Transformada de Laplace 1
Transformada de Laplace 1
Transformada de Laplace 1
∞
L {𝑓(𝑡)} = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 . 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (1)
donde 𝑠 es una variable compleja y 𝑒 −𝑠𝑡 es llamado el núcleo de la
transformación.
Es usual representar la transformada de Laplace de una función 𝑓, por la
letra mayúscula correspondiente, 𝐹, así que escribimos:
∞
L {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 . 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (2)
Una notación alternativa de uso común es denotar L{𝑓(𝑡)} por 𝐹(𝑠) o
simplemente 𝐹.
TRANSFORMADA INVERSA
Si 𝐹(𝑠) representa la transformada de Laplace de una función 𝑓(𝑡) , que es
L {𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) , entonces decimos que 𝑓(𝑡) es la transformada inversa de
Laplace de 𝐹(𝑠) y escribimos 𝑓(𝑡) = L -1 {𝑓(𝑠)} , donde L -1 se llama operador
transformación inversa de Laplace.
Ejemplo :
Como
1
L {𝑒 𝑎𝑡 } = 𝑠−𝑎
Se tiene que
1
L -1 {𝑠−𝑎} = 𝑒 𝑎𝑡
g) 1 sin ℎ𝑎𝑡
𝑠 2 − 𝑎2 𝑎
h) 𝑠 cos ℎ𝑎𝑡
𝑠 − 𝑎2
2
L -1
{𝑓(𝑠 − 𝑎)} = 𝑒 𝑎𝑡 𝐹(𝑡)
SEGUNDA PROPIEDAD DE TRASLACIÓN:
-1
Si L {𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡) , entonces
L -1
{𝑒 −𝑎𝑠 𝑓(𝑠)} = { 𝐹(𝑡 − 𝑎) 𝑡 > 𝑎
0 𝑡<𝑎
PROPIEDAD DE CAMBIO DE ESCALA:
Si L -1 {𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡) , entonces
-1 1 𝑡
L {𝑓(𝑘𝑠)} = 𝐹( )
𝑘 𝑘
𝑑𝑛
Si L -1
{𝑓 𝑛 (𝑠)} = L -1
{𝑑𝑠𝑛 𝑓(𝑠)} = (−1)𝑛 𝑡 𝑛 𝐹(𝑡)
MULTIPLICACIÓN POR S:
-1
Si L {𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡) 𝑦 𝐹(0) , entonces
Si L -1 {𝑠𝑓(𝑠)} = 𝐹′(𝑡)
Así que multiplicar por S produce el efecto de derivar a 𝐹(𝑡)
Si 𝐹(0) ≠ 0 , entonces
-1
L {𝑠𝑓(𝑠) − 𝑓(0)} = 𝐹′(𝑡)
L -1
{𝑠𝑓(𝑠)} = 𝐹 ′(𝑡) + 𝐹(0)𝛿(𝑡)
-1 𝑓(𝑠) 𝑡
L { } = ∫0 𝐹(𝑢)𝑑𝑢
𝑠
𝑃(𝑆)
𝑅 (𝑆) =
𝑄(𝑠)
1 𝑠+1
(𝑖)𝐹(𝑠) = (𝑖𝑖)𝐹(𝑠) =
(𝑠−1)(𝑠+2)(𝑠+4) 𝑠 2 (𝑠+2)3
Ejemplo:
-1 1
Evalué L {(𝑠−1)(𝑠+2)(𝑠+4) }
Solución: Existen constantes A, B y C únicas, tales que
1 𝐴 𝐵 𝐶
(𝑠−1)(𝑠+2)(𝑠+4)
= + +
𝑆−1 𝑆+2 𝑆+4
𝐴(𝑆+2)(𝑆+4)+𝐵(𝑆−1)(𝑆+4)+𝐶(𝑆−1)(𝑆+2)
= (𝑠−1)(𝑠+2)(𝑠+4)
Dado que los denominadores son idénticos, los numeradores deben ser
idénticos:
-1 1 1 -1 1 1 -1 1
L {(𝑠−1)(𝑠+2)(𝑠+4) } = 15 L {(𝑠−1) } − 6 L {(𝑠+2) }
1 -1 1
+ L {(𝑠+4) }
10
1 1 1
= 𝑒 𝑡 − 𝑒 −2𝑡 + 𝑒 −4𝑡
15 6 10
Ejemplo:
-1 𝑠+1
Evalué L {𝑠2(𝑠+2)3 }
de modo que
𝑠 + 1 = 𝐴𝑠(𝑠 + 2)3 + 𝐵(𝑠 + 2)3 + 𝐶𝑠 2 (𝑠 + 2)2 + 𝐷𝑠 2 (𝑠 + 2) + 𝐸𝑠 2
1 1
Donde 𝑠 = −1 se obtiene 𝐵 = 8 , 𝐸 = − 4 Igualamos los coeficientes 𝑠 4 , 𝑆3 𝑦 𝑠
llegamos
0=𝐴+𝐶 , 0 = 6𝐴 + 𝐵 + 4𝐶 + 𝐷 , 1 = 8𝐴 + 12𝐵
1 1
de donde se sigue que 𝐴 = − 16 , 𝐶 = 16 , 𝐷 = 0 ,por consiguiente,
1 1 1 1
𝑠+1 −16 8 16 0 −4
L -1 { } =L -1 { + + + + }
𝑠2 (𝑠+2)3 𝑆 𝑠2 𝑆+2 (𝑠+2)2 (𝑠+2)3
1 1 1 1
=− + 𝑡+ 𝑒 −2𝑡 − 𝑡 2 𝑒 −2𝑡
16 8 16 8