1
    L-1{𝑓(𝑡)} =
    1
    L-1{ } + L-1{ } + L-1{ }+
    2 𝑆 ( 3 𝑆 2 −1 ) 3 ( 𝑆 2 −1)

    5 -1 1 fraccionando el segundo termino


    L { }
    6 𝑆−2
    1 4 1 4 1
    L-1{𝑓(𝑡)} =
    1
    L-1{ } + L-1{( )
    } + L-1{
    ( )
    } +
    2 𝑆 6 𝑆−1 6 𝑆+1

    2 -1 1 5 1
    L {( 2 )} + L-1{ }
    3 𝑆 −1 6 𝑆−2
    Aplicando la transformada inversa de laplace

    4 𝑡 4 2 5
    L-1{𝑓(𝑡)} = +
    1
    𝑒 + 𝑒 −𝑡 + sinh 𝑡 + 𝑒 2𝑡
    2 6 6 3 6
    4 𝑡 4 2 5
    Respuesta: L-1{𝑓(𝑡)} =
    1
    + 𝑒 + 𝑒 −𝑡 + sinh 𝑡 + 𝑒 2𝑡
    2 6 6 3 6

    (𝑆 3 −3𝑆+4)
    04. L-1{ (𝑆+1)(𝑆−1)3
    }

    Solución:

    (𝑆 3 −3𝑆+4)
    L-1{𝑓(𝑡)} = L-1{ (𝑆+1)(𝑆−1)3
    }
    (𝑆 3 −3𝑆+4) 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
    (𝑆+1)(𝑆−1)3
    = + + (𝑆−1)2 + (𝑆−1)3
    𝑆+1 𝑆−1

    𝑆 3 − 3𝑆 + 4 = (𝑆 − 1)3 𝐴 + (𝑆 + 1)(𝑆 − 1)2 𝐵 +(𝑆 + 1)(𝑆 − 1)𝐶 + (𝑆 + 1)𝐷

    Comparando y Resolviendo:
    −3 7 −1
    A= ,B= ,C= ,D=1
    4 4 2

    𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
    L-1{𝑓(𝑡)} = L-1{ } + L-1{ } + L-1{(𝑆−1)2 } + L-1{(𝑆−1)3 }
    𝑆+1 𝑆−1

    −3 -1 1 7 1 1 2! 1 3!
    L-1{𝑓(𝑡)} = L { } + L-1{ } - L-1{(𝑆−1)2 } + L-1{(𝑆−1)3 }
    4 𝑆+1 4 𝑆−1 4 6

    Aplicando la transformada inversa de laplace

    −3 −𝑡 7 1 1
    L-1{𝑓(𝑡)} = 𝑒 + 𝑒𝑡 - 𝑡2𝑒𝑡 + 𝑡3𝑒𝑡
    4 4 4 6
    1 3 𝑡 1 7 3
    Respuesta: L-1{𝑓(𝑡)} = 𝑡 𝑒 - 𝑡 2 𝑒 𝑡 + 𝑒 𝑡 - 𝑒 −𝑡
    6 4 4 4

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