T AREA N° 5

FUNCIONES VECTORIALES
AUXILIATURA DE CALCULO II (MAT – 102)
DOCENTE: Lic. Mery Arcibia Mamani
AUXILIAR: Univ. Jose Moises Fidel Fernandez
FECHA DE EMISION: 27 de abril del 2023
FECHA DE PRESENTACION: 4 de mayo del 2023

Nota: -Para ser considerada como tarea entregada se

debe resolver por lo menos el 80% de las preguntas, caso Para las
contrario la tarea no será considerada como “tarea entregada” gráficas puede
utilizar el
programa GeoGebra
1. Determinar el limite:
𝑡2
a) lim (𝑒 −3𝑡 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) 𝑗 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡𝑘)
𝑡→0

−3𝑡
𝑡2
𝑟(𝑡) = (𝑒 , , 𝑐𝑜𝑠2𝑡)
𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)
−3𝑡
𝑡2 −3(0)
(0)2 0
lim (𝑒 , , 𝑐𝑜𝑠2𝑡) = (𝑒 , , 𝑐𝑜𝑠(2 ∗ 0)) = (1, , 1)
𝑡→0 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛2 (0) 0
Se tiene una indeterminación en el segundo termino
1
𝑡2 2 1 lim 1 1
lim ∗ 𝑡 = lim = 𝑡→0
= =1
𝑡→0 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) 1 2
𝑡→0 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 1 ∗ 1
𝑡2 lim ∗ lim
𝑡2 𝑡→0 𝑡 𝑡→0 𝑡
lim𝑟(𝑡) = (1,1,1)
𝑡→0
𝑡 2 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡
b) lim ( 𝑡−1 𝑖 + √𝑡 + 8𝑗 + 𝑘)
𝑡→1 ln 𝑡

𝑡2 − 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡
𝑟(𝑡) = ( , √𝑡 + 8, )
𝑡−1 ln 𝑡

𝑡2 − 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡 (1)2 − 1 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ∗ 1) 0 0

lim ( , √𝑡 + 8, )=( , √1 + 8, ) = ( , 3, )
𝑡→1 𝑡 − 1 ln 𝑡 1−1 ln 1 0 0

Se tiene una indeterminación en el primer y tercer termino

𝑡2 − 𝑡 (𝑡 − 1)(𝑡 + 1)
lim = lim = lim(𝑡 + 1) = 1 + 1 = 2
𝑡→1 𝑡 − 1 𝑡→1 𝑡−1 𝑡→1

𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡
lim
𝑡→1 ln 𝑡

O.A.
Cambio de variable
𝑡 =𝑥+1 𝑥 =𝑡−1
 𝑥 = 1−1= 0

𝑠𝑒𝑛(𝜋(𝑥 + 1)) 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥 + 𝜋)

lim = lim
𝑥→0 ln|𝑥 + 1| 𝑥→0 ln|𝑥 + 1|

O.A.
Sustitución trigonométrica
𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥 + 𝜋) = 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥
𝜋 1 −𝜋 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 −𝜋 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 𝜋 𝑥 lim −𝜋 ∗ lim 𝜋𝑥
𝜋𝑥 𝑥→0 𝜋𝑥 𝑥→0
lim ∗ ∗ = lim = 1 = 1
𝑥→0 ln|𝑥 + 1| 1 1 𝑥→0 1
∗ ln|𝑥 + 1| lim ln|𝑥 + 1| 𝑥 ln |𝑙𝑖𝑚 (𝑥 + 1) 𝑥|
𝑥 𝑥 𝑥→0 𝑥→0

𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥
−𝜋 ∗ lim 𝜋𝑥 −𝜋 −𝜋
𝑥→0
1 = = = −𝜋
ln|𝑒| 1
ln |𝑙𝑖𝑚(𝑥 + 1)𝑥 |
𝑥→0

lim 𝑟(𝑡) = (2,3, −𝜋)

𝑥→0

2. Graficar la siguientes curvas

a) 𝑟(𝑡) = (cos 𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡, 𝑐𝑜𝑠2𝑡)

b) 𝑟(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠2𝑡, 𝑐𝑜𝑠3𝑡, 𝑐𝑜𝑠4𝑡)

c) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑒 𝑡 , cos 𝑡)

3. ¿En qué puntos corta la curva 𝑟(𝑡) = 𝑡 𝑖 + (2𝑡 − 𝑡 2 )𝑘 al paraboloide 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2

𝑥=𝑡
{ 𝑦 = 0 ,𝑡 ∈ ℝ
𝑧 = 2𝑡 − 𝑡 2

Reemplazar los valores de x,y,z en el plano

2𝑡 − 𝑡 2 = 𝑡 2 + 02
2𝑡 2 − 2𝑡 = 0
2𝑡(𝑡 − 1) = 0
2𝑡1 = 0 𝑡−1=0
𝑡1 = 0 𝑡=1

𝑥=0
{ 𝑦=0 𝑃1 (0,0,0)
𝑧 = 2(0) − (0)2 = 0
 𝑥=1
{ 𝑦=0 𝑃2 (1,0,1)
𝑧 = 2(1) − (1)2 = 1

Nota: Graficar

4. ¿En qué puntos corta la hélice 𝑟(𝑡) = (𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑡) a la esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 5

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑡
{ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ
𝑧=𝑡

Reemplazar los valores de x,y,z en el plano

(𝑠𝑒𝑛𝑡 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 2 ) + 𝑡 2 = 5
1 + 𝑡2 = 5
𝑡2 = 4

𝑡 = ±√4 = ±2
𝑡1 = 2 𝑡2 = −2

𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2
{ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑃1 (𝑠𝑒𝑛(2), cos(2) , 2)
𝑧=2
 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 − 2
{ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 − 2 𝑃2 (𝑠𝑒𝑛(−2), cos(−2) , −2)
𝑧 = −2

Nota: Graficar

5. Encuentre la función vectorial que representa la curva de intersección de las dos superficies
a) Cilindro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 y la superficie 𝑧 = 𝑥𝑦
Cambio de variables
𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡
Reemplazando en la superficie O.A.
𝑧 = (2𝑠𝑒𝑛𝑡)(2𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑧 = 2(2𝑠𝑒𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡)
𝑧 = 2𝑠𝑒𝑛2𝑡
𝑟(𝑡) = (2𝑠𝑒𝑛𝑡, 2𝑐𝑜𝑠𝑡, 2𝑠𝑒𝑛2𝑡)
Nota: Graficar
b) El cono 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 y el plano 𝑧 = 1 + 𝑦
Igualar las dos superficies

√𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 + 𝑦

𝑥 2 + 𝑦 2 = (1 + 𝑦)2
𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 + 2𝑦 + 𝑦 2
2𝑦 = 𝑥 2 − 1
𝑥2 − 1
𝑦=
2
Cambiando de valor a x
𝑥=𝑡
Reemplazar en y
𝑡2 − 1
𝑦=
2
Reemplazar en z
𝑡2 − 1 2 + 𝑡2 − 1 𝑡2 + 1
𝑧 =1+ = =
2 2 2

𝑡2 − 1 𝑡2 + 1
𝑟(𝑡) = (𝑡, , )
2 2

Nota: Graficar

6. Calcule por definición las derivadas.

𝑟(𝑡 + ℎ) − 𝑟(𝑡)
lim
ℎ→0 ℎ
a) 𝑟(𝑡) = (𝑡, 𝑒 𝑡 , cos 𝑡)
𝑟(𝑡 + ℎ) = (𝑡 + ℎ, 𝑒 𝑡+ℎ , cos 𝑡 + ℎ)
𝑟(𝑡 + ℎ) − 𝑟(𝑡) = (𝑡 + ℎ, 𝑒 𝑡+ℎ , cos 𝑡 + ℎ) − (𝑡, 𝑒 𝑡 , cos 𝑡) = (𝑡 + ℎ − 𝑡, 𝑒 𝑡+ℎ − 𝑒 𝑡 , cos(𝑡 + ℎ) − cos 𝑡)
= (ℎ, 𝑒 𝑡 (𝑒 ℎ − 1), cos 𝑡 cos ℎ − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ℎ − 𝑐𝑜𝑠𝑡)
= (ℎ, 𝑒 𝑡 (𝑒 ℎ − 1), cos 𝑡(cos ℎ − 1) − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
= (ℎ, 𝑒 𝑡 (𝑒 ℎ − 1), −cos 𝑡(1 − cos ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
1
lim (ℎ, 𝑒 𝑡 (𝑒 ℎ − 1), −cos 𝑡(1 − cos ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ℎ)
ℎ→0 ℎ
ℎ 𝑒 𝑡 (𝑒 ℎ − 1) 1
= lim ( , , (−𝑐𝑜𝑠 𝑡(1 − 𝑐𝑜𝑠 ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ℎ))
ℎ→0 ℎ ℎ ℎ
𝑡 (𝑒 ℎ
𝑒 − 1) 1
= lim (1, , (−𝑐𝑜𝑠 𝑡(1 − 𝑐𝑜𝑠 ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ℎ))
ℎ→0 ℎ ℎ
𝑡 (𝑒 0
𝑒 − 1) 1 0 0
= (1, , (−𝑐𝑜𝑠 𝑡(1 − 𝑐𝑜𝑠 0) − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 0)) = (1, , )
0 0 0 0

𝑒 𝑡 (𝑒 ℎ − 1) (𝑒 ℎ − 1)
lim = 𝑒 𝑡 lim = 𝑒𝑡
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
−𝑐𝑜𝑠𝑡(1 − 𝑐𝑜𝑠 ℎ) − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ℎ −𝑐𝑜𝑠𝑡(1 − 𝑐𝑜𝑠 ℎ) 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ℎ
lim = lim −
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ
−𝑐𝑜𝑠𝑡(1 − 𝑐𝑜𝑠 ℎ) 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 ℎ (1 − 𝑐𝑜𝑠 ℎ) 𝑠𝑒𝑛 ℎ
= lim − lim = −𝑐𝑜𝑠𝑡 ∗ lim − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ∗ lim
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
= −𝑠𝑒𝑛𝑡

𝑟´(𝑡) = (1, 𝑒 𝑡 , −𝑠𝑒𝑛𝑡)

b) 𝑟(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠2𝑡, 𝑐𝑜𝑠3𝑡, 𝑐𝑜𝑠4𝑡)
𝑟(𝑡 + ℎ) = (𝑐𝑜𝑠2(𝑡 + ℎ), 𝑐𝑜𝑠3(𝑡 + ℎ), 𝑐𝑜𝑠4(𝑡 + ℎ))
𝑟(𝑡 + ℎ) − 𝑟(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠2(𝑡 + ℎ), 𝑐𝑜𝑠3(𝑡 + ℎ), 𝑐𝑜𝑠4(𝑡 + ℎ)) − (𝑐𝑜𝑠2𝑡, 𝑐𝑜𝑠3𝑡, 𝑐𝑜𝑠4𝑡)
= (𝑐𝑜𝑠(2𝑡 + 2ℎ) − 𝑐𝑜𝑠2𝑡 , cos(3𝑡 + 3ℎ) − 𝑐𝑜𝑠3𝑡 , cos(4𝑡 + 4ℎ) − 𝑐𝑜𝑠4𝑡)
= (𝑐𝑜𝑠2𝑡 cos 2ℎ − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑠𝑒𝑛2ℎ − 𝑐𝑜𝑠2𝑡 , cos 3𝑡 𝑐𝑜𝑠3ℎ − 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑠𝑒𝑛3ℎ
− 𝑐𝑜𝑠3𝑡 , cos 4𝑡 𝑐𝑜𝑠4ℎ − 𝑠𝑒𝑛4𝑡 𝑠𝑒𝑛4ℎ − 𝑐𝑜𝑠4𝑡)
= (𝑐𝑜𝑠2𝑡(cos 2ℎ − 1) − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑠𝑒𝑛2ℎ , cos3t(cos3h − 1) − 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑠𝑒𝑛3ℎ, 𝑐𝑜𝑠4𝑡(𝑐𝑜𝑠4ℎ − 1)
− 𝑠𝑒𝑛4𝑡 𝑠𝑒𝑛4ℎ )
1
lim (𝑐𝑜𝑠2𝑡(cos 2ℎ − 1) − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑠𝑒𝑛2ℎ , cos3t(cos3h − 1) − 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑠𝑒𝑛3ℎ, 𝑐𝑜𝑠4𝑡(𝑐𝑜𝑠4ℎ − 1)
ℎ→0 ℎ
− 𝑠𝑒𝑛4𝑡 𝑠𝑒𝑛4ℎ )
𝑐𝑜𝑠2𝑡(cos 2ℎ − 1) 𝑠𝑒𝑛2ℎ cos3t(cos3h − 1) 𝑠𝑒𝑛3ℎ 𝑐𝑜𝑠4𝑡(𝑐𝑜𝑠4ℎ − 1)
lim ( − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 , − 𝑠𝑒𝑛3𝑡 ,
ℎ→0 ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ
𝑠𝑒𝑛4ℎ
− 𝑠𝑒𝑛4𝑡 )
ℎ
 𝑐𝑜𝑠2𝑡(cos 2ℎ − 1) 𝑠𝑒𝑛2ℎ 𝑐𝑜𝑠2𝑡(cos 2ℎ − 1) 2 𝑠𝑒𝑛2ℎ 2
lim − 𝑠𝑒𝑛2𝑡 = lim ∗ − lim 𝑠𝑒𝑛2𝑡 ∗
ℎ→0 ℎ ℎ ℎ→0 ℎ 2 ℎ→0 ℎ 2
(cos 2ℎ − 1) 𝑠𝑒𝑛2ℎ
= 2𝑐𝑜𝑠2𝑡lim − 2𝑠𝑒𝑛2𝑡lim
ℎ→0 2ℎ ℎ→0 2ℎ
(1 − cos 2ℎ) 𝑠𝑒𝑛2ℎ
= −2𝑐𝑜𝑠2𝑡lim − 2𝑠𝑒𝑛2𝑡lim = −2𝑠𝑒𝑛2𝑡
ℎ→0 2ℎ ℎ→0 2ℎ
𝑐𝑜𝑠3𝑡(cos 3ℎ − 1) 𝑠𝑒𝑛3ℎ 𝑐𝑜𝑠3𝑡(cos 3ℎ − 1) 3 𝑠𝑒𝑛3ℎ 3
lim − 𝑠𝑒𝑛3𝑡 = lim ∗ − lim 𝑠𝑒𝑛3𝑡 ∗
ℎ→0 ℎ ℎ ℎ→0 ℎ 3 ℎ→0 ℎ 3
(cos 3ℎ − 1) 𝑠𝑒𝑛3ℎ
= 3𝑐𝑜𝑠3𝑡lim − 3𝑠𝑒𝑛3𝑡lim
ℎ→0 3ℎ ℎ→0 3ℎ
(1 − cos 3ℎ) 𝑠𝑒𝑛3ℎ
= −3𝑐𝑜𝑠3𝑡lim − 3𝑠𝑒𝑛3𝑡lim = −3𝑠𝑒𝑛3𝑡
ℎ→0 3ℎ ℎ→0 3ℎ
𝑐𝑜𝑠4𝑡(cos 4ℎ − 1) 𝑠𝑒𝑛4ℎ 𝑐𝑜𝑠4𝑡(cos 4ℎ − 1) 4 𝑠𝑒𝑛4ℎ 4
lim − 𝑠𝑒𝑛4𝑡 = lim ∗ − lim 𝑠𝑒𝑛4𝑡 ∗
ℎ→0 ℎ ℎ ℎ→0 ℎ 4 ℎ→0 ℎ 4
(cos 4ℎ − 1) 𝑠𝑒𝑛4ℎ
= 4𝑐𝑜𝑠4𝑡lim − 4𝑠𝑒𝑛4𝑡lim
ℎ→0 4ℎ ℎ→0 4ℎ
(1 − cos 4ℎ) 𝑠𝑒𝑛4ℎ
= −4𝑐𝑜𝑠4𝑡lim − 4𝑠𝑒𝑛4𝑡lim = −4𝑠𝑒𝑛4𝑡
ℎ→0 4ℎ ℎ→0 4ℎ

𝑟´(𝑡) = (−2𝑠𝑒𝑛2𝑡, −3𝑠𝑒𝑛3𝑡, −4𝑠𝑒𝑛4𝑡)

7. Aplique las reglas de derivación para encontrar la derivada de:

4 1
1+𝑡 2
a) 𝑟(𝑡) = (𝑡 2 ln (1−𝑡 2 ) , sec −5 (𝑡 3 − 5𝑡 2 ))

1 + 𝑡2 2
1 2𝑡(1 − 𝑡 2 ) − (1 + 𝑡 2 )(−2𝑡)
𝑟´𝑖 (𝑡) = 2𝑡 ln ( )+𝑡 ( )∗( )
1 − 𝑡2 1 + 𝑡2 (1 − 𝑡 2 )2
1 − 𝑡2
4 9 1 1 1 5 1
𝑟´𝑗 (𝑡) = − sec −5 (𝑡 3 − 5𝑡 2 ) ∗ (sec (𝑡 3 − 5𝑡 2 ) tan (𝑡 3 − 5𝑡 2 )) ∗ (3𝑡 2 − 𝑡 −2 )
5 2

𝑡2
b) 𝑣(𝑡) = (5𝑡 + √6−3𝑡 4 + 𝑒 −3𝑡 , sen(2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)sec 2t (𝑒 8 + 7𝑡), 1 − 𝑡 −2 )
+𝑡

1 1
2𝑡(√6 − 3𝑡 4 + 𝑡) − 𝑡 2 (2 (6 − 3𝑡 4 + 𝑡)−2 ∗ (−12𝑡 3 + 1))
𝑣´𝑖 (𝑡) = 5+ 2 −3𝑒 −3𝑡
(√6 − 3𝑡 4 + 𝑡)
( )
2t
𝑣´𝑗 (𝑡) = (cos(2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡) ∗ (2 − 𝑠𝑒𝑛𝑡))sec (𝑒8 + 7𝑡) + sen(2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)

2𝑡
(sec 2𝑡 (𝑒 8 + 7𝑡) ∗ (2 ∗ ln|sec(𝑒 8 + 7𝑡)| + (7sec(𝑒 8 + 7𝑡) 𝑡𝑔(𝑒 8 + 7𝑡))))
sec(𝑒 8 + 7𝑡)

𝑣´𝑘 (𝑡) = 2𝑡−3

2 5
3 +𝑡
c) 𝑟(𝑡) = (6𝑒 − csc 𝑡+√𝑡 , 𝑐𝑡𝑔 𝑡 (𝑡 9 − 4𝑒 −𝑡 ), 2𝑒 𝑡𝑔𝑡 )

1 1
3 +𝑡 −
𝑟´𝑖 (𝑡) = 6𝑒− csc 𝑡+√𝑡 ∗ (csc 𝑡 cot 𝑡 + (𝑡3 + 𝑡) 2 ∗ (3𝑡2 + 1))
2
 2
𝑟´𝑗 (𝑡) = 𝑐𝑡𝑔 𝑡 (𝑡9 − 4𝑒−𝑡 )
2
2 9 𝑡
−𝑡
∗ − 2 ∗ ln 𝑐𝑡𝑔 (𝑡 − 4𝑒 ) + 9
(−𝑠𝑐𝑠2 (𝑡9 − 4𝑒−𝑡 ) ∗ (9𝑡8 + 4𝑒−𝑡 ))
𝑡 −𝑡
𝑐𝑡𝑔 (𝑡 − 4𝑒 )
( )
𝑡𝑔𝑡5
𝑟´𝑘 (𝑡) = 2𝑒 ∗ (𝑠𝑒𝑐2 (𝑡5 ) ∗ 5𝑡4 )
4 𝑡3 cos 3𝑡
d) 𝑟(𝑡) = (5𝑡 5 − 1 , tan ( ), )
− √𝑒 5𝑡 +2 𝑒 𝑡−5
5𝑡 4

5 5
−4 ∗ (− 4 𝑡 −4 )
𝑟´𝑖 (𝑡) = 25𝑡 4 −
1 2
(5𝑡−4 )
( )
1
1 −
3𝑡2 (√𝑒5𝑡 + 2) − 𝑡3 (2 (𝑒5𝑡 + 2) 2 ∗ (5𝑒5𝑡 ))
𝑡3
𝑟´𝑗 (𝑡) = sec2 ( )∗ 2
√𝑒5𝑡 + 2 (√𝑒5𝑡 + 2)
( )
−3𝑠𝑒𝑛3𝑡 ∗ (𝑒 𝑡−5 ) − 𝑐𝑜𝑠3𝑡 ∗ (𝑒 𝑡−5 )
𝑟´𝑘 (𝑡) =
(𝑒𝑡−5 )2

3
√𝑥 2 +1−𝑥 2 3 𝑙𝑛𝑡 3
e) 𝑓(𝑡) = (4 ln (√𝑥 2 ) , (𝑡 𝑡𝑔(𝑡)) , √ 2 )
2
+1+𝑥 𝑡 −𝑡

1
𝑓´𝑖 (𝑡) = 4 ∗
√𝑥2 + 1 − 𝑥
( √𝑥2 + 1 + 𝑥 )
1 1 1 1
(2 (𝑥 2 + 1)−2 ∗ (2𝑥) − 1) ∗ (√𝑥2 + 1 + 𝑥) − (√𝑥2 + 1 − 𝑥) (2 (𝑥 2 + 1)−2 ∗ (2𝑥) + 1)
∗( 2 )
(√𝑥2 + 1 + 𝑥)

1
3 2
𝑓´𝑗 (𝑡) = (𝑡2 𝑡𝑔(𝑡)) ∗ (2𝑡 ∗ 𝑡𝑔(𝑡) + 𝑡 2 ∗ sec 2 𝑡)
2
2 1
− 2 2 3
3 ∗ 𝑡 (𝑡 − 𝑡) − 𝑙𝑛𝑡 (2𝑡 − 1)
3 3
1 𝑙𝑛𝑡 𝑡
𝑓´𝑘 (𝑡) = ( 2 ) ∗( )
3 𝑡 −𝑡 (𝑡 2 − 𝑡)2

1−𝑡
f) 𝑢(𝑡) = (log 5 (𝑡 3 ln(𝑡 − 1)), 𝑐𝑡𝑔 (ln(𝑡−𝑒 −𝑡)) , 𝑡 2 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 2𝑒 −4𝑡 ))

1 1
𝑢´𝑖 (𝑡) = ∗ (3𝑡 2 ln(𝑡 − 1) + 𝑡 3 ∗ ( ))
𝑡3 ln(𝑡 − 1) ∗ ln 5 𝑡−1
1
1 − 𝑡 − ln(𝑡 − 𝑒 −𝑡 ) − (1 − 𝑡) ∗ ( −𝑡
−𝑡 ) ∗ (1 + 𝑒 )
2
𝑢´𝑗 (𝑡) = − csc ( )∗( 𝑡 − 𝑒 )
ln(𝑡 − 𝑒 −𝑡 ) (ln(𝑡 − 𝑒 −𝑡 ))2
𝑢´𝑘 (𝑡) = 2𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 2𝑒 −4𝑡 ) + 𝑡 2 ∗ (cos(𝑡 − 2𝑒 −4𝑡 ) ∗ (1 + 8𝑒 −4𝑡 ))

𝑒 𝑡−1 3
g) 𝑔(𝑡) = (ln (sec(𝑡 2+𝑐𝑜𝑠2𝑡)) , (𝑡(𝑐𝑡𝑔 𝑡)) )

1
𝑔´𝑖 (𝑡) =
𝑒 𝑡−1
sec(𝑡 2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡)
𝑒 𝑡−1 (sec(𝑡 2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡)) − 𝑒 𝑡−1 (sec(𝑡 2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡) 𝑡𝑔(𝑡 2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡) ∗ (2𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑡))
∗( )
(sec(𝑡 2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡))2
2
𝑔´𝑗 (𝑡) = 3(𝑡(𝑐𝑡𝑔 𝑡)) ∗ (𝑐𝑡𝑔 𝑡 + 𝑡(− csc 2 𝑡))

8. Una partícula tiene una aceleración de 𝑎(𝑡) = (8,100𝑡, 6𝑡) y su velocidad en 𝑡 = 1 es de

(10,25,3) encuentre su velocidad en 𝑡 = 4

𝑣(𝑡) = (∫ 8 𝑑𝑡, ∫ 100𝑡 𝑑𝑡 , ∫ 6𝑡 𝑑𝑡) = (8𝑡 + 𝐶1 , 50𝑡 2 + 𝐶2 , 3𝑡 2 + 𝐶3 )

𝑣(1) = (8 + 𝐶1 , 50 + 𝐶2 , 3 + 𝐶3 )
𝑣(1) = (10,25,3)
8 + 𝐶1 = 10 50 + 𝐶2 = 25 3 + 𝐶3 = 3
𝐶1 = 2 𝐶2 = −25 𝐶3 = 0
𝑣(𝑡) = (8𝑡 + 2,50𝑡 2 − 25,3𝑡 2 )
𝑣(4) = (8(4) + 2,50(4)2 − 25,3(4)2 ) = (34,775,48)

9. Realice las siguientes operaciones:

⎯ Dibuje la curva en el plano de la ecuación vectorial dada
⎯ Encuentre 𝑟´(𝑡)
⎯ Dibuje el vector de posición 𝑟(𝑡) y el vector tangente 𝑟´(𝑡) para el valor dado de t
a) 𝑟(𝑡) = (𝑡 2 , 𝑡 3 ) , t=1
⎯ Dibuje la curva

⎯ 𝑟´(𝑡) = (2𝑡, 3𝑡 2 )
𝑟´(1) = (2(1), 3(1)2 ) = (2,3) → 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
 𝑟(1) = (12 , 13 ) = (1,1) → 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
⎯ Dibuje vector posición y vector tangente

Nota: graficar
𝜋
b) 𝑟(𝑡) = (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑖 + (2 + 𝑠𝑒𝑛𝑡)𝑗 , 𝑡= 6
⎯ Dibuje curva

⎯ 𝑟´(𝑡) = (−𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡)

𝜋 𝜋 𝜋 1 √3
𝑟´ ( ) = (−𝑠𝑒𝑛 ( ) , cos ( )) = (− , )
6 6 6 2 2
𝜋 𝜋 𝜋
𝑟 ( ) = (1 + 𝑐𝑜𝑠 , 2 + 𝑠𝑒𝑛 ) = (1.87,2.5)
6 6 6

⎯ Dibuje vector posición y vector tangente

Nota: graficar
10. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente y recta normal a la curva de
ecuaciones paramétricas dadas en el punto especifico
a) 𝑥 = 1 + 2√𝑡 , 𝑦 = 𝑡 3 , 𝑧 = 𝑡 3 + 𝑡 ; (3,0,2)

1 + 2√𝑡 = 3 𝑡3 = 0 𝑡3 + 𝑡 = 2

2√𝑡 = 2 𝑡=0 𝑡3 + 𝑡 − 2 = 0
𝑡=1 (𝑡 − 1)(𝑡 2 + 𝑡 + 2) = 0
𝑡1 = 1
𝑡 2 + 𝑡 + 2 = 0 → 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
El punto (3,0,2) no pertenece a la curva

b) 𝑥 = 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦 = 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑧 = 𝑒 −𝑡 ; (1,0,1)

𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 1 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 = 0 𝑒 −𝑡 = 1
Reemplazando 𝑒 −𝑡 = 1 en 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 1
𝑐𝑜𝑠𝑡 = 1 cuando 𝑐𝑜𝑠𝑡 es cero? Cuando 𝑡 = 0
𝑒 −0 𝑐𝑜𝑠0 = 1 𝑒 −0 𝑠𝑒𝑛0 = 0 𝑒 −0 = 1
1=1 0=0 1=1

𝑡=0
𝑟(𝑡) = (𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑒 −𝑡 )
𝑟´(𝑡) = (−𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡−𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, −𝑒 −𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑒 −𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡, −𝑒 −𝑡 )
𝑟´(0) = (−𝑒 −0 𝑐𝑜𝑠0−𝑒 −0 𝑠𝑒𝑛0, −𝑒 −0 𝑠𝑒𝑛0 + 𝑒 −0 𝑐𝑜𝑠0, −𝑒 −0 ) = (−1,1, −1)

𝑥 =1−𝑡
{ 𝑦=𝑡 ,𝑡 ∈ ℝ
𝑧 =1−𝑡
Nota: graficar